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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zur Fehlerbaumanalyse, wobei ein
technisches System in mehrere Subsysteme zerlegt wird, denen jeweils eine
von der Zeit abhängige
Verteilungsfunktion zugeordnet wird, welche die Ausfallwahrscheinlichkeit des
jeweiligen Subsystems beschreibt.
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Bei
komplexen technischen Systemen ist es oft wichtig, geeignete Wartungsstrategien
für einzelne
Komponenten des Systems zu finden. Hierbei stellt sich die Frage,
welche Komponente wann und wie oft ausgetauscht bzw. gewartet werden
muss, um ein optimales Ergebnis für das technische System hinsichtlich
des Ziels "hohe
Verfügbarkeit/Zuverlässigkeit" zu erzielen. Außerdem gilt
es, die Wartung von Komponenten geeignet zu priorisieren, das heißt, diejenigen
Komponenten, deren Wartung die größte Auswirkung auf die Verfügbarkeit/Zuverlässigkeit
hat, werden vorrangig gewartet. Ziel ist es nun, die Wartungszeiten
einzelner Komponenten so zu variieren, dass die mit diesen Wartungszeiten
berechnete maximale Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems
eine vorgegebene kritische Ausfallwahrscheinlichkeit unterschreitet.
Bisher wird das Problem dadurch gelöst, indem aufgrund von Betriebserfahrung
Wartungsstrategien abgeschätzt werden.
Dieser Vorgang kann subjektiv und wenig transparent sein.
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Aufgabe
der Erfindung ist es, möglichst
objektivere Kriterien zu finden, anhand derer Wartungsstrategien
entwickelt werden können.
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Diese
Aufgabe wird durch die Merkmale des unabhängigen Patentanspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen
der Erfindung sind Gegenstand untergeordneter Ansprüche.
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Bei
dem erfindungsgemäßen Verfahren
zur Fehlerbaumanalyse wird ein technisches System in mehrere Subsysteme
zerlegt, denen jeweils eine von der Zeit abhängige Verteilungsfunktion zugeordnet wird,
welche die Ausfallwahrscheinlichkeit des jeweiligen Subsystems beschreibt,
wobei die Verteilungsfunktionen miteinander zu einer die Ausfallwahrscheinlichkeit
des technischen Systems beschreibenden und von der Zeit abhängigen Systemverteilungsfunktion
verknüpft
werden.
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Die
Erfinder haben erkannt, dass durch das Bilden einer die Ausfallwahrscheinlichkeit
des technischen Systems beschreibenden Systemverteilungsfunktion,
die von der Zeit abhängig
ist, die Möglichkeit geschaffen
wird, durch mathematische bzw. numerische Auswertung dieser Verteilungsfunktion
zu Kriterien zu gelangen, aus denen eine Wartungsstrategie ableitbar
ist. Da diese Kriterien berechnet und nicht aufgrund von Betriebserfahrung
abgeschätzt
werden, liegt ein vergleichsweise hohes Maß an Objektivität bei der
Bestimmung dieser Kriterien vor.
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Die
Verknüpfungen
zwischen den Verteilungsfunktionen der Subsysteme können ODER-Verknüpfungen
aufweisen. Alternativ oder ergänzend sind
UND-Verknüpfungen
möglich.
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Die
Systemverteilungsfunktion kann abhängig von Missionszeiten sein,
die Parameter der Systemverteilungsfunktion bilden. Diese Missionszeiten sind
insbesondere den Subsystemen zugeordnet. Ferner können die
Missionszeiten Wartungszeiten bzw. Wartungsintervalle für die Subsysteme
repräsentieren.
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Zur
Reduzierung der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems
bzw. zur Entwicklung einer Wartungsstrategie können folgende Schritte durchgeführt werden:
- – In
einem ersten Schritt wird ein Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit
des technischen Systems bestimmt.
- – In
einem zweiten Schritt wird diejenige Missionszeit bestimmt, die
den größten Einfluss
auf dieses Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit hat.
- – In
einem dritten Schritt wird die im zweiten Schritt bestimmte Missionszeit
variiert.
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Nun
kann in einem vierten Schritt erneut das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit
des technischen Systems bestimmt werden, diesmal jedoch unter Berücksichtigung
der variierten Missionszeit. In einem fünften Schritt kann das im vierten
Schritt ermittelte Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit mit einer
vorgegebenen Ausfallwahrscheinlichkeit verglichen werde. Danach
kann in einem sechsten Schritt zu dem zweiten Schritt zurückgekehrt
werden, falls der Vergleich ergeben hat, dass das im vierten Schritt bestimmte
Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit größer als die vorgegebene Ausfallwahrscheinlichkeit
ist. Ist hingegen das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des
technischen Systems kleiner oder kleiner gleich der vorgegebenen
Ausfallwahrscheinlichkeit, so kann diese Optimierung der Wartungsstrategie
abgebrochen werden, da die gewünschten Anforderungen
bereits erfüllt
sind.
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Das
Variieren der Missionszeit erfolgt insbesondere dadurch, dass die
Missionszeit verkleinert wird. Ferner wird das bzw. jedes Maximum
der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems bevorzugt
innerhalb eines vorgegebenen zeitlichen Intervalls bestimmt. Die
Auswertung kann numerisch, z. B. unter Verwendung eines Digitalrechners
erfolgen.
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Das
Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems wird
insbesondere folgendermaßen
ermittelt:
- – Bestimmen einer Konstanten,
- – Bestimmen
von Differenzen aus Vielfachen aller Missionszeiten innerhalb des
Intervalls und der Konstanten,
- – Ermitteln
der Funktionswerte der Systemverteilungsfunktion für die Differenzen
als Argumente,
- – Bestimmen
des Maximums der so ermittelten Funktionswerte mit dem entsprechenden
Argument.
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Die
Missionszeit, die den größten Einfluss auf
das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems
hat, wird insbesondere folgendermaßen bestimmt:
- – Bestimme
die Ableitungen der Systemverteilungsfunktion nach den Missionszeiten
an der Stelle, an der das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit
des technischen Systems liegt,
- – Bestimme
den Maximalwert dieser Ableitungen und die dazugehörige Missionszeit.
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Das
Variieren der Missionszeit, die den größten Einfluss auf das Maximum
der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems hat, wird
insbesondere folgendermaßen
durchgeführt:
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- – Der
Wert der Missionszeit wird mit einem Faktor multipliziert, der kleiner
als 1 ist (insbesondere gilt: 0 < Faktor < 1.
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Für jeden
Zeitpunkt innerhalb der Betriebszeit des technischen Systems (System-Missionszeit) lässt sich
die Ausfallwahrscheinlichkeit ermitteln. Als Funktion über der
Zeit wird die Ausfallwahrscheinlichkeit als Systemverteilungsfunktion
bezeichnet. Die Systemverteilungsfunktion wird über die Verteilungsfunktionen
der Basisereignisse bzw. Subsysteme im Fehlerbaum "bottom-up" berechnet, indem UND-
und ODER-Verknüpfungen
gemäß den Gesetzen
der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgewertet werden.
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Ziel
ist es nun, die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems
so zu variieren (insbesondere zu verkleinern), dass sie gleich ist
einer vorgegebenen kritischen Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. sie
unterschreitet.
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Hierfür wird die
maximale Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. der hierzu gehörige Zeitpunkt
zunächst
ermittelt (Schritt 1). An dieser Stelle wird diejenige
Missionszeit bestimmt, die den größten Einfluss auf die maximale
Ausfallwahrscheinlichkeit hat. In einem dritten Schritt wird diese
Missionszeit gezielt variiert (verkleinert), so dass sich auch die
maximale Ausfallwahrscheinlichkeit verringert. Nach einer Neuberechnung
der maximalen Ausfallwahrscheinlichkeit (wieder Schritt 1)
für die
modifizierte Missionszeit wird die neue maximale Ausfallwahrscheinlichkeit
mit der vorgegebenen kritischen Ausfallwahrscheinlichkeit verglichen
(Abbruchkriterium) und je nachdem erneut die sensitivste Missionszeit
(siehe Schritt 2) variiert, usw.
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Vorteil
des erfindungsgemäßen technischen Vorgehens
ist es, dass die Missionsparameter nun so variiert werden können, dass
die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems eine vorgegebene
kritische Ausfallwahrscheinlichkeit unterschreitet. Damit können Wartungsstrategien
a priori mathematisch abgesichert angegeben werden. Ferner ergeben
sich damit Möglichkeiten,
gezielt Komponenten zu warten und somit ein Optimum zwischen Kosten
versus Verfügbarkeit/Zuverlässigkeit
zu erzielen. Oft liegen statische Fehlerbaummodelle für ein technisches
System bereits vor, die für
das erfindungsgemäße Verfahren
direkt weiter verwendet werden können.
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Unter
dem Begriff Missionszeit kann eine Einsatzzeit bzw. ein Einsatzzeitraum
verstanden werden, in dem Wartungs- oder Reparaturarbeiten gar nicht
oder lediglich eingeschränkt
möglich
sind. Missionszeiten können
dabei dem technischen System als Gesamtsystem, aber auch den Komponenten bzw.
Subsystemen zugeordnet werden.
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Insbesondere
ist der Begriff Subsystem nicht einschränkend auszulegen, so dass grundsätzlich jede
logische und/oder physikalische Untereinheit oder Teileinheit des
technischen Systems ein Subsystem bilden kann. Bevorzugt können somit
auch Ereignisse, wie z.B. Basisereignisse, Subsysteme des technischen
Systems bilden.
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Im
Folgenden wird die Erfindung anhand bevorzugter Ausführungsbeispiele
mit Hilfe der Figuren näher
beschrieben, wobei nur die zum Verständnis der Erfindung notwendigen
Merkmale dargestellt sind und folgende Bezugszeichen verwendet werden:
1: Bestimmung des Maximums Max{TE(t)} der Funktion TE(t, MZ1, MZ2 ...) sowie
des zugehörigen Arguments
tmax; 2: Bestimmung des Maximums der partiellen
Ableitungen von TE(t, MZ1, MZ2 ...)
nach den Parametern MZ1, MZ2 ...
an der Stelle t = tmax und des zugehörigen Missionszeitparameters
MZi max; 3: Variation
der Missionszeiten bzw. des Missionszeitparameters MZi max; 4: Prüfung ob Max{TE(t)} kleiner oder
gleich dem vorgegebenen Wert TESoll; alt:
Verlauf von TE vor der Optimierung; opt: Verlauf von TE nach der
Optimierung.
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Es
zeigen im Einzelnen:
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1:
ein Flussdiagramm gemäß einer
Ausführungsform
der Erfindung;
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2:
eine Approximation einer Verteilungsfunktion;
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3:
eine Approximation einer Verteilungsfunktion;
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4:
zwei Funktionen;
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5:
eine Addition der Funktionen nach 4;
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6:
eine Multiplikation der Funktionen nach 4;
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7:
einen Fehlerbaum;
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8:
eine Basisfunktion mit Ableitung;
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9:
zwei Funktionen;
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10:
eine UND-Verknüpfung
der Funktionen nach 9;
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11:
zwei Ableitungen der Funktionen nach 9;
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12:
eine Ableitung einer zusammengesetzten Funktion nach t2, insbesondere
der Funktion nach 10;
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13:
Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach t2;
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14:
Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach t0;
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15:
Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach t0;
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16:
Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach t2;
-
17:
ODER-Funktion mit Ableitung, gleiche Wartungsinter valle;
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18:
ODER-Funktion mit Ableitung, ungleiche Wartungsintervalle;
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19:
UND-Funktion mit Ableitung, gleiche Wartungsintervalle;
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20:
UND-Funktion mit Ableitung, ungleiche Wartungsintervalle;
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21:
Funktionen TE für
unterschiedliche Parameter;
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22:
Ableitung von TE nach t0;
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23:
Ableitung von TE nach t2;
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24:
Funktion TE über
t2;
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25:
Funktion TE über
t0;
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26:
TE über
t für t0
= 600 und t2 = 25;
-
27:
TE über
t für t0
= 630 und t2 = 25;
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28:
TE über
t für t0
= 660 und t2 = 25;
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29:
TE über
t für t0
= 600 und t2 = 20;
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30:
TE über
t für t0
= 600 und t2 = 25;
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31:
TE über
t für t0
= 600 und t2 = 30;
-
32:
TE über
t für t0
= t1 = 600 und t2 = 25;
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33:
Funktionen TE für
unterschiedliche t0;
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34:
Funktionen TE für
unterschiedliche t2;
-
35:
Funktionen TE für
unterschiedliche t2;
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36:
TE über
t für t0
= 550, t1 = 600 und t2 = 650;
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37:
TE über
t für t0
= 550, t1 = 600 und t2 = 650;
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38:
Funktionen TE für
unterschiedliche t0;
-
39:
Funktionen TE für
unterschiedliche t1;
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40:
Funktionen TE für
unterschiedliche t2;
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41:
TE über
t für t0
= 550, t1 = 600 und t2 = 650;
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42:
Funktionen TE für
unterschiedliche t0;
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43:
Funktionen TE für
unterschiedliche t1;
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44:
Funktionen TE für
unterschiedliche t2;
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45:
Ableitung nach t0 für
t0 = 550, t1 = 600 und t2 = 650;
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46:
Ableitung nach t1 für
t0 = 550, t1 = 600 und t2 = 650;
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47:
Ableitung nach t2 für
t0 = 550, t1 = 600 und t2 = 650;
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48:
TE mit optimierten Werten.
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Die 1 zeigt
ein Flussdiagramm gemäß einer
Ausführungsform
der Erfindung. Hier ist das Ziel die Minimierung einer Funktion "TopEreignis" (TE) abhängig von
der Zeit t und Parametern "Missionszeiten" (MZi)
TE(t,
MZi, MZ2, MZ3, MZ4, ...)
über einem
gegebenem Intervall [BCL, BCR] (Boundery Condition Left/Right bzw.
Randbedingungen links/rechts) so, dass gilt:
MAXBCL≤t≤BCR{TE(t,
MZ1, MZ2, MZ3, MZ4, ...)} ≤ TESoll
TESoll ist
dabei eine vorgegebene maximale, kritische Ausfallwahrscheinlichkeit
für das
TopEreignis. TE(t, MZ1, MZ2 ...)
ist insbesondere die zeitabhängige
Systemverteilungsfunktion.
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In
einem Schritt 1 wird das Maximum der Funktion TE(t) in
dem gegebenen Intervall bestimmt. Dabei kann das Maximum der Funktion
in der Nähe der
Missionszeiten MZi bzw. kurz vor den Missionszeiten,
konkreter an der Stelle t = MZi – ε, angenommen
werden.
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Es
werden die Vielfachen aller Missionszeiten k·MZi innerhalb
des gegebenen Intervalls bestimmt, die Funktion an der Stelle tik = k·MZi – ε (mit z.
B. ε = 0,
0001·k·MZi) ausgewertet und das Maximum der so ermittelten
Funktionswerte mit dem entsprechenden Argument tmax bestimmt.
Der Wert k ist bevorzugt eine ganze, insbesondere eine natürliche Zahl.
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In
einem Schritt 2 wird das Maximum der Ableitung an der Stelle
des Arguments tmax bestimmt. Dabei werden
die Ableitungen der Funktion TE(t) nach den Missionsparametern an
der eben ermittelten Stelle tmax ausgewertet
und der Maximalwert dieser Ableitungswerte bzw. der dazugehörige Missionsparameter
MZi max bestimmt.
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In
einem Schritt 3 erfolgt eine Variation der Missionszeiten.
Dabei wird der gefundenen Missionsparameter MZi max verklei nert, z. B. durch MZi max,neu = 0,99·MZi max, wonach mit der modifizierten Missionszeit
zu Schritt 1 zurückgekehrt
wird.
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In
einem Schritt 4 wird ein Abbruch des Verfahrens geprüft. Insbesondere
werden die Schritt 1, 2 und 3 solange
wiederholt, bis der berechnete Maximalwert TE(tmax)
kleiner oder kleiner gleich als der vorgegeben Wert TESoll ist.
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Das
Vorgehen bei der Analyse kann in mehrere Schritte gegliedert werden:
Wie
bei der klassischen, statischen Fault Tree Analysis (FTA) wird das
gegebene System in mehrere Subsysteme zerlegt mit einem TopEreignis
als Wurzel, die Blätter
der Subsysteme entsprechen den Basisereignissen.
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Diese
Blätter
besitzen für
ein definiertes Ausfallereignis Ausfallwahrscheinlichkeiten, aus
der z. B. bei einer Exponentialverteilung die konstante Ausfallrate
bestimmt wird. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten der einzelnen Komponenten,
werden – wie
bisher – als
Funktion über
der Zeit angegeben, z. B. als Exponentialverteilung über der
Zeit.
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Im
Gegensatz zur statischen FTA wird nun die Auswertung dieser Ausfallwahrscheinlichkeiten für Subsysteme
in Richtung TopEreignis nicht statisch sondern dynamisch durchgeführt. D.h.
evtl. "UND" und "ODER" Verknüpfungen
für Subsysteme werden
ebenfalls funktional über
der Zeit dargestellt, z.B. mit Hilfe von approximierenden Funktionen
oder mittels symbolischer Funktionsdarstellung. Das TopEreignis
liegt dann ebenfalls als Funktion über der Zeit vor.
- – Für approximierende
Funktionen können
entsprechende Basisfunktionen gewählt werden, deren Koeffizienten
entsprechend der Vorgaben mittels der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems
angepasst werden können.
- – Bei
der Lösung
mittels symbolischer Formelberechnung können die Grenzen dieser Berechnung z.B.
in Bezug auf die Anzahl der möglichen
Basisereignisse bestimmt werden.
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Wird
nun für
das TopEreignis eine gerade noch zulässige Höchstausfallswahrscheinlichkeit
pkrit vorgegeben, also eine kritische Größe für die berechnete
Ausfallwahrscheinlichkeiten des Gesamtsystems, so kann hierfür das zugehörige tkrit berechnet werden, also der dazu gehörige (kritische)
Zeitpunkt, ab dem das Gesamtsystem diese vorgegebene Ausfallswahrscheinlichkeit überschreiten
wird.
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Das
Ziel der dynamischen Fehlerbaumanalyse ist die Berechnung desjenigen
Zeitpunktes, ab dem das untersuchte System eine vorgegebene kritische
Ausfallwahrscheinlichkeit überschreiten
wird.
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In
einem weiteren Schritt kann, basierend auf der o.g. dynamischen
Fehlerbaumanalyse, eine Optimierung der Wartungsstrategien durchgeführt werden.
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Eine
Nebenbedingung ist dabei eine berechnete bzw. geplante Ausfallwahrscheinlichkeit
pPlan(t) über der Zeit t mit
pPlan(t) < Pkrit(t), für tStart < t < tEnd
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Die
Gesamtausfallwahrscheinlichkeit des Systems soll also immer kleiner
als ein kritischer Wert sein. Das eigentliche Optimierungsziel (bzw.
die Definition von mehreren zu erreichenden Zielen) ist noch zu
analysieren, Optimierungsziele können
z.B. sein
- – möglichst
lange Wartungsintervalle,
- – bevorzugte
Auswechslung von "einfach
zugänglichen" Komponenten (unter
Erfüllung
der Optimierungsnebenbedingung),
- – bevorzugte
Auswechslung von "finanziell
billigen" Komponenten
(unter Erfüllung
der Optimierungsnebenbedingung),
- – bevorzugte
Auswechslung nur derjenigen Komponenten, deren dann verbesserte
Ausfallwahrscheinlichkeit einen deutlichen
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Einfluss/Verbesserung
auf die Gesamtausfallwahrscheinlichkeit hat.
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Die
o.g. Basisfunktionen zur Approximation eines funktionalen Verhaltens
mit Wartungsstrategien können
dabei entsprechend einer "sägezahnförmigen" Exponentialverteilung
angepasst werden.
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Die
o.g. Optimierung kann auch zu einer Sensitivitätsanalyse der Gesamtausfallwahrscheinlichkeit
bzgl. der Ausfallwahrscheinlichkeiten der Basisereignisse führen: Welchen
Einfluss hat die Wartung von Basisereignis "i" auf
die Gesamtausfallwahrscheinlichkeit, hat eine Wartung für dieses
Basisereignis "i" überhaupt eine entsprechende
(deutliche) Auswirkung?
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Das
Ziel ist die Erarbeitung einer optimalen Wartungsstrategie eines
Gesamtsystems, so dass unter Einhaltung einer kritischen Ausfallwahrscheinlichkeit
des Gesamtsystems im gegebenen Lebenszyklus die einzelnen Komponenten
nach gewissen zu definierenden Kriterien (kostengünstig, einfacher Zugriff,
...) ausgewechselt werden.
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In
einem ersten Schritt können
die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Basisereignisse jeweils
explizit gegeben werden. Hierbei sollte für diese Verteilungen die allgemeine
Form p(t) = a – b·exp(c·t)bzw. die spezielle
Form für
eine Verteilungsfunktion p(t) = 1 – exp(–λ·t)angesetzt
werden. Diese allgemeine Form resultiert aus der Erfahrung, dass
zwei Stützstellen
zur Approximation zu wenig sind. Wie aus den 2 und 3 ersichtlich,
kann neben zwei normalen Stützstellen
für die
Funktion als drittes Kri terium auch die Ableitung an einer Zwischenstelle
approximiert werden.
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Für evtl.
Reparaturstrategien können
zusammengesetzte Funktionen
falls (t < t1) dann P(t)
= a1 – b1·exp(c1·t)
sonst
P(t)
= a2 – b2·exp(c2·t)
angesetzt
werden. Allerdings können
hier Probleme wegen der fehlenden Stetigkeit/Differenzierbarkeit
an der Bruchstelle hinsichtlich des geplanten Optimierungsvorganges
entstehen.
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In
einem zweiten Schritt sind die Verknüpfungsoperatoren "und" und "oder" für Basisereignisse bzw.
auch für
Subsysteme zu definieren. Hierbei entspricht
P1(t)
v P2(t) = P1(t)
+ P2(t) – P1(t)·P2(t) bzw.
P1(t) Λ P2(t) = P1(t)·P2(t).
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Für die beiden
aus 4 ersichtlichen Funktionen ist die Addition der
Funktionswerte aus 5 und die Multiplikation der
Funktionswerte aus 6 ersichtlich. Auch hier ist
wieder Stetigkeit/Differenzierbarkeit mit Hinblick auf die Optimierung
zu beachten.
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Um
festzustellen, welche Änderungen
von Missionszeiten sich am stärksten
auf die Systemzuverlässigkeit
auswirken (Sensitivitätsanalyse),
wird die "Systemverteilungsfunktion" abgeleitet.
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Seien
a,b ∊ R mit b > 0.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen
q ∊ Z, r ∊ R
mit
a = bq + r,
0 < r < b.
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Es
wird definiert: r =: a mod b.
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Ableitung der Systemfunktion:
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q := ⌊t/t0⌋ (Gaußklammer),
t0 teilt nicht t
d/dt0[exp(–λ(t mod t0))] = d/dt0[exp(–λ(t – q t0))] =
exp(–λt)[λ(dq/dt0·t0 + q)exp(λ q
t0)]
λ q exp(–λ(t mod t0))
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Nachfolgend
wird ein Beispiel für
eine Analyse mit Hilfe ei ner Software gegeben (die Funktion "trunc" trennt die Nach
kommastellen von einer Zahl ab):
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# erste neue Prozedur:
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RealModulo(x, q) =
x – trunc(x/q)·q;
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# zweite neue Prozedur:
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ExpModulo(t, lamda, t0) =
1 – exp(–lamda·RealModulo(t,
t0));
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# dritte neue Prozedur: "und" von Basisfkt
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B1_und_B2(t, lamda1, t0, lamda2, t1)
= ExpModulo(t, lamda1, t0)·ExpModulo(t,
lamda1, t1);
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# vierte neue Prozedur: "oder" von Basisfkt
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B1_oder_B2(t, lamda0, t0, lamda1, t1)
=
ExpModulo(t, lamda0, t0) + ExpModulo(t, lamda1, t1) –
ExpModulo(t,
lamda0, t0) · ExpModulo(t,
lamda1, t1);
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# fünfte neue Prozedur: TopEreignis
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TopEreignis(t, lamda0, lamda1, lamda1, t0, t1,
t2) =
B1_oder_B2(t, lamda0, t0, lamda1, t1) · ExpModulo(t,
lamda1,
t2);
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Eine
Darstellung des Gesamtfehlerbaums (B1 oder B2) und B3 ist aus 7 ersichtlich.
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Nachfolgend
werden die Ableitungen berechnet, wobei folgende Funktion gegeben
sei:
OrgFunktion := 1 – exp(–lamda0·(t-trunc(t/t0)·t0))
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Ihre
Ableitung nach t0 berechnet sich zu diffOrgFunction
:= lamda0·(–trunc(1,
t/t0)·t0 –
trunc(t/t0))·exp(–lamda0·(t – trunc(t/t0)·t0))
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Die
Funktion trunc(1, t/t0) entspricht dabei der ersten Ableitung von
trunc und sollte deshalb immer 0 sein. In 8 ist die
Basisfunktion mit ihrer Ableitung nach t0 schematisch dargestellt.
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Die Funktionen
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Basisfunktion
B1: lambda := 0.000001, t0 := 672;
Basisfunktion B2: lambda
:= 0.000001, t1 := 672;
Basisfunktion B3: lambda := 0.000001,
t2:= 24;
sind in unterschiedlichen Verknüpfungen aus 9 und 10 ersichtlich,
wobei 9 die Funktion (B1 oder B2) sowie die Funktion
B3 und 10 die Funktion (B1 oder B2)
und B3 dargestellt.
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Ferner
zeigt 11 für die Funktionen
Basisfunktion
B1: lambda := 0.000001, t0 := 672;
Basisfunktion B2: lambda
:= 0.000001, t1 := 672;
Basisfunktion B3: lambda := 0.000001,
t2 := 24;
die Ableitung von (B1 oder B2) nach t0 sowie von
B3 nach t2. Ferner zeigen die 12 und 13 die Ableitung
nach t2 des Produkts der beiden Funktionen (B1 oder B2)·B3 in
unterschiedlichen Zeitachsedarstellungen. 14 zeigt
die Ableitung nach t0 des Produkts der beiden Funktionen (B1 oder
B2)·B3.
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Aus 15 ist
die Ableitung der Funktion (B1 oder B2) · B3 nach t0 und aus 16 die
Ableitung der Funktion (B1 oder B2) · B3 nach t2 für einen Bereich
bis t = 8760 h dargestellt, wobei die Ableitung nach t0 nicht mehr
exakt von der verwendeten Software darstellbar ist. Es ist zu erkennen,
dass die Ableitung nach t2 um Größenordnungen
größer als
die nach t0 bzw. t1 ist.
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17 zeigt
die Oder-Funktion mit gleichen Wartungszeit-Intervallen sowie die Ableitung dieser Funktion
nach t0. Die Funktion (B1 oder B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert,
nicht jedoch die Ableitung.
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18 zeigt
die Oder-Funktion mit ungleichen Wartungsintervallen sowie deren
Ableitung nach t0 und t1, mit t0 = 670, t1 = 600. Die Funktion (B1
oder B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht jedoch die Ableitung.
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19 zeigt
die Und-Funktion mit gleichen Wartungszeit-Intervallen sowie deren Ableitung nach t0.
Die Funktion (B1 und B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht
jedoch die Ableitung.
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20 zeigt
die Und-Funktion mit ungleichen Wartungsintervallen sowie deren
Ableitung nach t0 und t1, mit t0 = 670, t1 = 600. Die Funktion (B1
und B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht jedoch die Ableitung.
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Zur
Interpretation der Ableitungen ist folgendes anzumerken:
- – Vom
Zeitpunkt "0" aus gesehen wirkt
sich die Änderung
einer Missionszeit für
einen späteren Zeitpunkt
um so sensibler aus, je weiter dieser spätere Zeitpunkt in der Zukunft
liegt: Je weiter der Zeitpunkt in der Zukunft liegt, desto eher
bewirken Änderungen
der Missionszeit eine unterschiedliche Anzahl von Wartungen. Jede
Wartung beeinflusst aber unmittelbar die Systemausfallwahrscheinlichkeit.
- – Bei
der "ODER"-Verknüpfung ist
die Ableitung innerhalb einer Missionszeit konstant: Die Ausfallrate
des exponentialverteilten Basisereignisses ist konstant; somit ändert eine Änderung
der Missionszeit nur dann die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit,
wenn der Zeitpunkt dadurch in eine andere Anzahl von Wartungsintervallen
kommt.
- – Bei
der "UND"-Verknüpfung ist
die Ableitung innerhalb eines Wartungsintervalls zuerst 0 und fällt dann
ab; mit zunehmender Anzahl Wartungsintervalle fällt sie stärker: Zu Beginn eines Wartungsintervalls
ist die Ausfallrate der Komponente 0; somit bewirkt sie keinen Anstieg
der Systemausfallwahrscheinlichkeit. Mit zunehmender Zeit im Wartungsintervall
steigt die Ausfallrate, somit auch die Auswirkung auf die Systemausfallwahrscheinlichkeit.
Je mehr die Wartungsintervalle in der Zukunft liegen, desto gravierender
wirkt sich die höhere Ausfallrate
am Ende der Missionszeit aus, da eine Verkürzung gerade diese kritischen
Enden immer öfter
ausgeblendet hätte.
- – Bei
der "UND"-Verknüpfung mit
zwei unterschiedlichen Missionszeiten bewirkt eine Wartung eines
Basisereignisses einen Anstieg der Sensitivität des zweiten Basisereignisses
mit der längeren
Missionszeit: Die höhere
Ausfallrate des zweiten Basisereignisses hat nun allein Einfluss
auf die Systemausfallwahrscheinlichkeit und somit relativ ein höheres Gewicht.
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Für die oben
angegebene Funktion
(B1 oder B2) und B3 bzw.
F(t) := B1
oder B2(t, lamda0, t0, lamda1, t1)
ExpModulo(t, lamda1, t2);
werden
die Parameter ti variiert.
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21 zeigt
das Topereignis von oben TE = (B1 oder B2) und B3 für (t0 =
600, t2 = 20), (t0 = 630, t2 = 25) und (t0 = 660, t2 = 30). Aus 22 ist
die Ableitung nach t0 für
(t0 = 630, t2 = 25) ersichtlich. 23 zeigt
die Ableitung von TE nach t2 für
(t0 = 630, t2 = 25).
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24 zeigt
TE für
(t0 = t1 = 630, t2 = var, t = 590/635). Ferner zeigt 25 TE
für (t0
= t1 = var, t2 = 25, t = 590/635). Der Ausdruck "var" bedeutet, dass
TE über
t2 bzw. t0 aufgetragen ist, wie aus den 24 und 25 ersichtlich.
Ferner bedeutet das Zeichen "/", dass TE sowohl
für t =
590 als auch für
t = 635 dargestellt ist.
-
Die 26, 27 und 28 zeigen
TE mit unterschiedlichen Werten für t0, wobei in 26 t0
= 600, in 27 t0 = 630 und in 28 t0
= 660 ist. Der Wert für
t2 ist dabei 25.
-
Die 29, 30 und 31 zeigen
TE mit unterschiedlichen Werten für t2, wobei in 29 t2
= 20, in 30 t2 = 25 und in 31 t2
= 30 ist. Der Wert für
t0 ist dabei 600.
-
Berechnung
der Funktionswerte, Test 1:
lamda0 := .1 10–5
lamda1
:= .1 10–5
lamda2
:= .1 10–5
t
:= 590
t0 := 600, t1 := 600, t2 := 25
TopEreignis (590)
:= .1768944364 10–7
t0 := 630, t1
:= 630, t2 := 25
TopEreignis (590) := .1768944364 10–7
Faktor
1.0
t0 := 660, t1 := 660, t2 := 25,
TopEreignis (590)
:= .1768944364 10–7
Faktor 1.0
t0
:= 630, t1 := 630, t2 := 20
TopEreignis(590) := .1179304105
10–7
t0
:= 630, t1 := 630, t2 := 25
TopEreignis(590) := .1768944364
10–7
Faktor
1.5
t0 := 630, t1 := 630, t2 := 30
TopEreignis(590) :=
.2358584624 10–7
Faktor 1.33
Berechnung
der Funktionswerte, Test 2:
lamda0 := .1 10–5
lamda1
:= .1 10–5
lamda2
:= .1 10–5
t
:= 635
t0 := 600, t1 := 600, t2 := 25
TopEreignis (635)
:= .6999757504 10–9
t0 := 630, t1
:= 630, t2 := 25
TopEreignis (635) := .9999975000 10–10
Faktor
1.42
t0 := 660, t1 := 660, t2 := 25,
TopEreignis(635)
:= .1269193831 10–10
Faktor 126.9
t0
:= 630, t1 := 630, t2 := 20
TopEreignis(635) := .1499986250
10–9
t0
:= 630, t1 := 630, t2 := 25
TopEreignis(635) := .9999975000
10–10
Faktor
0.666
t0 := 630, t1 := 630, t2 := 30
TopEreignis (635)
:= .4999987500 10–10
Faktor 0.5
-
Die
Variation von t0 bzw. t1 bewirkt größere Änderungen des Werts des TopEreignisses
als die von t2 (in Test 2), entsprechend z.B. dem minimalen Wert
der Ableitung nach t0 bzw. t2 an dem nächst kleineren Wartungsintervallzeitpunkt.
-
Nun
sollen die Auswirkungen der Variation der Missionszeiten auf das
Maximum untersucht werden. Hierfür
wird z.B. das Maximum der in 32 dargestellten
Funktion TE (TopEreignis) bestimmt:
TE = (B1 oder B2) und B3
für t0 = t1
= 600 und t2 = 25
im Intervall t = [0, 1300];
-
Die
Ergebnisauswertung liefert:
t0 =t1 := 598 und t2 = 25:
TE(1195.99)
= .2504644023 e-7
t0 =t1 := 599 und t2 = 25:
TE(1197.99)
= .2750175563 e-7
Faktor 1.09
t0 =t1 := 600 und t2 = 25:
TE(1199.99)
= .2996915332 e-7
Faktor 1.08
t0 =t1 := 601 und t2 = 25:
TE(1199.99)
= .2996915332 e-7
Faktor 1
t0 = t1 := 602 und t2 = 25:
TE(1199.99)
= .2996915332 e-7
Faktor 1
t0 = t1 := 600 und t2 := 23:
TE(1195.99)
= .2738692631 e-7
t0 = t1 := 600 und t2 := 24:
TE(1199.99)
= .2876989309 e-7
Faktor 1.05
t0 =t1 := 600 und t2 :=
25:
TE(1199.99) = .2996915332 e-7
Faktor 1.04
t0
= t1 := 600 und t2 := 26:
TE(1195.99) = .3096073453 e-7
Faktor
1.03
t0 =t1 := 600 und t2 := 27:
TE(1187.99) = .3172057111
e-7
Faktor 1.02
t0 =t1 := 600 und t2 := 30:
TE(1199.99)
= .3596533453 e-7
Faktor 1.13 (max!)
-
Die
Auswirkung der Variationen ist auch in den 33 bis 35 dargestellt,
wobei 33 eine Variation von t0 und 34 eine
Variation von t2 repräsentiert,
die detaillierter auch aus 35 ersichtlich
ist.
-
Im
Gegensatz zur vorherigen Analyse der Missionszeitenvariation werden
nun drei ähnliche Missionszeiten
genommen und variiert. Hierfür
wird z.B. das Maximum der in 36 dargestellten
Funktion TE (TopEreignis) bestimmt:
TE = (B1 oder B2) und B3
für t0 = 550,
t1 = 600 und t2 = 650
im Intervall t = [0, 1300].
-
Ferner
zeigt 37 die Funktion TE im Intervall
t = [0, 7000].
-
Die
Ergebnisauswertung liefert:
t0 := 530, t1 := 600, t2 := 650,
TE(529.99)
= .5613326587 e-6
t0 := 540, t1 := 600, t2 := 650,
TE(539.99)
= .5827060847 e-6
t0 := 550, t1 := 600, t2 := 650,
TE(549.99)
= .6044792930 e-6
t0 := 560, t1 := 600, t2 := 650,
TE(559.99)
= .6266508527 e-6
t0 := 570, t1 := 600, t2 := 650,
TE(569.99)
= .6492221906 e-6 (max!)
-
Die
Auswirkung der Variationen ist auch in den 38 bis 40 dargestellt,
wobei 38 eine Variation von t0, 39 eine
Variation von t1 und 40 eine Variation von t2 repräsentiert.
Eine Variation von t1 bzw. t2 bringt keine neuen Maxima.
-
Ferner
wird eine Zusatz-Analyse im Intervall [3000, 4000] durchgeführt. Die
Funktion TE (t0 = 550, t1 = 600 und t2 = 650) in diesem Intervall
ist in 41 dargestellt.
-
Folgende
Werte ergeben sich für
ausgesuchte Parameterkombinationen:
t0 := 560, t1 := 600, t2
:= 650,
TE(3899.99) = .5455718742 e-6
t0 := 570, t1 :=
600, t2 := 650,
TE(3899.99) = .5066169773 e-6
t0 := 550,
t1 := 580, t2 := 650,
TE(3249.99) = .5520643381 e-6
t0
:= 550, t1 := 590, t2 := 650,
TE(3249.99) = .5196021594 e-6
t0
:= 550, t1 := 580, t2 := 650,
TE(3899.99) = .3053114410 e-6
t0
:= 550, t1 := 590, t2 := 650,
TE(3899.99) = .2663418660 e-6
t0
:= 550, t1 := 600, t2 := 650,
TE(3899.99) = .2273699519 e-6
t0
:= 550, t1 := 600, t2 := 660,
TE(3299.99) = .5605551336 e-6
(max!)
t0 := 550, t1 := 600, t2 := 670,
TE(3299.99) =
.5265920358 e-6
-
Die
Auswirkung der Variationen ist auch in den 42 bis 44 dargestellt,
wobei 42 eine Variation von t0, 43 eine
Variation von t1 und 44 eine Variation von t2 repräsentiert.
Ferner zeigen die 45 bis 47 Ableitungen
nach t0, t1 bzw. t2 für
(t0 = 550, t1 = 600, t2 = 650).
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Wie
oben bereits beschrieben, ist das Ziel die Minimierung der Funktion "TopEreignis" (TE) abhängig von
der Zeit t und Parametern "Missionszeiten". Dabei können zur
Nullstellenbestimmung, insbesondere der Funktion MAXBCL≤t≤ΒCR{TE(t,
MZ1, MZ2, MZ3, MZ4, ...)} – TESoll !=! 0,
mehrdimensionale, stabile Standardverfahren, wie z.B. das mehrdimensionale Newtonverfahren,
gradientenbasiert, verwendet werden.
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Aus 48 ist
ein Ergebnis der Optimierung ersichtlich, wobei alte Funktionswerte "alt" und optimierte Funktionswerte "opt" mit TEoptt(t) < 3e-7 dargestellt
sind.
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48 zeigt
dabei die alten Funktionswerte "alt" der Funktion TE(t)
= (B1 oder B2) und B3 bzw. insbesondere ihre Maxima ausgewertet über dem
Intervall [3000, 6000] mit den Missionszeiten
MZ1 :=
550, MZ2 := 600, MZ3 :=
650.
-
Ihr
Maximum liegt an der Stelle
f(5849.99415) = 0.5196108310e-6.
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Eine
Optimierung führt
zu den geänderten Missionszeiten
MZ1 := 384.0855128, MZ2 :=
398.0522588, MZ3 := 477.8097289 mit dem
dargestellten geänderten Funktionsverlauf "opt" sowie dem Maximum
f22(3822.47401) = 0.2892541630 10 e-6, und
dem hiermit erfüllten
Abbruchkriterium gemäß der Forderung
TESoll = 0.3 e-7.
-
Es
versteht sich, dass die vorstehend genannten Merkmale der Erfindung
nicht nur in der jeweils angegebenen Kombination, sondern auch in anderen
Kombinationen oder in Alleinstellung verwendbar sind, ohne den Rahmen
der Erfindung zu verlassen.