Der
für die
Erwärmung
von Glasschmelze erforderliche Energieeinsatz ist sehr hoch, was
auf die hohe Schmelztemperatur von Glas zurückzuführen ist. Aufgabe der Erfindung
ist es, eine im Sinne des Energieverbrauchs optimale Steuerungsstrategie
bei gleichzeitiger Formulierung von Bedingungen zur Glasqualität (z.B. Temperaturgradientenbedingung)
und der technologischen Rahmenbedingungen zu entwickeln, um den
Gas- und/oder Elektroenergieverbrauch zu verringern.
Zur
Lösung
dieser Aufgabe muss vor allem ein mathematisches bzw. Simulationsmodell
des zu untersuchenden Prozesses aufgestellt werden, der ein System
mit örtlich
verteilten Parametern darstellt und demgemäß durch partielle Differentialgleichungen
beschrieben werden muss. Auf Grund des mathematischen Modells und
der in jüngster
Vergangenheit entwickelten regelungstechnischen Verfahren, wie der
Theorie der flachen Systeme, muss ein Steuerungsgesetz entwickelt
werden, das eine Abhängigkeit
der Stellgrößen (Intensität von Gas- und/oder Elektroenergiezufuhr)
sowie der Temperatursollwerte für
alle Erwärmungszonen
von der durch technologische Forderungen ausgelegten Ein-/Ausgangstemperatur
(Führungsgrößen) und
Glasschmelze-geschwindigkeit in einem Glas-Wanneofen oder -Vorherd
aufweist. Danach soll das Steuerungsgesetz der mathematisch-numerischen
Optimierung unterworfen werden.
Vorteilhafte
Ausgestaltungen der Erfindung ergeben sich aus den sich an den Hauptanspruch
anschließenden
Unteransprüchen.
In
der vorliegenden Erfindung wird die Steuerung der Glasschmelzetemperatur
für alle
Erwärmungszonen
im Gegensatz zu den oben erwähnten
Patentschriften nicht nur für
ein bestimmtes Produktionssortiment bzw. die im vornherein vorgegebene
Ausgangstemperatur sondern auch für das Übergangsverhalten bei einem
Wechsel des Produktionssortimentes entwickelt, bei dem die Glasschmelzegeschwindigkeit-
und Temperaturumstellung mehrere Stunden in Anspruch nimmt und wo
neben der Gas- und/oder Elektroenergieeinsparung auch die Zeitoptimierung
von großer
Bedeutung ist.
Weitere
Einzelheiten und Vorteile der Erfindung werden anhand eines in der
Zeichnung dargestellten Ausführungsbeispiels
erläutert.
Als typischer Vertreter für
einen Glas-Wanneofen oder Vorherd der eingangs genannten Gattung
wird die Erfindung hier anhand eines in mehrere Erwärmungszonen
aufgeteilten Glasspeisers (Vorherd) beschrieben.
Es
zeigen:
1:
Skizze der Glaskonditionierung in einer Glashütte
2:
Prinzipielle Struktur eines Glasspeisers
3:
Beispielhafte Zeitverläufe
der Temperatur im Glasspeiser
In 1 ist
die Skizze der Glaskonditionierung in einer Glashütte dargestellt.
Zwecks Glaskonditionierung verfügt
eine solche Glashütte über einen
Glas-Wanneofen 1, zu der Glasschrot 4 eingeführt wird,
Glasspeiser 2 mit Erwärmungszonen
und Formeinrichtungen 3.
2 zeigt
die prinzipielle Struktur eines Glasspeisers, gemäß deren
das mathematische Modell auf Grund der durch Randbedingungen
5 (Temperaturen
an Rändern
einer Zone) verkoppelten partiellen Differentialgleichungen entwickelt
wird. Die Wärmeleitung
in einer Zone des Glasspeisers kann beispielsweise durch die folgende
eindimensionale partielle Differentialgleichung als Approximation
beschrieben werden. Alternativ können
auch 2- oder 3-dimensionale
partielle Differentialgleichungen als Ansatz verwendet werden. Dadurch wird
die Herleitung umfangreicher. Daher soll in der Beschreibung die
1-dimensionale partielle Differentialgleichung als Beispiel herangezogen
werden.
- θ
- Temperatur von Glas
- t
- Zeit
- l
- Länge einer Zone
- ν
- Glasschmelzegeschwindigkeit
- ρ
- Glasdichte
- C
- spezifische Wärmekapazität von Glas
- λ
- Wärmeleitfähigkeit von Glas
- SΣ
- Wärmezuführung/Wärmeverluste
Weil
die so genannte Peclet-Zah1 in dem zu untersuchenden Prozess Pe
= Cρν/λl‣ 1
ist, kann der Diffusionsterm vernachlässigt werden. Demzufolge bekommt
man die folgende partielle Differentialgleichung
wo die
Funktion S(t) = S
Σ(t)/Cρ für die spezifische Wärmezuführung/Wärmeverlust
steht. Die Randbedingung wird durch θ(0,t) = u(t), t ≥ 0 vorgegeben.
Die Anfangsbedingung kann wie folgt eingeführt werden.
Zwecks
der Temperatursteuerung in einer Zone des Glasspeisers muss eine
so genannte Vorsteuerung entwickelt werden, die eine Abhängigkeit
der Stellgrößen (Intensität von Gas- und/oder Elektroenergiezufuhr)
von den Führungsgrößen für die Ein-/Ausgangstemperatur
5 und Glasschmelzegeschwindigkeit 6 darstellen muss. Diese Aufgabe
lässt sich
auf Basis der Theorie der flachen Systeme lösen, zu deren auch, wie es
unten gezeigt wird, das den Erwärmungsprozess
beschreibende mathematische Modell gehört. Um die flachheitsbasierten
Verfahren für
den Entwurf der Vorsteuerung verwenden zu können, hat man die durch partielle
Differentialgleichungen beschriebene Strecke zu linearisieren. Demzufolge
muß der
stationäre
Zustand berechnet werden. Danach wird um diese Referenztrajektorie
bzgl. der Zeit linearisiert. Hierzu werden Abweichungen von diesem
stationären
Zustand eingeführt. θ(x,t)
= θS(x) + Δθ(x,t) ν(t)
= νs + Δν(t) s(x,t) = ss(x) + ΔS(x,t)
Der
nichtlineare Term bzgl. der Zeit in der PDGL (1) ist dann wie folgt
zu linearisieren.
Die
PDGL (1) nimmt in diesem Fall die folgende Form an.
Weiter
wird das für
Abweichungen stehende Symbol Δ ausgelassen,
alle Variablen sind wie früher
als Abweichungen vom statischen Zustand zu verstehen. Die linearisierte
Gleichung (3) kann im Laplacebereich durch die folgende Gleichung
beschrieben werden.
Die
Randbedingung ist hier von der Form:
Die
Gleichung (4) ist eine gewöhnliche
inhomogene Differentialgleichung (DGL) bezüglich der Raumkoordinate x
mit der Laplace-Variablen s als Parameter. Die Lösung für diese Differentialgleichung
wird in der folgenden Form gesucht:
wo θ ^
h (x,
s) für
eine allgemeine Lösung
des homogenen Teils der DGL (4) steht und θ ^
i (x,
s) für
eine partielle Lösung
der inhomogenen DGL (4) steht. Man kann zeigen, dass beide Teile
der allgemeinen Lösung
der DGL (4) durch die folgenden Ausdrücke beschrieben werden.
wo C eine von der Randbedingung
abhängige
Konstante ist. Dementsprechend erhält man für die Lösung des Randwertproblems (1)–(2):
Mann
kann einen flachen Ausgang (Temperatur am Ende einer Zone) einführen.
Demgemäß kann die
Lösung
des Randwertproblems nach der Quellfunktion aufgelöst werden.
Um
den Ausdruck (6) in den Zeitbereich transformieren zu können, muss
(6) in eine Potenzreihe entwickelt werden. Dafür werden einige Operationen
(Multiplikation/Dividierung) mit Potenzreihen eingeführt. Es seien
zwei Potenzreihen
vorgegeben. Man müsse eine
Potenzreihe C(s) finden, die ein Quotient von Potenzreihen A(s)
und B(s) sei. Man betrachte das Produkt von den Potenzreihen B(s)
und C(s)
Nach
dem Koeffizientenvergleich ergibt sich
Auf
solche Weise kann man eine Formel für ein allgemeines Glied des
Quotienten von zwei beliebigen Potenzreihen ermitteln. Jetzt wird
es möglich,
diejenigen Terme in (6) in Potenzreihen zu entwickeln, welche folgenden
Ausdrücken ähnlich sind.
Zwei
komplexwertige Funktionen auf der linken Seite von (7) und (8) haben
eine unendliche Anzahl von einfachen Polen auf Punkten z
k = 2πkj,
k‣‣. Es bedeutet, dass zwei erhaltene Laurentreihen
auf der rechten Seite von (7) und (8) in der Umgebung des Punktes
z = 0 mit dem Konvergenzradius R = 2‣ verwendet werden können. Die
Konvergenzbedingung für
diese Reihen führt
zu einer Restriktion in der Wahl von Funktionen im Zeitbereich (z.B.
für die
den flachen Ausgang beschreibende Funktion). Es sei ⨍(t): ‣‣‣ eine
C
‣-Funktion. Man betrachte die
Reihen in (7)–(8)
als so genannte operationale Reihen mit s
i‣ ♦ d
i/dt
i, z = –(1/ν
s)s.
Nimmt eine man eine verschwindende Anfangsbedingung ⨍(0)
= 0 an, bekommt man die Bedingung für die Wahl der Funktion ⨍(t):
Das
bedeutet, dass die Funktion ⨍(t)
zu der Klasse von so genannten Gevrey-Funktionen ❚‣ gehören muss.
Man kann auch zeigen, dass (9) der folgenden Bedingung äquivalent
ist.
Aufgrund
der Reihenentwicklungen (7) und (8) kann man eine Darstellung in
der Form von Potenzreihen für
die Quellfunktion (6) bekommen. Wenn man annimmt dann kann man s
i gegen d
i/dt
i für
alle i ≥ 0
ersetzen. In diesem Fall nimmt die Quellfunktion im Zeitbereich
die folgende Form an
Simulationen
zeigen, dass es in der Regel genügt,
i = 5 für
die höchste
Ordnung der Ableitung in der Reihenentwicklung in (11) anzunehmen.
Auf solche Weise hängt
die Quellfunktion von der Temperatur am Ende einer Zone y(t) und
deren Ableitungen ab. Das weist nach, dass y(t) als ein flacher
Ausgang betrachtet werden kann. Der Ausdruck (11) stellt eine Vorsteuerung
für eine
Zone. Dabei werden alle Zonen durch denselben Ausdruck (11) beschrieben
und durch Randbedingungen verkoppelt. Dementsprechend legt die Vorsteuerung
für den
ganzen Glasspeiser eine Abhängigkeit
von Quellfunktionen für
alle Zonen(Stellgrößen) von den
Temperaturen am Anfang/Ende des Glasspeisers und der von einem Produktionssortiment
abhängigen Glasschmelzegeschwindigkeit
fest. Das Integral in (11) kann relativ einfach ermittelt werden,
wenn der Temperaturgradient für
den statischen Zustand θ'sx(x)
im voraus berechnet worden ist. Die Ermittlung der Temperaturen
in allen Zonen für
den statischen Zustand kann als eine Optimierungsaufgabe betrachtet
werden.
Das
Randwertproblem für
den statischen Zustand wird durch die folgende Differentialgleichung
mit einer Randbedingung (Temperatur am linken Rand) vorgegeben.
Die
Lösung
dieses Randwertproblems (12) und (13) nimmt offensichtlich die folgende
Form an.
Wenn
man einen den Flachheitsbedingungen genügenden Ausgang ys ‣ θs(l) einführt,
kann (14) als folgender Ausdruck überschrieben werden.
Die
Quellfunktion (14) kann wie folgt –Ss – +
Ss + separiert werden,
wo Ss – spezifische (pro 1
m2 und 1 s) Wärmeverluste sind und Ss + spezifische (pro
1 m2 und 1 s) Wärme von Gasbrennern und/oder
Elektroden (Stellgröße). Jede
Zone kann durch die folgende Gleichung beschrieben werden.
Als
Bedingung für
Koppelung von allen N Zonen gilt ui =
yi+1, i = 1,N – 1.
Eine
den statischen Zustand beschreibende optimale Lösung kann als die Lösung für das folgende System
von linearen algebraischen Gleichungen erhalten werden.
Man
kann zeigen, dass die Determinante der Systemmatrix die folgende
Gestalt hat.
Das
heißt
die Gleichungssystem hat nur eine einzelne Lösung, die einen Vektor von
optimalen Temperaturgrößen an den
Rändern
von allen Zonen des Vorherdes für
den statischen Zustand darstellt.
Die
Optimierungsaufgabe für
das Übergangsverhalten
bei einem Wechsel des Produktionssortimentes spielt eine ebenso
große
Rolle wie die Optimierung des statischen Zustandes. Dabei wird zusätzlich die Zeitoptimierung
des Übergangsverhaltens
berücksichtigt,
um ein schnelleres Erreichen der statischen Produktion zu erzielen.
Die Optimierungsaufgabe für
eine Zone kann wie folgt definiert werden.
Hier
steht y(t) für
die Ausgangstemperatur einer Zone (Führungsgröße), θdes steht
für einen
gewünschten
Sollwert der Ausgangstemperatur einer Zone. Gleichzeitig muss y(t)
die Bedingung (9) oder (10) zur Gewährleistung der Reihenkonvergenz
erfüllen.
Demzufolge kann die Funktion y(t) wie folgt ausgewählt werden. y(t) = θdesΦ(0)(t) + P(t,γ)Φ(1)(t) (19)
Hier
ist 0 ≤ Φ(t) ≤ 1 auch eine
Gevrey-Funktion, die denselben Bedingungen (9) oder (10) genügen muss,
P (t,
y) ist eine Funktion,
die von einem Vektor der freien Parameter
y = (γ
0, γ
1, ..., γ
R-1)
T,R ∊ N
linear abhängt:
{Bi(x)} R–1 / i=1 ist hier ein System der linear unabhängigen Funktionen.
Demzufolge gewährleistet
eine solche Auswahl (19) für
die Führungsgröße y(t),
dass die Anfangs- und Endbedingungen (16) und (17) für jeden beliebigen
Vektor γ erfüllt werden. Die k-te Ableitung
der Funktion y(t) kann wie folgt aufgeschrieben werden.
Verwendend
y(t) und deren Ableitungen in (11) kann die Optimierungsaufgabe
für eine
Zone auf folgende Weise eingeführt
werden.
Das
Integral auf der rechten Seite (20) muss diskretisiert und durch
die Methode der kleinsten Quadrate bezüglich des Vektors γ minimiert
werden. Ebenmäßig wird
die Optimierungsaufgabe für
das Übergangsverhalten
im ganzen Glasspeiser Zone für
Zone sukzessive gelöst.
Die Optimierungsaufgabe für
das Übergangsverhalten
kann mit einem anderen Gütemaß (z.B.
Zeitoptimierung) formuliert und auf dieselbe Weise gelöst werden.
3 zeigt
beispielhafte Ergebnisse (am Bespiel einer Zone mit der Länge 1 m)
für Zeitverläufe der Eingangstemperatur
u(t), Ausgangstemperatur (Führungsgröße) y(t),
Glasschmelzegeschwindigkeit ν(t), durch
die Vorsteuerung ermittelten Stellgröße S+(t)
und Temperaturverteilung im Glasspeiser für alle 0,2 m.
wo C eine von der Randbedingung abhängige Konstante ist. Dementsprechend erhält man für die Lösung des Randwertproblems (1)–(2):
