CN111984226B - 一种基于双曲cordic的立方根求解装置及求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双曲CORDIC的立方根求解装置及求解方法。其方法是将立方根计算转换成可通过广义双曲坐标系下的CORDIC算法计算的对数和指数。其装置为：对数输入预处理模块将任意正数x转换成8^k×r；对数计算模块，通过工作在向量模式的广义双曲CORDIC计算单元计算以8为基的双曲反正切值，进而通过移位和加法操作得到对数指数预处理模块将拆成整数部分I和小数部分F；指数计算模块，通过工作在旋转模式的广义双曲CORDIC计算单元求以2为基的双曲正弦值和余弦值，进而通过加法操作得到指数2^F，再左移I位可得到计算结果。本发明仅采用加法、移位等简单的逻辑单元，具有关键路径短，硬件开销小等优点。

Description

一种基于双曲CORDIC的立方根求解装置及求解方法

技术领域

本发明涉及超大规模集成电路的数字信号处理领域，具体涉及一种基于双曲CORDIC的立方根求解装置及求解方法。

背景技术

立方根在频谱分析、音频信号处理、数字通讯和三维图像技术等场景下应用非常广泛。很多学者在立方根的电路设计方面做出了贡献。最常用的求解立方根的方法是牛顿迭代法。牛顿迭代法收敛速度快。但是，求解时需要初始猜测值，该猜测值对精度的影响比较大。而且，牛顿迭代法需要大量的乘法操作，硬件资源消耗较大。数字递归法是一种新型的立方根求解方法，但该方法同样无法避免乘法器的大量使用。

CORDIC算法由于只有移位加法操作，电路设计简单受到了广泛的关注。该算法于1959年被提出，起初只能用来计算三角函数和乘除法。后来，双曲坐标系下的CORDIC算法被提出，可以实现以自然常数e为基的指数和对数的计算。广义双曲坐标系下的CORDIC算法将双曲CORDIC算法拓展到以任意数为基，极大地提高了双曲CORDIC的应用范围。

发明内容

本发明旨在避免乘法器的使用，提高运算速度，减小硬件资源的消耗。基于广义双曲坐标系下的CORDIC算法，提出了一种新型的立方根求解装置及求解方法。

本发明装置采用的技术方案为：

一种基于双曲CORDIC的立方根求解装置，包括：

对数输入预处理模块，用于将待求解正数x表示为8^k×r，并将r和k的值输出给对数计算模块，其中r∈[1,8)，k是整数；

对数计算模块，用于计算对数值并输出给指数输入预处理模块；

指数输入预处理模块，用于将对数值分为整数部分I和小数部分F，并将整数部分I和小数部分F输出给指数计算模块；

指数计算模块，用于计算2^I+F的数值，得到待求解正数x的立方根求解结果。

进一步地，所述对数计算模块包括向量模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元、移位寄存器和加法器；所述对数输入预处理模块将r值输出给所述向量模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元，该计算单元用于计算以8为底的广义双曲正切值；所述移位寄存器将计算单元输出结果右移一位得到的值；所述对数输入预处理模块将k值输出给所述加法器，加法器将/>的值与整数k相加得到对数值/>

进一步地，所述指数计算模块包括旋转模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元，加法器和移位单元；所述指数输入预处理模块将小数部分F输出给所述旋转模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元，该计算单元用于计算以2为底的广义双曲正弦和余弦值；所述加法器将上述正弦和余弦值相加，得到指数值2^F；所述指数输入预处理模块将整数部分I输出给所述移位单元，移位单元将指数值2^F右移I位得到2^I+F的数值。

本发明一种基于双曲CORDIC的立方根求解方法，该方法的步骤包括，

(1)对于待求解正数x，如果x满足8^k≤x≤8^k+1，则将正数x右移3k位，得到在[1,8)范围的数r，k是整数；

(2)利用工作在向量模式的广义双曲坐标系下的CORDIC算法，求解对数值

(3)将步骤(2)计算出的对数值与步骤(1)中的整数k相加得到对数值/>然后将对数值/>表示为分为整数部分I和小数部分F；

(4)利用工作在旋转模式的广义双曲坐标系下的CORDIC算法，求解指数值2^F；

(5)将步骤(4)计算出的指数值2^F左移I位，得到即完成求解。

进一步地，所述步骤(2)中，将广义双曲坐标系下的CORDIC算法的x通道的初始值x₀设为r+1，y通道的初始值y₀设为r-1，z通道的初始值z₀设为0，广义双曲坐标系基b设为8，经过若干次迭代z的输出值左移一位，得到对数值

进一步地，所述步骤(4)中，将广义双曲坐标系下的CORDIC算法的x通道的初始值x₀设为CORDIC算法的缩放系数K_b，y通道的初始值y₀设为0，z通道的初始值z₀设为F，广义双曲坐标系基b设为2，经过若干次迭代后，将x的输出值与y的输出值相加，得到指数值2^F

本发明具有以下有益效果：

(1)本发明只需要进行加法和移位操作，关键路径短，计算速度快，硬件资源消耗小。

(2)本发明的装置可用来求解任意正数的立方根，不受CORDIC算法自身收敛范围的影响。

附图说明

图1是基于双曲CORDIC的立方根求解装置整体架构图；

图2是工作在向量模式的广义双曲CORDIC计算单元结构图；

图3是工作在旋转模式的广义双曲CORDIC计算单元结构图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明方案作进一步详细的说明。

对于于任意的正数x，根据恒等式有因此，对立方根求解可以转化成对数值/>和指数值/>的求解。

本发明基于双曲CORDIC的立方根求解装置整体架构图如图1所示。对数输入预处理模块主要对输入x进行处理。对于任意的正数x，如果x满足8^k≤x≤8^k+1(k是整数)，那么x可以通过右移3k位，得到在[1，8)范围的数r。x可以表示为x＝8^k×r。根据对数函数的性质，有：

因为工作在广义双曲坐标系下的CORDIC算法的收敛域是而/>r的取值落在收敛域内。所以，可以用工作在广义双曲坐标系下的CORDIC算法，求解r的广义双曲正切值，进而求得/>

工作在向量模式的广义双曲CORDIC计算单元如图2所示。该计算单元表示，广义双曲CORDIC在完全流水线实现时第i+1个级联级的硬件结构，包括六个加法器(减法器)和两个移位寄存器。输入为上一级流水线的输出x_i，y_i，z_i。普通双曲CORDIC算法的基是自然常数e。而工作在向量模式的广义双曲CORDIC坐标系基b可以是任意正数。本发明中，取基b的值为8。迭代公式如下：

在硬件实现前，需要预先计算出的值，并存于查找表中。如果y_i为正数，则y_i右移i位后与x_i相减得到x_i+1；x_i右移i位后与y_i相减得到y_i+1；z_i与查找表中/>的值相加得到z_i+1。如果y_i为负数，则y_i右移i位后与x_i相加得到x_i+1；x_i右移i位后与y_i相加得到y_i+1；z_i与查找表中/>的值相减得到z_i+1。输出x_i+1，y_i+1与z_i+1将作为下一流水级的输入。如果CORDIC算法需要经过N次迭代得到目标精度，则需要N个该计算单元级联，并在每一级联级后添加流水线，以实现完全流水操作。

本发明中，上述计算单元中x通道的初始值x₀值设为r+1，y通道的初始值y₀值设为r-1，z通道的初始值z₀值设为0。其中，r+1和r-1分别由对数输入预处理模块的输出r经过加法运算得到。经过若干次迭代后，z通道输出值zn为其中：

是其反函数，故：

所以，z_n的输出值经过移位寄存器左移一位，可以得到根据上面第一个公式，通过一个加法器与k相加，即可得到/>

将分解成整数部分I和小数部分F，其中0≤F＜1。根据指数函数的性质，可以得到：

因此，指数输入预处理模块的输入为输出为I和F。

指数值2^F可以用工作在旋转模式的广义双曲坐标系下的CORDIC算法求解。工作在旋转模式的广义双曲CORDIC计算单元如图3所示。该计算单元表示，广义双曲CORDIC在完全流水线实现时第i+1个级联级的硬件结构，包括六个加法器(减法器)和两个移位寄存器。此模式下，基b可以是任意大于1的数。本发明中，取基为2。迭代公式为：

硬件实现之前，需要先计算出的值，并存在查找表中。z_i的符号决定加法器和减法器的选取。如果z_i是正数，则y_i右移i位后与x_i相加得到x_i+1；x_i右移i位后与y_i相加得到y_i+1；z_i与查找表中/>的值相加得到z_i+1。如果z_i是负数，则y_i右移i位后与x_i相减得到x_i+1；x_i右移i位后与y_i相减得到y_i+1；z_i与查找表中/>的值相减得到z_i+1。输出x_i+1，y_i+1与z_i+1将作为下一级联级的输入。如果CORDIC算法需要经过N次迭代得到目标精度，则需要N个该计算单元级联，并在每一级联级后添加流水线，以实现完全流水操作。

本发明中，将上述计算单元中z通道的初始值z₀的值设为F，x₀的值设为CORDIC的算法的缩放因子K_b，y₀的值设为0。其中，F为指数输入预处理模块的输出。经过n次迭代后，x_n的值为y_n的值为/>用一个加法器将x_n与y_n相加，可以得到：

最后，通过移位寄存器将输出的结果左移I位可以得到2^I×2^F，即为最终结果。

实施例

(1)本实施例中，输入数据是[10^-6，10⁶]。各计算模块和主要逻辑单元的输入输出位宽如下：

表1输入输出位宽表

在CORDIC算法中，设置最大迭代序号为20，其中，序号为4和13的要重复迭代一次，因此一共需要22次迭代。根据经验公式，输入的小数位宽应该是比特。因此，小数位宽设置为27比特。因为/>所以输入的整数位宽设置为20位。在对数输入预处理模块中，由于输入的最大数8⁶＜10⁶＜8⁷，因此，k最大值为6，需要3比特。

在向量模式广义双曲坐标系下的CORDIC算法中，设置最大迭代序号是20，对数输入预处理模块的输出r。输出为因为/>所以，整数位宽需要0比特，小数位宽需要27比特。但由于/>需要与k相加，考虑加法位宽一致性，设置r，/>和k的整数位宽为3比特，小数位宽为27比特。加法器的输出/>小数位宽仍为27比特，整数位宽仍为3比特。

在指数输入预处理模块，输入为整数位和小数位分别输出。

在旋转模式广义双曲坐标系下的CORDIC算法中，设置最大迭代序号为20。输入F小于等于1，x和y通道n次迭代后的输出是以2位基的双曲正弦值和余弦值，它们的最大值约为1.25，因此，可以设置在旋转模式广义双曲CORDIC计算单元输入输出整数位宽为2比特，小数位宽为27比特。经过22次迭代后，CORDIC计算单元x和y的输出，通过加法器相加。最后所得结果左移I位，即得到计算结果。

(2)本实施例以3D图像处理为例，说明本装置如何运用在实际应用中。在3D图像处理中，如立体变换、背景剔除等操作中，通常会用到立方根的求解。一般3D图像处理是基于FPGA实现的。使用原有的方法计算时间通常会比较长，硬件资源开销大。可以在FPGA上部署本发明提供的求解装置。求解装置的输入为用定点数表示的待求解数x，通过灵活设置输入x的小数位宽和迭代计算的次数，即可满足不同的精度需求。经过若干次迭代计算之后，输出即为x的立方根的定点数表示。本求解装置采用完全流水线结构，其关键路径是一个移位寄存器和一个加法器。现有的立方根求解装置，采用牛顿迭代法进行设计，其关键路径是乘法器。因此，在FPGA上部署该求解装置，可达降低延迟和硬件开销的目的。

本发明未使用乘法器，仅通过移位、加法等简单的运算，就可以得到立方根计算结果，大大缩短了关键路径，降低了硬件开销。

Claims (2)

1.一种基于双曲CORDIC的立方根求解装置，其特征在于，该装置包括：

对数输入预处理模块，用于将待求解正数x表示为8^k×r，并将r和k的值输出给对数计算模块，其中r∈[1,8)，k是整数；

对数计算模块，用于计算对数值并输出给指数输入预处理模块；

指数输入预处理模块，用于将对数值分为整数部分I和小数部分F，并将整数部分I和小数部分F输出给指数计算模块；

指数计算模块，用于计算2^I+F的数值，得到待求解正数x的立方根求解结果；

所述对数计算模块包括向量模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元、移位寄存器和加法器；所述对数输入预处理模块将r值输出给所述向量模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元，该计算单元用于计算以8为底的广义双曲正切值；所述移位寄存器将计算单元输出结果右移一位得到的值；所述对数输入预处理模块将k值输出给所述加法器，加法器将/>的值与整数k相加得到对数值/>

所述指数计算模块包括旋转模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元，加法器和移位单元；所述指数输入预处理模块将小数部分F输出给所述旋转模式广义双曲坐标系下的CORDIC计算单元，该计算单元用于计算以2为底的广义双曲正弦和余弦值；所述加法器将上述正弦和余弦值相加，得到指数值2^F；所述指数输入预处理模块将整数部分I输出给所述移位单元，移位单元将指数值2^F右移I位得到2^I+F的数值。

2.一种基于双曲CORDIC的立方根求解方法，其特征在于，该方法的步骤包括，

(1)对于待求解正数x，如果x满足8^k≤x≤8^k+1，则将正数x右移3k位，得到在[1,8)范围的数r，k是整数；

(2)利用工作在向量模式的广义双曲坐标系下的CORDIC算法，求解对数值

(3)将步骤(2)计算出的对数值与步骤(1)中的整数k相加得到对数值/>然后将对数值/>表示为分为整数部分I和小数部分F；

(4)利用工作在旋转模式的广义双曲坐标系下的CORDIC算法，求解指数值2^F；

(5)将步骤(4)计算出的指数值2^F左移I位，得到即完成求解；

所述步骤(2)中，将广义双曲坐标系下的CORDIC算法的x通道的初始值x₀设为r+1，y通道的初始值y₀设为r-1，z通道的初始值z₀设为0，广义双曲坐标系基b设为8，经过若干次迭代z的输出值左移一位，得到对数值

所述步骤(4)中，将广义双曲坐标系下的CORDIC算法的x通道的初始值x₀设为CORDIC算法的缩放系数K_b，y通道的初始值y₀设为0，z通道的初始值z₀设为F，广义双曲坐标系基b设为2，经过若干次迭代后，将x的输出值与y的输出值相加，得到指数值2^F。