DE102004061485A1

DE102004061485A1 - Doppelt gekrümmte Schale

Info

Publication number: DE102004061485A1
Application number: DE102004061485A
Authority: DE
Inventors: Florian Tuczek
Original assignee: Tuczek Florian Dipl-Ing Architekt
Current assignee: Tuczek Florian Dipl-Ing Architekt
Priority date: 2004-12-21
Filing date: 2004-12-21
Publication date: 2006-06-29
Anticipated expiration: 2024-12-22
Also published as: US7591108B2; DE102004061485B4; WO2006066677A1; US20070251161A1

Abstract

Triangulierte Schalen sind frei formbar, aber unwirtschaftlich gegenüber Translations-Schalen, die nur flach sein können. Streck-Trans-Schalen sind in Anzahl und Anordnung der Öffnungen begrenzt. Deshalb soll sowohl eine frei geformte, maßgeschneiderte als auch eine regelmäßig geformte, serienmäßige Schalen-Fläche möglichst gleichmäßig aus vorteilhaft viereckigen Maschen-Elementen mit koplanaren Eckpunkten zusammengesetzt werden können. DOLLAR A Die Flexibilität eines Dreiecksnetzes von Schalen-Stücken (24) im Großen ist mit der Ebenmäßigkeit eines Vierecksnetzes für Maschen (12) im Kleinen kombiniert, wobei dreieckige Maschen (29) am Rand benachbarter Vierecksnetze paarweise zu unregelmäßig viereckigen Maschen (31) mit koplanaren Eckpunkten (13, 27) zusammengefasst sind. DOLLAR A Die Schale eignet sich besonders als energiesparend geformter Hochbau wie Wochenendhaus, Notunterkunft, Sternwarten-Kuppel, Gebäude- oder Innenhof-Dach, als Hülle eines großen Geschossbaues oder als Sport- oder Industriehalle. Sie eignet sich außerdem als Teil eines Gewölbes sowie als komplexe Schale aus einer einzigen kontinuierlichen Fläche für Ausstellungs- oder Empfangsgebäude. Innerhalb einer Einzel-Schale sind Teile von Stützkuppel, Kissendach, Isler-Schale oder Blob kombinierbar.

Description

Die Erfindung betrifft eine doppelt gekrümmte Schale insbesondere im Hochbau.
Eine solche Schale ist aus Bauelementen maßgeschneidert oder serienmäßig vorgefertigt. Sie ist nur synklastisch oder nur antiklastisch oder sie ist gemischt gekrümmt möglich (synklastisch = gleichsinnig gekrümmt = im Guaß'schen Sinne positiv gekrümmt; antiklastisch = gegensinnig gekrümmt = im Gauß'schen Sinne negativ gekrümmt).
Dort, wo für die allgemein bekannten und erst recht für die neueren Schalen-Formen und ihre Teile bislang allgemein anerkannte oder einheitlich definierte Fachausdrücke fehlen, sind im Text bildhafte, „plastische" Ausdrücke benutzt. Diese sind bei ihrer ersten Nennung und ihrer Definition in Anführungszeichen hervorgehoben.
Jedes Schalen-Stück besteht aus einzelnen „Maschen", d. h. aus kleinen, lückenlos aufgereihten drei-, vier- oder sechseckigen Einheiten, die durch lineare, lastabtragende Bauelemente wie z. B. Stäbe begrenzt sind, oder die selbst flächige, lastabtragende Bauelemente darstelllen. Diese Bauelemente sind in sich gerade oder gekrümmt. So ist die äußere und/oder inwändige Geamt-Oberfläche einer erfindungsgemäßen Schale überall entweder glatt oder facettiert. Die Gesamt-Oberfläche ist deshalb stetig, weil die Gesetzmäßigkeit der Zusammensetzung jeweils eines Schalen-Stücks sich im benachbarten Schalen-Stück fortsetzt. Ein Beispiel für solch eine Schale aus meist dreieckigen Maschen ist eine geodätische Kuppel. Sie besteht aus großen, aus einer Vielzahl von Maschen zusammengesetzten dreieckigen „Kappen" als Schalen-Stücken, die zu fünfmal größeren fünfeckigen Kappen, von ihrem Erfinder „icosa-cups" genannt, oder in noch weiter nach unten sogar über eine Halbkugel hinaus erweiterter Form zu einer großen, steilwandigen Kuppel zusammengestzt werden können.

Schalen mit möglichst regelmäßiger Einteilung in Dreiecksflächen einschließlich Geodätischer Kuppeln ( US 2,682,235 ) haben aber den Nachteil insgesamt großer Stab- und Fugenlängen im Verhältnis zur Hüllfläche. Zudem entsteht bei der Herstellung der kleinen dreieckigen Bauelemente viel Verschnitt. Deshalb sind Schalen aus Maschen mit mehr als drei Ecken günstiger. Außerdem wirkt bei diesen Schalen die Hüllfläche bei gleicher Anzahl ebener Teilflächen weniger rauh, weil die Ecken, an denen mehrere Facetten zusammentreffen, stumpfer sind.

Geodätische Kuppeln bestehen aus meistens dreieckigen Maschen in dreieckigen Schalen-Stücken mit Rändern auf Netzlinien in Ebenen sich durchkreuzender Großkreise. Die Rand-Ebenen von deren Stücken enthalten meistens die Kanten eines gedachten Ikosaeders. Wenn sie statt dessen die Kanten eines aufgezelteten Würfels als bestimmendem Polyeder enthalten, ist die typische Feinteilung in einem Dreiecksraster von Großkreis-Segmenten wegen der starken Wölbung der hier sehr ungleichseitigen dreieckigen Schalen-Stücke besonders unregelmäßig. (P. Huybers, G. van der Ende: Polyhedral Sphere Subdivisions; in: G. C. Giuliani (Hrsg.): Spatial Structures: Heritage, Present and Future, International Association for Shell and Spatial Structures International Symposium, Mailand, 1995, S. 189 ff, 13).

Dreieckige, aus dem Achtel einer in dieser Art unterteilten Kugel gebildete Kappen mit Eck-Winkeln von 90° finden in Computerprogrammen beim Abrunden von Quadern Anwendung. Ebene Maschen mit viereckiger Form sind als Alternative hierfür bislang unbekannt. Die Ausrundung von Quadern samt Wölbung ihrer Seitenflächen in der Modellierung von Computerprogrammen mittels Splines und Nurbs oder mit zwei Scharen von Linienzügen, welche sich in der Oberfläche rechtwinklig kreuzen, hat unebene Maschen zur Folge und verursacht nicht selten hohe Datenmengen.

Eine geodätische Ikosaeder-Kuppel aus kleinen, ebenen, viereckigen rauten- oder drachenförmigen Maschen, die jeweils aus zwei vereinigten benachbarten koplanaren Teilflächen zweier benachbarter, zu sehr flachen Pyramiden aufgezelteter, nahezu gleichseitiger dreieckigen Maschen bestehen, hat wegen der Spitzwinkligkeit der Maschen die gleichen Nachteile wie die aus den ursprünglichen Dreiecksmaschen.

Neben den geodätisch geteilten Kugeln gibt es konvexe, kugelähnliche, aus sehr vielen Flächen bestehende Polyeder, aus denen sich facettierte Schalen bilden lassen, die mit ihren vielfältigen Symmetrien an geodätische Kuppeln erinnern, aber aus kompakteren, viereckigen Flächen bestehen: Sogenannte „Duals of Transpolyhedra" (H. Lalvani: Transpolyhedra | Dual Transformations by Explosion – Implosion, Papers in Theoretical Morphology 1, Published by Heresh Lalvani, New York, 1977, Library of Congress Card Number: 77 – 81420).

Die ebenen viereckigen Maschen des „Dual" von 8 in „Plate 27" auf S. 67 wären aber niemals in eindeutiger Weise unter Beibehaltung der Eckpunkte zu krümmen, weil diese facettierte Schale durch wiederholtes, überall stattfindendes Einfügen von neuen und ein darauf folgendes einmaliges Herausnehmen überall von alten, ebenfalls immer ebenen Teilflächen entstanden ist. Zudem ist wegen dieses ebenda auf S. 19 und S. 60 beispielhaft dargestellten Entstehungsprozesses der Teilungsgrad eines kleinstmöglichen, durch Spiegeln; Drehen und Kopieren wiederholten, innerhalb eines räumlich sektoralen Bereichs des Polyeders befindlichen, facettierten Schalen-Stücks nicht beliebig, sondern auf 2, 4, 8, 16, ... beschränkt. Und nicht zuletzt hat jedes Maschen-Viereck solch einer Einheit nur disparallele Seiten (schlecht zu erkennen an manchen Stellen der Handzeichnungen von Lalvani). Die Folge: Viele verschiedene Kanten-Längen, ein grundsätzlich unregelmäßiges Bild und wenig Verformumngs-Möglichkeiten. Deshalb sind keine gebauten Duals of Transpolyhedra bekannt.

Weniger verbreitet als geodätische Kuppeln beim Bau von elementierten Schalen sind Translationsschalen – in facettierter Form aus vielen Parallelogrammen bestehend. Sie ermöglichen im Gegensatz zum bisher Beschriebenen gleichermaßen syn- und antiklastische Bereiche.

Ihr Nachteil ist, daß sie relativ flach sind. In steileren Bereichen würden nämlich selbst bei sehr symmetrischer, regelmäßiger, d. h. kreisrunder Grundriß-Form der Schale als Rotationsparaboloid die Maschen-Vierecke sehr spitzwinklig und gestreckt, wodurch der Fugenanteil ebenfalls hoch würde und spitzwinklige Sonderknoten konstruiert werden müßten.

Aber selbst bei einem flachen Rotationsparaboloid wird der Vorteil möglicher gleicher Kantenlängen leider durch Sonderlängen am ebenen Schalen-Auflager-Rand sowie durch unregelmäßige Fächen-Anschnitte dort, die wiederum zufällig und willkürlich Dreiecke und Fünfecke entstehen lassen, gemindert.

Sogenannte „Streck-Trans-Flächen" erweitern die Möglichkeiten der Formung von doppelt gekrümmten Schalen gegeüber konventionellen Translations-Flächen. (Annette Bögle: „weit breit – Netzschalen/floating roofs – Grid Shells" in: A. Bögle, P. Cachola Schmal, I. Flagge (Hrsg.): „leicht weit – Light Structures – Jörg Schlaich, Rudolf Bergermann", (Ausstellung des DAM Frankfurt, 2004), München, 2003, S. 113 – 129; Hans Schober: „Glasdächer und Glasfassaden/Glass Roofs and Glass Facades" in: Sophia und Stefan Behling (Hrsg.): „Glas – Konstruktion und Technologie in der Architektur/Glass – Structure and Technoloy in Architecture", München, 1999, S. 68 – 73).

Im Gegensatz zu einer Translationsfläche ermöglichen Schalen aus einer Streck-Trans-Fläche in manchen Fällen auch steilwandig oder sogar nach außen geneigt am Boden ansetzende, zumindest teilweise synklastische Schalen, im folgenden „Blobs" genannt, wie beispielsweise die obere, dem Stand der Technik entsprechende, rechtwinklig am Boden ansetzende Schale (1) in 1, welche eine senkrechte, ebene Öffnung (2) hat, die durch einen antklastisch gekrümmten, freien Rand-Bereich der Schale, der im folgenden „Ausstülpung" genannt wird, selbstrragend stabil ist. Die Form der Schale erinnert an die Oberfläche eines Tropfens Wasser oder Öl, der an einem Hahn hängt und anfängt, abzutropfen, allerdings habiert, um 90° gedreht und verzerrt.

In 1 wird die Problematik von Schalen mit Streck-Trans-Maschenteilung ausführlich dargestellt, um eine entprechende, erfindungsgemäße Schale wie in 152 so deutlich und vergleichbar wie möglich vom Stand der Technik abzugrenzen.

Die obere Schale (1) in 1 kann im Gegensatz zu Translationsschalen ohne willkürlich angeschnittene Maschen auskommen. Ein viereckiger Ausschnitt (3) solch einer Schale, im folgenden „Vierecks-Stück" genannt, soll genauer beschrieben werden:
Es liegt zwischen vier Eckpunkten (4, 5, 6, 7), die im folgenden „Eck-Knoten" genannt werden.

Es hat ein geometrisches Netz aus zwei in den Richtungen zweier die Eck-Knoten verbindender Rand-Seitenlinien (8, 9), im folgenden „Schar-Ränder" genannt, verlaufenden und sich dabei durchkreuzenden Scharen langer, gekrümmter Linien (10, 11), im folgenden „Schar-Linienzüge" genannt, die viereckige, flächige Maschen (12), im folgenden „Vierecks-Maschen" genannt, in beliebiger Anzahl bilden, welche jeweils vierwertige Knotenpunkte (13) als Ecken haben, die durch gerade Linien (14, 15) verbunden sind. Diese werden im folgenden „Sehnen" genannnt. Jeweils 4 Sehnen bilden den Rand einer Masche. Von diesen sind nur einmal zwei gegenüberliegende (14) parallel. Eine Masche hat damit die Form eines Trapezes. Die Schar-Linienzüge sind in der baulichen Umsetzung meinstens Polygonzüge zwischen vielen ebenen Maschen mit Füllungen aus planebenem Material, wodurch die Sehnen zu Polygonzug-Abschnitten werden. Die zentrische „Streckung" – hier Schrumpfung – des in einer vertikalen Ebene gelegenen Schar-Randes (8) mit dem Ergebnis verschieden großer, aber in sich gleich proportionierter ebener Schar-Linienzüge (10) ist von Bezugspunkten in der hier räumlich gekrümmten, zentralen Bezugslinie (16) aus erfolgt.

In den Zeichnungen sind alle gekrümmten Maschen-Randlinien (14, 15), die nur einmal ausnahmsweise rechts für eine vergrößerte Mascche auch gekrümmt gezeichnet sind, durch Sehnen (14, 15) ersetzt. Wenn nicht ausdrücklich und ausschließlich von einer facettierten Oberfläche gesprochen wird, können die Sehnen auch durch gekrümmte Linien wieder ersetzt werden. Die flachen Bögen zwischen den Endpunkten (13) paralleler Sehnen (14) unterschiedlicher Länge können die gleiche Form in unterschiedlicher Größe haben.

Die Schar-Linienzüge einer Richtung mit parallelen Sehnen (14) sind eben. Ebenen, in denen ein ebener Schar-Linienzug liegt, werden im folgenden „Schar-Lininzug-Ebenen" genannt. Hier sind diese Ebenen parallel zur Ebene des Schar-Randes (8). Sie durchziehen hier die Schale wie ein Eierschneider die Oberfläche eines geschälten Eis. Im Grundriß bilden sie sich hier als Scharen paralleler Linien ab, wie dessen Schneidedrähte.

Streck-Trans-Schalen haben den Nachteil, daß die nebeneinanderliegenden, aber disparallelen Schar-Linienzüge (11) in einer der zwei Ausbreitungsrichtungen des Netzes bei der hier angewandten regelhaften, von J. Schlaich und H. Schober „zentrisch" genannten Streckung in Zentrumspunkten auf der zentralen Bezugslinie (16) an ihren Enden in einem einzigen Punkt (17) zusammentreffen, wie die Längengrade von einem Globus am Pol, oder wie die Rippen einer Kuppel am Zenith – mit der Folge zwar regelhafter, aber ungünstiger, weil außerordentlich spitzwinkliger Dreiecksmaschen (18) auch hier. Dieser Nachteil konnte durch ein mit der Schale (1) bereits geschehenes „Herausziehen" des „Pols" aus der Schalenoberfläche unter den Rand auf der Grundebene hinweg nur abgemildert werden, was zudem wieder angeschnittene Maschen (19) mit drei- vier- oder manchmal fünfeckiger Form zur Folge hat. Der abgeschnittene Bereich unterhalb der X-Y-Grundebene ist gestrichelt dargestellt.

Die bekannten, gebauten Schalen aus einer Streck-Trans-Fläche beschränken sich folglich bislang auf ziemlich überwiegend konvexe, entlang einer zentralen Bezugslinie (16) entwickelte, meist längliche, überwiegend synklastische Exemplare, die im Gegensatz zur hier dargestellten, eher kugeligen Schale (1) nicht nur an einer einzigen Seite eine Öffnung (2) haben, sondern an zwei gegenüberliegenden Schmalseiten offen sind.

Vier andere Arten von Schalen-Formen im Hochbau können bislang aber auch aus einer Streck-Trans-Fläche nur unzulänglich oder gar nicht hergestellt werden: Stutzkuppeln, „Kissendächer", Schalen mit „Hänge-Umkehrform" und sogenannte „Blobs" Dies wird für jede dieser vier Arten von Schalen-Formen abschnittsweise dargestellt:
Stutzkuppeln sind Kuppeln mit Randbögen in jeweils senkrechter Ebene. Sie sind nur über einem Quadrat, Rechteck, Parallelogramm oder Trapez, nicht aber auf einem beliebigen geradlinig polygonalen Grundriß möglich. Bei einem viereckigen Grundriß müssen zwei Seiten parallel sein.

Eine Stuzkuppel über einem asymmetrischen Trapez muß in einer Streck-Trans-Maschenteilung hergestellt werden, bei der jede – oder bei Abwechslung mit Maschen in Parallelogramm-Form zumindest jede zweite – Masche als Format nur einmal vorkommt. Andere Grundriß-Vielecke können nur durch diagonales Teilen der am Rand liegen sollenden Maschen entstehen. Bei mehr als vier Ecken müssen dabei aber auch wieder zwei Seiten parallel sein. Auch rechteckige Stutzkuppeln haben bereits viele Maschen-Formate.

„Kissendächer" sind linear auf einem Polygon aufgelagerte, überwiegend konvexe Schalen-Körper mit antiklastisch gekrümmten Eckbereichen. (zur Formfindung von Kissendächern s.: K. Bach, B. Burkhardt, F. Otto: Mitteilungen des Instituts für leichte Flächentragwerke, Nr. 18, (IL 18) Seifenblasen/Forming Bubbles, Stuttgart, 1987, S. 234, 235, 22 und 25): Kissendächer aus viereckigen Maschen, die unverwunden, bzw. deren Eckpunkte koplanar sind, sind bislang nicht einmal für möglich gehalten worden (H. Schober, S. 69, 70). Die realisierten Dächer wurden zur Vermeidung der Verwindung der Maschen flach gehalten und brauchten deshalb eine Seil-Unterspannung. Kissendächer aus verwundenen viereckigen Maschen haben bislang immer nur vier Seiten und zwar nur als Rechteck oder Quadrat. Höhere Kissendächer sind trianguliert und weisen noch scharfe Knicke in den kleinen, evtl. antiklastisch gekrümmten Eckbereichen auf.

Schalen mit „Hänge-Umkehrform" sind überwiegend synklastische Schalen mit Eck-Auflagern und nur leichten Ausstülpungen an durch antiklastische Krümmung stabilisierten, frei tragenden Randbogen-Bereichen wie einige von Heinz Isler (E. Heinle, J. Schlaich: Kuppeln, Stuttgart, 1996, S. 187, Abb. unten, l. u. r., S. 222, Bild 94): Diese Schalen sind in bloßer Streck-Trans-Ausführung nicht möglich, weil die Gegenkrümmung im Querschnitt eines antiklastisch aufgebogenenen Randbereichs der überwiegend synklastischen Schale eine Gegenkrümmung in der Linie des Randbogens eines quer dazu liegenden aufgebogenen Randbereichs erzeugen würde, was auch bei der folgenden Art von Schalen-Form gilt.

„Blobs" können offene Ausstülpungen haben, um fließende Übergänge (C2-Übergänge) nicht nur zu hintereinander liegenden konvexen Schalen zu bilden, sondern auch zu in verschiedensten Richtungen liegenden Schalen zu bilden – der Oberfläche eines Tropfens Wasser oder Öl vergleichbar, der auf einer horizontalen, abweisenden Fläche mit einem spitzen Gegenstand in beliebige verschiedene Richtungen auseinandergezogen worden ist, und hierdurch auch mit mehreren anderen Tropfen verbunden ist (Beispiel: Multihalle Mannheim (E. Heinle, J. Schlaich: Kuppeln, Stuttgart, 1996, S. 169). Die unregelmäßig geformte Multihalle hat aber verwundene Maschen und wäre aus Elementen mit koplanaren Eckpunkten bislang nicht annähernd herstellbar.

Die Probleme mit Blobs werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher erörtert:
Die Anzahl der ausgestülpten Öffnungen von Blobs mit Streck-Trans-Teilung ist bislang bestenfalls maximal vier, wenn spitzwinklige Maschen inkauf genommen werden. Ein Paar von gegenüberliegenden geraden Grundrißlinien der Öffnungen bzw. der ebenen Ränder muß auch hier wieder parallel sein – bei einer reinen Translationsschale sind es zwei Paare. Es ist nicht möglich, die Geraden, auf denen diese Grundrißlinien liegen, ein gleichseitiges Dreieck oder ein gleichseitiges oder unregelmäßiges Vieleck mit mehr als vier Seiten bilden zu lassen. Auch schon eine reine Translations-Kuppel mit vier Ausstülpungen in symmetrischer Form hätte das Problem, daß hohe Öffnungen zwangsläufig sehr große Stichhöhen der Kuppel mit sich brächten.

Eine einzelne Ausstülpung ist zwar leicht zu realisieren, wie die obere Streck-Trans-Schale (1) in 1 zeigt. Für eine weitere Ausstülpung mit einer weiteren ebenen Öffnung (2) – nicht hinten sondern links über Eck – muß die Schale zu einer in der linken Hälfte abgewandelten Schale (20) – in 1 unten zu sehen – hin verändert werden. Deren zusätzliche Ausstülpung läßt sich überhaupt nur herstellen, wenn die Richtung der parallelen Schar-Rand-Ebenen, welche sich in der unter der Grundebene liegend dargestellten Grundriß-Projektion als eine Vielzahl von über viele Knotenpunkte hinweg geraden, zueinander parallelen Linien darstellen, in der linken Schalenhälfte um ca. 90* gedreht wird. Die Schale ist dadurch nicht mehr homogen, sondern besteht aus zwei Schalen-Bereichen, einem links und einem rechts der dicken Trennlinie (21), welche durch die Erweiterung vorhandener Maschen eben werden konnte, um so einen neuen parallel zu verschiebenden und zu streckenden Schar-Rand darzustellen.

Aber der Rand-Bogen (22) der neuen, zusätzlichen Öffnung (2) an der linken Seite der Schale setzt zu flach am Boden an, um brauchbar zu sein. Außerdem bekommt die zwangsläufig veränderte allte Öffnung einen statisch ungünstigen Rand-Bogen-Abschnitt (23) mit einer destabilisierend umgekehrten Krümmung, welche direkt aus der eigentlich doch die neue Öffnung stabilisieren sollenden Aufbiegung der ursprünglich dort synklastischen Fläche zu einer Ausstülpung herrührt. Obwohl die Streckung in der linken Schalen-Hälfte nicht regelmäßig, sondern zeitaufwendig intuitiv und maschenweise erfolgt ist, war der Grad an Formbarkeit zu gering gewesen, um diese Gegenkrümmung im vorderen Öffnungsrand zu vermeiden. Die notwendige Drehung der Streck-Richtung um ca. 90° im Grundriß hat außerdem einen Nachteil: Sie macht eine weitere Öffnung auf der Rückseite nahezu unmöglich, weil alle Maschen einer dortigen Ausstülpung links der Trennlinie (21) dann zwangsläufig unregelmäßige Vierecke antatt Trapeze wären.

Tanslations- und Streck-Trans-Schalen sind im folgenden zusammengefaßt als „TST-Schalen" bezeichnet, zumal - je nach Sichtweise – die Tanslationsschale geometrisch ein stärker symmetrischer Sonderfall der Streck-Trans-Schale ist oder die Streck-Trans-Schale als technische Weiterentwicklung ein Sonderfall der Translationsschale ist.

Die bekannten TST-Schalen sind mir flachem Glas verglaste Netzschalen. Ihre Knotenausbildung entspricht DE 37 15 228 C2 , 4 und 5. Mittlerweile sind viele Varianten hierzu entstanden, die auch grobere oder spitzwinkligere Maschenteilungen ermöglichen (R. Lehmann: „Knotensteifigkeit von Tragwerken" in: Sophia und Stefan Behling (Hrsg.): „Glas – Konstruktion und Technologie in der Architektur/Glass – Structure and Technoloy in Architecture", München, 1999, S. 74 – 77, Abb. auf S. 75 u 77, jeweils oben links). Diese Schalen werden fast nur für besondere Innenhöfe und Wintergärten verwandt. Sie bilden also entweder keine abgeschlossenen oder keine eigenständigen, ohne zusätzliche Bauwerke zugängliche oder nutzbaren Räume.

TST-Schalen aus Maschen-Elementen, die in der Fläche der Masche die Last abtragen, wie beispielsweise aus Sandwich-Platten, sind bislang unbekannt.

Der vorliegenden Erfindung liegt das Problem zugrunde, sowohl eine frei geformte und maßgeschneidert herzustellende, als auch eine regelmäßig geformte und serienmäßig herzustellende Schalenfläche möglichst gleichmäßig in viereckige Maschen mit koplanaren Eckpunkten zu unterteilen.

Dieses Problem wird durch die in den Patentansprüchen 1 und 2 aufgeführten Merkmale gelöst, indem die Flexibilität eines Dreiecksnetzes von Schalen-Stücken im Großen mit der Ebenmäßigkeit eines Vierecksnetzes für Maschen im Kleinen kombiniert wird. Besondere Ausführungen sind in den Unteransprüchen 3 bis 22 offenbart.

Alle die Probleme willkürlicher Maschen-Anschnitte und sehr spitzwinkliger regulärer Maschen sowie fehlender Realisierungsmöglichkeiten bei den vier vorgenannten Arten von Schalen-Formen können durch die neuartige Kombination mehrerer, in neuartiger Weise ineinander übergehender TST-Flächen zu Schalen – die als „Transitionsschalen" bezeichnet werden könnten – gelöst werden.

Die mit der Erfindung erzielten Vorteile bestehen darin, daß Schalen mit freier Form oder Kuppel-Form als selbsttragende Konstruktion – sei es als Stab-Tragwerk oder als selbsttragende Plattenkonstruktion – aus vorgefertigten, meist ebenen Elementen gebaut werden können, ohne Vierecksmaschen willkürlich zu zerschneiden.

Viereckige Maschen mit allen 4 Punkten auf einer Ebene sind nicht nur für die Herstellung aus ebenen Platten vorteilhaft. Auch für die Herstellung gekrümmter, flächiger Bau-Elemente bieten sich Vorteile: So kann der Materialblock z.B. aus Hartschaum, aus dem der Kern eines isolierenden, flächigen Bauelements in Maschen-Größe herausgefräst wird, weniger hoch sein. Oder das Blech, das durch Pressen verformt wird, hat weniger innere Spannungen, da es weniger verzogen wird. Oder die Kunststoffplatte, die tiefgezogen wird, hat weniger Dickenunterschiede. Gekrümmte, dicke, flächige Bauelemente können auch aus einem länglichen, gekrümmten Werkzeug heraus in gerümmterr Richtung extrudiert werden, sofern es sich um Translationsflächen handelt.

Symmetrische viereckige Stutzkuppeln können mit wenigen Formaten von viereckigen Maschen hergestellt werden.

Mit freier Grundriß-Form kömmen nun Stutzkuppel, Hänge-Umkehr-Kuppel, und Kissendach oder Blob mit viereckigen Maschen realisiert werden. Nur noch die Ränder von Kissendächern und den Bereichen von Blobs, die als Kissendächer auslaufen, brauchen dreieckge Maschen, jedoch nur in regelhafter Anordnung.

Sebsttragende Kissendacher mit Diagonalschnitten in Glockenform lassen auch in steiler Ausformung wegen ihrer flachen Eckbereiche ohne Grat mehr Sicht frei. Die Größe dieser flachen Bereiche kann variiert werden

Erfindungsgemäße konvexe Blobs können als nahezu sphärische Schalen angesehen werden, die verformt worden sind. Umgekehrt können nahezu sphärische Kuppeln als Spezialfall von Blobs in regelmäßiger Form angesehen werden. Schließlich können Teil-Bereiche von Blobs einerseits und von Kuppeln andererseits zu einer Schale zusammengesetzt werden.

Kuppeln können mit noch weniger Teilen und Teil-Formaten als vergleichbare geodätische Kuppeln hergestellt werden. Gerade mit Würfel-Symmetrie ist eine erfindungsgemäße Schale sehr vorteilhaft. Sie begünstigt saubere Anschlüsse rechtwinklig zueinander befindlicher Trennwände und Geschoßdecken als Wochenendhaus oder Notunterkunft und parallelseitige Öffnungen, zum Beispiel bei Kuppeln von Sternwarten. Aber auch Kuppeln, die bereits konventionell auf ikosaeder-Basis geodätisch geteilt sind, können feiner in TST-Flächen unterteilt werden. Gegenüber den „Duals of Transpolyhedra" ist der Teilungsgrad beliebig; und die Annäherung der Eckpunkte an die Kugeloberfläche ist größer.

Aus den genannten Kuppel-Formen lassen sich auch Ensembles bilden: Während Stutzkuppeln untereinander konventionell zu Gewölben mit Dach-Kehlen als Gurtbögen verbunden werden können, können Hänge-Umkehr-Kuppeln ein gleichsam fließendes Gewölbe mit ausgerundeten Gurtböögen bilden, das aus einer einzigen zusammenhängenden, kontinuierlichen, doppelt gekrümmten Gesamtfläche besteht und sich für Ausstellungs- oder Empfangsgebäude eignet. Kissendächer können mit umgedrehten Kissendächern zu Wellendächern erweitert werden. Blobs können über ebene Öffnungen in beliebiger Anzahl und Ausrichtung fließend miteinander verbunden werden. Blobs können örtlich durch Entfernung von Schalen-Stücken auch zu Kissendächern oder durch weiteren Rückbau zu Stutzkuppeln abgewandelt werden. Ausstülpungen können hinzukommen, weggelassen oder geschlossen werden.

Die kissenförmige Netzschalen-Überdachung eines nach einer Seite offenen Innenhofes kann an dessen offener Seite in eine Schale bis zum Boden übergehen, so daß ein großer, für das Gebäudeklima nutzbarer Wintergarten entsteht (150).

Die Auswahl und Kombination der Schalen-Stücke kann während der Planung vorgenommen werden und mit vetretbarem Aufwand Jahre später zwecks Vergrößerung, Verkleinerung oder Anbau durch Austausch und Ergänzung von Schalen-Stücken verändert werden.

Die neuen Schalen können in transparenter Form aber nicht nur Gebäude-Zwischenräume oder -Öffnungen abschließen. Sie können auch ohne Hilfskonstruktionen die zweite Hülle eines konventionellen massiven Gebäudes bis zum Boden hin bilden.

Sie können aber auch als das Gebäude selbst als halbtransparente oder undurchsichtige, wärmedämmende Plattenkonstruktion mit im Verbund tragenden Schichten für Dach wie Wand hergestellt werden. So können auch geradlinige, eckige Bauwerke wie ein Koffer an Kanten und Ecken „abgerundet" sein, um unnötiges zu beheizendes Volumen und Wärmeverluste durch große Oberflächen oder Auskühlung der Ecken durch Luftwirbel bei Windangriff zu vermeiden. Wenn die im Profil gerundeten Gebäudekanten zudem nicht geradlinig, sondern nach außen gekrümmt verlaufen, wobei die Fassaden- und Dachflächen leicht gewölbt werden – in der Gesamtform vergleichbar mit einem Stück Seife oder einem schmelzenden Eiswürfel – können Schalentragwirkung und gut nutzbares Gebäude-Lichtraumprofil miteinander kombiniert werden (s. 87, 88).

Der Grad der Rundheit des Gebäudes kann dabei durch unterschiedliche Krümmungen beliebig bestimmt werden. So kann eine Industriehalle oder eine gläserne Gebäude-Klimahülle weniger rund sein als eine Sporthalle, die auch mit Zusatzfunktionen wie Tribünen die Form eines Kieselsteins annehmen kann.

Blobs können wie sphärische Kuppeln auch über die Senkrechte am Boden nach unten hinausgehen – vergleichbar einem Kieselstein im Sand oder dem Rumpf eines Schiffes im Wasser. Diese Möglickeit in Verbindung mit derjenigern der freien Formung bewirkt, daß die Anwendung der erfindungsgemäßen Schale sich nicht auf den Bereich des Hochbaus für selbsttragende Wand- und Dachbereiche oder Klimahüllen für ein Gebäude oder einen Gebäudekomplex beschränkt.

Der Patentanspruch 23 erweitert das Anwendungsgebiet über den Hochbau hinaus.

Eine erfindungsgemäße Schale ist ebenso anwendbar beim Bau von Becken, unterirdischen Tunnel-Gewölben, von Schalungen auch aus Faser- oder Textil-Beton für gegossenen Schalen aus z. B. Beton, Holzschaum oder Schaumglas, von geklebten Schalen aus Glas-Elementen aus Alu- oder Holzschaum-Platten, von Blech-Behältern für Schüttgut, bedingt auch für Gase und Flüssigkeiten unter Druck, oder für einschalige oder im Verbund der Schichten gedämmte Hüllen von Fahrzeugen zu Land, zu Wasser, in der Luft und im Weltraum. Ein Schiffs- oder Flugzeugbug kann so geometrisch einfach konstruiert werden. Auch Einrichtungsgegenstände und Design-Objekte wie Sessel-Schalen oder Lampenschirme sind ein Anwendungsgebiet.

Der Patentnaprch 24 erweitert das Anwendungsbebiet des Maschen-Netzes einer erfindungsgemäßen Schale auf Pneus (Drucklufthallen).

Alle erfindungsgemäßen Schalen, die nach im folgenden beschriebenen Regeln und daraus resultierenden, in den Anprüchen 4 bis 23 beschriebenen Merkmalen geometrisch konstruiert sind, sowie Pneus nach Patentanspruch 24 lassen ich sich gemäß Patentanspruch 25 in virtuellen Modellen in Computerprogrammen zur Erstellung von Oberflächen räumlicher Gebilde für diese Anwendungsbereiche generieren.

Einige Ausführungsbeispiele der Erfindung sind in den Zeichnungen dargestellt und werden im folgenden näher beschrieben. Dabei gehen die Beispiele von einfachen, symmetrischen zu komplizierten, asymmetrischen Anordnungen. Einige weitere Möglichkeiten werden nur erwähnt. Auch diese sind nicht erschöpfend im Sinne der Erfindung.
Stäbe und Knoten werden dabei meistens nur als Drahtmodell dargestellt. Außerdem werden zum besseren Verständnis gelegentlich Stabnetzwerke als Papiermodell oder flächige Bauelemente ohne Dicke oder transparent dargestellt. Gemeinsam ist überall das abstrakte Maschen-Netz von Systemlinien, welches im folgenden als „virtuelles Netz" bezeichnet wird, wenn die Materialdicke dargestellt ist.
Schließlich kommt es vor, daß ähnliche Teile dann gleich numeriert werden, wenn ihnen im erläuterten Zusammenhang die gleiche Funktion zukommt. Geometrische Konstruktionslinien und Konstruktionspunkte werden gleich wie verschiedene an dieser Stelle mögliche Gegenstände (Stäbe, Ränder, Knoten, Ecken) numeriert. Sofern eine bessere Unterscheidung einzelner aneinandergrenzender oder sich überlagernder, aber unterschiedlich numerierter Teile nötig ist, sind diese entlang einer grob gestrichelten Linie auseinadergeszogen.
Verschieden proportionierte, dem Wesen nach aber gleiche Gegenstände werden durch Buchstaben oder Buchstaben-Zahl-Kombinationen für ihre unterschiedlichen Formate – in jedem neuen beschiebenen Bausatz, Baukasten oder Baukastensystem wieder von vorne mit A, s1 oder a beginnend – voneinander unterschieden.
Alle räumlichen Darstellungen in den Figuren sind Parallelprojektionen, niemals Zehtralprojektionen; d. h.: Disparallel auf dem Papier sich darstellende Linien stehen niergendwo für parallel gemeinte Linien, die in perspektivischer Verkleinerung scheinbar aufeinander zulaufen.
Zur Orientierung haben fast alle räumlichen Zeichnungen ein kartesisches Koordinatensystem mit strichpunktierten Achsen, deren Ursprung in einem Bezugspunkt innerhalb einer Schale liegt, welcher der Schwer- Mittel- oder Zentrumspunkt der Schale sein kann. Der jeweils vorne liegend dargestellte Quadrant hat positive X- und Y-Werte, die für X nach links ansteigend sind. Die dargestellten Schalen liegen auf der X-Y-Grundebene auf. Manchen Zeichnungen ist zur Verdeutlichung eine senkrechte Projektion der Schale auf diese Ebene oder eine Ebene parallel darunter als Grundriß-Ebene unterlegt.
In den Zeichnungen zeigen:
1 oben eine mit einer ebenen seitlichen Öffnung versehene Schale nach dem Stand der Technik, welche, wie darunter dargestellt, mit einer zweiten Öffnung versehen worden ist;
2 ein dreieckiges Schalen-Stück, im Folgenden „Scherbe" genannt, aus einem viereckigen Ausschnitt einer TST-Fläche, wobei diese darüber widerholt dargestellte Scherbe zusammen mit einem weiteren Scherbe ein erfindugnsgemäßes viereckiges Schalen-Stück, im folgenden „Doppel-Scherbe" genannt, bildet, das besondere ebene Maschen, im folgenden „Naht-Maschen" genannt, aus je zwei dreieckigen Maschen, im Folgenden „Schnitt-Dreiecke" genannt, enthält;
3 die Doppel-Scherbe aus 2 und eine weitere Doppel-Scherbe mit anderem Format, die mit der ersten am Zenith an einer ihnrer Ecken zusammentrifft;
4 die geometrische Konstruktion der Doppel-Scherben aus 3;
5 eine Schale aus den zwei Doppel-Scherben aus 3 und zwei bekannten Vierecks-Flächen aus Scherben der gleichen Formate wie die der erfindungsgemäßen Doppel-Scherben;
6 eine Stutzkuppel aus drei Doppel-Scherben des ersten Formats aus 3;
7 eine Stutzkuppel aus drei Doppel-Scherben des zweiten Formats aus 3;
8 die geometrische Konstruktion einer an einer synklastischen Scherbe der dreieckigen Stutzkuppel aus 6 abgeschleppen, antiklastischen Scherbe;
9 ein Kissendach aus Scherben der Formate von 8 und deren Spiegelbildern;
10 rechts die geometrische Konstruktion einer an einer synklastischen Scherbe der sechseckigen Stutzkuppel aus 7 abgeschleppen, antiklastischen Scherbe, sowie links ein halbes Kissendach aus Scherben der dortigen Formate und deren Spiegelbildern;
11 ein Gewölbe aus dreieckigen, viereckigen und sechseckigen Stutzkuppeln;
12 ein Kissendach auf der Grundfläche eines Parallelogramms;
13 ein Kissendach auf der Grundfläche eines Trapezes;
14 ein Kissendach auf der Grundfläche eines Fünfecks;
15 ein Wellendach aus Kissendächern;
16 die geometrische Konstruktion einer Stutzkuppel mit räumlich gekrümmten Rändern;
17 die schräge Aufsicht auf die Grundriß-Projektion einer gemäß 16 entstandenen Stutzkuppel innerhalb eines Gewölbes;
18 eine fertige viereckige Stutzkuppel mit räumlich gekrümmten, also unebenen Rändern, die allseitig zu einem Kissedach erweitert wird;
19 ein Kissendach auf der Grundfläche eines Dreiecks mit gekrümmten Seiten-Rändern – als Ergebnis der Erweiterung aus 18;
20 die geometrische Konstruktion einer Stutzkuppel mit ebenen und unebenen Rändern;
21 eine gemäß 20 generierte Stutzkuppel mit Streck-Trans-Maschenteilung;
22 eine Stutzkuppel mit ebenen Rändern über dreieckiger Grundfläche, bestehend aus trapezförmigen Machen mit nur wenigen verschiedenen Formaten;
23 die geometrische Konstruktion einer Scherbe mit Streck-Trans-Maschenteilung der Stutzkuppel aus 22;
24 die geometrische Konstruktion einer Stutzkuppel über der Grundfläche eines unregelmäßigen geradlinigen Vierecks;
25 die Erweiterung der als Netz dargestellten Stutzkuppel aus 24 zu einem asymmetrischen Kissendach;
26 eine Schale mit aufgebogenen Randbereichen und ebenen freien Rändern auf quadratischer Grundfläche;
27 die geometrische Konstruktion eines Achtels der Schale aus 26;
28 eine Schale mit aufgebogenen freitragenden Randbereichen und ebenen Öfnnungen auf den Randlinien eines gleichseitigen Dreiecks;
29 die geometrische Konstruktion eines Sechstels der Schale aus 28;
30 eine Schale mit topologisch gleichem Maschen-Netz wie die in 28, aber anderen Proportionen;
31 ein ebenes ausgerundetes Tunnel-System aus Schalen von 30;
32 einen räumlich sektoralen Bereich, der eine Scherbe enthält, die an einem Würfel als konvexem Grund-Polyeder aufgewölbt wurde, sowie zwei verschiedene Kappen aus mehreren Doppel-Scherben an diesem Würfel, in abgerückter Darstellung;
33 die sich schneidenden Ausschnitte der Ebenen von Rändern und Linienzügen einer Scherbe mit Translations-Maschenteilung an bzw. über einem Würfel-Teilstück;
34 die geometrische Konstruktion einer Scherbe aus einem Netz sich kreuzender Linienzüge in den Ebenen gemäß 33;
35 eine dreieckige Kappe aus drei Doppel-Scherben mit dreigeteilten Scherben-Rändern und mit Translations-Maschenteilung, gelegen an einer Würfel-Ecke;
36 die sich schneidenden Ausschnitte der Ebenen von Rändern und Linienzügen einer Scherbe mit Streck-Trans-Maschenteilung an bzw. über einem Würfel-Teilstück;
37 die geometrische Konstruktion einer Scherbe aus einem Netz sich kreuzender Linienzüge in den Ebenen gemäß 36;
38 eine dreieckige Kappe aus drei Doppel-Scherben mit Streck-Trans-Maschenteilung an einer Würfel-Ecke;
39 ein kleines Wohnhaus mir einer Maschenteilung aus wenigen Maschen-Formaten im Zuschnitt gemäß 38 sowie aus Sonder-Formaten von Maschen an den Gebäudeöffnungen;
40 den Querschnitt durch einen Stoß zwischen zwei Kantblechen für jeweils eine Masche;
41 den Querschnitt durch einen Stoß zwischen zwei Sandwich-Paneelen für jeweils eine Masche;
42 die Kuppel einer Sternwarte;
43 eine um einen Würfel herum generierte Kuppel mit einem schraffierten, einer Raute ähnlichen, räumlichen Viereck, das aus vier großen, gemischt gekrümmten Scherben besteht, von denen eine zusätzlich nach unten herausgezogen ist;
44 eine antklastische Scherbe innerhalb eines als Ausschitt dargestellten infiniten Polyeders unten und eine synklastiche Scherbe an einem konvexes Polyeder, das in das als kleiner Ausschnitt dargestellte und weiter oben nur angedeutete infinite Polyeder eingefügt ist – beide Scherben auch als Teil einer Doppel-Scherbe;
45 eine synklastische und eine benachbarte antiklastische Scherbe mit Translations-Maschenteilung sowie eine antklastische Doppel-Scherbe;
46 eine synklastische und eine benachbarte antiklastische Scherbe mit Streck-Trans-Maschen-Teilung und mit gleicher Ausrichtung von entsprechenden, spiegelbildlich angeordneten Sehnen und Maschen in beiden Scherben;
47 eine synklastische und eine benachbarte antiklastische Scherbe mit Streck-Trans-Maschenteilung, beide zentrisch gestreckt;
48 eine synklastische Scherbe mit Streck-Trans-Maschenteilung und eine benachbarte antiklastische Scherbe mit Translations-Maschenteilung;
49 eine dreieckige Kappe aus Scherben, deren Ränder viergeteilt sind;
50 eine annähernde Halbkugel-Schale aus vier Kappen von 49;
51 einen Teil-Bereich aus sechs antiklastischen Doppel-Scherben und ihre Grundriß-Projektion;
52 eine kontinuierliche, umfassende, antiklastische Schale, welche in den Ausschnitt eines infiniten Polyeders aus Würfeln eingespannt ist;
53 einen Schalen-Teil-Bereich aus vier antiklastischen Doppel-Scherben und einer synklastischen Doppel-Scherbe;
54 eine Schale mit vier seitlichen, senkrechten, ebenen offenen Ausstülpungen, die sich aus vier Teil-Bereichen von 53 zusammensetzt;
55 einen Schalen-Teil-Bereich aus zwei synklastischen und zwei antiklastischen Doppel-Scherben;
56 eine Schale, die aus zwei Kappen gemäß 49 und einem Teil-Bereich gemäß 55 sowie dessen Spiegelbild besteht, und die nur an einer Seite ausgestülpt und offen ist, sowie deren Grundriß-Projektion;
57 drei in zwei fließenden Übergängen aneinander anschließende Schalen mit jeweils verschieden vielen Ausstülpungen;
58 einen Teil-Bereich aus zwei oberen Bereichen von 5;
59 ein Wellen-Dach aus neun Teil-Bereichen gemäß 58;
60 ein quadratisches Kissendach, umgeben von drei von diesem kopierten Viertel-Bereichen;
61 eine spektakuläre Kombinationen von Scherben der Formate aus 49 und 51;
62 eine Schale mit einer offenen Ausstülpung und einer durch eine Konche aus Scherben eines kleineren Formats geschlossenen Ausstülpung;
63 eine durchgängige, umfassende, gemischt gekrümmte räumliche Schale mit einem Wellendach, einem Hof sowie offenen oder geschlossenen Ausstülpungen;
64 eine verformte, kleine Halbkugel-Schale aus Scherben des für die Konche in 62 geschaffenen Formats;
65 eine Viertel-Schale bzw. ein Wellendach mit dreizähliger Symmetrie;
66 die Umformung einer Schale mit mehrfach wechselnder Krümmung in einer „auszubeulenden" Region auf deren Vorderseite, die vergrößert herausgezogen dargestellt ist;
67 die Umformung der zu 66 spiegelbildlichen Schale in einer „auszubeulenden" Region auf deren nach vorne gedrehter Rückseite;
68 eine Schale als Ergebnis der Umformungen in 66 und 67 mit herausgenommenen, aus zwei Scherben bestehenden, aber dreieckigen Schalen-Stücken, im folgenden „Scherben-Paare" genannt;
69 ein zu veränderndes Scherben-Paar und das durch Vertauschung gleich geneigter Sehnen veränderte Scherben-Paar als Ergebnis;
70 ein auf je einen Rand beider Scherben aus 69 und nur unmittelbar an diesen Rand anschließende Sehnen reduziertes Scherben-Paar;
71 die in vertikalen Ebenen gekürzten Sehnen von 70 und die ersten Sehnen quer dazu;
72 die neuen Schar-Linienzüge, die sich innerhalb von vertikalen Ebenen befinden, und die aus parallelen Kopien der Sehnen aus 71 gebildet sind;
73 das fertig veränderte neue Scherben-Paar als Ersatz für dasjenige in 68;
74 eine synklastische Schale aus konventionellen Vierecks-Stücken und erfindungsgemäßen Doppel-Scherben, mit einer Schalen-Öffnung, die nicht zu einer offenen Ausstülpung gehört;
75 zwei aneinandergesetzte Schalen aus den Formaten aus 49 und 51 und denen aus 69 und 73;
76 eine Schale aus einem Teil-Bereich der Schale aus 68 und dessen Spiegelbild;
77 die geometrische Konstruktion eines von den beiden gleich geformten, vertikal ebenen Randlinien her zu einer dreieckigen synklastischen Kappe auszubeulenden, gemischt gekrümmten Bereichs;
78 die Fortsetzung der in 77 begonnenen geometrischen Konstruktion der Kappe bis zu deren horizontalem Rand unten;
79 die fertige Kappe, in einer aus der Schale aus 76 gebildeten Schale eingesetzt, und bestehend aus Scherben einer halben Kappe aus 78 und deren Spiegelbild;
80 drei unterschiedliche, benachbarte, dicke Scherben mit in jeder Scherbe gleich ausgerichteten, entsprechenden Kanten und Flächen, sowie mit ebenso entsprechenden Verbindungslinien zwischen außenseitiger und inwändiger Oberfläche;
81 die umzuformende Region der Schale aus 66, dargestellt mit nur einer Richtung von Linienzügen, aber versehen mit den Verbindungslinien aus 80 zur Festlegung der Konstruktions-Dicken;
82 die nach der Ausbeulung umgeformte Region aus 81 mit umsortierten korrespondierenden Sehnen gleicher Ausrichtung;
83 eine Scherbe aus großen Maschen einschließlich der großen Naht-Maschen, die als Kappen aus kleinen Maschen geformt sind;
84 die geometrische Konstruktion eines Schar-Randes in Korbbogen-Form für Scherben in einer Gebäudehülle mit der Form eines gerundeten Quaders;
85 die geometrische Konstruktion einer Scherbe mit einem Schar-Rand von 84;
86 eine dreieckige Kappe aus drei Doppel-Scherben aus Scherben, die gemäß 87 generiert sind;
87 eine tragende Gebäudehülle aus vier dreieckigen Kappen von 86;
88 eine tragende Gebäudehülle aus unterschiedlich skalierten Kappen;
89 eine synklastische Scherbe mit dem Schar-Rand in Korbbogen-Form und eine benachbarte antiklastische Scherbe;
90 eine Schale mit zwei offenen Ausstülpungen aus Scherben der Formate von 89 und ihrer Spiegelbilder;
91 der Beginn der geometrischen Konstruktion einer gestauchten Scherbe mit einem kurzem Schar-Rand in vertikaler Ebene und mit spiegelbildlich angeordnet parallel ausgerichteten entsprechenden Sehnen;
92 die geometrische Konstruktion der Naht-Maschen an dieser gestauchten Scherbe mit Streck-Trans-Maschenteilung;
93 eine gestauchte Doppel-Scherbe, welche eine fertige zweite gestauchte Scherbe mit Translations-Maschenteilung enthält;
94 zwei gestauchte antklastische Doppel-Scherben für aufgebogene freie Schalen-Ränder und eine synklastischen Scherbe, verwendet in einem Achtel-Bereich der halben Schale in 95
95 die durch diagonales Zerschneiden entstandene Hälfte eines Kragdaches mit Mittelstütze, bestehend aus vier Achtel-Bereichen von 94;
96 die durch diagonales Zerschneiden entstandene Hälfte eines offenen Pavillons mit vier Eckstützen und aufgebogenen Dach-Rändern, bestehend aus vier gegenüber 94 veränderten Achtel-Bereichen;
97 gestauchte, antiklastische Doppel-Scherben, zusammengesetzt zu einem Stück eines hohlen Skeletts mit kontinuierlicher Oberfläche;
98 eine synklastische und eine benachbarte antiklastische Scherbe an einem Tetraeder in zweizähliger Grundriß-Symmetrie, sowie verkleinerte Doppel-Scherben hieraus;
99 eine rundum geschlossene, randlose synklastische Schale aus 24 synklastischen Scherben von 98;
100 eine kontinuierliche, umfassende, antiklastische Schale, welche in den Ausschnitt eines infiniten Polyeders aus Tetraedern und Oktaedern eingespannt ist;
101 drei dreieckige Kissendächer, die um ein Tunnel-Stück herum gruppiert sind;
102 eine Schale, von oben zu sehen, die aus Teilen von 99 und 100 besteht, und die zwei geneigt ebene, gradlinige spitzwinklige, rahmenförmige Ränder von trompetenförmigen Ausstülpungen und eine dritte Öffnung auch aus Scherben eines weiteren Formats hat;
103 die Schale aus 102, in etwa von der Seite gesehen;
104 eine auf der Seite liegende Schale in der Form eines Stempelgriffs, deren dick abgegrenzter Drittel-Bereich aus der Schale in 103 entnommen ist;
105 eine synklastische Schale, die zwei offene Ausstülüpungen hat, und die aus Teilen von 99 und 100 gebildet ist – auch als eine stark ausgebeulte Tonnenschale anzusehen;
106 eine synklastische und eine benachbarte antiklastische Scherbe an einem halbierten Oktaeder in zweizähliger Grundriß-Symmetrie, sowie verkleinerte Doppel-Scherben, die diese Scherben enthalten;
107 eine Halbkugel-Schale aus Scherben des synklastischen Formats von 106;
108 eine kontinuierliche, umfassende, antiklastische Schale, welche in den Ausschnitt eines infiniten Polyeders aus Würfeln in Schräglage eingespannt ist und aus Scherben des antklastischen Formats von 106 besteht;
109 ein dreieckiges Kissendach;
110 eine überwiegend synklastische Schale mit einer niedrigen Öffnung;
111 eine Schale, die aus zwei Höckern und einem einer Raute ähnlichen räumlichen Viereck dazwischen besteht, und die aus zwei Schalen aus 110 hergestellt ist;
112 eine synklastische Schale, die zwei Ausstülüpungen hat, und die aus zwei vorderen Teil-Bereichen von 110 besteht – insgeamt auch als eine mäßig ausgebeulte Tonnenschale anzusehen;
113 ein Schale aus 112, vorne durch einen dick umrandeten, antiklastischen Teil-Bereich aus 108 erweitert;
114 ein im Längsschnitt gezacktes Oberlicht-Sheddach aus drei Kopien des hinteren Teil-Bereichs aus 112;
115 eine ausgebeulte, gewellte Tonnen-Schale aus drei skalierten Kopien der Schale aus 112;
116 eine synklastische, eine benachbarte antiklastische sowie eine weitere antiklastische Scherbe an einem Tetraeder in einzähliger Grundriß-Symmetrie, sowie zwei verkleinerte Doppel-Scherben hiermit;
117 eine geschlossene synklastische Schale, bestehend aus synklastischen Scherben des Formats von 116;
118 eine Schale mit einer offenen Ausstülpung, bestehend aus Doppel-Scherben der zwei Formate von 116 und eines spiegelbildlichen antiklastischen Formats;
119 eine synklastische, eine benachbarte antiklastische sowie eine weitere antiklastische Scherbe an einem Achtel-Stück eines Pentagonal-Dodekaeders in zweizähliger Grundriß-Symmetrie, sowie zwei verkleinerte Doppel-Scherben hiermit;
120 eine Kuppel, die eine offene seitliche Ausstülpung und eine Ausstülpung oben hat, und die aus Doppel-Scherben eines synklastischen und eines antiklastischen Formats von 119 und einem zu letzterem spiegelbildlichen antiklastischen Format besteht;
121 zwei synklastische und zwei antiklastische Scherben an einem halbierten Kuboktaeder, sowie drei verkleinerte Doppel-Scherben hiermit;
122 eine Kuppel mit einer offenen Ausstülpung, bestehend aus Doppel-Scherben der drei Formate von 121 und zweier spiegelbildlicher antiklastischer Formate;
123 zwei benachbarte synklastische Scherben an einem Achtel-Stück eines gestutzten Ikosaeders, sowie zwei verkleinerte Doppel-Scherben hiermit;
124 das Viertel einer geschlossenen synklastische Schale, bestehend aus Doppel-Scherben der zwei Formate von 123 und eines weiteren, zum kleineren von diesen spiegelbildlichen Formats;
125 vier verschiedene synklastische Scherben an einem Achtel-Stück eines aufgeblähten Ikosaeders oder einem Viertel-Stück einer geodätischen Kuppel, sowie drei verkleinerte Doppel-Scherben hiermit;
126 das Vierteil einer geschlossenen synklastischen Schale, bestehend aus Doppel-Scherben der drei Formate von 125 und einem spiegelbildlichen Format;
127 eine an das unvollständig gezeichnete Spiegelbild einer oberen synklastischen Scherbe anschließende seitliche synklastische Scherbe sowie eine zur oberen Scherbe benachbarte antklastische und eine weitere daran anschließende antiklastische Scherbe, alle an einem dreieckigen Prisma, sowie drei Doppel-Scherben hiermit;
128 eine Schale mit einer offenen Ausstülpung, bestehend aus Doppel-Scherben der drei Formate von 127 und eines spiegelbildlichen antiklastischen Formats, wobei diese Schale zusammen mit drei dreiseitig geöffneten Schalen im Begriff ist, eine umfassende Schale mit kontinuierlicher Oberfläche zu bilden;
129 eine an das unvollständig gezeichnete Spiegelbild einer oberen synklastische Scherbe anschließende synklastische Scherbe und daran noch eine weitere, nicht spiegelbildliche synklastische Scherbe unten, sowie eine zur oberen synklastischen Scherbe benachbarte antklastische Scherbe und drei weitere aneinader hängende antklastische Scherben unterschiedlichen Formats, alle diese Scherben an einem sechseckigen Prisma, sowie vier Doppel-Scherben hiermit;
130 eine flache Schale mit einer offenen Ausstülpung, bestehend aus Doppel-Scherben der vier Formate von 127, außerdem aus Doppel-Scherben eines seitlich eingesetzten spiegelbildlichen synklastischen Formats und zweier spiegelbildlichen antiklastischer Formate;
131 eine umfassend ausgedehnte Schale, bestehend aus zwei allseitig geöffneten Schalen und einer Hälfte von einer solchen Schale, alles bestehend aus Scherben mit Formaten, die in 130 verwendet sind;
132 eine in der Draufsicht dargestellte Schale um einen Würfel, die aus Scherben mit der Ausformung wie in 50 und 52 besteht – als Objekt für eine partielle Skalierung in 133;
133 eine Schale wie in 132, die im linken unteren Bereich gestreckt wurde;
134 eine Schale wie in 133, die im rechten oberen Bereich gestreckt wurde;
135 eine Schale wie in 134, die im linken oberen Bereich gestreckt wurde;
136 eine Schale wie in 135, die im linken oberen Bereich noch einmal gestreckt wurde;
137 eine Schale wie in 135, die als Ganzes skaliert und gedreht wurde;
138 zwei Schafen wie in 136, die aneinandergesetzt wurden und eine kontinuierliche Schalen-Fläche bilden;
139 einen Teil-Bereich auf dem rechten unteren X-Y-Quadrant aus einer Schale wie in 132 mit Winkeln von 45° zwischen den vertikalen Ebenen von zwei Scherben-Rändern;
142 einen Teil-Bereich einer Schale mit gegenüber 139 verkleinerten Winkeln zwischen den vertikalen Ebenen von zwei Scherben-Rändern, von denen einer unverändert ist;
142 einen Teil-Bereich einer Schale mit gegenüber 139 vergrößerten Winkeln zwischen den vertikalen Ebenen von zwei Scherben-Rändern, von denen einer unverändert ist;
142 einige Kissendächer mit verschiedenen ebenen Rand-Polygonen und einige Schalen mit verschieden vielen und verschieden ausgerichtetetn, offenen Ausstülpungen, gebildet aus Scherben der Formate aus 139, 140 und 141 und ihrer Speigelbilder;
143 das geometrische Gerüst einer Schale, die einen Würfel umschreibt;
144 das geometrische Gerüst einer Schale, die ein Prisma mit unregelmäßiger Grundfläche umschreibt;
145 die geometrische Konstruktion von Naht-Maschen einer oberen, unregelmäßig viereckigen Kappe mit Translations-Maschenteilung;
146 die geometrische Konstruktion von Naht-Maschen einer oberen unregelmäßig viereckigen Kappe mit Streck-Trans-Maschenteilung;
147 das fertige Netz der oberen viereckigen Kappe gemäß 146 und die geometrische Konstruktion zweier daran anschließender synklastischer Scherben, die maschenweise vom gemeinsamen Knoten an der vorderen rechten Polyeder-Ecke ausgeht;
148 das an zwei Seiten bereits fertig zu einem Kissendach erweiterte Netz der oberen Kappe, sowie das Netz dreier antiklastischer Scherben am unteren Schalen-Rand, und schließlich die links vergrößerte geometrische Konstuktion von auf einem geraden Abschnitt eines Kissendach-Rands aufgereihten Naht-Maschen für eine von zwei noch fehlenden antiklastischen Scherben der vorderen Ausstülpung;
149 eine geschlossene, synklastische, frei geformte Schale, die gemäß 147 generiert ist;
150 eine frei geformte Schale zur Überdachung und Schließung eines großenteils seitlich von einem konventionellen Gebäude umschlossenen Hofs;
151 eine frei geformte Schale mit zwei offenen Ausstülpungen über Eck, zur Lösung der Probleme der Schale in 1 unten;
152 die geometrische Konstuktion der Schale aus 151 mit Materialstärke;
153 die Schale gemäß 152, als Stabwerk mit undurchsichtigen, in etwa senkrecht zur Schalen-Oberfläche stehenden, Stäbe oder Plattenstöße repräsentierenden Flächen und mit durchsichtigen Maschen-Flächen dargestellt;
154 die Schale gemäß 152 aus abwechselnd dunklen und hellen Ringen von nacheinander montierten Maschen-Reihen, gedeckt mit zwei oder drei Maschen umfassenden dünnen Flächen-Elementen.
Der wesentliche Kern der Erfindung liegt in der Verbindung von räumlichen Dreiecken mit TST-Maschenteilung, die bereits Scherben genannt wurden. In 2 sind solche Scherben (24) zu sehen.
In 2 unten gibt es – wie in der gerkümmten Fläche der Schale (1) nach dem Stand der Technik in 1 oben – ein am Rand schraffiertes Vierecks-Stück (3). Dieses ist diesmal aber nur der Ausschnitt einer einfachen Translationsfläche, die zudem nicht gemischt gekrümmt, sondern rein antiklastisch ist. Aber auch hier ist dieses Vierecks-Stück zwischen den Eck-Knoten (4, 5, 6, 7) aus einem Netz von zwei sich in Knoten (13) kreuzenden Schar-Linienzügen (10, 11) gebildet. Das Vierecks-Stück ist in gleicher Anzahl in Längs- und Querrichtung aus Vierecks-Maschen (12) zwischen je vier koplanaren Knoten (13) zusammengesetzt. Es ist auf zwei Seiten von in der Darstellung heraussgezogenen Schar-Rändern (8, 9), begrenzt. Der am obersten Eck-Knoten (5) endende Schar-Rand (8) verläuft dabei in der Richtung der von vorne nach hinten verlaufenden Schar-Linienzüge (10). Der andere, am untersten Eck-Knoten (9) endende Schar-Rand (9) verläuft in der Richtung quer dazu.
Im Unterschied zu dem Vierecks-Stück (3) in 1 oben ist das Vierecks-Stück in 2 diagonal zerteilt durch einen durchgängigen Schnitt-Linienzug vom unteren Eck-Knoten (6) zum oberen Eck-Knoten (5). Dieser führt in jeder Masche durch diagonal zueinander liegende, hierdurch besondere Maschen-Knoten (27) der Knoten (13), welche im folgenden „Schnitt-Naht-Knoten" genannt werden. Dadurch ist jede der vom Zerschneiden betroffenen Vierecks-Maschen (12) durch ein „Schnitt-Sehne" genanntes Segment (28) des Schnitt-Linienzugs in zwei dreieckige Maschen (29), im folgenden „Schnitt-Dreiecke" genannt, zerteilt worden. Von diesen ist in der Darstellung nur eine einzige hervorgehoben und herausgezogen.
Von den zwei Teilen des nur im von der Rand-Schraffur begleiteten Umriß vollständig sichtbaren, bekannten Vierecks-Stücks ist der eine, schräg schraffierte, am Eck-Knoten (4) rechts unten liegende dagelassen worden und der andere, obere, am Eck-Knoten (7) rechts oben liegende Teil entfernt worden. Dieser übrig gebliebene Teil zwischen den beiden Schar-Rändern (8, 9) und dem Schnitt-Linienzug (25) und zwischen drei Eck-Knoten (4, 5, 6) ist eine Scherbe. Ihre drei Eck-Knoten sind ein unveränderter Eckpunkt (4) der ehemals viereckigen TST-Fläche, im folgenden „Schar-Ecke" genannt, und die zwei Endpunkte (5, 6), des diagonalen Schnitt-Linienzugs, im folgenden „Schnitt-Ecken" der Scherbe genannt. Alle drei gebogenen Ränder der Scherbe (24) sind hier eben, um in einfacher Weise durch Spiegelung vervielfältigt aneinandergesetzt werden zu können.
Die untere, schraffierte Scherbe (24) wurde in 2 nach oben kopiert und in der Ebene ihres Schnitt-Linienzuges kopiert und gespiegelt, um eine viereckige, dick gestrichelt umrandete Doppel-Scherbe (30) zu ergeben. Doppel-Scherben bestehen aus zwei lückenlos und stetig an ihren zu einer Schnitt-Naht-Linie (26) verschmolzenen gemeinsamen Schnitt-Linienzügen ineinander übergehenden Scherben. Dieser stetige Übergang ist dadurch entstanden, daß alle Eckpunkte (13, 27) zweier an einer gemeinsamen Schnitt-Sehne (28) benachbarten Schnitt-Dreiecke (29) in einer Ebene liegen, wodurch diese beiden Dreiecke zu einer neuartigen, viereckigen, in 2 oben seitlich herausgezogen dargestellten Masche (31), „Naht-Masche" genannt, vereinigt werden konnten. Diese Naht-Masche hat nicht einmal mehr nur ein Paar von Schar-Sehnen (14) an ihren vier Seiten, die parallel sind. Sie ist hier in Übereinstimmung mit der Gesamtform der Doppel-Scherbe ebenfalls drachenförmig.
Obwohl diese erfindungsgemäßen Naht-Maschen in fast jedem erfindungsgemäßen fertigen Bauwerk vorkommen, sind sie in den Figuren meistens zweigeteilt dargestellt. Auch bekannte paralllelseitige Maschen aus zwei wieder verschmolzenen Schnitt-Dreiecken bleiben meistens zweiteilig in der Darstellung. Dadurch bleiben die Schnitt-Linienzüge der Scherben sichtbar. So bleibt die geometrische Zusammensetzung einer Schale aus Scherben, welche am fertigen Bauwerk kaum wahrnehmbar ist, in der Zeichnung erkennbar.
Die Scherben ohne flächige Schnitt-Dreiecke können an der Baustelle am Boden komplett vormontiert werden und mit einem Kran in ihre endgültige Position gebracht werden. Dann werden anschließend die Naht-Maschen montiert. Diese Naht-Maschen sind entweder flächige Abdeckungen auf vier Gitter-Stäben oder flächige lastabtragende Bauelemente.
Die Montage einer Schale kann aber auch anders erfolgen, wie noch in 154 ersichtlich ist. Dann sind die Scherben und Doppel-Scherben nur noch in geometrischer Hinsicht die Stücke einer Schale. Doppel-Scherben können aber grundsätzlich auch vormontiert werden. Dies kann in der Werkstatt, der Fabrik oder am Boden der Baustelle passieren – entsprechend der Größe der Doppel-Scherbe.
Die drei Rand-Ebenen jeder Scherbe liegen in 2 bis 11 senkrecht zur X-Y-Grundfläche und bilden sich in 2 für die schraffierte Scherbe als drei gerade Schnittlinien (32, 33, 34) ab. Diese Schnittlinien begrenzen eine Fläche (35), im folgenden „Sektor" genannt.
In 3 ist zu sehen, daß dieser Sektor ein fein schraffierter Teilbereich der grob schraffierten, durch eine Stutzkuppel zu überbauenden Fläche (36), im folgenden „Grund-Polygon" genannt, ist. Dier Sektor liegt zwischen dem Polygon-Eckpunkt bzw. Auflagerpunkt (6), einem hier mittlig liegenden Punkt (37) auf einer Grund-Polygon-Seite (38) und einem besonderen Bezugspunkt (39) des Grund-Polygons, welcher hier im Ursprung des X-Y-Z-Koordinatensystems liegt.
Um eine Scherbe als Modul eines Baukastens für Gewölbe aus Stutzkuppeln benutzen zu könnren, wurden die Winkel zwischen jeweils zwei der drei vertikalen Rand-Ebenen jeder Scherbe so gewählt, daß sie, wenn sie mit einer bestimmten ganzen Zahlt multipliziert werden, 360° ergeben. So haben diese Rand-Ebenen in der Schar-Ecke (4) einen 2 zu entnehmenden rechten Winkel zueinander, in der unteren Schnitt-Ecke (6) einen Winkel von 30° und in der oberen Schnitt-Ecke (5) einen Winkel von 60°. Die untere Schnitt-Ecke (6) der Scherbe (24) soll zum Auflagerpunkt einer Stutzkuppel werden, während die obere (5) deren Zenith werden soll.
An diesen oberen Eck-Knoten (5) der Scherbe (24) eines Formats A aus 2 schließt in 3 mit Ihrem Eck-Knoten (5) eine weitere synklastische Scherbe (24) des Formats B eines Baukastens für Gewölbe an, das mit seinen Kombinationsmöglichkeiten bis 15 gezeigt wird. Diese weitere Scherbe hat gleich geformte Schar-Ränder wie die (8, 9) in 2. Jedoch haben die gleich geformten Schar-Ränder vertauschte Plätze. Das heißt, daß eine Scherbe des Formats B nicht mehr wie eine Scherbe des Formats A einen am Zenith anschließenden Schar-Rand (8) des Formats s1, sondern einen des Formats s2 hat, sowie nicht mehr einen am zukünfigen Schalen-Auflager (6) anschließenden Schar-Rand (9) des Formats s2, sondern einen des Formats s1 hat. Außerdem sind zwei Winkel vertauscht. Die beiden Schar-Rand-Ebenen haben bei der Scherbe des Formats B nun im Zenith (5) einen Winkel von 30° zueinander, während diejenigen am Auflagerpunkt (6) nun einen Winkel von 60° zueinander haben. Die neue Scherbe B überwölbt einen weiteren Sektor (35), der zwar die gleichen Proportionen wie der erstgenannte hat, jedoch mit der anderen, spitzeren Ecke im Punkt (39) im Koordinatensystem-Ursprung unter dem Zenith (5) liegt.
In 3 sind die beiden verschiedenen Scherben der Formate A und B jeweils nach dem Kopieren nicht nur in ihrer Schnitt-Naht-Ebene, sondern auch in je einer ihrer Schar-Rand-Ebenen gespiegelt worden. Die gespiegelten Exemplare, eines des Formats A' und eines des Formats B'- hier nach oben verschoben – ergeben zusammen ein gepiegeltes Abbild des aus 1 und 2 bekannten Vierecks-Stücks (3) mit zweimal zwei Schar-Rändern (8, 9). Das Format dieses viereckigen Schalen-Stücks wird A' + B' genannt. Die Schnitt-Dreiecke (29) sind hier wieder paarweise zu einer bekannten Vierecks-Masche (12) geworden.
Die in einer fertigen Schale einheitliche Anzahl der Sehnen pro Scherben-Rand ist frei wählbar. Bei facettierter Ausführung sollte jeder der drei Scherben-Ränder aber mindestens aus drei Sehnen bestehen, damit noch eine gekrümmte Gesamtfläche erkennbar ist, deren einzelne Bauteile an Ihren Enden oder Kanten bei facettierter Ausführung nicht zu starke Gehrungen aufweisen.
In 4 wird gezeigt, wie die Scherben generiert wurden. Dort ist jede der zwei am Zenith (5) zusammentreffenden Schnitt-Naht-Linien (26) in der vertikalen X-Z-Ebene als Speigel-Ebene der gemeinsame, bestimmende und festzulegende Rand jeweils zweier Scherben einer Doppel-Scherbe. Jede Schnitt-Naht-Linie (26) ist in der Darstellung bis 7 ein polygonisierter Kreisbogen mit gleichmäßiger Unterteilung durch Schnitt-Naht-Knoten (27). Sie könnte auch jede beliebige andere Form haben. Bögen von hintereinander liegenden Rändern zweier Scherben, die auf dem gleichen Kreis liegen, sorgen aber am einfachsten für Regelmäßigkeit und stetige Flächen-Übergänge. Dies gilt übrigens auch dann noch, wenn die gleichmäßige Unterteilung durch Dehnung des Kreises samt Knoten- oder Knickpunkten zu einer Ellipse aufgegeben ist, und im Verlauf des Bogens die Sehnen-Knickwinkel-Beträge gesetzmäßig zunehmen, während die Sehnen-Längen gesetzmäßig abnehmen.
In 4 sind dann entlang der zwei Schnitt-Naht-Linien (26) die Naht-Maschen (31) konstruiert worden. Zunächst ist die Ausrichtung jeder der Ebenen, in denen ihre vier Eckpunkte (13, 27) liegen müssen, festgelegt worden. Dies ist, wie seitlich in einem Lupen-Ausschnitt zu sehen ist, mittels einer horizontalen Linie (40), im folgenden „Horizontal-Querlinie" genannt, durch einen beliebigen Punkt (41) auf der Schnitt-Sehne (28) geschehen. Diese ist dann in Ebenen von Schar-Linienzügen abgeschnitten worden, welche sich in der X-Y-Grundebene durch Parallelen (42, 43) zu den Sektoren-Rändern (32, 33) oder durch diese Ränder selbst abbilden. Vom unteren der beiden Schnitt-Naht-Knoten (27) im Lupen-Ausschnitt sind Hilflinien (44, 45), die hier ebenfalls zu den Sektoren-Rändern parallel sind, gezeichnet worden.
Dann ist hier auf einer Symmetrie-Hälfte die längere Schar-Sehne (15) zuerst in ihrer Ausrichtung festgelegt worden, indem vom unteren der beiden Schnitt-Naht-Knoten (27) eine Linie bis zu einem Endpunkt (46) der Horizontallinie gezogen worden ist, der senkrecht über der Hilfslinie (45) liegt. Dann ist diese Sehne durch Verlängerung bis zur nächsten Schar-Linienzug-Ebene hin vervollständigt worden. Diese Ebene enthält auch die kurze Hilfslinie (44). Der Endpunkt der Schar-Sehne (15) in dieser Ebene ist der zu konstruieren gewesene Knoten (13). Die kürzere Sehne (14) der Naht-Masche ist dann vom oberen Schnitt-Naht-Knoten (27) zum Netz-Knoten (13) gezeichnet worden.
Die Schar-Linienzug-Ebenen durchkreuzen sich hier rechtwinklig wie die Papp-Abtrennungen eines Wein-Kartons – allerdings in unterschiedlichen, sich Masche für Masche ergebenden Abständen.
An die Schar-Sehnen (14, 15) der Naht-Maschen wurden schließlich Vierecks-Maschen mit parallelen und gleich langen Sehnen (14, 15) angesetzt. Das Ergebnis davon wurde bereits in 2 und 3 vorweggenommen.
Die im Grundriß drachenförmige Stutzkuppel (47) ist in 5 vollständig sichtbar. Jede ihrer vier ebenen, vertikalen Öffnungen (2) hat jeweils einen Rand-Linienzug (48), der in nur eine Richtung gekrümmt ist, der also keinen nachteiligen Wendepunkt hat, und der aus je zwei gleich geformten, sich im Stich (4) treffenden Schar-Rändern (9) besteht. Die beiden kleineren Öffnungen haben Schar-Ränder der Sorte s1 als Rand, die beiden größeren Öffnungen haben solche der Sorte s2 als Rand.
Die Stutzkuppel in 5 aus je zwei Scherben (24) der verschiedenen Formate A, B, A' und B', die zu zwei erfindungsgemäßen Doppel-Scherben (30) und zwei konventionellen Vierecks-Stücken (3) zusammengesetzt sind, kann übrigens auch als eine einzige große Doppel-Scherbe angesehen werden.
In 6 wurde eine Stutzkuppel (49) aus drei Doppel-Scherben (30) des Formats A + A' gebildet. Jede dieser Doppel-Scherben besteht aus einer synklastischen Scherbe des Formats A und ihrem Spiegelbild A'. Die Doppel-Scherben sind hier oben stumpfwinklig. Das Grund-Polygon (36) der Schale ist ein gleichseitiges Dreieck. Jede Scherbe überdeckt ein Sechstel des Grund-Polygons. Der Bezugspunkt (39) der Schale liegt im Mittelpunkt des Grund-Polygons aus drei Seiten (38). Jede Schnitt-Naht-Linie liegt in dieser Schale auf der gleichen Ebene wie ein oben im Zenith (5) an diese Schnitt-Naht-Linie anschließender, dick gezeichneter Schar-Rand (8) einer anderen Doppel-Scherbe. Dies liegt hier daran, daß das regelmäßige Grund-Polygon eine ungerade Seitenanzahl hat.
In 7 wurde eine Stutzkuppel (50) aus sechs Doppel-Scherben des Formats B + B' gebildet. Jede dieser Doppel-Scherben besteht aus einer synklastischen Scherbe des Formats B und ihrem Spiegelbild B'. Die Doppel-Scherben dieses Formats sind oben spitzwinklig. Das Grund-Polygon (36) der Schale ist ein gleichseitiges Sechseck. Jede Scherbe überdeckt eine Zwölftel des Grund-Polygons. Im Zenith (5) dieser Schale treffen dreimal je zwei dick gezeichnete Schar-Ränder (9) zusammen, die in der gleichen Ebene liegen. Ebenso liegen dreimal die Schnitt-Naht-Linien zweier am Zentih entgegengesetzt zusammentreffender Doppel-Scherben in einer Ebene. Dies liegt hier daran, daß das Grund-Polygon eine gerade Seitenanzahl hat.
Der Gesamtflächen-Übergang von einer Scherbe zur anderen über einen gemeinsamen Schar-Rand (8, 9) hinweg ist stetig, weil die dabei benachbarten Scherben bislang von der gleichen Kreislinie aus generiert worden sind, so daß beide Scherben geometrisch als Teil einer einzigen homogenen Translationsfläche angesehen werden können.
Die Knoten zwischen den Sehnen der Schar-Ränder (8, 9) liegen im Gegensatz zu denen der Schnitt-Naht-Linie (26) in den zuvor dargestellten Beispielen nicht auf Kreisbögen. Sie sind also weniger regelmäßig. Da sie aber nach Regeln entstanden sind, nimmt bei facettierter Ausführung der Grad der Knickung zwischen deren Sehnen oder die Länge der Sehnen gleichmaßig zu oder ab, wodurch ein regelmäßiger Eindruck entsteht.
Die Scherben in 2 bis 7 waren dreieckige Ausschnittte von Translationsflächen.
Es wurde gezeigt, wie ein Grund Polygon – hier Dreieck, Sechseck oder Drachen mit einer Stutzkuppel aus Scherben weniger Formate überwölbt werden kann.
Eine dreieckige Stutzkuppel (49) kann zu einem dreieckigen Kissendach erweitert werden. Diese Erweiterung ist in 8 im Gange, stellvertretend für alle Scherben der Stutzkuppel mit nur einer über dem vordersten Sechstel-Sektor (35) befindlichen Scherbe (24) des Formats A. Aus dieser rein synklastischen Scherbe wird die Form einer anderen, neuen, rein antiklastischen Scherbe (24) des Formats C abgeleitet, die mit dem über dem Rand (38) des Grund-Polygons (36) liegenden Schar-Rand (9) an die vorhandene Scherbe anschließen soll. Die Konstruktion erfolgt von einem Stutzkuppel-Auflagerpunkt (6) zu einem neuen Kissendach-Eckpunkt (51) hin. Dieser liegt im Schnittpunkt von einer rechtwinklig zur längsten Seite (Hypothenuse) (34) des Sektors (35) liegenden geraden Randlinie (52) und von der Verlängerung (53) der rechtwinklig zur Grund-Polygon-Seite (38) liegenden, hier kürzesten Seite (Kathede) (32) dieses Sechstel-Sektors.
An die unterste kurze Schar-Sehne (14) der vorhandenen Scherbe (24) wurde unten in genau der gleichen Ausrichtung wie diese eine neue Schar-Sehne (14) angesetzt. Diese hat aber eine andere Länge. Sie endet an einem ersten neuen Schlepp-Knoten (54) in der X-Y-Grundebene und exakt in der geraden Randlnie (52). Diese Randlinie bildet zusammen mit einer weiteren solchen Randlinie den Rand einer spitzen Abschleppung des Stutzkuppel-Daches als Eckbereich eines Kissendachs in der Form der Schleppe eines Kleides und wird deshalb im folgenden „Schlepp-Rand-Linie" genannt. An diesen ersten neuen Knotenpunkt (54), im folgenden „Schlepp-Knoten" genannt, wird dann eine Kopie (11) des untersten und längsten Schar-Linienzugs (11) der synklastischen Scherbe mit ihrem unteren Endpunkt, der im Original ein Schnitt-Naht-Knoten (27) ist, angesetzt. Die in der Stutzkuppel-Scherbe (24) des Formats A liegende kurze Schar-Sehne (14) des nächsthöher liegenden Schnitt-Dreiecks, die an ihrem unteren Endpunkt mit dem untersten inneren Knotenpunkt bzw. Knickpunkt (13) des Schar-Linienzugs (11) der Stutzkuppel-Scherbe zusammentrifft, wird als Kopie (11) mit genau derselben Ausrichtung mit ihrem oberen Sehnen-Endpunkt an der gleichen Stelle, also dem untersten Knickpunkt (13) des kopierten Schar-Linienzugs (11), in der neu entstehenden Scherbe (24) angesetzt. Analog zum ersten neuen Schlepp-Knoten (54) auf der Schlepp-Rand-Linie (52) ergibt sich nach der Verlängerung auch dieser Sehnen-Kopie nach unten ein weiterer neuer Schlepp-Knoten (54) rechts vor dem ersten auf dieser Schlepp-Rand-Linie. An diesen wird dann wieder eine kopierter Schar-Linienzug angesetzt – und so weiter.
So bekommt jede der Sehnen (14, 15) und Vierecks-Maschen (12) der ursprünglichen Scherbe der Stutzkuppel ein Gegenstück (14, 15, 12) mit gleicher Ausrichtung in der neuen Scherbe, jedoch in spiegelbildlicher Reihenfolge oder Sitzplatz-Verteilung, wobei der gemeinsame Schar-Rand (9) die Spiegellinie ist: So haben, ausgehend von der gemeinsamen, rechtwinkligen Schar-Ecke (4), beispielsweise die zwei vorhandenen Sehnen (14), die jeweils eine schraffierte Masche (12) teilweise begrenzen, und ihre neuen, entsprechenden, gleich ausgerichteten Gegenstücke (14) die gleichen Platz-Nummern – im dargestellten Beispiel sind dies die Plätze 2 und 3 in der Reihe 3; Die eine schraffierte Vierecks-Masche (12) hat zwar auch ein paralleles, also gleich ausgerichetes schraffiertes Gegenstück (12) mit koplanaren Eckpunkten. Dieses Gegenstück hat aber ein anderes Format und bei gebogener Ausführung eine umgekehrte Krümmung, d. h. eine Krümmung mit entegengesetztem Gauß'schen Vorzeichen. Die benachbarten Scherben haben an ihrem Übergang entlang des geinsamen Schar-Randes (9) paarweise nebeneinanderliegende Maschen, deren Oberflächen bei facettierter Ausführung koplanar sind.
Die fertige neue Scherbe (30) des Formats C ist in 9 im fertigen, gleichseitig dreieckigen Kissendach (57) dargestellt. Das Dreieck seines Umrisses als Um-Polygon umschreibt das Grund-Polygon, wobei dessen Ecken (6) die Seitenmitten der Um-Polygon-Seiten (58) darstellen.
Entsprechend der dreieckigen, in 6 gezeigten Stutzkuppel (49) kann auch die sechseckige, in 7 gezeigte Stutzkuppel (50) zu einem Kissendach (59) erweitert werden. Dies ist in 10 in zusammengefaßter Entsprechung zu 8 und 9 teilweise geschehen. Auch hier bilden die Auflager-Ecken (6) der Stutzkuppel die Mitte einer Seite (58) zwischen zwei Eckpunkten (51) des geradlinigen Um-Polygons. Hier sind wie in 9 mehrfach je eine synklastische Stutzkuppel-Scherbe (24), diesmal des Formats B und die neue, antiklastische Scherbe (24) des Formats D durch Schraffuren hervorgehoben.
Sowohl in 9 als auch in 10 treffen sich die Schar-Ecken (4) von vier Scherben in einem Punkt. Diese vier Scherben stellen zusammen einen größeren viereckigen, von vier Schnitt-Linienzügen (25) zwischen insgesamt vier Schnitt-Ecken (5, 6, 6, 51) begrenzten, einer verformten Raute ähnlichen Ausschnitt (56) einer TST-Fläche dar, die im folgenden „Schnitt-Viereck" genannt wird. Dieses „Schnitt-Viereck" hat hier zwei gerade und zwei gekrümmte Ränder.
Die nicht zu einen gemeinsamen Schar-Rand (9) der beiden umgekehrt gekrümmten Scherben verschmolzenen, sondern am Eck-Knoten (4) hintereinander liegenden Schar-Ränder (8) der Sorten s1 und s2 des Kissendaches (57) in 9 und der Sorten s2 und s4 des Kissendaches (59) in 10 bilden eine durchgängige Linie (55) zwischen dem Zenith (5) und einem Kissedach-Eckpunkt (51), die im Eck-Knoten (4) einen Wendepunkt hat. Sie ähnelt dem Querschnitt durch eine Glocke von deren Aufhängepunkt bis zu deren Rand. In ausgerundeter Form hat diese Querschnittslinie (55) am unteren Endpunkt (51) die Steigung Null, d. h. sie läuft dort tangential zur Ebene von Grund-Polygon. und Kissndach-Polygon, hier in der X-Y-Grundebene. Jede Schlepp-Rand-Linie (52) verläuft hier innerhalb der X-Y-Grundebene. In der Scherben-Ecke (51) als einem der beiden Endpunkte jeder Schlepp-Rand-Linie (52), der ebenfalls ein Scherben-Eck-Knoten ist, liegt die X-Y-Grundebene tangential zu der gekrümmten Fläche dieser Scherbe.
Das Gefälle der Schnitt-Dreiecke (29) entlang jeder Schlepp-Rand-Linie der abgeschleppten Scherben der Formate C und D nimmt von den Auflagerrand-Seitenmitten (6) zu den Kissendach-Eckpunkten (51) hin ab.
Stutzkuppeln und Kissendächer lassen sich zu größeren Gebilden zusammensetzen. In 11 sind sieben Stutzkuppeln (47) mit drachenförmigem, zwei Stutzkuppeln (50) mit gleichseitig sechseckigem und eine (49) mit gleichseitig dreieckigem Grundriß zu einem Gewölbe zusammengestzt worden, zu dem auch vorne rechts eine konventionelle rechteckige Stutzkuppel (60) gehört. Diese Rechteck-Kuppel ist zwar aus den Scherben der gleichen Formate A, A', B, und B' wie die übrigen Kuppeln zusammengesetzt. Sie muß aber als lediglich wieder eine einzige homogene Translationsfläche angesehen werden, die aus zwei Vierecks-Stücken (3) in der Form nach 2 und ihren Spiegelbildern (3) in der Form nach 3 hergestellt sein kann.
Mit Hilfe der von den Stutzkuppeln abgeleiteten, von diesen gewissermaßen abgeschleppten antiklastischen Scherben lassen sich auch Kissendach-Formen mit anderem bzw. abgewandeltem Grundriß bilden:
So ist in 12 aus zwei Dritteln eines dreieckigen Kissendachs (57) und zwei Sechsteln eines sechsecksigen (50) ein Kissendach (61) mit dem Grundriß einer Raute entstanden. Dieses Kissendach enthält keine erfindungsgemäßen Doppel-Scherben gemäß Patentanspruch 1, weil benachbarte Schnitt-Dreiecke wie in der konventionellen Stutzkuppel (60) überall nur zu einer konventionellen Vierecks-Masche (12) vereinigt sind. Das Kissendach (61) enthält aber erfindungsgemäße, durchgängige Linien (55) in der Form einen halben Glocken-Querschnitts gemäß Patentanspruch 2. Davon liegen hier je zwei lange zusammen und je zwei kurze zusammen in einer vertikalen Ebene. Die beiden Ebenen liegen rechtwinklig zueinander.
In 13 ist ein dreieckiges Kissendach (57) zu einem trapezförmigen Kissendach (62) verkleinert, indem ein Drittel von diesem weggenommen worden ist und durch ein Drittel eines Sechseck-Dachs (50) ersetzt worden ist. In 14 ist ein Sechecks-Kissendach zu einem Fünfecks-Kissendach (63) erweitert, indem ein Drittel von ihm weggenommen worden ist und durch ein Drittel eines Dreiecksdachs ersetzt worden ist. In 13 liegt zweimal, und in 14 liegt einmal jeweils eine aus zwei Schar-Rändern bestehende Linie (55) mit halber Glocken-Form in einer Ebene mit einer Schnitt-Naht-Linie jenseits des Zeniths (5). Die Schalen (62) in 13 und (63) in 14 enthalten im Gegensatz zu der (61) in 12 wieder erfindungsgemäße Doppel-Scherben.
Verschieden geformte Kissendächer wie dasjenige (57) aus 9 oder dasjenige (62) aus 13 sind in mehrfacher Ausführung in 15 in fließendem, C2-stetigem Übergang untereinander zu einem neuartigen Wellendach zusammengesetzt worden. Dabei verschmelzen auch hier wieder vielfach jeweils zwei Schnitt-Dreiecke (29) zu einer viereckigen Naht-Masche (31) – diesmal innerhalb einer schraffierten antiklastischen Doppel-Scherbe des Formats C + C' und einer nicht hervorgehobenen Scherbe des Formats D + D'. Die beiden Scherben von jeder solchen Doppel-Scherbe gehören jeweils zu zwei verschiedenen, im Wellendach enthaltenen Kissendächern. Die beiden geraden Schlepp-Rand-Linien dieser beiden Scherben (52) haben ihre Randlage verloren und sind dadurch gleichzeitig zu einer unter den Schnitt-Naht-Linien (26) besonderen Schnitt-Naht-Linie (64) verschmolzen, die im folgenden „Schlepp-Naht-Gerade" genannt wird.
Die Ebenen der auf der Schlepp-Naht-Gerade (64) hintereinander geketteten Maschen (31) – genauer die Ebenen von deren vier Eckpunkten – sind in einer antiklastisch gekrümmten Doppel-Scherbe (30) des Formats C + C' gegeneinander in der jeweiligen horizontalen Schnitt-Sehne (28) als Drehachse von Masche zu Masche leicht verdreht. Im Unterschied dazu sind die Ebenen der Maschen (31) in einer synklastischen Doppel-Scherbe (30) wie die des Formats A + A' zueinander in der jeweiligen quer zu der jeweiligen Schnitt-Sehne (28) liegenden und zu den anderen Horizontal-Querlinien parallelen Horizontal-Querlinie (40) aus 4 als Drehachse von Masche zu Masche etwas gedreht.
Das Wellendach kann auch in einer senkrechten Ebene, die mehrere ehemalige Stutzkuppel-Ränder enthält, abgeschnitten sein, wodurch sich eine Wellenlinie (65) als Dachrand zeigt. Um einen gemeinsamen Kissendach-Eckpunkt (51) herum wölben sich die Kissendächer abwechselnd nach oben oder unten. Bei den nach unten sich wölbenden wird der Zenith (5) zum Tiefpunkt (5).
Bisher, also in 5 bis 15, wurden nur Schalen aus Scherben mit im Grundriß geraden Schar-Rändern (8, 9) und solche mit geraden Schlepp-Rand-Linien (52) gezeigt. Es folgen nun Schalen mit zumindest teilweise auch im Grundriß gekrümmten Schar-Rändern oder Schlepp-Naht-Rändern.
In der geometrischen Konstruktion in 16 sind die Formate der viereckigen Naht-Maschen (31) mit ihren Schnitt-Sehnen (28), ihren Horizontal-Querlinien (40) und deren Schnittpunkten (41) exakt im Format aus 4 übernommen. Allerdings wurde jede Naht-Masche bei gleichbleibendem Gefälle noch um jeweils eine parallel zur Z-Achse liegende Achse gedreht, und zwar derart, daß die Grundriß-Projektion (66) der Schnitt-Naht-Linie überall gleich große Knickwinkel zwischen ihren einzelnen Sehnen aufweist. Beim Aneinandersetzen der Schnitt-Sehnen (28) zur neuen Schnitt-Naht-Linie ist vom Zenith (5) ausgegangen worden. Deshalb liegen alle zukünftigen Auflagerpunkte (6) zwar noch in der X-Y-Grundebene, aber an anderen Stellen darin.
Auch diesmal mußten, von den viereckigen Naht-Maschen (31) ausgehend, nach beiden Seiten deren Schar-Sehnen (14, 15) in gleicher Länge vervielfältigt aneinandergesetzt werden. Dadurch hat sich eine in 17 als Parallel-Projektion gleichsam in die Grundebene gedrückt dargestellte Schale (67) mit vier in der Grundebene liegenden Auflagerpunkten gebildet, die vier räumlich gekrümmte Ränder hat, trotzdem aber noch mit Kopien zu einem hier nur mit dem Umriß weiterer gleicher Schalen dargestellten Gewölbe erweiterbar ist. Dabei ist die Anordnung von Schalen um einen ihrer Auflagerpunkte (6) herum allerdings nur drehsymmetrisch.
Die gemäß 17 generierte, frei geformte Schale (67) mit den überall räumlich verlaufenden, geschwungenen Rändern wird in 18 analog zu 8 zu einem Kissendach auf ebener Grundfläche erweitert. Jede Schar-Sehne (14, 15) einer synklastischen Scherbe des Stutzkuppel-Bereichs hat in spiegelbildlicher Platzverteilung ein gleich ausgerichtetes Gegenstück (14, 15) im antklastischen, abgeschleppten Eckbereich des entstehenden Kissendachs. Gleichermaßen hat jede Masche (12) ein gleich ausgerichtetes Gegenstück (12). Natürlich sind die Maschen-Formate und die Ausrichtungen von Schar-Sehnen und Maschen-Ebenen in 18 nicht die gleichen wie in 8.
Das fertige Kissendach (68) ist in 19 zu sehen. Seine vier Ränder liegen zwar alle innnerhalb der X-Y-Grundebene, sind nun aber gekrümmt. Dabei bilden die Auflagerpunkte (6) der enthaltenen Stutzkuppel Wendepunkte in der Krümmung der horizontal ebenen Randlinien (58) aus jeweils zwei Schlepp-Rand-Linien (52) mit unterschiedlicher Krümmungsrichtung. Jede Schlepp-Rand-Linie (52) hat eine andere Form, so daß modulare Additionen mehrerer exakt gleich geformter Kissendächer zu Wellendächern nicht möglich sind.
Bisher wurden stellvertretend für TST-Maschenteilungen nur Translations-Maschenteilungen beschrieben. Die Schaffung einer Schale aus Scherben mit Streck-Tans-Maschenteilung geschieht im folgenden durch die Begradigung zweier der vier Schalen-Ränder einer Stutzkuppel (67) aus 17. Die Naht-Maschen (31) in 20 sind bezüglich Format und Ausrichtung die selben wie in 16. Neu ist, daß bei allen anderen Maschen, also den normalen Vierecks-Maschen, die Sehnen der hier längeren Schar-Linienzüge in der Parallelverschiebung von Masche zu Masche gekürzt- oder erjenseits, hinter den beiden Schnitt-Naht-Linien (26) verlängert werden. Nur die verkürzten Sehnen sind auch als Grundriß-Projektion dargestellt. Die Längen-Änderungen sollen durch die geradlinige Verlängerungslinie (69) der Grundriß-Projektion (70) jeweils einer hier kurzen Schar-Sehne (14) einer Naht-Masche bestimmt werden: Bis zu dieser Linie (69) hin werden die parallel kopierten langen Schar-Sehnen (15) in der Sicht senkrecht von oben verlängert oder verkürzt werden.
In der in 21 fertigen Schale (71) sind dadurch die kürzeren Schar-Linienzüge aus den kürzeren hintereinanderliegenden Sehnen zwar wieder jeweils eben. Die Schar-Linienzug-Ebenen sind aber nicht wieder parallel zueinander wie in 5. Die Schale (71) kann überhaupt nicht mit baugleichen Schalen zu einem Gewölbe zusammengesetzt werden. Ihre Auflagerpunkte liegen nicht alle in einer Ebene.
Die vordere, linke Doppel-Scherbe (30) ist asymmetrisch. Sie besteht aus zwei unterschiedlich geformten synklastischen Scherben; die hintere, rechte, ebenfalls asymmetrische besteht aus einer synklastischen und einer gemischt gekrümmten Scherbe. Von der vordersten aller Scherben ist auch das Vierecks-Stück (3) an seinem Rand schraffiert dargestellt, aus dem sie gewonnen wurde.
Stutzkuppeln (67, 71) mit räumlich gekrümmten offenen Rändern bzw. solche (67) mit räumlich gekrümmten Gurtbögen innerhalb von Gewölben können aus gestalterischen oder funktionalen Gründen sinnvoll sein, sind aber nicht nur wegen verminderter Additions-Möglichkeiten, sondern auch in statischer Hinsicht weniger günstig, wenn die Ränder nicht durch Schildwände gestützt, sondern frei und selbsttragend sein sollen. Deshalb werden solche krummen Stutzkuppeln auf unebenem Untergrund nicht weiter beschrieben. Sie sollen nur da verwandt werden, wo sie sich sinnvoll ergeben.
Scherben mit Streck-Trans-Maschenteilung sollen in den später folgenden Beispielen nicht wie in 21 durch die räumliche Krümmung von Schnitt-Naht-Linien, sondern durch eine zentrische Streckung von ebenen Schar-Rändern emtstehen.
Der Teilungsgrad der bisherigen Scherben ist im Vergleich zu den weiteren Darstellungen relativ hoch. In den weiteren Darstellungen haben die Scherben einen geringeren Teilungsgrad, um das Prinzip deutlicher darstellen zu können. Die folgenden Zeichnungen kann man sich als durch das Weglassen von Knotenpunkten entstanden vorstellen. Umgekehrt ist es auch möglich, weitere Knotenpunkte entsprechend einzufügen. Es sind dann beliebig feine Teilungen möglich, bis aus der immer feiner facettiert hergestellten räumlichen Gesamtfläche eine scheinbar völlig gerundete Gesamtfläche geworden ist, die durch die Facettierung in den Zeichnungen repräsentiert ist. Eine erfindugnsgemäß gerundete Scherbe hat immer einen fließenden, d. h. tangentialen Übergang (C2-Übergang) zu einer benachbart lückenlos anschließenden Scherbe. Die zeichnerische Darstellung facettierter Oberflächen ist also ein geometrischer Sonderfall, stellvertretend für den beschriebenen, allgemeinen Sachverhalt.
Alle bisherigen Schalen und auch die noch folgenden Kissendächer können die nötige Konstruktions-Stärke bekommen, indem ihr virtuelles Netz kopiert und um das ca 1,5-fache der erwünschten Plattendicke oder Stab-Profil-Höhe senkrecht nach oben verschoben wird. Die Kopie stellt dann das Netz der Kanten einer außenseitigen, facettierten Schalen-Oberfläche dar, während das ursprüngliche virtuelle Netz selbst das Kanten-Netz der untern Oberfläche darstellt.
Die Scherben der regelmäßigen Stutzkuppeln in 5, 6 und 7 und insbesondere derjenigen (60) in 11 haben eine Translations-Maschenteilung. In einer Scherbe dort nebeneinander liegende Schar-Sehnen (14, 15) haben hier deshalb immer die gleiche Länge.
Würden die Scherben solcher Stutzkuppeln einzeln als Teil eines Bausatzes für nur eine einzige Kuppel-Form und nicht mehr als Teil eines Baukastens für verschiedene Kuppel-Formen von einem gleichmäßig geteilten Schar-Rand anstatt von einem Schnitt-Linienzug aus bestimmt, dann würde sich ihre Translations-Maschenteilung besonders für erfindungsgemäße Gitterschalen wegen der zur Hälfte gleich langen, maschenweise abgelängten Stäbe eignen.
In 22 ist eine Stutzkuppel (49) dargestellt, die wie diejenige in 6 dreieckig ist. Ihre Scherben haben diesmal aber eine Streck-Trans-Maschenteilung, die speziell zentrisch ist.
Die Streck-Trans-Maschenteilung in 22 ist nicht zu verwechseln mit derjenigen in 19, bei der sich die disparallel nebenienanderliegenden, dort vertikalen Ebenen einer Linienzug-Schar völlig ohne Regel in vielen vertikalen Linien schneiden. Vielmehr sind in 22 diese Ebenen der einen Linienzug-Schar einer Scherbe geneigt und schneiden sich alle jetzt in einer horizontalen Linie (72).
Durch die Festlegung speziell eines Kreisbogens für den zu bestimmenden Schar-Rand (9) als anschließend unterschiedlich zu streckendem Linienzug kann die Anzahl der Maschen-Formate bei einer solchen Schale erheblich reduziert werden. Es kommen zwar insgesamt mehr verschiedene Sehnen-Längen vor als bei der eben beschriebenen, aber hier noch nicht dargestellten idealen Translations-Maschentelung. Die Anzahl unterschiedlicher Maschen-Formate ist aber in jedem Fall geringer. Deshalb eignet sich eine besondere Form der zerntrischen Streck-Trans-Maschenteilung der Scherben hier besser für erfindungsgemäße Schalen aus tragenden Bauelementen, die wie z. B.Sandwich-Elemente flächig sind, für die Maschen, als die Tranlations-Maschenteilung.
Je feiner die Teilung wird, desto mehr gleiche Elemente liegen in einer Reihe, und desto größer ist die Einsparung von Maschen-Flächen-Formaten einer erfindungsgemäßen Schale aus Scherben mit spezieller, zentrischer Streck-Trans-Maschenteilung gegenüber einer Schale aus Scherben mit gleich feiner Translations-Maschenteilung.
Besonders ist die spiegelsymmetrische Form der Trapeze der gereihten flächigen, einheitlich auf Gehrung geschnittenen Maschen-Elemente mit gleichem Format. Diese Besonderheit schließt auch die Notwendigkeit zusätzlicher spiegelbildlicher Formate, die es bei den in sich asymmetrischen Trapezen für spiegelbildliche Scherben mit beliebiger zentrischer Streck-Trans-Maschenteilung und bei den Parallelogrammen für spiegelbildliche Scherben mit Tranlations-Maschenteilung geben muß, aus.
Aus der Stutzkuppel in 22 kann ohne Konstruktionsstärke eine Schale aus maschnweise flächigen Bauelementen mit lastabtragender und wärmeisolierender Materialstärke werden, indem diese im Gegensatz zu den bisherigen Schalen zentrisch vom Endpunkt der gedachten Bezugslinie (72) aus leicht vergrößert und verkleinert wird, wodurch außenseitige und inwändige Oberfläche der Schale festgelegt werden. So ergeben gleiche Maschen-Formate auch wirklich gleiche Bauelemente mit gleichem Gehrungswinkel an vielen Kanten.
In 22 liegen bei allen Scherben wie bei der schraffierten eines Formats A die einen Schar-Linienzüge (11) in Ebenen parallel zum Schalen-Rand, die weiterhin vertikal sind, während die Ebenen der quer dazu liegenden und sich mit diesen kreuzenden anderen Schar-Linenzüge (10) unterschiedlich zur X-Y-Grundebene geneigt sind und sich alle in der gedachten Bezugslinie (72) schneiden. Diese Bezugslinie ist im Gegensatz zu derjenigen (16) in 1 völlig horizontal und gerade. Die Ebenen der hier geneigten Schar-Linienzüge (10) sind hier durch rechteckige Flächen dargestellt, die fächerartig in der gedachen horizontalen Bezugslinie (72) zusammenlaufen. Diese Bezugslinie (72) liegt in der weiterhin vertikalen Ebene des Schar-Randes (8), der oben im Zenith (5) senkrecht über dem Mittelpunkt (39) des Grund-Polygons endet. Bei Schalen über symmetrischem Grund-Polygon wie hier liegt diese Linie normal zur vertikalen Schalen-Rand-Ebene. Die unterschiedlich geneigten Ebenen der Schar-Linienzüge (10) liegen somit zur vertikalen Schalen-Rand-Ebene rechtwinklig – wie die nicht geneigten Ebenen der entsprechenden Linienzüge (10) aus 2 für die dreieckige Schale mit Translations-Maschenteilung aus 6.
Die in 22 vorne liegende, schraffierte Scherbe (24) ist in 23 teilweise geometrisch konstruiert. Diesmal war nicht der Schnitt-Linienzug der zuerst festgelegte, bestimmende Scherben-Rand, sondern der Schar-Rand (9) mit Knoten auf einem Kreisbogen in der Ebene des Schalen-Randes. Von diesem war eine Sehne (15) kopiert und an einen Schnitt-Naht-Knoten (27) angesetzt worden. Die kopierte Sehne ist bis zu einem Maschen-Knoten (13) hin verlängert worden und dadurch zu einer zukünftigen Rand-Sehne (15) eines der beiden symmetrischen Schnit-Dreiecke einer zukünfigen Naht-Masche geworden. Dieser Knoten (13) liegt in einer der Schar-Linienzug-Ebenen, welche sich in der Bezugslinie (72) schneiden. Diese Ebenen stellen sich in einer gedachten Blickrichtung entlang der Bezugslinie (72) als radiale Linien (73) dar. An den Maschen-Knoten (13) war dann eine Horizontal-Querlinie (40) angesetzt worden, welche in einem Punkt (41) in der Ebene des Schnitt-Linienzuges, hier in der X-Z-Ebene, endet und normal zu dieser Schnitt-Linienzug-Ebene liegt. Die dann gezeichnete Sehne (28) dieses Schnitt-Linienzuges enthält den unteren Schnitt-Naht-Knoten (27) und den Punkt (41) am Ende der Horizontal-Querlinie (40). Diese Naht-Sehne endet oben in einer weiteren geneigten, radial angeordneten Schar-Linienzug-Ebene, in der sich auch die anschließend gezeichnete Sehne (14) befindet. Eine dritte, diclk gezeichnete Sehne (15) in einer vertikalen-Schar-Linienzug-Ebene ist ebenfalls vom Schar-Rand parallel kopiert worden, an einen Maschen-Knoten des nächstunteren, schraffierten Schnitt-Dreiecks (29) angesetzt worden und bis zu einem Punkt in einer geneigten, radial angeordneten Schar-Linienzug-Ebene hin verlängert worden.
Die beschriebene geometrische Konstruktion der Scherbe aus 22 hatte in 23 nicht an dem beispielhaft dargestellten Schnitt-Naht-Knoten (27) angefangen werden können, sondern hatte an der unteren Schnitt-Ecke (6) der Scherbe im Schalen-Auflagerpunkt angefangen werden müssen, in dem sich die beiden unteren Schar-Ränder der fertigen symmetrischen Doppel-Scherbe treffen.
In gleicher Weise kann die Scherbe eines neuen Formats B gezeichnet werden, um eine wie in 7 sechseckige Stutzkuppel bilden zu können.
Wenn aber zwei Scherben mit den verschiedenen Formaten A und B deckungsleiche Schnitt-Linienzüge haben sollen, um eine asymmetrische Doppel-Scherbe für Stutzkuppeln mit drachenförmigem und rechteckigem Grund-Polygon bilden zu können, kann zwar nicht die Scherbe des Formats B, immerhin aber die zuerst gezeichnete Scherbe des Formats A den Vorteil der speziellen zentrischen Streck-Trans-Maschenteilung haben, der darin besteht, vielmals mehrere Maschen mit gleichem Format zu haben.
Bisher wurden geradlinig im Grundriß begrenzte Stutzkuppeln und ihre fließenden Erweiterungen als Kissendächer nur über regelmäßigen oder achsensymmetrischen Grund-Polygonen beschrieben. Genauso ist aber die Überwölbung eines unregelmäßigen Grund-Polygons möglich, wie 24 zeigt. Zudem muß der Zenith (5) auf der Z-Achse nicht über einem irgendwie regelmäßig konstruierten Schwerpunkt des Grund-Polygons als Bezugspunkt liegen. Die Abweichung des Bezugspunktes (39) vom Schwerpunkt ist in 24 deutlich wahrzunehmen, in der eine Stutzkuppel über einem unregelmäßigen Viereck aus vier geraden Linien (38) zwischen vier Auflagerpunkten (6) geometrisch konstruiert wird. Diese Auflagerpunkte sollen wieder auf langen geraden Linien zwischen den vier Eckpunkten (51) des durch Erweiterung der Stutzkuppel in 25 entstehenden Kissendachs eines Um-Vierecks liegen, das ebenfalls im Grundriß den Umriß eines unregelmäßigen, geradlinigen Vierecks hat. Der erste gerade Kissendach-Auflagerrand (58) aus zwei hier verschieden langen, geraden Schlepp-Rand-Linien (52) iwar zunächst frei um den vorderen Stutzkuppel-Auflagerpunkt (6) drehbar gewesen. Die drei übrigen Kissendach-Auflagerränder haben sich dann ergeben, weil die Formen von Stutzkuppel-Grund-Polygon und Kissendach-Um-Polygon fest aneinander gekoppelt sind, Jeder Kissendach-Eckpunkt (51) soll nämlich auf einer strichdoppelpunktierten Orientierungslinie (74) liegen, die vom Ursprung des Koordinatenkreuzes ausgeht und im Schnittpunkt (75) von zwei hier jeweils unterbrochen und verkürzt dargestellten Verlängerungen (76) der Randlinien (38) des Grund-Polygons der Stutzkuppel endet. Auf dieser Orientierungslinie liegen auch die „Kathede", d. h. eine nicht diagonale Seite (32) eines Grund-Polygon-Sektors (35) und deren Verlängerung (53). Diese Linien liegen hier nicht mehr rechtwinklig zur anschließenden Grund-Polygon-Seite (38) und nicht mehr in deren Mitte an diese anschließend. Jede Orientierungslinie kreuzt eine Grund-Polygon-Seite in einem außermittigen Punkt (37).
Die beiden am Bezugspunkt (39) nach hinten anschließenden Orientierungslinien (74) liegen in 24 auf einer Geraden mit der jeweiligen vorderen Orientierungslinie, weil dort hinten gedachte Verlängerungen von Grund-Polygon-Randlinien (38) sich nicht schneiden können, weil sie auseinanderlaufen. Eine Orientierungslinie (74) bestimmt für mindestens zwei Scherben durch Parallelität die genaue Ausrichtung derjenigen vertikalen Schar-Linienzug-Ebenen, welche sich mit denen in der Ausrichtung der Stutzkuppel-Randlbögen kreuzen. Die Schar-Linienzug-Ebenen sind hier in der Grundriß-Projektion auf der X-Y-Grundebene als gestrichelte Parallelen (42, 43) dargestellt. Die einen (42) davon liegen parallel zu den Orientierungslinien, die anderen (43) parallel zu den Grund-Polygon-Rändern.
Bevor diese Linien gezeichnet werden konnten, mußte noch ein dick hervorgehobener, bestimmender Schar-Rand (9) als einer von zwei Teilen eines Stutzkuppel-Randbogens („Schildbogens") in der senkrechten Ebene über der Rand-Seite eines Grund-Polygons festgelegt werden, der am vorderen Auflagerpunkt (6) beginnt, und der ohne Steigung in einem Schar-Eckpunkt (4) senkrecht über dem Schnittpunkt (37) des darunter liegenden Teilstücks (33) der Grund-Polygon-Seite (38) mit einer Orientierungslinie (74) endet. Die auf einem Kreisbogen liegenden Knotenpunkte (13) dieses Schar-Randes (9) bestimmen nun unmittelbar die nächsten Schar-Ebenen quer dazu und mittelbar alle weiteren zur Schar-Rand-Ebene parallelen Ebenen. Die Grundriß-Projektion dieser Knotenpunkte hat unmittelbar die Lage der gestrichelten Parallelen (42) zur Orientierungslinie festgelegt. Diese Parallelen enden auf einer geraden Verbindungslinie (34) zwischen einem Stutzkuppel-Polygon-Eckpunkt (6) und dem Bezugspunkt (37) im Ursprung. Hierdurch sind die Endpunkte der gestrichelten Parallelen (43) zum Teilstück (33) der Grund-Polygon-Seite (38) festgelegt gewesen. An die Verbindungslinie (34) sind weitere gestrichelte Parallelen (42, 43) angesetzt worden, u.s.w.. In der Verbindungslinie (34) schneidet sich die vertikale Ebene der Schnitt-Naht-Linie mit der horizontalen X-Y-Grundebene.
Die Knoten des bestimmenden, festzulegenden Schar-Randes (9) könnten in ihren Abständen auch durch deren zunehmende Verkürzung zum oberen Ende (4) hin in der Dichte variiert werden, um einen Sprung in der Maschendichte der begonnenen Scherbe zur unterschiedlich proportionierten, sich in 24 noch nicht andeutenden, rechts benachbarten Scherbe der anders proportionenierten, benachbarten Doppel-Scherbe zu vermeiden. Dies ist hier aber nicht passiert und würde in Platten-Bauweise auch nicht auffallen.
Die zeichnerische Konstruktion der gekrümmten Fläche der vorderen Doppel-Scherbe ist durch das Konstruieren der einzelnen Schnitt-Naht-Sehnen der Schnitt-Naht-Linie nacheinander geschehen. Sie hat, wie im Lupen-Ausschnitt oben rechts zu sehen, am zweituntersten Knoten (13) des bestimmenden, bereits festgelegten Schar-Randes begonnen. Dort ist eine Horizontal-Querlinie (40) angesetzt worden, welche parallel zu den beiden Abschnitten (52) des späteren, durch den vorderen Auflagerpunkt (6) verlaufenden vorderen Kissendach-Auflagerrandes (58) liegt. Diese Horizontal-Querlinie hat eine unbestimmte Länge gehabt und ist zunächst an einem Punkt (41), dem Schnittpunkt mit der noch zu zeichnenden Schnitt-Sehne (28) senkrecht über der Verbindungslinie (34) zwischen Auflagerpunkt (6) und Ursprung abgeschnitten worden. Eine gerade Linie zwischen dem Auflagerpunkt (6) und dem schon bestimmten Punkt (41) auf der Hroizontal-Querlinie (40) wurde durch Verlängerung zu einer Schnitt-Sehne (28), die in einem Schnitt-Naht-Knoten (27) endet. Dieser Schnitt-Naht-Knoten befindet sich senkrecht über einem Schnittpunkt (77), in dem sich vier der gestrichelten Parallelen (42, 43) treffen.
Damit war das linke Schnitt-Dreieck der ersten Naht-Masche festgelegt. Das nun asymmetrische rechte ist dann folgendermaßen entstanden: Die Horizontal-Querlinie (40) ist wieder gestrichelt verlängert worden, so daß sie nun in einem Punkt (46) senkrecht über der anderen am Auflagerpunkt (6) ansetzenden Grund-Polygon-Seite (38) der Stutzkuppel endet. Die zwischen diesem Punkt (46) und dem Auflagerpunkt (6) gezogene Linie ist noch bis zum Knoten (78) in der nächsten quer gelegenen Schar-Linienzug-Ebene verlängert worden, um die resultierende Rand-Sehne (79) einer ersten asymmetrischen, in 25 schraffiert zu sehenden Naht-Masche (31) zu werden.
An die Spitze (27) des fertig bestimmten Vierecks für die erste Naht-Masche ist in 24 dann eine dick gezeichnete Kopie der zweiten Sehne des bestimmenden, festgelegten Schar-Randes (9) in paralleler Lage angesetzt worden. An diese Kopie ist wieder oben eine Horizontal-Querlinie (40) parallel zur ersten Horizontal-Querlinie angesetzt worden, Die Vorgänge sind analog zur ersten Naht-Masche fortgesetzt und noch zweimal wiederholt worden, bis der Zenith (5) erreicht war. Von da aus ist dann „rückwärts" nach unten zum nächsten Stutzkuppel-Auflagerpunk weitergezeichnet worden.
Den Rest der Stutzkuppel durch paralleles Kopieren von Sehnen entsprechend zu ergänzen, bis ihr Maschen-Netz vollständig wie in 25 geworden ist, ist dann einfach gewesen. Die dort als Netz fertige unregelmäßig viereckige Stutzkuppel (80) ist zum Kissendach erweitert worden, wie es mit der dreieckigen (49) aus 6 in 8 geschehen war.
In gleicher Weise wie in 24 und 25 könnte eine unregelmäßige Stutzkuppel oder ein Kissendach mit mehr als vier Ecken entstehen.
Die Stutzkuppel könnte auch in all ihren Scherben eine Streck-Trans-Maschenteilung haben. Davon könnten zweimal zwei spiegelsymmetrische Scherben eine vorteilhafte, spezielle Streck-Trans-Maschenteilung haben, wobei der Zenith dann aber in der Lage im Grundriß nicht mehr frei wählbar wäre.
Bislang haben sich alle Scherben einer Schale ausschließlich im Zenith getroffen. Die Schale mit quadratischem Umriß im Grundriß in 26 hat vier Eck-Knoten, (81), in denen die Schnitt-Ecken von mehreren Doppel-Scherben zusammentreffen. Da diese nicht im Zenith der Schale, sondern irgendwo weit daneben zusammentreffen, werden solche Eck-Knoten im folgenden „Neben-Zenithe" genannt. An jedem Neben-Zenith treffen hier die Ecken einer antiklastischen, asymmetrischen Doppel-Scherbe (30) des Formats A + B, einer zu dieser spiegelbildlichen Doppel-Scherbe des Formats A' + B' und einer synklastischen, symmetrischen Doppel-Scherbe des Formats C + C' zusammen. Die vier Doppel-Scherben des Formats C + C' am Zenith (5) oben bilden zusammen eine kleine konventionelle Translations-Stutzkuppel.
Die Schale in 26 hat eine Grundfläche aus nicht nur einem Grund-Polygon, sondern aus vier Grund-Polygonen, und zwar jeweils in der Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks zwischen dem Ursprung und zwei Auflagerpunkten (6), die in 27 zu sehen sind. Die nicht dargestellten sechs Sektoren des gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks treffen sich in einem Punkt (82) senkrecht unter dem Neben-Zenith (81)
Ein Achtel-Bereich der ganzen Kuppel-Schale aus 26 über einem halben Grund-Polygon ist in 27 dargestellt. Dort ist auch sichtbar, wie zunächst eine antiklastische Doppel-Scherbe (30) des Formats A + B mit in der Grundriß-Projektion dargestelltem dicken geraden Rändern und deren Parallelen (42, 43) entstand. Die den vordersten Auflagerpunkt (6) enthaltende, bestimmende und schon festgelegte, dick und verlängert gezeichnete Schnitt-Naht-Linie (26) dieser Doppel-Scherbe ist geradlinig, aber geneigt, und hat als Drehachse für die gegeneinander verdrehten Naht-Maschen (31) gedient, deren Ebenen-Ausrichtung mittels senkrecht durch die Schnitt-Sehne (28) in einem Schnittpunkt (41) als Drehtpunkt führender windschiefer Querlinien (83) festgelegt worden ist. Die Winkel der Verdrehung der Naht- Maschen sind leicht unterschiedlich, wie die auf eine Linie reduzierte Parallelprojektion der Naht-Maschen in Richtung der geraden Schnitt-Naht-Linie auf die zu ihr normale Kreisfläche unten zeigt. Alle vier Schnitt-Sehnen (28) sind gleich lang. Die beiden unteren Schar-Sehnen (15) jeder Naht-Masche dieser Doppel-Scherbe sind in der Lage dadurch festgelegt, daß sie beide jeweils in einer Schar-Linienzug-Ebene liegen, die sich mit der X-Y-Grundebene in einer Rand-Parallele (43) zu einem Sektoren-Rand (33) am Schalen-Rand schneiden. So stehen die Rand-Ebenen dieser Doppel-Scherbe zueinander in Winkeln von je einmal 45° und 135° und zweimal 90°. Das sind Winkel von (360:n)°.
Für die danach gezeichete Doppel-Scherbe des Formats C + C' ist zunächst eine resultierende, dick gestrichelte Schnitt-Naht-Linie (26) zwischen Neben-Zenith (81) und Zenith (5) gezeichnet worden. Deren Schnitt-Sehnen sind in der Grundriß-Projektion gleich lang. Die Steigung jeder einzelnen tatsächlichen Schnitt-Sehne ergab sich wieder durch ihren Schnittpunkt (41) mit einer Horizontal-Querlinie (40) mittig zwischen zwei symmetrischen Schar-Sehnen (15) einer Naht-Masche. Diese Schar-Sehnen sind vom obersten Schar-Rand (9) der antiklastischen Scherbe des Formats A + B übernommen. Dieser Schar-Rand (9) ist für die zuerst festgelegte Doppel-Scherbe der Sorte A + B nur ein resultierender Rand, aber für die Doppel-Scherbe der Sorte C + C' oben im Zenith ist er der bestimmende Rand.
Die in 27 dargestellte Konstruktion für sich garantiert noch keine fließenden, stetigen Übergänge zwischen zwei Scherben verschiedener Formate am gemeinsamen Schar-Rand (9). Die Art der Verdrehung der Naht-Maschen-Ebenen eines antiklasstischen Schalen-Stücks ist ohne Regel. Nur durch widerholtes, teilweise oder ganz neues Konstruieren ergibt sich ein regelmäßiger visueller Eindruck. Die Flächen-Krümmung der Auflager-Eckbereiche der Schale ist relativ gering.
Auch die Schale in 28 mit drei ausgestülpten Öffnungen ist ähnlich frei geformt. Hier treffen sich Doppel-Scherben (30) des Formats A + B und drei spiegelbildliche (30) des Formats A' + B' in wieder nur einem Punkt (5), dem Zenith. Drei Schar-Rand-Ebenen jeder Doppel-Scherbe stehen wiederum senkrecht auf der Grundfläche, während die vierte neuerdings waagerecht in der X-Y-Grundfläche selbst liegt.
Jede Doppel-Scherbe besteht aus einer kleineren, ausschließlich antiklastischen Scherbe des Formats A oder A' und einer größeren, gemischt gekrümmten Scherbe des Formats B oder B', die an ihrem unteren Eckpunkt (6) und an ihrem Schar-Eckpunkt (4) antiklastisch, am oberen Eckpunkt (5) aber synklastisch ist.
29 zeigt die geometrische Konstruktion einer Doppel-Scherbe des Formats A + B: Die im Ergebins vorweggenommene resultierende Schnitt-Naht-Linie verläuft hier nicht in einer Ebene – auch nicht in einer geneigten. Die Grundriß-Projektion (84) der Schnitt-Naht-Linie ist als gekrümmte Linie auf der X-Y-Grundebene dargestellt.
Der in einer vertikalen Ebene liegende bestimmende Schar-Rand (8) der linken Scherbe (24) des Formats A war als eine aus der regelmäßigen Dehnung eines gleichmäßig geteilten Viertelkreises entstandene Viertel-Ellipse zuerst festgelegt worden. Der in der Grundfläche liegende Schar-Rand (9) als Auflager-Linie war zunächst – ausgehend von einer Kreisbogen-Form – aus gleich langen Schar-Sehnen zusammengesetzt gewesen. In dieser Form hatte sich aber in der anderen Scherbe des Formats B im dick gestrichelten, oberen Schar-Rand (85) nur eine einzige Krümmungsrichtung ergeben gehabt. Das wiederum hatte zur Folge gehabt, daß sich keine Aufbiegung des frei tragenden Randbereichs einer Ausstülpung für einen beabsichtigten stetigen Übergang zu einer gleichartigen Nachbarkuppel ergeben hatte. Der resultierenden Schar-Rand (85) für die Scheitellinie einer Schalen-Ausstülung mußte also die Form einer Kurve erhalten, deren Anfangs- und End-Steigung gleich Null ist, und die einen Wendepunkt hat. Um dies zu bewirken, mußte der untere, horizontale Schar-Rand (9) mehrmals hin und her gebogen werden.
Der letzte resultierende Schar-Rand (86) in der vertikalen Ebene für die Hälfte eines Öffnungs-Randes einer Schalen-Ausstülpung hat schließlich zwangsläufig an seinem oberen Endpunkt im Scheitelpunkt (4) die Steigung 0, so daß ein Spitzbogen als Öffnungsrand und durch diesen unstetige Flächen-Übergänge in der Ausstülpung vermieden werden.
Die parallelen Hilfslinien (44, 45), die an die Endpunkte (27) der Schnitt-Sehnen angesetzt sind, und die hier in X- und Y-Richtung verlaufen, zeigen in einer gedachten Sicht senkrecht von oben die Ebenen, in denen zu konstruierende Schar-Sehnen enden müssen. Bis zu diesen Ebene führen auch wieder die geneigten Querlinien (83), welche in einem beliebigen Punkt (41) die Schnitt-Sehnen (28) kreuzen. Diese geneigten Linien gehen von einem Knoten (13) einer Naht-Masche aus.
Eine solchermaßen gekrümmte Schale wie in 28 kann auch andere Proportionen haben, wie die Schale (87) in 30 zeigt, welche in 31 zum Teil eines ausgerundeten Tunnel-Systems wird. Dessen Mittelachsen (88), im folgenden „Tunnel-Achsen" genannt, treffen sich in einem wabenförmigen, ebenen Gitter-Muster in Gitter-Knoten (89) jeweils in der Mitte einer Schale (87).
Die geometrischen Konstruktionen in 27 und 29 sind zeitaufwendig. Außerdem sind die Form von Kuppelrand und -querschnitt noch stark aneinander gekoppelt. Das Manipulieren an einzelnen Facetten und Maschen wie ein Bildhauer oder Schneider ist mathematisch ungenau und birgt die Gefahr des Entstehens von einzelenen zu starken Knicken, d. h. von Unstetigkeit in der gekrümmten oder gekrümmt erscheinenden Gesamt-Fläche.
Deswegen werden im folgenden regelhafte Vorgehensweisen angewandt, die das Entwickeln einer passenden Schalen-Form einfacher machen, die dann durch Software generiert werden kann.
Dabei kommen zum einen mehr Schalen-Stücke, die an mehr Eck-Knoten (5, 6) enden, in einer Schale zur Anwendung. Zum anderen müssen die Schar-Linienzug-Ebenen nicht mehr nur vertikal oder horizontal sein, sondern können jede beliebige Ausrichtung im Raum annehmen. Um dabei die räumliche Vorstellung nicht zu verlieren, werden regelmäßige oder einfache Schalen-Formen als Grundformen gewählt, die nicht nur zu unregelmäßigeren Formen abgewandelt, sondern auch einfach in fließenden Übergängen erweitert und geöffnet oder geschlossen werden können.
Das bisherige Vorgehen für die Entwicklung von steilwandigeren Schalen und Blobs wird nun räumlicher. Das Grund-Polygon, d. h. das Polygon, über dem Scherben aufgespannt werden, ist nun nicht mehr Bestandteil der X-Y-Grundebene der Schale, sondern wird nun als ebene, vorzugsweise horizontal liegende Seitenfläche zum Bestandteil eines in 32 zwar sichtbaren, aber nur als geometrische Basis gedachten Polyeders (90), welches im folgenden „Grund-Polyeder" genannt wird. Das hat zur Folge, daß nur noch maximal eine der beiden Schar-Rand-Ebenen jeder darauf basierenden Scherbe senkrecht zum jeweiligen Grund-Polygon steht.
Solch ein Grund-Polyeder (90) ist zunächst konvex und der Einfachheit halber regelmäßig, also spiegelsymmetrisch, vorzugsweise ein Würfel, wie hier zu sehen, der mit seinem Zentrumspunkt als räumlichem Bezugspunkt (91) im Ursprung des Koordinatensystems liegt und zu dessen Achsen parallel ausgerichtet ist.
Ein rechtwinklig dreieckiger Achtel-Sektor (35) der quadratischen, oberen, horizonalen Würfel-Seitenfläche als Grund-Polygon (36) wurde zunächst mit einer sphärischen, dreieckigen Fläche überspannt, die zu einer Kugeloberfläche gehört, die den Würfel-Mittelpunkt als Zentrumspunkt hat. Die Rand-Bögen dieses Ausschnitts einer Kugeloberfläche liegen in den Rand-Ebenen der zu bildenden Scherben.
Die Scherben können in diesen Rand-Ebenen als Spiegel-Ebenen wie in einem Kaleidoskop zu einer ganzen Schale vervielfältigt werden. Die drei Kaleidoskop-Spiegel sind hierbei aber nicht wie gewohnt parallelwandig, sondern immer durch den Zentrumspunkt (91) gehend zu denken. So wie das im Umriß dargestellte sphärische rechtwinklige Dreieck hat auch die diesen Platz mit leichten Abweichungen von der Kreisoberfläche einnehmende, in der nebenstehend verschoben gezeichneten Kappe enthaltene Scherbe (24) des Formats A die Eck-Winkel von 30° und 60°; sie hat ebenfalls örtlich an ihren drei Eck-Knoten (4, 5, 6) eine Oberfläche, die normal zu jeweils einer der radialen Linien (92, 93, 94) zwischen dem jeweiligen Eck-Knoten und dem Polyeder-Zentrumspunkt (91) liegt.
Zwei Scherben (24) z. B. der Formate A und A' sind – wie bisher auch – zu einer Doppel-Scherbe (30), hier also eines Formats A + A' zusammengesetzt. Auch wenn die Doppel-Scherben grundsätzlich von sphärischen Flächen abweichen, kommen sie diesen bei den meisten noch zu zeigenden Beispielen mit hohem Symmetriegrad sehr nahe, und zwar deshalb, weil es die Kontenpunkte des längern, hier vertikalen Schar-Randes (8) als bestimmender festgelegter Rand sind, welche auf einem Kreisbogen liegen.
Mehrere Doppel-Scherben können zu einer „Kappe" (49, 80) zusammengesetzt werden. Die Ebenen der aus je zwei Schar-Rändern bestehenden vier Rand-Bögen (48) der viereckigen Kappe (80) sind hier nicht senkrecht zum Grund-Polygon, wie dies bei einer Stutzkuppel der Fall ist, sondern in einem Winkel von 45° zu dessen Flächennormale, hier gleich Z-Achse, geneigt. Eine erfindugsgemäße Stutzkuppel (80) ist also der Sonderfall einer erfindungsgemäßen Kappe (80) mit einer Neigung von 0° der Rand-Bogen-Ebenen gegenüber der Grund-Polygon-Normale.
Während Stutzkuppeln aber in nur diskontinuierlichen Übergängen zu Gewölben zusammengestzt werden können, können unter den vorgenannten Bedingungen die Kappen wie die Stücke eines Balls aneinadergesetzt werden und mit unauffälligen, fließenden Übergängen die feinmaschige Oberfläche einer konvexen steilwandigen Schale wie in 39 und 42 bilden. Eine solche Schale hat nun Scherben-Eck-Knoten (5) als „Zenithe" nicht nur in der Z-Richtung, sondern auch in positiver und negativer X- und Y-Richtung. Sie kann auch anders in dreieckige Kappen (49) mit anderen „Zenithen" (6) aufgeteilt sein:
Die wie eine viereckige Kappe (80) ebenfalls in 32 vom Grund-Polyeder abgerückt dargestellte dreieckige Kappe (49) hat einen hier waagerecht gelegenen ebenen Rand-Bogen und zwei hier senkrecht stehende ebene Rand-Bögen. Diese Kappe spannt sich „über" bzw. an einem nun geneigt liegenden Grund-Polygon in der Form eines gleichseitigen Dreiecks auf, diesmal mit einer Neigung von 35, 26° zur Dreicksflächen-Normale, der Raumdiagonale (92) des Würfels. Dieses Dreieck ist das Seiten-Polygon eines Oktaeders, des zum Würfel dualen Polyeders. Wir bleiben aber zunächst beim Würfel als konvexem Grund-Polyeder.
Wenn man bei der Vorstellung bleibt, daß sich die bestimmenden und festgelegten längeren Schar-Ränder (8), welche hier die Ränder der dreieckigen Kappe (49) aus Scherben mit Tranlations- oder mit Streck-Trans-Maschenteilung bilden, mit ihren Knotenpunkten exakt auf der Oberfläche einer Um-Kugel des Würfels befinden, dann weichen die Scherben-Eckpunkte (6) leicht von den Würfel-Eckpunkten mit Richtung Zentrumspunkt (91) ab. In allen Zeichnungen ist diese verwirrende Abweichung zwischen Scherben-Ecke und Grund-Polyeder-Ecke dadurch beseitigt, daß die Scherbe vom Ursprung aus ganz geringfügig vergrößert wird.
Wir bleiben in 33 zunächst bei einer einzelnen Scherbe in Bezug auf einen Würfel, der dort auf ein Achtel reduziert dargestellt ist. Das Besondere an den Scherben (24) „über" Polyedern ist, daß ihre beiden Schar-Rand-Ebenen und ihre Schnitt-Naht-Ebene nicht wie die Spiegel-Ebenen eines Kaleidoskops sich in parallelen Linien schneiden, sondern sich mit ihren Schnittlinien (92, 93, 94) im Bezugspunkt (91) treffen. Die beiden Schar-Rand-Ebenen oder die in 33 sichtbaren Ausschnitte (95, 96) von diesen Ebenen einer Scherbe (24) schneiden sich rechtwinklig in der Linie (92), welche den Bezugspunkt (91) mit der Schar-Ecke (4) der Scherbe verbindet und eine Grund-Polygon-Seite (38) bzw. Grund-Polyeder-Kante in der Kanten-Mitte (37) schneidet. Die Schnitt-Naht-Linien-Ebene oder ihr sichtbarer Ausschnitt (97) schneidet sich mit dem vertikalen Schar-Rand-Ebenen-Ausschnitt (95) in einer senkrechten Linie (93) durch die Grund-Polygon-Mitte (39) auf der Z-Achse. Sie schneidet sich außerdem mit dem geneigten Schar-Rand-Ebenen-Ausschnitt (96) in der Raumdiagonale (94) durch den Würfel-Eckpunkt (6).
Innerhalb des von den drei Rand-Ebenen-Ausschnitten (95, 96, 97) abgegrenzten, räumlich sektoralen Bereiches sind Ausschnitte von sich durchkreuzenden Schar-Linienzug-Ebenen dargestellt, die parallel zu einem der beiden Ausschniitte (95, 96) der Schar-Rand-Ebenen liegen. Alle Ebenen-Ausschnitte sind zusätzlich noch einmal herausgezogen dargestellt. Die spätere Scherbe soll im Beispiel drei Sehnen pro Randlinie haben. Deshalb gibt es jeweils zwei Schar-Linienzug-Ebenen-Ausschnitte (98) in senkrechter Lage und zwei geneigte Schar-Linienzug-Ebenen-Ausschnitte (99) mit 45°-Neigung.
Die geneigten Schar-Ebenen-Ausschnitte (96, 99) schneiden sich mit einer vertikalen Schar-Rand-Ebene in der Y-Z-Ebene in parallelen Linien (100) und mit dem vertikalen Schnitt-Naht-Ebenen-Ausschnitt (97) in parallelen Linien (101), welche parallel zur Raumdiagonale (94) liegen.
Von der vertkalen Y-Z-Ebene aus, die den Ausschnitt (95) der Schar-Rand-Ebene enthält, die hier normal zu einer in 33 großenteils verdeckten Grund-Polygon-Seite bzw. Polyeder-Kante (38) liegt und deren Seitenmitte (37) enthält, wird in 34 die Erzeugung der Maschen bestimmt. In dieser vertikalen, der Y-Z-Ebene ist der bestimmende Schar-Rand (8) aus gleich langen Schar-Sehnen (14) festgelegt worden. Durch dessen Knoten (13) führen die parallelen Linien (100), in denen sich diese Ebene mit den geneigten und rechtwinklig quer zu dieser liegenden Schar-Rand-Ebenen schneidet.
Von dem nach dem Zenith (5) obersten, sich als Knickpunkt darstellenden Knoten (13) dieses Schar-Randes aus ist in einer Richtung normal zum Ausschnitt (97) der vertikalen Ebene der Schnitt-Naht-Linie eine Horizontal-Querlinie (40) gezogen worden, die in diesem Ebenen-Ausschnitt (97) in einem Flächen-Punkt (41) zunächst geendet ist. Dann ist von der oberen Schnitt-Ecke (5) der zu generierenden Scherbe – in dieser Lage identisch mit dem Zenith der späteren Schale – eine Linie (28) bis zu dem Flächen-Punkt (41) gezogen worden und diese Linie als Schnitt-Sehne bis zu dem Schnitt-Naht-Knoten (27) verlängert worden, an dem sie auf die oberste querliegende, 45° geneigte Schar-Linienzug-Ebene trifft, die sich in einer gedachten Sicht aus der X-Achsen-Richtung als die oberste der parallelen Linien (100) abbildet. Dieser Schnitt-Naht-Knoten (27) ist der untere Eckpunkt der obersten, schraffiert hervorgehobenen Naht-Masche (31) einer synklastischen Scherbe (24), die bereits in 32 fertig vorweggenommen enthalten ist. Der zuletzt noch fehlende vierte Eckpunkt (78) der Masche links entsteht durch die gestrichelte Verlängerung der Horizontal-Querlinie (40) nach links bis zur nächsten Linienzug-Schar-Ebene, die zur anderen Scherbe der Doppel-Scherbe gehört, und die hier direkt auf der X-Z-Ebene und bei weiteren Naht-Maschen parallel zur X-Z-Ebene liegt. Dieser vierte Punkt (78) entsteht hier wegen der Würfel-Symmetrie aber einfacher durch Spiegelung des obersten Knotens (13) des bestimmenden festgelgten Schar-Randes (8) in der Schnitt-Naht-Ebene als Spiegel-Ebene. Die fertige Naht-Masche (31) hat, wie die daran anschließenden Naht-Maschen, aufgrund der Speigelsymmetrie des Grund-Polygons die Form eines Flugdrachens. Die übrigen Naht-Maschen wurden genauso wie die erste konstruiert. Die am obernsten Knickpunkt (13) unten anschließende Schar-Sehne (14) des bestimmenden festgelegten Schar-Randes ist dabei als Kopie (14) in paralleler Ausrichtung an den unteren Eckpunkt (27) der oberen Naht-Masche angesetzt worden.
In 35 hat bereits die Ergänzung um alle weiteren parallelen Sehnen in einer eng schraffiert hervorgehobenen synklastischen Scherbe (24) innerhalb einer dreieckigen Kappe (49) stattgefunden. Die Sehnen der oberen, schraffierten Doppel-Scherbe (30) sind zusätzlich als dünn ausgezogene Linien und die Sehnen der beiden übrigen baugleichen Doppel-Scherben als gestrichtelte Linien in die X-Y-Ebene projiziert.
Die Ebenen der vier Schar-Ränder (8, 9) und der Schnitt-Naht-Linie (26) jeder Doppel-Scherbe treffen sich, wie beabsichtigt, in einem gemeinsamen Bezugspunkt (91), welcher hier der Zentrumspunkt des Grund-Polyeders bzw. Würfels (90) ist. Die Schnitt-Sehnen (28) der Schnitt-Naht-Linie (26) sind verschieden lang – ebenso wie die hintereinander liegenden Sehnen (15) eines resultierenden Schar-Randes (9) in der Ebene mit 45°-Neigung.
Nebeneinander im Maschen-Abstand parallel liegende Schar-Sehnen (14, 15) der gleichen Linienzug-Schar einer Scherbe haben hier aber immer die gleiche Länge, was typisch für die ideale Translations-Maschenteilung ist.
Wie ein einzelnes Grund-Polygon in 22 kann auch ein regelmäßiges Polyeder mit Scherben überspannt werden, die eine spezielle zentrische Streck-Trans-Maschenteilung haben und somit mit wenigen Maschen-Formaten auskommen.
In 36 als Beispiel wird die geometrische Konstruktion einer Scherbe als Ausschnitt aus der Oberfläche eines konvexen Körpers mit einer rotationsymetrrischen Maschen-Feinteilung ähnlich einem Globus mit Breiten- und Längengraden, dessen Knoten aber von der Kugeloberfläche abweichen, vorbereitet. Die Pole sind auf der X-Achse liegend vorzustellen. So stellen die drei senkrechten Ebenen-Ausschnitte (95, 98) die Breitenkreis-Ebenen dar, während die Ebenen der drei Längenkreis-Ebenen-Ausschnitte (96, 102) aufeinander zulaufen und sich in der X-Achse als Bezugslinie (103) schneiden. Nur noch der Ausschnitt (96) der Ebene des geneigten Schar-Randes (9) ist in Zuschnitt und 45°-Neigung der gleiche wie in 33. Die Äquator-Linie in der senkrechten Y-Z-Ebene, die den bestimmenden festgelegten Schar-Rand enthält, ist sinnvollerweise weit von der durch verdichtete Maschenteilung nachteiligen Pol-Region entfernt.
Die Bezugslinie (103) einer Scherbe für die Streckung von Teilen eines Schar-Randes liegt hier anders zu dieser Scherbe als die Bezugslinie (72) in 22. Die Bezugslinie (103) hier liegt nicht in einer Schar-Rand-Ebene der betreffenden Scherbe, sondern normal zu einer Schar-Rand-Ebene.
In 36 sind die radialen Schnittlinien (104) der geneigten Schar-Ebenen-Ausschnitte (96, 102) mit dem vertikalen Schar-Rand-Ebenen-Ausschnitt (95) dargestellt – analog zu den parallelen Ebenen-Schnittlinien (100) in 33. Ebenso sind in Analogie zu 33 die Schnitt-Linien der geneigten Schar-Linienzug-Ebenen-Ausschnitte mit dem vertikalen Schnitt-Naht-Ebenen-Ausschnitt (97) dargestellt, welche aber als radiale Linien (105) wie die Raumdiagonale (94) vom Ursprung ausgehen – also nicht mehr parallel zu dieser liegen.
Die geometrische Konstruktion einer Scherbe in 37 entspricht der von 34. Jedoch müssen alle in paralleler Lage vom Schar-Rand (8) in der Y-Z-Ebene her auf die Scherben-Oberfläche hin kopierten Schar-Sehnen (14) zusätzlich eine Streckung bekommen, und zwar mit negativem Vorzeichen, also eine Kürzung, damit sie mit ihren dadurch neuen Endpunkten (13) jeweils auf einen geneigten Schar-Linienzug-Ebenen-Ausschnitt (102) oder geneigten Schar-Rand-Ebenen-Ausschnitt (96) wirklich auch schon enden und nicht zu lang bleiben. Die in 37 an einer Sehne noch nicht erfolgte Kürzung der Schar-Sehnen (14) muß in der gedachten Sicht aus der X-Richtung durch die in der Y-Z-Ebene liegenden radialen Linien erfolgen. An jede gekürzte Sehne wird genauso angeschlossen wie in 34. Die Knoten (13) innerhalb der geometrisch zu konstruierenden Scherbe und die Schnitt-Naht-Konten (27) liegen lediglich an etwa anderen Stellen als die entsprechenden Knoten in 34.
Auch in 38 wird eine dreieckige Kappe (49) dargestellt. Diese hat zwar die gleichen Ränder und die sonstigen Merkmale wie die in den ersten beiden Absätzen der genauen Erläuterung für 35 beschriebenen. Die hier angewandte Streck-Trans-Maschenteilung bewirkt aber andere Proportionen in der fein schraffiert hervorgehobenen Scherbe:
Die hintereinander an einem Knoten (13) liegenden Sehnen (14) in jedem einzelnen Linenzug (8, 10) innerhalb einer Ebene normal zur Grund-Polyeder-Kante – hier also in der vertikalen Ebene – sind zwar noch gleich lang. Jeder solche Linienzug hat aber eine andere einehitliche Sehnenlänge. Und die nebeneinander im Maschen-Abstand liegenden Schar-Sehnen (15) verschiedener Linienzüge (9, 11) in geneigten Ebenen sind zwar noch gleich lang, aber leicht disparallel.
Die Unterschiede in der Flächen-Größe zwischen dem kleinsten und dem größten Maschen-Format in 38 sind größer als in 35. Die Annäherung der Knoten an die Kugeloberfläche ist aber größer.
In 39 wird ein kleines Wohnhaus gezeigt, das mit seiner Kuppelform unten um eine Maschen-Reihe über eine Halbkugel hinausgeht, wodurch sich der Einbau senkrechter Öffnungen im Erdgeschoß vereinfacht und das Dachgeschß gut nutzbar ist. Die Maschen-Formate a, b, c, d und e entsprechen genau den Proportionen der Ausformung in 38. Dazu gibt es noch drei weitere Formate f, f und g für die übrigen Maschen. In den vertikalen Schar-Linienzug Ebenen können sauber Trennwände eingezogen werden; in einer horizontalen Schar-Linienzug-Ebene kann sauber eine Geschoßdecke eingezogen werden. Die Abweichung von um den oberen Zenith (5) herum liegenden Knotenpunkten (13) aus einer solchen Ebene verschwindet in der Materialdicke von Wand und Decke. In der Lage am Basis-Rand und seitlichem Zenith (5) wurden zwei drachenförmige Naht-Maschen des Formats a einfach durch Trapez-Maschen des Formats d ersetzt.
Anstelle von zwei drachenförmigen Naht-Maschen des Formats a und zwei trapezförmigen Vierecks-Maschen des Formats d am vorderen Zenith kann eine senkrechte, quadratische Doppel-Fenster-Tür-Öffnung mit einem besonders für den Anschluß an die umliegenden Maschen-Platten augebildeten, umlaufenden Gewände-Türrahmen (106), welcher auch die Schwelle umfaßt, hergestellt werden. Dieser hat unvermeidlich eine wechselnde Tiefe. Deshalb hat er wenigstens überall die gleiche Rahmen-Dicke haben sollen. Deshalb ist jedes mit einer Schar-Sehne bzw. Aufkantung unmittelbar daran angenzende umliegende Flächen-Element von seiner ursprünglich symmetrischen Trapez-Form her so verändert, daß die längere der ungleich langen und parallelen Trapez-Sehnen an ihrem einen Ende in Richtung Öffnung geradlinig verlängert ist. So sind die beiden gegenüber 38 neuen Maschen-Formate f und f erforderlich geworden. In diese Kuppel sind außerdem ein kleiner (107) und ein großer (108) Dachflächenfenster-Gewände-Rahmen eingefügt. Der Kleinere davon gehört zu einer nach oben aufklappbaren Dachluke. Wegen dieser ist für die drei umliegenden Bauelemente das dritte, gegenüber 38 zusätzliche Maschen-Format g, ein gliechschenkliges Dreieck, erforderlich geworden.
Zwei Schnitt-Symbole in 39 weisen auf zwei in 40 und 41 im Kanten-Querschnitt dargestellte Konstruktionsarten für Schalen mir flächiger Lastabtragung hin.
In 40 sind zwei zweifach am Rand nach innen gekantete Bleche (109) als tragende, raumabschließende und wasserdichte Elemente stumpf gestoßen und im Stoß aneinandergeschraubt. Die Dichtigkeit ist hergestellt durch im Stoß eingeklemmte Gummi-Profile (110) mit dauereleastischen Verfugungen (111) darüber und darunter. An die tragenden Kantblech-Elemente (109) sind inwändig Dämmplatten (112) angeklebt, deren Zwischenräume ausgestopft und ausgeschäumt sind. Schließlich sind inwändig Verkleidungs-Platten (113) aufgeklebt.
Wegen der unterschiedlichen Flächengrößen der Streck-Trans-Maschen-Elemente aus verschiedenen Maschen-Reihen und wegen des geringem Teilungsgrads der Kuppel besteht den Vorteil, daß mehrere unterschiedlich große Kantblech-Bauelemente zum Transport ineinandergelegt werden können. Statt Blech wäre auch GFK oder Polymer-Glas ohne Dämmung denkbar.
In 41 wird die zweite flächige Konstruktionsart gezeigt. Zwei randverstärkte Sandwich-Platten-Elemente (114) sind über einseitig an diese außen und innen angesetzte Laschen (115) miteinander verschraubt. Das Muster der äußeren Laschen ist im vorderen rechten Bereich des Wohnhauses in 39 schematisch zu sehen. Dort sind nur diejenigen Hälften des Laschen-Profils dargestellt, welche über das Element hinausragen und auf der Baustelle der Verschraubung dienen. Die fest mit dem Element verbundenen Laschen-Hälften fehlen in der Darstellung. Das Muster der Anordnung der Laschen ist um jeden Knotenpunkt (13) herum gleichermaßen drehsymmetrisch. Im Stoß zwischen zwei Platten-Elementen (114) kann durch Füllungen (116) in Form von sich selbst ausdehnenden Dichtungsbändern nur Winddichtigkeit hergestellt werden. Die Dachdichtung muß in einer nicht dargestellen, separaten Schicht hergestellt werden.
Diese Konstruktionsart aus 41 eignet sich insbesondere für die Sternwarten-Kuppel in 42 mit den gleichen Maschen-Formaten a bis f und f wie das Wohnhaus in 39. Die Teilungsart dieser Kuppel. die im unteren Bereich nach unten sogar um zwei Maschen-Reihen über eine angenäherte Halbkugel hinausgeht, erlaubt hier in einfacher Weise die parallelseitige Schlitz-Öffnung im Dach für die auf einer Kreisbahn verschiebliche Öffnungs-Abdeckung (117). Die Sternwarten Kuppel soll aber trotz der großen, langen Öffnung ohne besondere Verstärkung am Öffnungs-Rand steif bleiben. Hierfür ist die Konstruktinsart aus 41 deshalb die bessere, weil sie wegen der Verbund-Wirkung der Sandwich-Schichten und wegen der zusätzlichen Element-Verbindung an der Innenseite der Kuppel fester ist.
Die gemischt gekrümmte Schale (118) in 43 ist wie die vorhergehenden, rein synklastisch gekrümmten Schalen in 39 und 42 um ein konvexes Grund-Polyeder herum generiert. Sie zeigt ein schraffiert hervorgehobenes, homogenes, einer Raute ähnliches, symmetrisches Schnitt-Viereck (56) innerhalb von vier Schnitt-Naht-Linien zwischen vier Eck-Knotenpunkten (5, 5, 6, 6), das aus vier um einen gemeinsamen Schar-Eckpunkt (4) herum liegende Scherben (24) zusammengesetzt ist.
An jedem „dreiwertigen", auf der Würfel-Ecke liegenden Eck-Knoten (6) stoßen auch hier jeweils insgesamt drei ganze oder halbierte Schnitt-Vierecke (56) zusammen, während an den beiden anderen „n-wertigen" Eckpunkten (5) hier jeweils vier Schnitt-Vierecke zusammentreffen. Wenn das regelmäßige Grund-Polyeder kein Würfel ist, wie später noch gezeigt wird, dann wird die Zahl n eine andere sein.
Die Eck-Knotenpunkte (5, 6) einer „Raute" liegen 43 fast in einer Ebene, wodurch ihre Lage den Eckpunkten eines Rhombendodekaeders sehr nahe kommt.
In 39 und 42 hatte jede Scherbe an ihrem längeren Schar-Rand die Form nur eines einzigen Kreisbogens. Hier in 43 hat jede Scherbe sowohl synklastische als auch antiklastische Flächenbereiche. Der mit acht Sehnen dargestellte, in einer hier vertikalen Ebene – allgemeiner gesagt in einer Ebene normal zu einer Grund-Polyeder-Kante – liegende Schar-Rand (8) einer solchen, hier aus der Schale kopierten und nach unten herausgezogenen Scherbe hat einen Wendepunkt, d. h. einen Wechsel der Krümmungs-Richtung bzw. bei facettierter Ausführung einem Wechsel der Knick-Richtung. Die obersten vier Sehnen dieses Schar-Randes stammen aus einem vierteiligen Schar-Rand einer für eine rein synklastische Schale bestimmten Scherbe eines Formats A, die in 44 oben zu sehen ist.
Mit ihren vergleichsweise vielen Maschen kann die gemischt gekrümmte Schale (118) in 43 auch aus rein erfindungsgemäßen, synklastischen Doppel-Scherben, aus konventionellen, rein antiklastischen Vierecks-Flächen sowie einer nach innen gebeulten, erfindugnsgemäßen, rein synklastischen dreieckigen Kappe mit „Zenith" (6) in der Würfel-Raumdiagonale zusammengesetzt sein. Solche Schalen-Stücke sind in der Darstellung der Schale links über dem negativen X-Y-Quadrant durch dicke Linien voneinander unterschieden.
Fast alle nun folgenden Beispiele sind wieder reduziert auf Scherben mit bereits bei der geometrischen Generierung über einem konvexen Grund-Polyeder einheitlich gekrümmtem, bestimmenden festgelegten Rändern. Ausschließlich synklastische und ausschließlich antklastische Scherben werden im folgenden zur modularen Verwendung so vereinheitlicht, daß sie aneinanderpassen.
Ausgangspunkt ist in 44 oben ein Würfel als konveses Grund-Polyeder (90) wie in 32 mit einer diesmal etwas feiner in Maschen unterteilten Scherbe (24) der in einem Baukastensystem von 49 bis 79 verwendeten Formate A über einem Achtel-Sektor (35) eines quadratischen Grund-Polygons (36) dieses Grund-Polyeders.
Bekanntlich können Würfel dicht gepackt werden, also lückenlos gereiht und gestapelt werden. Wenn man nun schachbrettartig von einer Dichten Packung von hohlen Würfeln in jeder Raumrichtung jeden zweiten Würfel wegläßt, und wenn man dann bei jedem verbliebenen Würfel, wie hier nur einmal dargestellt, zwei parallele Seitenflächen völlig öffnet, wobei sich sechs geöffnete Würfel mit ihren Öffnungen jeweils zu einem hier mit seinem Zentrumspunkt im Koordinatensystem-Ursprung befindlichen leeren Würfel-Standort hin wenden, so ensteht ein Infinites Polyeder. Ein Infinites Polyeder ist ein lückenloses polyedrisches, Gebilde, das zwei hier gleichartige, ineinander verwobene unendliche Räume jeweils in der Form eines hier sehr eckigen Tunnel-Systems voneinander trennt. Dieses infinite Polyeder (119) ist als sehr kleiner Ausschnitt unten in 44 zu sehen.
Ebenso wie eine konvexes Grund-Polyeder dient ein Infinites Polyeder als Grund-Polyeder für eine Schale, welche durch Ausrundung entsteht. Während die Ausrundung dieses Infiniten Polyeders mit geradlinig begrenzten, monolithisch hergestellten, unfacettierten oder triangulierten Hyperbolischen Paraboloiden (HP), die sich in stetigen Übergängen zu einer Schwartz'schen Fläche vereinigen, bekannt ist, ist bislang die Möglichkeit unbekannt geblieben, die HP-Flächen in viereckige Maschen mit koplanaren Knoten aufzuteilen und die dreieckigen Schnitt-Naht-Maschen an den geraden Rändern benachbarter HP-Flächen erfindungsgemäß zu Naht-Maschen zu vereinigen.
Die im folgenden beschriebenen antiklastischen Doppel-Scherben und die daraus zusammgesetzten antklastischen Schnitt-Vierecke (56) für die Schale in 52 haben allerdings keine HP-Ausformung. Die in ein Infinites Polyeder ausgerundet oder facettiert eingespannten, antiklastischen Teil-Oberflächen sollen nämlich an die erfindungsgemäßen Schalen-Stücke eines entsprechenden, bereits in der Ausformung bestimmten, konvexen Polyeders in stetigem Übergang angeschlossen werden können, was bislang völlig unbekannt ist. Grundlage ist vorzugsweise der Würfel und die dichte Würfel-Packung.
Die Maschen einer synklastisch gekrümmten Scherbe (24) des Formats A sollen in gleicher Anzahl, aber in abgewandelter Form auch in einer antiklastisch gekrümmtem Scherbe (24) des Formats C vorkommen.
Auch diese antiklastische Scherbe unten liegt in 44 wie die synklastische Scherbe oben im Bereich eines schraffierten Achtel-Sektors (35) eines Würfel-Quadrats (36). Diesmal ist das Quadrat allerdings eine Seitenfläche eines bereits erwähnten offenen, hier nur mit seiner unteren Hälfte dargestellten Würfels, der ein eckiges Tunnel-Stück bildet. Das Tunnel-Stück kann durch die Ausrundung mit einer Vielzahl dieser antiklastischen Scherben (24) des Formats C verengt werden. Dabei wird dann nicht wie aus einem geschlossenen Würfel heraus „überwölbt' sondern in den Raum des offenen Würfels hinein „eingespannt" -. Jedes Tunnel-Stück in Form eines offenen Würfels hat eine Tunnel-Achse (88) durch die Polygon-Mitten (120) von dessen beiden Öffnungen. Die Tunnel-Achsen (88) je eines der beiden eckigen Tunnel-Systeme bilden zusammen ein gedachtes unendliches kubisches Draht-Gitter. Beide Gitter (121, 122) sind ineinander verwoben. Das Erste Gitter (121) hat ausschließlich Knotenpunkte (89), während das dazu versetzte Zweite Gitter (122) in 44 einen hier besonderen Knotenpunkt hat, welcher der Ursprung des Koordinatensystems (91) inmitten eines weggelassenen zentralen Würfels ist.
Solche Gitter-Knoten (89, 91) bestimmen die Lage von Schar-Rand-Ebenen mit, wie noch erkärt werden wird. Die beiden Raumdiagonalen (94) zweier weggelassener Würfel der Dichten Würfel-Packung liegen auf einer Geraden zwischen dem Gitter-Knoten (91) des Ersten und dem Gitter-Knoten (89) des Zweiten Gitters und treffen sich im gemeinsamen ehemaligen Eckpunkt (6) dieser beiden weggelassenen Würfel.
Der geschlossene Würfel (90) aus 44 oben kann auch mit seinem Zentrumspunkt (91) im Ursrung des Koordinatensystems unten eingesetzt werden, um die Würfel-Lücke dort aufzufüllen Dies geschieht zusammen mit der zugehörigen synklastischen Scherbe (24), damit die synklastische Scherbe (24) des Formats A lückenlos und stetig an die antiklastische Scherbe (24) des Formats C anschließen kann. Dieser Anschluß paßt aber nur, wenn die Schar-Ränder (9) von synklastischer und antiklastischer Scherbe deckungsgleich sind.
Es könnte auch der halbe Parabel-Querschnitt einer bekannten HP-Fläche als bestimmender Rand für die synklastische wie für die antiklastische Scherbe festgelegt werden. Dies ist aber nicht sinnvoll für die vorrangig festgelegte, möglichst regelmäßige Teilung der synklastischen Scherbe.
Deshalb bleibt es dabei, daß der Schar-Rand (9), den die antklastische Scherbe in einer um 45°geneigten Ebene mit der synklastischen Scherbe gemeinsam hat, der synklastischen Scherbe angepaßt wird, wodurch die bekannte Parabel-Form zugunsten einer mathematisch unbekannten Form, die auch keine Sinuskurve ist, verworfen ist.
Die 45 bis 48 zeigen verschiedene Lösungen für die Generierung einer antklastischen Scherbe in Abhängigkeit von einer synklastischen Scherbe. Allen ist gemeinsam, daß die vertikalen Schar-Rand-Ebenen der synklastischen Scherbe, welche – verallgemeinernd geagt – Ebenen normal zu einer Grund-Polyeder-Kante sind, auch für die antiklastische Scherbe gelten sollen. In jeder dieser Zeichnungen können die synklastische und die im Entstehen begriffene antiklastische Scherbe gespiegelt und das Ganze in vierfacher Ausführung um den obersten Eckpunkt (5) als Zenith eines dadurch entstehenden Kissendachs kopiert werden. In einer nach 45, 46, 47 oder 48 gebauten Schale kommen mindestens zwei Paare von Scherben mit jeweils einem gemeinsamen Schar-Rand (9) vor, die zusammen einen viereckigen, von vier Schnitt-Linienzügen zwischen insgesamt vier Schnitt-Ecken (5, 6, 6, 51) begrenzten Ausschnitt einer TST-Fläche bilden wie beispielweise denjenigen (56) in 9. Diese Paare sind hier spiegelbildlich. Nur ein Paar ist in jeder dieser Figuren dargestellt.
Wie in 45 zu sehen und auch für 46 bis 49 gültig, hat die antiklastische Scherbe neben dem gemeinsamen Schar-Rand (9) eines Formats s2 einen in einer vertikalen Ebene liegenden Schar-Rand (8) eines Formats s3, der kürzer als der in der gleichen Ebene liegende Schar-Rand (8) des Formats s1 der synklastischen Scherbe ist.
Außerdem kann die neu entstandene, in 44 bereits vorweggenommen gewesene antiklastische Scherbe (24) des Formats C – in gleicher Weise wie eine aus einer HP-Fläche ausgeschnittene Scherbe – kopiert werden, und die Kopie (24) des Formats C um die gerade Schlepp-Rand-Linie (52) des „Originals" als Drehachse um 180 Grad gedreht werden. Die Schlepp-Rand-Linie liegt auf der Diagonale eines in
44 unten grob schraffiert dargestellten horizontalen Polygons (36) des infiniten Grund-Polyeders. Sie liegt außerdem rechtwinklig zur Diagonale eines in 44 oben grob schraffiert dargestellten horizontalen Polygons (36) für die synklastische Scherbe.
Von der gedrehten Kopie der antiklastischen Scherbe sind in 45 nur die getrichelten Schar-Ränder (8, 9) sichtbar. Der eine Schar-Rand (9) hat das Format s2 des gemeinsamen Schar-Randes (9) von synklastischer und antiklastischer Scherbe und liegt wieder in einer um 45° geneigten Ebene. Der andere (8) mit dem Format s3 liegt wieder in einer vertikalen Ebene. Kopie und Original der Scherbe (24) des Formats C ergeben zusammen eine antiklastische Doppel-Scherbe (30) mit dem Format C + C, welche als Kopie in einer um die Würfel-Raumdiagonale als Drehachse am Würfel-Eckpunkt (6) um 120° im Uhrzeigersinn gedrehten Lage dargestellt ist. Jede solche Doppel-Scherbe hat drei Rand-Ebenen, die sich im Ursprung bzw. Zentrumspunkt (91) als Bezugspunkt des konvexen Grund-Polyeders schneiden.
Die vierte Ebene des Schar-Randes (8) des hier kurzen Formats s3 als Teil des Öffnungs-Bogens der späteren Ausstülpungs-Öffnung (2) liegt parallel zur nächstliegenden vertikalen Seitenfläche (36) des konvexen Grund-Polyeders.
Außerdem hat jede solche antiklastische Doppel-Scherbe gleichermaßen jeweils drei Rand-Ebenen, die sich mit demjenigen Tunnel-Achsen-Knotenpunkt (89) schneiden, der nicht Zentrumspunkt eines konvexen eingesetzten Grund-Polyeders (90) ist.
Schließlich geht in 45 der Schnitt-Linienzug einer synklastischen Scherbe oder die deckungsgleiche Schnitt-Naht-Linie der sie enthaltenden Doppel-Scherbe oben im Würfel-Eckpunkt in einen koplanaren Schar-Rand der unten zusätzlich vollständig dargestellten antiklastischen Doppel-Scherbe über.
Zurück zu den Lösungen für die Generierung der Maschen einer antiklastischen Scherbe:
Die erste Lösung in 45 hat analog zu 8 Scherben mit Translations-Maschenteilung zum Ziel. Im Unterschied zu 8 liegen die Linienzüge je einer Schar aber alle in parallelen Ebenen, die geneigt sind, und zwar mit einer Neigung von 45°. So bekommt jede der Schar-Sehnen (14, 15) der oberen Scherbe einer Kappe – wie bei der ursprünglichen Scherbe der Stutzkuppel in 8 – ein Gegenstück (14, 15) mit gleicher Ausrichtung in der neuen, am Schar-Rand (9) unten angrenzenden Scherbe wieder in einer an diesem Schar-Rand spiegelbildlichen Reihenfolge oder Sitzplatz-Verteilung. Auch jede Masche (12) hat solch ein spiegelbildlich angeordnetes Pendant (12), das parallel ausgerichtet ist und in einer Richtung gekürzt ist. Daß alle Ebenen der geneigten Schar-Linienzüge parallel sind, sieht man an Ihren Schnittlinien (100) mit der Y-Z-Ebene.
In 46 als zweiter Lösung ist das Prinzip der spiegelbildlichen Plazierung gleich bzw. parallel ausgerichteter Schar-Sehnen und Maschen in zwei benachbarten Scherben auf eine bereits vorhandene synklastische Scherbe mit speziell zentrischer Streck-Trans-Maschenteilung übertragen worden. In der synklastischen Scherbe waren die Längen der Sehnen der Schar-Linienzüge in vertikalen Ebenen wieder, wie für 37 beschrieben, durch in einer Linie (103) auf der X-Achse zusammenlaufende Ebenen begrenzt worden, welche sich mit der Y-Z-Ebene in vom Ursprung ausgehenden radialen Linien (104) kreuzen. Die Schar-Linienzüge in den geneigten Ebenen der synklastischen Scherbe sind dann auf die gleiche Weise wie in 45 wieder in den Bereich der entstehenden antiklastischen Scherbe kopiert worden. In der resultierenden antiklastischen Scherbe befinden sich folglich wieder die dick gezeichneten, gleich ausgerichteten Schar-Sehnen (14, 15) und schraffierten Maschen (12) an den gegenüber der synklastischen Scherbe spiegelbildlich gleichen „Sitzplätzen". Spegelbildlich gleich plazierte Sehnen von den Schar-Linienzügen in einer geneigten Ebene behalten auch hier ihre ursprüngliche Länge.
Leider ist die resultierende antklastische Scherbe für Gitterschalen-Konstruktionen wegen der sehr schmalen Maschen an dem mit der synklastischen Scherbe gemeinsamen Schar-Rand (9) nicht beonders gut brauchbar. In einer Platten-Konsruktion fallen die schmalen Maschen aber nicht auf. Das gilt insbesondere dann, wenn die Paare jeweils in einer Ebene am gemeinsamen Schar-Rand (9) liegender benachbarter Maschen jeweils zu einer großen Parallelogramm-Masche zusammengefaßt werden, was hier möglich und aus Gründen der Stabilität auch nötig ist.
In 47 und 48 werden zu der selben synklastischen Streck-Trans-Scherbe (24) wie in 46 passende andere Teilungen für die antklastische Scherbe dargestellt, die in jeder Konstruktionsart möglich sind.
Die Schlepp-Knoten (54) auf der horizontalen, geraden Schlepp-Rand-Linie (52) hatten sich in 45 und 46 automatisch ergeben, weil die parallel kopierten Sehnen (14) sich mit dieser Schlepp-Rand-Linie tatsächlich schnitten. Die Schlepp-Knoten (54) bleiben auch in 47 und 48 in exakt der gleichen Lage wie in 46. Wenn es 46 nicht gäbe, müßten diese Knoten ermittelt werden, indem – in der Sicht senkrecht von oben – die gerade, horizontale Schepp-Rand-Linie (52) auf die Länge einer Schnitt-Sehne gekürzt würde – und zwar durch Hilfslinien (44) in den vertikalen Schar-Linienzug-Ebenen der antiklastischen Scherbe, die mit den verikalen Schar-Linienzug-Ebenen der synklastischen Scherbe identisch sind und parallel zur Y-Achse liegen.
In 47 und 48 haben die Sehnen (14, 15) und Maschen (12) der synklastischen Scherbe, ausgenommen diejenigen (14, 12) direkt am gemeinsamen Schar-Rand (9), kein gleich ausgerichtetes Gegenstück in der antiklastischen Scherbe mehr.
Bei der in 47 gezeigten dritten Lösung treffen sich statt dessen die geneigten Schar-Linienzug-Ebenen der antiklastischen Scherbe alle in einer Tunnel-Achse (88) durch den Tunnel-Achsen-Schnittpunkt (89), der außerhalb des Polyeder-Zentrumspunkts (91) liegt, wobei sie sich mit der Y-Z-Ebene in radialen Linien (123) schneiden, welche sich in dem die Tunnel-Achse (88) halbierenden Punkt (124) treffen. Die unterschiedliche Neigung der geneigten Linienschar-Ebenen, welche die Kürzung der wie auch die Sehnen (14) der synklastischen Scherbe in den vertikalen Schar-Lininezug-Ebenen liegenden Sehnen bestimmen, hat sich aus der Lage der in ihnen enthaltenen Schlepp-Knoten (54) auf der geraden Schlepp-Rand-Linie (52) ergeben. Diese Maschen-Teilung der antiklastischen Scherbe ist zwar schlüssig, aber kompliziert.
Deshalb ist es die vierte Lösung in 48 schließlich, die bei den später beschriebenen Beispielen von Schalen mit Streck-Trans-Scherben benutzt wird. Die antiklastische Scherbe ist hier einfach mit einer Translations-Maschenteilung generiert worden, die unmerklich von dieser Streck-Trans-Maschenteilung abweicht, Dabei ist, wie auch in 45 geschehen und schon für 8 beschrieben, der gemeinsame Schar-Rand (9) als Kopie um jeweils eine Sehne verkürzt und so als Schar-Linienzug (11) parallel versetzt angeordnet worden. Der resultierende Schar-Rand (8) und mit ihm die Schar-Linienzuüge der antiklastischen Scherbe haben aber andere Proportionen und Sehnen-Knickwinkel als in 45. So gibt es auch hier keine korrespondierenden parallelen Sehnen und Maschen mehr zwischen synklastischer und antiklastischer Scherbe.
Die folgenden 49 bis 61 zeigen Möglichkeiten, wie die auf der Würfel-Geometrie basierenden Scherben (24) der Formate A, A' und C ausschließlich aus 44 und 45 zu verschiedenen einzelnen Schalen als Solitäre oder zu unterschiedlichen, umfassenderen Gebilden zusammengesetzt werden können. Letztere bestehen jeweils aus einer einzigen durchgängigen, gleichmäßig doppelsinnig gekrümmten oder facettierten Fläche und werden im folgenden „komplexe Schalen" genannt. Diese haben wahlweise im Grundriß geradlinige bogenförmige Öffnungen oder teilweise völlig geradlinige Ränder zur weiteren Kombination. In einem Baukastensystem eröffnet hier die modulare Wiederholung baugleicher Scherben die Möglichkeit, eine komplexe Schale nachträglich mit den gleichen Satz von Formaten abzuwandeln.
Die Scherben-Formate aus 46 bis 48 werden dabei nicht angewandt, auch wenn diese ein Baukastensystem mit den gleichen Kombinationsmöglichkeiten bilden können.
49 stellt eine dreieckige Kappe (49) dar. Die drei Doppel-Scherben (30) haben das Format A + A' aus 44 und 45. Sie sind feiner unterteilt als die der Kappe aus 32.
50 zeigt eine Kuppel in annähernder Halbkugel-Form, die aus vier dreieckigen Kappen zusammengesetzt ist. Hier sind wieder gut die von vier Schnitt-Linienzügen (25) begrenzten rautenförmigen Schnitt-Vierecke (56} zwischen vier Eckpunkten (5, 5, 6, 6) sichtbar.
51 zeigt einen Teil-Bereich (125) einer infiniten kontinuierlichen räumlichen Fläche. Dieser besteht aus sechs antiklastischen Doppel-Scherben (30) des Formats C + C um den Eck-Knoten (6) herum. Darunter ist dessen Grundriß-Projektion in einer Ebene parallel zur X-Y-Grundebene dargestellt.
Sechs solcher Teil-Bereiche (125) sind in 52 zu einer komplexen Schale als größerer Teil-Bereich dieser infiniten kontinuierlichen räumlichen Fläche zusammengesetzt, die sich in ein infinites Polyeder (119) aus 44 als Grund-Polyeder einspannt. Die dick gezeichneten Tunnel-Achsen (88) als Mittelachsen des Ersten Gitters treffen sich in den Knotenpunkten (89). In jedem der Knotenpunkte (89) des Ersten Gitters kreuzen sich die Ebenen von drei Schar-Rändern jeder der diesem Knoten nächstliegenden antklastischen Scherbe wie der dick umrandeten, in 51 sichtbaren, hier aber weggelassenen, und der schraffierten. Diese drei Ränder sind im Einzelnen zwei Schar-Ränder (9) des Formats s2, die den Übergang zu einer synklastischen Scherbe bilden können, und ein Schar-Rand (8) des Formats s3, der hier in einer Ebene parallel zur X-Z-Ebene liegt, welche Tunnel-Achsen (88) und weitere Knotenpunkte (89) des Ersten Gitters enthält.
Das mit dem Ersten Gitter verwobene, zu diesem duale Zweite Gitter mit in der Darstellung stark unterbrochenen Tunnel-Achsen (88) ist genauso gedacht, also kongruent. Es hat aber einen besonderen Knotenpunkt (91) im Ursprung des Koordinatensystems. Dort treffen sich die Ebenen dreier Schar-Ränder der dick umrandeten Doppel-Scherbe. Dies sind im Einzelnen ein weiterer Schar-Rand (8) des Formats s3, dessen Ebene hier in der Y-Z Ebene liegt, und wieder die zwei Schar-Ränder (9) des Formats s2, die den Übergang zu einer synklastischen Scherbe bilden können.
Der Teil-Bereich in 53 aus vier antiklastischen Doppel-Scherben (30) des Formats C + C und einer synklastischen Doppel-Scherbe (30) des Formats A + A' um einem Eck-Knoten (6) ist aus demjenigen in 51 gebildet worden, indem zwei antklastische Doppel-Scherben durch eine synklastische Scherbe ersetzt worden sind.
In der komplexen Schale in 52 können an deren Loch oben viermal in gleicher Weise zwei antiklastische Doppel-Scherben durch jeweils eine synklastische Scherbe ersetzt werden. Dadurch würde sich oben eine Kappe bilden, die dort die komplexe Schale nach oben schließt. Der Bezugspunkt (91) der vier synklastischen Doppel-Scherben wäre dabei der besondere, im Ursprung liegende Knotenpunkt des Zweiten Achsen-Gitters von Tunnel-Achsen.
Vier Teil-Bereiche aus 53 bilden in 54 eine Schale mit vier seitlichen, senkrechten, ebenen offenen Ausstülpungen. Diese Ausstülpungen könnten auch auf andere Weise entanden sein. Sie könnten nämlich anstelle von geschlossenen Seiten an eine in 50 dargestellte synklastische Schale angesetzt worden sein, wobei jede der vier Ausstülpungen jeweils eine halbe seitliche Kappe aus zwei synklastischen Doppel-Scherben ersetzt hätte.
Der Schar-Rand (8) der Sorte s3 von der antiklastischen Scherbe liegt in einer hier vertikalen Ebene am Rand der Fläche (2) der Öffnung der Ausstülpung. Diese Ebene ist parallel zum nächstliegenden seitlichen Polygon eines Würfels als konvexem Grund-Polyeder ausgerichtet, wie schon in 45 vorne links ersichtlich. Sie steht zudem senkrecht auf der X-Y-Grundebene.
In 55 wurde aus der dreieckigen Kappe (49) des Formats aus 49 eine synklastische Doppel-Scherbe herausgenommen und durch zwei antiklastische ersetzt. Zwei Teil-Bereiche gemäß 55 und zwei Kappen gemäß 49 wurden in 56 zu einer Schale mit nur einer Öffnung kombiniert. In der Darstellung ist dieser Schale noch eine Grundriß-Projektion unterlegt. In ihr stellen die vertikalen Schar-Linienzug-Ebenen sich als zur X- oder zur Y-Achse parallele Linien dar, die sich jeweils über zwei Scherben aus verschiedenen Doppel-Scherben erstrecken.
Diese Schale läßt sich plastisch auch als aus noch feuchtem Ton geformt vorstellen: Eine „Halbkugel" aus 50 könnte ausgestülpt worden sein, indem sie entlang von zwei, von einem in 50 links seitlichen, auf der Grundfläche befindlichen Zenith (5) aus auseinanderführenden Schnitt-Naht-Linien (26) aufgeschnitten worden wäre, und die drei dabei sich lösenden Schnitt-Ecken (5) der Scherben seitlich und nach oben auseinandergezogen worden wären, so daß zwei keilförmige Lücken sich geöffnet hätten, die jeweils mit einem keilförmigen dreieckigen Scherben-Paar (126) aus zwei an ihrem gemeinsamen, längeren Schar-Rand (9) miteinander verbundenen antiklastischen Scherben (24) gefüllt worden wären. Die in einer Ebene senkrecht zur Oberfläche liegenden, gekrümmten Schnitt-Naht-Linien (26) wären dabei zunächst zu Schnitt-Linienzügen (25) gespalten worden, welche dann die Lücken-Ränder dargestellt hätten. Die gekrümmten Schnitt-Linienzüge (25) wären dann zu geraden Schlepp-Rand-Linien (52) gewprden und dann paarweise zu Schlepp-Naht-Geraden (64) verschmolzen worden. In 56 ist ein keilförmiges Scherben-Paar (126) von der Schale abgerückt, um den eben gedachten Vorgang zu verdeutlichen.
57 zeigt eine komplexe Schale mit vier Öffnungen, zusammengesetzt aus drei in zwei fließenden Übergängen aneinander anschließenden Schalen, von denen die linke vor dem Zusammensetzen zwei Öffnungen hatte, während die mittlere und die rechte drei Öffnungen hatte.
Der Teil-Bereich in 58 hat in der oberen, hinter den beiden Schlepp-Naht-Geraden (64) liegenden Hälfte die gleichen vier Scherben wie die in 53 in deren oberem Bereich. Diese obere Hälfte wurde kopiert und um die beiden Schlepp-Naht-Geraden (64) als Drehachse herum um 180° gedreht. Der so entstandene Teil-Bereich mit quadratischem Umriß im Grundriß wurde in neunfacher Ausfertigung durch Drehen und Spiegeln zu einem Wellendach mit in der Ansicht gewelltem Rand, welches 59 zeigt. Unschwer zu erkennen ist, daß ein dick umrandeter Teil davon für sich ein viereckiges Kissendach sein kann.
Ein solches Kissendach (61) in 60 ist anders ausgeformt als das in 12. Im Gegensatz auch zu dem in 25 entstehenden ist es quadratisch. Die antiklastischen Bereiche sind kleiner, weil die Ebenen der Schar-Linienzüge (11) und des Schar-Randes (9) einer der beiden Richtungen für jede Scherbe und somit die Ebenen der sich aus je zwei solchen Schar-Rändern zusammensetzenden Randbögen (48) einer in dem Kissendach enthaltenen Kappe geneigt sind.
Mit etwas Abstand ist das Kissendach (61) von drei von einem Viertel dieses Kissendachs kopiert gewesenen Bereichen (127) umgeben, die um 180° um einen geraden Rand des Kissendachs gedreht worden sind. Wenn alles aneinandergefügt würde, ergäbe sich wiederum ein Wellendach, diesmal jedoch mit einem langen geradlinigen Rand vorne.
62 zeigt spektakuläre Kombinationsmöglichkeiten vieler Doppel-Scherben in einer komplexen Schale. Die Ausstülpungs- oder Tunnel-Löcher mit horizontalen Öffnungs-Ebenen werden hier zu Höfen und Oberlichten eines auskragenden Daches, bei dem sich deutlich ein Quadratraster von Kissendach- Rändern bzw. Um-Polygonen abzeichnet. Aus diesem Dach heraus entwickelt sich in fließenden Übergang die Oberfläche einer Dreiviertel-Kugel.
In 62 kommt noch eine neue, kleinere, aus einer Scherbe (24) des Formats K und einer dazu spiegelbildlichen Scherbe (24) des Formats K' bestehende synklastische Doppel-Scherbe (30) des Formats K + K' zum Satz von Schalen-Stücken hinzu. Der längere Schar-Rand (8) einer kleineren synklastischen Scherbe ist vom kürzeren Schar-Rand (8) mit dem Format s2 einer antklastischen Scherbe (24) des Formats C übernommen, um an diese anschließen zu können. Er hat also das Format s3. Da dieser nun deutlich vom Kreisbogen abweicht, wirkt dessen Ausformung vergleichsweise unregelmäßig. Der kürzere Schar-Rand einer kleineren synklastischen Scherbe mit dem Format s4 ergibt sich durch die Parallelität zu Sehnen des koplanaren, anschließenden Schar-Randes einer antiklastischen Scherbe.
Sechs kleineren synklastische Doppel-Scherben (30) des Formats K + K' sind zu einer „verformten" Viertel-Kugel zusammengesetzt, um eine von zwei ausgestülpten Öffnungen einer synklastischen Schale zu schließen. Hierdurch hat die fertige Schale (128) eine Konche. Sie hat zwei normal gewölbte, geschlossene Seiten, eine offene Ausstülpung und eine durch eine Konche geschlossene Ausstülpung. Die Konche bildet an Ihrem oberen Eck-Knoten einen untergeordneten Zenith (129) Die mit dem kleineren synklastischen Doppel-Scherben-Format K + K' zusätzlichen Möglichkeiten zeigt die komplexe Schale in 63 als durchgängige, doppelt gekrümmte räumliche Gesamtfläche mit Wellendach, einem Hof, mit sechs gereihten bzw. auch im Wellendach verschmolzenen Einzel-Schalen, zwei offenen Ausstülpungen und schließlich drei mit Konchen geschlossenen Ausstülpungen.
Natürlich kann aus den kleinen Doppel-Scherben mit den untergeordneten Eck-Knoten in den Schar-Ecken (130) bzw. in den Rauten-Mitten, (131) und in den verschieden ausgerichteten untergeordneten Zenithen (129) auch eine „verformte" Halbkugel um einen kleineren Würfel als konvexem Grund-Polyeder herum gebildet werden, wie in 64 zu sehen.
Drei dreieckige Kappen (132) als Viertel dieser „verformten" Halbkugel können, wie in 65 sichtbar, in Verbindung mit einer antklastischen Teil-Sschale (125) den Viertel-Bereich (133) einer eingebeulten Kuppel, die auf der X-Y-Grundfläche steht, bilden. Nicht dargestellt ist, daß dieser Viertel-Bereich auch mit seimem Oberflächen-Mittelpunkt (6) auf der Würfel-Raumdiagonalen (94) zusammen mit dieser so gedreht werden kann, daß diese dann ehemalige Raumdiagonale mit der senkrechten Z-Achse deckungsgleich wird. Dann bildet er (133) ein Wellendach. Dieses kann durch eine Ergänzung (134) auf der linken Seite einen geraden Rand bekommen und ein dick umrandetes, gleichseitig dreieckiges Kissendach zwischen drei Eckpunkten (6) enthalten. Der-Teil-Bereich einer einzelnen Schale kann also in einem anderen Zusammenhang zu einer komplexen Schale werden.
Die Schale (128) aus 62 mit einer offenen und einer durch eine Konche geschlossenen Ausstülpung soll nun im Bereich mit der geschlossenen Ausstülpung so umgeformt werden, daß das Hin- und Her zwischen syn- und antiklastischer Krümmung zugunsten einer auschließlich synklastischen, aber schwächeren Krümmung beseitigt ist. Dieser Bereich wird also – bildlich gesprochen – wie eine goße Delle ausgebeult.
Je eine jeweils aus mehreren Scherben bestehende, auszubeulende Region ist in 66 und in 67 aus der Schale (128) von 62 nach oben herausgenommen und vergrößert gestrichelt dargestellt. Die erste Region (135) auf der Vorderseite in 66 hat den Schalen-Zenith (5), desweiteren einen Würfel- Eckpunkt (6), einen untergeordneten Zentith (129) vorne auf der Grundfläche und schließlich einen Schar-Eckpunkt (131) in einer Rautenflächen-Mitte der Konche als Eckpunkte. Die Ausbeulung dieser Region geschieht mittels denjenigen Schar-Linienzügen, die ganz oder annähernd in der Richtung der durch die Konche geschlossenen Ausstülpung, also hier der Y-Richtung verlaufen.
Dabei werden die drei unteren Ränder der Region (135) zwischen den vier vorgenannten Eck-Knotenpunkten beibehalten.
Der neue obere Rand, der zwischen dem Zenith (5) und der Schar-Ecke (131) liegt und eine einheitliche Krümmungsrichtung aufweist, ist – ebenso wie jeder der vor bzw unter diesem liegenden, neuen großen geknickten Linienzüge – entstanden, indem die gleich geneigten Schar-Sehnen (14) – hier drei dick hervorgehobene – aus zwei oder mehr von einem großen vorhandenen, wechselnd hin- und her gekrümmten Linenzug, der aus den Schar-Linenzügen zweier oder mehrerer Scherben besteht, durch Parallelverschiebung und Hintereinandersetzen zu einer längeren Sehne (136) mit gleicher Ausrichtung und Steigung zusammengefaßt worden sind.
In 67 ist aus der Rückseite der als spiegelbildliche Kopie dargestellten Schale (128) eine andere Region (137) herausgenommen und vergrößert gestrichelt dargestellt, deren obere Eckpunkte (5, 131) die gleichen wie bei der Region auf der Vorderseite sind, während die beiden unteren Eckpunkte (4, 130) in einer die Y-Achse enthaltende Ebene mit 45°-Neigung liegen – der linke (4) von beiden in der Mitte einer größeren räumlich gekrümmten Raute aus vier Scherben (24) des Formats A + A', der rechte (130) in der Mitte einer kleineren Dreiecks-Kappe. Die Ausbeulung geschieht in gleicher Weise wie in 66.
Dann wird nur noch eine in dieser 45°-Ebene des neuen unteren Randes gespiegelte Kopie dieser Region (137) für den unteren Schalen-Bereich gebraucht, um eine veränderte Schale (138) wie in 68 zu erhalten. Der obere, lange, in einer vertikalen Ebene liegende Schar-Rand einer dick umrandeten, langgestreckten Doppel-Scherbe (30) innerhalb der ausgebeulten vorderen Region hat das Format s5. Der linke Schar-Rand (8) dieser Doppel-Scherbe mit einem Sonder-Format ist aber nicht eben. Er ist dadurch für eine modulare Addition ungeeignet und hat deshalb keine Format-Bezeichnung. Die unterhalb bzw vor der resultierenden, gestrichelten, ebenfalls räumlichen Schnitt-Naht-Linie (26) liegenden Maschen dieser Scherbe haben Ausrichtungen von Sehnen und Maschen, die in den Standard-Formaten nicht vorkommen.
Aus der veränderten Schale (138) in 68 mit der neuen Ausbuchtung rechts ist bereits wieder ein Stück vom vorderen Bereich der Schale zur Seite herausgezogen, und zwar ein Schnitt-Viereck (56), bestehend aus einem Scherben-Paar (139) aus je einer synklastischen Scherbe (24) des Formats A und einer antiklastischen Scherbe (24) des Formats C und einem dazu spiegelbildliches Scherben-Paar (140) der Formate A' und C'.
In 69 ist hinten bzw. oben das rechte (139) der in 68 herausgezogene Scherben-Paare vergroßert, gedreht und gestrichelt dargestellt. Überall sind jeweils zwei gleich ausgerichtete und geneigte, aber unterschiedlich lange Sehnen (14) innerhalb eines aus eimem Schar-Rand der einen und einem Schar-Rand der anderen Scherbe zusammengesetzten, in einer Ebene, hier parallel zur X-Z-Ebene liegenden vorhandenen größeren Linienzugs (55) vertauscht worden.
In der veränderten Doppel-Scherbe (141) vor bzw unter der ursprünglichen, gestrichelten Doppel-Scherbe ist zu sehen, daß dadurch der Wendepunkt (4) dieses größeren Linienzugs (55) nach oben verschoben ist. Dies ist auch mit den Wendepunkten geschehen, die zwischen den dazu parallelen Schar-Linienzügen und in dem den beiden Scherben gemeinsamen Schar-Rand 9 liegen, wodurch dieser zu einem Format s6 verformt worden ist. Die antiklastische Scherbe ist dadurch größer als die synklastische geworden. Die synklastische ist ein Exemplar (24) eines neuen Formats B, die antiklastische ein Exemplar (24) des Formats D.
Das linke Scherben-Paar (140) des Schnitt-Vierecks (56) aus 68 soll ebenfalls verändert werden. Die 45°-Neigung der Schar-Linien-Ebenen soll zugunsten einer senkrechten Lage dieser Ebenen wie bei einer konventionellen Translationsfläche aufgegeben werden. In 70 sind die an die Schnitt-Naht-Knoten (27) in vertikalen, rechtwinklig quer zu diesen Ebenen verlaufenden Ebenen anschließenden Schar-Sehnen (14) zunächst vom Maschen-Netz übriggelassen worden.
In 71 sind die vier unteren dieser Sehnen verlängert und die oberen verkürzt worden – in der Sicht senkrecht von oben bis zu den horizontalen Hilfslinien (45) hin, die nun ihrerseits in gleicher Sicht bis zu den Schar-Sehnen verkürzt sind. Zwischen den Schnitt-Naht-Knoten (27) und den neuen Sehnen-Enden (13) sind bereits zwei der Sehnen (15) der Querrichtung gezeichnet.
In 72 sind diese zu Teilen von konventionell in vertikalen Ebenen verlaufenden Schar-Linienzügen (11) geworden. Das fertig veränderte Scherben-Paar (142) ist in 73 zu sehen. Bei diesem ist die synklastische Scherbe (24) eines Formats E genauso groß wie die antiklastische (24) eines Formats G. Der gemeinsame Schar-Rand 9 hat wiederum ein neues Format: s7.
Die neu proportionierten Scherben-Paare (141, 142) können unveränderte Scherben-Paare zugunsten eines regelmäßigern oder unregelmäßigeren Gesamteindrucks ersetzen.
Die synklastische Scherbe (24) des Formats G des zuletz beschriebenen Scherben-Paares erlaubt es aber auch, eine steilwandige, ausschließlich konvexe Schale in einer senkrechten Ebene zu berenzen, also gleichsam zu stutzen, wie in 74 geschehen. Dabei bilden vier Schar-Ränder (9) des Formats s7 den Rand der ebenen senkrechten Öffnung. Der hintere Bereich der Kuppel (143) besteht aus sechs spiegelsymmetrisch proportionierten Doppel-Scherben des Formats A + A'. Mit diesen wird die Verbesserung der Schalen-Rückseite gegenüber der Schale 1 in 1 erreicht. Die vier vorderen, scheinbar erfindungsgemäßen Doppel-Scherben an der Öffnung sind einfach nur bekannte räumliche Vierecks-Flächen (3), und zwar zweimal Exemplare eines asymmetrisch proportionierten Formats A' + E und zweimal eines Formats A + E'. Deren Naht-Maschen sind allerdings asymmetrisch. Diese scheinbar erfindungsgemäße Doppel-Scherbe aus Scherben mit Translations-Maschenteilung ist deshalb lediglich als bekannte viereckige, nicht zentrische Streck-Trans-Fläche anzusehen, weil zwei der vier Schar-Sehnen jeder aus zwei Schnitt-Dreiecken zusammengesetzten Masche parallel sind. Nur wegen der Einheitlichkeit der Scherben im Baukastensystem und wegen der Gleichförmigkeit der Teilung der der Schafe als Ganzes wurde der aus Ihnen gebildete vordere Bereich nicht durch eine weitaus regelmäßigere Teilung wie die eines Globus ersetzt.
In 75 sind zwei Schalen, die kombiniert konvexe und infinite Grund-Polyeder überpannen, gleichsam gestutzt und wie Stutzkuppeln an einem ebenen, partiell auch geradlinigen Rand-Bogen (144) als Gurtbogen wie in einem Gewölbe aneinandergesetzt. Die rechte der beiden Schalen blieb an ihrem zweiten, rechten Rand-Bogen (144) offen. Die Scherben-Paare (141, 142) sowie eine unechte Doppel-Scherbe (3) des Formats A + E' sind schraffiert wiederzuerkennen. Außerdem ist in einer vorderen Ausstülpung eine aus einer unveränderten antiklastischen Scherbe des Formats C und einer veränderten antiklastischen Scherbe des Formats D' mit nach oben gezogenem Schar-Rand (9) des Formats s6 zusammengesetzte erfindungsgemäße asymmetrische Doppel-Scherbe (30) eines Formats C + D' zu sehen.
Während in den vorangegangenen 68 bis 75 Verformungs-Möglichkeiten eines sehr kleinen Bereiches einer Schale, nämlich eines Schnitt-Vierecks, erklärt wurden, soll in 76 bis 78 gezeigt werden, wie eine größere, bereits durch großflächigere Ausbeulung bereits verformte Schale ihrerseits sehr großflächig ausgebeult werden kann.
Hiefür ist in 76 eine Schale (138) aus 68 – nachdem ihre oben unvollständige Ausstülpung mit einem Scherben-Paar (141) und dessen Spiegelbild vervollständigt worden war – in einer vertikalen Ebene, die eine Winkelhalbierende (145) zwischen X- und Y-Achse enthält, zerschnitten worden. Dann ist der dadurch entstandene Schalen-Bereich, der eine offene Ausstülpung und eine geschlossene Ausbuchtung hat, an dem Bogen (146) des Anschnittes in dieser vertikalen Schnitt-Ebene mit einer in dieser Ebene gespiegelten Kopie von diesem Schalen-Bereich zu einer größeren, erfindungsgemäß durchgängigen Schale (147) zusammengesetzt worden. Diese hat zwei offene Austülpungen hinten links und zwei Ausbuchtungen vorne rechts.
In 77 bis 79 soll eine größere Region dieser größeren Schale (147) im Bereich der zwei Ausbuchtungen vorne ausgebeult werden. Das Ausbeulen funktioniert aber hier nicht wieder entsprechend 66 und 67. Der auszubeulende Bereich muß vielmehr als eine dreieckige Kappe von den beiden vorhandenen, zueinander spiegelbildlichen, je aus zwei Schar-Rändern bestehenden Linienzügen (148) her völlig neu konstruiert werden, wobei sich später am Boden aus dem geschwungenen Linienzug (149) mit zwei Wendepunkten ein neuer Kappen-Rand ergibt.
Diese Neukonstruktion geschieht in vergrößerter Darstellung in 77 für die linke Hälfte dieses Bereichs, die in 76 bereits entfernt worden ist. Die Art der geometrischen Konstruktion von deren oberer Scherbe, genauer vom Zenith (5) aus ist die gleiche wie die in der rechten Hälfte einer Doppel-Scherbe in 34, auch wenn diesmal die Sehnen des oberen Schar-Randes (8) des Formats s5 innerhalb jedes der beiden Linienzüge (148) in den vertikalen Ebenen unterschiedlich lang sind, und die geneigten Schar-Rand-Ebenen, die sich in den parallelen Linien (100) auf der X-Z-Ebene abbilden, diesmal wesentlich stärker als 45° gegenüber der Z-Achse geneigt sind, also flacher liegen. Die geneigt ebenen Schar-Linienzüge (11) entstehen wieder durch parallele Vervielfältigung der unteren Schar-Sehnen (15) der Naht-Maschen. Der untere Endpunkt (150) der neuen Schnitt-Naht-Linie hat ausnahmsweise keinen Bezug mehr zum konvexen Grund-Polyeder und dessen in 76 noch vorhandenen Eckpunkt (6). Er liegt tiefer und weiter außen. Die nächste untere Scherbe, die sich in der Darstellung durch drei weitere geneigte Schar-Linienzüge (11) darstellt, welche aus der oberen Scherbe parallel kopiert werden, wird folglich niedrig und gestreckt.
Die dritte und unterste zu konstruierende Scherbe mit einem horizontalen resultierenden Schar-Rand (8) eines Formats s8 auf dem neuen unteren Kappen-Rand in der X-Y-Grundebene ist in 78 durch die horizontalen Ebenen für Schar-Linienzüge festgelegt, welche die Schnitt-Naht-Knoten (27) enthalten.
Die vier einzeln dick gezeichneten, verschieden langen Sehnen (14) dieser untersten Scherbe sind folgendermaßen zeichnerisch konstruiert worden: Zunächst sind die vier Schnitt-Sehnen (28) gezeichnet worden. Begonnen worden ist mit der Naht-Masche am unteren Endpunkt (129) des im Kappen-Rand (148) enthaltenen Schar-Randes (8) des Formats s2 auf der X-Achse. Von dessen zweitunterstem Knoten (13) ist eine beliebige Linie (151) zu einem beliebigen Punkt (41) auf der Schnitt-Sehne (28) gezogen worden. Diese (151) ist dann über diesen Punkt (41) hinaus nach unten verlängert worden, bis sie in einem Punkt (46) auf diejenige horizontale Linienzug-Ebene, die den unteren Endpunkt (129) des Kappen-Randes enthält und hier also mit der X-Y-Grundebene identisch ist, getroffen ist. Die horizontalen, parallelen Linienzug-Ebenen werden durch Hilfslinien (44) für die Sicht in horizontaler Richtung repräsentiert. Zwischen dem Eck-Knoten (129) und dem zuletzt gewonnenen Punkt (46) war dann zunächst ein Teilstück der ersten horizontalen Schar-Sehne (14) gezeichnet worden. Am oberen Endpunkt (27) der untersten Schnitt-Sehne (28) ist dann eine horizontale Hilfslinie (152) angesetzt worden, welche diesmal parallel zu der Spiegel-Achse (145) liegt. Bis zu dieser Hilfslinie ist dann – in der Sicht senkrecht von oben – die noch zu kurz gewesene untere horizontale Schar-Sehne (14) einer Naht-Masche verlängert worden. Die nächsthöhere horizontale Schar-Sehne (14) der nächshöheren Naht-Masche wurde in gleicher Art und Weise gezeichnet. Dabei ist der linke Anfangspunkt dieser Sehne der erste auf einer Schnitt-Naht-Linie befindliche Schnitt-Naht-Knoten (27) und der Anfangspunkt einer weiteren horizontalen Hilfslinie (152). Er liegt auf einer nun vom Boden abgehobenen horizontalen Linienzug-Ebene – also nicht wie zuvor der Punkt (129) auf der Grundebene. Durch Kopieren der vier verschiedenen neuen Schar-Sehnen hat sich schließlich der untere Schar-Rand (8) des Formats s8 ergeben.
79 zeigt schließlich die aus der Schale (147) aus 76 entstandene Schale nach der scheinbaren „Ausbeulung" oder – besser gesagt – nach dem Einfügen der gleichschenklig dreieckigen, dick umrandeten Kappe (153) aus zwei in der Linie (145) spiegelsymmetrischen Hälften gemäß 78. Der resultierende untere Rand (154) des ausgebeulten Bereichs hat hier den Linienzug (149) mit den zwei Wendepunkten aus 76 ersetzt.
Die in 66 bis 79 gezeigten Verformungen, bei denen die Ausrichtung und Neigung der Sehnen nur eines der beiden Schar-Ränder in einer Scherbe die gleiche bleibt, haben zu neuen Kurven wie etwa den beiden vertikalen Kappen-Rändern (148) und dem daraus resultierenden horizontalen Kappen-Rand (154) der zuletzt gezeichneten dreieckigen Kappe (153) mit Sonder-Format geführt. Sie haben aber Nachteile: So kann ein beliebiger Punkt auf solch einem Rand als Polygonzug nicht von dessen Sehnen-Knoten (13) ausgehend mathematisch exakt interpoliert werden, wenn seine Sehnen zu regelmäßig runden Bogen-Abschnitten werden sollen. Außerdem sind auch die Formungsmöglichkeiten durch geometrische Neukonstruktion von Teil-Regionen einer Schale begrenzt. Deshalb gibt es später beschriebene andere geometrische Vorgehensweisen, durch die noch größeren Bereiche einer Schale als Ganzes verändert werden.
Zunächst aber zurück zur Konstruktion einer Schale mit Materialstärke – diesmal aus Scherben hauptsächlich mit Standard-Formaten auf der Grundlage eines konvexen oder eines infiniten Grund-Polyeders, aber einschließlich der in 66 bis 75 vorkommenden Sonder-Formate.
In 40 und 41 waren bereits Konstruktionsarten für völlig synklastische Schalen in 39 und 42, die konvexe Grund-Polyeder umschreiben, geezeigt worden. Außenseitige und inwändige Oberflächen solcher Schalen sind einfach durch Vergrößerung und Verkleinerung des virtuellen Netzes von Maschen festgelegt. Jedes dicke Platten-Element einer facettierten Schale ist dabei ein sehr flacher Pyramidenstumpf.
Im folgenden wird gezeigt, wie die Umrißlinien von einzelnen, maschenweise begrenzten Bauteilen nicht nur in synklastischen sondern auch in antiklastischen Scherben aus 51 bis 65 aussehen – egal ob es sich um eine Stabwerks- oder Platten-Konstruktion handelt.
Auch hier dürfen an den Stabwerks-Knoten keine Ungenauigkeiten vorkommen, ebenso wie an den Stoßfugen zwischen flächigen Bau-Elementen keine Versprünge auftreten dürfen. Deshalb müssen Knoten-Achsen (155) als Verbindungslinien zwischen den Schnittpunkten der Sehnen der äußenseitigen und inwändigen Schalen-Oberfläche systematisch festgelegt werden. Eine solche Knoten-Achse steht in etwa senkrecht zur örtlichen Gesamtfläche der Schale in diesem Knoten. Sie ist entweder die Mittelachse des Knotens eines Fachwerks, oder sie ist die Linie, in der mehrere, meistens vier flächige Bauelemente, z.B. Sandwich-Paneele, an der Schmalseiten bzw. Enden ihrer im Element-Stoß gelegenen Kanten-Flächen zusammentreffen. Jede Kanten-Fläche (156, 157, 158) liegt zwischen zwei Knoten-Achsen. Bei einer Schale als Stabgitter-Konstruktion enthält eine Kanten-Fläche die Mittelachse eines Stabes oder die Schwerachse eines Trägers. Bei einer Schale als Platten-Konstruktion stellt eine Kanten-Fläche die Fläche des Kanten-Stoßes dar, der sich in den den beiden Oberflächen der fertigen Schale als Fuge zeigt.
In einer synklastischen Scherbe (24) des Formats A aus 44 und 45 mit einem Kreisbogen als bestimmendem festgelegten, hier dick gestrichelten Schar-Rand (8) ist in 80 der Sachverhalt wie bisher naheliegend: Die als virtuelles Netz aus gestrichelten Sehnen, die im folgenden „Achs-Sehnen" genannt werden, dargestelle Scherbe ist hier wieder zweimal kopiert. Unter Beibehaltung des Zentrumspunkts (91) im Ursprung ist die eine Kopie eine Verkleinerung, die andere eine Verrgrößerung. Die vergrößerte Scherbe definiert die außenseitige Oberfläche, die verkleinerte die inwändige Oberfläche. Jede der äußeren Sehnen (14, 15) und jede der inneren Sehnen (14, 15) ist parallel zu der Achs-Sehne, aus der sie durch Kopieren und Skalieren gewonnen wurde. Jede neue äußere und innere Maschen-Fläche (12) ist parallel zu der Maschen-Fläche der ursprünglichen Scherbe. Die dick gezeichneten Knoten-Achsen verbinden die beiden Schalen-Oberflächen an deren Knotenpunkten (13). Zwei Knoten-Achsen sowie eine neue parallele Sehne der Sehnen (14, 15) in der inneren Schalen-Oberfläche und eine solche Sehne in der äußeren Schalen-Oberfläche begrenzen zusammen jeweils eine der Kanten-Flächen (156, 157, 158). Im vorliegenden Beispiel halbiert jede Achs-Sehne (14, 15) die Kanten-Fläche, in der sie liegt. Alle Knoten-Achsen (155) dieser Scherbe fluchten im Schalen-Zentrumspunkt (91). Lediglich in der vertikalen Ebene des bestimmenden festgelegten Schar-Randes, in der Y-Z-Ebene bilden die Knoten-Achsen symmetrische Gehrungsschnitte mit immer dem gleichen Winkel α zwischen den dort vertikalen Kanten-Flächen (156).
Die benachbarte, antiklastische Scherbe des Formats C hat leider nicht den einen Bezugspunkt, von dem aus skaliert werden kann und strahlenförmig Linien gezogen werden können. Auch ein Fluchten auf eine Tunnel-Achse hin ist wegen der ungleichen Längen der Schar-Sehnen nicht sinnvoll. Deswegen werden statt dessen die Knoten-Achsen der synklastischen in gleicher Ausrichtung auf die antklastische Scherbe übertragen. Auch für die Knoten-Achsen gilt hier wieder das Prinzip der Spiegelung der „Platznummern" wie bereits für die Sehnen (14, 15) und Maschen (12) in 45. Hierdurch ergeben sich auch in der antiklastischen Scherbe in der selben vertikalen Schar-Rand-Ebene wieder die nur dort überall gleichen Gehrungswinkel α der Kanten-Flächen zueinander.
Während in der vertikalen Schar-Rand-Ebene die Länge der Knoten-Achsen in jeder der beiden Scherben überall gleich ist, nimmt sie in den Knoten inmitten der Scherbe zur Würfel-Ecke (6) hin geringfügig ab. Dem entsprechend nimmt die Materialstärke von Plattenelement zu Plattenelement bzw die Höhe der Stab-Profile von Stab zu Stab geringfügig ab. Auch die Gehrungswinkel der hintereinander liegenden Kanten-Flächen eines Schar-Linienzugs außerhalb der Y-Z-Ebene zueinander sind andere (β) als in der Y-Z-Ebene. Sie sind in jedem Knoten innerhalb jeder Scherbe verschieden. Die Kanten-Flächen der hintereinander liegenden Achs-Sehnen eines Schar-Linienzugs liegen dabei auch nicht mehr wie die Achs-Sehnen selbst in einer einzigen Ebene.
Jede Kanten-Fläche (157), die eine Achs-Sehne (14) eines vertikal ebenen Schar-Linienzuges enthält, liegt in ihrer jeweiligen Scherbe quer zu jeder Kanten-Fläche (158), die eine Achs-Sehne (15) eines geneigt ebenen Schar-Linienzuges enthält.
In 80 ist noch gegenüber 45 eine umgedrehte kleinere synklastische Scherbe (30) des Formats K an den linken kurzen Schar-Rand (8) des Formats s3 der antklastischen Scherbe des Formats C angefügt. Zwischen der antiklastischen Scherbe und der kleinen synklastischen wiederholt sich die spiegelbildliche Platz-Verteilung gleich ausgerichteter Sehnen und Maschen-Ebenen.
Aufgrund der Würfel-Symmetrie-Eigenschaften läßt sich, wie schon erwähnt, die antklastische Scherbe (24) um die gerade, horizontale Schlepp-Rand-Linie (52) als zukünftige Schlepp-Naht-Gerade und als Drehachse um 180* gedreht kopiert zu einer Doppel-Scherbe erweitern. Deren zweite Scherbe (24), welche hier nur mit einer Schar von Linienzügen (11) aus Achs-Sehnen gestrichelt angedeutet ist, ist auch noch mit Materialdicke deshalb mit dem Original kongruent, weil die Knoten-Achsen von den zwischen Achs-Sehnen im virtuellen Maschen-Netz liegenden Knotenpunkten aus nach außen und nach innen gleich lang sind.
Nun werden die einzelnen Sehnen und Maschen der beiden größeren benachbarten Scherben (24) des Formats A und C betrachtet: Die beiden korrespondierenden, jeweils in ihrer Scherbe unterschiedlich langen, aber gleich im Raum geneigten Achs-Sehnen (14) in vertikalen Schar-Linienzug-Ebenen liegen in gleich, d. h. parallel augerichteten Kanten-Flächen (157). Diese beiden Flächen sind zwar verschieden lang, haben aber die gleichen Eck- bzw. Gehrungswinkel – in der Lage um 180° gedreht. Die beiden Kanten Flächen (157) liegen nicht mehr in einer vertikalen Ebene wie der Schar-Linienzug, den sie enthalten.
Die korrespondierenden, aus je einer der beiden Scherben stammenden, in geneigten Schar-Linienzug-Ebenen liegenden Achs-Sehnen (15), welche die gleiche Länge und Steigung haben, liegen in Kanten-Flächen (158), die nicht nur in Bezug auf ihre Ausrichtung, sondern auch vom Umriß her völlig gleich sind.
Wenn dann die Achs-Sehnen (15) der antklastischen Scherbe (24) des Formats C und der an deren anderen Schar-Rand (8) des Formats s3 angeschlossenen kleinen synklastischen Scherbe (24) des Formats K betrachtet werden, gilt sinngemäß das gleiche. Hier sind aber Längs- und Querrichtung des Maschen-Netzes vertauscht. So sind die in den geneigten Schar-Lininezug-Ebenen liegenden, paarweise korrespondierenden Achs-Sehnen (15) und ihre Kanten-Flächen (158) unterschiedlich lang, während die in vertikalen Linienzug-Ebenen liegenden, paarweise korrespondierenden Achs-Sehnen (14) und Kanten-Flächen (157) gleich lang sind.
In 80 sind auch untere Maschen-Flächen (12) zu sehen, die – wie auch die unschraffierten oberen Maschen-Flächen – den ebenen, nun gestrichelt umrissenen Maschen-Flächen (12) aus 45 in der Sitzplatz-Nummer und Ausrichtung entsprechen, also dazu parallel liegen. In jeder Masche der beiden kleineren Scherben (24) der Formate C und K haben die ursrüngliche Maschen-Fläche, die untere, schraffiert dargestellte (12) und die obere Maschen-Fläche jeweils geringfügig andere Seitenverhältniosse.
Durch weitere, isoliert dargestellte Knoten-Achsen (155) außerhalb der drei erwähnten Scherben wird der Kontext angedeutet, in dem diese Scherben mit Materialdicke durch Drehung und Spiegelung stehen können.
So sind Formen von Schalen möglich, die ausschließlich aus solchen Scherben und ihrern Speigelbildenrn in Standard-Formaten bestehen, und die von 49 bis 65 gezeigt worden sind.
Entsprechend lassen sich die Knoten-Achsen auch bei ausgebeulten Schalen gemäß 66 bis 69 anwenden, die durch ein Sortieren und Zusammenfassen gleich ausgerichteter und geneigter, also paralleler Schar-Sehnen innerhalb eines geknickten Linienzuges entstanden sind. Dies ist in 81 und 82 mit der Region (135) einer Schale aus 66 geschehen. Die drei Kanten-Flächen (157) aus 80, welche die drei Achs-Sehnen (14) aus Schar-Linienzügen in Ebenen parallel zur Y-Achse enthalten, kommem hier wieder vor. Die rechte dieser Kanten-Flächen, die aus der kleinen synklastische Scherbe des Formats K in 80 stammt, ist um 180° in ihrer Ebene gedreht worden und in die Ebene der beiden anderen Kanten-Flächen verschoben worden. Die daran unten davor jeweils anschließenden Maschen-Flächen (12) sind ebenfalls übernommen.
In 82 sind dann die drei Kanten-Flächen (157) zusammen mit ihren Achs-Sehnen (14) gleicher Ausrichtung und teils unterschiedlicher Länge zu einer neuen, langen Kanten-Fläche (160) zusammengefaßt. Die unten an sie anschließende inwandige Maschen-Oberfläche (167) liegt immer noch in einer parallelen Ebene zu den drei einzelnen Flächen (12) in 80.
Ziel der gezeigten Konstruktion mit nennenwerter Materialdicke ist der stetige Übergang zwischen Maschen-Bauelementen ebenso wie der nahtlos wirkende Übergang zwischen Scherben in einer Schale. Die Maschen-Element-Oberflächen sind bei synklastischer Krümmung außenseitig und inwändig beliebig formbar – bei Beibehaltung der koplanaren Eckpunkte: Neben dem pyramidenartigen Aufzelten ist auch das Ausbeulen jeder Masche aus mindestens einer der beiden kontinuierlichen Schalen-Oberflächen hinaus möglich.
83 zeigt eine besondere, inwandige bzw. untere Obefläche einer synklastischen Scherbe (24) mit Streck-Trans-Maschenteilung in den Proportionen aus 46. Neben der anderen Art der Maschen-Teilung gibt es zwei weitere Unterschiede zu der synklastischen dicken Scherbe in 80. Zum einen liegen die Eckpunkte der inwändigen, unteren Maschen-Oberflächen überall direkt in den ursprünglichen Sehnen-Knotenpunkten (5, 6, 13, 27), und nicht genauso weit darunter wie die oberen Knotenpunkte in 80 darüber liegen, weil dies bei einer rein konvexen Schalen-Form nicht nachteilig ist. Zum anderen ist jede Masche für sich an ihrer unteren, inwändigen Oberfläche konvex gewölbt. Dies hilft, die akustischen Nachteile konkaver Innenraum-Oberflächen in synklastisch gekrümmten Schalenbauwerken zu vermeiden. Der Schall wird beim Reflektieren gestreut. Außerdem wird ein Flattereffekt durch den an der sonst konkaven Innenwand-Oberfläche der Schale entlangkriechenden Schall unterbrochen.
Die gewölbten unteren Maschen-Oberflächen sind nicht innerhalb der stetigen Scherben-Oberfläche gekrümmt. Sie und die Kanten-Flächen (156, 157, 158) haben gekrümmte Ränder (161, 162) anstelle der Sehnen (14, 15). Diese Ränder sind stark und entgegengesetzt zu den schwach gekrümmten Bögen gekrümmt, für welche die geraden Sehnen sonst stellvertretend sind. Die eben dargestellt gewesenen Vierecks-Maschen-Flächen (12) sind nun durch kleine, trapezförmig viereckige, erfindugsgemäß generierte Kappen (163) zwischen Knoten (5, 6, 13, 27) ersetzt. Die Naht-Maschen zwischen Knoten (13, 27) sind nun durch kleine, drachenförmig viereckige, erfindungsgemäß generierte Kappen (164) ersetzt. Die Randbögen (161, 162) jeder kleinen Kappe sind, wenn man diese Kappe gedanklich umdreht, vergrößert und auf eine horizontale Auflager-Ebene legt, an ihrem Stich leicht zum Zenith der kleinen Kappe hin geneigt – entgegengestzt geneigt also zu den bisher erwähnten Kappen mit ebenen Randbögen, die sich am Bogen-Stich von ihrem Zenith weg neigen. Jede dieser umgedrehten Kappen hat eine Mittelachse durch Ihren jeweiligen Zenith und durch den Bezugspunkt (91) der großen Scherbe. Diese Mittelachse liegt nicht wie sonst die Z-Achse exakt normal zur ersetzten ebenen Maschen-Fläche, welche nun als Grundfläche dieser umgedrehten einezelnen dünnen lastabtragenden Gewölbe-Kappe gelten kann.
Die Scherbe aus 83 kann auch als Ganzes größer als etwa 100 Quadratmeter gebaut werden und umgedreht werden, so daß ihr Gesamtflächen-Schwerpunkt (165) zur am niedrigsten liegenden Stelle der Scherbe wird. Dann stellt die Scherbe ein Gewölbe dar, das bei noch viel stärkerer Vergößerung ein nach außen hochgekrümmtes muldenartiges Terrain mit moderater, dessen Verlauf folgender Innenraumhöhe überdecken kann. – Doch zurück zu gewöhnlichen Größenordnungen.
Es könnte ebenso kleine Kappen auf der hier facettiert dargestellten Außenseite der großen Scherbe aus 83 geben, die sich stärker nach außen wölben – d. h. eine stärkere Krümmung haben – als die bislang kontinuierlich ineinander übergehenden kleinen Kappen oder großen Vierecks-Maschen. In konstruktiv minimierter Weise könnte jede solche Kappe dann die äußere Oberfläche eines Pneu-Kissens in Maschengröße sein.
Wenn man auch solch eine Scherbe mit nach außen überhöhten Kappen wieder viel größer bauen würde, nicht umdrehen, sondern nur flach hinlegen würde, wobei Ihr Gesamtflächen-Schwerpunkt (165) zur höchsten Stelle würde, und wenn man jede kleine Kappe vergrößert wieder als einezelne dünne lastabtragende Gewölbe-Kappe ansähe, dann würde die Scherbe ein Gewölbe darstellen, das mit niedriger Innenraumhöhe ein nach außen heruntergekrümmtes Terrain in der Form einer Anhöhe überdecken könnte. In minimierter Weise wäre diese Kappe dann ein Folien-Segel als Teil einer durch ein Seilnetz entlang der Kappen-Ränder eingeschnürten Dach-Fläche einer großen Traglufthalle.
In den bisherigen synklastischen Scherben über einem Grund-Polygon als Teil eines konvexen Grund-Polyeders hatte der bestimmende, gleichmäßig unterteilt festgelegte Schar-Rand (8) eine konstante oder eine stetig sich ändernde Krümmung. In 84 bis 90 hingegen geht es um eine Gebäudehülle als Schale aus Scherben mit einem bestimmenden Schar-Rand, der in der Form eines Korbbogens festgelegt ist. Dieser Sxhar-Rand (8) besteht aus zwei jeweils gleichmäßig dreigeteilten Kreisbögen (166, 167) mit unterschiedlichem Radius und unterschiedlicher einheitlicher Sehnen-Länge. Er ist also inhomogen.
Dabei liegt in 84 keiner der beiden Zentrumspunkte (168, 169) der beiden Kreisabschnitte des Korbbogens mehr im Schalen-Zentrumspunkt (91), dem Usprung. Vielmehr liegt der eine Punkt (168) auf der Z-Achse unterhalb dieses Zentrumspunkts und der andere (169) auf der Winkelhalbierenden zwischen Y- und Z-Achse und zugleich auf der Verbindung (170) zwischen dem unteren Endpunkt (171) des oberen, flacheren Korbbogen-Abschnitts und dessem Zentrumspunkt (168).
Die Proportionen des Korbbogens sind hier so gewählt, daß die Linie (170) vom Zentrumspunkt (168) zum unteren Endpunkt (171) des oberen, flacheren Abschnitts (166) den gleichen Winkel n mit der Z-Achse einschließt, wie zwei radiale Linien (104) zwischen den zwei Knoten (13) an einer Schar-Sehne des unteren, stärker gekrümmten Korbbogen-Abschnitts und dessen Zentrumspunkt (169) zueinander. Dadurch lassen sich viele Bauelemente der Gebäudehülle in 87 mit Korbbogen-Querschnitt auch in anderen Gebäuden wie Kuppeln mit möglichst regelmäßiger Krümmung und mit dem Radius von nur einem der Korbbögen einsetzen.
85 zeigt die schon aus 37 bekannte, vom Zenith (5) ausgehende und sich bis zur Würfel-Ecke (6) erstreckende geometrische Konstruktion der Naht-Maschen einer synklastischen Scherbe.
Diese Scherbe ist oben in 86 durch Kopieren und Spiegeln zu einer Doppel-Scherbe (30) eines Formats A + A' geworden. Diese Doppel-Scherbe ist dann wieder zweimal kopiert, und die Kopien sind um jeweils 120° einmal im und einmal gegen den Uhrzeigersinn um die hier verlängerte Würfel-Raumdiagonale (94) gedreht worden. So ist eine große dreieckige Kappe (49) mit rechtwinkligen Ecken an den drei Eckpunkten (5) entstanden. Die Doppel-Scherbe (30) des Formats A + A' links vorne ist durch dicke Linien in zwei große Vierecks-Maschen (12) und zwei große Naht-Maschen (31) mit jeweils gleichmäßig geteilten Rändern unterteilt.
Die tragende Gebäudehülle (172) in 87, die wie die obere Hälfte eines aufgeblähten und abgerundeten Quaders aussieht, besteht aus vier großen, dreieckigen Kappen (49) um den Zenith (5) herum. Die eine, geringer gekrümmte große Naht-Masche (31) aus 86 mit den flacheren Bögen (166) als Rändern bildet die Hälfte einer Wandfläche. Kopiert und anders ausgerichtet bildet diese große Naht-Masche aber auch das Viertel der Dachfläche. Die andere, stärker gekrümmte große Naht-Masche (31) bildet in 87 als Doppel-Scherbe ein Drittel einer links dick umrandeten, kleinen dreieckigen Kappe als „Koffer-Ecke" dieser gerundeten Gebäudehülle. Die großen Vierecks-Maschen (12) schließlich bilden das Viertel einer gerundeten Gebäude-Kante.
Wenn statt des schwach gekrümmten Schar-Rand-Abschnitts (66) eine gerade Linie festgelegt wird, und statt des stärker gekrümmten Schar-Rand-Abschnitts (67) ein einen Winkel von 45° einschließender Kreisbogen, dann entsteht ein abgerundeter Quader, dessen Ecken mit ihrer erfindungsgemäßen Teilung auch in handelsüblicher Design-, Architekten- und Ingenieur-Software einsetzbar sind. Dieser Fall ist nicht gesondert dargestellt. Viielmehr werden im folgenden die Ergebnisse von anderen Formungs-Möglichkeiten gezeigt.
Bei der Schale (173) In 88 ist die gesamte Gebäudehülle (172) aus 87 skaliert – und zwar in den verschiedenen Quadranten des Koordinatensystems unterschiedlich. Zunächst ist die Gebäudehülle in der X-Z-Ebene halbiert worden. Die linke Hälfte ist dann in Y-Richtung gestreckt, die rechte in Y-Richtung gestaucht worden. Dann sind die verformten Hälften wieder zusammengesetzt worden. Dann ist die Schale in der Y-Z-Ebene zerteilt worden. Der hintere Teil-Bereich ist in X-Richtung geringfügig gestaucht worden, der vordere Teil-Bereich ist stark gestreckt worden. Auch diese Teil-Bereiche sind wieder zusammengesetzt. Die jeweils für sich gestauchten Teil-Bereiche sind schraffiert; der erstgenannte vertikal und der zweitgenannte horizontal. Bei all diesen Vorgängen haben sich die Kreis-Bögen der Schar-Ränder zu Ellipsen-Bögen verändert.
Die symmetrische Gebäudehülle (172) in 87 kann auch erfindungsgemäße, offene Ausstülpungen bekommen, wie sie die Gebäudehülle (174) in 90 hat. Hierfür ist in 89 eine antiklastische Scherbe eines Formats C in Entsprechung zu 48 vom Würfel-Eckpunkt (6) ausgehend geometrisch konstruiert worden. Es sind also wieder dick gezeichnete, kopierte Teilstücke des beiden Scherben gemeinsamen Schar-Randes (9) als Schar-Linienzüge (11) unten an die geradlinige horizontale Schlepp-Rand-Linie (52) angeschlossen worden.
Aus dieser antiklastischen Scherbe sind durch kombiniertes Kopieren, Drehen und Spiegeln die zwei offenen Ausstülpungen der Schale in 90 entstanden. Diese wirken so gestreckt, daß man sie als etwas von den Wand- und Dachflächen zurückgesetzte Anbauten ansehen kann. Wenn diese gestaucht werden sollen, um sie aus gestauchten Doppel-Scherben wie der in 93 fertigen zusammensetzen zu können, kann die antiklastische Scherbe (24) des Formats C nicht einfach in einer Raum-Richtung skaliert werden, weil dann der stetige Flächen-Übergang zwischen synklastischer Scherbe oben und daran anschließender antiklastischer Scherbe verloren ginge. Eine neue, ohne Knick an die synklastische Scherbe anschließende antiklastische Scherbe des Formats E kann allerdings keine geradlinige untere Schlepp-Rand-Linie (52) als Drehachse für eine Kopie mehr wie noch in 90 haben, weil diese Linie – bildlich gesprochen – aus der ursrünglichen 45°-Richtung am Würfel-Eckpunkt (6) in Richtung Schar-Ecke (4) abgebogen werden muß. Deshalb muß für die nicht drehsymmetrische Doppel-Scherbe (30) gemäß 93 noch eine weitere, anders geformte Scherbe (24) des Formats F vorgesehen werden.
Die obere, synklastische Scherbe (24) ist zunächst in 91 in vergrößerter Darstellung auf die Schar-Linienzüge (11) in geneigten Ebenen reduziert. Die geometrische Konstruktion der anschließenden gestauchten antiklastischen Scherbe des Formats E ist mit der Festlegung eines sehr kurzen und deshalb lupenartig vergrößerten Schar-Randes in der X-Z-Ebene als bestimmender Schar-Rand begonnen worden. Um bei den sehr schmalen neuen Maschen viel Regelmäßigkeit zu erreichen, ist er als gleichmäßig in Sehnen unterteilter Kreisbogen geformt worden. Dabei sollte dessen unterste Sehne (14) die Steigung der obersten Sehne (14) der synklastischen Scherbe bekommen. Außerdem sollte dessen oberste Sehne am Schar-Eckpunkt (4) auf einer Geraden mit der untersten Sehne der synklastischen Scherbe liegen. An die Knotenpunkte dieses so bestimmten kurzen Schar-Randes sind dann die parallel zur X-Achse und in um 45° geneigten Ebenen liegenden Schar-Linienzüge (11) und deren Sehnen (15) in spiegelbildlicher Anordnung bzw. umgekehrter Platz-Reihenfolge angesetzt worden.
Dann ist in 92 zunächst die neue, räumlich gekrümmte Schnitt-Naht-Linie (26) durch die Endpunkte (27) diser Schar-Linienzüge gezeichnet worden. Sie ist darunter dick kopiert dargestellt. Danach ist mit der geometrischen Konstruktion der Naht-Maschen zur Verbindung mit der benachbarten, anders proportionierten antiklastischen Scherbe begonnen worden. Die Konstruktion der Naht-Maschen ist in gleicher Weise wie in 78 unten vorgenommen worden, auch wenn dort Form, Krümmungs-Art und Ausrichtung der Schar-Linienzug-Ebenen der Scherbe ganz anders gewesen waren. Gemeinsam ist jedoch, daß die Lage der Schnitt-Naht-Knoten (27) und die Ausrichtung beider Ebenen-Scharen der Schar-Linienzüge der noch zu konstruierenden Scherbe schon bekannt gewesen waren.
In 93 sind diesmal, also in der rechts unten befindlichen Scherbe des Formats F, die Ebenen der einen Linienzug-Schar vertikal und parallel zur X-Achse und die der anderen 45" geneigt und parallel zur Y-Achse ausgerichtet. Diesmal liegt die Naht-Masche, mit der in 92 begonnen worden ist, am Würfel-Eckpunkt (6). Vom nächsliegenden Knoten (13) des gemeinsamen Schar-Randes (9) ist – hier wieder lupenartig vergrößert zu sehen – eine Linie (151) zu einem beliebigen Punkt (41) auf der untersten Schnitt-Sehne (28) gezeichnet worden. Diese neue Linie ist bis zu einem Punkt (46) hin verlängert worden, der senkrecht unter einer parallel zur X-Achse liegenden horizontalen Hilfslinie (44) in einer hier vertikalen Schar-Linienzug-Ebene liegt. Zu diesem neuen Punkt (46) ist von dem Schnitt-Naht-Knoten (27) eine Linie (14) gezogen worden, die dann nach vorne bzw. unten zu einem Punkt (13) hin als neuem Eckpunkt der untersten Naht-Masche verlängert worden ist, der auf einer 45° geneigten Schar-Ebene liegt, der also in der gedachten Sicht aus der Y-Richtung bis zu einer Hilfslinie (45) hin führt, die parallel zu einer diesmal in der X-Z-Ebene befindlichen Winkelhalbierenden (145) liegt.
93 zeigt als Ergebnis die neue, gestauchte antiklastische Doppel-Scherbe (30) des Formats E + F. Diese ist in 94 kopiert und an ihrem kurzen unteren resultierenden Schar-Rand (9) zu einer Doppel-Scherbe mir dem Format E' + F' gespiegelt. Diese beiden Doppel-Scherben sind mit einer synklastischen Scherbe (24) des Formats A zu einem Achtel-Bereich (175) zusammengefaßt.
Vier solche Achtel-Bereiche (175) einschließlich gespiegelter Bereiche sind in 95 zur Hälfte (176) eines diagonal halbierten Kragdaches mit runder Mittelstütze zusammengesetzt. In 96 sind die fast gleichen Bereiche (177) zur Hälfte (178) eines diagonal halbierten offenen Pavillons auf vier Vierteilkreis-Stützen und mit stabilisierend aufgebogenem Dach-Rand zusammengesetzt. Mit noch mehr Achtel-Bereichen (175) könnte der vervollständigte Pavillon zu einem Kragdach auf vier Rundstützen erweitert werden. Viele solche Pavillons könnten zu einem fließenden Gewölbe mit im Profil ausgerundeten Gurtbögen zusammengesetzt werden. Die Achtel-Bereiche (177) in 96 sind durch das Weglassen der regulären Maschen im Zenith und ihren Ersatz durch frei geformte, unregelmäßig viereckige Maschen (179) für den aufgebogenem Rand eines Lochs für ein Dach-Oberlicht ersetzt. Da aber immer noch in den frei veränderten Doppel-Scherben einer mit einem Loch versehenen Kappe für die Dachfläche eines vervollständigt gedachten Pavillons mit Oberlicht erfindungsgemäße Naht-Maschen vorkommen, handelt es sich auch bei dieser Dachfläche alleine um eine erfindungsgemäße Schale.
97 schließlich zeigt, wie die gestauchten, antiklastischen Doppel-Scherben der Formate E + F und E' + F' auch zu Teilen eines aus einer einzigen komplexen Oberfläche bestehenden Skeletts mit hohlen „Stab"-Querschnitten werden können.
In den Beispielen von 95 bis 97 müssen die schmalen, nebeneinanderliegenden Maschen einer gestauchten Doppel-Scherbe jeweils als Reihe zu einem einzigen Bauelement zusammengefaßt werden. Deswegen sind diesee Beispiele eher in knick- und biegbarem dünnen Material ausführbar.
Bisher war das regelmäßige konvexe Grund-Polyeder für eine Schale aus Doppel-Scherben über dessen Polygonen ein Würfel. Das ist zunächst einmal zweckmäßig. Zudem ist dabei alles einfacher zu erklären. Das Grund-Polyeder kann aber auch ein anderer Platonischer Körper, ein Archimedischer Körper oder dazu dualer Körper oder auch ein geodätisch nach Fulller geteiltes Polyeder sein.
In den folgenden Beispielen werden die verschiedenen konvexen Grund-Polyeder mit Scherben in Translations-Maschenteilung umwölbt. Ebenso machbar ist die speziell zentrische Streck-Trans-Maschenteilung.
Dabei sind die regelmäßigen Polyeder – mit einer Ausnahme – mit zweizähliger Symmetrie im Raum des Koordinatensystems ausgerichtet. Stellt man sich also die Sicht aus der X- oder der Y- oder der Z- Richtung vor, ergibt sich so ein Bild des Grund-Polyeders mit nur zwei Spiegelachsen. Diese Ausrichtung des Grund-Polyeders erleichtert wie in 98 das Verständnis. Manche darauf basierenden Schalen liegen dann allerdings im gezeichneten Modell mit ihrer Grundfläche schräg im Raum.
98 zeigt einen Tetraeder als Grund-Polyeder (90). Dessen vorderes, oberes Polygon (36) ist, wie das obere des Würfels in 32, als Grund-Polygon wieder in fein schraffierte Sektoren (35) mit rechtwinklig dreieckigem Umriß aufgeteilt, die zwischen der Polygon-Mitte (39), einer Kanten-Mitte (37) und einer Polygon-Ecke (6) liegen. Weil das Grund-Polygon ein Dreieck ist, besteht es nur aus sechs Sektoren.
Ausgangspunkt für die Maschen-Generierung war wieder die Schnitt-Ecke einer Scherbe, der Zenith (5) gewesen, der zwar nicht auf der Z-Achse liegt, aber auch hier in einer Linie (93) liegt, die in einer Richtung normal zum Grund-Polygon durch dessen Mittelpunkt (39) zum Polyeder-Zentrumspunkt (91) führt. An diesen Zenith (5) ist ein als kreisbogenförmig festgelegter bestimmender Schar-Rand (8) eines Formats s1 aus gleich langen Sehnen in einer Ebene normal zur Polyeder-Kante (38) quer durch den Mittelpunkt (37) dieser Polyeder-Kante angeschlossen worden. Entsprechend 34 ist dann das Maschen-Netz einer seitlich fertig verkleinert kopiert zu sehenden synklastischen Scherbe (24) eines Formats A generiert worden, welche zu einer Doppel-Scherbe (30) des Formats A + A' durch Spiegelung verdoppelt ist. Entsprechend 45 ist dann eine antiklastische Scherbe (24) eines Formats C mit einem Schar-Rand (8) eines Formats s3 gezeichnet worden. Diese Scherbe ist mit einer kopierten und um 180° gedrehten Scherbe, deren Ränder in 98 unten bereits gestrichelt zu sehen sind, zu einer antiklastischen Doppel-Scherbe eines Formats C + C, die oben rechts verkleinert zu sehen ist, vereinigt worden.
In 99 sind zunächst gleiche synklastische Doppel-Scherben zusammengesetzt worden. Die randlose, geschlossene konvexe Schafe (180) aus 24 Scherben (24) zeigt mit ihrer Erdbeer-Form deutliche Abweichungen von einer Kugeloberfläche. Je mehr Polygone nämlich ein regelmäßiges konvexes Grund-Polyeder hat, umso geringer wird die Abweichung der umbeschriebenen Schalen-Oberfläche von der Kugel-Oberfläche. Das Tetraeder ist der Extremfall mit sehr wenigen Seitenflächen. Der räumlich sektorale Bereich, den jede dieser Scherben einnimmt, ist wesentlich größer bzw gespreizter als der von Scherben in einer randlosen, einem Würfel umbeschriebenen konvexen Schale mit annähernder Ball-Form. Der hier oberste Punkt der Schale (180) liegt nicht wie beim Würfel am Endpunkt mehrerer Schnitt-Naht-Linien, sondern in einem Schar-Eckpunkt (4) als Mittelpunkt eines einer Raute ähnlichen, symmetrischen Schnitt-Vierecks (56).
Wie ein Würfel in 45 und 52 kann ein Tetraeder Bestandteil einer Dichten Packung sein. Weil sich Tetraeder aber nicht lückenlos packen lassen, besteht diese Packung nicht nur aus Tetraedern, sondern auch aus Oktaedern. Dabei ist in einer unendlichen dichten Packung jedes Tetraeder von vier Okaedern umgeben. Jedes dieser Oktaeder sieht man nun als ein dreieckiges Antiprisma an, dessen Boden und Deckel fehlen. Wenn nun jedes der vier Oktaeder mit seinem offenen Boden oder Deckel an ein Tetraeder als konvexes zentrales Grund-Polyeder (90) angeschlossen wird, und dies zentrale Grund-Polyeder dann entfernt wird, entsteht ein Teilstück eines Infiniten Polyeders.
Auch dieses Infinite Polyeder teilt wieder den Raum in zwei kongruente unendliche Raum-Hälften in der Form von eckigen Tunnel-Systemen. In diese sind erfindungsgemäße antiklastische Doppel-Scherben (30) der hier gültigen Formate C + C in 100 eingespannt worden. Wie in 52 sieht man auch hier wieder zwei ineinander verwobene kongruente duale Gitter aus Tunnel-Achsen (88). Diesmal liegen in jedem dieser beiden Gitter die Knoten (89) zueinander wie die Kohlenstoff-Atome in einem Diamant-Gitter.
Das Erste Gitter (121) hat Knotenpunkte (89), in welchen sich die Ebenen von drei Schar-Rändern von jeder schaffierten oder dick umrandeten antklastischen Doppel-Scherbe kreuzen, die dem jeweiligen Knoten (89) an nächsten liegt.
Diese drei Schar-Ränder nahe bei jedem zweiten dieser Knoten des Ersten Gitters (121) sind – anders als bei 52 – im einzelnen die beiden Schar-Ränder (8) eines Formats s3 und einer der beiden an eine synklastische Scherbe anschließbaren Schar-Ränder (9) eines Formats s2. Bei den übrigen dieser Knoten (89) sind diese drei Schar-Ränder des Zweiten Gitters – wie bei 52 – nur ein Schar-Rand (8) eines Formats s3 und zwei Schar-Ränder (9) des Formats s2.
Das zum Ersten kongruente Zweite Gitter (122) hat im Ursprung und Zentrumspunkt des in 98 gezeigten und dann ausgelassenen konvexen Grund-Polyeders (90) auch wieder einen besonderen Knotenpunkt (91) seiner Knotenpunkte (89). Drei Ebenen von Schar-Rändern der antiklastischen Doppel-Scherbe (30) treffen sich im Zentrumspunkt (91) des konvexen Grund-Polyeders. Diese Ränder sind – wie bei 52 – im einzelnen einer der zwei Schar-Ränder (8) eines Formats s3 und zwei Schar-Ränder (9) des Formats s2 Die Ebene des vierten Schar-Randes, des zweiten der Schar-Ränder (8) des Formats s3, liegt hier aber nicht mehr wie beim Würfel (vergl. 45 und 53) parallel zu einem weiteren, dem nächstliegenden Polygon des gleichen Grund-Polyeders.
Die synklastischen Scherben (24) des Formats A und A' sowie die antiklastischen Scherben (24) des Formats C können auch auf der Grundlage eines Tetraeders wieder vervielfacht zu einem dreieckigen Kissendach (57) zusammengesetzt werden, welches in 101 zum Bestandteil einer komplexen Schale wird. Dieses Kissendach liegt schief zum bisherigen Koordinatensystem im Raum. Man muß sich deshalb die Ränder (58) auf einer horizontalen Grundebene liegend und die Normale (93) mittig zum Grund-Polygon in der Dach-Auflagerrand-Ebene als Senkrechte vorstellen. Die Ebenen der Randbögen (48) der in diesem Dach enthaltenen dreieckigen Kappe sind dann stark gegenüber dieser Senkrechten geneigt. Dadurch sind die Eckbereiche dieses Kissendachs relativ klein. Die Neigung der Schar-Rand-Ebenen (9) ist hier stärker als beim regelmäßig viereckigen Kissendach (61) aus 60. Sie beträgt hier nicht 45°, sondern 54,36°.
Insgesamt drei der neuen dreieckigen Kissendächer (57) sind in 101 um ein Tunnel-Stück mit zwei dreieckigen ebenen Öffnungen herum gruppiert, deren Ecken (51) die Eckpunkte eines großen gedachten Oktaeders von der doppelten Seitenlänge eines fehlenden Tetraeders oder geöffneten Oktaeders im infiniten Grund-Polyeder sind.
Neben dem auf der Würfel-Packung und dem auf der Tetraeder-Oktaeder-Packung basierenden infiniten Polyeder gibt es viele weitere, bislang mit Hyperbolischen Paraboloiden oder mit komplizierten Flächen aus der Differentialgeometrie bespannte infinite Polyeder, welche statt dessen auch mit einer durchgängigen oder facettierten erfindungsgemäßen gekrümmten räumlichen Schalen-Fläche bespannt werden können. Diese sprengen aber etwas die Vorstellungskraft. Deshalb kommt deren Geometrie in keiner erfindungsgemäßen Zeichnung hier vor. Bereits die rein antiklastische komplexe Schale in 100 dient für sich eher nur der Erklärung. Senkrechte ebene Öffnungen als Tunnel-Querschnitte lassen sich dort nicht unmittelbar bilden, ohne Maschen willkürlich zu zerschneiden.
So hat die ebenso wie das Kissendach in 102 nicht auf der X-Y-Grundebene liegende und deshalb nahezu von oben zu sehende und in 103 in etwa von der Seite gesehene und im von 98 bis 105 gleich ausgerichteten Zweiten Gitter von Tunnel-Achsen liegende skulpturale Schale (181) zwei geneigte, spitzwinklige „Rahmen" (182) als Rand von sich trompetenförmig aufweitenden Ausstülpungen. Wie in 103 zu sehen, ist eine solche rahmenförmige Öffnung zwar eben, aber gegenüber der auch hier schief zur X-Y-Ebene liegenden Grundfläche geneigt. Die dritte Öffnung – in 102 oben und in 103 hinten zu sehen – ist weniger aufwendig gestaltet, weil antklastische Scherben (24) des Formats C durch solche der Formate D oder D' ersetzt sind. Die neuen Scherben-Formate D und D' sorgen nicht nur an der hinteren Öffnung für einen senkrecht zur Grundfläche dieser Schale stehenden ebenen Randbogen (183), sondern auch für drei ebensolche Randbögen (183) als Auflager in der Grundfläche.
Ein durch zwei dicke, spiegelbildliche Linien (184) abgetrennter Teil-Bereich dieser Schale bildet das Drittel einer Schale in 104 in der Form eines Stempelgriffs. Deren durch einen Tetraeder-Eckpunkt (6) gehende Drehsymmetrie-Achse bildet eine weitere, verlängerte Tetraeder-Raumdiagonale (94), die in der Zeichnung fast horizontal liegt, weshalb das Gebilde ebenfalls gedanklich in die Z-Senkrechte gedreht werden muß.
Die Schale (185) in 105 hat ihre Grundfläche wieder in der X-Y-Ebene. Sie kann als Tonnendach bezeichnet werden. Sie hat nämlich zwei ebene Randbögen (186) aus je zwei Schar-Rändern (8) des Formats s3 und zwei gerade Ränder (58). Genauso aber läßt sie sich als synklastische Schale mit zwei gegenüberliegenden antiklastischen offenen Ausstülpungen bezeichnen, weil die Ausbeulung in der Mitte nach oben sehr stark ist und unten seitlich sogar über die gerade Auflagerlinie (58) hinausragt. Auch dieses Beispiel zeigt, daß erfindungsgemäße Schalen über eine Halbkugel-Form hinaus weiter nach unten gehen können, ohne dort Ränder mit willkürlichen Anschnitten zu haben.
Nach diesen außergewöhnlichen, bislang auch in ähnlicher Weise in nicht erfindungsgemäßer Feinteilung unbekannten Gebäude-Formen in 102, 103, 104 und 105 werden in 106 bis 115 noch einmal Formen dargestellt, die innerhalb von zwei verwobenen kubischen Gittern angeordnet sind, deren Maschenteilung aber geringfügig anders als zuvor proportioniert ist. Die Scherben-Formate von 106 gelten dabei bis 114.
In 106 ist die obere Hälfte eines Oktaeders als Grund-Polyeder (90) in einer Ausrichtung mit zwei Eckpunkten (6) auf der Y-Achse, zwei weiteren Eckpunkten (6) in der X-Z-Ebene und mit zwei Kanten-Mitten (37) auf der X-Achse dargestellt. Dabei liegen zwei vollständige, gleichseitig dreieckige Polygone in geneigter Lage oben, während vier halbierte Polygone in der Form rechtwinkliger Dreiecke senkrecht zur Grundfläche stehen. Das rechte der beiden gleichseitigen Dreiecke ist wieder als Grund-Polygon (36) in Sechstel-Sektoren (35) unterteilt, deren fein schraffiertes Exemplar mit einer synklastischen Scherbe (24) des Formats A als Bestandteil einer Doppel-Scherbe (30) des Formats A + A' überwölbt ist.
Diese Scherbe ist in 107 in einer angenäherten Halbkugel aus gleichartigen Scherben zu sehen. Diese angenäherte Halbkugel stellt die Hälfte einer „Kugel" dar, welche das topologisch gleiche Maschen-Netz hat, wie die „Kugel" der Halbkugel von 50. Diese Gleichheit ergibt sich aus der Dualität von Würfel und Oktaeder. Die Schalen aus 50 und 107 haben aber zwei Unterschiede: Zum einen ist das Maschen-Netz um die Y-Achse um 45° gedreht. Zum anderen hat eine synklastische, den gleichen räumlich sektoralen Bereich innerhalb der Scherben-Rand-Ebenen wie in 32 ausfüllenden Scherbe (24) des Formats A an einem Oktaeder im Vergleich zu einer solchen Scherbe an einem Würfel jeweils andere Proportionen der Sehnen-Längen innerhalb des Maschen-Netzes zueionander und andere Neigungswinkel der Schar-Sehnen und Masche-Flächen am jeweils gleichen „Sitzplatz" im Maschen-Netz. Dies würde sich in einer Darstellung zeigen, in der die beiden Maschen-Netze zum Vergleich bestmöglich zur Deckung gebracht sind.
Wie für 35 erklärt, kann in nur einer der beiden sich kreuzenden Linienzug-Scharen des Netzes einer Scherbe jeder Linienzug für sich gleich lange, hintereinander liegende Sehnen haben. Jeder Linenzug der anderen Schar quer dazu hat für sich unterschiedlich lange, hintereinander liegende Sehnen, die von der hier rechtwinkligen Schar-Ecke (4) der Scherbe weg zum Polyeder-Eckpunkt und Scherben Eckpunkt (6) hin immer kürzer werden. Dies wirkt sich bei TST-Flächen noch stärker aus. Es hat sicht gezeigt, daß es weniger auffällt, wenn die kürzeren Linienzüge unregelmäßig sind. Bei der Oktaeder-Scherbe sind es aber ausnahmsweise die kürzeren Linienzüge, welche gleichmäßig geteilt sind. Deshalb ist die Teilung hier unregelmäßiger, als bei der Würfel-Scherbe. Bei der Oktaeder-Scherbe ist die Abweichung der Knotenpunkte von der Kugeloberfläche aber – eher unerwartet – geringfügig geringer.
Auch in 106 ist an die synklastische Scherbe (24) des Formats A eine bis zu einem Kissendach-Auflagerrand-Endpunkt (51) auf der Ebene der synklastisch überwölbten Polygon-Seitenfläche reichende abgeschleppte antiklastische Scherbe (24) eines Formats C angefügt. Beide Scherben sind nebenstehend zu einer verkleinert dargestellten Doppel-Scherbe erweitert. Die synklastische Scherbe des Formats A ist in 107 verwandt.
In 108 ist eine komplexe Schale als Ausschnitt einer unendlichen gekrümmten Fläche aus den antiklastischen Scherben des Formats C und aus Doppel-Scherben eines Formats C + C zu sehen. Wie das Netz der synklastischen Schale ist auch das Netz der antiklastischen Fläche mitsamt den zwei dazugehörigen verwobenen kubischen Gittern aus Tunnel-Achsen um die Y-Achse um 45° gedreht. Diese Gitter sind hier bei gleicher Grund-Polyeder-Kantenlänge aber deutlich größer, weil das Um-Polygon eines Dreiecks längere Seiten hat als das eines Quadrats, wodurch die antiklastische Scherbe des Formats C hier an ihrem geraden Schlepp-Naht-Rand als halber Um-Polygon-Seite deutlich länger als in 44 ist. Bei beiden verglichenen Bausätzen hat der Schlepp-Naht-Rand der Scherbe des jeweiligen Formats C ein Viertel der Länge der Flächen-Diagonale eines Quadrats zwischen vier Tunnel-Achsen (88). Der Zentrumspunkt (91) des einsetzbaren Grund-Polyeders, hier eines Oktaeders für synklastische Scherben, ist hier allerding kein Gitter-Knoten, sondern der Mittelpunkt einer Tunnel-Achse.
In 108 sind die Achsen-Gitter unten in einer horizontalen Ebene abgesschnitten. Die komplexe Schale ist dabei unten von zwei Randbögen (186) aus zwei Schar-Rändern des Formats s3 in der gleichen horizontalen Ebene begrenzt.
Das Kissendach (57) in 109 ist wie dasjenige in 101 dreieckig – enprechend der Form des in die Seitenmitten (6) seines Randes einbeschiebenen dreieckigen Grund-Polygons als Teil eines Grund-Polyeders aus Dreiecken. Die Neigung der geneigten Schar-Linienzug-Ebenen gegenüber der Grund-Polygon-Normale (93) durch die Polygon-Mitte ist aber wieder geringer geworden als in 101.
110 zeigt eine synklastische Schale (187) mit einer eher niedrigen Öffnung in einem flachen Randbogen (186) in einer senkrechten Ebene.
Diese Schale (187) ist in 111 durch eine um 180° gedrehte Kopie (187) zu einer geschlossenen komplexen Schale mit zwei „Höckern" und einem schraffierten rautenähnlich symmetrischen Schnitt-Viereck (56) als Sattelfläche dazwischen, die sich über den Bogen (186) hinweg erstreckt, geworden.
In 112 ist der vordere, vor der Y-Achse liegende Teil-Bereich aus der Schale von 110 übernommen und durch Kopieren und Drehen um 180° un die Z-Achse nach hinten verdoppelt worden. In 113 ist ein dick umrandeter, nur antiklastischer Teil-Bereich aus 108 links, der zwischen zwei ebenen Bögen (186) und vier geraden Schlepp-Rand-Linien (52) liegt, an das Gebilde aus 112 vorne angesetzt worden.
In 114 ist der gemischt gekrümmte Bereich hinter der Y-Achse in 112 von dort übernommen und dreimal kopiert worden. So ist ein ausgerundet gezacktes Oberlicht-Sheddach entstanden.
In 115 schließlich hat die Schalen-Form aus 112 durch Skalierung völlig andere Proportionen erhalten. Deren Doppel-Scherben sind somit nicht mehr Module eines Baukastensystems gemäß 106, sondern nur noch eines neuen Bausatzes. Dreifach aneinandergesetzt egibt sich aus der skalierten Schale eine ausgebeulte, gewellte Tonnen-Schale.
Bisher wurden viele symmetrische Schalen gezeigt, die sich an ihren offenen Ausstülpungen, welche Teile einer infiniten, antiklastischen gekrümmten Fläche in einem infiniten Polyeder sind, modular aneinandersetzen lassen und somit zu einem Baukastensystem für einzelne und komplexe Schalen gehören. Es folgen nun Schalen, deren offene Ausstülpungen zwar nicht mehr zu einer solchen infiniten, antiklastisch gekrümmten Fläche gehören, aber doch noch aus Doppel-Scherben bestehen, bei denen drei Ebenen von Schar-Rändern (8, 9) sich im Zentrumspunkt (91) des konvexen Grund-Polyeders treffen, und die Ebene des vierten Schar-Randes (8) am Öffnungs-Rand auch hier wie beim Würfel als Grund-Polyeder (vergl. 52) parallel zu einem weiteren, senkrecht stehenden Polygon (36) des Grund-Polyeders liegt. Die antiklastischen Doppel-Scherben (30) sind dann allerdings nicht mehr aus Scherben nur eines Formats zusammengesetzt.
Auch das Tetraeder in 116 ist als Grund-Polyeder (90) nicht mehr in ein infinites Polyeder aus Tetraedern und Oktaedern eingebaut. Es ist zunächst in einer Lage in nur einer einzigen Symmetrieachse, der Y-Achse, dargestellt. Seine Hälfte unterhalb der X-Y-Ebene ist gestrichelt. Die synklastische Scherbe (24) des Formats A ist hier zwar genau die selbe wie die in 98. Die antiklastische Scherbe (24) eines Formats C unterscheidet sich aber in den Proportionen von der in 98. Sie ist nämlich, um überhaupt in einer Ausstülpung verwandt werden zu können, gestaucht, weil alle in Schar-Linienzug-Ebenen normal zur Polyeder-Kante (38), also in Ebenen parallel zu der Ebene der beiden hintereinander liegenden Schar-Ränder (8) des Formats s1 und s3 liegenden Schar-Sehnen (14) zwar mit gleicher Steigung, aber etwas anders als bisher von der synklastischen in die antiklastische Scherbe übertragen worden sind. Anders als in 91 ist dies hier einhergehend mit einer Halbierung jeder Schar-Sehne (14) geschehen.
Die antiklastische Scherbe hat einen daraus resultierenden gekrümmten Schnitt- Linienzug. Von diesem als Schnitt-Naht-Linie (26) her also hat eine weitere Scherbe (24) eines Formats D zu einem von der Grund-Polygon-Ebene jetzt abweichenden neuen Punkt (188) hin gezeichnet werden müssen.
Die Ebenen der Schar-Linenzüge der neuen Scherbe hatten schon vorher festgelegen: Die Ebenen der einen Schar stehen senkrecht auf der X-Y-Grundfläche, um eine ebene Bogen-Öffnung (2) zwischen Schar-Rändern eines Formats s4 in einer Ebene parallel zum nächtliegenden seitlichen Polygon (36) des Grund-Polyeders zu ermöglichen. Die Ebenen der anderen Linienzug-Schar liegen horizontal, d. h. parallel zur Grundebene, damit die Ausstülpung einen horizontal ebenen Auflagerrand hat.
Die zeichnerische Konstruktion der maßgeblichen Naht-Maschen ist wieder durch das Kürzen von hier nicht dargestellten Konstruktionslinien erfolgt, die innerhalb von Naht-Maschen-Ebenen liegen – analog zu 78 unten. An welchem der beiden Endpunkte (6, 188) der Schnitt-Naht-Linie hierbei begonnen worden ist, ist egal.
In 116 haben die zwei ungleichen Scherben (24) der Formate C und D gemeinesam eine räumlich gekrümmte Schnitt-Naht-Linie (26) anstatt einer Schlepp-Naht-Gerade (64) die immer in drehsymmetrischen Doppel-Scherben wie in 15 oder 45 vorkommt.
In 117 zeigt eine leicht verformte Halbkugel, deren zu einer „Kugel" verdoppelt gedachtes Maschen-Netz mit dem der „Erdbeere" (180) in 99 identisch ist. Jeweils zwei von den drei Rand-Ebenen jeder Scherbe schneiden sich nicht mehr wie beim Würfel in ihren Schnitt-Linien (92, 93, 94) in Winkeln von (360:n)° zueinander. Die n-eckige, hier nur dreieckige Kappe (80) über dem in 116 zu überwölbenden Grund-Polygon (36) in nach links geneigter Lage ist dick umrandet (vergl. analoge Darstellung der n-eckigen Kappen in 120, 122, 124, 126).
118 zeigt eine verformte Halbkugel aus synklastischen Scherben (24), versehen mit einer Öffnung aus antiklastischen Scherben. Hier wäre noch eine zweite Öffnung hinten links mit einer Ebene in einem Winkel von 70,53° zur ersten möglich.
Wenn man versuchte, eine Schale um ein in einer zweüzähligen Grundriß-Drehsymmetrie angeordnetes Oktaeder, das zwei in parallelen Ebenen liegende senkrechte Polygone hat, in gleicher Weise mit Öffnungen wie das Tetraeder in 116 zu versehen, entstünden Scherben eines Formats D mit nur einfacher Flächen-Krümmung, also als einfacher Tonnen-Ausschnitt. Deshalb gibt es hierzu keine Darstellung.
Die nun nach dem Tetraeder folgenden konvexen Grund-Polyeder mit mehr Seiten als ein Oktaeder sind im Grundriß alle in zweizähliger Spiegelsymmetrie ausgerichtet. Ihre unteren Hälften sind in der Darstellung ganz weggelassen.
In 119 befinden sich vier verschiedene Scherben (24) je eines Formats A. B, C und D an einem Pentagonal-Dodekaeder als Grund-Polyeder. Um Platz zu sparen, ist das Polyeder in der Darstellung auch noch in der X-Z-Ebene halbiert worden. Um aber trotzdem eine Vorstellung vom ganzen Polyeder zu bekommen, ist – wie auch noch in späteren Beispielen – ein stark verkleinertes Exemplar von einem ganzen konvexen Polyeder mit gleicher Ausrichtung und dem gleichen Zentrumspunkt (91) im Ursprung eingesetzt worden.
Das im folgenden betrachtete, geneigte, gleichseitig fünfeckige Grund-Polygon (36) oben rechts ist auch in der Verkleinerung schaffiert. Die synklastische Scherbe (24) liegt leicht seitlich über dem Zehntel-Sektor (35) des großen Fünfecks als Grund-Polygon.
Diese Scherbe weicht bezüglich ihrer Proportionen und ihrer Maschenteilung geringfügig von einer nicht dargestellten Scherbe über dem Sechstel-Sektor eines gleichseitigen Dreiecks als Grund-Polygon des dazu dualen Platonischen Körpers, eines Ikosaeders ab. Diese Beziehung entspricht der bereits für 107 beschriebenen zwischen der Scherbe eines Würfels und der des dazu dualen Oktaeders als Grund-Polyeder.
An dem senkrecht stehenden Polygon (36), einem durch die X-Y-Grundebene zu einem Viereck halbierten Fünfeck zwischen drei regelmäßigen Eckpunkten (6) und einer Kanten-Mitte (37) entsteht auch hier wieder eine Ausstülpung mit einer senkrechten Öffnung (2) in einer Ebene parallel zu diesem halbierten Polygon. Die Sehnen (14) der antiklastischen Scherbe eines Formats C, die in Schar-Linienzug-Ebenen normal zur zwischen Grund-Polygon (35) und senkrechtem Polygon (35) liegenden Polyeder-Kante (38) liegen, bekommen die gleiche Neigung wie in der synklastischen Scherbe (24). Im Gegensatz zu 116 werden sie aber nicht durch Halbierung in der Länge bestimmt, sondern wieder wie in 8 vom Kappen-Auflager- und Polyeder-Eckpunkt (6) aus durch Abschneiden an einer geraden Schlepp-Rand-Linie auch wie in 45. Diese gerade Schlepp-Rand-Linie ist aber im Unterschied zu 45 in dieser Zeichnung bereits wegen der unten angesetzten Scherbe in einer kongruenten Schlepp-Naht-Geraden (64) enthalten. Sie ist wieder die Hälfte einer Seitenlinie (58) eines dem Grund-Polygon in seiner wie auch immer in Bezug zur Grundebene geneigten Ebene umbeschriebenen regelmäßigen Um-Polygons. hier also eines noch größeren Fünfecks, das auch hier der Rand eines Kissendachs sein kann. All diese geraden Linien liegen wieder rechtwinklig zur Kathede (34) des rechtwinklig dreieckigen Sektors (35) des Grund-Polygons.
Die fertige Kuppel ist in 120 dargestellt. Neben einer dick umrandeten n-eckigen, hier fünfeckigen Kappe (80) ist links davon eine dazu duale dreieckige Kappe (49) „über" einem gedachten Ikosaeder-Dreieck als Grund-Polygon gestrichelt umrandet und schraffiert zu sehen. Die Kappen Ränder zerschneiden längs oder quer die typischen räumlichen Schnitt-Vierecke, von denen eines seinen Mittelpunkt (4) am höchsten Punkt der Schale hat. Das Netz der Schnitt-Naht-Linien ist hier topologisch das selbe wie das der Kanten eines Rhombendodekaders.
Die überwiegend synklastische Schale in 120 ist ebenfalls mit einer seitlichen Ausstülpung mit senkrecht ebener Zugangs-Öffnung versehen. Eine baugleiche senkrechte Zugamgs-Öffnung und zwei dazu spiegelbildliche Öffnungen direkt auf der Grundebene könnten zusätzlich entstehen. Eine weitere Ausstülpung ist rechts oben als Dach-Oberlicht zu sehen. Ihr nur teilweise sichtbarer, ebener Öffnungs-Rand liegt in einer nach hinten geneigten Ebene und ist vollständig geschlossen rund. Diese Ausstülpung ersetzt eine Fünfecks-Kappe (80). Auch jede übrige Kappe kann durch eine offene Ausstülpung ersetzt werden, indem eine seitliche Ausstülpung kopiert und nach oben oder zur Seite in der Ebene eines Randbogens (48) dieser Kappe gespiegelt wird, und das gespiegelte Stück dann durch nochmaliges Kopieren und Spiegeln zu einer vollständig runden Ausstülpung wird.
Die Schar-Ränder (8, 9) und der Schnitt-Linienzug (25) der synklastischen Scherbe (24) an allen regelmäßigen Platonischen Körpern wie dem in 119 liegen wie schon beim Würfel auf drei verschiedenen disparralelen Ebenen, von denen sich jeweils zwei in der vom Polyeder-Zentrumspunkt (91) zu dessen Eckpunkt (6) führenden Raumdiagonale (94), außerdem in der vom Polyeder-Zentrumspunkt ausgehenden Mittelsenkrechten (92) der Polyeder-Kanten (38) und schließlich in der in der Mitte des Grund-Polygons liegenden Normalen (93) eines konvexen Grund-Polyeders (90) schneiden, Diese drei Ebenen-Schnittlinien (92, 93, 94) schneiden sich auch hier im Polyeder-Zentrumspunkt (91).
Dies gilt auch für die verschiedenen synklastischen Scherben (24) der Formate A, A', B und B' über den verschiedenen regelmäßigen Polygonen eines habregelmäßigen, Archimedischen Körpers als Grund-Polyeder.
Stellvertretend für die halbregelmäßigen Körper ist in 121 ein Kuboktaeder als Grund-Polyeder (90) in seiner oberen Hälfte dargestellt. Die beiden Sektoren (35), über denen eine Scherbe gewölbt werden soll, sind, wie auch in weiteren Beispielen für andere Polyeder, um den oberen Grund-Polygon-Mittelpunkt (39) gedreht dargestellt, um das zu zeichnende Sehnen-Netz der Maschenteilung nicht zu verdecken.
An eine Scherbe (24) des Formats A mit dem in einer vertikalen Ebene liegenden, bestimmenden und als regelmäßig geteilt festgelegten Schar-Rand (8) des Formats s1 über dem Achtel-Sektor (35) eines oben waagerecht liegenden Quadrats als erstem Grund-Polygon (36) schließt an den zweiten, weniger regelmäßig geteilten Schar-Rand (9) eines Formats s2 dieser Scherbe eine weitere synklastische Scherbe (24) des Formats B über dem Sechstel-Sektor (35) eines geneigten, gleichseitigen Dreiecks als zweitem Grund-Polygon (36) an. Letztere Scherbe hat ihren zweiten, resultierenden Schar-Rand (8) des Formats s3 in der Ebene des bestimmenden fetgelegten Schar-Randes des Formats s1 der Ersten Scherbe des Formats A. Sie trifft sich mit sechs anderen entweder gleichen oder spiegelbildlichen Scherben des Formats B' in einem Neben-Zenith (81) vorne rechts. Dieser liegt auf einer weiteren, in der seitlichen Grund-Polygon-Mitte (39) liegenden Flächennormale (189), welche zum Zentrumspunkt (91) des Kuboktaeders führt.
An die synklastische Scherbe (24) des Formats B' – hier nur mit Schar-Linienzügen (11) dargestellt – ist an einen weitern Schar-Rand (9) des Formats s2 eine antklastische Scherbe (24) des Formats C angesetzt. Deren maßgeblicher Schar-Rand (8) des Formats s4 ist frei nach Gefühl gezeichnet worden. Das Zeichnen nach Gefühl war nötig, weil beim Vorgehen gem 116 keine Ausstülpung entstünde, deren gekrümmte Fläche überall am Öffnungsrand genau senkrecht zur Öffnungsebene, also hier waagerecht läge, um hiermit den stetigen Übergang zu einer Nachbar-Schale zu gewährleisten, und weil beim Vorgehen gemäß 119 gar keine offene Ausstülpung entstehen könnte, sondern nur eine sehr spitze Kissendach-Ecke aus nur einem schwach gekrümmten, gestreckten Scherben-Format und seinem Spiegelbild.
Die Ebene der Öffnung (2) der Schale liegt auch hier parallel zu einem so nahe wie möglich befindlichen, senkrecht stehenden, halbierten seitlichen Grund-Polygon (36), das diesmal in seiner diagonalen Richtung durch die X-Y-Grundebene halbiert ist.
Die Orientierung möglicher weiterer Öffnungen entspricht zwar der beim Würfel, aber die antklastische Fläche für die Ausstülpung ist hier kleiner als bei der vergleichbaren Schale auf Würfel-Basis in 56. Auch ist der Randbogen der Öffnung spitzer und weniger rahmenförmig. Die Möglichkeiten einer modularen Anordnung mehrerer Schalen mit maximal vier seitlichen Öffnungen wie in 54 sowie einer Öffnung nach oben gemäß 52 ist dank der Verwandtschaft des Grund-Polyeders zum Würfel möglich. Da aber die antiklastischen Scherben keinen Bezug zu einem infiniten Polyeder haben können, weil keine von ihnen eine gerade Schlepp-Rand-Linie (52) als notwendige Bedingung hierfür hat, sind keine Kombinationen steilwandiger Schalen mit Kissen- und Wellendächern möglich. Somit erweitert sich hier der Bausatz nicht zu einem Baukastensystem.
Die fertige Kuppel in 122 kann in drei Arten aus symmetrischen Kappen zusammengesetzt sein. Diesmal gibt es zwei Formate von dick umrandeten, n-eckigen Kappen (80) über einem Grund-Polygon (36). Daneben gibt es – wie beim Würfel als Grund-Polyeder – größere dreieckige Kappen mit rechten Eck-Winkeln als Viertel-Schalen, von denen eine rechts grob schraffiert hervorgehoben ist. Schließlich gibt es drittens getrichelt umrandete, rautenförmige Kappen (190) aus je zwei synklastischen Scherben (24) der Formate A, A', B und B' um einem Polyeder-Eckpunkt (6) herum. Die Ränder der Rauten bilden das topologisch gleiche Netz wie ein Rhombendodekaeder. Im Gegensatz zu den Eckpunkten der Rauten sind die Eckpunkte dieser Kappen allerdings nicht koplanar.
In 123 sieht man das Achtel eines gestutztes Ikosaeders aus 20 gleichseitigen Sechsecken und 12 schraffierten, gleichseitigen Fünfecken. Auch dieses Grund-Polyeder ist halbregelmäßig. Es hat das Kanten-Netz der Nähte eines üblichen Fußballs.
Die synklastische Scherbe (24) des zuerst gezeichneten Formats A wurde hier wie in 121 über dem größeren der beiden verschiedenen Grund-Polygone (36) gezeichnet, um die in der an zweiter Stelle gezeichneten Scherbe des Formats B stärkeren Abweichungen von der Kugeloberfläche dank deren geringeren Abmessungen gering zu halten.
Die Scherbe des Formats A liegt über einem Zwölftel-Sektor (35) eines hier unzerteilt gebliebenen Sechsecks (36), während die benachbarte Scherbe des Formats B über einem Zehntel-Sektor eines gleichseitigen, hier durch die X-Y-Grundebene halbierten Fünfecks (36) liegt.
Die Scherbe „über" bzw an dem hier senkrecht stehenden, halbierten Fünfeck als Grund-Polygon wird von der Schnitt-Naht-Linie (26) der sie enthalteden zukünfigen Doppel-Scherbe her durch die jeweilige Übernahme von zwei Sehnen aus den schon vorhandenen Schar-Rändern und das jeweilige Konstruieren von Schnitt-Sehnen für jede Naht-Masche einzeln vom Grund-Polygon-Eckpunkt (6) aus zum Neben-Zenith (81) hin gezeichnet.
In beiden am gemeinsamen Schar-Rand (9) benachbarten Scherben des Formats A und B liegen die in Bezug zum jeweiligen Grund-Polygon nicht senkrechten, sondern geneigten Schar-Linienzug-Ebenen parallel zur Ebene dieses gemeinsamen Schar-Randes (9), welche den Zentrumspunkt (91) im Ursprung und eine Polyeder-Kante (38) enthält. Die Blickrichtung, aus der heraus diese Schar-Linienzüge als gerade Linie erscheinen, ist die Kanten-Mittelsenkrechte (92). Die normal zu ihr liegenden Projektionsfläche ist wieder mit einem durchkreuzten Kreis verdeutlicht.
Die Fünfecke und Sechsecke werden mit nun recht flachen Kappen (80) überspannt, so daß aus dem Polyeder ein „Ball" zu werden scheint, von dem in 124 ein Achtel dargestellt ist, welches das Viertel einer Schale bildet, deren Abweichung von einer Halbkugel-Oberfläche nicht mehr wahrnehmbar ist. Auch bei dieser Schale ist eine alternative Teilung möglich – hier im Bereich der gestrichelt umrandeten und schraffierte dreieckigen Kappen (49). Deren Ecken (5, 81) bilden die Eckpunkte eines dualen, bereits geodätisch geteiltes Grund-Polyeders, von dem aus eine alternative Maschenteilung generiert werden könnte.
Ausstülpungen für Öffnungen in solch einer Kuppel und in von noch vielflächigeren Polyedern abgeleiteten Schalen müssen analog zu 121 intuitiv hergestellt werden: Da die Krümmung der synklastischen Scherben relativ gering ist, können auch hier deren Sehnen (14) in Schar-Linienzügen in einer Ebene normal zur Polyeder-Kante (38) nicht einfach nach einer Parallelverschiebung und Skalierung in eine antiklastische Scherbe übermommen werden.
Das in 125 folgende Grund-Polyeder (90) hat, wie in der Verkleinerung am Ursprung zu sehen, 20 schraffierte gleichseitige und 36 gleichschenklige Dreiecke. In der großen Darstellung ist nur ein Achtel davon sichtbar. Dies ist bereits das Viertel einer richtigen geodätischen Kuppel in der Form einer Halbkugel mit einer Frequenz 2 gemäß Fuller.
Um ein gleichseitiges Dreieck des geodätischen Grund-Polyeders gruppieren sich jeweils vier gleichschenklige Dreiecke. Jedes (36) all dieser Dreiecke wird mit dreieckigen erfindungsgemäßen Kappen belegt, welche untereinander stetige Übergänge haben.
Der Entstehungsprozess und die Reihenfolge der Entstehung der verschiedenartigen, vergleichsweise flachen Scherben ist wie in 123 noch an Hilfslinien und zum Schluß noch fehlenden Sehnen einer Linienzug-Schar direkt ablesbar.
Wegen der Dreiecksform ist es diesmal der in einer zum ersten Grund-Polygon nicht senkrechten, sondern geneigten Ebene liegende Schar-Rand (9) eines Formats s1, welcher als der längere von beiden Schar-Rändern mit seiner festgelegten Kreisbogen-Form die Form der ersten synklastischen Scherbe (24) des Formats A über dem Sechstel-Sektor (35) des gleichseitigen Dreiecks als erstem Grund-Polygon bestimmt.
Das Zeichnen der weitern synklastischen Scherben (24) der Formate B, C und D über dem gleichschenkligen Dreieck als zweitem Grund-Polygon ist etwas schwieriger: Die radiale Linie (189), auf welcher der Zenith (81) der diese Scherben dann enthaltenden Kappe liegen soll, führt durch den Schwerpunkt (39) dieses Dreiecks. Diese Radiale ist aber keine Normale zum von ihr durchstoßenen zweiten Grund-Polygon (36), wie dies bei fast allen Grund-Polygonen bisher der Fall war. Deshalb gibt es für diese Kappe gar keine Schar-Linienzug-Ebenen mehr, die senkrecht zum Grund-Polygon stehen.
Die Maschen der Scherbe (24) eines Formats B für eine asymmetrische Doppel-Scherbe wurden wie die der Scherbe des Formats B der symmetrischen zweiten Doppel-Scherbe in 123 konstruiert. Im Unterschied dazu ist die Ebene der Schnitt-Naht-Linie (26) aber in Bezug zum Grund-Polygon geneigt. Die Projektionsebene, in der alle Schar-Linienzüge und die Schnitt-Naht-Linie über dem gleichschenkligen dreieckigen Grund-Polygon gerade aussehen, und deren Normale die radiale Linie (189) ist, wurde in der Darstellung wieder durch ein Kreuz in einem Kreis unten verdeutlicht.
Für die Scherbe (24) des Formats C ist vor dem Zeichnen erst noch ein neuer bestimmender Schar-Rand festzulegen gewesen. Davor wiederum hatte erst ihr Schar-Eckpunkt (4) festgelegt werden müssen. Dieser liegt auf einer neuen Radiale (191), die zwar eine kürzere, gleichschenklige Polyeder-Kante (38) kreuzt, diesmal aber nicht als Mittelsenkrechte. Die neue Radiale führt statt dessen durch einen Mittelpunkt (192) einer Verbindungslinie (193) zwischen den Schwerpunkten (39) zweier benachbarter gleichschenkliger Grund-Polygone. Erst dann konnte für die Scherbe C der neue bestimmende Schar-Rand (9) eines Formats s3 aus gleich langen Sehnen festgelegt werden, dessen Knotenpunkte nun gleichmäßig verteilt auf einen Kreisbogen zwischen einem Eckpunkt 6 eines gleichseitigen Dreiecks und dem Schar-Eckpunkt (4) der Scherbe auf der neuen Radiale (191) liegen.
Durch die neue Radiale (191) ist auch die Lage aller Linienzug-Ebenen für die weitere synklastische Scherbe (24) des Formats D festgelegt. Diese kann auch, wie die kleinere synklastische Scherbe (24) in 123, zusammen mit ihrem Spiegelbild des Formats D' als Bestandteil einer fünfeckigen Kappe gesehen werden.
In der fertigen Viertel-Schale in 126 sind aber nur dreieckige Kappen dick umrandet hervorgehoben.
Anders als in der beschriebenen und dargestellten Teilung könnte die Scherbe des Formats B durch Spiegelung des Formats A eingespart werden. Dann bekämen aber die beiden übrigen Scherben hierzu und unterinander sehr unterschiedliche Proportionen in ihrem Umriß.
Die zuvor dargestellten Kuppeln um Grund-Polyeder aus sehr vielen Polygonen lassen wenig Additionsmöglichkeiten zu. Nun sollen wieder Schalen vorgestellt werden, die auf einfachen konvexen Grund-Polyedern mit wieder mehr Additionsmöglichkeiten basieren. Das sind Prismen mit vieleckigem, regelmäßigem Grundriß und rechtwinkligen, senkrecht stehenden seitlichen Polygonen.
Als erstes Beispiel dient die in 127 dargestellte obere Hälfte eines gleichseitig dreieckigen Prismas als Grund-Polyeder (90). Das Prisma hat senkrechte, eigentlich quadratische, aber durch die X-Y-Grundebene zu Rechtecken halbierte seitliche Polygone (36). Der Bezugspunkt des Grund-Polyeders ist auch hier noch ein Zentrumspunkt. Seine Eckpunkte (6) haben alle noch den gleichen Abstand zum Bezugspunkt und liegen somit alle noch auf einer dort zentrierten, gedachten Kugeloberfläche.
An das Spiegelbild A' des Formats A einer zuerst gezeichneten syniklastischen Scherbe (24) mit einem in einer vertikalen Ebene als regelmäßig geteilter Kreisbogen festgelegtem bestimmendem Schar-Rand (8) des Formats s1 über dem Sechstel-Sektor (35) des oben waagerecht liegenden Dreiecks als Grund-Polygon (36) schließt rechts an dessen zweiten, weniger regelmäßig geteilten, resultierenden Schar-Rand (9) als dann bestimmendem Schar-Rand eine zweite synklastische Scherbe (24) eines Formats B über/an dem Achtel-Sektor (35) eines senkrecht stehenden, halbierten Quadrats als zweitem Grund-Polygon an. Auch diese Scherbe ist einfach an der Ebene ihres von einer räumlich gesehen vorne oben liegenden Polyeder-Ecke (6) aus konstruierten Schnitt-Linienzuges als potentielle Schnitt-Naht-Linie (26) zu spiegeln. Die daraus entstandene Doppel-Scherbe kann dann um ihre weitere Ecke unten als Neben-Zenith (81) herum zu einer Kappe vervielfältigt werden.
An die zuerst gezeichnete synklastische Scherbe (24) des Formats A anschließend ist die antiklastische Scherbe (24) des Formats C wieder so gebildet wie in 116, nämlich mit halbierten Längen der spiegelbildlich angeordneten, gleich geneigten Schar-Sehnen (14). Im Unterschied zu dort sind für eine Schalen-Ausstülpung aber – entprechend der Form des seitlichen Grund-Polygons – vier anstatt drei asymmetrische Exemplare von Doppel-Scherben eines Formates einschließlich Spiegelbild nötig.
Eine Schale (194) mit nur einer Öffnung ist in 128 gerade im Begriff, an eine aus drei ursprünglich an drei Seiten offenen und einzelnen Schalen (195) bestehende komplexe Schale angesetzt zu werden, um diese zu erweitern. Die einzelnen, mit hochgebogenen offenen Rändern versehenen synklastischen Schalen (195) haben Ausstülpungen mit geringer Tiefe, do daß sie als Schalen mit Hänge-Umkehrform bezeichnet werden können.
Das zweite Beispiel eines Baukastens für addierbare Schalen beruht auf einem sechseckigen Prisma in 129 mit den gleichen seitlichen, senkrechten Polygonen (36) wie in 127. Das sechseckige Prisma könnte ebenfalls in Annäherung an eine Kugelform überwölbt werden. Die obere, sechseckige Kappe würde aber über dem im Vergleich mit den Seiten reativ großflächigen Sechseck-Deckel sehr hoch. Deshalb wurde sowohl für einen in einer vertikalen Ebene normal zu einer horizonatalen Polyeder-Kante (38) liegenden bestimmenden festzulegenden Schar-Rand (8) des Formats s1 für die beiden zuerst gezeichneten synklastischen Scherben (24) von Formaten A und A' als auch für einen an diesen Schar-Rand in der gleichen Ebene anschließenden, bestimmenden festzulegenden Schar-Rand (8) des Formats s3 für die danach gezeichnete synklastische Scherbe (24) eines Formats B jeweils ein Ellipsen-Abschnitt festgelegt. Die beiden Ellipsen-Abschnitte schließen in einer Schar-Ecke (4) am Ende der Mittelsenkrechte (92) durch den Mittelpunkt (37) der horizontalen Polyeder-Kante (38) in stetigem Übergang aneinander an. Jeder Schar-Rand ist jeweils in gleich lange Sehnen aufgeteilt worden.
Aus der ersten synklastischen Scherbe (24) des Formats A ist links wie in 127 durch Halbierung der Schar-Sehnen (14) und deren Überhahme mit gleicher Neigung wieder eine gestauchte erste antklastische Scherbe (24) des Formats C entstanden. Ebenso ist wieder eine weitere antiklastische Scherbe eines Formats D mit senkrechten und mit 45° geneigten Schar-Linienzügen entstanden.
Zunächst jedoch zu den synklastischen Scherben: Aus dem bereits festliegenden resultierenden Schar-Rand der synklastische Scherbe (24) des Formats A, d. h. dem in einer geneigten Ebene liegenden Schar-Rand (9) des Formats s2, und aus dem festgelegten bestimmenden, in einer vertikalen Ebene liegenden Schar-Rand (8) des Formats s3 ergab sich vorne eine resultirende, räumlich gekrümmte Schnitt-Naht-Linie (26). Mit Naht-Maschen entlang von ihr mußte also vorne unten eine dritte synklastische Scherbe (24) des Formats E konstruiert werden. Deren resultierender Schar-Rand in der hier vertikal auf der X-Y-Grundebene stehenden Ebene, die einen Eckpunkt (6), eine Kanten-Mitte (37) und den Mittelpunkt (91) des Prismas enthält, ist nicht der gleiche wie der Schar-Rand (9) des Formats s2 – trotz der gleichen Neigung von 30° auch seiner Ebene zur Normale (189) durch eine halbierte Quadrat-Fläche (36). Er hat also ein Format s4.
Diese Verschiedenheit hat dann zur Folge, daß es neben der ersten antiklastischen Doppel-Scherbe (30) des Formats C + D aus zueinander asymmetrischen Scherben (24) der Formate C und D eine weitere antklastische Doppel-Scherbe (30) des Formats F + G gibt, die aus zueinander asymmetrischen antiklastischen Scherben (24) der Formate F und G besteht.
Der in der X-Y-Grundebene liegende, untere resultierende Schar-Rand (8) des Formats s6 der unteren antklastischen Scherbe der Ausstülpung hat – wie übrigens auch im vorigen Beispiel – keine Sehnen, die parallel zu denen im unteren Schar-Rand (8) des Formats s5 der links seitlich benachbarten synklastischen Scherbe sind. So scheint es, als gäbe es auch im vertikal ebenen Schar-Rand (9) des Formats s4 keine mathematisch exakt C1-stetigen Flächen-Übergänge. Dieser falsche Eindruck wird verstärkt durch die sehr unterschiedliche durchnittliche Länge der horizontalen Schar-Sehnen der beiden dort aneinander grenzenden Scherben. Aber in runden Linien durch die Knoten oder in flächig schattierter Darstellung wäre die Oberflächen-Stetigkeit sichtbar.
130 zeigt eine aus 129 resultierende, steilwandig am Boden ansetzende, aber insgesamt relativ flache Schale mit einer seitlichen Öffnung. Diese Schale kann statt der dick umrandeten, seitlichen Kappen (80) bis zu 5 weitere Öffnungen bekommen.
Zweieinhalb völlig geöffnete Schalen sind in 131 aneindergesetzt, wobei sich drei Verbindungen mit stetigem Oberflächen-Übergang ergeben.
Die Kanten-Längen der Prismen als Grund-Polyeder müssen nicht unbedingt oben und seitlich einheitlich sein wie in 127 und 129. Das heißt, daß die setilichen Polygone nicht unbedingt quadratisch sein müssen.
Weil die regelmäßigen Vielecke von Boden und Deckel auch andere Seiten-Anzahlen haben können, kann das Prisma auch quadratisch sein. Im Rückblick läßt sich die seitliche Kappe (153) in 79 aus drei verschieden proportionierten Scherben und deren Spegelbildern als das Viertel einer Schale über einem Quader als Prisma mit quadratischem Grundriß und mit den gegenüber einem Würfel niedrigeren Ecken (150) ansehen, auch wenn die vertikalen Randkurven (148) dieser weniger regelmäßigen Kappe sich nur ergeben hatten und somit ganz anders als die bewußt festgelegten Randkurven der zwei zuvor dargestellten Schalen entstanden waren.
Wie schon in 88 zu sehen war, verändern sich die kreisbogenförmigen Abschnitte der Schar-Ränder durch Skalierung zu Ellipsen-Bogen-Abschnitten. Dort war zweimal in zeitlicher Reihenfolge hintereinander ein Schalen-Teilbereich in einer vertikalen Koordinatensystem-Ebene abgetrennt und jeweils für sich in Richtung einer Koordinatensystem-Achse normal zu dieser Trenn-Ebene skaliert worden. Dies führt im Ergebnis allerdings zu ungleich langen Sehnen schon innerhalb eines elliptischen Schar-Randes.
Auch in 132 wird wieder eine Schale mit einem Würfel als Grund-Polyeder und aus Scherben der Formate aus 44 zum Objekt einer partiellen Skalierung. Die Schale ist in der Draufsicht genau senkrecht von oben dargestellt. Sie ist zunächst in einer vertikalen Ebene von zwei Schnitt-Naht-Linien (26) und zwei Schar-Rändern (9) diagonal in einen linken unteren Teil-Bereich (196) mit zwei offenen Ausstülpungen und in einen geschlossenen Teil-Bereich rechts oben zerteilt. Der geschlossene Teil-Bereich ist durch nochmaliges Halbieren in zwei Teil-Bereiche (197) aus jeweils zwei halbierten Kappen zerteilt. Die beiden Schnitt-Ebenen stellen nun die X'-Z'- und die Y'-Z'-Ebene eines um 45° um die Z-Achse gedrehten Koordinatensystems dar.
In 133 ist dann der linke, untere Teil-Bereich (196) aus 132 in Y'-Richtung durch Skalieren nach untern rechts gestreckt worden und mit den beiden unveränderten Teil-Bereichen (197) wieder zusammengesetzt worden. Dabei sind die Eckpunkte jeder veränderten, die X'-Z'-Ebene kreuzenden Naht-Masche (31) koplanar geblieben. Deren Knoten (13) auf gleicher Z-Höhe sind gleich hoch geblieben, auch wenn die Naht-Masche jetzt asymmetrisch ist. Der Übergang zwischen verschieden skalierten Bereichen jeweils an einer Schnitt-Naht Linie (26) ist noch unauffälliger als derjenige in 88 an gemeinsamen Schar-Rändern (8) unterschiedlich skalierter Teil-Bereiche.
Um den gleichen Faktor wie im linken unteren Teil-Bereich wurde die Schale von 133 in 134 in ihrem rechten oberen Teil-Bereich gestreckt. So konnte in der veränderten Schale ein weiteres Koordinatensystem, ein schiefwinkliges Koordinatensystem X'',Y'',Z'' angelegt werden, dessen vertikale Ebenen, also die X''-Z''-Ebene und die Y''-Z''-Ebene, koplanare vertikale Schar-Ränder (8) enthalten, die am Zenith (5) zusammentreffen. Die ist nur möglich, weil die vollzogene Skalierung jeweils in der X'-wie auch jeweils in der Y'-Richtung in die positive Pfeil-Richtung gleich groß wie in die dazu entgegengesetzte Richtung ist.
Dies ist in 135 nicht mehr der Fall. Deshalb ist die Vorstellung vom schiefwinkligen Koordinatensystem hier nicht anwendbar, Diemal ist die linke obere, jenseits der Y'-Achse liegende Hälfte der Schale aus 134 in die negative X'-Richtung gestreckt worden. Das ist mit dem gleichen Faktor geschehen, wie es in 133 und 134 in der Y'-Richtung passiert gewesen war. Deshalb hat der linke obere Teil-Bereich in 135 wieder zueineander rechtwinklige Ebenen von Schar-Rändern (8). Diese Schar-Ränder haben eine elliptische Form, weil keine Skalierung in Z-Richtung erfolgt ist. Sie sind aber regelmäßiger als die im Rand (148) der flachen Kappe (153) in 79 enthaltenen Schar-Ränder.
In 136 ist der linke obere Teil-Bereich der Schale noch einmal gestreckt worden, so daß alle vier am Zenith (5) zusammentreffenden Schar-Ränder (8) in vier verschiedenen Ebenen liegen.
Die Schale aus 136 ist in 137 nicht nur gedreht worden, um die in einer Ebene parallel zu der Ebene einer Öffnung gelegenen Schar-Ränder (8) in die Y-Z-Ebene des ursprünglichen Koorinatensystems X, Y, Z zu drehen. Die gesamte Schale ist außerdem in X-Richtung gestreckt und in Y-Richtung gestaucht worden.
Das Ergebnis, die Schale (198) in 137 stellt gegeüber der in 1 unten dargestellten vergleichbaren Schale (20) mit zwei offenen Ausstülpungen über Eck bereits eine Verbesserung dar, trifft aber die bedsichtigte Form noch nicht. Wegen des hohen Grades an Asymmetrie gehört sie nur zu einem Bausatz.
Die Schale (198) aus 137 ist, wie in 138 zu sehen, an einer Ihrer Öffnungen mit einer baugleichen Schale zu einer Doppel-Schale erweitert worden.
Die Schale (198) aus 137 kann nicht mehr mit baugleichen Schalen zu einer komplexen Schale in flächiger Ausbreitung addiert werden. Sie kann aber noch an beiden Öffnungen mit gleichen Schalen zu offenen Ketten zusammengesetzt werden. Diese eingeschränkten Additionsmöglichkeiten gelten auch für die regelmäßigen Kuppeln in 118 und 120, wenn diese eine zweite seitliche Öffnung bekommen haben. Diese beiden Kuppeln gehören trotz ihres hohen Symmetriegrades genau wie die Kuppeln um Prismen in 128 und 130 und die maßgeschneidert herzustellende Schale (198) in 137 nur zu einem Bausatz. Sie gehören nicht zu einem Baukasten, weil die Plätze, an denen sich wahlweise Kappen oder Ausstülpungen befinden, unveränderbar sind. Erst recht gehören sie nicht zu einem Baukastensystem.
Während die vertikalen Ebenen der Ränder der vier zwischen den Schar-Rändern (8) am Zenith (5) zusammentreffenden Teil-Bereiche der Schale in 136 ungradzahlige Winkel einschließen, wird im folgenden ein Bauskasten für Schalen gezeigt, in denen Teil-Bereiche auch mit unterschiedlichen Formaten geradzahlige Winkel einschließen.
In 139 ist ein Teil-Berech auf dem rechten unteren X-Y-Quadrant aus einer Schale wie in 132 mit rechtwinklig angeordneten Ebenen von Schar-Rändern (8) herausgenommen. Er besteht aus zwei im Zenith (5) spitzwinkligen Kuppel-Segmenten (199, 200), die mit zwei dicken Schnitt-Naht-Linien (26) voneinander abgegrenzt sind: zum einen aus einer Dreiecks-Kappen-Hälfte (199), bestehend aus zwei synklastischen Scherben des Formats A und einer des Formats A', und zum anderen aus einer Ausstülpungs-Teilbereich-Hälfte (200), bestehend aus einer synklastischen Scherbe des Formats A' und vier antiklastischen Scherben des Formats C aus 44.
Diese bislang in der Draufsicht am Zenith (5) einen Winkel von 45° einnehmenden Kuppel-Segmente (199, 200) sind in 142 verkleinert und in 142 vergrößert worden. Dies geschah aber nicht durch Skalierung. Vielmehr wurde dieser Segment-Winkel von 45° verkleinert bzw. vergrößert. Dies geschah aber nicht, indem die Schar-Ränder einfach um den Ursprung gedreht wurden. Es wurden nämlich lediglich die zu beiden Kuppel-Segmenten gehörenden Schnitt-Naht Linien (26) über der Winklehalbierenden zwischen X- und Y-Achse bezüglich Lage und Ausformung übernommen.
Dann wurde ein neuer Winkel zwischen den beiden Scherben-Rand-Ebenen in der Z-Achse bestimmt. Damit die Kuppel-Segmente (199, 200) in 139, (201, 202) in 142 und (193, 204) in 142 nicht nur lückenlos, sondern auch modulartig aneinandergestzt werden können, und es drei, vier und fünf Schar-Rand-Ebenen pro Schale geben kann, betragen die Winkel zwischen diesen Ebenen (360:n)° bzw. (90 – (180:n))°. Als „n" wurde hier die Zahl 10 gewählt. Somit beträgt der eine Winkel in 142 36'' und der in 142 dann 54° anstatt 45°. Mit der neuen Ausrichtung der vertikalen Ebenen der Schar-Ränder sind auch die aller Schar-Linienzüge festgelegt – und durch deren Sehnen auch die Umrisse der Naht-Maschen (31). Das Zeichnen einer Naht-Masche war analog zu 4. Deshalb ist in der Figur hier die Numerierung nicht wiederholt. Die geometrische Konstruktion hat wieder mit dem Abschneiden einer Horizontal-Querlinie (40) an jedem der beiden Enden (46) in den Schnittpunkten mit einer der Schar-Linienzug-Ebenen begonnen. Die beiden bislang gleich hoch außerhalb der Schnitt-Naht-Linie liegenden Knoten (13) jeder einzelnen Naht-Masche befinden sich auch hier wieder auf gleicher Z-Höhe, aber nicht auf der selben absoluten Höhe wie vorher in 139, welche ihrerseits die selbe wie in 133 ist.
Die rein synklastischen Kuppel-Segmente (201) in 140 und (203) in 141 bestehen nun jeweils aus drei auch nicht mehr durch Speigelung zur Deckung zu bringenden Scherben unterschiedlicher Formate. Die auch antklastisch gekrümmten Kuppel-Segmente (202, 204) enthalten zusammen neben den beiden gespiegelten Scherben der oberen Kappen noch acht weitere antiklastische Scherben mit wieder anderen, unterschiedlichen Formaten.
In 142 sind dann die Kuppel-Segmente aus 139, 140 und 141 oder nur deren obere Bereiche in fünfzehn verschiedenen Beipielen von Schalen unterschiedlich kombiniert: In der linken vertikalen Reihe von 142 mit fünf Kissendach-Schalen (205, 206, 207, 208, 209) ist der antiklastische Bereich von jedem Kuppel-Segment zunächst auf eine antklastische Scherbe reduziert, so daß von jedem Kuppel-Segment nur ein Scherben-Paar aus einer synklastischen und einer antklastischen Scherbe übrig ist. Dabei sind als Formen der geradlinigen Auflager-Ränder ein gleichseitiges Fünfeck (205), ein gliechschenkliges Trapez (206), eine Raute (207), ein asymmetrisches Trapez (208) und ein Drachen (209) entstanden. Die beiden anderen vertikalen Reihen von je 5 Schalen in 142 zeigen zehn steilwandige Schalen, die aus den Segmenten aus 139. 140 und 141 zusammengesetzt sind. Jede der drei Schalen einer horizontalen Reihe in 142 hat die gleichen vertikalen Schar-Rand-Ebenen.
Die Winkel zwischen nächstliegenden vertikalen Schar-Rand-Ebenen der Schalen (205, 210, 215) in der obersten Reihe sind fünf mal 72''. In jeder Schale der obersten Reihe liegt ein Schar-Rand (8) einer Doppel-Scherbe (30) in einer Ebene mit einer im Zentih (5) anschließenden Schnitt-Naht-Linie (26) einer anderen Doppel-Scherbe.
Alle übrigen, in 142 darunter dargestellten 12 Schalen enthalten asymmetrische Doppel-Scherben, also solche aus zwei Scherben, die nicht durch Spiegelung in der Ebene einer Schnitt-Naht-Linie zur Deckung gebracht werden können. In jeder Schale (206, 211, 216) der zweiten, (207, 212, 217) der dritten und (208, 213, 218) der vierten Reihe liegen mindestens einmal die Schnitt-Naht-Linien (26) zweier am Zenith (5) entgegengesetzt zusammentreffender Doppel-Scherben in einer Ebene. In jeder Schale der dritten und jeder Schale (209, 214, 219) der untersten Dreiher-Reihe liegen mindestens einmal zwei am Zenith (5) zusammentreffende Schar-Ränder (8) in einer Ebene. In keiner der drei Schalen der untersten Reihe liegt eine Schnitt-Naht-Linie am Zentih koplanar mit einer andeen Schnitt-Naht-Linie oder einem Schnitt-Naht-Rand.
Beschriebe man in alle 15 Schalen wieder ein Grund-Polygon bzw. ein prismatisches Grund-Polyeder ein, so hätte dieses in der obersten Dreier-Reihe in der Draufsicht die Form eines gleichseitigen Fünfecks, in der zweitobersten die eines Drachens, in der mittleren die eines Rechtecks, in der zweituntersten die eines unregelmäßigen Vierecks und in der untersten die eines gleichschenkligen Trapezes. Diese viereckigen Prismen lassen sich als verzerrte Würfel ansehen.
Die dargestellten Schalen der mittleren und linken Spalte haben zwischen zwei und fünf Öffnungen in frei wählbarer Anordnung. Baugleiche oder verschiedene Schalen können zu offenen oder geschlossenen Ketten zusammengesetzt werden. Mehrere Ketten können mehrfach miteinander verbunden sein. Manche Schalen (215, 219) können sogar mit baugleichen Schalen zu kreisringförmigen Ketten zusammengestzt werden. Einem Quader als Grund-Polygon umbeschriebene Schalen wie die (207, 212, 217) in der mittleren Zeile lassen sich flächig sogar so gleichmäßig kombinieren wie in 59 bis 61, nur mit anderen Proportionen. Somit sind die Scherben der Formate aus 140 und 141 Teile eines Baukastensystems.
Wenn eine danach gebaute Schale zumindest eine offene Ausstülpung in einem Teil-Bereich hat, der aus einem Segment (200) aus 139 und dem Spiegelbild dieses Segments besteht, d. h. eine Ausstülpung aus Scherben des Formats C hat, dann kann eine solche Schale mit einer Schale des Baukastensystems auf reiner Würfel-Basis verbunden werden.
Bisher wurden meist Bausätze oder Baukastensysteme jeweils aus Schalen-Stücken weniger Formate für einzelne oder komplexe Schalen beschrieben. Die Schalen folgten dabei Polyedern, die symmetrisch waren. Dabei zeigte sich, daß der Würfel die meisten Variationsmöglichkeiten bietet und zugleich am einfachsten vorzustellen ist.
Im folgenden wird eine bereits als „Blob" bezeichnete, einzeln für sich stehende, maßgeschneiderte Schale gezeichnet, die aus einem Bausatz von sehr vielen verschieden proportionierten Schalen-Stücken besteht. Diese Schale soll durch Verformung einer regelmäßigen Schale entstehen. Dabei wird die Schale nicht einfach durch die beschriebenen Skalierungen verzerrt. Vielmehr wird wieder von Grund auf von einem anderen konvexen Grund-Polyeder ausgegangen. Diesmal ist es ein unregelmäßiges Polyeder, das überwölbt bzw. umhüllt wird. Es hat einen aus dem Schwerpunkt verschobenen Bezugspunkt im Ursprung. Der Einfachheit halber hat es aber noch senkrecht stehende Seiten-Polygone. Deshalb ist es hier ein Prisma mit unregelmäßigen Vierecken in horizontaler Lage, die als Boden und Deckel gleich groß sind.
Zum Vergleich wird in 143 das Gerüst der Schar-Ränder in Ebenen parallel zu einer der Ebenen des Koordinatensystems von einer Schale ähnlich derjenigen (128) in 62 über einem halb dargestellten Würfel als Grund-Polyeder (90) gezeigt. Links und vorne sind jeweils sowohl der Rand einer offenen Ausstülpung als auch einer geschlossenen synklastischen Schale zu sehen. Von den hier oberen Ecken (6) des Würfels führen außerdem horizontale gerade Schlepp-Rand-Linien (52) zu den Endpunkten (51) der geraden Seitenlinien (58) des Um-Polygons der Umrandung eines möglichen Kissendachs. Vom Mittelpunkt (39) des horizontalen Grund-Polygons aus führt mehrfach eine gerade Orientierungslinie (74) durch die Mitte (37) einer aus zwei gleich langen Abschnitten (33) bestehenden Polyeder-Kante und durch einen Eckpunkt (51) des Um-Polygons. Auf jeder Orientierungslinie wie derjenigen rechts liegen Linien (32, 53) jeweils zwischen zwei der drei zuvor genannten Punkte. Vom Zentrumspunkt (91) des Grund-Polyeders führt eine Linie als Mittelsenkrechte (92) einer Polyeder-Kante durch die Kanten-Mitte (37) bis zu einem gemeinsamen Schar-Eckpunkt (4) von vier Scherben, von denen jeweils zwei einen gemeinsamen Schar-Rand (8) in einer vertikal im Koordinatensystem ausgerichteten Ebene haben. In der Kanten-Mittelsenkrechte (92) schneiden sich die normal zu einer aus zwei gleich langen Abschnitten (33) bestehenden Polyeder-Kante liegenden Schar-Rand-Ebenen dieser vier Scherben rechtwinklig mit den anderen Schar-Rand-Ebenen, die zur Normale (93) des horizontalen Grund-Polygons geneigt sind.
Diese Rechtwinkligkeit der Schar-Rand-Ebenen ist in 144 zusammen mit der des horizontalen Grund-Polygons aufgegeben. Auch werden die Polyeder-Kanten als Seiten (38) des Grund-Polygons (36) nicht mehr mittig durch die genau über den Orientierungslinien befindlichen Linien (92) geteilt, die somit keine Mittelsenkrechten zur Polygon-Seite (38) mehr sind. Ebenso sind die Randlinien (58) des Um-Polygons oder Kissendach-Randes durch die Würfel-Eckpunkte (6) nicht mehr in zwei genau gleich lange Abschnitte (52) geteilt. Auch die Parallelität der gegenüberliegenden Randlinien des Um-Polygons ist aufgehoben.
Die Schiefwinkligkeit des oberen horizontalen Grund-Polygons des Polyeders erinnert an die von 24. Dementsprechend schneiden sich auch hier wieder in der Grund-Polygon-Ebene zweimal zwei hier gegenüberliegende Grund-Polygon-Randlinien (38) und eine vom Bezugspunkt (39) ausgehende Orientierungslinie (74) dazwischen in einem Fluchtpunkt (75). Die Orientierungslinie unterteilt eine Grund-Polygon-Randlinie auch hier wieder in zwei Abschnitte (33), die wieder unterschiedlich lang sind. An diese Grund-Polygon-Randlinie schließen an ihren Endpunkten (6) die beiden hier gegenüberliegenden Grund-Polygon-Randlinien an.
In 144 sind die hier vier dick gestrichelten zukünfigen Schnitt-Naht-Linien (26) und die jeweils in der gleichen Ebene daran anschließenden, ebenfalls dick gestrichelten Schar-Ränder (9) zu sehen. Alle vier Ebenen dieser Linien (26) und Ränder (9) sind vertikal und schneiden sich in der Z-Achse entlang der Linie (93) zwischen Ursprung (91) und Zenith (5) und enthalten jeweils einen Würfel-Eckpunkt (6),
Der Zenith (5) der Schale ist absichtlich aus einer Lage über dem Flächen-Schwerpunkt des Grund-Polygons nach hinten und rechts verschoben worden. Wegen der Verschiebung des Bezugspunktes (91) aus dem Schwerpunkt und auch aus dem Schnittpunkt der Flächen-Diagonalen innerhalb der Anschnittsfläche des Grund-Polygons in der X-Y-Grundebene heraus sind die sogenannten Raumdiagonalen (94) zwischen diesem Bezugspunkt (91) und einer Polygon-Ecke (6) keine Teilstücke von echten Raumdiagonalen mehr. Sie werden aber, wie bereits bei einem Tetraeder geschehen, hier so genannt, weil ihnen die gleiche erfindungsgemäße Aufgabe zukommt.
Aus 143 waren zunächst die Knoten (27) einer dort vorne rechts liegenden, dicken Schnitt-Naht-Linie (26) und die Knoten (13) eines unten daran anschließenden, dicken Schar-Randes (9) in die 144 hinein übernommen worden. Die Höhenlage dieser Knoten (27, 13) ist für die vier entsprechenden neuen vertikalen Ebenen der Schnitt-Naht-Linien und Schar-Ränder der neuen Schale übernommen worden. Dies ist durch das Ziehen von horizontalen Linien (220) von den ursprünglichen Knoten aus in einer Richtung parallel zur nächsliegenden Polyeder-Kante (38) bis hin zu neuen Knotenpunkten in den vier neuen vertikalen Ebenen geschehen. Diese horizontalen Linien (220) sehen zusammen aus wie die Höhenlinien eines Klostergewölbes.
In 145 ist mit der Herstellung der oberen Kappe begonnen worden, und zwar wieder von deren Auflagerpunkt (6) in der vorderen oberen Ecke des prismatischen Grund-Polyeders her. Der Bereich dort ist lupenartig vergrößert dargestellt. Zunächst ist durch einen Punkt (41), der auf der an die Würfel-Ecke anschließenden Schnitt-Sehne (28) liegt, eine Horizontal-Querlinie (40) gezeichet worden.
Diese Horizontal-Querlinie liegt wieder wie in 24 parallel zu der nächstliegenden Schlepp-Rand-Linie (52). Bereits in 24 war die Ausrichtung der Schlepp-Rand-Linie als Teil von einer einzigen frei bestimmbaren der Um-Polygon-Seiten frei bestimmbar gewesen. Die Schlepp-Rand-Linie hat hier aber mehr zu bedeuten. Sie ist nämlich auch die Flächen-Tangente einesr synklastischen Schalen- Erweiterung im Eck-Knoten (6), welche erst in 147 im Entstehen gezeigt wird. Sie bestimmt nicht nur die mehr oder weniger gestreckten oder gestauchten Proportionenen eines Kissendachs, sondern darüber hinaus auch die einer steilwandigen synklastischen Schale sowie die Tiefe von deren möglichen Ausstülpungen. Mit der Bestimmung der Ausrichtung der Schlepp-Rand-Linie ist auch die dazu parallele Tangente (221) unten an der gekrümmten Auflager-Linie einer geschlossenen steilwandigen synklastischen Schale durch den seitlichen Schar-Eckpunkt (4) in der X-Y-Grundebene bestimmt.
Dieser untere Schar-Eckpunkt (4) kann auch, wie noch in 148 zu sehen sein wird, der Wendepunkt sein, in dem die Auflager-Linie des synklastischen Bereiches einer Schale zu der des antiklastischen Bereichs von deren Ausstülpung übergeht. Je mehr all die zuvor genannten parallelen Linien (40, 52, 221) so gedreht werden, daß ihr Winkel δ zur Y-Achse kleiner wird, desto weniger tief wird die Schale samt Ausstülpung in der X-Richtung, und desto gestreckter in der Y-Richtung.
Vom oberen Ende (27) der mit ihrem unteren Ende oben an die Prisma-Ecke (6) anschließenden Schnitt-Sehne (28) aus ist dann in zwei nach unten geneigte Richtungen je eine Linie als Teil einer zukünftigen Schar-Sehne (14) zunächst bis zu einem der beiden Endpunkte (46) der Horizontal-Querlinie gezeichnet worden.
Diese Endpunkte (46) liegen in verschiedenen vertikalen Schar-Linienzug-Ebenen. Jede Schar-Linienzug-Ebene liegt parallel zur nächstliegenden Orientierungslinie (74) und ist in der Zeichnung durch eine kurze Hilfslinie (44) parallel zu dieser Orientierungslinie repräsentiert.
Die beiden noch unvollständigen Linien des zukünftigen Randes einer Naht-Masche sind dann jeweils verlängert worden, um zu einer vollständigen Schar-Sehne (14) zu werden.
Der jeweilige untere aus dieser Verlängerung resultierende Endpunkt (13) jeder der beiden fertigen Schar-Sehnen (14) liegt nicht wie in 24 in einer vertikalen, sondern in einer geneigten Linienzug-Ebene. Diese Ebene ist hier eine Schar-Rand-Ebene, die – wie der Ebenen-Ausschnitt (96) in 33 – den Ursprung (91) und die der Sehne nächsliegende Polyeder-Kante (38) enthält. Die Neigung der parallelen Linienzug-Ebenen ist jetzt aber nicht mehr in der ganzen Schale 45 °, sondern in jeder Scherbe eine andere.
Zeichnerisch ist die Verlängerung der Teilstrecke der Sehnen (14) folgendermaßen geschehen: Es ist jeweils eine gedachte, durch einen Pfeil verdeutlichte Blickrichtung entlang der nächstliegenden Polyeder-Kante (38) gewählt worden, deren hierzu normale Projektionsfläche wieder durch ein Kreuz in einem Kreis dargestellt ist. Dann ist die Sehnen-Teilstrecke aus dieser gedachten Sicht bis zur Räumdiagonale (94) hin verlängert worden.
Erst dann konnten die beiden anderen, die resultierenden gestrichelten Schar-Sehnen (15) gezeichnet werden. Damit war die erste Masche der Doppel-Scherbe einer Kappe auf einem uregelmäßigen Grund-Polygon eines Polyeders festgelegt. Die nächsthöhere Masche ist entsprechend entstanden. Jedoch sind aus der gedachten Sicht in Richtung Polyeder-Kante die Sehnen-Teilstrecken nicht bis zur Raumdiagonale (94) selbst verlängert, sondern nur bis zu einer Parallelen (101) zur Raumdiagonale, welche am unteren Schnitt-Naht-Knoten (27) dieser Masche angesetzt ist. In gleicher Art und Weise sind die weiteren Naht-Maschen bis zum Zenith (5) bestimmt.
Von da aus sind auch die weiteren Naht-Maschen der entgegengesetzt am Zenith liegenden Doppel-Scherbe bis zum hinteren Polygon-Eckpunkt (6) hin bestimmt worden. Die gedachtren Blickrichtungen aber, in denen die Sehnen-Teilstrecken bis zu den dortigen jeweiligen Raumdiagonalen-Parallelen (101) hin verlängert sind, sind dort andere, weil das Grund-Polygon keine parallelen Seiten mehr hat.
Die übrigen, konventionellen Vierecks-Maschen von Translationsflächen in der Form von Parallelogrammen können nun an die Naht-Maschen angesetzt werden, um die Kappe zu vervollständigen. Dies wird aber nicht mehr in einer Zeichnung dargestellt.
Vielmehr wird in 146 als Alternative zu 145 die Herstellung einer Schale aus Scherben mit Streck-Trans-Maschenteilung begonnen. Bei frei geformten Flächen aus unregelmäßigen Polyedern bietet sich der Vorteil weniger Plattenformate zwar nicht. Es bleibt aber der Vorteil eines gefälligeren Erscheinungsbildes. Der gefälligere Eindruck entsteht dadurch, daß, wenn man eine Doppel-Scherbe als homogenes verformtes Vierecks-Netz betrachtet, ohne zu wissen, daß es aus zwei Scherben besteht, die Linienzüge von dessen Längs- oder Querrichtung dort einen nicht so starken Knick haben, wo sie die unsichtbare Schnitt-Naht-Linie kreuzen. Außerdem sind die Winkel der vier Maschen-Ecken an jedem einzelnen Knoten weniger unterschiedlich.
In 146 geht die geometrische Konstruktion vom selben Kissendach-Um-Polygon und von den selben Schnitt-Naht-Linien (26) und Schar-Rändern (9) aus, die in 144 bestimmt worden und in 145 schon benutzt worden sind. Somit sind nicht nur die vertikalen Schar-Rand- und Schar-Linienzug-Ebenen die selben, sondern auch die geneigten Schar-Rand-Ebenen und die durch Pfeile verdeutlichten, gedachten Blickrichtungen für die Verlängerung der Sehnen-Teilstrecken zu vollständigen Sehnen (14). Jedoch haben die Schar-Linienzüge selbst andere Proportionen bekommen.
An die Schnitt-Naht-Knoten (27) sind nämlich innerhalb der vertikalen Schnitt-Naht-Ebenen statt der zu einer Raumdiagonale (94) parallelen Linien (101) solche (105) angesetzt worden, welche radial im Ursprung (91) fluchten. Diese radialen Linien (105) bilden die geneigten Schar-Lininezug Ebenen aus einer gedachten Sicht parallel zu einer Polyeder-Kante ab. Für die rechte Scherbe der im Bau befindlichen, bereits alle Schar-Linienzüge (10) in vertikalen Ebenen aufweisenden Doppel-Scherbe vorne rechts schneiden sich die quer dazu angeordneten radialen Schar-Linienzug-Ebenen somit in einer Bezugslinie (103) parallel zur rechten oberen Polyeder-Kante (38). Diese Bezugslinie liegt also nicht mehr in der X-Achse wie in 36.
In 146 ist es diesmal aber der Bereich für die linke hintere Doppel-Scherbe mit anderen maßgeblichen Polyeder-Kanten, der lupenartig in der Größe verdoppelt dargestellt ist. Hier sind bislang nur die Naht-Maschen gezeichnet. Die Horizontal-Querlinien (40), welche die Schnitt-Sehnen (28) in einem Punkt (41) kreuzen, haben dort hinten eine mit 145 identische Ausrichtung. Da sie dort hinten parallel zum hinteren Kissendach-Rand-Abschnitt (52) sind, haben sie eine andere Ausrichtung als die vier vorderen, in 146 unvergrößerten Horizontal-Querlinien. Die zu Orientierungslinien parallelen Hilfslinien (44) zur Festlegung der vertikalen Schar-Linienzug-Ebenen für die Schar-Sehnen (14) der Naht-Maschen sind hinten links gleich wie vorne rechts in der Schale ausgerichtet, weil zweimal je zwei Orientierungslinien (74) der Schale auf einer Geraden liegen.
Die in der Doppel-Scherbe vorne rechts schon geschehene Festlegung der konventionellen Vierecks-Maschen in Trapez-Form von den beiden Schnitt-Naht-Linien aus in die Gesamtfläche der Scherben hinein ist nicht so einfach wie bei der Tranlations-Maschenteilung. Die Länge jeder Sehne der vertikalen Schar-Linienzüge (10) mußte hier nämlich einzeln durch eine Verlängerung oder gelegentlich auch Verkürzung bis zu einer radialen Linie (105) hin aus der gedachten Blickrichtung parallel zur jeweiligen Polyeder-Kante bestimmt werden.
In 147 ist das Netz der oberen, dick umrandeten Kappe (80) aus vier verschiedenen, asymmetrischen Doppel-Scherben bereits fertig. Außerdem ist vorne rechts mit zwei seitlichen, durch die X-Y-Grundebene halbierten Kappen begonnen worden, um die obere Kappe nach unten zu einer steilwandigen synklastischen Schale zu erweitern. Eine Doppel-Scherbe der vorderen und eine der rechten Kappe sind unterschiedlich weit gediehen.
Die Konstruktion der rechten der beiden Doppel-Scherben wird genauer erklärt: Sie ist wieder vom vorderen, rechten Prismen-Eckpunkt (6) aus erfolgt – diesmal nach unten bis zum Neben-Zenith (81), der auf dem gebogenen Auflager-Rand der Schale in der X-Y-Grundebene liegt. Die zu konstruierende Schnitt-Naht-Linie liegt auf einer schiefen Ebene, die einen Prisma-Eckpunkt (6), einen Neben-Zenith (81) und den Ursprung (91) enthält. Die hier horizontal ausgerichtete Verbindungslinie (189) zwischen Ursprung (91) und Neben-Zenith (81) liegt parallel zu einer Orientierungslinie (74).
Ein Teil der rechten der beiden entstehenden seitlichen Doppel-Scherben ist wieder unter die Lupe genommen, wie rechts davon zu sehen: Die Lage der Naht-Knoten auf der schon bekannten schiefen Schnitt-Naht-Ebene war zunächst unbekannt. Von den vier verschiedenen Schar-Rändern der entstehenden Doppel-Scherbe sind zwei Schar-Ränder (9), deren Ebenen sich in der Raumdiagonale (94) schneiden, schon vorhanden. Eine von diesen Schar-Rand-Ebenen enthält eine waagerechte Polyeder-Kante (38) zwischen zwei markierten Eckpunkten (6) und die andere eine senkrechte Polyeder-Kante zwischen dem vorderen Polyeder-Eckpunkt (6) und dem Punkt (37) in der X-Y-Grundebene.
Die Konstruktion der Naht-Maschen entspricht 37, wenn auch deren Proportionen anders sind, der Zenith gewissermaßen zur Seite gedreht ist, und die nun zu beschreibende Konstrutkion nicht vom Zenith aus, sondern von der Polyeder-Ecke aus erfolgt ist. Die gedachte Sicht, von der aus alle späteren Linienzüge (10) einer der beiden Linienzug-Scharen einer Scherbe gerade aussehen, ist hier nicht wie in 37 in der Z-Achse, sondern in der Richtung der Verbindugslinie (189) zwischen Ursprung (91) und Neben-Zenith (81) innerhalb der X-Y-Grundebene ausgerichtet.
Zwischen den der vorderen Polyeder-Ecke (6) nächstliegenden Schar-Rand-Knoten (13, 78) ist eine windschiefe Querlinie (83) als Diagonale einer zukünftigen Naht-Masche gezogen worden. Diese ist dann an einem Punkt (41) in der Schnitt-Naht-Ebene, die sich aus der neuen Blickrichtung als diagonale Linie (34) in dem zu überwölbenden Polygon zeigt, zunächst unten abgeschnitten worden. Das abgeschnittene Stück ist gestrichelt. Dann ist von der Polyeder-Ecke (6) eine Linie zu dem Ende (41) der abgeschnittenen Linie gezogen worden. Diese ist bis zu einer hier vertikalen Schar-Linienzug-Ebene hin, die sich aus der neuen Blickrichtung von rechts als vertikale Hilfslinie (222) zeigt, verlängert worden und hierdurch zu einer Schnitt-Sehne (28) geworden. Von dem oben vorhandenen Eckpunkt (13) der Masche ist dann eine Linie als Schar-Sehne (14) in einer vertikalen Schar-Linienzug-Ebene gezogen worden. Von dem unten vorhandenen Eckpunkt (78) der Masche ist dann eine weitere Linie als Schar-Sehne (14) in einer horizontalen Schar-Linienzug-Ebene bis zu dem Endpunkt (27) der neuen Sehne (28) gezogen worden. Dieser Endpunkt ist der erste Naht-Knoten innerhalb der neuen Doppel-Scherbe.
Bevor aber von diesem aus die nächste Naht-Masche entstehen konnte, hatten erst einmal die der ersten Masche (31) der neuen Scherbe benachbarten Vierecks-Maschen (12) mit unregelmäßiger Trapez-Form gezeichnet werden müssen. Zuerst war die obere neue Sehne (14) der Naht-Masche (31) zum nächsthöheren Punkt (13) des oberen Schar-Randes (9) als Kopie parallel verschoben worden. Diese Kopie mußte aber wegen der beabsichtigten Streck-Trans-Maschenteilung erst noch verlängert werden, um eine fertigen Sehne (14) der zu zeichnenden, benachbarten Vierecks-Masche zu werden. Deshalb ist wieder am Schnit-Naht-Knoten (27) eine im Ursprung fluchtende radiale Linie (105) angesetzt worden. Dann ist die noch zu kurze obere der parallelen Sehnen (14) aus der gedachten Sicht in Richtung parallel zur nächsliegenden oberen horizontalen Polyeder-Kante (38) bis zu dieser radialen Linie (105) verlängert worden. Die asymmetrisch trapezförmige Vierecks-Masche (12) ist unten durch eine Sehne (15) vervollständigt worden. Diese und eine ebenso entstandene weitere Sehne (15) sind zwei gesrichelte Schar-Sehnen einer dann zu konstruieren gewesenden zweiten Naht-Masche. Deren Endpunkte sind dann wieder durch eine diagonale windschiefe Querlinie (83) miteinander verbunden worden, u. s. w.
Die eben beschriebene Doppel-Scherbe ist bis zur dritten Naht-Masche gezeichet. Auch alle sich aus den drei Naht-Maschen ergebenden Vierecks-Maschen sind gezeichnet. Bei den zuletzt gezeichneten Vierecksmaschen fehlt aber noch jeweils eine Sehne. Die andere dargestellte Doppel-Scherbe vorne ist in gleicher Art im Entstehen begriffen, aber nur bis zur zweiten Masche gediehen.
Die anderen Doppel-Scherben der in 149 fertig zu sehenden synklastischen Schale sind in gleicher Art entstanden. Diese Schale sollte aber abgewandelt werden können. So waren deren seitliche Kappen wieder wegzulassen.
Die dabei wieder übrig gebliebene obere Kappe (80) aus 147 sollte zunächst zu einem viereckigen Kissendach erweitert werden. Dies ist in 148 großenteils geschehen. Dabei sind wieder, wie in 48, die in geneigten Ebenen liegenden Schar-Linienzüge (11) aus einem Schar-Rand (9) durch Kopieren, Kürzen im unteren Bereich und Parallelverschiebung gewonnen worden. Deren untere Punkte (54) als Schlepp-Knoten sind dadurch entstanden, daß die gerade, horizontale Schlepp-Rand-Linie (52) auf die Länge einer Schnitt-Sehne gekürzt worden ist – und zwar in der Sicht von oben durch Hilfslinien (44) als Anschnitt-Linien, die diesmal parallel zur Orientierungs-Linie (74) liegen, welche in 48 noch mit der Y-Achse deckungsgleich war.
Durch die Wahl eines nicht dargestellten niedrigeren Grund-Polyeders unter Beibehaltung der vorhandenen Schnitt-Naht-Linien hätten sich insgesamt die Neigungen aller geneigten Ebenen der Bögen des dann neu zu generierenden Kissen-Daches von der Z-Achse weg noch verstärken lassen. Die Bögen wären dann von oben gesehen stärker gekrümmt gewesen. Daduch wären die antiklastischen Eckbereiche bei unveränderter Kissendach-Umrandung kleiner gewprden, was für die statische Kräfteverteilung besser gewesen wäre. Eine Erhöhung des Grund-Polyeders zugunsten von Sichtverbindungen über vergößerte Eck-Bereiche eines noch einmal neu generierten Kissendachs wäre aber ebenfalls möglich gesehen. Neben 0° und 45° Grad kann nämlich die Neigung gegenüber der Z-Achse von dieser weg jeden beliebigen, bis ca. 75° sinnvollen Wert annehmen.
Es ist aber in 148 bei dem in 144 festgelegten konvexen Grund-Polyeder geblieben. Die beiden im Gegensatz zu dem eben erklärten abgeschleppten Bereich rechts bereits fertig gezeichneten antklastischen, abgeschleppten Bereiche des Kissendaches vorne und links an der oberen Kappe sollen als obere Teile von zwei setilich über Eck angeordneten, offenen Ausstülpungen einer sonst synklastischen Schale benutzt werden, welche im Ergebnis in 151 zu sehen ist.
Aber zunächst wieder zu 148. Der untere Schar-Eckpunkt (4) rechts bildet hier schon den Wendepunkt, in dem die Auflager-Linie des synklastischen Flächen-Bereiches einer Schale zu der des antiklastischen Flächen-Bereiches von der Ausstülpung dieser Schale übergehen soll. In 148 ist die Tangente (221) der gekurvten Auflager-Linie in diesem Punkt parallel zu einer Schlepp-Rand-Linie (52) des Kissendachs rechts. Würde diese Schlepp-Rand-Linie in der Richtung geändert, würde sich die Tiefe auch der vorderen Ausstülpung verändern.
Wie die Scherben der Eckbereiche des Kissendachs sind in 148 auch die weiteren Scherben dieser Ausstülpungen weiter unten aus reinen Translationsflächen gebildet. An den dem Betrachter nächsten Prismen-Eckpunkt (6) vorne ist bereits eine antiklastische Scherbe mit ihrer oberen Schnitt-Ecke (6) angeschlossen. Ihr unterer Schar-Rand befindet sich in der X-Y-Grundebene. Ihr seitlicher Schar-Rand (9) in einer vertikalen, die Schar-Ecke (4) im Auflagerrand enthaltenden Ebene der darunter liegenden Doppel-Scherbe ist bereits gemäß 144 vorgegeben.
Die Sehnen (14) in horizontalen Schar-Linienzügen dieser antiklastischen Scherbe sollten mit denen der nicht gezeichneten, rechts benachbart zu denkenden synklastischen Scherbe sich in gleicher Ausrichtung an spiegelbildlich angeordneten Plätzen befinden. Der untere resultierende Schar-Rand der bereits gezeichneten antklastischen Scherbe auf der X-Y-Grundebene ist deshalb folgendermaßen entstanden: Jeweils eine Sehne (14) des horizontalen, unteren Schar-Randes (8) der nicht gezeichneten synklastischen Scherbe ist in gleicher Ausrichtung an einen obersten vorhandenen Knickpunkt bzw. inneren Knotenpunkt (13) eines Linienzugs angesetzt worden. Die Parallelverschiebung erfolgte in Richtung des langen dicken Pfeils rechs. Dieser Linienzug ist bespielsweise ein dick hervorgehobener Schar-Linienzug (11), der parallel zu dem gemeinsamen Schar-Rand (9) liegt, oder dieser Schar-Rand (9) selbst. Die verschobene Sehne (14) ist in einem Punkt (27) als zukünftigem Schnitt-Naht-Knoten gekürzt worden. Das weggekürzte Teilstück ist gestrichelt. Dieser Punkt (27) liegt in einer vertikal parallel zum vorderen Prismen-Polygon (36) stehenden Ebene, deren Lage in der Bildtiefe durch einen vorhandenen Knoten (223) in einer Schlepp-Rand-Linie einer fertigen Kissendach-Scherbe vorne fixiert ist, und die sich gedanklich senkrecht von oben gesehen als Hilfslinie (224) darstellt. An diesen Schnitt-Naht-Knoten (27) ist dann der nächste Schar-Linienzug (10) um eine Sehne oben gegenüber dem parallelen gekürzt angesetzt worden. Von der Naht-Masche ist dann die horizontale, gekürzte Sehne (14) in die X-Y-Gundebene kopiert worden – als Teil des unteren horizontalen Schar-Randes (8) der gezeichneten antklastischen Scherbe. Genauso sind auch die übrigen Scherben der zwei Ausstülpungen, die einen Schar-Rand (8) auf der Grundebene haben, festgelegt worden.
Schließlich sind in 148 vorne noch die beiden Zwischenräume zwischen einer Kissendach-Scherbe und einer unteren antiklastischen Scherbe jeweils mit einem dreieckigen, keilförmigen Scherben-Paar zu füllen. Die geraden Schlepp-Rand-Linien verlieren dabei ihre Kissendach-Randlage und werden dadurch zu Schlepp-Naht-Geraden (64). Die beiden Scherben jedes in einem Zwischenraum noch fehlenden, keilförmigen Scherben-Paars bilden zusammen mit zwei benachbart vorhandenen Scherben zwei neue antklastische Doppel-Scherben. Diese Scherben-Paare werden aber im Gegensatz zu demjenigen (126) in 56 asymmetrisch geformt sein. Ihre insgesamt vier vorderen Schar-Ränder werden den freien Öffnungs-Rand derjenigen Ausstülpung bilden, der in einer Ebene parallel zum vorderen, senkrechten Polygon des Prismas liegt (vergl. 151).
Wie in einem runden Auschnitt in 148 links zusätzlich vergrößert dargestellt, ist die Herstellung der Schnitt-Dreiecke der oberen der beiden vorne links fehlenden, verschieden geformten Scherben vom linken vorderen Prismen-Eckpunkt (6) aus nach vorne hin geschehen.
Vom ersten Knoten (13) eines in einer nach vorne geneigten Ebene liegenden Schar-Randes ist eine Hilfslinie (151) zu einem beliebigen Punkt (41) auf der ersten horizontalen Sehne (28) der Schlepp-Naht-Geraden gezeichnet worden. Diese geneigte Hilfslinie (151) ist bis zu einem Punkt (46) in einer vertikalen Schar-Linienzug-Ebene, die parallel zum vorderen Seiten-Polygon (36) liegt, verlängert worden. Diese Ebene stellt sich in der gedachten Sicht von oben als zur vorderen oberen horizontalen Grund-Polyeder-Kante parallele horizontale Hilfslinie (224) dar, die am ersten Schnitt-Naht-Knoten (27) ansetzt. Von diesem Knoten aus ist zum Endpunkt (46) der geneigten Hilfslinie (151) die Teilstrecke einer neuen Sehne (14) gezeichnet wprden.
Diese Teilstrecke ist dann nach links unten bis zum Knoten (78) eines später gestrichelt gezeichneten Schar-Linienzugs verlängert worden. Dieser Knoten (78) mußte genau in der Ebene des mit seiner oberen Ecke im Grund-Polyeder-Eckpunkt (6) liegenden schraffierten Schnitt-Dreiecks (29) der links von der zu füllenden Lücke bereits vorhandenen Scherbe liegen. Aus der gedachten Blickrichtung, die wieder mit einer Linie, die normal zur durch einen durchkreuzten kleinen Kreis als Symbol veranschaulichten gedachten Projektions-Ebene liegt und in der Ebene dieses Schnitt-Dreiecks liegt, würde diese Scherbe nicht als Fläche, sondern nur als Linie erscheinen, bis zu der hin die schon vorhandene Teilstrecke der neuen Sehne (14) schließlich verlängert worden ist, um eine vollständige Sehne zu sein. Damit ist die erste Masche auf der horizontalen Schlepp-Naht-Gerade (64) festgelegt gewesen, so daß ihre fehlende Sehne (15) gestrichelt gezeichnet werden konnte.
Die nächste Naht-Masche ist bis einschließlich dem Zeichnen einer Sehnen-Teilstrecke genauso konstruiert worden, diesmal vom zweiten Schnitt-Naht-Knoten (27) aus. Der Endpunkt (78) der durch Verlängerung vollständigen weiteren Sehne (14) konnte aber nicht gleich festgelegt werden. Erst noch ist von der links bereits vorhandenen Scherbe das nächst untere schraffierte Schnitt-Dreieck (29) kopiert und als Kopie mit seiner oberen Ecke dann in Richtung des kurzen dicken Pfeils an den ersten Schnitt-Naht-Knoten (27) der horizontalen Schlepp-Naht-Gerade verschoben worden. Erst dann hat dieses Schnitt-Dreieck in gleicher Weise wie das schraffierte obere, unversetzte Schnitt-Dreieck (29) zur Festlegung der Ebene gedient, in welcher der nächste neue Sehnen-Endpunkt (78) liegt. Dieser Vorgang ist dann noch zweimal wiederholt worden.
Die Linienzüge (11) einer der beiden Linienzug-Scharen der oberen neuen unfertigen Scherbe im Zwischenraum sind gestrichelt dargestell. Ihre Sehnen sind einfach durch Kopieren und paralleles Verschieben der immer zuletzt, ebenfalls gestrichelt gezeichnet gewesenen Schar-Sehnen der Naht-Maschen entstanden, die auf der horizoontalen Schnitt-Naht-Linie aneinandergereiht sind. Diese Linienzüge (11) sind im Gegensatz zu denen aller bisherigen Ausstülpungen räumlich gekrümmt.
Die nächsten drei 149 bis 151 zeigen Schalen aus den zuvor geometrisch konstruierten Scherben. Alle drei enthalten die in 149 grob schraffiert hervorgehobene obere viereckige Kappe (80) mit dem oberen Zenith (5) und die rechte seitliche halbe viereckige Kappe mit dem Neben-Zenith (81). Die durchgezogen dick gezeichneten Kappenränder bestehen aus ebenen Schar-Rändern (9)
Die geschossene, steilwandig am Boden ansetzende synklastische Schale, deren seitliche, durch die Grundebene halbierte Kappen in 147 zu zeichnen angefangen worden waren, ist in 149 zu sehen. Jede der seitlichen Kappen teilt sich wie die obere Kappe entlang von dick, aber gestrichelt gezeichneten Schar-Rändern (8) in Doppel-Scherben (30). Auch diese bestehen neben den bekannten Vierecksmaschen (12) aus erfindungsgemäßen Naht-Maschen (31) zwischen vier koplanaren Eckpunkten, von denen zweie (13) jeweils innerhalb von verschiedenen Scherben liegen und zweie (27) auf der Schnitt-Naht-Linie liegen.
In 150 sind von der Schale in 149 die vordere, die linke und die hintere halbierte Kappe enfernt worden. Statt desssen sind drei antiklastische Scherben-Paare als abgeschleppte Kissendach-Bereiche an die obere Kappe angesetzt worden. Kissendach und synklastische Schale sind also kombiniert worden. Die in einem von leicht rechts vorne oben kommenden Licht unterschiedlich hell wirkende, maschenweise schraffierte, undurchsichtig gezeichnete Schale überdacht den zu etwa einem Viertel vorne rechts geöffneten Innenhof eines leicht schiefwinkligen, vorhandenen Bauwerks, dessen Kanten nur als Draht-Gerüst zu sehen sind. Die geradlinigen Ränder (52) der antklastischen Scherben der abgeschleppten Eckbereiche bilden geradlinige Dach-Ränder (52, 58), die auf den geradlinigen Dachkanten des vorhandenen Bauwerks aufliegen.
Ein solches Dach kann als eigenständiges Bauwerk weitere Verwendung finden: Zum einen kann die hintere Abschleppung entfernt werden, und dort wieder eine hintere Kappe eingesetzt werden. Zum anderen können an die geraden Schlepp-Rand-Linien der beiden anderen, vorne und links abgeschleppten Bereiche und weiter unten daran weitere, so wie in 148 festgelegte antklastische Scherben angefügt würden, wodurch jeder der beiden abgwschleppten Bereiche zum oberen Bereich einer offenen Ausstülpung wird. Der Eckpunkt (51) des abgeschleppten Bereiches wird dann zum Stich des Bogens des Randes der Öffnung einer Ausstülpung.
Das Ergebnis eines solchen Umbaus zeigt 151. Die Schale ist durch hier nun dick gezeichnete Linienzüge (55, 148) aus Schar-Rändern (8), die in vertikalen Ebenen liegen, in vier Teil-Bereiche geteilt Einer grob schraffierten dreieckigen Kappe (49) hinten rechts liegt diagonal vorne links am gemeinsamen Zenith (5) ein grob schraffierter Teil-Bereich gegenüber, der wie der aus 53 aus fünf Doppel-Scherben, von denen eine synklastisch ist und vier antiklastisch sind, besteht. Zwei der antklastischen Doppel-Scherben sind noch einmal links davon in einer Kopie der Umrisse ihrer Scherben erkennbar. Diese beiden Doppel-Scherben haben drei ebene Schar-Ränder (8, 9) jeweils für sich und einen Schar-Rand (9), der uneben ist, zusammen. Während die obere Doppel-Scherbe noch eine Schlepp-Naht-Gerade (64) hat, ist die Schnitt-Naht-Linie (26) der unteren Doppel-Scherbe räumlich gekrümmt.
Die Schale in 151 stellt die Lösung der Probleme der Schale 20 in 1 unten dar. Die Flexibilität eines Dreiecksnetzes von Schalen-Stücken (24) im Großen ist mit der Ebenmäßigkeit eines Vierecksnetzes für Maschen (12) im Kleinen kombiniert, wobei dreieckige Maschen (29) am Rand benachbarter Vierecksnetze paarweise zu unregelmäßig viereckigen Maschen (31) zusammengefaßt sind.
Erfindungsgemäße Abwandlungen der Schale in 151 durch weitergehende geometrische Verallgemeinerungen sind nicht ausgeschlossen:
Die dargestellte Geamtform kann beispielsweise durch Drehung des Koordinatensystems entsprechend 132, diesmal aber nicht um die Z-Achse, sondern um eine Achse, die in der X-Y-Grundebene liegt, und ein anschließendes Skalieren in einer Richtung des dann neuen X'-Y'-Z'-Koorinatensystems verzerrt werden. Wird das resultierende gedachte Gebilde mit seiner schräg liegenden Auflagerrand-Ebene wieder auf die X-Y-Grundebene gestellt, so liegt die Verbindugslinie (93) zwischen Ursprung (91) und Zenith (5) nicht mehr vertikal, wie bislang überall gezeichnet, sondern geneigt Das Grund-Polyeder der Schale ist dann ein schiefes Prisma. Dann gibt es keine vertikalen Linienzug-Ebenen mehr in dieser Schale.
Konvexe Grund-Polyeder können auch Pyramiden-Stümpfe sein. Dann sind die gegenüberliegenden, bislang vertikalen Polyeder-Kanten eines seitlichen Polygons nicht mehr parallel zur Verbindungslinie (93) zwischen Urprung und Zenith, sondern treffen sich in einem Fluchtpunkt als Schnittpunkt ihrer gedachten Verlängerungen, der dann – nicht wie der seitlichte Fluchtpunkt (75), in 144 von gegenüberliegenden Polyeder-Kanten – seitlich mehr oder weniger weit neben dem Grund-Polyeder, sondern statt dessen mehr oder weniger hoch über diesem schwebt.
Schließlich kann auch ein seitliches Polygon anstatt eines oberen horizontalen Polygons als Grund-Polygon dienen, von dem aus die erfindungsgemäße Umwölbung angefangen wird.
Da diese möglichen geometrischen Verallgemeinerungen in technischer Hinsicht eher für Sonderfälle gelten, sind diese nicht dargestellt.
In 80 war für den begrenzen Einsatzbereich von zumindest örtlich symmetrischen Schalen in 49 bis 68 eines Baukastensystems schon einmal gezeigt worden, wie aus dem virtuellen Netz ein Bauwerk aus geraden oder gebogenen Stäben oder Platten mit nennenswerter Materialstärke wird. Das in 81 und 82 angewandte Prinzip des Kopierens, der Parallelveschiebung und der Umsortierung von Knoten-Achsen kann auch auf Schalen aus Scherben mit Sonder-Formaten in 69 bis 74 übetragen werden.
Nicht ohne weitere Angaben herstellbar mit dieser Methode sind aber mit dem Baukastensystem kompatible Sonder-Formate mit Materialstärke, deren Maschen-Netz wie in 79 durch die geometrische Konstruktion einer Dreiecks-Kappe von zwei nicht kreis- oder ellipsenförmigen Randlinien her gemäß 75 bis 78 entstanden ist.
Genausowenig reicht diese Methode aus für unregelmäßige, maßgeschneiderte Formen wie die auf einem unregelmäigen Prisma aufgespannte Schale, den „Blob" in 151. Es mußte also noch eine Verallgemeinerung dieser Methode gefunden werden.
Zum einen nämlich ist das konvexe Grund-Polyeder der Schale in 151 unregelmäßig. Zum anderen weicht der Bezugspunkt (91), über dem senkrecht der Zenith (5) steht, vom Schwerpunkt des Grund-Polyeders ab. Der Zenith bildet in 152 aber trotzdem den Ausgangspunkt für die geometrische Konstrukion der ungefähr oder exakt senkrecht zu der gekrümmten Fläche des virtuellen Netzes liegenden Knoten-Achsen. Diesmal befinden sich die Knoten-Achsen (155) aber nur unterhalb der ursprünglichen Knotenpunkte (13), anstatt sowohl oberhalb als auch unterhalb in gleicher Länge.
Die erste Knoten-Achse (155) ist unten an den Zenith (5) senkrecht in der Z-Achse sich befindend angesetzt worden. Die Gehrung zwischen zwei koplanaren vertikalen Kanten-Flächen (156) ist deshalb gerade hier nicht mehr symmetrisch. Diese Symmetrie ist nicht nötig, weil diese beiden Kanten-Flächen zu unterschiedlichen Schar-Rändern gehören, welche nicht koplanar sein müssen. Die beiden Winkel der Gehrung ε, ζ im Zenith sind also ungleich. Daß die beiden hier zusammentreffenden Kanten-Flächen koplanar sind, ist hier ein noch vom Würfel beibehaltener Sonderfall. Sogar in einer Kappe aus fünf gleich proportionierten Doppel-Scherben, wie beispielsweise der in den Schalen (205, 210, 215) enthaltenen Kappe in der obersten Reihe von 142, sind sie nicht koplanar, ebeso wie in der in den Schalen (209, 214, 219) enthaltenen Kappe aus vier ungleich proportionierten Doppel-Scherben in der untersten Reihe von 142.
Anschließend an jede der vier sich in der ersten Knotenachse im Zenith treffenden Kanten-Flächen (156) werden die weiteren, unterschiedlich proportionierten, aber immer innnerhalb der gleichen vertikalen Schar-Rand-Ebene liegenden Kanten-Flächen (156) in der Form von unregelmäßigen, langgestreckten Trapezen gezeichnet. Außerhalb des Zeniths werden die Knotenachsen zwischen zwei vertikalen koplanaren Kanten-Flächen aber weiterhin als Winkelhalbierende zwischen zwei Achs-Sehnen gezeichnet, so daß Gehrungen zwischen den Kanten-Flächen immer symmetrisch sind. Ihre Winkel κ, λ sind aber in jedem Knoten (13) anders, weil auch die Winkel zwischen zwei benachbarten Achs-Sehnen (14) des gleichen Schar-Randes von Knoten zu Knoten variieren. Obwohl die Gehrungen der Kanten-Flächen an einer Knoten-Achse selbst symmetrisch sind, fluchten auch bereits in synklastischen Bereichen die Knoten-Achsen nicht mehr im Ursprung – im Gegensatz zu 80.
In der rechten vorderen oberen Scherbe ist in 152 mit der Erzeugung der Maschen der unteren bzw. inwändigen Oberfläche der Schale begonnen worden. Dabei sind zuerst an die Knoten (13), die in den beiden vertikalen Schar-Rand-Ebenen unten bzw. inwändig liegen, quer zu diesen Ebenen Sehnen (15), die zu den ursprünglichen Schar-Sehnen (15), die an die oberen Enden der jeweils gleichen Knoten-Achsen anschließen, parallel sind, angesetzt worden. Die beiden dem Zenith am nächsten liegenden von diesen Sehnen (15) der Unterseite kreuzen sich in einem Schnittpunkt (27), der ein Schnitt-Naht-Knoten ist. Damit sind auch die ersten beiden Kanten-Flächen (158) innerhalb einer Doppel-Scherbe jeweils zwischen außenseitiger und inwändiger Sehne festgelegt gewesen. An den neuen Schnittpunkt (27) in der inwändigen Schalen-Oberfläche sind zwei Sehnen (14) angeschlossen worden, welche ihrerseits parallel zu je einer inwändigen Sehne des vertikal ebenen Schar-Randes liegen und mit diesem zusammen eine von zwei parallelen Seiten je einer Trapez-Masche darstellen, nachdem sie jeweils durch eine quer dazu liegende Sehne (15) gekürzt worden sind. Damit waren die nächsten beiden Kanten-Flächen (157) zwischen je zwei parallelen Sehnen (14) festgelegt.
In gleicher Art können die übrigen Schnittpunkte (13, 27) an der unteren bzw. inwändigen Oberfläche der Schale, die übrigen Knoten-Achsen (155) und die zwischen diesen liegenden übrigen Kanten-Flächen (157, 158) festgelegt werden.
Die in 152 gezeigte geometrische Konstruktion ist auf jede Schale mit mindestens drei vertikalen Ebenen, in denen mindestens je zwei Schar-Ränder liegen, übertragbar, also auch auf die Schale (138) in 68 – mit genau dem gleichen Ergebnis wie für deren Teilbereich in 82.
153 zeigt das fertige Ergebnis aus 152 – eine Schale mit Materialstärke ohne Versprünge. Die Kanten-Flächen sind undurchsichtig dargestellt. Die Maschen-Fllächen sind durchsichtig. So ergibt sich hier das Bild einer Gitterschale.
Deren vierwertige Knoten können als Überlappung liegender Flachstahl-Stäbe für ein Gitter mit kreuzweiser Maschen-Verspannung nach Schlaich ausgeführt werden. Ihre sonstigen, also 3-,5- und 6-wertigen Knoten können nach Fuller ausgeführt werden, wenn die Enden aller Stäbe im gleichen Winkel abgewinkelt sind, was bei sehr fein geteilsten Schalen hinnehmbar ist. Bei gröber geteilten Schalen können für alle Knoten sehr gut Teller-Knoten zwischen stehenden Flachstählen mit individueller Gehrung nach R. Lehmann verwendet werden. Bei freien Formen sind dabei Sonder-Teller mit Einkerbungen, die ausgerundete Knicke zur Umlenkung von festgeklemmten Diagonal-Seilen zulassen nötig. Statt der Teller-Knoten sind auch Napf-Knoten zwischen Rechteck-Hohlprofilen wie auch im Knoten-System „Mero Plus" anwendbar. Langlöcher für variierende Winkel von Maschen-Ecken reduzieren dabei die Anzahl von Knoten-Sorten.
Da die diagonalen, sich in einer Masche kreuzenden, nach Schlaich an den Knoten angeklemmten Zugseile zur Aussteifung der Vierecksmaschen im Bereich der Naht-Maschen ein auffallend unregelmäßiges Bild ergeben, wurde jeweils innerhalb der Schalen-Gesamtfläche für jede Masche nur ein einziges diagonales Zug-Element (225) vorgesehen. Damit dies als Seil aber nicht erschlafft bzw. als Stab keinen Druck bekommt, muß das Netz von Zug-Elementen genügend vorgespannt werden. Dazu müssen alle Schalen-Ränder fest sein. Deshalb sind die Maschen an den Öffnungen der Schale, aber nur in diesem Bereich, kreuzweise mit Zugseilen versehen.
Die in den Bereichen des Wechsels der Krümmungsrichtung der Schalen-Gesamtfläche vorkommenden Stäbe zweier benachbarter Vierecks-Maschen (12) oder Naht-Maschen (31) mit den hier nahezu oder völlig koplanaren Knoten werden durchlaufend hergestellt. Die Knoten, an denen keine Seile befestigt oder angeklemmt sind, müssen in der Richtung senkrecht zur Schalen-Fläche biegesteif sein.
Die „Feinmaschigkeit" der Oberfläche, d. h. der Unterteilungsgrad der meistens facettierten Oberfläche kann bei Plattenkonstruktionen geringer als bei der bekannten Konstruktionsweise als Gitternetz aus Stäben mit durchgängigen Diagonal-Seilverspannungen sein.
Nimmt man den in 153 dargestellten Teilungsgrad nicht als stellvertretend für eine viel feinere Maschenteilung, sondern wörtlich, dann ist die Maschenteilung für eine Gitterschale zu grob, weil die Zugseile in den Knoten zu starke Knicke haben.
Auch in feinmaschigen Gitterschalen bleibt aber die sehr unterschiedliche Stabdichte zwischen synklastischen und antklastischen Bereichen sichtbar. Diese Einschränkung und diesen Nachteil gibt es bei erfindungsgemäßen Platten-Konstruktionen nicht, die immer regelmäßig wirken. 153 stellt auch die Umrisse der Platten einer facettierten Plattenkonstuktion dar. Koplanare benachbarte Maschen (12, 31) zweier entgegengesetzt gekrümmter benachbarter Scherben sollten aber zu einem Bauelement (226) zusammengefaßt werden, um so den Übergang zwischen diesen Scherben beonders unauffällig und stabil zu machen.
Neben der in 39 bis 41 gezeigten Platten-Konstruktion mit alternierend überlappenden äußeren Laschen zum Schrauben, Schweißen oder Kleben sind auch Verzahnungen in Stößen flächiger Bauelemente möglich, wobei das annähernde Zick-Zack-Muster entweder in einem nicht gezeichneten Querschnitt des Kanten-Stoßes, oder in einer Draufsicht auf den Platten-Stoß sichtbar wäre.
Aus Platten-Elementen in Maschen-Größe fertig vormontierte Scherben sind nur bei kleinen Schalen noch ohne Mühe zu einer Schale zusammensetzbar. In diesem Fall müssen die Naht-Maschen (31) entweder bereits einer Scherbe zugeordnet sein oder später einzeln eingesetzt werden.
Die Montage einer größeren erfindungsgemäßen Schale erfolgt besser maschenweise. Dies geht am besten von oben her. Dabei wird die unfertige Schale am Zenith aufgehängt, der allmählich hochgezogen wird, und in Reichweite anderswo vom Boden aus abgestützt. Sie wird nach unten bzw. nach außen hin nahe dem Boden in ringförmig geschlossenen, in 154 abwechselnd hell und dunkel schraffierten Reihen von Maschen erweitert. Die Kennzeichnung und Zuordnung von maßgeschneiderten Bauteilen an der Baustelle ist somit denkbar einfach.
Die Dachdeckung aus Reihen von Blech- oder Folien-Stücken (227) kann dann ebenfalls vom Boden aus reihenweise nachgezogen werden. In der Darstellung gehen die Dachdeckungs-Stücke (227) jeweils nur über zwei, örtlich auch drei Maschen. Nebeneinander liegende Stücke sind durch unterschiedliche Schraffurmuster unterscheidbar. So läßt sich erkennen, daß diese Dachdeckungs-Stücke von Ring zu Ring versetzt angeordnet sind, um haltbare, saubere und dichte Überlappungen in T-Form zuzulassen. Das Muster entspricht innerhalb des Bereichs eines Schnitt-Vierecks zwischen vier Schnitt-Naht-Linien einem Mauerwerks-Verband, während es im Bereich der Schnitt-Naht-Linien selbst wie ein Fischgrätmuster aussieht.
Mit dem gleichen Zuschnitt lassen sich auch kraftschlüssig überlappte feste Bleche für Behälter und andere dünne Schalen anordnen.
Auch Pneus lassen sich mit diesem Zuschnitt herstellen, wenn deren Ränder luftdicht an festen Flächen im Bereich der ebenen Öffnungen und an der Grundfläche angeschlossen sind.

Claims

Doppelt gekrümmte, maßgeschneidert oder in Serie vorgefertigte Schale zur Verwendung im Hochbau, unterteilt durch ein Netz von Maschen und bestehend aus vielen kraftschlüssig zusammengesetzten, sich über eine einzelne Masche oder eine Reihe von Maschen erstreckenden Bauelementen, die pro Masche flächig oder linear sind und gerade oder gekrümmt sind, so daß die räumliche Fläche der Schale als Ganzes kontinuierlich und außenseitig oder inwändig überall entweder glatt oder facettiert ist, mit folgenden kennzeichnenden Merkmalen: a) Die Schale besteht zumindest teilweise aus mehreren dreieckigen Schalen-Stücken (24), im folgenden „Scherben" genannt, die lückenlos aneinandergesetzt sind, wobei jede Scherbe folgende Merkmale hat: – Sie ist einer von zwei Teilen eines viereckigen, von einem Eckpunkt (5) zum diagonal gegenüberliegenden Eckpunkt (6) in einem durchgängigen Schnitt-Linienzug (25) zerschnittenen, „Vierecks-Stück" genannten Ausschnitts (3) einer aus einem Netz von zwei sich kreuzenden Scharen von gekrümmten Linien (10, 11), im folgenden „Schar-Linienzüge" genannt, gebildeten Streck-Trans-Fläche einschließlich Translationsfläche, zusammenfassend „TST-Fläche" genannt. – Sie ist auf zwei Seiten von gekrümmten Randlinien (8, 9), im folgenden „Schar-Ränder" genannnt, begrenzt, die sich in einem (4) ihrer Eckpunkte (4, 5, 6) treffen, der „Schar-Ecke" genannt wird. – Sie ist in gleicher Anzahl in Längs- und Querrichtung aus Vierecks-Maschen (12) zusammengesetzt, wobei jede Vierecks-Masche zwischen vier koplanaren Knoten (13) zwischen vier gebogenen Rändern, die vereinfachend durch vier Sehnen (14, 14, 15, 15) ersetzt sind, von denen zumindest zweie (14) parallel sind, liegt. – Sie hat zwischen zwei Eckpunkten (5, 6), die „Schnitt-Ecken" genannt werden, einen Schnitt-Linienzug (25) als dritten Rand, der durch unter den Knoten (13) besondere, „Schnitt-Naht-Knoten" genannte Knoten (27) führt, die jeweils in einer unzerschnittenen Masche (12) diagonal zueinader gelegen hatten, wobei dieser dritte Rand (25) der Scherbe aus den einzelnen Rändern (28) von durch das Zerscheiden von Vierecks-Maschen (12} entstandenen dreieckigen Maschen (29), im folgenden „Schnitt-Dreiecke" genannt, besteht. b) Zumindest zweimal sind zwei Scherben (24) in einem fließenden, stetigen Übergang ihrer räumlich gekrümmten Flächen zu einem viereckigen Schalen-Stück (30), im folgenden „Doppel-Scherbe" genannt, vereinigt, das folgende Merkmale hat: – Die deckungsgleichen Schnitt-Linienzüge (25) der beiden Scherben sind zu einer „Schnitt-Naht-Linie" (26) vereinigt, indem diese Schnitt-Linienzüge Knoten (27) für Knoten (27) miteinander verknüpft sind. – Mehrfach hintereinander sind jeweils zwei benachbarte Schnitt-Dreiecke (29) zu einer neuen, viereckigen Masche (31), im folgenden „Naht-Masche" genannt, vereinigt, deren Ränder vier Sehnen (14, 14, 15, 15) als Seiten eines Vierecks mit vier koplanaren Knotenpunkten (13, 13, 27, 27) als Ecken sind, wobei zweimal zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks disparallel sind. c) Mindestens sechs Scherben treffen mindestens einmal mit jeweils einer ihrer beiden Schnitt Ecken (5, 6) sich in einem Punkt.
Schale gemäß dem Oberbegriff und der Merkmalgruppe a) von Patentanspruch 1, mit folgenden weiteren kennzeichnenden Merkmalen: – Mindestens einmal treffen die Schar-Ecken (4) von vier Scherben sich in einem Punkt, wobei diese vier Scherben zusammen einen größeren viereckigen, von vier Schnitt-Linienzügen (25) zwischen vier Schnitt-Ecken (5, 6, 6, 51) begrenzten, meist einer verformten Raute ähnlichen Ausschnitt (56) einer TST-Fläche darstellen. – Von diesen vier Scherben bilden jeweils zweie, die an je einem (9) ihrer beiden Schar-Ränder (8, 9) benachbart sind, zusammen eine durchgängige Linie (55) aus ihren nicht aneinander liegenden, sondern an der gemeinsamen Schar-Ecke (4) hintereinander liegenden und umgekehrt zueinander gekrümmten Schar-Rändern (8). – Zweimal je eine von diesen zwei an ihrem Schar-Rand (9) benachbarten Scherben hat für sich einen speziell geformten Schnitt-Linienzug (52) unter den möglichen Schnitt-Linienzügen, der „Schlepp-Rand-Linie" genannt wird, und der innerhalb einer Ebene verläuft, die in einem (51) von dessen beiden Endpunkten als besonderer Schnitt-Ecke der Scherbe tangential zur gekrümmten Fläche der Scherbe liegt. – Beide in dieser besonderen Schnitt-Ecke (51) endenden und an jeweils diesem Punkt zusammentreffenden Schlepp-Rand-Linien (52) liegen in der gleichen Ebene.
Schale nach Patentanspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß mindestens einmal die Schar-Ecken (4) von vier Scherben sich in einem Punkt treffen, wobei diese vier Scherben zusammen einen größeren viereckigen, von deren vier Schnitt-Linienzügen (25) zwischen insgesamt vier gemeinsamen Schnitt-Ecken (5, 5, 6, 6) begrenzten, meist einer verformten Raute ähnlichen Ausschnitt (56) einer TST-Fläche darstellen,
Schale nach Patentanspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß sowohl alle Schar-Ränder (8, 9) als auch alle Schnitt-Naht-Linien (26) zumindest einer Teilmenge der Doppel-Scherben (30) eben sind.
Schale nach Patentanspruch 2 dadurch gekennzeichnet, daß die beiden Schlepp-Rand-Linien (52) geradlinig und alle Schar-Ränder (8, 9) eben sind, wobei die beiden Scherben, die Schlepp-Rand-Linien (52) aufweisen, zumindest teilweise antiklastisch gekrümmt sind.
Schale nach Patentanspruch 4 dadurch gekennzeichnet, daß zumindest eine der Schnitt-Naht-Linien (26) geradlinig ist und im Folgenden „Schlepp-Naht-Gerade" (64) genannt wird.
Schale nach Patentanspruch 4 dadurch gekennzeichnet, daß alle Ebenen der Ränder (8, 9, 25) der paarweise in dieser Teilmenge von Doppel-Scherben (30) enthaltenenen Scherben (24) senkrecht zur Grundebene der Schale stehen, und daß die Ebene eines Schar-Randes (9) von jeder dieser Scherben einen geradlinigen Seiten-Rand (38) der Grundfläche (36) der Schale, im folgenden „Grund-Polygon" genannt, enthält.
Schale nach Patentanspruch 4 dadurch gekennzeichnet, daß alle drei Ebenen der Ränder (8, 9, 25) der paarweise in zumindest einer Teilmenge von dieser Teilmenge von Doppel-Scherben (30) enthaltenenen Scherben (24) sich in einem einzigen Bezugspunkt (91) innerhalb eines gedachten konvexen Polyeders schneiden, wobei die Ebene eines Schar-Randes (9) von jeder dieser Scherben eine Kante (38) eines gedachten konvexen Polyeders (90), im folgenden „Grund-Polyeder" genannt, enthält.
Schale nach Patentanspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß mindestens einer der Scherben-Ränder (8, 9, 25) in dieser Teilmenge von Doppel-Scherben (30) als bestimmender Rand die Form eines Kreisbogens oder eines Ellipsen-Bogens hat.
Schale nach Patentanspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß jede der Sehnen (14, 15) und der ebenen Flächen zwischen vier Sehnen einer Vierecks-Masche (12) in einer Scherbe (24) der beiden jeweils an einem der beiden Schar-Ränder (9) benachbarten Scherben ein parallel ausgerichtetes Gegenstück in der anderen Scherbe (24) dieser beiden Scherben hat, und zwar angeordnet in einer am gemeinsamen Schar-Rand (9) gespiegelten Platz-Reihehfolge.
Schale nach Patentanspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß das Grund-Polygon (36) symmetrisch, vorzugsweise regelmäßig ist,
Schale nach Patentanspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß jede von diesen Scherben eine zentrische Streck-Trans-Maschenteilung aufweist, wobei jeweils alle Linienzüge (10) einer der beiden sich kreuzenden Linienzug-Scharen sich innerhalb von Ebenen befinden, die sich in einer gedachten horizontalen Bezugslinie (72) schneiden, welche in der Ebene des Schar-Randes (8) liegt, der oben im Zenith (5) senkrecht über dem Mittelpunkt (39) des Grund-Polygons endet.
Schale nach Patentanspruch 7 oder 8, dadurch gekennzeichnet, daß zwei der am Zenith (5) zusammentreffenden Schar-Ränder (8, 9) sich innerhalb der gleichen Ebene befinden.
Schale nach Patentanspruch 7 oder 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Schnitt-Naht-Linien (26) zweier am Zenith (5) entgegengesetzt zusammentreffender Doppel-Scherben sich innerhalb der gleichen Ebene befinden.
Schale nach Patentanspruch 7 oder 8, dadurch gekennzeichnet, daß einer der Schar-Ränder (8, 9) einer Doppel-Scherbe (30) sich in der gleichen Ebene wie eine an einer der Ecken (5, 6) dieser Doppel-Scherbe anschließende Schnitt-Naht-Linie (26) einer anderen Doppel-Scherbe befindet.
Schale nach Patentanspruch 7 oder 8, dadurch gekennzeichnet, daß diejenige Ebene des Schar-Randes (8) der beiden Ebenen der Schar-Ränder (8, 9) jeder dieser Scherben, welche keine Polyeder-Kante enthält, aber von einer Grund-Polygon-Randlinie (38) in einem Punkt (37) durchstoßen wird, der diese Randlinie (38) in zwei Abschnitte (33) teilt, durch den Zenith (5) und durch eine Orientierungslinie (74) festgelegt ist, wobei diese Orientierungslinie vom Bezugspunkt (39) innerhalb des Grund-Polygons ausgeht und sich außerhalb von diesem Grund-Polygon in einem Fluchtpunkt (75) mit den geradlinigen Verlängerungen zweier weiterer Grund-Polygon-Randlinien schneidet, die an die beiden Endpunkte (6) der von dieser Orientierungslinie in besagtem Punkt (37) durchkreuzten Grund-Polygon-Randlinie (38) jeweils mit einem ihrer Endpunkte anschließen.
Schale nach Patentanspruch 8 dadurch gekennzeichnet, daß jede Doppel-Scherbe der Schale rein synklastisch oder rein antiklastisch ist, wobei ein Schar-Rand (8) der vier Schar-Ränder von einer mit einer synklastischen Doppel-Scherben benachbarten, rein antklastischen Doppel-Scherbe sich in einer Rand-Ebene als Ebene der Schalen-Öffnung in einer Lage parallel zu einem dem Grund-Polygon der synklastischen Doopel-Scherbe benachbarten, seitlichen, der antiklastischen Scherbe nächstliegenden Polygon (36) befindet.
Schale nach Patentanspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß jede Doppel-Scherbe der Schale rein synklastisch oder rein antiklastisch ist, wobei zumindest einmal ein Schar-Rand (8) der vier Schar-Ränder einer rein antiklastischen Doppel-Scherbe, die einer rein synklastischen Doppel-Scherbe benachbart ist, sich als Teil des Randbogens einer Schalen-Öffnung innnerhalb einer Ebene befindet, die senkrecht zur Grundebene der Schale steht.
Schale nach Patentanspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß das Grund-Polyeder (90) spiegelsymmetrisch ist, vorzugsweise ein Würfel, oder aber auch ein anderer Platonischer Körper, ein Archimedischer Körper oder dazu dualer Körper oder ein geodätisch geteiltes Polyeder, wobei der Bezugspunkt (91) im Zentrumspunkt des Polyeders liegt, wodurch zumindest teilweise die Doppel-Scherben und deren Naht-Maschen (31) eine Drachen-Form haben, während die zwei Schar-Ränder (8, 9) jeder Scherbe von diesen Doppel-Scherben an der Schar-Ecke (4) rechtwinklig aufeinanderstoßen, und die Schnittlinie (92) der beiden Schar-Rand-Ebenen von jeder dieser Scherben an dieser Schar-Ecke normal zur örtlich tangierenden Ebene der gekrümmten Fläche liegt.
Schale nach Patentanspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß jede von diesen Scherben eine zentrische Streck-Trans-Maschenteilung aufweist, wobei die auch den Schar-Rand (9) einschließenden Linienzüge (11) einer der beiden sich kreuzenden Linienzug-Scharen jeder dieser Scherben sich innerhalb von Ebenen befinden, die sich in einer gedachten geraden Bezugslinie (103) schneiden, welche durch den Bezugspunkt (91) des Grund-Polyeders (90) führt und parallel zu einer in der Ebene des Schar-Randes (9) liegenden Grund-Polyeder-Kante (38) liegt.
Schale nach den Patentansprüchen 10 und 19, dadurch gekennzeichnet, daß zweimal jeweils die eine der beiden an einem Schar-Rand (9) benachbarten Scherben rein synklastisch und die andere rein antiklastisch ist, und daß zweimal jeweils drei der vier Rand-Ebenen einer die antiklastische Scherbe und zwei zu einer Schlepp-Naht-Gerade (63) verschmolzene Schlepp-Rand-Linien (52) enthaltenden Doppel-Scherbe (30) sich im Zentrumspunkt (91) des konvexen Grund-Polyeders (90) der benachbarten synklastischen Scherbe schneiden, wobei jede der beiden antiklastischen Doppel-Scherben als Bestandteil einer kontinuierlichen Schale anzusehen ist, welche die Eckpunkte (6) eines infiniten Grund-Polyeders (119) enthält und den unendlichen Raum in zwei ausgerundete Tunnel-Systeme unterteilt, von denen eines als Mittelachsen die Tunnel-Achsen (88) eines Ersten Gitters (121) mit regelmäßig angeordneten Giitter-Knotenpunkten (89), und das andere ausgerundete Tunnel-System den Zentrumspunkt (91) des Grund-Polyeders als einen besonderen der Knotenpunkte (89) von Tunnel-Achsen (88) als Mittelachsen eines zum Ersten kongruenten, dualen und mit diesem verwobenen Zweiten Achsen-Gitters (122) hat, wobei die vierte, nicht den Zentrumspunkt des Grund-Polyeders enthaltende Rand-Ebene jeder dieser beiden antklastischen Doppel-Scherben sich im außerhalb des Grund-Polyeders liegenden Knotenpunkt (89) der Tunnel-Achsen (88) des Ersten Gitters mit zweien der drei vorgenannten Rand-Ebenen schneidet.
Schale nach den Patentansprüchen 17 oder 19, dadurch gekennzeichnet, daß alle Sehnen (14, 15) der beiden Oberflächen jedes dickwandigen Schalen-Stücks parallel zu den Sehnen (14, 15) des virtuellen Netzes einer Schale ohne Materialstärke sind, und jeder außenseitige mit dem zugehörigen inwandigen Maschen-Knoten (13) durch eine Verbindungslinie (155), „Knoten-Achse" genannt, verbunden ist, welche den ursprünglichen Maschen-Knoten (13) des virtuellen Netzes enthält, wobei zwei Knotenachsen (155) sowie eine obere, außenseitige und eine untere, inwändige der Oberflächen-Sehnen (14, 15) jeweils eine der ebenen Kanten-Flächen (156, 157, 158) begrenzen, und wobei eine vertikale Knoten-Achse auf dem Zenith (5) liegt, von deren beiden Endpunkten (13) in mehrere Richtungen die parallelen Sehnen (14) an den beiden Oberflächen innerhalb der Ebene eines Schar-Randes ausgehen, deren Endpunkte (13) jeweils die Endpunkte einer weiteren Knoten-Achse sind, die wie alle übrigen Knoten-Achsen innerhalb der Ebene jeweils eines Schar-Randes (8) und eines weiteren koplanaren Schar-Randes symmetrische Gehrungswinkel α zwischen benachbarten, koplanaren Kanten-Flächen (156) bilden, wodurch die Ausrichtung und Länge der direkt oder indirekt daran anschließenden, außenseitig und inwändig zueinander parallel gelegenen Sehnen (14, 15) bestimmt ist, zwischer denen die übrigen Kanten-Flächen (157, 158) liegen.
Verwendung der Schale nach den Patentansprüchen 17 oder 19 im Ausbau und bei der Einrichtung und Ausstattung von Bauwerken sowie im Tiefbau, Behälterbau, beim Bau der Hüllen von Fahrzeugen an Land, zu Wasser, in der Luft und im Weltraum.
Verwendung des virtuellen Netzes der Schale nach den Patentansprüchen 17 oder 19 für Pneus (Drucklufthallen)
Software zur Erzeugung eines virtuellen Netzes sowie einer räumlichen, äußeren wie inwandigen Gesamt-Oberfläche einer Schale nach den Patentansprüchen 4 oder 5 oder 23 oder eines Pneus nach Anspruch 24, dadurch gekennzeichnet, daß das virtuelle Netz aus Sehnen (14, 15) automatisch nach der Bestimmung d. h. Eingabe: – der Eckpunkte (6) (Lage und Anzahl) entweder nur eines Grund-Polygons (36) (unregelmäßig, halbregelmäßig, regelmäßig) oder eines Grund-Polyeders (90) (Flächen-Anzahl) um dessen Bezugspunkt (39, 91) (beliebiger Punkt, Schwer- Mittel- oder Zentrumspunkt) im Ursprung herum, – der Ausrichtung einer von einem Scherben-Eck-Knoten (6) ausgehenden Flächen-Tangente (52) eines konvexen Schalen-Bereiches, die eine potentielle Schlepp-Rand-Linie eines Kissendachs oder Schlepp-Naht-Gerade innerhalb einer Ausstülpung ist, – der Festlegung, ob diejenige Ebene des Schar-Randes jeder dieser Scherben, die von einer Grund-Polygon-Randlinie (38) durchstoßen wird, durch die Lage jeweils in dieser Ebene enthaltenen Orientierungslinie (74) festgelegt sein soll, – der Reihenfolge der Generierung der Scherben zur Feststellung, welche Scherben-Ränder nicht nur bestimmend für die Form jeweils einer Scherbe sind, sondern auch festzulegen sind, – der Form (Kreis-, Ellipsen- oder Korbbogen, zusätzlicher geradliniger Abschnitt), der Teilungs-Art (gleichmäßig oder regelmäßig unterschiedlich) und des Teilungs-Grades (3 bis n Sehnen) der festzulegenden Scherben-Ränder oder Scherben-Rand-Abschnitte (166, 167), und – der Art der Maschenteilung der einzelnen Scherben (Trans- oder Streck-Trans) generiert wird, und anschließend die beiden Oberflächen der fertigen Schale automatisch nach der Bestimmung, d. h. Eingabe der Mindest-Schalendicke (keine, nach außen und/oder nach innen) generiert werden.