DE10164462A1

DE10164462A1 - CORDIC-Einheit

Info

Publication number: DE10164462A1
Application number: DE10164462A
Authority: DE
Inventors: Koushik Maharatna; Eckhard Grass; Banerjee Swapna; Dhar Anindya Sundar
Original assignee: IHP GmbH - INNOVATIONS FOR HIGH PERFORMANCE MICROELECTRONICS/ INSTITUT fur INNOVATIVE MIKROELEKTRONIK GmbH; IHP GmbH
Current assignee: IHP GmbH
Priority date: 2001-12-20
Filing date: 2001-12-20
Publication date: 2003-07-10
Anticipated expiration: 2021-12-21
Also published as: WO2003054689A2; US7606852B2; WO2003054689A3; US20060059215A1; DE10164462B4

Abstract

Die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit zur iterativen Approximation einer Vektordrehung um einen Drehwinkel THETA durch eine Anzahl von Elementardrehungen um Elementarwinkel alpha¶i¶ umfasst Elementar-Rotationsstufen, jeweils zum Duchführen einer Elementardrehung um einen Elementarwinkel alpha¶i¶ als einem Iterationsschritt der iterativen Approximation. Nach einer solchen Elementardrehung verbleibt ein Restwinkel, um den noch zu drehen ist. Die Elementar-Rotationsstufen der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit sind zum Drehen um Elementarwinkel alpha¶i¶ ausgelegt, die durch Zweierpotenzen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten gegeben sind. Außerdem umfasst die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit eine Auslöseeinrichtung zum Auslösen der Elementardrehung, die dazu ausgestaltet ist, vor jedem Iterationsschritt den Restwinkel mit mindestens einem der Elementarwinkel zu vergleichen und solche Elementar-Rotationsstufen auszulassen, deren Elementarwinkel größer als der Restwinkel sind. DOLLAR A Durch die erfindungsgemäße Ausgestaltung der CORDIC-Einheit können im Vergleich mit konventionellen CORDIC-Einheiten Prozessschritte ausgelassen werden. Damit verringert sich die Aktivität der Gesamtschaltung und somit deren Energieverbrauch.

Description

Die Erfindung betrifft eine Einheit zum Durchführen eines Co-Ordinate Rotation Digital Computer Algorithmus, kurz CORDIC-Einheit, einen Vorprozessor für eine CORDIC-Einheit sowie eine CORDIC-Einrichtung, die eine erfindungsgemäße CORDIC-Einheit und eine erfindungsgemäße Vorverarbeitungseinheit umfasst.
CORDIC-Einheiten finden beispielsweise in Synchronisiereinrichtungen von Modems für die Standards IEEE 802.11(a) und Hyperlan/2 Anwendung. In solchen Synchronisiereinrichtungen sind On-line-Berechnungen der Arcustangensfunktion sowie komplexe Multiplikationen von Daten unter Verwendung der Sinus- sowie der Cosinusfunktion nötig.
Die Funktionsweise von CORDIC-Einheiten beruht auf dem CORDIC- Algorithmus. Der CORDIC-Algorithmus ist ein Algorithmus zum Effizienten berechnen verschiedener transzendentaler und geometrische Funktionen. Beispiele solcher Funktionen, die direkt mittels des CORDIC-Algorithmus berechnet werden können, sind die geometrische und arithmetische Multiplikation, die Divisionen, die Sinus- und Cosinusfunktion, die Wurzelfunktion, der inverse Tangens, der inverse hyperbolische Tangens, der hyperbolische Sinus und der hyperbolischer Cosinus. Diese Grundfunktionen können dazu Verwendung finden, weitere Funktionen, beispielsweise Logarithmen zu berechnen. Ein wesentliches Merkmal des konventionellen CORDIC-Algorithmus ist es, dass er als ein rekursives Verfahren implementiert werden kann, in dem eine Drehung durch eine Reihe von Vorwärts- und Rückwärtsdrehungen um fest vorgegebene Elementarwinkel approximiert wird. Diese Vorwärts- und Rückwärzdrehungen, im folgenden kurz Elementardrehungen genannt, lassen sich durch Addier-, Subtahier-, Schiebe- und Tabellenoperationen realisieren. Somit kann der CORDIC-Algorithmus in Form einer CORDIC-Einheit, beispielsweise als digitaler CORDIC-Prozessor, realisiert werden, die lediglich Addierer/Subtrahierer, Schieber und Nachschlagetabellen, aber beispielsweise keinen echten digitalen Multiplizierer, zu umfassen braucht.
CORDIC-Einheiten berechnen aus drei Eingangswerten x0, y0 und z0 drei Ausgangswerte x1, y1 und z1, wobei x0 und y0 die Koordinaten des zu drehenden Vektors sind und 20 der Drehwinkel ist, um den die Drehung erfolgt, die durch den CORDIC-Algorithmus approximiert werden soll. Der CORDIC-Algorithmus kann entweder derart ausgeführt werden, dass y1 gegen Null strebt (Vektoring- Modus) oder dass z1 gegen Null strebt (Rotationsmodus). Jeder dieser beiden Modi kann in Polarkoordinaten, hyperbolischen Koordinaten oder linearen Koordinaten verwendet werden.
Im konventionellen CORDIC-Algorithmus ist der Winkelbereich der Drehwinkel, die approximiert werden können, auf einen bestimmten Bereich, den Konvergenzbereich, eingeschränkt. Dieser Konvergenzbereich ist im konventionellen CORDIC-Algorithmus durch das Winkelintervall [-99,9°, 99,9°] gegeben. Damit y1 oder z1 gegen Null streben kann, muss |tan^-1(y0/x0)| bzw. |z0| im Konvergenzbereich liegen, also kleiner oder gleich 99,9° sein.
Außerdem ist bei einer Drehung um einen Elementarwinkel im konventionellen CORDIC-Algorithmus die Länge des gedrehten Vektors nicht konstant. Für jede Elementardrehung entsteht somit ein Faktor, um den sich die Länge des Vektors ändert. In den Ausgangswerten x1 und y1 muss diese Längenänderung durch einen Skalierungsfaktor berücksichtigt werden. Der Skalierungsfaktor ist eine Konstante, wenn der CORDIC-Prozess immer unter Verwendung aller implementierten Elementardrehungen durchgeführt wird.
Des Weiteren ist der CORDIC-Algorithmus aufgrund seiner iterativen Natur in der Ausführung langsam.
Um den beschränkten Konvergenzbereich des CORDIC-Algorithmus auszuweiten, wurde in J. S. Walther, "A Unified Algorithm for Elementary Funktions", Proc. Joint Spring Comput. Conf., Band 36, Seiten 379-385, Juli 1971, vorgeschlagen, mathematische Identitäten dazu zu verwenden, die Eingangswerte x0, y0 und 20 einer Vorverarbeitung zu unterziehen. Diese Vorgehensweise ist als "Argument-Reduktions-Technik" bekannt. Zwar helfen solche mathematische Identitäten tatsächlich beim Überwinden des begrenzten Konvergenzbereiches, jedoch sind sie für Hardwareanwendungen aufgrund der nötigen Bearbeitungszeit und Aufwandes unhandlich.
Ein weiterer Ansatz, den beschränkten Konvergenzbereich zu überwinden, ist beispielsweise in J. M. Delosme, "VLSI Implementation of Rotations in Pseudo- Euclidean Spaces", Proc. ICASSP, Band 2, Seiten 927-930 beschrieben. Der Ansatz erfordert das Wiederholen bestimmter Iterationsschritte. Abhängig davon, wie die zu wiederholenden Iterationsschritte bestimmt werden, können viele solcher zu wiederholenden Iterationsschritte nötig sein, um ein Ergebnis mit der gewünschten Genauigkeit zu erhalten. Mit der Anzahl der zu wiederholenden Iterationsschritte steigt aber auch die dazu nötige Verarbeitungszeit an. Außerdem ist in diesem Ansatz der Skalierungsfaktor keine Konstante, da die Anzahl der Iterationsschritte und damit die Anzahl der durchzuführenden Elementardrehungen nicht konstant ist.
Es ist daher eine Aufgabe der Erfindung, eine gegenüber konventionellen CORDIC-Einheiten verbesserte CORDIC-Einheit zur Verfügung zu stellen. Eine weitere Aufgabe der Erfindung ist es, einen Vorverarbeitungseinheit für eine CORDIC- Einheit zur Verfügung zu stellen, mit der sich der Winkelbereich für den von der CORDIC-Einheit tatsächlich zu berechnenden Drehwinkel reduzieren lässt.
Die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit zur iterativen Approximation einer Vektordrehung um einen Drehwinkel θ durch eine Anzahl von Elementardrehungen um Elementarwinkel α_i umfasst Elementar-Rotationsstufen, jeweils zum Durchführen einer Elementardrehung um einen Elementarwinkel α_i als einem Iterationsschritt der iterativen Approximation. Nach einer solchen Elementardrehung verbleibt ein Restwinkel, um den noch zu drehen ist. Die Elementar- Rotationsstufen der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit sind zum Drehen um Elementarwinkel α_i ausgelegt, die durch Zweierpotenzen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten gegeben sind. Außerdem umfasst die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit eine Auslöseeinrichtung zum Auslösen der Elementardrehungen, die dazu ausgestaltet ist, vor jedem Iterationsschritt den Restwinkel mit mindestens einem der Elementarwinkel zu vergleichen und solche Elementar-Rotationsstufen auszulassen, deren Elementarwinkel größer als der Restwinkel sind.
Anstatt einer Anzahl von Elementar-Rotationsstufen kann auch eine einzige programmierbare Elementar-Rotationsstufe vorhanden sein. Programmierbar bedeutet hierbei, das der Elementar-Rotationsstufe ein Elementardrehwinkel eingegeben werden kann, um den sie die Elementardrehung ausführt.
Durch die erfindungsgemäße Ausgestaltung der CORDIC-Einheit können im Vergleich mit konventionellen CORDIC-Einheiten Prozessschritte ausgelassen werden. Damit verringert sich die Aktivität der Gesamtschaltung und somit deren Energieverbrauch.
In einer weiteren Ausgestaltung umfasst die Auslöseeinrichtung der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit mindestens einen ersten Vergleicher, eine erste Berechnungseinheit zum Berechnen der Elementarwinkel und eine zweite Berechnungseinheit zum Berechnen des Restwinkels, um den noch zu drehen ist, nachdem eine Elementardrehung um einen aktuellen Elementarwinkel durchgeführt worden ist. Der erste Vergleicher ist dazu ausgelegt, entweder nach einer Elementardrehung den Restwinkel, um den noch zu drehen ist, zu empfangen und zu prüfen, ob der Restwinkel größer als oder gleich dem aktuellen Elementarwinkel ist, und, wenn dies der Fall ist, ein Berechnungssignal an die dem aktuellen Elementarwinkel entsprechende Elementar-Rotationsstufe zum erneuten Durchführen einer Elementardrehung um den aktuellen Elementarwinkel abzugeben, oder nach der Berechnung eines neuen Elementarwinkels den neuen Elementarwinkel zu empfangen und zu prüfen, ob der Restwinkel größer als oder gleich dem neuen Elementarwinkel ist, und, wenn dies der Fall ist, ein Berechnungssignal an die dem neuen Elementarwinkel entsprechende Elementar- Rotationsstufe zum Durchführen einer Elementardrehung um den neuen Elementarwinkel abzugeben und sonst ein Berechnungssignal an die erste Berechnungseinheit auszusenden, das die Berechnung eines neuen Elementarwinkels mit einem neuen, um eins verringerten Exponenten, d. h. einem betragsmäßig um eins erhöhten neuen Exponenten, auslöst.
Die Berechnungseinheit zum Berechnen des Restwinkels ist vorteilhafterweise in die Elementar-Rotationsstufen integriert.
Mit dieser Ausgestaltung der CORDIC-Einheit kann in Abhängigkeit vom Drehwinkel bestimmt werden, welche Iterationsschritte ausgelassen werden sollen.
Vorteilhafterweise kann die CORDIC-Einheit ein zweiten Vergleicher umfassen, der dazu ausgelegt ist, nach jeder Elementardrehung zu prüfen, ob der nach der Elementardrehung verbleibende Restwinkel kleiner ist als ein vorgegebener Referenzwert, und die iterative Approximation abzuschließen, wenn dies der Fall ist. Der Referenzwert stellt beispielsweise die maximale Abweichung des Restwinkels von Null dar, die am Ende der Approximation zulässig sein soll. Er kann z. B. von der notwendigen Genauigkeit abhängen, die weitere Anwendungen an die Approximation stellen. Durch das Abschließen der iterativen Approximation, sobald der Referenzwert erreicht oder unterschritten ist, lassen sich weitere, unnötige Elementardrehungen vermeiden.
In einer alternativen Ausgestaltung der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit zur iterativen Approximation einer Vektordrehung um einen Drehwinkel θ durch eine Anzahl von Elementardrehungen um Elementarwinkel α_i, weist die CORDIC- Einheit eine Wortlänge von b Bit auf. Außerdem umfasst sie Elementar- Rotationsstufen, die zur Drehung um Elementarwinkel ausgelegt sind, welche durch Zweierpotenzen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten -i gegeben sind. Die Elementarwinkel lassen sich dann durch die Werte α_i = 2^-i darstellen. Der betragsmäßig minimale Exponent i, und damit der maximale Elementarwinkel, ist durch eine Zahl p gegeben, welche die kleinste ganze Zahl ist, die bei einer Wortlänge von b Bit für i in die Summe

eingesetzt werden kann, so dass der Wert der Summe die Maschinen-Null ergibt. Die Maschinen-Null sind alle diejenigen binären Zahlen, deren erste b Bit nur Nullen enthalten. Bei einer Wortlänge von b Bit lassen sich derartige binäre Zahlen nicht von der Null unterscheiden. Der betragsmäßig maximale Exponent, und damit der minimale Elementarwinkel, ist durch b - 1 gegeben.
Eine solche Wahl der Elementarwinkel führt dazu, dass kein Skalierungsfaktor für die CORDIC-Einheit nötig ist. Die alternative Ausgestaltung der CORDIC-Einheit kann auch mit der zuvor beschriebenen Ausgestaltung kombiniert werden.
In einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung ist für jeden Exponenten, der betragsmäßig größer oder gleich p und kleiner oder gleich b - 1 ist, mindestens eine Elementar-Rotationsstufe vorhanden. Insbesondere kann die CORDIC-Einheit mehr als eine Elementar-Rotationsstufe umfassen, die zur Drehung um den maximalen Elementarwinkel ausgelegt ist. Durch das wiederholte Drehen um den maximalen Drehwinkel kann der Winkelbereich erhöht werden, der mit der CORDIC-Einheit erreichbar ist.
In noch einer weiteren Ausgestaltung der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit umfassen alle Elementar-Rotationsstufen, die zur Drehung um Elementarwinkel ausgelegt sind, deren betragsmäßiger Exponent kleiner als (b - 1)/2 ist, vier Schieber, zwei Subtrahierer und zwei Addierer/Subtrahierer und alle anderen Elementar-Rotationsstufen zwei Schieber und zwei Addierer/Subtrahierer.
Erfindungsgemäß wird außerdem eine Vorverarbeitungseinheit zur Verfügung gestellt, die eine Vorverarbeitungsschaltung umfasst, die dazu ausgelegt ist, Drehwinkel zwischen π/8 und 2π Grad in das Intervall zwischen 0 und π/8 zu überführen. Mit einer solchen Vorverarbeitungsschaltung ist es möglich, die CORDIC-Einheit zur Approximation von Drehwinkeln im gesamten Winkelbereich von 360° zu verwenden.
Insbesondere kann die Vorverarbeitungsschaltung dazu ausgestaltet sein, im ersten Quadranten eines Koordinatensystems liegende Drehwinkel in das Intervall zwischen 0 und π/8 zu überführen, indem der Drehwinkel von π/4 subtrahiert wird, wenn er im Intervall zwischen π/8 und π/4 liegt, indem zum Drehwinkel π/4 addiert wird, wenn er im Intervall zwischen π/4 und 3π/8 liegt, oder indem der Drehwinkel von π/2 subtrahiert wird, wenn er im Intervall zwischen π/4 und 3π/8 liegt, und Drehwinkel, die im zweiten bis vierten Quadranten des Koordinatensystems liegen, vorab unter Ausnutzung der Symmetrie der Koordinatenachsen in den ersten Quadranten zu überführen.
Die erfindungsgemäße Vorverarbeitungseinheit kann insbesondere in einer CORDIC-Einrichtung als Vorverarbeitungseinheit für eine erfindungsgemäße CORDIC-Einheit Verwendung finden.
Die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit kann in verschiedenen Modi, insbesondere im "Rotation-Modus" und im "Vectoring-Modus" verwendet werden.
Der Rotation-Modus findet Verwendung, um einen in einem Koordinatensystem durch die Komponenten x0 und y0 dargestellten Vektor um einen Winkel 20 zu drehen, d. h. die Komponenten x, y des gedrehten Vektors zu berechnen. Im Vectoring-Modus wird dagegen der Betrag

des Vektors sowie der Winkel, den der Vektor mit der x-Achse des Koordinatensystems einschließt, berechnet. Im Rotation-Modus wird die Iteration so lange fortgesetzt, bis z einen Wert annimmt, der nahe genug bei Null liegt, um die Anforderung an die Genauigkeit beim Berechnen der Koordinaten des gedrehten Vektors zu erfüllen. Im Vectoring-Modus wird hingegen die Iteration so lange fortgesetzt, bis y einen Wert annimmt, der nahe genug bei Null liegt, um die Anforderung an die Genauigkeit des Ergebnisses für Bertrag und Winkel zu erfüllen.
Weitere Merkmale und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus der nachfolgenden detaillierten Beschreibung eines Ausführungsbeispiels unter Bezugnahme auf die beiliegenden Zeichnungen.
Fig. 1 zeigt eine Elementar-Rotationsstufe, wie sie in einer konventionellen CORDIC-Einheit Verwendung findet.
Fig. 2 zeigt den Aufbau einer Elementar-Rotationsstufe in der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit.
Fig. 3 zeigt die Einteilung eines Koordinatensystems in Domänen, die bei der Vorverarbeitung für den CORDIC-Algorithmus Verwendung finden.
Fig. 4 zeigt die Zuordnung neuer Drehwinkel zu den Domänen im ersten Quadranten eines Koordinatensystems.
Fig. 5 zeigt Flussdiagramm, das einen Verfahrensablauf zum Ausführen des CORDIC-Algorithmus im Rotationsmodus darstellt.
Fig. 6 zeigt ein Blockschaltbild der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit.
Fig. 7 zeigt einen CORDIC-Prozessor, der eine erfindungsgemäße CORDIC-Einheit und eine erfindungsgemäße Vorverarbeitungseinheit umfasst.
Es folgt nun zuerst eine Beschreibung des konventionellen CORDIC-Algorithmus, um das Verständnis der Erfindung zu erleichtern. Die Rotation eines Vektors mit den Koordinaten x0 und y0 kann in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden als

wobei x1 und y1 die Koordinaten des gedrehten Vektors sind und θ der Drehwinkel ist. In der obigen Gleichung ist angenommen worden, dass die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt. Der CORDIC-Algorithmus basiert darauf, dass die Drehung um den Drehwinkel θ durch eine Aneinanderreihung von Elementardrehungen um Elementarwinkel α_i dargestellt werden kann. Ist der CORDIC-Algorithmus in Form einer CORDIC-Einheit mit der Wortlänge b raelisiert, so ist der Drehwinkel θ durch die folgende Formel gegeben:
Der Faktor σ_i kann entweder den Wert 1 oder -1 annehmen, abhängig vom Drehsinn der Elementardrehung. Im konventionellen CORDIC-Algorithmus ist α_i durch die Formel

α_i = tan^-1(2^-i) (3)

gegeben. Wird nun in Gleichung 1 für den Drehwinkel θ die Summe nach Gleichung 2 mit den Elementardrehwinkeln nach Gleichung 3 eingesetzt, so kann die Drehung um den Winkel θ durch die folgenden iterativen Gleichungen dargestellt werden:
Dabei steht 20 für den Drehwinkel θ um den der Vektor mit den Komponenten x0 und y0 gedreht werden sollen. Der Wert des Faktors σ_i ergibt sich aus dem Wert von z_i, dem Restwinkel, um den noch gedreht werden muss. Ist z_i größer oder gleich 0, so nimmt σ_i den Wert -1 an, ist z_i kleiner 0, den Wert +1.
Die Gleichungen 4 und 5 sind die Basisgleichungen des CORDIC-Algorithmus. Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen ist die, dass der als z₀ angegebene Drehwinkel durch Vor- und Zurückdrehen des Vektors um Elementarwinkel α_i an 0 angenähert wird. Es ist zu erkennen, dass die Iterationsgleichungen 4 und 5 lediglich Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen mit Faktoren 2^-i erfordern. Unter dem Gesichtspunkt der Hardwareimplementierung sind zum Implementieren der Iterationsgleichungen daher lediglich Addierer/Subtrahierer und Schieber nötig. Die Schieber realisieren dabei die Multiplikation mit den Faktoren 2^-i, da eine Multiplikation mit einem Faktor 2^-i im Binärsystem nichts anderes ist, als eine Verschiebung der binären Zahl um i Stellen nach rechts. In der konventionellen Implementierung des CORDIC-Algorithmus wird jede Drehung um einen Elementarwinkel α_i daher, wie in Fig. 1 gezeigt, durch zwei Addierer/Subtrahierer 2 und zwei Schieber 4 realisiert.
Ein Nachteil des konventionellen CORDIC-Algorithmus ist jedoch, dass der gedrehte Vektor mit den Komponenten x1 und y1, der das Ergebnis der Iteration mit den Iterationsgleichungen 4 und 5 bestimmt darstellt, mit einem Faktor

skaliert werden muss. Dies lässt sich geometrisch so verstehen, dass der um den Elementarwinkel 2^-i gedrehte Vektor mit den Komponenten x_i+1 und y_i+1 um einen Faktor cos(2^-i) länger ist als der Vektor mit den Komponenten x_i und y_i vor der Elementardrehung. Wenn alle Elementardrehungen von i = 0 bis i = b - 1 durchgeführt werden, ist dieser Faktor lediglich eine Konstante, die vorab bestimmt und gespeichert werden kann. Werden jedoch einige der Elementardrehungen ausgelassen, so ist der Skalierungsfaktor keine Konstante mehr. Vielmehr hängt er davon ab, welche Elementardrehungen ausgelassen sind und welche nicht. Um einen solchen nicht konstanten Skalierungsfaktor zu berücksichtigen, ist eine komplizierte Hardwarestruktur nötig, oder es sind entsprechende Nachverarbeitungszyklen nötig, die den Verarbeitungsaufwand erhöhen.
Nachfolgend wird nun ein erstes Ausführungsbeispiel für die erfindungsgemäße Realisierung des CORDIC-Algorithmus beschrieben. Wie oben beschrieben worden ist, wird im konventionellen CORDIC-Algorithmus der Drehwinkel durch Elementardrehungen sowohl im Uhrzeigersinn als auch im Gegenuhrzeigersinn approximiert. Im Gegensatz dazu wird der Drehwinkel erfindungsgemäß ausschließlich durch Elementardrehungen eines einzigen Drehsinnes approximiert. Das heißt, alle Elementardrehungen werden entweder im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn ausgeführt. Um dies zu ermöglichen, wird sichergestellt, dass keine Drehung erfolgt, auf die eine Drehung im entgegengesetzten Drehsinn erfolgen müsste. Mit anderen Worten, nach jeder Elementardrehung wird der Restwinkel bestimmt, um den noch zu drehen ist und dann dieser Restwinkel mit den Elementarwinkeln verglichen. Elementardrehungen, deren Elementarwinkel größer ist als der verbleibende Restwinkel, werden nicht ausgeführt.
Die Elementarwinkel in der erfindungsgemäßen Implementierung des CORDIC- Algorithmus sind durch die Formel

sin α_i ~ α_i = 2^-i (6)

gegeben. Der Gedanke, der der Erfindung zu Grunde liegt, ist der Folgende:
Die unendliche Summe

konvergiert und hat den Wert 2. Wird aus dieser unendlichen Summe ein spezieller Wert 1/2ⁿ ausgewählt und werden alle Summenglieder bis einschließlich 1/2ⁿ weggelassen, so konvergiert der Rest der Summe gegen 1/2ⁿ.
Durch die Wahl α_i = 2^-i wird die Folge aus Gleichung 2 zu
Dabei ist b die bei der Implementierung des CORDIC-Algorithmus verwendete Wortlänge. Die Summenglieder mit i größer b - 1 entsprechen bei der Wortlänge von b der Maschinen-Null.
Liegt nun ein Restwinkel z_i, der in kommenden Iterationsschritten zu approximieren ist, im Bereich zwischen zwei Elementarwinkeln mit aufeinanderfolgenden Exponenten, also zwischen 2^-k und 2^-(k+1), so können die Elementardrehungen um die Elementarwinkel bis 2^-k, also die Elementarwinkel, die größer als der Restwinkel sind, beim Approximieren ausgelassen werden. Der Restwinkel lässt sich aber durch die Elementarwinkel 2^-i mit i > k noch immer hinreichend genau approximieren, da eine Approximation von Winkeln bis 2^-k möglich ist. Durch das Auslassen von Elementardrehungen mit Elementarwinkel, die größer als der Restwinkel sind, ist es möglich, den zu approximierenden Winkel θ immer nur durch Elementardrehungen in einem einzigen Drehsinn zu approximieren, da Rückdrehungen nicht nötig sind.
Durch das Auslassen von Elementardrehungen lässt sich die Anzahl der auszuführenden Iterationsschritte und somit die Gesamtaktivität der Schaltung, die den CORDIC-Algorithmus realisiert, und damit beispielsweise ihr Energieverbrauch und/oder die Rechendauer verringern. Dieser Vorteil bietet sich bei jeder Art von Implementierung des im Ausführungsbeispiel beschriebenen Verfahrens.
Wie einleitend ausgeführt, bringt das Auslassen von Iterationsschritten im Allgemeinen einen nicht konstanten Skalierungsfaktor mit sich. Durch die geschickte Wahl der Elementarwinkel α_i ist es jedoch möglich, trotz Auslassen von Iterationsschritten einen konstanten Skalierungsfaktor zu erhalten. Im folgenden zweiten Ausführungsbeispiel für die erfindungsgemäße Realisierung des CORDIC- Algorithmus ist der Skalierungsfaktor konstant.
Um einen konstanten Skalierungsfaktor zu erhalten, müssen die Elementarwinkel α_i so klein sein, dass die Beziehung sin α_i ~ α_i hinreichend genau erfüllt ist. Hinreichend genau bedeutet hier, dass α_i klein genug sein muss, damit die Fehler, die dadurch auftreten, dass der sin α_i durch α_i angenähert wird, kleiner sind als die kleinste Zahl, die bei einer gegebenen Wortlänge b der gewählten Implementierung des CORDIC-Algorithmus als binäre Zahl darstellbar ist. Bei einer Wortlänge von 16 Bit führt zum Beispiel eine Verschiebung jeder binären Zahl um 16 Stellen nach rechts zu einer binären Zahl, deren erste 16 Stellen nur noch Nullen enthalten, also zur Maschinen-Null. Aus der Bedingung, dass die Fehler, die dadurch resultieren, dass sin α_i durch α_i angenähert wird, so klein sind, dass sie die Maschinen-Null ergeben, lässt sich der größte Elementarwinkel α_i bestimmen, für den die Näherung in einer Implementierung mit einer Wortlänge von b Bit keine Auswirkungen hat.
Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion können als unendliche Summen dargestellt werden. Diese Summen sind durch die Formeln

gegeben. Wird in diese Formeln α_i = 2^-i eingesetzt, so erhält man
Es zeigt sich, dass in dieser Reihenentwicklung der größte Term, der durch die Näherung sin α_i ~ α_i = 2^-i weggelassen wird, der zweite Term in der Reihenentwicklung des sin ist. Dieser Term kann auch als

dargestellt werden.
Die Bedingung dafür, dass der Fehler beim Annähern des sin α_i durch α_i so klein ist, dass er lediglich die Maschinen-Null ergibt, ist nun die, dass als Exponent i nur solche Werte Verwendung finden, für die die Summe

zur Maschinen-Null wird. Dies ist bei einer Implementierung der erfindungsgemäßen Realisierung des CORDIC-Algorithmus mit einer Wortlänge von 16 Bit bei allen i größer oder gleich 4 der Fall.
Insbesondere ist die Bedingung erfüllt, wenn i größer oder gleich [(b - 2,585)/3] = p ist. Dabei bezeichnet p die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich dem Klammerausdruck ist. Ist der CORDIC-Algorithmus mittels eines Prozessors implementiert, der eine Wortlänge von b Bit aufweist, so verschwindet der Term 2^{- (3i+2,585)} in der Binärdarstellung, wenn [(b - 2,585)/3] größer oder gleich der Wortlänge b des Prozessors ist, da eine Multiplikation mit 2^-b immer eine Verschiebung um b-Stellen nach rechts bedeutet und somit immer zur Maschinen-Null führt. Damit der zweite Term in der Reihenentwicklung des sin wegfällt, muss also 3i + 2,585 größer oder gleich b sein. Alle weiteren Terme sind dann auf jeden Fall die Maschinen-Null, da sie kleiner als 2^-(3i+2,585) sind. Damit ist auf jeden Fall ein minimaler Exponent für die Elementarwinkel α_i = 2^-i bestimmt, der verwendet werden darf, ohne dass bei einer Wortlänge von b Bit durch die Annäherung des sin α_i durch α_i ein Fehler entsteht. Der größte Exponent i ist bei einer Wortlänge von b Bit immer durch b - 1 gegeben, da ein Elementarwinkel 2^-b wiederum zur Maschine Null führt. Bei einer Wortlänge b von 16 Bit ergibt sich für [(b - 2,585)/3] der Wert 4,472 und somit p = 5. Tatsächlich kann, wie oben bereits festgestellt, bei einer Implementierung der erfindungsgemäßen Realisierung des CORDIC- Algorithmus mit einer Wortlänge von 16 Bit als größter Exponent der Wert i = 4 statt dem Wert i = 5 verwendet werden. Zwar wird der Term 2^-(3i+2,585) dann nicht zur Maschinen-Null, jedoch liefern die höheren Terme in Gleichung 14 einen Beitrag zur Gesamtsumme von Gleichung 14 der die Gesamtsumme zur Maschinen- Null werden lässt.
Unter der Voraussetzung, dass der Fehler beim Verwenden von 2^-i statt sin 2^-i zur Maschinen-Null wird, kann nun der sin 2^-i und der cos 2^-i durch 2^-i bzw. 1-2^-i angenähert werden. Werden diese Darstellungen für den sin α_i und den cos α_i in Gleichung 1 eingesetzt, so können die folgenden Iterationsgleichungen abgeleitet werden:
Das Vorzeichen vor dem Term 2-i in Gleichung 16 hängt dabei davon ab, ob der Winkel z0, um den gedreht werden soll, positiv oder negativ ist. Als Skalierungsfaktor erhält man den Wert
Der Summand 2^-(4i+2) ergibt bei einer Wortlänge von mehr als 4 Bit für alle Elementarwinkel, die zum Approximieren des Drehwinkels verwendet werden, die Maschinen-Null. Das Eliminieren des Skalierungsterms ist ein wichtiger Schritt, da er nicht nur eine spezielle Post- Prozessing-Schaltung überflüssig macht, sondern auch Verarbeitungszeit einspart.
Schaltungstechnisch lässt sich obige Gleichung durch vier Schieber, zwei Subtrahierer und zwei Addierer/Subtrahierer realisieren. Eine entsprechende Elementar-Rotationsstufe ist in Fig. 2 gezeigt. Der Wert x_i-1 wird einem ersten Subtrahierer 10, einem ersten (2i + 1)-Bit-Schieber 12 und einem ersten 1-Bit-Schieber 14 zugeführt. Dem ersten Subtrahierer 10 wird außer dem Wert x_i-1 auch der vom ersten (2i + 1)-Bit-Schieber 12 um (2i + 1) Bit verschobene Wert von x_i-1 zugeführt.
Der Wert y_i-1 wird einem zweiten Subtrahierer 18, einem zweiten (2i + 1)-Bit- Schieber 20 und einem zweiten i-Bit-Schieber 22 zugeführt. Dem zweiten Subtrahierer 18 wird außer dem Wert y_i-1 auch der vom zweiten (2i + 1)-Bit-Schieber 20 um (2i + 1) Bit verschobene Wert von y_i-1 zugeführt.
Der erste Subtrahierer 10 subtrahiert von x_i-1 den um (2i + 1) Bit verschobenen Wert von x_i-1 und leitet das Ergebnis an einen ersten Addierer/Subtrahierer 16 weiter. Außerdem Empfängt der erste Addierer/Subtrahierer 16 vom zweiten i-Bit- Schieber 22 einen um i-Bit verschobenen Wert von y_i-1 und addiert bei einer Drehung im Uhrzeigersinn diesen zu x_i-1. Das Ergebnis dieser Addition wird als Wert x_i ausgegeben. Bei einer Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn erfolgt statt der Addition eine Subtraktion.
Der zweite Subtrahierer 18 subtrahiert von y_i-1 den um (2i + 1) Bit verschobenen Wert von y_i-1 und leitet das Ergebnis an einen zweiten Addierer/Subtrahierer 24 weiter. Außerdem Empfängt der zweite Addierer/Subtrahierer 24 vom ersten 1-Bit- Schieber 14 einen um 1-Bit verschobenen Wert von x_i-1 und subtrahiert ihn von y_i-1. Das Ergebnis dieser Subtraktion wird als Wert y_i ausgegeben. Bei einer Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn erfolgt statt der Subtraktion eine Addition.
Der soeben beschriebene Aufbau der Elementar-Rotationsstufe ist jedoch nur für solche Elementar-Rotationsstufen nötig, in denen um Elementarwinkel 2^-i gedreht werden soll, bei denen der Exponent i < (b - 1)/2 ist. Ist der Exponent i größer oder gleich diesem Wert, so führt die Multiplikation mit dem Term 2^-(2i+1) in Gleichung Nummer 15, d. h. die Verschiebung um 2i + 1 Bit-Positionen, zur Maschinen-Null, so dass die (2i + 1)-Bit-Schieber 12, 20 und Subtrahierer 10, 18 für Elementar- Rotationsstufen mit i größer oder gleich (b - 1)/2 entfallen können.
Die bisher beschriebene CORDIC-Einheit ist Skalierungsfrei und ermöglicht es daher, Post-Prozessing-Hardware sowie Prozesszeit zu sparen. Damit ermöglicht sie insbesondere, Elementarwinkel beim Iterationsprozess auszulassen, ohne dass eine Skalierung mit einem nicht konstanten Skalierungsfaktor zu erfolgen braucht.
Die Idee, den Drehwinkel durch eine Reihe von Elementarwinkeln zu approximieren, die klein genug sind, dass der Skalierungsfaktor wegfällt, führt aber auch dazu, dass der Winkelbereich, in dem ein Drehwinkel liegen muss, damit er approximiert werden kann, der im Vergleich zum konventionellen CORDIC- Algorithmus klein ist. Wird die CORDIC-Einheit beispielsweise mit einer Wortlänge von 16 Bit implementiert, so bedeutet dies, dass Elementarwinkel mit Exponenten von 4 bis 15 Verwendung finden (siehe oben). Damit ist der größte Winkel, der angenähert werden kann, ±7,16°. Zum Vergleich: Mit einer konventionellen CORDIC-Einheit können Drehwinkel bis ±99,9° approximiert werden.
Um den Winkelbereich, in dem ein Winkel liegen muss, damit er der durch die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit approximiert werden kann, auszudehnen, kommt ein "Argument-Reduktionsverfahren" und ein Verfahren zum wiederholten Ausführen bestimmter Iterationsschritte zur Anwendung. Mit dem Argument- Reduktionsverfahren wird der gesamte Winkelbereich von 360° auf einen verringerten Winkelbereich abgebildet. Zum Ausführen des Argument- Reduktionsverfahrens wird insbesondere eine dazu ausgestaltete Vorverarbeitungseinheit eingesetzt. Ist der Winkelbereich, auf den abgebildet wird, nach dem Ausführen des Argument-Reduktionsverfahrens noch immer größer als der Winkelbereich, in dem ein Winkel liegen muss, damit er der durch die CORDIC- Einheit approximiert werden kann, so werden Elementardrehungen in einer adaptiven Weise wiederholt. Im Folgenden wird die Vorgehensweise detailliert erläutert.
Das Hauptziel des Argument-Reduktionsverfahrens ist es, große Drehwinkel auf kleine Drehwinkel abzubilden. Um dies zu erreichen, kommt ein Verfahren zur Anwendung, in dem die vier Quadranten des Koordinatensystems in 16 gleiche Domänen (das heißt vier Domänen pro Quadrant) unterteilt werden, wobei jede Domäne einen Winkelbereich von π/8 abdeckt. Die Domänen sind in Fig. 3 dargestellt und dort mit den Buchstaben A bis P bezeichnet. Jeder Drehwinkel muss zwangsläufig in einer dieser 16 Domänen liegen. Ein Drehwinkel θ, der im ersten Quadranten liegt, liegt in einer der Domänen A([0, π/8)), B([π/8, π/4)), C([π/4,3 π/8)) oder D([3π/8, π/2]). In jeder Domäne kann der Drehwinkel θ nun wie folgt durch einen anderen Drehwinkel Φ definiert werden:

θ = Φ in der Domäne A

θ = π/4 - Φ in der Domäne B

θ = π/4 + Φ in der Domäne C

θ = π/2 - Φ in der Domäne D
Dies ist in Fig. 4 gezeigt. Es ist zu erwähnen, dass der Winkel Φ, immer im Intervall [0, π/8] liegt. Unter Verwendung der Additionstheoreme der Sinus- und der Cosinusfunktion lässt sich die Drehung nach Gleichung 1 in den vier Domänen durch die folgenden Gleichungen darstellen:
Unter Berücksichtigung, dass die Rotation um Φ bzw. -Φ gemäß Gleichung 1 durch die Gleichungen

ausgedrückt werden kann, in denen die tiefgestellten Plus- und Minuszeichen bei x1 und y1 Drehungen im Uhrzeigersinn bzw. gegen den Uhrzeigersinn bezeichnen, können die Gleichungen 17 bis 20 folgendermaßen geschrieben werden:
Aus den Gleichungen ist zu erkennen, dass die Ergebnisse eines CORDIC- Algorithmus für Drehwinkel, die in verschiedenen Domänen im ersten Quadranten liegen, aus den Ergebnissen eines CORDIC-Algorithmus mit einem Drehwinkel Φ berechnet werden können, indem einfache Additions- und Subtraktionsoperationen durchgeführt werden. Dies bedeutet im Wesentlichen, dass die Domänen B, C und D auf die Domäne A "zurückgefaltet" werden. Daher wird dieses Verfahren im Folgenden als "Domänenfalten" bezeichnet. Eine Folge des Domänenfaltens ist die Generation eines konstanten Skalierungsfaktors 1/√2 für Drehwinkel, die entweder in der Domäne B oder der Domäne C liegen. Dieser Skalierungsfaktor kann jedoch mit minimalem Hardwareaufwand unter Verwendung von Schiebern und Addierern hinreichend genau realisiert werden.
Bisher wurden nur Drehwinkel betrachtet, die im ersten Quadranten liegen. Unter Ausnutzung der Symmetrie der Koordinatenachsen kann das Domänenfalten auch auf CORDIC-Prozesse angewendet werden, bei denen die Drehwinkel in anderen Quadranten liegen. Die daraus resultierenden Werte für die gedrehten Komponenten x1 und y1 sind durch Vertauschen und Vorzeichenwechsel zu erhalten. Die Vertauschungen und Vorzeichenwechsel sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Beim Berechnen der Vektordrehung um einen beliebigen Drehwinkel, das heißt um einen Drehwinkel, der in jedem beliebigen Quadranten liegen kann, wird also zuerst die Domäne bestimmt, in welcher der Drehwinkel liegt. Sobald die Domäne bestimmt ist, kann die Berechnung der gedrehten Komponenten des zu drehenden Vektors ausgeführt werden, wobei die entsprechende Gleichung aus den Gleichungen 23 bis 26 gewählt wird. Der endgültige Wert für die Komponenten des gedrehten Vektors wird anschließend in Abhängigkeit von der Domäne, in der der ursprüngliche, d. h. ungedrehte Vektor lag, gemäß der Tabelle bestimmt.
Das Domänenfalten kann nicht nur im Rotationsmodus sondern auch im Vectoring-Modus ausgeführt werden. Im Falle des Vectoring-Modus ist der Drehwinkel durch den Wert tan^-1(y0/x0) zu ersetzen. Die Domänen im ersten Quadranten lassen sich dann beispielsweise als Werte des Verhältnisses y0/x0 ausdrücken, sie sind dann durch die Intervalle [0, tan(22,5°)) (Domäne A), [tan(22,5°), tan(45°)) (Domäne B), [tan(45°), tan(67,5°)] (Domäne C) gegeben.
In welcher Domäne ein Vektor mit den Komponenten x0, y0 liegt, kann anhand von vier Werten, nämlich x0, x0.tan(22,5°), x0.tan(67,5°) und y0 bestimmt werden. Wenn x0.tan(22,5°) größer oder gleich y0 ist, so liegt der Vektor in der Domäne A, wenn y0 größer als x0.tan(22,5°) ist, so liegt der Vektor in der Domäne B, wenn x0.tan(67,5°) größer oder gleich y0 ist, so liegt der Vektor in der Domäne C und wenn y0 größer als x0.tan(67,5°), liegt der Vektor in der Domäne D.
Bei einem Vektor, der in der Domäne D liegt, können wegen der Struktur der Gleichung 21 und 22 die Komponenten x0 und y0 vertauscht werden und dann die vertauschten Komponenten des Vektors in die CORDIC-Einheit eingegeben werden. Die vertauschten Komponenten werden dann in der CORDIC-Einheit wie die Komponenten eines in der Domäne A gelegenen Vektors behandelt. Dies bedeutet, dass bei einem in der Domäne D liegenden Vektor von der CORDIC- Einheit nicht y0 sondern x0 gegen Null strebt.
Die Arbeitsweise des in der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit zur Anwendung kommenden Verfahrens, mit dem Rotationen um Drehwinkel im Bereich con 0 bis 360° ausgeführt werden können, wird nun anhand des in Fig. 5 gezeigten Flussdiagramms am Beispiel des Rotationsmodus beschrieben. Vor der Ausführung des eigentlichen Iterationsprozesses wird der Winkel, um den gedreht werden soll, von einer Vorverarbeitungseinrichtung ggf. in den Winkelbereich [0, π/8] abgebildet, d. h. die Domäne bestimmt, in der der ungedrehte Vektor liegt. Dann werden die Eingangskomponenten x und y eingelesen und i wird initialisiert, das heißt, i wird auf den kleinsten Wert gesetzt, der für die entsprechende Maschine zulässig ist. Bei einer 16 Bit-Maschine ist dieser kleinste Wert i durch p = 4 gegeben (siehe oben). Außerdem wird der Drehwinkel θ als z eingegeben. Im Verlauf des Verfahrens wird dieser Drehwinkel z soweit verringert, dass er näherungsweise den Wert 0 erreicht.
Im nächsten Schritt wird anhand des initialisierten Wertes von i der Elementarwinkel α_i = 2^-i berechnet. Danach wird der Wert von z mit dem Wert des Elementarwinkels α_i verglichen und die Elementardrehung um den Elementarwinkel α_i ausgelöst, falls der Wert von z größer als der Elementarwinkel α_i ist. Ist der Wert z jedoch kleiner als der Elementarwinkel α_i, so wird die Elementardrehung nicht ausgelöst. Stattdessen wird i um eins erhöht und ein neuer Elementarwinkel α_i mit dem um eins erhöhten Wert i berechnet. Der neue Elementarwinkel wird dann wieder dem Vergleich mit z unterzogen. Diese Schleife wird so lange wiederholt, bis der Wert z größer als der aktuelle Elementarwinkel ist. Sobald dies der Fall ist, wird die Rotation um den Elementarwinkel ausgelöst.
Die Rotation um einen Elementarwinkel liefert gedrehte Komponenten x' und y'. Daneben wird ein neuer Wert z' = z - 2^-i berechnet. Dieser Wert z' stellt den Restwinkel dar, um den noch gedreht werden muss. In einem zweiten Vergleich wird nun geprüft, ob der Restwinkel z' kleiner als ein vorgegebener Referenzwert R_ref ist, der die größte zulässige Abweichung des Restwinkels von 0 angibt. Ist der Restwinkel z' kleiner oder gleich diesem Referenzwert R_ref, so wird das CORDIC-Verfahren beendet und die Werte x', y' und z' werden als Endwerte ausgegeben. Ist der Restwinkel z' jedoch größer als der Referenzwert R_ref, so wird z' als neuer Restdrehwinkel wieder dem Vergleich mit dem aktuellen Elementarwinkel α_i zugeführt, wo geprüft wird, ob der Restwinkel größer ist als der aktuelle Elementarwinkel, um den gedreht worden ist. Ist dies der Fall, so wird die Elementardrehung um den aktuellen Elementarwinkel α_i und anschließend der Vergleich des daraus resultierenden neuen Restwinkels mit dem Referenzwert R_ref erneut durchgeführt. Diese Schleife wird solange ausgeführt, bis der Restwinkel kleiner ist als der aktuelle Elementarwinkel. Sobald der Restwinkel kleiner als der aktuelle Elementarwinkel ist, wird i wieder um 1 erhöht und ein neuer Elementarwinkel berechnet. Es erfolgt dann wiederum der Vergleich des neuen Elementarwinkels mit dem Restwinkel, der entweder dazu führt, dass die Elementarrotation ausgeführt wird oder ein neuer Elementarwinkel berechnet wird. Das gesamte Verfahren wird so lange ausgeführt, bis der Restwinkel kleiner ist als der vorgegebene Referenzwert R_ref.
Zu dem mittels der CORDIC-Einheit ausgeführten Verfahren ist anzumerken, dass es möglich ist, Drehungen um denselben Elementarwinkel mehrmals auszuführen. Das mehrmalige Ausführen der Drehung um einen bestimmten Elementarwinkel ist nötig, um alle Drehwinkel um Intervall zwischen 0 und π/8 erreichen zu können. Wie weiter oben beschrieben, ist bei einer 16 Bit-Maschine der maximale Drehwinkel, der erreicht werden kann, wenn alle Schritte genau einmal ausgeführt werden, 7,16°. Liegt der Betrag des Drehwinkels nun in einem Bereich, der größer ist als 7,16° und kleiner als 22,5°, so muss die Elementardrehung um den größten zulässigen Elementarwinkel, also den Elementarwinkel mit dem Exponenten -p, so lange ausgeführt werden, bis der Restwinkel durch die Elementarwinkel mit Exponenten, die größer als -(p + 1) sind, angenähert werden kann. Sobald dies erreicht ist, muss keine weitere Elementardrehung mehr wiederholt werden, das heißt, es wird keine Drehung um einen Winkel 2^-(p+1) wiederholt.
Ein Blockschaltbild für eine CORDIC-Einheit mit einer Wortlänge von b Bit, in der das beschriebene Verfahren realisiert ist, ist in Fig. 6 dargestellt. Die erfindungsgemäße CORDIC-Einheit umfasst eine erste Berechnungseinheit 10, einen ersten Vergleicher 20, einen zweiten Vergleicher 50 und eine Anzahl von Elementar-Rotationsstufen 30p bis 30b-1 zum Ausführen von Elementardrehungen mit Elementarwinkeln 2^-i, wobei i die Werte p (minimaler zulässiger Exponent für das skalierungsfreie Verfahren, siehe oben) bis b-1 annehmen kann. Die erste Berechnungseinheit 10 ist mit dem ersten Vergleicher 20 verbunden. Der erste Vergleicher 20 ist wiederum mit den Elementar-Rotationsstufen 30p-30b-1 sowie dem zweiten Vergleicher 50 verbunden, der ebenfalls mit den Elementar- Rotationsstufen 30p bis 30b-1 in Verbindung steht.
Die erste Berechnungseinheit 10 dient dazu, anhand eines vorgegebenen Exponenten i den Elementardrehwinkel α_i zu berechnen und diesen an den ersten Vergleicher 20 auszugeben. Der erste Vergleicher 20 empfängt außer den Elementardrehwinkeln α_i auch den Drehwinkel, der durch den Wert z gegeben ist. Außerdem kann der erste Vergleicher 20 dazu ausgelegt sein, die Werte x und y der Komponenten des zu drehenden Vektors zu empfangen und an die Elementar-Rotationsstufen 30p-30b-1 weiterzugeben. Alternativ kann auch eine zusätzliche Verbindung zum Weiterleiten der Werte x und y an die Elementar- Rotationsstufen 30p-30b-1 unter Umgehung des ersten Vergleichers 20 vorhanden sein.
Der erste Vergleicher 20 führt einen Vergleich zwischen dem zu berechnenden Drehwinkel z und dem von der ersten Berechnungseinheit 10 erhaltenen Elementarwinkel α_i durch. Ergibt der Vergleich, dass der Elementarwinkel α_i kleiner oder gleich dem Drehwinkel, um den zu drehen ist, ist, so löst der erste Vergleicher 20 eine Elementardrehung um den Elementarwinkel α_i aus. Dazu gibt er die Komponenten x und y des zu drehenden Vektors sowie den Wert z des Drehwinkels an diejenige Elementar-Rotationsstufe weiter (oder löst ggf. die Weitergabe aus), die dem Elementarwinkel α_i entspricht, also eine Drehung um den Elementarwinkel α_i ausführt. Die Elementar-Rotationsstufe gibt als Ergebnis der Elementardrehung neue Komponenten x' und y' sowie einen Restdrehwinkel z' = z - 2^-i, um den noch zu drehen ist, an den zweiten Vergleicher 50 aus. Alternativ kann zum Berechnen des Restdrehwinkels auch eine eigens dafür vorgesehene Berechnungseinheit vorhanden sein.
Ergibt der Vergleich jedoch, dass der Elementarwinkel α_i größer als der Drehwinkel, um den zu drehen ist, ist, so veranlasst der erste Vergleicher 20 die Berechnungseinheit 10 einen neuen Elementarwinkel, bei dem der Betrag des Exponenten um eins erhöht ist, zu berechnen. Die Berechnungseinheit 10 gibt den neuen Elementarwinkel dann an en ersten Vergleicher 20 aus, der ihn mit dem Restdrehwinkel vergleicht. Abhängig von diesem Vergleich löst der Vergleicher 20 entweder die Elementardrehung oder die Berechnung eines neuen Elementarwinkels aus.
Der zweite Vergleicher 50 vergleicht den von einer der Elementar- Rotationsstufen ausgegebenen Restwinkel z' mit einem vorgegebenen Referenzwert R_ref. Der Referenzwert R_ref steht dabei für die maximale Abweichung, die der Restdrehwinkel am Ende der iterativen Approximation vom ursprünglichen Drehwinkel haben darf. Wird dieser Referenzwert R_ref vom Restdrehwinkel unterschritten, so gibt der zweite Vergleicher die Werte x', y' und z als Endergebnis der iterativen Approximation aus. Ist der Wert des Restdrehwinkels z' jedoch größer als der Referenzwert R_ref, so gibt der zweiter Vergleicher 50 die Werte x', y' und z' an den ersten Vergleicher 20 weiter. Der erste Vergleicher 20 vergleicht den vom zweiten Vergleicher 50 erhaltenen Restdrehwinkel z' wiederum mit dem aktuellen Elementarwinkel α_i und löst eine weitere Elementardrehung um den Elementarwinkel α_i aus, falls der Restdrehwinkel z' größer oder gleich dem Elementardrehwinkel α_i ist. Dies führt dazu, dass Elementardrehungen um den Elementarwinkel α_i so lange ausgeführt werden, bis der Restwinkel z' kleiner als der Elementarwinkel α_i ist. Sobald der Restdrehwinkel z' kleiner als der Elementarwinkel α_i ist, veranlasst der erste Vergleicher 20, die erste Berechnungseinheit 10, den nächsten Elementarwinkel α_i+1, das heißt, den Elementarwinkel 2^-(i+1), zu berechnen. Dieser neue Elementarwinkel wird von der ersten Berechnungseinheit 10 wiederum an den ersten Vergleicher 20 abgegeben, der den neuen Elementarwinkel wiederum mit dem Restwinkel z' vergleicht. Dies wird so lange fortgeführt, bis der Vergleich des Restdrehwinkels mit dem jeweils neuen Elementarwinkel α_i ergibt, dass der Restdrehwinkel größer oder gleich dem Elementarwinkel ist. Sobald dies der Fall ist, löst der erste Vergleicher 20 wieder eine Elementardrehung aus.
Eine Implementierung der erfindungsgemäßen CORDIC-Einheit in Form eines CORDIC-Prozessors ist in Fig. 7 dargestellt. Der CORDIC-Prozessor umfasst einen Vorprozessor 100 als Vorverarbeitungseinheit, eine Pipeline-Einheit 200 als CORDIC-Einheit zum Durchführen des eigentlichen CORDIC-Prozesses, im Folgenden CORDIC-Pipeline genannt, sowie eine Ausgangsschaltung 300. Der Vorprozessor 100 empfängt die Komponenten x0 und y0 des zu drehenden Vektors sowie den Drehwinkel 20, um den der Vektor gedreht werden soll. Außerdem empfängt der Vorprozessor ein Modussignal "mode", das bestimmt, ob der CORDIC-Prozessor im Rotationsmodus oder im Vektoring-Modus betrieben werden soll. Der HI Pegel (logisch hoher Pegel) des Modussignals mode veranlasst den Prozessor, im Rotationsmodus zu arbeiten, wohingegen der LO Pegel (logisch niedriger Pegel) des Modussignals mode den Prozessor veranlasst, im Vektoring-Modus zu arbeiten. Neben dem Modus-Signal empfängt der Vorprozessor auch ein Data-Valid-Signal, das die Gültigkeit des Eingangssignals anzeigt. Der Vorprozessor 100 stellt das Vorzeichen der Eingangsvariablen x0 und y0 und die Domäne, in der der Vektor liegt, fest. Entsprechend werden die Eingangsvariablen dann verarbeitet, sodass die CORDIC-Pipeline nur Winkel zwischen 0 und π/8 verarbeiten muss. Das Bestimmen des Vorzeichens und der Domäne, das Vorverarbeiten sowie die entsprechenden Eingabeoperationen benötigen insgesamt 2 Taktzyklen.
Die CORDIC-Pipeline ist eine Bit-Parallele Pipeline-Implementierung der Gleichungen 15 und 16 mit einer internen Wortlänge von 16 Bit. Die Pipeline ist 17 Stufen lang. Sie weist Elementar-Rotationsstufen mit Elementarwinkeln 2^-i mit i = 4, 5, . . ., 15 auf, wobei die Elementar-Rotationsstufe, die einem Elementarwinkel α_i von 2^-4 entspricht, sechs mal wiederholt ist. Das Ziel, das mit der CORDIC- Pipeline erreicht werden soll, ist es, den Wert z im Rotationsmodus bzw. den Wert y im Vektoring-Modus mit einer Genauigkeit von weniger als 2^-15 an Null heranzuführen. In der Konstruktion der Elementar-Rotationsstufen wird die gewöhnliche Zeikomponenten-Addition verwendet. Die Information darüber, in welchem Quadranten und welcher Domäne der Eingangsvektor mit den Komponenten x0 und y0 liegt, die im Vorprozessor bestimmt worden ist, wird zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abschnitten der CORDIC-Pipeline zusammen mit den Daten in der Art und Weise eines logischen Registertransfers weitergegeben. Dies bedeutet, dass die Daten in verschiedenen Abschnitten der Pipeline ein Kennzeichen besitzen, das im Wesentlichen die Information über den ursprünglichen Quadranten und die ursprüngliche Domäne enthält. Ein 1 Bit-Signal "sign" und zwei 2 Bit-Signale "Domain" und "Quad" werden dazu verwendet, diese Information zwischen verschiedenen Rotationsstufen zu übertragen.
Der Ausgangsschaltkreis umfasst eine feste Skalierungseinheit zum Skalieren mit dem Wert 1/√2 und eine Anzahl Addierer/Subtrahierer. Dieser Schaltkreis führt eine Nachverarbeitung des Ausgangsvektors, der von der CORDIC-Pipeline ausgegeben wird, anhand der Information über den Eingangsvektor, die vom Vorprozessor bestimmt worden ist, aus und erzeugt das endgültige Ausgangssignal. Alle Operationen des Ausgangsschaltkreises werden in einem Taktzyklus abgeschlossen.

Claims

1. CORDIC-Einheit zur iterativen Approximation einer Vektordrehung um einen Drehwinkel θ durch eine Anzahl von Elementardrehungen um Elementarwinkel α_i, umfassend Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1), jeweils zum Durchführen einer Elementardrehung um einen Elementarwinkel α_i als einem Iterationsschritt der iterativen Approximation, wobei nach einem Iterationsschritt ein Restwinkel verbleibt, um den noch zu drehen ist, dadurch gekennzeichnet, dass die Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1) zum Drehen um Elementarwinkel α_i ausgelegt sind, die durch Zweierpotenzen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten gegeben sind, und dass eine Auslöseeinrichtung (20) zum Auslösen der Elementardrehungen vorhanden ist, die dazu ausgestaltet ist, vor jedem Iterationsschritt den Restwinkel mit mindestens einem der Elementarwinkel zu vergleichen und solche Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1) auszulassen, deren Elementarwinkel größer als der Restwinkel sind.

2. CORDIC-Einheit nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Auslöseeinrichtung mindestens einen ersten Vergleicher (20), eine erste Berechnungseinheit (10) zum Berechnen der Elementarwinkel und eine zweite Berechnungseinheit zum Berechnen des Restwinkels, um den noch zu drehen ist, nachdem eine Elementardrehung um einen aktuellen Elementarwinkel durchgeführt worden ist, umfasst, wobei der erste Vergleicher (20) dazu ausgelegt ist, entweder nach einer Elementardrehung den Restwinkel, um den noch zu drehen ist, zu empfangen und zu prüfen, ob der Restwinkel größer oder gleich dem aktuellen Elementarwinkel ist, und, wenn dies der Fall ist, ein Berechnungssignal an die dem aktuellen Elementarwinkel entsprechende Elementar-Rotationsstufe (30p -30b - 1) zum erneuten Durchführen einer Elementardrehung um den aktuellen Elementarwinkel abzugeben, oder nach der Berechnung eines neuen Elementarwinkels den neuen Elementarwinkel zu empfangen und zu prüfen, ob der Restwinkel größer oder gleich dem neuen Elementarwinkel ist, und, wenn dies der Fall ist, ein Berechnungssignal an die dem neuen Elementarwinkel entsprechende Elementar-Rotationsstufe (30 p--30b-1) zum Durchführen einer Elementardrehung um den neuen Elementarwinkel abzugeben und sonst ein Berechnungssignal an die erste Berechnungseinheit (10) auszusenden, das die Berechnung eines neuen Elementarwinkels mit einem betragsmäßig um eins erhöhten neuen Exponenten auslöst.

3. CORDIC-Einheit nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass ein zweiten Vergleicher (50) vorhanden ist, der dazu ausgelegt ist, nach jeder Elementardrehung zu prüfen, ob ein nach der Elementardrehung verbleibender Restwinkel kleiner ist als ein vorgegebener Referenzwert, und die iterative Approximation abzuschließen, wenn dies der Fall ist.

4. CORDIC-Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass sie eine Wortlänge von b Bit aufweist und dass Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1) zur Drehung um Elementarwinkel α_i = 2^-i im Bereich zwischen einem maximalen und einem minimalen Elementarwinkel vorhanden sind, wobei der betragsmäßig minimale Exponent i, und damit der maximale Elementarwinkel, durch eine Zahl p gegeben ist, welche die kleinste ganze Zahl ist, die für i bei einer Wortlänge von b Bit in die Summe

einsetzbar ist, so dass die Summe die Maschinen-Null ergibt, und der betragsmäßig maximale Exponent, und damit der minimale Elementarwinkel, durch b-1 gegeben ist.

5. CORDIC-Einheit nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass für jeden Exponenten, der betragsmäßig größer oder gleich p und kleiner oder gleich b-1 ist, mindestens eine Elementar-Rotationsstufe (30p-30b-1) vorhanden ist

6. CORDIC-Einheit nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass sie wenigstens eine Elementar-Rotationsstufe 30p umfasst, die zur Drehung um den maximalen Elementarwinkel ausgelegt ist.

7. CORDIC-Einheit nach einem der Ansprüche 4 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass alle Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1), die zur Drehung um Elementarwinkel ausgelegt sind, deren betragsmäßiger Exponent größer oder gleich (b-1)/2 ist, vier Schieber (12, 14, 20, 22), zwei Subtrahierer (10, 18) und zwei Addierer/Subtrahierer (16, 24) umfassen und alle anderen Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1) zwei Schieber (14, 22) und zwei Addierer/Subtrahierer (16, 24) umfassen.

8. CORDIC-Einheit zur iterativen Approximation einer Vektordrehung um einen Drehwinkel θ durch eine Anzahl von Elementardrehungen um Elementarwinkel α_i, die eine Wortlänge von b Bit aufweist, umfassend Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1), jeweils zum Durchführen einer Elementardrehung um einen Elementarwinkel α_i als einem Iterationsschritt der iterativen Approximation, dadurch gekennzeichnet, dass die Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1) zur Drehung um Elementarwinkel ausgelegt sind, die durch Zweierpotenzen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten -i gegeben sind, wobei der betragsmäßig minimale Exponent i, und damit der maximale Elementarwinkel, durch eine Zahl p gegeben ist, welche die kleinste ganze Zahl ist, die für i bei einer Wortlänge von b Bit in die Summe

einsetzbar ist, so dass die Summe die Maschinen-Null ergibt, und der betragsmäßig maximale Exponent, und damit der minimale Elementarwinkel, durch b-1 gegeben ist.

9. CORDIC-Einheit nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, das für jeden Exponenten, der betragsmäßig größer oder gleich p und kleiner oder gleich b-1 ist, mindestens eine Elementar-Rotationsstufe (30p-30b-1) vorhanden ist.

10. CORDIC-Einheit nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, dass sie mehr als eine Elementar-Rotationsstufe 30p umfasst, die zur Drehung um den maximalen Elementarwinkel ausgelegt ist.

11. CORDIC-Einheit nach einem der Ansprüche 8 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass alle Elementar-Rotationsstufen (30p-30b-1), die zur Drehung um Elementarwinkel ausgelegt sind, deren betragsmäßiger Exponent kleiner als (b-1)/2 ist, vier Schieber (12, 14, 20, 22), zwei Subtrahierer (10, 18) und zwei Addierer/Subtrahierer (16, 24) umfassen und alle anderen Elementar-Rotationsstufen zwei Schieber (14, 22) und zwei Addierer/Subtrahierer (16, 24) umfassen.

12. Vorverarbeitungseinheit für eine CORDIC-Einheit, umfassend eine Vorverarbeitungsschaltung (100), die dazu ausgelegt ist, Drehwinkel zwischen π/8 und 2π Grad in das Intervall zwischen 0 und π/8 zu überführen.

13. Vorverarbeitungseinheit nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorverarbeitungsschaltung (100) dazu ausgestaltet ist, im ersten Quadranten eines Koordinatensystems liegende Drehwinkel in das Intervall zwischen 0 und π/8 zu überführen, indem der Drehwinkel von π/4 subtrahiert wird, wenn er im Intervall zwischen π/8 und π/4 liegt, indem zum Drehwinkel π/4 addiert wird, wenn er im Intervall zwischen π/4 und 3π/8 liegt, oder indem der Drehwinkel von π/2 subtrahiert wird, wenn er im Intervall zwischen π/4 und 3π/8 liegt, und Drehwinkel, die im zweiten bis vierten Quadranten des Koordinatensystems liegen, vorab unter Ausnutzung der Symmetrie der Koordinatenachsen in den ersten Quadranten zu überführen.

14. CORDIC-Einrichtung dadurch gekennzeichnet, dass sie eine CORDIC- Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 11 und eine Vorverarbeitungseinheit nach Anspruch 12 oder 13 umfasst.