DE10040973A1

DE10040973A1 - Verfahren zur Simulierung der Verformung eines Blechs während eines Ziehverfahrens

Info

Publication number: DE10040973A1
Application number: DE10040973A
Authority: DE
Inventors: Sing Chih Tang; Perry Robinson Macneille; Zhiyong Cedric Xia
Original assignee: Ford Global Technologies LLC
Current assignee: Ford Global Technologies LLC
Priority date: 1999-09-14
Filing date: 2000-08-22
Publication date: 2001-04-12
Also published as: US6205366B1; GB2357151B; GB2357151A; GB0021310D0

Abstract

Ein Verfahren zur Simulierung der Verformung eines Blechs während eines Ziehverfahrens, bei welchem das Blech eine Aufteilung erfährt, unter Verwendung eines Rechners mit einem Speicher und von Werkzeugen, mit denen die Verformung des Blechs durchgeführt wird, besteht aus der Anwendung des radialen Rückkehrverfahrens für eine Berechnung der gesamten Beanspruchung nach der anisotropischen Härtungsregel von Mroz, wobei das Verfahren keine Unterteilung einer vorgegebenen Belastungszunahme in hunderte von Subintervallen vornimmt, solange die Bewegung der Mitte der aktiven Fließfläche entlang einer festen Bahn stattfindet, die vorgegebene Belastungszunahme dagegen in einige Segmente unterteilt wird, sobald ein Bruch der Fließfläche stattfindet.

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Simulierung der Verformung ei nes Blechs während eines Ziehverfahrens, bei welchem das Blech eine Aufteilung erfährt, unter Verwendung eines Rechners mit einem Speicher und von Werkzeu gen, mit welchen die Verformung des Blechs durchgeführt wird.

In Verbindung mit einem Verfahren der vorgenannten Art wird die anisotropische Härtungsregel der Plastizität zur Anwendung gebracht, die von Mroz entwickelt wurde für eine Simulierung der Belastung und der Beanspruchung während des Verformungsprozesses eines Blechs. Hierbei wird vordergründig berücksichtigt, daß in der Stanzindustrie eine Verwerfung als Folge eines Rückfederns insbeson dere beim Gesenk- oder Stanzbördeln ein ernsthaftes Problem darstellt. In vielen Fällen wird dabei eine manuelle Korrektur durchgeführt, um vorhandene Verwer fungen einer Bördelung oder sonstigen Stanzform zu beseitigen, wobei geschätzt wird, daß es allein die nordamerikanischen Blechverarbeitungswerke etwa 100 Mio. Dollar jedes Jahr kostet, um an den Stanzprodukten solche Verwerfun gen zu korrigieren. Das Problem tritt vermehrt auf bei den Leichtmaterialien wie Aluminium und Sonderstählen. Ein vorhandenes Rückfedern ist dabei zurückzu führen auf die Härtungsregel im Rahmen der mathematischen Plastizitätstheorie, die bei den Simulierungen der Verformung eines Blechs angewandt wird.

Zur Vereinfachung der hier angesprochenen Problemstellung kann festgehalten werden, daß die meisten Simulierungscodes bei der Verformung von Blechen die isotropische Härtungsregel benutzen, welche durch die mathematische Plastizi tätstheorie entwickelt wurde. Diese Härtungsregel erzeugt jedoch keine realisti sche numerische Resultate, wenn sie für eine Analyse von zyklisch wiederkehren den Belastungs- und Entlastungsprozessen verwendet wird, wie bspw. solchen, die beim Strecken, Biegen und Geraderichten über einem kleinen Radius oder beim Geraderichten einer anfänglichen Kräuselung auftreten, wie es häufig bei Ziehprozessen der Fall ist. Um eine Beziehung zwischen der Belastungszunahme und der Beanspruchung anzugeben, sollte daher eher die anisotropische Härtungs theorie angewandt werden, um eine genauere Simulierung der Verformung eines Blechs zu erhalten.

Die einfachste anisotropische Härtungsregel ist die kinematische Regel von Pra ger und Ziegler. Diese Härtungsregel wurde bisher benutzt für die Simulierung des Bauschinger-Effekts. Für komplexe Belastungshistorien weicht jedoch das tat sächliche Materialverhalten wesentlich ab von dem Verhalten, welches mit dieser kinematischen Härtungsregel vorausgesagt werden kann. Daneben besteht kein definiertes Verfahren für die Bestimmung des Tangens-Moduls für ein nichtlinea res Härtungsmaterial.

Die von Mroz vorgeschlagene Härtungsregel "On the description of anisotropic work hardening", J. MECH. PHYS. SOLIDS, Band 15, Seiten 163-175, 1967 grün det auf einer Beobachtung des Verhaltens einer Materialermüdung. Die Interpre tation von Mroz ist passender für die Untersuchung des Einflusses komplexer Be lastungshistorien auf das Materialverhalten, das weder durch die isotropische noch durch die kinematische anisotropische Härtungsregel erklärt werden kann.

Bis zu einem bestimmten Punkt ist die Amplitude der einachisgen Beanspruchung gemäß der Vorhersage durch die Mroz'sche Regel identisch mit derjenigen, die durch die kinematische Härtungsregel für eine einachsige Beanspruchung vorher gesagt wird. Es besteht jedoch hier keine Schwierigkeit bei der Bestimmung des Tangens-Moduls für ein nichtlineares Härtungsmaterial mittels der kinematischen Härtungsregel.

Gemäß der Veröffentlichung "A three dimensional model of anisotropic hardening in metals and its application to the analysis of sheet metal formability", J. MECH. PHYS. Solids, Band 32, Seiten 197-212, 1984 erweiterte C. Chu die Mroz'sche Regel für die Aufstellung einer generellen konstitutiven Gleichung mit den Termen eines kartesischen Tensors für das elastische Plastikmaterial in einem dreidimen sionalen Kontinuum. Anders als die isotropischen und kinematischen Härtungsre geln, bei welchen für eine einzige Fließfläche vorausgesetzt wird, daß sie sich als ein Ergebnis der plastischen Verformung entweder ausdehnt oder verschiebt, hat das Mroz'sche Model das Konzept eines Bereichs von Modulen der Fließverfesti gung bzw. Kalthärtung eingeführt, welche definiert sind durch die Konfiguration einer unbegrenzten Anzahl von anfänglich konzentrischen Fließflächen in einem deviatorischen Beanspruchungsraum.

Die allgemeinen Regeln, welche den Konfigurationswechsel steuern, drücken sich darin aus, daß sich Fließflächen als starre Körper gemeinsam mit dem Bela stungspunkt bewegen müssen, wenn er mit ihnen in Berührung steht, und daß sich die Flächen nicht kreuzen oder ineinander übergehen können. Die Flächen müssen sich also wechselseitig an dem Belastungspunkt tangieren, wenn er mit ihnen in Berührung steht, und diese Tangierung beinhaltet, daß die Flächen nicht ineinander übergehen können. Wenn sich der Belastungspunkt von dem elasti schen in den plastischen Bereich bewegt, dann trifft er zuerst auf die kleinste Fließfläche, die einen Radius √2/3 ζ₀ hat, worin ζ₀ die anfängliche Fließbeanspru chung ist. Diese Fläche wird dann nach vorne gestoßen, bis die nächst größere Fläche erreicht ist, und dann werden diese beiden Flächen zusammen nach vorne bewegt usw. Jede der Fließflächen hat einen konstanten Modul der Fließverfesti gung bzw. Kalthärtung.

Da für eine Fläche nur erlaubt wird, daß sie sich als ein starrer Körper bewegt, kann ihre Größe als ein Parameter zur Bestimmung des Moduls verwendet wer den. Wenn sich das Material tief in dem plastischen Bereich befindet und wenn eine Vielzahl von Fließflächen an dem Belastungspunkt einander wechselseitig tangieren, dann ist der aktuelle Modul für eine kontinuierliche Belastung derjenige, der mit der größten Fließfläche verknüpft werden kann. Hierbei handelt es sich dann um die aktive Fließfläche. Die kleineren Fließflächen werden dann wieder aktiviert, sobald eine Entlastung und eine erneute Belastung stattfindet.

Die folgende Abhandlung entwickelt die Gleichungen für die Größe des Wechsels der Fließfläche und für die zentrale Bewegung. Verwendet wird das Fließkriterium von Von Mises in dem kartesischen Koordinatensystem. Gemäß der Regel von Mroz wird die Fließfunktion wie folgt geschrieben:

f = (3/2) (s_ij-a_ih) (s_ij-a_ij)-k² = 0 (i, j = 1, 3) (1)

wobei s_ij die deviatorischen Komponenten des Cauchy-Beanspruchungstensors sind, a_ij der Positionstensor der Mitte der aktiven Fließfläche ist und √2/3 k der Radius dieser Fläche ist. Hier sollte beachtet werden, daß die im Fettdruck ange gebenen Ausdrücke einen Tensor bezeichnen, der jeweilige Index dessen Kom ponenten angibt und ein wiederholter Index eine Summenbildung ergibt. Die Diffe rentialableitung der Fließfunktion stellt sich wie folgt dar:

(3/2) (s_ij-a_ih)(ds_ij-da_ij) - kdk = 0 (2)

Wird angenommen, daß sich die Fließfläche entlang eines Einheitstensors b be wegt, dann ist die Größe von da die Zunahme oder Vergrößerung des Radius der Fließfläche. Daher gilt:

da_ij = √2/3 dk b_ij (3)

Wird diese Gleichung in die Gleichung (2) eingesetzt, dann erhält man

dk = (3/2) (s_ij-a_ij)ds_ij/k (4)

wobei

k = k+√3/2 (s_ij-a_ij)b_ij

und die Gleichung (3) ergibt sich mit

da_ij = √3/2 [(S_mn-a_mn)ds_mn/k]b_ij (5)

Wenn die zugeordnete Fließregel vorausgesetzt wird, dann kann die elastische, plastisch konstitutive Gleichung in einem Verfahren abgeleitet werden ähnlich demjenigen bei der isotropischen Härtungsregel.

Ein Anschauungsbeispiel, welches den Wechsel der aktiven Fließflächen bei ei nem Verfahren für eine anfängliche Belastung, eine Entlastung, eine wiederholte Belastung, eine wiederholte Entlastung und dann wieder eine wiederholte Bela stung in einem Raum mit einer mehrfach dimensionierten deviatorischen Bean spruchungskomponente zeigt, ist in der Fig. 1 dargestellt und kann wie folgt nä her erläutert werden:

1. Anfängliche und kontinuierliche Belastung. Die Mitte der anfänglichen Fließflä che befindet sich im Ursprung O und ihr Radius beträgt √3/2 ζ₀. Eine kontinu ierliche Belastung findet an einem Punkt A₀ statt, wo der Radius der Fließflä che √3/2 k beträgt, wie es ebenfalls in Fig. 1 gezeigt ist. Der Einheitstensor b in der Gleichung (3) verläuft entlang OA₀. Die Mitte der kleinsten Fließfläche mit dem Radius √3/2 ζ₀ bewegt sich nach O₁ ⁽¹⁾.
2. Entlastung und erneute Belastung. Die Entlastung findet innerhalb der klein sten Fließfläche mit der Mitte bei O₁ ⁽¹⁾ statt, während die erneute Belastung bei A₁ vorgenommen wird bei einer deviatorischen Beanspruchungszunahme ds. Wenn diese Zunahme und der Einheitstensor b verwendet werden, dann kön nen unter Verwendung der Gleichungen (4) und (5) die Mitte O₁ ⁽ⁱ⁾ der größeren Fließfläche sowie auch der Radius √3/2 k₁ berechnet werden. Der aktualisierte oder fortgeschriebene Einheitstensor b verläuft jetzt entlang O₁ ⁽ⁱ⁾ A₁, während die Mitte der aktualisierten oder fortgeschriebenen kleinsten Fließfläche ent lang dieser Linie verläuft und daher bei O₂ ⁽¹⁾ lokalisiert werden kann, wie es in Fig. 1 gezeigt ist.
3. Wiederholte Entlastung und anschließend wiederholte Belastung. Wenn jetzt wieder eine Entlastung innerhalb der neuesten kleinsten Fließfläche vorge nommen wird und dann anschließend wieder eine Belastung in dem plasti schen Bereich, dann verläuft die Mitte der aktiven Fließfläche entlang der Linie O₁ ⁽ⁱ⁾O₂ ⁽¹⁾. Diese Mitte kann sich nicht über O₁ ⁽ⁱ⁾ hinaus verschieben, wie es in Fig. 1 gezeigt ist. Sollte sie sich trotzdem verschieben, wenn also ein Bruch auftritt, dann befindet sich die neue Mitte auf der Linie OA₀. Wenn eine konti nuierliche Belastung stattfindet, dann kann sich die Mitte der aktiven Fließflä che nicht über O hinaus bewegen; die Fließfläche mit dem Radius √3/2 k wird andererseits aktiv, wenn ein weiterer Bruch stattfindet, und sie bewegt sich für eine Tangierung einer Fließfläche mit einem größeren Radius als √3/2 k, wobei ihre Mitte nach wie vor bei O verbleibt.

Die von Mroz vorgeschlagene Härtungsregel ergibt eine wissenschaftliche Unter suchung des Einflusses der komplexen Belastungshistorien auf das Materialver halten, welches weder durch die isotropische noch durch die kinematische Här tungsregel erläutert werden kann. Das Mroz'sche Modell kann jedoch für nichtli neare Härtungsmaterialien das Rückfedern präzise vorhersagen. Das lineare ela stische Modell unterschätzt das Ausmaß der Rückfederung, während die isotropi sche Härtungsregel falsche Vorhersagen trifft.

Es besteht deshalb eine Notwendigkeit für eine revidierte Annäherung an die her kömmliche isotropische Härtungsregel, um eine präzisere Simulierung von Ver formungsprozessen zu ermöglichen und um insbesondere eine Vorhersage für das Rückfedern von nichtlinearen Materialien zu ermöglichen.

Die Aufgabe der Erfindung besteht in der Bereitstellung eines Verfahrens der ein gangs genannten Art, welches Verformungsprozesse an einem Blech besser analysieren läßt, wobei die verbesserte Analyse insbesondere orientiert wird an dem Rückfedern eines verformten Blechs, welches als ein Bauteil von Kraftfahr zeugen und insbesondere der Fahrzeugkarosserie verwendet wird.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein Verfahren der eingangs genannten Art erfin dungsgemäß mit den Merkmalen ausgebildet, die durch den Patentanspruch 1 angegeben sind, wobei die Merkmale der weiteren Ansprüche zweckmäßige und vorteilhafte Ausgestaltungen des erfindungsgemäßen Verfahrens ergeben.

Mit dem Verfahren der vorliegenden Erfindung wird grundsätzlich das radiale Rückkehrverfahren auf die anisotropische Härtungsregel der Plastizität angewen det, die von Mroz für eine Simulierung der Belastung und der Beanspruchung während des Verformungsprozesses eines Blechs wissenschaftlich untersucht wurde. Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren wird somit nicht eine vorgegebene Belastungszunahme in hunderte von Unterintervallen unterteilt, solange sich die Mitte der aktiven Fließfläche entlang einer bestimmten Bahn bewegt. Mit einer Anwendung des radialen Rückkehrverfahrens auf die anisotropische Härtungsre gel der Plastizität wird deshalb auch eine kontinuierliche Berechnung der gesam ten Beanspruchung ermöglicht, weshalb ein wesentlicher Vorteil des erfindungs gemäßen Verfahrens auch in einer höheren Genauigkeit der Berechnung und in einer beträchtlich schnelleren Berechnungszeit zu sehen ist.

Weitere Merkmale und Vorteile des erfindungsgemäßen Verfahrens ergeben sich aus der folgenden detaillierten Beschreibung eines Ausführungsbeispieles der Er findung gemäß einer Darstellung in der Zeichnung. Es zeigt

Fig. 1 eine grafische Darstellung für die Anwendung der anisotropischen Här tungsregel auf den transversalen anisotropischen Materialparameter R = 1 am Beispiel der Fließflächen in dem deviatorischen Beanspruchungsraum während einer Belastung, einer Entlastung und einer wiederholten Belas tung;

Fig. 2 zeigt eine Perspektivansicht eines Verformungsteils, welches für den Boden bei einem Kraftfahrzeug vorgesehen ist;

Fig. 3 ist eine Schnittansicht des Verformungsteils der Fig. 2 mit einer Verdeutli chung der Rückfederung;

Fig. 4 ist eine Schnittansicht eines Ziehwerkzeuges, mit welchem das Verfor mungsteil der Fig. 2 und 3 erhalten wird;

Fig. 5 ist eine Schnittansicht des Ziehwerkzeuges in seiner Schließstellung; und

Fig. 6 ist ein Flußdiagramm zur Erläuterung der einzelnen Stufen des erfindungs gemäßen Verfahrens.

Die vorliegende Erfindung befaßt sich mit der Anwendung des radialen Rückkehr verfahrens auf die anisotropische Härtungsregel von Mroz zur Simulierung der Verformung eines Blechs. Das Blech kann bsp. ein Verformungsteil sein, welches gemäß der Darstellung in Fig. 2 für den Boden eines Kraftfahrzeuges verwendet wird.

Für die Verformung eines Blechs ist generell davon auszugehen, daß die Formge bung des gewünschten Verformungsteils eng an die Formgebung des Werkzeu ges angepaßt ist. Wenn daher das fertige Verformungsteil von dem Werkzeug ab gelöst wird, dann verändert es regelmäßig seine Formgebung, wobei dieser Wechsel der Formgebung als ein Rückfedern bezeichnet wird. Die Bezugnahme auf ein Rückfedern eines Verformungsteils kennzeichnet daher generell die Ten denz, daß bei der Verformung eines Blechs ein Verformungsteil erhalten wird, dessen Formgebung eine Art Zwischenform zwischen der ursprünglichen Form eines Rohlings und der Form des Werkzeuges darstellt, mit welchem das Verfor mungsteil geformt wird. Dieses Rückfedern stellt sich bei Verformungsteilen aus Aluminium und Sonderstahl als besonders problematisch dar, wobei sich als Kompensierung für eine solche Art einer Verwerfung der Form als eine erste Stufe eine Vorhersage dafür anbietet, wie groß die Rückfederung bei den betreffenden Verformungsteil sein wird, welches mit einem in der Form angepaßten Werkzeug erhalten wird.

Um das Rückfedern vorherzusagen, muß berücksichtigt werden, daß dieses Rückfedern generell durch Beanspruchungen oder Spannungen in dem Blech am Ende der Schließung des Ziehwerkzeuges erzeugt wird, mit welchem die Verfor mung durchgeführt wird. Die Genauigkeit einer Vorhersage muß daher auf die Verteilung der Beanspruchung über den gesamten Verformungsprozeß konzen triert werden. Diese Zielsetzung bedingt daher wesentlich mehr Forderungen als diejenigen, die für die Vorhersage eines Bruches oder eines Ausbeulens benötigt werden. Um die gesamte Belastung und die Verteilung der Beanspruchung über den gesamten Verformungsteil möglichst präzise vorhersagen zu können, wird als das am meisten passende Verfahren eine quasi-statische Analyse mit einer Inte grierung über der inbegriffenen Zeit vorgenommen. Weil das Rückfedern auch eine Entlastung beinhaltet, die bei der Abnahme des Verformungsteils von dem Ziehwerkzeug in Erscheinung tritt, muß zusätzlich ein Modell angefertigt werden, bei welchem eine zyklische Beziehung der Beanspruchung und der Belastung veranschaulicht wird.

Wie bei der Analyse der Verformung ist es erforderlich, ein Berührungsproblem der Oberfläche mit einer vorhandenen Reibung zu lösen, um nach der Abnahme eines Verformungsteils von dem Werkzeug die endgültige Formgebung des Formteils zu erhalten. Wenn das inbegriffene Verfahren angewandt wird, dann beinhaltet die Formulierung für ein Berührungsproblem an der Oberfläche eine Berücksichtigung von abgeleiteten Funktionen der Berührungskräfte in einem funktionellen Zusammenhang mit den Krümmungen der Werkzeugoberfläche.

Obwohl ein Wiederholungsprozeß ohne einen Rückgriff auf solche Krümmungen der Werkzeugoberfläche angewandt werden kann, ist jedoch die Berechnung nach wie vor sehr komplex.

Ein passendes Verfahren, für welches nicht das Berührungsproblem an der Ober fläche berücksichtigt werden muß, kann in der Anwendung einer Analyse des Rückfederns erkannt werden. Aus der Analyse der Verformung nach dem Schlie ßen des Ziehwerkzeuges können der Werkzeugdruck und die Reibungskraft be rechnet werden, die auf das Verformungsteil einwirken. Das Rückfedern kann weiterhin aus der Formgebung des Verformungsteils berechnet werden über die Aufhebung des Werkzeugdruckes und die Reibungskraft bei der Abnahme des Verformungsteils. Wenn diese Kräfte mit gleichen Größen aber mit entgegenge setzten Vorzeichen an dem Verformungsteil angewandt werden gemeinsam mit einer passenden Unterstützung zur Vermeidung von jeder Bewegung als ein star rer Körper, dann ist es möglich, die zusätzliche Verformung des Gebildes als Fol ge eines Rückfederns zu berechnen.

Ein gestanztes Verformungsteil muß abgestützt werden, um die Verschiebungen als ein starrer Körper in sämtlichen Koordinatenrichtungen und auch Drehbewe gungen als ein starrer Körper ebenfalls in den drei Koordinatenrichtungen zu ver meiden und also ein statisch bestimmtes Gebilde darzustellen. Die geometrische Nicht-Linearität des Gebildes als Folge einer großen Verformung und die Nicht- Linearität des Materials als Folge des umgekehrten plastischen Fließens bei der Analyse des Rückfederns müssen jedoch noch in Betracht gezogen werden.

Um ein besseres Verständnis des Phänomens zu gewinnen, das hinter den Ver formungsprozessen eines Blechs steht, ist es erforderlich, die Mechanismen zu analysieren, die während eines Verformungsprozesses vorhanden sind. Daher muß vor allem die Verteilung der Beanspruchung genau verstanden werden, weil damit verschiedene Mechanismen der Verformung angesprochen sind. Auf der Basis einer Simulierung kann der Umriß des Blechs bestimmt werden, um eine Verwerfung der Formgebung damit zu verhindern, daß die Formgebung der Werk zeugoberfläche entsprechend modifiziert wird.

Die komplexen Formgebungen der mit Konturen versehenen Körper, die für die Formgebung von Kraftfahrzeugteilen verwendet werden, sind schon für sich be trachtet äußerst schwierig herzustellen. Die Formgebungen haben nicht nur ein gewünschtes Styling und damit eng verbundene aerodynamische Vorstellungen zu berücksichtigen, vielmehr müssen sie auch die Fähigkeit zum Tragen einer vorbestimmten Last besitzen in der Kombination mit einem günstigen Wirkungs grad hinsichtlich des verwendeten Materials bzw. von dessen Gewicht, sodaß in der Fahrzeugindustrie für die meisten Verformungsteile einer Fahrzeugkarosserie hauptsächlich die Verwendung von Aluminium und Sonderstählen vorgesehen ist. Die Verwendung dieser Materialien bestimmt dann auch für die meistens komple xe Formgebungen eine präzise und damit gleichzeitig kritische Einhaltung von Toleranzen bei der Verformung der Bleche, ohne daß dabei eine Materialermü dung oder die Festigkeit der Verformungsteile eventl. zugunsten eines weniger komplizierten Verformungsprozesses geopfert werden.

In Fig. 2 ist eine Perspektivansicht der einen Hälfte eines symmetrischen Mittelteils eines Bodenbleches 10 der Karosserie eines Kraftfahrzeuges gezeigt. Dieses Verformungsteil wird typischerweise mit einem Ziehwerkzeug geformt, bei wel chem die obere Werkzeughälfte nach unten bewegt wird gegen einen unteren Stanzstempel, wobei der dabei wirksame Druck in Stufen ausgeübt wird. Beim Schließen des Werkzeuges und bei den einzelnen Preßstufen wird das folglich mit Konturen versehene Bodenblech 10 oder ein anderes Verformungsteil erhalten. In Fig. 3 ist ein Querschnitt dieses Verformungsteils gezeigt, wobei mit der ausgezo genen Linie 11 die Formgebung des Verformungsteils noch vor der Abnahme von dem Werkzeug angegeben ist, während mit der gestrichelten Linie 13 die Form gebung des Verformungsteils unter Einbeziehung der Rückfederung gezeigt ist, die somit nach der Abnahme des Verformungsteils von dem Werkzeug eine geän derte Formgebung bestimmt.

Die Fig. 4 zeigt einen Querschnitt eines Ziehwerkzeuges 12, wobei hier die Stufe festgehalten ist, in welcher das zu verformende Blech 14 zwischen einem oberen Werkzeugteil 16, der mit einem oberen Bindering einstückig ausgebildet ist, und einem unteren Bindering 18 gehalten wird. Der untere Bindering 18 wird in der dargestellten Relativlage der beiden Werkzeugteile schwimmend angeordnet, um eine Einstellung der Bindeform zu erhalten. In dieser Einstellposition ist ein unterer Stanzstempel 20 noch auf Abstand zu dem oberen Werkzeugteil 16 angeordnet und wird erst in einer folgenden Stufe, die in Fig. 5 veranschaulicht ist, mit dem dann nach unten zusammen mit dem unteren Bindering 18 bewegten oberen Werkzeugteil 16 in eine Schließstellung zusammengebracht, in welcher dann das mit Konturen versehene Verformungsteil durch ein Ausstanzen über dem stationär angeordneten Stanzstempel 20 erhalten wird. Es versteht sich, daß in diesem Zu sammenhang die Bezugnahme auf ein Ziehwerkzeug dieser speziellen Ausbildung nicht als eine Beschränkung für das erfindungsgemäße Verfahren zu verstehen ist, vielmehr auch andere Werkzeugformen bei einem solchen Verformungsprozeß zur Anwendung kommen können, die mit einer abweichenden Ausbildung bsp. in einer Kniehebelziehpresse eingesetzt werden.

Die Modellführung der Verformung eines Blechs gemäß dem Verfahren der vorlie genden Erfindung wird vorzugsweise mit einem Rechner durchgeführt, der wie das Modell IBM RS 6000/395 eine Zentraleinheit, einen RAM- oder Kernspeicher, ei nen Diskettenspeicher, ein Bildschirmgerät oder eine ähnliche Ausgabeeinrichtung und eine Eingabeeinrichtung aufweist, wie bsp. eine Eingabetastatur. Der Rechner simuliert eine Formgebung von Teilen der Fahrzeugkarosserie bei der Verformung eines Blechs, wobei durch eine Vorgabe der Gleichungen gemäß der vorliegenden Erfindung die Verformung des Blechs ausgeführt wird, sobald das Blech in die An ordnung an einem Werkzeug gemäß der Darstellung in Fig. 4 gebracht worden ist. Es ist wichtig, daß diese Stufe durchgeführt wird noch bevor das Werkzeug ge schlossen wird, wobei in die spätere Analyse des Schließens des Werkzeuges dann auch eine Vorhersage über die Verformung des Blechs unter Einschluß der Verteilung der Beanspruchung bei der Verformung eingegliedert wird.

Eine Modellierung der Oberfläche wird durch Verwendung eines Software- Vorlaufprogramms erhalten, welches in der C-Programmiersprache geschrieben sein kann und die CAD-Oberflächen-Eingangsdaten von einem Designer in ein finites Element eines Oberflächenmodels transformiert. Der Designer stellt typi scherweise die Daten für die Binderlinie sowie die Daten für das Stanzwerkzeug zur Verfügung, die anfänglich ein passendes CAD-Programm verwenden. Die Daten der Binderlinie sind maßgebend für die Oberflächen des Werkzeuges, wie bsp. die Werkzeugkanten u. dgl. Das Software-Vorlaufprogramm erzeugt ein Dreieckgitter, welches die Erkennbarkeit der Werkzeugoberfläche beinhaltet, wo bei ein nächster Nachbar-Algorithmus verwendet wird, der die Oberfläche zwi schen den Punkten auf den Linien ausfüllt.

Das Dreieckgitter der Werkzeugoberfläche stellt sich dar als eine Vielzahl mitein ander verbundener Dreiecke, deren Spitzen als Knotenpunkte oder Knoten be zeichnet werden. Wenn der nächste Nachbar-Algorithmus verwendet wird, dann ergibt sich daraus manchmal eine fehlende Übereinstimmung zwischen der Er kennung der Daten der ursprünglichen Linie und dem Gitter der resultierenden Werkzeugoberfläche, was zu Formfehlern führt, die jedoch vorzugsweise korrigiert werden. Das Dreieckgitter der Werkzeugoberfläche wird dann als eine Eingabe für die Analyse des Schließens des Werkzeuges bereitgestellt, wie nachfolgend näher beschrieben, um die Berührung zwischen der Werkzeugoberfläche und dem Blech zu testen.

Das finite Elementenmodell für die Formgebung der Binderumhüllung wird durch das Software-Vorlaufprogramm modifiziert. Die Form der Binderumhüllung wird ebenfalls durch ein Dreieckgitter dargestellt. Während dieser Modifizierung wird das Gitter des finiten Elementenmodells der Binderumhüllung verfeinert. Der Ana lytiker erhält hier also die Möglichkeit, die Knotenpositionen des Gitters durch eine Veränderung der Positionen der Knoten zu verändern. Die modifizierten Knoten positionen befinden sich jedoch nach wie vor auf der Oberfläche der Binderum hüllung, sodaß die Oberfläche der Binderumhüllung stets die gleiche bleibt. Für den Fachmann ist es in diesem Zusammenhang eher selbstverständlich, daß die se Modifizierung den Vorteil ergibt, daß der Analytiker die Dichtheit der Knoten in bestimmten Bereichen vergrößern kann, so bsp. in dem Bereich einer stark aus geprägten Krümmung, damit so die Konzentration der Belastung präziser vorher gesagt werden kann, die beim Schließen des Werkzeuges während der Verfor mung auftritt.

Die Stufe der Modifizierung des finiten Elementenmodells der Binderumhüllung umfaßt vorzugsweise auch eine Bestimmung der Zwangskräfte als Folge des Bin derdruckes und der Zugsicke. Die Zwangskräfte als Folge der Zugsicken werden als ein Modell einer elastisch-plastischen Feder berücksichtigt. Die Modifizierung des finiten Elementenmodells für die Binderumhüllung umfaßt weiterhin auch eine Bestimmung der Materialeigenschaften des Blechs, zusätzlich zu dem Young'schen Elastizitätsmodul und zu dem Poisson'schen Beiwert. Auch werden die Materialparameter des plastischen Bereichs bestimmt sowie der Reibungs koeffizient des Metalls und der Werkzeugoberflächen.

Es wird dann die Analyse der Schließung des Werkzeuges durchgeführt. Das Verfahren der vorliegenden Erfindung besteht generell in der Lösung einer Folge von Problemen des Kräfteausgleichs, die als Belastungsstufen über das modifi zierte Dreieckgitter der Binderumhüllung berücksichtigt werden. Bei jeder Bela stungsstufe rückt das Werkzeug in eine neue Position vor, wodurch für die Berüh rungsknoten Grenzbedingungen aktualisiert bzw. fortgeschrieben werden. Dabei sind zwei Arten von Berührungsknoten vorhanden. Einmal bestehen die Knoten, welche die Stanzfläche des Werkzeuges berühren und als Berührungsknoten an gegeben sind, während die Knoten innerhalb des Binders, die den oberen Rinder ring und die Oberfläche des unteren Binders an dem Werkzeug berühren, als Bin derknoten angegeben werden.

Bei jeder Belastungsstufe sucht der Rechner nach neuen Knotenpositionen, wel che die neuen Grenzbedingungen befriedigen und ausgeglichene Innen- und Au ßenkräfte erzeugen, nämlich die Feder- und Reibungskräfte an allen Knoten, um die Zugsicke zu modellieren, bis schließlich ein Gleichgewicht der Kräfte erreicht ist. Diese Belastungsstufen werden solange fortgesetzt, bis das Werkzeug in sei ne finale Position vorbewegt ist und dann das Verformungsteil der Fahrzeugkaros serie erhalten ist. Das Suchen neuer Knotenpositionen wird wiederholt durchge führt, wobei mit jeder Wiederholung vorzugsweise ein besseres Ergebnis mit einer nicht ausgeglichenen kleineren Kraft erzeugt wird. Wenn die nicht ausgeglichene Kraft genügend klein ist, wird dann mit der nächsten Belastungsstufe begonnen, um wieder neue Grenzpositionen zu erzeugen. Bei jeder Belastungsstufe während der Analyse kann die vorhergesagte Beanspruchung und Verformung zur Abbil dung gebracht werden, um Schäden zu überprüfen, wie bsp. ein mögliches dauer haftes Ausbeulen und/oder eine Faltenbildung.

Der Rechner wird dann mit den Daten gespeist, die für das Dreieckgitter der Werkzeugoberfläche und das Dreieckgitter der modifizierten Binderumhüllung gelten. Weiterhin werden Regel- bzw. Steuerparameter eingegeben, wie bsp. To leranzen sowie auch veränderliche Größen, die für vorbestimmte Werte und/oder auch Fehlerwerte gelten.

Für ein Anschauungsbeispiel wird vorausgesetzt, daß das Werkzeug in einzelnen Stufen von bsp. einem Millimeter vorbewegt wird. Sobald die Werkezeugoberflä che das Blech berührt, bestimmt dann der Rechner die Berührungsknoten zwi schen dem Gitter der Werkzeugoberfläche und dem Gitter des Blechs durch eine Messung des Eindringens der Knoten des Blechs in die Werkzeugoberfläche. Die ses Eindringen führt zu einer Erhöhung einer Grenzbedingung, sodaß es an den Berührungsknoten zu einem Verdrängungsanstieg kommt, welcher die Berüh rungsknoten in die Werkzeugoberfläche eindringen läßt.

Die Matrizen des Materials, also die Bezugsgrößen für die Beanspruchung und die Belastung, werden aufgestellt und aktualisiert bzw. fortgeschrieben, sodaß eine präzise Größe erhalten wird. Um ein komplexes Verformungsteil der Fahrzeugka rosserie zu formen, kann es zu einer Entlastung der Beanspruchung an dem Ver formungsteil kommen, noch bevor das Werkzeug seine finale Position erreicht. Bevor die Beanspruchungsstufe an einem Sammelpunkt bestimmt werden kann, der in dem Blech bei einer Belastung entdeckt wird, wird dann die Materialmatrix der reinen elastischen Zunahme verwendet, wobei deren Bestimmung näher be schrieben ist in einem Aufsatz mit dem Titel "Sheet Metal Forming Modeling of Automobile Body Panels" von S. C. Tang, J. Gress und P. Ling, veröffentlicht 1988 durch ASM International anläßlich des 15. Halbjahr-Kongresses über "Controlling Sheet Metal Forming Processes". Die Bezugnahme auf diesen Aufsatz in seiner Gesamtheit wird hier zur Ergänzung der Offenbarung der vorliegenden Erfindung eingeführt.

In Fig. 6 ist eine Flußdiagramm gezeigt, mit welchem das Verfahren der vorliegen den Erfindung näher erläutert werden kann. Sobald die Zunahme der Verschie bung unter Verwendung einer tangentialen Steifheitmatrix gelöst worden ist, die in dem vorerwähnten Aufsatz erwähnt und nachfolgend detaillierter erläutert wird, wird die Zunahme der Belastung bei der Folgestufe 102 erhalten. Die gesamte Beanspruchung wird dann in den nachfolgenden Stufen 104-116 errechnet, da bei unter Verwendung des radialen Rückkehrverfahrens, welches auf die Mroz'sche anisotropische Härtungsregel der Plastizität in Übereinstimmung mit der vorliegenden Erfindung angewandt wird. Wenn die errechnete äquivalente Beanspruchungszunahme negativ ist, dann beinhalten die Beanspruchungsdaten die Aussage, daß an dem betreffenden Punkt eine Entlastung stattfindet, sodaß dann die Beanspruchungszunahme vorzugsweise berechnet wird aus der Bezie hung zwischen der reinen elastischen Zunahmebeanspruchung und der Bela stung.

Gemäß der vorliegenden Erfindung wird also die Beanspruchung auf der Basis berechnet, daß das radiale Rückkehrverfahren auf die anisotropische Härtungsre gel der Plastizität angewandt wird, um die gesamte Beanspruchung zu berechnen, nachdem im Anschluß an eine Entlastung wieder eine Belastung entdeckt wird. Diese anisotropische Härtungsregel bestimmt die wiederholte Belastung. Nach dem die wiederholte Belastung erfolgt ist, werden die Beanspruchungen berechnet durch die vorgegebene Belastungszunahme, wobei dafür das Verfahren der vor liegenden Erfindung angewandt wird.

Es wird passend ein rechteckiges Koordinatensystem für den Beanspruchungsbe reich verwendet, um das radiale Rückkehrverfahren für eine Aktualisierung bzw. Fortschreibung des Vektortensors der Beanspruchung zu verwenden. Entspre chend der Verallgemeinerung von Chu und unter Berücksichtigung der transver salen anisotropischen Eigenschaft wird die Hill'sche Fließfläche f für den ebenen Beanspruchungszustand für die anisotropische Härtungsregel wie folgt modifiziert

f{r_x ²+r_y ²-Δ₁r_xr_y+Δ₂r_xy ²-k²
{(1-Δ₁/2)(r_x+r_y)²/2+(1+Δ₁/2)(r_x-r_y)²/2+Δ₂r_xy ²-k² = 0 (1)

wobei, Δ₁ = 2R/(1+R) und Δ₂ = 2 (1+2R)/(1+R). Bei der vorstehenden Formel ist R der transversale anisotropische Materialparameter, und k bezeichnet die Fließbe anspruchung bei der effektiven plastischen Belastung H^p bei dem einachsigen Zugversuch.

Bei der Gleichung (1) beinhaltet r_i = ζ_i-a_i, i = x, y, xy
wobei ζ_i ein Beanspruchungsvektor ist und a_i einen Positionsvektor der Mitte der Fließfläche bezeichnet. Dabei handelt es sich um einen Rückwärts-Bean spruchungsvektor. Es sollte noch angemerkt werden, daß für eine Kodierung bei dem finiten Elementenverfahren ein Vektor anstelle eines Tensors bei der Ablei tung verwendet wird. Eine Wiedergabe im Fettdruck gibt eine Vektor an.

Die Bewegung der Mitte der Fließfläche wird durch die folgende Gleichung ausge drückt:

∍a_i = A∍ kb_i (2)

wobei ∍ die Zunahme angibt, b_i ein Einheitsvektor ist, entlang von welchem sich die Mitte der aktiven Fließfläche bewegt, und A eine Konstante darstellt, die durch b_i bestimmt wird. Mit a_i wird ein Nullvektor angegeben, dessen Mitte in dem Ur sprung des Beanspruchungsbereichs liegt und während der anfänglichen und fort dauernden Belastung solange vorhanden ist, bis eine Entlastung stattfindet. So bald eine Entlastung stattfindet, wird a_i ein finiter Vektor, der durch b_i und die an fängliche Fließbeanspruchung bestimmt wird, ähnlich der Darstellung in Fig. 1. Für eine wiederholte Belastung wird a_i hinsichtlich der Zunahme durch die Gleichung (2) berechnet.

Die gesamte Zunahme der Belastung setzt sich zusammen aus den elastischen und plastischen Belastungszunahmen gemäß den folgenden Gleichungen:

∍ H_i = ∍ H_i ^e +∍ H_i ^p (3)

∍ ζ = H ∍ H^e (4)

wobei H die Elastizität-Matrix ist.

∍ Hi^p = ∍/ωf/ωζ_i (5)

wobei

∍/ = ∍ H^p/2k

∍ ζ = H (∍H-∍/ωf/ωζ) (6)

wenn ζ₀ auf beiden Seiten der Gleichung (6) eingefügt wird, dann ergibt sich:

ζ₀ = ζ^E-∍/Hωf/ωζ (7)

wobei ζ^E der Vektor der elastischen Testbelastung ist und ζ^E = ζ₀+H∍H, ζ₀ist der Beanspruchungsvektor vor der Aktualisierung bzw. Fortschreibung.

Für eine anfängliche Belastung befindet sich die Mitte in dem Ursprung des Bela stungsbereichs, also a_i = 0. Für eine kontinuierliche Belastung kann angenommen werden, daß in der Fließfläche kein Bruch auftritt, falls sich die Mitte der aktiven Fließfläche nicht in der entgegengesetzten Richtung zu dem Einheitsvektor b_i be wegt, der für die Historie gespeichert ist, solange die Bewegung der Mitte unver ändert in der Richtung des Einheitsvektors b_i stattfindet. Es werden dafür dann die folgenden Gleichungen angewandt:

r = r^E-∍/Hωf/ωζ, wobei r^E = ζ^E-a (8)

r_x+r_y = (r_x ^E+r_y ^E)/[1+E∍/(2-Δ₁)/(1-Θ)] (9a)

r_x-r_y = (r_x ^E-r_y ^E)/[1+E∍/(2+Δ₁)/(1+Θ)] (9b)

r_xy=r_xy ^E/[1+E∍/Δ₂/Δ₂/(1+Θ)] (9c)

wobei E = Young Modul und Θ = Poisson-Beiwert.

Wenn in der vorhergehenden Fließfläche kein Bruch vorhanden ist, dann wird ge mäß dem Verfahren der vorliegenden Erfindung eine Berechnung angewandt, die sich unterscheidet von der Berechnung bei Vorhandensein eines Bruches. Wegen der Abwesenheit eines abrupten Wechsels bei b_i , also wenn E ≧ 1 in der nachfol genden Gleichung (10), wird dann eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ∍H^p erhalten. Wird diese Gleichung in Bezug auf ∍H^p differenziert, dann wird eine Ab leitung ebenfalls mit nur einer Unbekannten ∍H^p erhalten, weil

d∍/ /dH^p = (1-k'H^p/k)/2k

k' ist die Ableitung von k in Bezug auf H^p und da/dH^p = Ak'b.

Da f und seine Ableitungen in Bezug auf H^p nur eine Unbekannte beinhalten, kann diese Unbekannte ∍H^p während der Verfahrensstufe 108 mittels des Newton'schen Näherungsverfahrens gelöst werden, wenn die Ableitung nicht gleich Null ist.

Nach der anfänglichen Belastung, der Entlastung und der wiederholten Belastung ergibt sich nach mehreren Zyklen das Vorhandensein von einigen Fließflächen mit unterschiedlichen Inhaltsvektoren b_i, die in einer Historienkartei gespeichert wer den. Für eine fortgesetzt wiederholte Belastung nach weiteren Zyklen findet ein Bruch der aktuell aktiven Fließfläche statt, wenn die Mitte der aktiven Fließfläche in der entgegengesetzten Richtung zu dem Einheitsvektor b_i bewegt wird, der in der Historienkartei gespeichert ist. Der in der Historienkartei gespeicherte Ein heitsvektor b_i wird wiedergewonnen und aktiviert, sodaß in der Gleichung (2) ein abrupter Wechsel von b_i stattfindet. Das Vorhandensein oder das Fehlen eines Bruchs bestimmt, welche der Gleichungen (9a) bis (9c) oder (11a) bis (11c) an gewandt wird.

Ein Faktor E wird derart berechnet, daß die Zunahme der Belastung E∍H den Be anspruchungsvektor erzeugt, der in der Historienkartei die frühere Fließfläche bricht. Es ergeben sich hier die folgenden Gleichungen:

ζ^E = ζ₀+EH∍H, ∍ζ^E= EH∍H (10)

r_x ^E+r_y ^E = [(ζ_0x-a_x)+(ζ_0y-a_y)]+E(∍ζ_x ^E+∍ζ_y ^E) (11a)

r_x ^E-r_y ^E = [(ζ_0x-a_x)-(ζ_0y-a_y)]+E(∍ζ_x ^E-∍ζ_y ^E) (11b)

r_xy ^E = (ζ_0xy-a_xy)+E∍ ζ_xy ^E (11c)

Wenn die somit in der Stufe 110 erhaltenen Gleichungen (11a), (11b) und (11c) in die Gleichung (9) und nachfolgend in die Gleichung (1) eingesetzt werden, dann wird für E eine quadratische Gleichung erhalten. Hier ist noch anzugeben, daß ∍H^p und k aus der Historienkartei wiedergewonnen werden, weil sie in dieser Histori enkartei gespeichert wurden noch bevor der Einheitsvektor b_i seine Richtung ver ändert. Es kann deshalb ∍/ berechnet werden. Wenn nun in der Verfahrensstu fe 112 eine Auflösung nach E vorgenommen wird, dann ist für die Fließfläche das Fehlen eines Bruchs feststellbar, solange die Wurzel von E größer als 1 ist. Wenn sich für E ein Wert zwischen 0 und 1 ergibt, dann ist ein Bruch bei der vorherge henden Fließfläche vorhanden. Wenn E kleiner als Null ist, dann liegt ein Fehler vor.

Wenn E < 1, dann werden die Gleichungen (11a), (11b) und (11c) des Verfah rensstufe 110 in die Gleichung (1) eingesetzt, sodaß sich daraus für E eine Lö sung ergibt, die es ermöglicht, daß bei der vorhergehenden Fließfläche ein Bruch stattgefunden hat. An dieser Stelle ist es dann erforderlich, die Verfahrensstufe 114 zu bestimmen, in welcher der Bruch erfaßt wird. Unter Verwendung der Informati on, die aus der Historienkartei entnommen wurde, kann der Einheitsvektor b_i ak tualisiert werden. Die Zunahme der Belastung wird in der Verfahrensstufe 116 ak tualisiert bzw. fortgeschrieben in der Form (1-E) ∍H, wobei das Verfahren solange wiederholt wird, bis E < 1.

Für E ≧ 1 werden dann die Gleichungen (9a), (9b) und (9c) in der Verfahrens stufe 106 wieder auf die Gleichung (1) angewandt und wie vorerwähnt durch das Newton'sche Näherungsverfahren gelöst.

Claims

1. Verfahren zur Simulierung der Verformung eines Blechs während eines Zieh verfahrens, bei welchem das Blech eine Aufteilung erfährt, unter Verwendung eines Rechners mit einem Speicher und von Werkzeugen, mit denen die Ver formung des Blechs durchgeführt wird, wobei

- eine Belastungszunahme, ∍ H_i, für eine mit einer anfänglichen Belastung er haltene Laststufe ermittelt und die Fließfläche des Blechs an den Werkzeugen ohne Unterbrechung entlastet und danach wieder belastet wird;
- die gesamte Beanspruchung für die Belastungszunahme nach der Härtungsre gel von Mroz gemäß der folgenden Gleichung für die Fließfläche berechnet wird:
f{r_x ²+r_y ²-Δ₁r_xr_y+Δ₂r_xy ²-k²
{(1-Δ₁/2)(r_x+r_y)²/2+(1+Δ₁/2)(r_x-r_y)²/2+Δ₂r_xy ²-k² = 0
wobei
Δ₁ = 2R/ (1+R) und Δ₂ = 2 (1+2R)/(1+R),
r_i = ζ_i-a_i, i = x, y, xy
∍ a_i = A∍kb_i
∍H_i = ∍ H_i ^e+∍ H_i ^p
∍ ζ = H ∍ H^e
∍ H_i ^p = ∍/ωf/wζ_i
wobei
∍/ = ∍ H^p/2k
∍ ζ = H (∍H-∍/ωf/ωζ)
ζ = ζ^E-∍/Hωf/ωζ
wobei ζ^E der Vektor der elastischen Testbelastung ist und
ζ^E-ζ₀+H∍ H
r = r^E-∍/Hωf/ωζ, wobei r^E = ζ^E-a
- das Verfahren der radialen Rückkehr für die Gleichung der Fließfläche gemäß den folgenden Gleichungen angewandt wird:
r_x+r_y = (r_x ^E+r_y ^E)/[1+E∍/(2-Δ₁)/(1-Θ)]
r_x-r_y = (r_x ^E-r_y ^E)/[1+E∍/(2+Δ₁)/(1+Θ)]
r_xy= r_xy ^E/[1+E∍/Δ₂/(1+Θ)]
wobei E = Young Modul
und Θ = Poisson-Beiwert
∍/ = ∍ H^p/2y
- die Gleichung der Fließfläche durch Verwendung des Newton'schen Nähe rungsverfahrens auf gelöst wird;
- eine Belastungszunahme, ∍ Hi, für eine mit einer wiederholten Belastung er haltene Belastungsstufe ermittelt wird, wobei es in der Fließfläche des Blechs an den Verformungswerkzeugen zu einem Bruch kommen kann;
- die gesamte Beanspruchung für die Belastungszunahme nach der Härtungsre gel von Mroz gemäß der folgenden Gleichung für die Fließfläche berechnet wird:
f{r_x ²+r_y ²-Δ₁r_xr_y+Δ₂r_xy ²-k²
{(1-Δ₁/2)(r_x+r_y)²/2+(1+Δ₁/2)(r_x-r_y)²/2+Δ₂r_xy ²-k² = 0
wobei
Δ₁ = 2R/(1+R) und Δ₂ = 2 (1+2R)/(1+R),
r_i = ζ_i-a_i, i = x, y, xy
∍a_i = A∍ kb_i
∍ H_i = ∍ H_i ^e+∍ H_i ^p
∍ ζ = H ∍ H^e
- das Verfahren der radialen Rückkehr für die Gleichung der Fließfläche gemäß den folgenden Gleichungen angewandt wird:
r_x ^E+r_y ^E = [(ζ_0x-a_x)+(ζ_0y-a_y)]+E (∍ζ_x ^E+∍ζy^E)
r_x ^E-r_y ^E = [(ζ_0x-a_x)-(ζ_0y-a_y)]+E (∍ζ_x ^E-∍ζy^E)
r_xy ^E = (ζ_0xy-a_xy)+E∍ ζ_xyE;
- die Gleichung der Fließfläche für E aufgelöst wird, wobei wenn E < 1 vorhan dene Daten für die Bestimmung der gesamten Beanspruchung und eine Rück stellung der Belastungszunahme benutzt werden;
- die Berechnungsstufe für die gesamte Beanspruchung bei der Belastungszu nahme nach der Härtungsregel von Mroz solange wiederholt wird bis E ≧ 1; wobei
- für E ≧ 1 die folgenden Gleichungen für die Gleichung der Fließfläche ange wandt und die Gleichung der Fließfläche durch Verwendung des New ton'schen Näherungsverfahrens wie folgt aufgelöst wird:
r_x+r_y = (r_x ^E+r_y ^E)/[1+E∍/(2-Δ₁)/(1-Θ)]
r_x-r_y = (r_x ^E-r_y ^E)/[1+E∍/(2+Δ₁)/(1+Θ)]
r_xy = r_xy ^E [1+E∍/Δ2/(1+Θ)]
(1-Δ₁/2) (r_x+r_y)²/2+(1+Δ₁/2) (r_x+r_y)²/Δ₂+Δ₂r_xy ²-k2 = 0.

2. Verfahren nach Anspruch 1, bei welchem die Stufe der Bestimmung für das Vorhandensein eines Bruches in der firüheren Fließfläche mit den folgenden weiteren Stufen ausgeführt wird:

- Anwendung der folgenden Gleichungen auf die Gleichung der Fließfläche:
r_x ^E+r_y ^E = [(ζ_0x-a_x)+(ζ_0y-a_y)]+E(∍ζ_x ^E+∍ζ_y ^E)
r_x ^E-r_y ^E = [(ζ_0x-a_x)-(ζ_0y-a_y)]+E(∍ζ_x ^E-∍ζ_y ^E)
r_xy ^E = (ζ_0xy-a_xy)+E∍ ζx_y;
- Auflösung der Gleichung für die Fließfläche für E.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei welchem für die Anwendung der pas senden Gleichungen die Bestimmung E < 1 durchgeführt wird und historische Daten für die Bestimmung der gesamten Beanspruchung verwendet werden.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei welchem die Stufe zur Auflö sung der Gleichung für die Fließfläche durch Verwendung des Newton'schen Näherungsverfahrens weiterhin eine Stufe zur Schätzung von ∍ H^p umfaßt.

5. Verfahren nach Anspruch 4, bei welchem die Stufe der Schätzung von ∍ H^p die folgenden Beziehungen umfaßt:
ζ_0e=(r_0x ²+r_0y ²-Δ₁r_0xr_0y+Δ₂r_0xy ²)^½
∍ H# Δ₃(∍H_x ²+∍H_y ²+Δ₁ ∍H_x∍ H_y+Δ₁ ∍ H_xy ²/4R)^½
wobei
Δ₃ (1+R)/(1+2R)^½
H=H₀+∍ H# (ζ_0e/E+H₀ ^p)+∍ H;
wobei sich aus der Beziehung für die Beanspruchung durch einachsige Belastung folgendes ergibt:
ζ# KHⁿ, da
H^e#ζ/E, und
H^p#H-H^e.