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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zur Belichtung eines Substrats
mit einem Strahl.
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Bei
den Anlagen SB3xx der Leica Lithography GmbH wird die maximal mögliche konstante Tischgeschwindigkeit
individuell pro Belichtungsstreifen durch Simulation des Belichtungsablaufes
im Voraus berechnet.
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Die
Bedeutung der Geschwindigkeit in diesem Modus wird an Hand der Schrift
JP08236420A deutlich.
Die Streifenbreite wird vorher so ermittelt, dass eine minimale
oder maximale Geschwindigkeit nicht unter- bzw. überschritten wird. Eine Anpassung der
Geschwindigkeit an die Dichte des Bildinhaltes wird jedoch nicht
in Erwägung
gezogen.
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Auch
in der Schrift
JP 61-96394
A wird das Wechselspiel verschiedener Anlenksysteme beschrieben,
das die Arbeitsweise mit kontinuierlicher Tischbewegung ermöglicht.
Aber die Geschwindigkeit ist intentional konstant.
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Der
Lösungsweg,
der in
JP 61-51287A beschrieben
wird, berücksichtigt
die unterschiedliche Dichte des Bildinhaltes insofern, als Teile
mit langer Belichtungszeit mehrfach zu belichten sind. Dies soll jedoch
nur sichern, dass der Belichtungsprozess der Tischbewegung folgen
kann ohne auf den Zeitbedarf des doppelten Anfahrens ein und derselben
Substratposition Rücksicht
zu nehmen.
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Des
Weiteren wird von M. KAWANO et al.: Continuous writing method for
high speed electron-beam direct writing system HL-800 D (in: J.
Vac. Sci. Technol. B, Vol. 11, No. 6, 1993, S. 2323–2326) ein
Elektronenstrahlschreibsystem mit variabler Tischgeschwindigkeit
beschrieben, das davon ausgeht, dass im Strahlablenkungsbereich
aus einer gefahrenen hohen Geschwindigkeit hinreichend schnell abgebremst
werden kann, wenn das Strahlsteuersystem aus den ihm zugeleiteten
Daten des zu schreibenden Musters eine Strukturdichte erkennt, die
nicht bei der aktuellen Tischgeschwindigkeit innerhalb des Steuerfensters
des Strahlablenksystems geschrieben werden kann. Bei geforderter
zunehmender Gerätegenauigkeit
ist diese Lösung
nicht mehr zufriedenstellend, da die Möglichkeiten der Strahlablenkung
und der abrupten Verzögerung
der Tischbewegung die geforderten Schreibgenauigkeiten nicht mehr
erfüllen.
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Der
Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur Belichtung
eines Substrats mit einem Strahl zu schaffen, mit dem der Durchsatz
bei der Belichtung des Substrats erhöht wird, ohne dass dabei die
geforderte hohe Schreibgenauigkeit leidet.
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Erfindungsgemäß wird die
Aufgabe wird durch ein Verfahren zur Belichtung eines Substrats mit
einem Strahlsystem und einem Substratträgersystem, bei dem innerhalb
eines Bandes um eine durch das Substratträgersystems definierte Bahnkurve
ein Belichtungsmuster belichtet und die Geschwindigkeit des Substratträgersystems
in Abhängigkeit
von der Belichtungsmusterdichte während der Belichtung verändert wird,
dadurch gelöst,
dass ein optimales Profil der Geschwindigkeit des Substratträgersystems
mit dem Ziel der Maximierung der Durchschnittsgeschwindigkeit bei
Berücksichtigung
lokaler Grenzgeschwindigkeiten durch eine Änderung der Geschwindigkeit,
mit der die Bahnkurve verfolgt wird, vorab an Hand der Belichtungsmusterdichte
in Abhängigkeit
von Parametern des Substratträgersystems
und des Strahlsystems bestimmt wird, so dass bereits vor sprunghaften Änderungen
der Belichtungsmusterdichte Daten für die Geschwindigkeitsänderungen
zur Ansteuerung des Substratträgersystems
zur Verfügung
stehen.
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Vorteilhaft
wird das Profil der Geschwindigkeit des Substratträgersystems
aus aufeinander folgenden Abschnitten zusammengesetzt die durch Vorgabe
einer bestimmten Anzahl diskreter Stützstellen definiert sind, an
denen jeweils eine bestimmte Geschwindigkeit erreicht sein soll,
um eine kontinuierliche Geschwindigkeitssteuerung zu ermöglichen.
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Dabei
ist zweckmäßig einzustellen,
dass die Geschwindigkeitsänderung
des Substratträgersystems
einen für
alle Abschnitte geltenden Grenzwert nicht überschreitet.
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Das
Verfahren ist von Vorteil, da die Geschwindigkeit des Substratträgersystems
in Abhängigkeit
von der Belichtungsmusterdichte während der Belichtung verändert wird.
Das Substratträgersystem definiert
eine Bahnkurve, wobei das Belichtungsmuster innerhalb eines Bandes
um die Bahnkurve belichtet wird.
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Das
Strahlsystem umfasst ein Hauptablenksystem und ein Mikroablenksystems,
wobei das Hauptablenksystem eine Vorpositionierung des Strahls innerhalb
der Bahnkurve auf Teilarbeitsfeldern durchführt und das Mikroablenksystem
eine Feinpositionierung des Strahls innerhalb des jeweiligen Teilarbeitsfeldes
vornimmt, um dort das Belichtungsmuster zu erzeugen. Die Bahnkurve
ist ein Streifen auf dem Substrat, der eine kleinere Fläche als
das Substrat selbst aufweist.
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Da
die Veränderung
der Geschwindigkeit, mit der die Bahnkurve verfolgt wird, wird vorab
an Hand der Belichtungsmusterdichte in Abhängigkeit von Parametern des
Substratträgersystems
und von Parametern des Strahlsystems bestimmt wird, umfassen die
Parameter des Substratträgersystems vorzugsweise
die maximale zulässige
Beschleunigung und minimale und maximale Geschwindigkeit des Substratträgersystems.
Die Parameter des Strahlsystems umfassen zweckmäßig auch die Einschwingzeiten
und Ablenkbereiche der Ablenksysteme und die Overheadzeit der Steuerelektronik.
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Die
Laufzeit der Positionskorrektur des Substratträgersystems und des Strahlsystem
wird in Abhängigkeit
von der lokalen Geschwindigkeit des Substratträgersystems für die exakte
Positionierung des Belichtungsmusters auf dem Substrat bestimmt.
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Das
Strahlsystem weist ein Hauptablenksystem und ein Mikroablenksystems
auf, wobei das Hauptablenksystem eine Vorpositionierung des Strahls
innerhalb der Bahnkurve auf Teilarbeitsfeldern durchführt und
das Mikroablenksystem eine Feinpositionierung des Strahls innerhalb
des jeweiligen Teilarbeitsfeldes vornimmt, um dort das Belichtungsmuster
zu erzeugen. Die Bahnkurve bildet einen Streifen auf dem Substrat,
der eine kleinere Fläche
als das Substrat selbst aufweist.
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In
der Zeichnung ist der Erfindungsgegenstand schematisch dargestellt
und wird anhand der Figuren nachfolgend beschrieben. Dabei zeigen:
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1 eine
schematische Darstellung des Aufbaus eines gesamten Systems zur
Elektronenstrahllithographie;
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2 eine
schematische Darstellung eines Lithographiesystems mit ruhendem
Strahlsystem und bewegtem Substratträgersystem;
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3 eine
Draufsicht auf das Substratträgersystem,
wobei das Substrat in diesem Fall eine Maske ist;
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4 eine
Draufsicht auf das Substratträgersystem,
wobei das Substrat in diesem Fall ein Wafer ist; und
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5 eine
schematische Darstellung eines Bandes auf einem Substrat, in dem
das Belichtungsmuster in den entsprechenden Teilarbeitsfeldern erzeugt
wird.
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1 zeigt
schematisch den Aufbau eines gesamten Systems zur maskenlosen Elektronenstrahllithographie.
Obwohl sich die nachfolgende Beschreibung auf Elektronenstrahlen
beschränkt,
soll dies nicht als eine Beschränkung
der Erfindung aufgefasst werden. Es ist selbstverständlich,
dass die Erfindung für
die Belichtung von Substraten mit Partikelstrahlen und auch Lichtstrahlen
(Laser) geeignet ist.
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Von
einer Elektronenkanone 30 wird ein Elektronenstrahl 31 erzeugt,
der sich in Richtung einer elektronenoptischen Achse 32 ausbreitet.
Die aus der Elektronenkanone 30 austretenden Elektronen
weisen einen Quell-Crossover 310 auf.
Der Elektronenkanone 30 ist eine Strahlzentriereinrichtung 33 nachgeschaltet,
die den Elektronenstrahl symmetrisch um die optische Achse 32 ausrichtet.
Nach der Strahlzentriereinrichtung durchläuft der Elektronenstrahl 31 ein
Kondensorsystem 10, das aus dem anfänglich divergenten Elektronenstrahl 31 einen
parallelen Strahl formt. In Ausbreitungsrichtung des Elektronenstrahls 31 hin
zu einem Substrat 6 ist ein Strahlformungssystem 35 angeordnet.
Ferner sind ein Hauptablenksystem 25 und ein Mikroablenksystems 23 enthalten,
wobei das Hauptablenksystem 25 eine Vorpositionierung des
Strahls innerhalb einer Bahnkurve (siehe 3) auf dem
Substrat 6 auf Teilarbeitsfeldern 6a durchführt. Das
Mikroablenksystem 23 sorgt für eine Feinpositionierung des
Elektronenstrahls 31 innerhalb des jeweiligen Teilarbeitsfeldes 6a,
um dort das Beleuchtungsmuster zu erzeugen. Das unabhängig steuerbare
Hauptablenksystem 25 und das Mikroablenksystem 23 werden
vorteilhaft dazu benutzt, um langsame und schnelle Ablenkvorgänge separat
optimal zu gestalten. Schnelle Ablenkvorgänge im Frequenzgebiet Megaherz
bis Gigahertz sind zum Beispiel erforderlich, um auf dem nicht gleichförmig bewegten
Substrat 6 für
die Zeitdauer eines Belichtungsschrittes beziehungsweise Belichtungstaktes
die Position des Elektronenstrahls 31 konstant zu halten
und anschließend
in sehr kurzer Zeit zum nächsten
Teilarbeitsfeld 6a zu springen. Eine Objektivlinse 41 besitzt
ein am Landepunkt des Elektronenstrahls 31 auf dem Substrat 6 ein
abtastendes Höhenmesssystem 42.
Das Höhenmesssystem 42 dient
der Erfassung von Unebenheiten des Substrats 6 (zum Beispiel
Wafer, Maske) sowie von Höhenschwankungen,
die ein Substratträgersystem 50 verursachen
kann. Ein Detektor 43 für
die von Substrat 6 rückgestreuten
Partikel beziehungsweise Elektronen befindet sich nahe dem Strahlauftreffpunkt.
Dieser Detektor 43 dient der Positionsermittlung von Marken
auf dem Substrat 6 zum Zwecke der Überdeckung mehrerer Belichtungsebenen
beziehungsweise zur Kalibrierung von Steuerelemente einer Belichtungsanlage.
Weiterhin befinden sich Korrekturlinsen, 24, im unteren
Bereich der Korpuskularstrahleinrichtung 2. Die Korrekturlinse 24,
dient der dynamischen Korrektur des Fokus, der Bildfeldgröße und der
Bildfeldrotation während
der Belichtung des variabel bewegten Substrats 6. Die Korrekturlinse 24 ermöglicht die
Korrektur von Fehlern, die durch Höhenschwankungen des Substrats 6,
sowie durch veränderliche
Raumladungen im Säulenbereich
hervorgerufen werden.
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In
der beispielhaften, sehr vereinfachten schematischen Darstellung
(siehe 2) eines solchen Systems (Elektronenstrahlbelichtungsanlage Leica
SB3xx) wird ein Einzelstrahl aus dem ruhenden Strahlsystem 35 durch
einen dreistufigen Prozess mit der zu belichtenden Position auf
dem in X-Richtung vorwärts
oder rückwärts kontinuierlich
fahrenden Substratträgersystem
in Übereinstimmung
gebracht: Das Hauptablenksystem 25 sorgt für eine Vorpositionierung
des Strahls in den Positionierbereich des schnelleren Mikroablenksystems 23.
Dazu wurden die Daten der zu belichtenden Bahnkurve (Substratabschnitts,
Streifen) vorab in ein zweidimensionales Array (Spalten in Y-Richtung,
Zeilen in X-Richtung) von Teilarbeitsfeldern 6a unterteilt,
die jeweils einer Position des Hauptablenksystem 25 entsprechen, und
von denen aus die Feinpositionierung des Strahls mit dem Mikroablenksystems 23 vorgenommen
wird. Die Strahlnachführung
sorgt für
die Beibehaltung der durch das Hauptablenksystem 25 und/oder
das Mikroablenksystems 35b eingestellten Belichtungsposition
auf dem Substrat 6 während
der gesamten Zeit der Belichtung an dieser Position. Das Hauptablenksystem 25 und
Tischposition werden am Beginn eines jeden Teilarbeitsfeldes 6a miteinander synchronisiert.
Es erfolgt ein Reset der Strahlnachführung. In Bereichen mit besonders
hoher Dichte des zu belichtenden Belichtungsmusters und/oder bei
besonders hoher Geschwindigkeit des Tisches kann es sein, dass der
Nachführbereich
der Strahlnachführung
nicht ausreicht, um den gesamten Inhalt eines Teilarbeitsfeldes 6a zu
belichten, so dass weitere derartige Strahlnachführ-Resets innerhalb des betreffenden Teilarbeitsfeldes 6a erforderlich
sind. Das Substratträgersystem 50 besteht
im Wesentlichen aus einem Tisch 51 zur Ablage des Substrats 6, auf
dem das Substrat 6 abgelegt werden kann. Der Tisch kann
in einer X-Richtung X und in einer Y-Richtung Y mit jeweils einem
Motor 52 bewegt werden
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Alle
geschilderten und weiteren für
den Belichtungsablauf notwendigen Operationen (Einstellen von Strahlform
und Abbildungsschärfe:
Zwischenjustagen zur Höhenkorrektur;
...) erfordern Zeit, während
der Tisch 51 kontinuierlich weiterfährt. Das soeben beschriebene
Nachführen
des Hauptablenksystem 25 mit dem Tisch ist dabei nur bis
zu einer gewissen Grenze möglich,
die in 2 als linker Anschlag 61 des Hauptablenksystem 35a bezeichnet
ist. Bei Erreichen des linken Anschlags 61 muss die Abarbeitung
der aktuellen Teilarbeitsfeldes 6a durch die Strahlnachführung spätestens
vollständig
abgeschlossen sein, anderenfalls bricht die Belichtung ab und kann
erst nach Rückführung des
Tisches 6 an die entsprechende Position neu gestartet werden,
was einen hohen Zeitaufwand erfordert. Die Tischgeschwindigkeit
wird dadurch nach oben begrenzt (Durchführbarkeitsbedingung). Auf der
anderen Seite ist es möglich,
dass nach mehreren aufeinander folgenden, schwach belegten Teilarbeitsfeldern 6a (Beleuchtungsmusterdichte,
die in ein Feld zu schreiben ist) und/oder zu geringer Tischgeschwindigkeit
die X-Position des nächsten
zu bearbeitenden noch nicht im Positionierbereich des Hauptablenksystems 25 liegt.
Das Teilarbeitsfelde 6a würde somit außerhalb des
rechten Anschlages 62 des Hauptablenksystems 25 fallen,
so dass eine zusätzliche,
für die
Belichtung nicht nutzbare Wartezeit entsteht. Die Tischfahrrichtung
ist durch den Pfeil 53 und die wachsende X-Richtung ist
durch den Pfeil 54 angegeben.
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Da
der während
der Belichtung des Belichtungsmusters innerhalb eines Bandes 60 um
eine Bahnkurve 621 , 622 , ... 62n (siehe
hierzu 3) der zu leistende (Arbeits-)Zeitaufwand mit
der Fixierung der dabei anzuwendenden System- und Prozessparameter
bereits vollständig
festliegt, kann eine unter diesen Prämissen in bezug auf die weiter
oben genannte Durchführbarkeitsbedingung
maximal mögliche
Tischgeschwindigkeit prinzipiell vorab berechnet werden. Aufgrund
der Komplexität
der Belichtungsabläufe
und wegen nicht-deterministischer Einflüsse ist dies jedoch nur näherungsweise
möglich. Mit
der veränderlichen
Tischgeschwindigkeit lassen sich Produktivitätsreserven erschließen, wenn
man eine während
der Belichtung veränderliche
Tischgeschwindigkeit zulässt
und auf diese Weise in der zu belichtenden Geometrie vorhandene
Dichteschwankungen des Beleuchtungsmusters ausgleicht. Eine Null-Position 55 des
Elektronenstrahls 31 und eine X-Position des Elektronenstrahls 31 sind
ebenfalls in 2 dargestellt.
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3 zeigt
eine Draufsicht auf das Substratträgersystem 50, wobei
das Substrat 6 in diesem Fall eine Maske ist Die Veränderung
der Geschwindigkeit, mit der die Bahnkurve 621 , 622 , ... 62n verfolgt wird,
vorab an Hand der Belichtungsmusterdichte in Abhängigkeit von Parametern des
Substratträgersystems
und von Parametern des Strahlsystems bestimmt wird. Das Belichtungsmuster
wird innerhalb eines Bandes 60 um die Bahnkurve 621 , 622 ,
... 62n belichtet. Durch die Vielzahl
der Bänder 60 auf
dem Substrat 6 kann im Wesentlichen die gesamte Oberfläche des
Substrats 6 abgedeckt werden Die Position des Substratträgersystems 50 in
X-Richtung und in Y-Richtung
wird durch ein geeignetes Wegmesssystem 63 bestimmt. Das
Wegmesssystem 63 kann z. B. als Laserwegmesssystem ausgebildet
sein.
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4 zeigt
eine Draufsicht auf das Substratträgersystem 50, wobei
das Substrat 6 in diesem Fall ein Wafer ist. Das Belichtungsmuster
wird innerhalb eines Bandes 60 um jede einzelne Bahnkurve 621 , 622 ,
... 62n belichtet. Aufgrund der
runden Ausgestaltung des Wafers sind die Bänder unterschiedlich lang,
so dass jeweils nur die Fläche
des Wafers von der Belichtung bedeckt wird. Durch die Vielzahl der Bänder 60 auf
dem Substrat 6 kann im Wesentlichen die gesamte Oberfläche des
Substrats 6 abgedeckt werden.
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5 ist
eine schematische Darstellung eines Bandes 60 auf einem
Substrat 6, in dem das Belichtungsmuster 70 in
den entsprechenden Teilarbeitsfeldern 6a erzeugt wird.
Obwohl das in 5 dargestellte Band 60 als
ein Rechteck ausgebildet ist, soll dies nicht als eine Beschränkung der
Erfindung aufgefasst werden. Es ist selbstverständlich, dass die Bahnkurve 621 auch eine nicht geradlinige Form annehmen
kann und die breite des Bandes ist dann symmetrisch um das Band 60 verteilt.
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Ein
mathematisches Modell (eine Ausführungsform)
für die
Geschwindigkeitssteuerung lässt sich
wie folgt beschreiben:
[xA, xE] beschreiben Steuerintervall innerhalb
dessen die Geschwindigkeit verändert
werden soll.
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ν(x), x ∊ [xA, xE] ist die Steuerfunktion
für die Tischgeschwindigkeit
im Punkt x.
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die Durchschnittsgeschwindigkeit über [x
A, x
E] kann mit der
vorstehenden Formel berechnet werden.
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Es
gilt nun die maximale Geschwindigkeit zu finden, mit der Tisch bzw.
das Substratträgersystem bewegt
werden können.
Die Geschwindigkeit ist von dem Belichtungsmuster abhängig, das
in einem Teilarbeitsfeld geschrieben werden muss.
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Die
Maximierung der Durchschnittsgeschwindigkeit ist durch die obige
Formel bestimmt.
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Ein
Reihe von Nebenbedingungen bestimmen die Geschwindigkeit, mit der
das Substrattägersystem 50 bewegt
werden kann.
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Die
Funktionenklasse für
die Steuerfunktion ν(·) der
Geschwindigkeit ist bestimmt durch:
- • ν ∊ C[xA, xE], 0 ≤ νmin ≤ |ν(x)| ≤ νmax,
x ∊ [xA, xE]:
- • x, x ∊ [xA,
xE] ⇒ |ν(x) – ν(x)| ≤ f(|x – x|),
f monoton wachsend, f(0) = 0,
z. B.,
Δv ist die
maximale Geschwindigkeitsänderung
auf Intervallen der Größe Δx (beides
fest vorgegeben);
Eine weitere Bedingungen aus der Motorsteuerung sind
hinreichend glatte Übergänge.
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Durchführbarkeits-
und Randbedingungen eines Systems mit variabler Geschwindigkeitssteuerung:
| hA | ist die Position des Hauptablenksystem 23 zum
Zeitpunkt des Belichtungsbeginns auf dem Substrat 6; |
| t(x), x ∊ [xA, xE] | ist der Zeitbedarf für alle Belichtungsaufgaben,
die erledigt sein müssen, wenn
die Tischposition x die Position hA des
Hauptablenksystems 23 passiert, damit die Belichtung durchführbar bleibt
(d. h. damit alle notwendigen Aufgaben erledigt sein werden, bevor x
den Positionierbereich des Hauptablenksystems 35a verlässt); |
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Damit
ergibt sich die Durchführbarkeitsbedingung:
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Als
Besonderheiten ergeben sich:
- – t(·) ist
von ν(·) abhängig (zusätzliche
Reset des Strahlsystems, Wartezeiten am rechten Anschlag 62 des
Hauptablenksystems 23)
- – t(·) kann
nur geschätzt
werden (Komplexität
der realen Zusammenhänge,
nicht-deterministische Einflüsse)
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Eine
Möglichkeit
der Lösung
hierzu ist, dass zunächst
ein spezialisiertes Zielmodell festgelegt wird. Dann wird eine Anfangslösung für eine geeignete
Modell-Relaxaktion ermittelt. Es erfolgen Iterationen mit der Belichtungssimulation,
bis eine zulässige Lösung für das Zielmodell
erreicht ist.
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Modell-Relaxaktionen
zur Bestimmung von Anfangslösungen
kann man z. B. erhalten durch die Zulassung allgemeinerer Steuerfunktionen
v gegenüber
dem Zielmodell (z. B. eine größere Anzahl und/oder
freier positionierbare Stützstellen).
Ebenso ist die Verwendung lokaler Grenzgeschwindigkeiten an Stelle
von globalen Durchführbarkeitsbedingungen
möglich.
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Im
Folgenden sind Ausführungsbeispiele
der Geschwindigkeitssteuerung nach diesem Modell beschrieben. Die
Gegebenheiten in der Motorsteuerung dieser Anlage ermöglichen
nicht die kontinuierliche Realisierung (etwa im Sinne einer Kurvenverfolgung) eines
geeignet berechneten Geschwindigkeitsprofils, sondern gestatten
lediglich die Vorgabe einer gewissen Anzahl diskreter Stützstellen
xA = x0 < x1 < ... < xn =
xE, an denen jeweils eine bestimmte Geschwindigkeit
erreicht sein soll. Dies soll jedoch nicht als eine Beschränkung der
Erfindung aufgefasst werden. Wenn die Motorsteuerung es erlaubt,
kann auch eine kontinuierliche Realisierung, d. h. eine kontinuierliche Geschwindigkeitssteuerung
ermöglicht
werden. Der zwischen diesen Umschaltpunkten tatsächlich realisierte Geschwindigkeitsverlauf
kann nicht verändert werden,
ist jedoch mit ausreichender Genauigkeit berechenbar, monoton wachsend
bzw. fallend bei Geschwindigkeitserhöhung bzw. -Verringerung von
einer Stützstelle
zur nächsten,
sowie weiterhin gleichmäßig monoton
abhängig
von den Geschwindigkeitswerten in den Stützstellen (d. h. ν(xi-1) ≤ ν(xi-1) ^ ν(xi) ≤ ν(xi) ⇒ ν(x) ≤ ν(x) ∀x ∊ [xi-1,
xi], analog für ”≥”).
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Beispiel
1 betrifft die Steuerung mit konstanter Geschwindigkeit, die sich
in das Modell einordnet.
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Beispiel 1 (konstante Geschwindigkeit)
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Modell:
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Relaxaktion:
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Die
im dichtesten Teilarbeitsfeld 6a (hohe Belichtungsmusterdichte)
mögliche
Maximalgeschwindigkeit bei Beachtung der technischen Randbedingungen
(maximale Tischgeschwindigkeit, erlaubte Höchstanzahl von zusätzlichen
Resets der Strahlnachführung,
...) ergibt die Anfangslösung.
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Iteration:
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Simulation
des Belichtungsablaufes. Die Anfangsgeschwindigkeit wird so lange
verringert, bis die Belichtung durchführbar wird.
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Beispiel 2 (vorgegebene Stützstellen)
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Modell:
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Es
seien die Stützstellen
xA = x0 < x1 < ... < xn =
xE gegeben, sämtlich auf Teilarbeitsfeld-Spalten-Grenzen
gelegen. Diese können
z. B. in einem Vorbereitungsschritt aufgrund eines vorgegebenen Stützstellen-Mindestabstandes Δx derart
bestimmt worden sein, dass Δx ≤ xi – xi-1, i = 1, ..., n, gilt. Die maximal zulässige Geschwindigkeitsänderung
auf allen so definierten Abschnitten Ai =
[xi-1, xi] mit der
Abschnittslänge
ai = xi – xi-1, i = 1,... n, sei einheitlich gleich Δν.
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Relaxaktion:
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Es
wird die Maximalgeschwindigkeit im dichtesten Teilarbeitsfeld
6a des
jeweiligen Abschnittes bestimmt (wie in Beispiel 1). Die sich ergebenden Geschwindigkeiten
seien ν
1, ..., ν
n. Setzt man dann w
i = ν(x
i), i = 0, ..., n, so ergibt sich das folgende
lineare Optimierungsproblem zur Bestimmung einer stückweise
monotonen Anfangslösung ν(·):
unter den Nebenbedingungen
- α)
wi ≤ νi,
wi-1 ≤ νi,
i = 1, ..., n,
- β) |wi-1 – wi| ≤ Δν, i = 1,
..., n.
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Bemerkenswert
ist, dass die konkrete Gestalt von ν(·) zwischen den Stützstellen – soweit
die weiter oben genannten Monotonieeigenschaften erfüllt sind – keinen
Einfluss auf die Optimalität
einer Lösung
dieses Problems hat.
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Iteration:
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Simulation
des Belichtungsablaufes. Wenn die Belichtung als nicht durchführbar erkannt
wird, wird die Geschwindigkeit im aktuellen oder einem vorangegangenen
Abschnitt verringert, Zulässigkeit
im Sinne der Relaxaktion hergestellt und eine erneute Iteration
durchgeführt.
Kriterien für
die Auswahl des Abschnittes für
die Geschwindigkeitsverringerung ergeben sich aus dem Verlauf der
Iteration.
