CN1784587B - 使用扫描干涉测量形成复杂表面结构的轮廓 - Google Patents

Abstract

一种方法，其包括：将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。正被比较的可导出的信息可与用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号的形状相关。

Description

使用扫描干涉测量形成复杂表面结构的轮廓

对相关申请的交叉引用

此申请在35U.S.C119(e)下要求以下美国临时专利申请的优先权：于2003年3月6日提交、标题为“PROFILING COMPLEX SURFACESTRUCTURES USING HEIGHT SCANNING INTERFEROMETRY(使用高度扫描干涉测量而形成复杂表面结构的轮廓)”、序号为60/452,615的美国专利申请；于2003年3月6日提交、标题为“PROFILING COMPLEX SURFACESTRUCTURES USING SIGNALS FROM HEIGHT SCANNINGINTERFEROMETRY(使用来自高度扫描干涉测量的信号而形成复杂表面结构的轮廓)”、序号为60/452,465的美国专利申请；以及于2004年1月26日提交、标题为“SURFACE PROFILING USING AN INTERFERENCE PATTERNMATCHING TEMPLATE(使用干涉图案匹配模板的表面轮廓)”、序号为60/539,437的美国专利申请。在此，通过引用将其全部合并。

技术领域

本发明涉及使用扫描干涉测量来测量具有诸如薄膜(多个)、不相似材料的离散结构、或由干涉显微镜的光学分辨率而在分辨以下(underresolve)的离散结构的复杂表面结构的对象的表面构形(topography)和/或其它特性。这样的测量与平板显示组件的表征(characterization)、半导体晶片测量、以及就地(insitu)薄膜和不相似材料分析相关。

背景技术

通常，使用干涉测量技术来测量对象的表面的轮廓(profile)。为此，干涉测量仪将从感兴趣表面反射的测量波前(wavefront)与从参考表面反射的参考波前组合，以产生干涉图(interferogram)。干涉图中的条纹(fringe)指示感兴趣表面和参考表面之间的空间变化。

扫描干涉计(interferometer)在类似或大于干涉波前的相干长度的范围上扫描该干涉计的参考和测量腿(leg)之间的光路径(optical path)长度差(OPD)，以对于用来测量干涉图的每个相机(camera)像素而产生扫描干涉测量信号。例如，通过使用白光源(其被称为扫描白光干涉测量(SWLI))，可产生有限的相干长度。典型的扫描白光干涉测量(SWLI)信号为位于零光路径差(OPD)位置附近的一些条纹。典型地，该信号的特征在于：通过钟形条纹对比包络的正弦载波调制(“条纹”)。依据SWLI测量的传统思想在于：利用条纹的定位来测量表面轮廓。

SWLI处理技术包括两个基本分支。第一个途径是探测包络的峰值或中心，假定此位置与两光束干涉计(其中，一光束从对象表面反射)的零光路径差(OPD)相对应。第二个途径是将该信号变换到频域中，并通过波长来计算相位的改变率，假定基本线性斜率与对象位置直接成比例。例如，参见授予Peterde Groot的美国专利第5,398,113号。后面的途径被称为频域分析(FDA)。

不幸的是，这样的假定在应用于具有薄膜的测试对象时可能不成立，这是由于顶表面和基础的膜/基板界面的反射。近来，在授予S.W.Kim和G.H.Kim的美国专利6,545,763中公开了一种方法来处理这样的结构。该方法使用于薄膜结构的SWLI信号的频域相位轮廓与用于各种薄膜厚度和表面高度的估计频域相位轮廓相拟合(fit)。同时优化确定了正确的薄膜厚度和表面高度。

发明内容

发明人已意识到：在扫描干涉信号时存在丰富的信息，在传统处理中忽略了这些信息中的许多。尽管例如薄膜的复杂表面结构可能破坏基于识别条纹对比包络中的峰值的位置、或计算频域相位轮廓的斜率的传统的处理技术，但这里描述的新处理技术可提取表面高度信息和/或有关复杂表面结构的信息。

例如，尽管未假定表面高度信息与条纹对比包络中的峰值直接相关，但本发明的一些实施例假定表面高度中的改变相对于参考扫描位置而转换了扫描干涉测量信号，但保留了扫描干涉测量信号的形状。由此，扫描干涉测量信号的形状在表征复杂表面结构时尤其有用，这是因为它与表面高度无关。类似地，在频域中，一些实施例假定：表面高度中的改变引入频域相位轮廓中的线性项，即使频域轮廓自身可能不是线性的。然而，表面高度中的改变使频域幅值轮廓不变。因此，频域幅值轮廓在表征复杂表面结构时尤其有用。

在表征复杂表面结构之后，可有效地确定表面高度。例如，扫描干涉信号和具有与复杂表面结构相对应的形状的模型信号之间的互相关可在与表面高度相对应的扫描坐标上产生峰值。类似地，在频域中，可从频域相位轮廓中减去由复杂表面结构产生的相位贡献，并且，可使用传统的FDA分析来提取表面高度。

复杂表面结构的例子包括：简单薄膜(在该情况中，例如，感兴趣的可变参数可为薄膜厚度、膜的折射率、基板的折射率、或其某个组合)；多层薄膜；衍射或生成复杂的干涉效果的锐利边缘和表面特征；未分辨的(unresolved)表面粗糙度；未分辨的表面特征，例如，在另外的平滑表面上的子波长宽度凹槽；不相似材料(例如，表面可包括薄膜和固体金属的组合，在该情况中，库可包括所述两个表面结构类型，并通过匹配对应的频域谱而自动地识别膜或固体金属)；产生旋光性(如荧光)的表面结构；表面的分光器(spectroscopic)属性，如颜色和依赖于波长的反射率；依赖于偏振的表面属性；以及表面的偏转、振动、或运动、或者可变形表面特征，其导致干涉信号的扰动(perturbation)。

在一些实施例中，用来生成扫描干涉测量信号的光的有限相干长度基于白光源，或者，更一般地，宽带光源。在其它实施例中，光源可为单色的，并且，可使用高数值孔径(NA)而产生有限相干长度，以便将光引导到测试对象、和/或从测试对象接收光。高NA使光线在角度的范围上接触测试表面，并且，在扫描OPD时，在所记录的信号中生成不同的空间频率分量。在再一个实施例中，可从所述两个效果的组合而产生有限相干。

有限相干长度的来源也是在扫描干涉测量信号中存在信息的物理基础。特别地，扫描干涉测量信号包含有关复杂表面结构的信息，这是因为它是由通过很多不同波长和/或很多不同角度而接触测试表面的光线而产生的。

在这里描述的处理技术中，将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息(包括扫描干涉测量信号自身)和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。例如，可将测试对象建模为薄膜，并且，所述一系列特性可为用于薄膜厚度的一系列值。尽管所比较的信息可包括例如有关频域相位轮廓的信息，但它还可包括有关扫描干涉测量数据的形状的信息、和/或有关频域幅值轮廓的信息。此外，为使比较针对于复杂表面结构、而不是第一表面位置处的表面高度，多个模型可全部对应于第一表面位置处的测试对象的固定表面高度。所述比较自身可基于计算指明来自实际扫描干涉测量信号的信息和来自每个模型的信息之间的相似性的品质函数。例如，品质函数可指明可从扫描干涉测量数据导出的信息和通过一系列特性而参数化的函数之间的拟合。

此外，在一些实施例中，一系列特性对应于不同于第一位置的第二位置处的测试对象的特性，其包括例如对第一表面位置的界面信号作出贡献的衍射表面结构。由此，尽管我们经常将复杂表面结构称为与扫描干涉测量信号相对应的第一表面位置处的表面高度之外的某个事物，但复杂表面结构可对应于：和与对应于扫描干涉测量信号的第一表面位置相间隔的表面高度特征。

这里描述的方法和技术可用于半导体芯片的内部工艺(in-process)度量(metrology)测量。例如，扫描干涉测量术测量可用于：在对晶片上的电介质曾进行化学机械抛光(CMP)期间的非接触表面构形测量半导体晶片。CMP用来创建用于电介质层的平滑表面，其适于精确的光学印刷术。基于干涉测量构形方法的结果，可调节用于CMP的过程条件(例如，填充压力、抛光剂成分等)，以使表面非均匀性保持在可接受的限度内。

现在，我们总结本发明的各个方面和特征。

通常，在一个方面中，本发明的特征在于一种方法，其包括：将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。

本发明的实施例还可包括任意以下特征。

该方法还可包括：基于所述比较而确定用于测试对象的精确特性。

该方法还可包括：基于所述比较而确定对于第一表面位置的相对表面高度。此外，相对表面高度的确定可包括：基于所述比较而确定哪一个模型对应于测试对象的特性中的精确特性，并使用与精确特性相对应的模型来计算相对表面高度。

例如，与精确特性相对应的模型的使用可包括：补偿来自扫描干涉测量信号的数据，以减小从该精确特性产生的贡献。对数据的补偿可包括：从对于测试对象的扫描干涉测量信号的变换的相位分量中消除从该精确特性产生的相位贡献，并且，与精确特性相对应的模型的使用还可包括：在已消除从该精确特性产生的相位贡献之后，根据该变换的相位分量而计算相对表面高度。

在另一个例子中，使用与精确特性相对应的模型来计算相对表面高度可包括：确定用来将用于测试对象的信息与用于与精确特性相对应的模型的信息相比较的相关函数中的峰值的位置。

该方法还可包括：将可从用于附加的表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与多个模型相对应的信息相比较。并且，该方法还可包括：基于所述比较而确定用于测试对象的表面高度轮廓。

所述比较可包括：计算指明可从扫描干涉测量信号导出的信息和与每个模型相对应的信息之间的相似性的一个或多个品质函数。

所述比较可包括：将可从扫描干涉测量信号导出的信息与对应于模型的信息的表示相拟合。

与多个模型相对应的信息可包括：与每个测试对象的模型相对应的、有关扫描干涉测量信号的变换(例如，傅立叶变换)的至少一个幅值分量的信息。同样，可从扫描干涉测量信号导出的信息包括：有关对于测试对象的扫描干涉测量信号的变换的至少一个幅值分量的信息。

所述比较可包括：将测试对象的至少一个幅值分量的相对强度与每个模型的至少一个幅值分量的相对强度相比较。

与多个模型相对应的信息可为用于变换的坐标的函数。例如，与多个模型相对应的信息可包括：用于每个模型的变换的幅值轮廓。此外，所述比较可包括：将对于测试对象的扫描干涉测量信号的变换的幅值轮廓与对于模型的每个幅值轮廓相比较。

所述比较还可包括：将对于测试对象的扫描干涉测量信号的变换的相位轮廓中的信息与对于每个模型的变换的相位轮廓中的信息相比较。例如，相位轮廓中的信息可包括：有关相位轮廓相对于变换坐标的非线性的信息、和/或有关相位间隙值的信息。

可从扫描干涉测量信号导出并正被比较的信息可为一个数目。可替换地，可从扫描干涉测量信号导出并正被比较的信息可为函数。例如，它可为扫描位置的函数、或空间频率的函数。

可从将用于测试对象的扫描干涉测量信号变换(例如，傅立叶变换)为空间频率域，而导出用于测试对象的信息。用于测试对象的信息可包括有关变换的幅值轮廓、和/或变换的相位轮廓的信息。

用于测试对象的信息可与在第一位置处的用于测试对象的扫描干涉测量信号的形状相关。例如，用于测试对象的信息可与扫描干涉测量信号的形状中的条纹对比幅度相关。它还可与扫描干涉测量信号的形状中的过零点之间的相对间隔相关。还可将其表示为扫描位置的函数，其中，从扫描干涉测量信号的形状导出该函数。

所述比较可包括：计算用于测试对象的信息和用于每个模型的信息之间的相关函数(例如，复相关函数)。所述比较还可包括：确定每个相关函数中的一个或多个峰值。那么，该方法还可包括：基于与最大峰值相对应的模型的参数化而确定测试对象的精确特性。可替换地，或可添加地，该方法还可包括：基于相关函数中的至少一个峰值的坐标而确定第一表面位置处的测试对象的相对表面高度。

多个模型可对应于第一位置处的测试对象的固定表面高度。

一系列特性可包括测试对象的至少一个物理参数的一系列值。例如，测试对象可包括具有厚度的薄膜层，而物理参数可为第一位置处的薄膜厚度。

一系列特性可包括测试对象在不同于第一表面位置的第二表面位置处的一系列特性。例如，测试对象可包括：在将光衍射而对用于第一表面位置的扫描干涉测量信号作出贡献的第二表面位置处的结构。在一个例子中，第二表面位置处的一系列特性可包括：在第二位置处的阶跃高度的幅度的排列(permutation)、以及第二位置的定位。在另一个例子中，第二表面位置处的一系列特性可包括：用于光栅的调制深度的排列、以及光栅的偏移位置，其中，光栅在第二位置上延伸。

一系列特性可为用于测试对象的一系列表面材料。

一系列特性可为用于测试对象的一系列表面层配置。

可由扫描干涉测量系统产生扫描干涉测量信号，并且，所述比较可包括：考虑由扫描干涉测量系统产生的、对扫描干涉测量信号的系统贡献。例如，系统贡献可包括：有关对于从扫描干涉测量系统的组件的反射的相位改变中的离差的信息。此外，该方法还可包括：将对于附加表面位置的、可从扫描干涉测量信号导出的信息和与多个模型相对应的信息相比较，在该情况中，可对于表面位置中的多个而分辨系统贡献。该方法还可包括：使用具有已知属性的另一个测试对象，而校准扫描干涉测量系统的系统贡献。

可通过对从测试对象发出以在检测器上与参考光干涉的测试光进行成像、以及改变测试和参考光的干涉部分之间的从公共源到检测器的光路径长度差，来产生扫描干涉测量信号，其中，从公共源(例如，空间延伸的源)导出测试和参考光，并且，其中，扫描干涉测量信号对应于：在光路径长度差变化时，由检测器测量的干涉强度。

测试和参考光可具有大于测试和参考光的中心频率的5％左右的谱带宽。

公共源可具有谱相干长度，并且，光路径长度差在大于谱相干长度的范围上变化，以产生扫描干涉测量信号。

用来将测试光引导到测试对象上、并将其成像到检测器的光学器件可定义大于0.8左右的、用于测试光的数值孔径。

该方法还可包括：产生扫描干涉测量信号。

在另一个方面中，本发明的特征在于一种设备，其包括：计算机可读介质，其具有使计算机中的处理器将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较的程序，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。

该设备可包括上述与该方法相结合而描述的任意特征。

在另一个方面中，本发明的特征在于一种设备，其包括：扫描干涉测量系统，其被配置为产生扫描干涉测量信号；以及电子处理器，其被耦接到扫描干涉测量系统、以接收扫描干涉测量信号，并被编程为将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。

该设备可包括上述与该方法相结合而描述的任意特征。

通常，在另一个方面中，本发明的特征在于一种方法，其包括：对测试对象进行化学机械抛光；收集用于测试对象表面构形的扫描干涉测量数据；以及基于可从扫描干涉测量数据导出的信息，而调节用于化学机械抛光的过程条件。例如，过程条件可为填充压力和/或抛光剂成分。在优选实施例中，基于从扫描干涉测量数据导出的信息而调节过程条件可包括：将可对于测试对象的至少第一表面位置而从扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。对扫描干涉测量信号的分析还可包括对于首先提到的方法而描述的任意特征。

除非另外定义，这里使用的所有技术和科学术语具有与本发明所属的领域的技术人员所共同理解的相同意义。在与出版物、专利申请、专利、以及在此通过引用而合并的其它参考文档相冲突的情况下，将以包括限定的本说明书为准。

从下面的详细描述中，本发明的其它特征、目的、以及优点将会变得清楚。

附图说明

图1为干涉测量方法的流程图。

图2为示出图1的干涉测量方法的变化的流程图。

图3为Linnik型扫描干涉计的示意图；

图4为Mirau型扫描干涉计的示意图；

图5为示出测试样本透过物镜镜头的照度的图。

图6示出了在两种限制下用于扫描干涉测量数据的理论上的傅立叶幅值频谱。

图7示出了具有和不具有薄膜的两种表面类型。

图8示出了用于薄膜厚度为0的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数(merit function)搜索过程。

图8示出了用于薄膜厚度为0的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数搜索过程。

图9示出了用于薄膜厚度为50nm的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数搜索过程。

图10示出了用于薄膜厚度为100nm的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数搜索过程。

图11示出了用于薄膜厚度为300nm的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数搜索过程。

图12示出了用于薄膜厚度为600nm的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数搜索过程。

图13示出了用于薄膜厚度为1200nm的硅基板上的二氧化硅膜的仿真的品质函数搜索过程。

图14示出了为薄膜厚度以每像素10nm递增的方式从0至1500nm均匀变化的硅薄膜上的二氧化硅的仿真而确定的表面和基板轮廓，其中顶表面一直处于0。

图15示出了为除了已添加了随机噪声(来自平均128个强度位的2位rms)之外与图14中的仿真相同的仿真而确定的表面和基板轮廓。

图16示出了对于具有120nm的实际峰到谷调制深度的每毫米2400线的光栅(grating)、使用传统的FDA分析(图16a)以及在这里描述的库搜索方法(图16b)而确定的表面高度轮廓。

图17示出了在扫描与阶跃高度附近的各个表面位置相对应的像素的干涉信号时、由在分辨以下的阶跃高度引起的失真。

图18示出了与图17的在分辨以下的阶跃高度的左边(图18a)和右边(图18b)的表面位置相对应的像素的频域相位谱中的非线性失真。

图19示出了对于在分辨以下的阶跃高度、使用传统的FDA分析(图19a)以及在这里描述的库搜索方法(图1b)而确定的表面高度轮廓。

图20示出了无薄膜的基本硅基板的实际扫描干涉测量信号。

图21和22分别示出了用于裸露硅基板和在硅上具有1微米的二氧化硅的薄膜结构的干涉模板图案。

图23和24分别示出了作为图21和22中的模板函数的扫描位置的函数的品质函数。

在不同的附图中，相同的附图标记表示相同的元素。

具体实施方式

图1示出了一般性地描述本发明的一个实施例的流程图，其中，在空间频域中执行扫描干涉测量数据的分析。

参照图1，为测量来自测试对象表面的数据，使用干涉计来机械、或电光式地扫描参考和测量路径之间的光路径差(OPD)，其中测量路径指向对象表面。在扫描开始时的OPD是对象表面的局部高度的函数。在对于与对象表面的不同表面位置相对应的多个相机像素中的每个而进行OPD扫描的期间，计算机记录干涉强度信号。接下来，在存储了作为对于不同表面位置中的每个的OPD扫描位置的函数的干涉强度信号之后，计算机执行变换(例如，傅立叶变换)，以生成信号的频域频谱。该频谱包含：作为在扫描维度中的信号的空间频率的函数的幅度和相位信息两者。例如，在Peter de Groot一般拥有的标题为“Method and Apparatus for Surface Topography Measurements bySpatial-Frequency Analysis of Interferograms(用于通过干涉图的空间频率分析所进行的表面构形测量的方法和设备)”的美国专利第5398113号中公开了用于生成这样的频谱的适用频域分析(FDA)，在此，通过引用而将其内容合并。

在独立步骤中，计算机生成用于多种表面参数和干涉计的模型的频域频谱的理论预测的库。例如，这些频谱可覆盖可能的薄膜厚度、表面材料、以及表面纹理的范围。在优选实施例中，计算机生成用于恒定表面高度(例如，高度＝0)的库频谱。由此，在这样的实施例中，库不包含有关表面构形的信息，仅包含与表面结构的类型(type)、以及在生成频域频谱的区别特征时此表面结构、光学系统、照明度(illumination)和检测系统的相互作用相关的信息。作为替换，可使用采样伪像(artifact)而按照实验来生成预测库。作为另一种替换，库可使用由其它仪器(例如，椭圆偏振计(ellipsometer))提供的来自先前的对象表面的补充测量的信息、以及有关对象表面的已知属性的来自用户的任意其它输入，以便减少未知表面参数的数目。用于库创建、理论建模、实验数据、或由补充测量而扩充的理论的这些技术中的任意技术可通过插值来扩展、以生成中间值，其既可作为库创建的一部分，也可在库搜索期间实时进行。

在接下来的步骤中，通过提供表面结构参数的库搜索，而将实验数据与预测库相比较。在未知厚度的膜的示例情况中，用于单个表面类型(例如，硅上二氧化硅(SiO₂ on Si))的库将涵盖很多可能的膜厚度，其中顶表面高度一直等于0。另一个示例情况为表面粗糙度，用于表面粗糙度的可调整参数可为粗糙度深度和/或空间频率。库搜索致使与独立于表面高度的FDA频谱的那些特性相匹配，所述特性即：例如，与表面的总反射率相关的幅度谱的平均值，或在单色高NA系统中与反射光的散射角相关的、作为空间频率的函数的幅度中的变化。

该分析还可包括系统表征，其包括：例如，测量具有已知表面结构和表面构形的一个或多个参考伪像，以便确定未在理论模型中包括的诸如系统波前误差、色散(dispersion)、以及效率之类的参数。

此外，该分析可包括总体校准，其包括：例如，测量一个或多个参考伪像，以确定所测量的表面参数之间的相关，所述表面参数即：例如，通过库搜索而确定的膜厚度、以及如通过例如椭圆偏振测量(ellipsometric)分析而独立确定的用于这些参数的值。

基于实验数据与预测库的比较，计算机识别与最佳匹配相对应的表面模型。随后，可向用户或主机系统数值化或图形化地显示或传送表面参数结果，用于进一步的分析、或用于数据存储。计算机随后可使用表面参数结果来确定除了通过库搜索而识别的特性之外的表面高度信息。在一些实施例中，例如，计算机通过直接从实验相位谱中减去对应的理论相位谱，而生成补偿相位谱。随后，例如，计算机通过分析由线性拟合(linear fit)生成的系数而分析作为空间频率的函数的补偿相位，而对于一个或多个表面点确定局部表面高度。之后，计算机生成由高度数据构造的完整的三维图像、以及对应的图像平面坐标，连同如通过库搜索而确定的表面特性的图形或数值显示。

在一些情况中，可重复执行库搜索和数据收集，以进一步改善结果。具体地，可通过创建与局部表面类型相关的精细化的库，基于逐个像素或区域而精细化库搜索。例如，如果在最初的库搜索期间发现表面具有约1微米的薄膜，那么，计算机可生成接近1微米的示例值的精细粒度(fine-grain)库，以进一步精细化搜索。

在另一个实施例中，用户可能仅对通过预测库建模的表面特性、而不是表面高度感兴趣，在该情况中，不执行用于确定表面高度的步骤。相反，用户可能仅对表面高度、而不是通过预测库建模的表面特性感兴趣，在该情况中，计算机使用实验数据和预测库之间的比较来补偿用于表面特性的贡献的实验数据，以便更精确地确定表面高度，而不需要显式地确定表面特性、或显示它们。

可将该分析应用于多种表面分析问题，其包括：简单薄膜(在该情况中，例如，所感兴趣的可变参数可为膜厚度、膜的折射率、基板的折射率、或它们的某些组合)；多层薄膜；衍射或生成复杂的干涉效果的陡边缘和表面特征；未分辨(unresolved)的表面粗糙度；未分辨的表面特征，例如，另外的平滑表面上的子波长宽度凹槽(groove)；不相似材料(例如，该表面可包括薄膜和固体金属的组合，在该情况中，库可包括所述两个表面结构类型，并通过匹配到对应的频域频谱而自动识别薄膜或固体金属)；旋光性(optical activity)，如荧光；表面的光谱(spectroscopic)属性，如颜色合依赖于波长的反射率；依赖于偏振的表面属性；表面的偏转、振动、或运动、或者可变形表面特征，其导致干涉信号的扰动(perturbation)；以及与数据获取过程(例如，数据获取窗未完全涵盖干涉强度数据)相关的数据失真。

干涉计可包括以下特征中的任意特征：具有高数值孔径(NA)物镜的谱窄带光源；谱宽带光源；高NA物镜和谱宽带光源的组合；干涉测量显微镜物镜，其包括例如Michelson、Mirau或Linnik几何形状(geometry)的、油/水浸入(immersion)和固体浸入型；在多波长上的测量序列；非偏振光；以及包括线性、圆形、或结构化(structured)的偏振光。例如，结构化的偏振光可涉及：例如，偏振掩模(polarization mask)，其为照射或成像瞳孔(pupil)的不同片段而生成不同偏振，以便展示出可归咎于表面特性的依赖于偏振的光学效果。干涉计还可包括上述总体系统校准。

在比较理论数据和实验数据时，库搜索可基于以下标准中的任意标准：频谱中的幅度和/或相位数据的乘积、或它们之间的差，其包括例如平均幅度和平均相位、平均幅度自身、以及平均相位自身的乘积、或它们之间的差；幅度谱的斜率、宽度和/或高度；干涉相衬(interference contrast)；处于DC或0空间频率的频谱中的数据；幅度谱的非线性或形状；相位的0频率截距(intercept)；相位谱的非线性或形状；以及这些标准的任意组合。注意，如在这里所使用的，可互换地使用幅度(magnitude)和幅值(amplitude)。

图2示出了一般性地描述用于分析扫描干涉测量数据的另一个实施例的流程图。除了实验数据和预测库之间的比较是基于扫描坐标域中的信息之外，该分析类似于对图1所描述的分析。可利用通过针对于扫描坐标的包络函数的幅值调制的准周期的载波振荡，而表征试验信号。在比较理论和实验数据时，库搜索可基于以下标准中的任意标准：平均信号强度；信号包络的形状，其包括例如与某个理想或参考形状(如高斯型)的偏差；载波信号相对于包络函数的相位；过零点和/或信号最大值和最小值的相对间隔；用于最大值和最小值的值、以及它们的次序；在对于最佳相对扫描位置而进行了调整之后，库和所测量的信号之间的相关的峰值；以及这些标准的任意组合。

在下面，我们提供了对所述分析的详细数学描述，并提供了例子。第一，我们描述示例扫描干涉计。第二，我们确定用于扫描干涉测量数据的数学模型。第三，我们描述表面的光学属性、以及如何使用这样的信息来生成用于不同表面特性的干涉测量数据的精确模型。第四，我们描述可如何将实验干涉测量数据与预测库相比较，以提供有关测试对象的信息。首先，我们将描述薄膜应用，并且，之后，我们将描述对其它复杂的表面结构的应用，具体地，在光学分辨以下的(under-resolved)阶跃高度和光栅图案。并且，我们首先针对于空间频域中的分析，并且，之后，我们将描述扫描坐标域中的分析。

图3示出了Linnik型扫描干涉计。通过分束器104而部分地传送来自源(未示出)的照射光102，以定义参考光106，并且，通过分束器104而部分地反射照射光102，以定义测量光108。通过测量物镜110而将测量光聚焦到测试样本112(例如，包括一个或多个不相似材料的单层或多层薄膜的样本)上。类似地，通过参考物镜114而将参考光聚焦到参考镜116上。优选地，测量和参考物镜具有共同的光学属性(例如，相匹配的数值孔径)。从测试样本112反射(或者，散射或衍射)的测量光通过测量物镜110而传播回来，通过分束器104而传送，并通过成像镜头118而被成像到检测器120上。类似地，从参考镜116反射的参考光通过参考物镜114而传播回来，通过分束器104而反射，并通过成像镜头118而被成像到检测器120上，其中，它与测量光相干涉。

为了简化起见，图3示出了分别聚焦到测试样本和参考镜上的特定点上、并随后在检测器的对应点上干涉的测量和参考光。这样的光对应于与干涉计的测量和参考腿(reference leg)的瞳孔平面相垂直而传播的照射光的那些部分。照射光的其它部分最后照射测试样本和参考镜上的其它点，随后被成像到检测器上的对应点上。在图3中，用与被成像到检测器上的对应点上的、从测试样本上的不同点发出的主光线相对应的虚线122将其图示。主光线与作为测量物镜110的后聚焦平面的测量腿(measurement leg)的瞳孔平面124的中心相交。在与主光线的角度不同的角度上从测试样本发出的光在瞳孔平面124的不同位置处相交。

在优选实施例中，检测器120为用来独立测量与测试样本和参考镜上的不同点相对应的、测量和参考光之间的干涉(即，用来提供对干涉图案的空间分辨率)的多元件(即，多像素)相机。

如在图3中用扫描坐标ζ所表示的，耦接到测试样本112的扫描级26扫描测试样本相对于测量物镜110的位置。例如，扫描级可基于压电换能器(PZT)。在对测试样本的相对位置进行扫描时，检测器120测量检测器的一个或多个像素处的光学干涉的强度，并将该信息发送到计算机128用于分析。

因为在测量光被聚焦到测试样本上的区域中发生扫描，所以，取决于入射到测试样本上并从测试样本发出的测量光的角度，该扫描不同地改变测量光从源到检测器的光路径长度。结果，取决于入射到测试样本上并从测试样本发出的测量光的角度，测量和参考光的干涉部分之间的从源到检测器的光路径长度差(OPD)按照扫描坐标ζ而不同地按比例变化。在本发明的其它实施例中，可通过扫描参考镜116相对于参考物镜114的位置(而不是相对于测量物镜110来扫描测试样本112)而实现相同的结果。

OPD如何随着扫描坐标ζ而变化的此差异引入了：在检测器的每个像素处测量的干涉信号中的有限的相干长度。例如，典型地，通过具有大约λ/2(NA)²的空间相干长度的包络而调制干涉信号(作为扫描坐标的函数)，其中，λ为照射光的标称波长，而NA为测量和参考物镜的数值孔径。如在下面进一步描述的，对干涉信号的调制提供了有关测试样本的反射率的依赖于角度的信息。为增大有限的空间相干性，优选地，扫描干涉计中的物镜定义大数值孔径，例如，大于0.7左右(或者，更优选地，大于0.8左右，或大于0.9左右)。还可通过与照射源的谱带宽相关联的有限的时间相干长度来调制干涉信号。取决于干涉计的配置，这些有限的相干长度效果中的一个或其它可占优势，或者，它们均可在实质上对总相干长度作出贡献。

扫描干涉计的另一个例子为图4中示出的Mirau型干涉计。

参照图4，源模块205向分束器208提供照射光206，分束器208将它引导到Mirau干涉测量物镜组件210。组件210包括物镜镜头211；参考平板212，在其定义参考镜215的很小的中心部分上具有反射涂层；以及分束器213。在操作期间，物镜镜头211通过参考平板212、朝向测试样本220而使照射光聚焦。分束器213将聚焦光的第一部分反射到参考镜215，以定义参考光222，并将聚焦光的第二部分传送到测试样本220，以定义测量光224。随后，分束器213将从测试样本220反射(或散射)的测量光与从参考镜215反射的参考光重新组合，并且，物镜211和成像镜头230对所组合的光进行成像，以在检测器(例如，多像素相机)240上干涉。如在图3的系统中的那样，将来自检测器的测量信号(多个)发送到计算机(未示出)。

图4的实施例中的扫描涉及耦接到Mirau干涉测量物镜组件210的压电换能器(PZT)260，其被配置为沿着物镜211的光轴而相对于测试样本220扫描作为整体的组件210，以提供相机的每个像素处的扫描干涉测量数据I(ζ，h)。可替换地，PZT可被耦接到测试样本而不是组件210，以提供其间的相对运动，如由PZT致动器270所指明的。在再一个实施例中，可通过沿着物镜211的光轴、相对于物镜211移动参考镜215和分束器213中的一个或全部两个，而提供该扫描。

源模块205包括空间延伸的源201、由镜头202和203形成的望远镜(telescope)、以及位于镜头202的前聚焦平面(其与镜头203的后聚焦平面一致)的光阑(stop)204。此配置将空间延伸的源成像到Mirau干涉测量物镜组件210的瞳孔平面245上，这是Koehler成像的例子。光阑的大小控制测试样本220上的照射区域的大小。在其它实施例中，源模块可包括一种配置，其中，将空间延伸的源直接成像到测试样本上，这被称为临界成像(critical imaging)。任一类型的源模块均可用于图1的Linnik型扫描干涉测量系统。

在本发明的其它实施例中，可使用扫描干涉测量系统来确定有关测试样本的、依赖于角度的散射或衍射信息，即，用于散射测量。例如，可使用扫描干涉测量系统来通过仅在非常窄的范围的入射角上的测试入射(例如，基本上垂直(normal)或平行(collimated)的入射)而照射测试样本，随后可通过测试样本来散射或衍射所述测试入射。将从该样本发出的光成像到相机，以便如上所述而与参考光相干涉。扫描干涉测量信号中的每个分量的空间频率将依赖于随从测试样本发出的测试光的角度的变化。由此，跟随有傅立叶分析的垂直扫描(即，沿着物镜的光轴的扫描)允许作为发出角度的函数的衍射和/或散射光的测量，而不直接对物镜的后聚焦平面进行访问或成像。为提供基本上垂直的入射照射，例如，可将源模块配置为：将点源成像到瞳孔平面上，或减小照射光填充测量物镜的数值孔径的程度。散射测量技术对于分辨可能会将光衍射和/或散射到更高的角度的样本表面中的离散结构(如光栅线、边缘、或一般表面粗糙度)来说可能是有用的。

这里，在很多分析中，假定瞳孔平面中的光的偏振状态是随机的，即，由近似相等数量的s(与入射平面正交)偏振和p(与入射平面正交)偏振。可替换的偏振是有可能的，其包括纯s偏振，如可通过位于瞳孔平面中的径向偏振器而实现的(例如，在Linnik干涉计的情况中，在测量对象的后聚焦平面中，以及在Mirau干涉计的情况中，在公共物镜的后聚焦平面中)。其它可能的偏振包括径向p偏振、圆偏振、以及用于椭圆偏振测量的调制偏振(例如，一个跟着另一个的两种状态)。换句话说，可不仅针对于测试样本的光学属性对角度或波长的依赖性，还可针对于它们的偏振依赖性、或针对于所选偏振，来分辨测试样本的光学属性。还可使用这样的信息来改善薄膜结构表征的精度。

为提供这样的椭圆偏振测量，扫描干涉测量系统可包括：在瞳孔平面中的固定或可变的偏振器。再次参照图4，例如，Mirau型干涉测量系统包括瞳孔平面中偏振光学器件(optics)280，用来选择入射到测试样本并从测试样本发出的光的期望偏振。此外，偏振光学器件可被重新配置，以改变所选偏振。偏振光学器件可包括：包括偏振器、波片、变迹孔径(apodization apertures)和/或用于选择给定偏振的调制元件的一个或多个元件。此外，为了生成类似于椭圆偏振计的数据的目的，偏振光学器件可为固定、结构化、或可重新配置的。例如，具有用于s偏振的径向偏振瞳孔、之后是用于p偏振的径向偏振瞳孔的第一测量。在另一个例子中，可使用通过线性偏振光而变迹(apodized)的瞳孔平面，例如，可在瞳孔平面中旋转的切口(slit)或楔形(wedge)，以便将任意期望的线性偏振状态引入到该对象、或例如液晶显示器的可重新配置的屏。

此外，偏振光学器件可提供越过瞳孔平面的可变偏振(例如，通过包括多个偏振器或空间调制器)。由此，例如，可通过为比浅角度(shallow angle)高的入射角而提供不同的偏振，而根据空间频率来“标记(tag)”偏振状态。

在再一个实施例中，可将可选偏振与作为偏振的函数的相移相合并。例如，偏振光学器件可包括线性偏振器，其位于瞳孔平面中，并且，后面跟随有在瞳孔平面的相对象限中的两个波片(例如，八分之一波片)。线性偏振针对于物镜的入射平面而产生全范围的偏振角。例如，如果将波片排列为使得预先占优势的s偏振光具有固定的相移，那么，以同时、但彼此相移了例如pi的方式而呈现径向s偏振和p偏振的光两者，以便干涉计有效地检测这两个偏振状态之间的差，作为基础信号。

在另一个实施例中，偏振光学器件可定位于设备中的其它位置。例如，可在系统中的任意位置实现线性偏振。

现在，我们描述用于扫描干涉测量信号的物理模型。

对象表面具有高度特征h，我们希望其配置(profile)在由横坐标(lateralcoordinate)x，y指示的区域上。该级(stage)提供了任一干涉物镜、或对象自身(如所示出的)的平滑、连续的扫描ζ。在扫描期间，计算机为连续相机帧中的每个图像点或相机像素记录强度数据I_ζ，h。注意，通过下标(我们会在全文中采用的标记)而指明了强度I_ζ，h对于扫描位置和表面高度的关键依赖性。

考虑到光源的部分相干、干涉计中的偏振混合、高NA物镜的成像属性、以及高入射角和在存在不连续的表面特征时的电场向量之间的相互作用，光学器件的适当物理模型可能是非常精细的。为了方便起见，我们通过假定随机偏振和漫射、低相干延伸的源，而简化该模型。对干涉信号建模简化为：如图5所示，将以入射角Ψ通过物镜的瞳孔平面、并从对象表面反射的所有光线束(bundle)的贡献相加。

通过光学系统的单个光线束的干涉贡献与以下等式成比例：

$g_{\mathrm{\β},k,\mathrm{\ζ},h}=R_{\mathrm{\β},k}+Z_{\mathrm{\β},k}+2\sqrt{R_{\mathrm{\β},k}{Z}_{\mathrm{\β},k}}\cos [2\mathrm{\βk}{n}_0(h-\mathrm{\ζ})+({\mathrm{\υ}}_{\mathrm{\β},k}-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\β},k})]...\left(1\right)$

其中，Z_β，k为有效对象强度反射率，其包括：例如，分束器的影响，并且，R_β，k为有效参考反射率，其包括分束器和参考镜两者。周围介质的指标(index)为n₀，入射角Ψ的方向余弦为

β＝cos(Ψ)    (2)

并且，源照射的波数为

k＝(2π/λ)    (3)

相位的符号约定使表面高度的增加对应于相位的正改变。相位项具有：对干涉计中的对象路径(object path)的贡献ω_β，k，其包括来自对象表面的薄膜影响；以及对参考路径的贡献υ_β，k，其包括参考镜和物镜中的其它光学器件。

在瞳孔平面上积分的总干涉信号与以下等式成比例：

$I_{\mathrm{\ζ},h}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{1}{\∫}}{g}_{\mathrm{\β},k,\mathrm{\ζ},h}{U}_{\mathrm{\β}}{V}_k\mathrm{\βd\βdk}...\left(4\right)$

其中，U_β为瞳孔平面光分布，而V_k为光谱分布。等式(4)中的加权因子β从可归咎于投射角的cos(Ψ)项、以及用于瞳孔平面中的宽度dψ的环面的直径sin(Ψ)项而得出：

  cos(Ψ)sin(Ψ)dψ＝-βdβ       (5)

这里，如图5所示，假定物镜服从Abbé正弦条件。这个相对简化的加权对于随机偏振的空间相干照射(其中，所有光线束彼此独立)来说是可能的。最后，基于所有入射角的积分限表示0≤β≤1，而基于所有波数的谱积分的积分限表示0≤k≤∞。

在频域分析(FDA)中，我们首先计算干涉强度信号I_ζ，h的傅立叶变换。对于直接量(literal)(非数值的)分析，我们将使用未标准化的傅立叶积分：

$q_{K,h}=\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{I}_{\mathrm{\ζ},h}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)\mathrm{d\ζ}...\left(6\right)$

其中，K为空间频率，例如，以每微米的周期为单位。频域值q_K，h带有倒数波数的单位，例如微米。从其而得出功率谱：

  Q_k，h＝|q_k，h|²             (7)

以及相位谱：

${\mathrm{\φ}}_{K,h}^{\′\′}=\arg \left(q_{K,h}\right)...\left(8\right)$

用于φ_k，h″的双引号意味着：在条文级别中存在双层(two-fold)不确定性(uncertainty)，其为逐个像素、并在总体上与扫描的开始点有关的形式。传统的FDA随后直接前进到由被功率谱φ_k，h″加权的相位谱Q_k，h的线性拟合而进行的表面构形的确定。该拟合为每个像素提供斜率：

σ_h≈dφ″/dK        (9)

以及截距(intercept)：

$A^{\′\′}\≈{\mathrm{\φ}}_{K=0,h}^{\′\′}...\left(10\right)$

注意，截距或“相位间隙”A″与高度h无关，但带有从相位数据中的条文级别不确定性继承的双引号。斜率σ无此不确定性。根据截距A″和斜率σ_h，我们可为特定意义(mean)或标称空间频率K0而定义“相干轮廓(profile)”：

Θ_h＝σ_hK0         (11)

以及“相位轮廓”

${\mathrm{\θ}}_h^{\′\′}={\mathrm{\Θ}}_h+A^{\′\′}...\left(12\right)$

对于无薄膜和不相似材料影响的完美一致、均匀的电介质表面、以及对于色散完美平衡的光学系统的简单、理想的情况，相位和相干轮廓于表面高度线性地成比例：

h_Θ＝Θ_h/K0        (13)

$h_{\mathrm{\θ}}^{\′\′}={\mathrm{\θ}}_h^{\′\′}/K0...\left(14\right)$

在这两个高度计算中，基于相位的高度值h_θ″更精确，但其具有在单色干涉测量的条纹级别(fringe order)特性中的不确定性。对于高分辨率，我们可基于相干性而使用无二义性但较不精确的高度值h_Θ，以消除此不确定性，并产生最终值h_Θ。

传统的FDA假定：即使对于较差的理想化的情形，干涉相位φ_k，h″仍然几乎是空间频率的线性函数。然而，对于本实施例，我们通过将实验数据与可包括高度非线性相位谱和所关联的功率谱的调制的理论预测相比较，而确定表面结构的关键参数。

对此，我们将傅立叶变换等式(6)的定义与干涉信号等式(4)合并为用于所预测的FDA谱的以下方程：

$q_{K,h}=\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{1}{\∫}}{g}_{\mathrm{\β},k,\mathrm{\ζ},h}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)U_{\mathrm{\β}}{V}_k\mathrm{\βd\βdkd\ζ}...\left(15\right)$

为改善计算效率，可执行等式(15)中的三重积分的部分直接量求值(evaluate)。

等式(15)的直接量分析随着积分次序的改变而开始，以首先对在固定的β和k下、在所有扫描位置ζ上的各个干涉信号g_{β，k，ζ，h}求值：

$q_{K,h}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{1}{\∫}}{U}_{\mathrm{\β}}{V}_k\mathrm{\β}\left\{\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{g}_{\mathrm{\β},k,\mathrm{\ζ},h}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)\mathrm{d\ζ}\right\}\mathrm{d\βdk}...\left(16\right)$

在g_{β，k，ζ，h}中的余弦项以使用如下等式的常用方式的展开之后，

2cos(u)＝exp(iu)+exp(-iu)      (17)

ζ上的内积分求值为：

$\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{g}_{\mathrm{\β},k,\mathrm{\ζ},h}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)\mathrm{d\ζ}={\mathrm{\δ}}_K(R_{\mathrm{\β},k}+Z_{\mathrm{\β},k})...$

$+{\mathrm{\δ}}_{(K-2\mathrm{\βk}{n}_0)}\sqrt{R_{\mathrm{\β},k}{Z}_{\mathrm{\β},k}}\exp [i2\mathrm{\βk}{n}_{0}h+i({\mathrm{\υ}}_{\mathrm{\β},k}-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\β},k})]...\left(18\right)$

$+{\mathrm{\δ}}_{(K+2\mathrm{\βk}{n}_0)}\sqrt{R_{\mathrm{\β},k}{Z}_{\mathrm{\β},k}}\exp [-i2\mathrm{\βk}{n}_{0}h-i({\mathrm{\υ}}_{\mathrm{\β},k}-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\β},k})]$

其中，我们已使用了

${\mathrm{\δ}}_K=\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)\mathrm{d\ζ}...\left(19\right)$

${\mathrm{\δ}}_{(K\±2\mathrm{\βk}{n}_0)}=\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)\exp (\±i2\mathrm{\βk}{n}_0\mathrm{\ζ})\mathrm{d\ζ}...\left(20\right)$

δ函数随其带有自变量的倒数物理单位，在此情况中是倒数波数。

这些delta函数使空间频率K和积2βkn₀之间的等价性有效。因此，用于下一个积分的变量的逻辑改变为：

$\mathrm{\β}=\widehat{\mathrm{\κ}}/2k{n}_0...\left(21\right)$

$\mathrm{d\β}=d\widehat{\mathrm{\κ}}/2k{n}_0...\left(22\right)$

其中，具有与空间频率K相同的意义，但将被用作自由积分变量。可将等式(18)写为：

$q_{K,h}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{2k{n}_0}{\∫}}{\mathrm{\δ}}_K(R_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}+Z_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}){\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}\mathrm{dk}...$

$+\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{2k{n}_0}{\∫}}{\mathrm{\δ}}_{(K-\widehat{\mathrm{\κ}})}\sqrt{R_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}{Z}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}}\exp [i\widehat{\mathrm{\κ}}h+i({\mathrm{\υ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}-{\mathrm{\ω}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k})]{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}\mathrm{dk}...\left(23\right)$

$+\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{2k{n}_0}{\∫}}{\mathrm{\δ}}_{(K+\widehat{\mathrm{\κ}})}\sqrt{R_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}{Z}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}}\exp [-i\widehat{\mathrm{\κ}}h-i({\mathrm{\υ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}-{\mathrm{\ω}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k})]{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}\mathrm{dk}$

其中

${\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}=\frac{U_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}{V}_k\widehat{\mathrm{\κ}}}{4k^2{n}_0^2}...\left(24\right)$

注意，由于变量中的改变，对于等式(23)中的R、Z、υ、ω项的β依赖性变为对

和k的依赖性。

对于接下来的步骤，我们首先注意到：

$\underset{0}{\overset{2k{n}_0}{\∫}}{\mathrm{\δ}}_K{f}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}={\mathrm{\δ}}_K\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{({2\mathrm{kn}}_0-\widehat{\mathrm{\κ}})}{f}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(25\right)$

$\underset{0}{\overset{2k{n}_0}{\∫}}{\mathrm{\δ}}_{(K-\widehat{\mathrm{\κ}})}{f}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}=f_{K,k}{H}_K{H}_{({2\mathrm{kn}}_0-K)}...\left(26\right)$

$\underset{0}{\overset{2k{n}_0}{\∫}}{\mathrm{\δ}}_{(K+\widehat{\mathrm{\κ}})}{f}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}=f_{-K,k}{H}_{-K}{H}_{({2\mathrm{kn}}_0+K)}...\left(27\right)$

其中，H为通过以下等式定义的无单位的海维赛德阶跃函数(unitless Heavisidestep function)。

并且，f为K和k的任意函数。使用等式(25)至(27)，等式(23)变为：

$q_{K,h}={\mathrm{\δ}}_K\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{(2k{n}_0-\widehat{\mathrm{\κ}})}(R_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}+Z_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}){\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}\mathrm{dk}...$

$+\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_K{H}_{(2k{n}_0-K)}\sqrt{R_{K,k}{Z}_{K,k}}\exp [\mathrm{iKh}+i({\mathrm{\υ}}_{K,k}-{\mathrm{\ω}}_{K,k})]{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}...\left(29\right)$

$+\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{-K}{H}_{(2k{n}_0+K)}\sqrt{R_{-K,k}{Z}_{-K,k}}\exp [\mathrm{iKh}-i({\mathrm{\υ}}_{K,k}-{\mathrm{\ω}}_{-K,k})]{\mathrm{\Γ}}_{-K,k}\mathrm{dk}$

现在使用

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{(2k{n}_0-\widehat{\mathrm{\κ}})}{f}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}d\widehat{\mathrm{\κ}}\mathrm{dk}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{(2k{n}_0-\widehat{\mathrm{\κ}})}{f}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(30\right)$

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_K{H}_{(2k{n}_0-K)}{f}_{K,k}\mathrm{dk}=H_K\underset{K/2n_0}{\overset{\mathrm{\β}}{\∫}}{f}_{K,k}\mathrm{dk}...\left(31\right)$

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{-K}{H}_{(2k{n}_0+K)}{f}_{-K,k}\mathrm{dk}=H_{-K}\underset{-K/2n_0}{\overset{\mathrm{\β}}{\∫}}{f}_{-K,k}\mathrm{dk}...\left(32\right)$

我们有了最后的结果

$q_{K,h}={\mathrm{\δ}}_K\underset{\mathrm{\κ}=0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{\widehat{\mathrm{\κ}}/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}(R_{\mathrm{\κ},k}+Z_{\mathrm{\κ},k}){\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}$

$+H_K\exp \left(\mathrm{iKh}\right)\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}\sqrt{R_{K,k}{Z}_{K,k}}\exp \left[i({\mathrm{\υ}}_{K,k}-{\mathrm{\ω}}_{K,k})\right]{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}...$

$+H_{-K}\exp \left(\mathrm{iKh}\right)\underset{-K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}\sqrt{R_{-K,k}{Z}_{-K,k}}\exp [-i({\mathrm{\υ}}_{K,k}-{\mathrm{\ω}}_{-K,k})]{\mathrm{\Γ}}_{-K,k}\mathrm{dk}...\left(33\right)$

因为存在较少的积分，所以，等式(33)比原始的(15)的三重积分在计算上显著地更有效率。

对于分析性地求解，一些限制情况是有趣的。例如，如果相位贡献(υ_K，k-ω_K，k)＝0、且反射率R、Z与入射角度和波长无关，那么，等式(33)简化为：

$q_{K,h}={\mathrm{\δ}}_K(R+Z)\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{\widehat{\mathrm{\κ}}/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}$

$+H_K\exp \left(\mathrm{iKh}\right)\sqrt{\mathrm{RZ}}\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}...\left(34\right)$

$+H_{-K}\exp \left(\mathrm{iKh}\right)\sqrt{\mathrm{RZ}}\underset{-K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{-K,k}\mathrm{dk}$

并且，我们仅必须处理涉及在等式(24)中定义的加权因子Г_K，k的积分。此理想化的情况简化了对等式(34)的两个其它限制情况的求值，所述两个其它限制情况即：通过高NA物镜的近单色照射、以及通过低NA的宽带照射。

对于具有窄光谱带宽k_Δ的近单色光源的情况，我们有标准化频谱：

$V_k=\frac{1}{k_{\mathrm{\Δ}}}{H}_{(k-k0)}{H}_{(k0+k_{\mathrm{\Δ}}-k0)}...\left(35\right)$

其中，k0为标准化源波数。现在，等式(34)中的积分具有以下形式：

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}=\frac{1}{4n_0^2{k}_{\mathrm{\Δ}}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}H(k0-\widehat{\mathrm{\κ}}/2n_0)\widehat{\mathrm{\κ}}\underset{k0}{\overset{k0+k_{\mathrm{\Δ}}}{\∫}}\frac{U_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}}{k^2}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(36\right)$

$\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}=\frac{1}{4n_0^2{k}_{\mathrm{\Δ}}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}H(k0-K/2n_0)K\underset{k0}{\overset{k0+k_{\mathrm{\Δ}}}{\∫}}\frac{U_{K,k}}{k^2}\mathrm{dk}...\left(37\right)$

假定U_K，k在小带宽k_Δ上基本上恒定，我们有：

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{H}_{(k0-\widehat{\mathrm{\κ}}/{2n}_0)}{U}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k0}\frac{\widehat{\mathrm{\κ}}}{4n_0^{2}k{0}^2}d\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(38\right)$

$\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}=H_{(k0-K/2n_0)}{U}_{K,k0}\frac{K}{4n_0^{2}k{0}^2}...\left(39\right)$

其中，在积分的求值中，我们已使用了：

$\frac{-1}{k0+k_{\mathrm{\Δ}}}+\frac{1}{k0}\≈\frac{k_{\mathrm{\Δ}}}{k0}...\left(40\right)$

其对于窄带宽k_Δ＜＜k0有效。特别地，频谱的正、非0部分化简为：

$q_{K>0,h}=\frac{H_k{H}_{(k0-K/2n_0)}{U}_{K,2n_{0}k0}K\sqrt{\mathrm{RZ}}}{4n_0^{2}k{0}^2}\exp \left(\mathrm{iKh}\right)...\left(41\right)$

由此，对于窄光谱带宽光源、恒定反射率R、Z、并且无相位贡献ω的此特殊情况，

${\mathrm{\φ}}_{K,h}^{\′\′}=\mathrm{Kh}...\left(42\right)$

在此特殊情况中，与传统的FDA相一致，相位与表面高度线性地成比例。空间频率还具有与方向余弦的直接对应：

K＝β2n₀k0           (43)

由此，在FDA频谱的空间频率坐标和入射角度之间存在一对一的关系。还要注意，根据等式(41)而计算傅立叶幅度中的K加权。这在示例频谱图6(a)中很明显，该图示出了对从垂直入射开始直到由物镜NA所施加的方向余弦限制为止的范围上的瞳孔平面的完美一致的填充的理论预测：

${\mathrm{\β}}_{\mathrm{NA}}=\sqrt{1-{\mathrm{NA}}^2}...\left(44\right)$

作为第二例子，考虑具有被限制为接近垂直入射的方向余弦的窄范围β_△的一致照射的宽带照射的情况。那么，标准化的瞳孔平面分布为：

$U_{\mathrm{\β}}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}}}{H}_{1-\mathrm{\β}}{H}_{\mathrm{\β}-\left(1{-\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}}\right)}...\left(45\right)$

在改变变量之后，

$U_{K,k}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}}}{H}_{(2k{n}_0-K)}{H}_{[K-2k{n}_0(1-{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}})]}...\left(46\right)$

在此情况中，等式(34)中的定积分的形式为：

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{\widehat{\mathrm{\κ}}/2n_0}{\overset{\widehat{\mathrm{\κ}}/(1-{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}})2n_0}{\∫}}\frac{V_k\widehat{\mathrm{\κ}}}{4k^2{n}_0^2}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(47\right)$

$\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}}}\underset{K/2n_0}{\overset{K/(1-{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}})2n_0}{\∫}}\frac{V_{k}K}{4k^2{n}_0^2}\mathrm{dk}...\left(48\right)$

其被求值为：

$\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{\widehat{\mathrm{\κ}},k}\mathrm{dkd}\widehat{\mathrm{\κ}}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{V_{\widehat{\mathrm{\κ}}/2n_0}}{2n_0}d\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(49\right)$

$\underset{K/2n_0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\Γ}}_{K,k}\mathrm{dk}=\frac{V_{K/2n_0}}{2n_0}...\left(50\right)$

其中，我们已使用了

$\frac{(1-{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}})2n_0}{\widehat{\mathrm{\κ}}}-\frac{2n_0}{\widehat{\mathrm{\κ}}}=-\frac{2n_0{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\Δ}}}{\widehat{\mathrm{\κ}}}...\left(51\right)$

频谱的正、非0部分用于此宽带源照射，并且，因此，近垂直入射为：

$q_{K>0,h}=\frac{V_{K/2n_0}\sqrt{\mathrm{RZ}}}{2n_0}\exp \left(\mathrm{iKh}\right)...\left(52\right)$

这近似对应于这样的熟悉结果，即：例如，如用于以标称或中间波长k0为中心的高斯频谱的图6(b)所示，傅立叶幅度

与源频谱分布V_K/2n0成比例。注意，与传统的FDA相一致，等式(25)也遵循线性相位演变(evolution)的假定，即：

${\mathrm{\φ}}_{K,h}^{\′\′}=\mathrm{Kh}...\left(53\right)$

由于从干涉强度I_ζ，h的傅立叶变换导出傅立叶幅度 $\sqrt{Q_{K,h}}=\left|q_{K,h}\right|$ 和相位 ${\mathrm{\φ}}_{K,h}^{\′\′}=\arg \left(q_{K,h}\right),$ 所以，逆傅立叶变换使我们回到实干涉信号的域中：

$I_{\mathrm{\ζ},h}=\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{q}_{\widehat{\mathrm{\κ}},h}\exp (-i\widehat{\mathrm{\κ}}\mathrm{\ζ})d\widehat{\mathrm{\κ}}...\left(54\right)$

其中，我们再次使用了

用于空间频率，以强调它是等式(54)中的积分的自由变量。由此，计算强度信号的一种方式是：通过等式(33)而生成傅立叶分量q_K，h，并使用等式(54)而变换为I_ζ，h。

我们假定当前模型中的光源的随机偏振。然而，这不意味着我们应当忽略偏振影响。相反，在以上计算中，我们假定从由照射的入射平面定义的两个正交偏振状态s和p得到的被同等加权的相干重叠(superposition)。通过对偏振使用下标注释，

$q_{\mathrm{\β},k}=q_{\mathrm{\β},k}^s+q_{\mathrm{\β},k}^p...\left(55\right)$

因此，在此β、k下的非偏振光的平均相位角将为：

$\⟨{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{\β},k}^{\′\′}\⟩=\arg (q_{\mathrm{\β},k}^s+q_{\mathrm{\β},k}^p)...\left(56\right)$

注意，除非对于两个偏振贡献来说幅度相同，大多数情况下：

$\⟨{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{\β},k}^{\′\′}\⟩\≠({\mathrm{\φ}}_{\mathrm{\β},k}^{\′\′s}+{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{\β},k}^{\′\′p})/2...\left(57\right)$

并且，除非q_β，k ^s和q_β，k ^s在复平面中完美平行，否则

$\⟨Q_{\mathrm{\β},k}\⟩\≠(Q_{\mathrm{\β},k}^s+Q_{\mathrm{\β},k}^p)/2...\left(58\right)$

将同样的探讨(observation)分别应用于系统和对象反射率R_β，k ^s、R_β，k ^p以及Z_β，k ^s、Z_β，k ^p；除非它们具有同样的相位，否则，不能直接对它们求和。

假定我们适当地顾及到在计算对象表面反射率中的偏振影响，则建模仍然相当的简明(straightforward)，并足够灵活、以处理更完全的(further down theline)偏振光的更有趣的情况。

考虑到软件开发，接下来的步骤是：转换为离散的数值方程。我们使用如下的离散傅立叶变换，而重新定义干涉信号I_ζ，h和傅立叶频谱q_K，h之间的关系：

$q_{K,h}=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{\mathrm{\ζ}}{\mathrm{\Σ}}{I}_{\mathrm{\ζ},h}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)...\left(59\right)$

$I_{\mathrm{\ζ},h}=\frac{1}{\sqrt{N}}[q_0+\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{q}_{K,h}\exp (-\mathrm{iK\ζ})+\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\_}{q}}_{K,h}\exp \left(\mathrm{iK\ζ}\right)]...\left(60\right)$

其中，

为

的复共轭，并且，在干涉信号I_ζ，h中存在N个离散样本。在等式(60)以及下面的等式中，我们已取消(set aside)了自由变量

的使用，这在微分(derivation)中是重要的，但不在需要它作为空间频率K的替代。那么，预测的正频率FDA复频谱为：

q_K≥0，h＝ρ_k≥0exp(iKh)

                                   …(61)

其中，标准化的高度独立(height-independent)的系数为：

其中，对积分范围的标准化为：

等式(62)中的海维赛德阶跃函数H防止了对总和的不必要的贡献。加权因子Г_K，k如等式(24)中所定义的那样。

为将实验与理论相比较，我们使用等式(61)来生成实验FDA频谱，并使用等式(62)来将其变换回用于I_ζ，h的理论预测的空间域。通过快速傅立叶变换(FFT)而最有效率地执行它。FFT的属性确定K值的范围。如果I_ζ，h的N个离散样本以增量ζ_step而间隔，则将会有从0开始并上升到每数据跟踪(datatrace)N/2周期的N/2+1个正空间频率，所述数据跟踪以如下增量而间隔：

$K_{\mathrm{step}}=\frac{2\mathrm{\π}}{N{\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{step}}}...\left(65\right)$

为帮助频域中的相位展开，我们尝试调整扫描的0位置，使其接近信号峰值，由此减小频域中的相位斜率。因为FFT一直呈现为在扫描中的第一数据点处于0，所以，应当适当地使该信号偏移。

现在，我们集中讨论对具有薄膜的样本表面建模。

图7示出了具有和不具有薄膜的两种表面类型。对于所述两种情况，我们根据如下等式而定义有效幅值反射率z_β，k：

$Z_{\mathrm{\β},k}=\sqrt{Z_{\mathrm{\β},k}}\exp \left(i{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\β},k}\right)...\left(66\right)$

其中，Z_β，k为强度反射率，而ω_β，k为对反射的相位改变。下标β，k强调了对照射的方向余弦的依赖性

β₀＝cos(Ψ₀)    (67)

其中，Ψ₀为入射角，并且，在波数上

k＝(2π/λ)     (68)

其中，λ为光源的波长。下标β将被理解为表示第一入射方向余弦β₀。

部分地由表面的折射率来表征表面。周围介质(通常为空气)的该指标(index)为n₀。对于简单表面图7(a)，仅有一个折射率n₁。对于图7(b)中的薄膜，有两个表面折射率，即：n₁，用于透明或部分透明的膜；n₂，用于基板。更一般性地，这些折射率为具有实部和虚部的特征的复数。例如，例如在λ＝550nm下用于铬的典型折射率为n₁＝3.18+4.41i，其中，我们采用了其中将虚部定义为正的约定。

材料的折射率依赖于波长。折射率n₀中的色散对于空气不是非常显著，但对于多样本表面(特别是金属)是重要的。基于标称值k0附近小的波长改变，多数材料具有依赖于波数的近似线性，使得我们可写下如下等式：

n_1，k＝v₁ ⁽⁰⁾+kv₁ ⁽¹⁾

                                  …(69)

其中，v₁ ⁽⁰⁾、v₁ ⁽¹⁾分别为在标称波数k0下、用于折射率n₁的截距和斜率。

折射率的最常见的使用为斯涅耳定律。参照图7(b)，膜内部的折射光束角为：

${\mathrm{\Ψ}}_{1,\mathrm{\β},k}=\arcsin \left[\frac{n_0}{n_{1,\mathrm{\β},k}}\sin \left({\mathrm{\Ψ}}_0\right)\right]$

                             …(70)

其中，ψ₀为在折射率n₁的介质的顶表面上入射、在折射率n₀的介质内的角度，并且，ψ_1，β，k为折射角。如果所述折射率是部分地指明衰减传播(evanescentpropagation)的复数，则这些角有可能取复数值。

两种介质之间的边界的复数幅值反射率依赖于偏振、波长、入射角、以及折射指标。通过菲涅耳方程而给出图7(b)中的膜的顶表面的s和p偏振反射率：

对β、k的依赖性来源于角ψ₀、ψ_1，β，k，出射角ψ_1，β，k通过折射率n_1，k而引入k依赖性。类似地，基板-膜界面反射率为：

注意，在菲涅耳等式中，如果入射和折射角相同，则所述两个偏振的反射率变为0。

对于简单的表面(无薄膜)，样本表面反射率与顶表面反射率相同：

 (简单的表面，无薄膜)   (75)

由此，由表面反射引起的反射的相位改变(PCOR)为

注意，为满足边界条件，s偏振一旦反射便会“倒转”(＝电介质的π相移)，而p偏振不会这样。所述偏振状态之间的区别在垂直入射的情况下变得完全无意义，在任意情况下，这导致菲涅耳等式中的被0除，并且，不同的方程来处理此限制情况。

当使用为折射率的复数部分使用加号约定时，吸收越大(复数部分)，则PCORω_β，k越大。换句话说，较大的吸收系数等价于有效表面高度的减小(decrease)。这产生直观感觉——想象在光束在反射之前穿透材料时的吸收，而不是在边界处完全的(clean)反射和传送光。根据我们的常用约定(其中，表面高度的增加对应于参考和测量表面之间的相位差的正改变)，从干涉计相位中减去正表面PCOR。

薄膜是平行反射的特殊情况。光通过部分反射的顶表面(参见图7)，并继续行进到其上存在具有相对于第一反射的相位延迟的第二反射的基板表面。然而，这并不是过程的结束。当通过顶表面而回来时，从基板反射的光被再次部分反射，从而产生再次向南(south)朝向基板的附加的反射束。这在理论上会一直继续下去，其中每个附加反射比上一个略有减弱。假定所有这些多反射继续存在，以对最终的表面反射率作出贡献，那么，求出无限序列为：

β_1，β，k＝cos(ψ_1，β，k)            (78)

作为清楚的备注，重新回想β_1，β，k的β依赖性指的是对折射率n₀的周围介质的入射方向余弦β₀的依赖性。同一等式(77)适用于具有对应的单个表面反射率的所述两个偏振状态。

对这些等式的检查示出了：传统的FDA处理为什么会在存在薄膜时不成立。传统的FDA使用用来生成傅立叶空间频率扩展的宽带(白)光，通过被傅立叶功率谱加权的傅立叶相位谱的线性配合，而确定表面高度。该思想为：相位演变来自对表面高度的预期的线性相位依赖性。通过系统表征、或通过简单地忽略不随场位置而改变的那些相位贡献，而消除与表面特性相关联的任意其它的恒定偏移或线性系数(例如，“色散”)。

这对于简单的表面起到完美的作用。通过非偏振光、并更有可能通过圆偏振光，PCOR的波长依赖性几乎与波数呈线性，并且，对于给定的材料来说是恒定的。然而，在存在薄膜的情况中，传统的分析不成立。相位变为非线性，而相位斜率变为对可能跨越视场(field of view)而变化的膜厚度敏感。因此，目前的分析通过使用我们的知识(例如，薄膜如何对表面的反射率进行调制)、将实验数据与理论预测相比较，而确定表面结构的关键参数，如膜厚度。

现在，我们讨论将实验数据与理论预测的库(library)比较如何提供表面结构参数，如膜厚度、以及对于反射的相位改变(PCOR)。在未知厚度的膜的情况下，用于单个表面类型(例如，硅上二氧化硅)的库会涵盖很多可能的膜厚度。在频域实施例中，该思想为：向此库搜索对独立于表面构形的FDA谱(例如，与从薄膜干涉效果产生的幅度谱的区别结构)的那些特性的匹配。随后，计算机使用该库谱来补偿FDA数据，从而允许更精确的表面构形映射。

在一个实施例中，该库包含表面结构的示例FDA谱，每个频谱提供作为空间频率K的函数的、表示傅立叶系数的一系列复系数ρ_K。这些频谱为在干涉计的光学路径长度的扫描ζ的期间获取的强度数据I_ζ，h的傅立叶变换。空间频率K与源光谱的片段的角波数k＝2π/λ、周围介质的折射率n₀、以及方向余弦β＝cos(Ψ)成比例，其中，Ψ为光线束朝向对象表面的入射角：

K＝2βkn₀              (79)

预测库的ρ_K系数包括除了表面高度以外的、可影响FDA谱的外形的表面的光学属性。

预测FDA谱涉及表示光线束在源光的入射角Ψ和角波数k的范围上的不相干和。如上所述，数值积分可化简为：通过因子Г_K，k加权的、N个角波数k上的计算上有效(computationally efficient)的单个和：

加权因子为：

${\mathrm{\Γ}}_{K,k}\frac{K{U}_{K,k}{V}_k}{4k^2{n}_0^2}...\left(82\right)$

其中，V_k为源谱，而U_K，k为瞳孔平面光分布。对应的标准化Υ为加权因子在所有空间频率上的和。

其中，Υ为要简短定义的标准化，而H为海维赛德阶跃函数。

如上所详述的，对象表面结构(尤其是薄膜)的区别特性通过对象路径相位ω_K，k和反射率Z_K，k而进入到谱ρ_K中。同等重要的是依赖于扫描干涉计自身的参考路径相位υ_K，k和反射率R_K，k。如下面进一步描述的，可通过对扫描干涉计进行理论建模、或通过具有公知的属性的测试样本来校准它，来确定这样的因子。

用于薄膜的典型的预测库是由膜厚度L作为索引的一系列谱ρ_K。所存储的谱仅覆盖感兴趣的窄空间频率区域(ROI)，通常，对于256帧强度数据获取是15或16个值，此ROI之外的其余值为0。ROI的限制遵循空间频率的定义：

K^min＝2β^mink^minn₀             (84)

K^max＝2β^maxk^maxn₀             (85)

基于100X Mirau物镜和窄带宽、500-nm光源的扫描干涉计的空间频率的典型范围为2.7μm^-1至4.0μm^-1。对于计算效率，可使用由在样本频谱之间的0.5至5nm作为索引的紧密查找表(dense look up table)，而不使用涉及使用等式(80)-(83)而对每个像素重新计算几次的分析搜索例程。

库搜索涉及以下步骤：(1)从与特定表面类型相对应的库中选择预测FDA谱，(2)使用品质函数来计算此谱与实验数据匹配的紧密程度，随后(3)通过库数据集中的一些或全部而重复，以确定哪个理论谱提供了最佳匹配。我们所寻找的是唯一地涉及诸如薄膜、不相似材料、阶跃结构、粗糙度、以及它们与干涉计的光学系统的相互作用的表面特性的频域中的“符号差(signature)”。因此，此比较显式地滤除了：作为随着表面构形而直接变化的FDA谱的一个特性并因而与库搜索不相关的、相位相对于空间频率的改变的线性速率。

在比较频谱时，分离对品质计算的相位和幅度贡献是有好处的。由此，在理论上，我们有：

P_K＝|ρ_K|          (86)

φ_K＝connect_K[arg(ρ_K)]          (87)

其中，connect_K为消除φ_K，h的空间频率依赖性中的2-π阶跃(step)的函数。对于实验数据，我们有：

$P_K^{\mathrm{ex}}=\left|q_{K,h}^{\mathrm{ex}}\right|...\left(88\right)$

${\mathrm{\φ}}_{K,h}^{\′\′\mathrm{ex}}={\mathrm{connect}}_K\left[\arg \left(q_{K,h}^{\mathrm{ex}}\right)\right]...\left(89\right)$

用于φ_K，h ^″ex的双引号指示逐个像素、且总体上针对于扫描中的开始点的条纹级别中的不确定性。实验数据必须包括涉及局部表面高度的斜率项；这是使用q符号来替代ρ符号的原因。

对于一个特定组的试验(trial)表面参数，我们可计算相位差：

假定试验参数是正确的，则相位差

为补偿的(compensated)FDA相位。理论与实验的良好匹配产生相位其在原则上是在0截距(即，0相位间隙)的情况下的空间频率K的简单线性函数。由此，可预料到，我们最终将下流(downstream)提供给传统的FDA分析的是成功补偿的相位

所述传统的FDA分析假定相位在频率空间中的斜率与表面高度直接成比例。基于先前段落的探讨，存在补偿相位

的两个感兴趣的特征，其允许我们与表面高度无关地求出理论与实验的匹配。第一个特征是通过线性配合而得到的相位间隙A″或K＝0截距值而第二个特征是在线性拟合之后相对于波数的余下的非线性。例如，对应的品质函数为：

${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\φ}}=[\frac{A^{\′\′}}{2\mathrm{\π}}-\mathrm{round}\left(\frac{A^{\′\′}}{2\mathrm{\π}}\right){]}^2...\left(91\right)$

${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\φnon}}=\frac{\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{({\mathrm{\ζ}}_{K,h}^{\′\′}-{\mathrm{\σ}}_{h}K-A^{\′\′})}^2{P}_{K,h}^{\mathrm{ex}}}{\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{P}_{K,h}^{\mathrm{ex}}}...\left(92\right)$

其中，σ_h为与所补偿的相位

线性拟合的斜率。等式(91)中的round( )函数将相位间隙A″限制为范围±π。

尽管库搜索可仅使用相位信息、即通过使品质函数值χ_φ和/或χ_φnon中的一个或全部最小化而进行，但我们还有在傅立叶幅度中重要和有用的符号差。对幅度特别感兴趣的方面在于：其在本质上独立于表面高度。由此，例如，我们可与相位品质近似类似地定义以下幅度品质函数：

${\mathrm{\χ}}_P={\left[\frac{\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}(P_{K,h}^{\mathrm{ex}}-P_{K,h})}{\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}(P_{K,h}^{\mathrm{ex}}+P_{K,h})}\right]}^2...\left(93\right)$

${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{Pnon}}=\frac{\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{({\mathrm{\Ω}}^{-1}{P}_{K,h}^{\mathrm{ex}}-P_{K,h})}^2}{\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{({\mathrm{\Ω}}^{-1}{P}_{K,h}^{\mathrm{ex}}+P_{K,h})}^2}...\left(94\right)$

其中，Ω为实验比例因子(scaling factor)：

$\mathrm{\Ω}=\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{P}_{K,h}^{\mathrm{ex}}/\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{P}_{K,h}...\left(95\right)$

其中，品质x_P与对象表面的总反射率最紧密地相关、与空间频率依赖性无关，而χ_Pnon表示理论和实验幅度曲线在形状上的匹配良好程度。

幅度品质函数χ_P和/或χ_Pnon为相位品质χ_φ和/或χ_φnon的补充或甚至替代。因此，通常的库搜索品质函数为：

χ＝w_φχ_φ+w_φnonχ_φnon+w_Pχ_P+w_Pnonχ_Pnon

                                 …(96)

其中，w为加权因子。在原则上，可在知道各种参数的标准偏差的情况下确定等式(96)中的权重。更实验性的方法是：对真实和仿真的数据尝试各种权重，并察看它们起到如何的作用。对于下面的例子，我们选择对于所有品质贡献的相等权重w_φ＝w_φnon＝w_P＝w_Pnon＝1。

图8-13中的例子分别图解了对于6个硅上二氧化硅膜厚度(即，0、50、100、300、600、以及1200nm)的品质函数搜索过程。用于所有例子的单个库涵盖以2-nm为间隔的、从0到1500nm的范围。该数据为无噪声的仿真。如在这里描述的所有例子中那样，扫描步长为40nm，源波长为498nm，而源高斯FWHM为30nm(准单色)。

这些仿真搜索的最感兴趣的方面为4个品质函数的状态(behavior)。通常，我们观察到：包括这4个函数帮助了减小最终品质值的不定性(ambiguity)，从而存在作为膜厚度的函数的对于各个品质值的强烈的周期性。另一个一般的观察为：在相位和幅度中，基于非线性的品质在300nm和以上处最有效，而相位间隙和平均幅度在300nm膜厚度以下占优势。这示出了：χ_φ、χ_P品质函数对于真正的薄膜特别有用，其对于与相位间隙和幅度结果直接耦合的系统表征而占据重要的地位。

一旦我们确定了薄膜厚度(或识别了用于该算法的材料和其它使用)，FDA处理便以常用方式进行，其仍然使用校正的FDA相位

而不是原始的实验相位数据。原则上，如果建模已成功，则

应当无非线性，并且相位间隙应当为0。因此，接下来的步骤为对相位谱

的线性拟合。使用幅度谱P_k替代平方幅度对于高NA FDA来说显得更有效。该拟合为每个像素提供斜率：

以及截距(相位间隙)

注意，相位间隙A″带有从相位数据中的条纹级别不确定性继承而来的双引号。斜率σh无此不确定性。根据截距A″和斜率σ_h，我们为特定意义或标称空间频率K0而定义“相干轮廓(profile)”

Θ_h＝σ_hK0        (99)

以及“相位轮廓”：

${\mathrm{\θ}}_h^{\′\′}={\mathrm{\Θ}}_h+A^{\′\′}...\left(100\right)$

随后，我们消除在相位θ_h″中的逐像素的条纹级别不确定性：

${\mathrm{\θ}}^{\′}={\mathrm{\θ}}^{\′\′}-2\mathrm{\πround}\left[\frac{A^{\′\′}-{\mathrm{\α}}^{\′}}{2\mathrm{\π}}\right]...\left(101\right)$

其中，α′为原始相位间隙A″的逼近，其无逐个像素的2π步长。

最后，从以下等式得出高度轮廓：

h′＝θ′/K0           (102)

注意，没有必要减去相位偏移γ，这是因为：它在生成补偿相位

时已完成了。

表面构型测量的第一个例子(图14)为纯粹的仿真。表面构形在各处均为0，但存在以10nm为增量、从0发展到1500nm的基础膜层。使用与图8-13相同的预测库，此测试说明了贯穿预测库的范围的、膜厚度的非二义确定，尽管它用于完美的无噪声数据。

下一个例子(图15)也是仿真，但其具有附加噪声。随机的加性噪声为具有平均128个强度位之中的2位标准偏差的高斯噪声，其看起来为典型的真实数据。尽管二氧化硅和硅之间的反射率有着显著的差异(4％对45％)，但所述结果明显是令人满意的。

现在，我们针对于系统表征而描述。

我们使用在系统表征过程期间收集的数据来定义相位偏移γ_sys和线性离差(dispersion)τ_sys。为包括系统表征数据，我们使用以下等式，在库搜索之前、并在逐个像素为基础的任意其它FDA处理之前校正傅立叶变换的实验数据q_K，h ^ex：

$q_{K>0}^{\mathrm{ex}}=M^{-1}\exp [-i{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{sys}}-i(K-K0){\mathrm{\τ}}_{\mathrm{sys}}]q_{K>0}^{\mathrm{ex}}...\left(103\right)$

其中，K0为标称空间频率，其表示例如通过探测ROI的中点而识别的FDA数据集的标称空间频率。注意，理论库保持不变。比例系数M(希腊文大写“M”)为新的系统表征，其使得使用对象表面反射率作为库搜索中的参数成为可能。

可将作为场位置的函数的相位偏移γ_sys和系统相位间隙A_sys存储为场(field)位置的函数，并根据以下等式来计算真实的系统离差：

τ_sys＝(γ_sys-A_sys)/K0           (104)

幅度系数M也是依赖于场的。

以与如上所述对于对象样本的方式相类似的方式进行系统表征数据的创建。我们转移到具有已知特性的伪像，测量它，并通过察看结果与我们对于完美系统所预期的有如何的不同，而确定系统表征。特别地，使用对其预先确定正确的库条目的已知样本，我们生成如在等式(98)中那样的相位间隙A″、以及如在等式(102)中那样的最终高度h′。随后，假定是完美的平板伪像，我们计算系统相位偏移：

γ_sys＝K0h′(105)

以及系统相位间隙：

A_sys＝connect_xy(A″)  (106)

其中，connec_xy()为逐个像素的相位展开。幅度映射为：

$M_{\mathrm{sys}}=\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{P}_{K,h}^{\mathrm{ex}}/\underset{K>0}{\mathrm{\Σ}}{P}_{K,h}...\left(107\right)$

在一些实施例中，可能使用具有在简单类型的范围上与最终应用(例如，硅上二氧化硅)类似的表面结构，而对一些系统表征取平均。

在以上的很多描述和仿真中，我们已针对于薄膜表面结构而描述，然而，还可将分析应用于其它类型的复杂表面结构。在下面，我们示出了：可如何分析扫描干涉测量数据，以考虑小于扫描干涉计显微镜的光学分辨率的表面结构。光学分辨率最终由光源的波长、以及光收集光学器件的NA而限制。

图16a示出了使用500-nm标称波长的光源，根据每毫米2400线(1pmm)光栅的实际扫描干涉测量数据而确定的高度轮廓，其中，所述光栅具有120nm的峰到谷(PV)调制深度。图16a中的顶部轮廓示出了使用传统的FDA分析而确定的高度轮廓。传统的分析指明仅约10nm的PV调制深度，这极大低估了实际的调制深度。因为光栅具有在500-nm仪器的光学分辨率的限制上的特征，所以出现这个不精确。即使仪器中的相机的像素分辨率比足够精确的分辨光栅更大，也会如此。

考虑这个影响的一种方式为：当相邻表面位置具有相对于光波长的足够锐利(sharp)的表面特征、以将光衍射到第一像素时，通常与第一表面位置相对应的用于第一相机像素的扫描干涉测量信号还包括来自那些附加的相邻表面位置的贡献。来自那些相邻表面位置的表面高度特征破坏了对与第一表面位置相对应的扫描干涉测量信号的传统分析。

然而，同时，这意味着：与第一表面位置相对应的扫描干涉测量信号包括有关附近的复杂表面特征的信息。图17通过示出来自与有关阶跃高度特征的各种位置相对应的像素的扫描干涉测量信号，而图解了这个情况。对于(a)中的信号，阶跃高度在像素的右边且较高，对于(b)中的信号，阶跃直接通过该像素，而对于(c)中的信号，阶跃高度在像素的左边且较低。在所述信号中立即显现的一个符号差为：(b)中条纹对比相对于(a)和(c)的减小。例如，如果阶跃高度等于波长的四分之一、且像素位置确切对应于阶跃高度的位置，那么，因为来自该阶跃的两侧的干涉会确切地彼此相消，所以，(b)中条纹对比应当整个消失。在(a)和(c)中示出的信号中也有很多信息。例如，图18分别示出了由附近阶跃高度产生的、图17的信号(a)和(c)的频域相位谱的非线性失真。在图18中，将这些谱分别指示为(a)和(b)。在不存在阶跃高度的情况下，频域相位谱将为线性的。由此，和与阶跃高度相邻的表面位置相对应的像素的频域相位谱中的非线性特征仍然包括有关阶跃高度的信息。

为在存在这样的在分辨以下(under-resolved)的表面特征的情况下更精确地测量测试表面的表面轮廓，我们可使用用于薄膜的上述库搜索技术。例如，对于具有在分辨以下的光栅的测试表面的情况，对于PV调制深度和偏移位置的不同值而生成一系列模型FDA谱。如在薄膜例子中的那样，模型谱的表面高度保持固定。随后，除了不是用薄膜厚度来参数化表示模型谱、而是用调制深度和偏移位置来参数化表示它们之外，分析如在以上薄膜例子中的那样而继续。可使用实际测试表面的FDA谱和不同的模型谱的符号差之间的比较来确定匹配。基于该匹配，消除了由光栅的存在而引起的、对于每个像素的实际FDA谱中的失真，以便可使用传统的处理来确定每个像素的表面高度。图16b和19b中示出了使用与上述用于薄膜的相同的品质函数的这样的分析的结果。

图16b示出了使用上面通过参照图16a而描述的用于每毫米2400线的光栅的库搜索分析而确定的高度轮廓。在图16a和图16b中使用了相同的数据，然而，库搜索分析将用于光栅的PV调制深度确定为100nm，比图16a中通过传统的FDA处理而确定的10-nm结果更加接近实际的120-nm调制深度。图19a和19b示出了用于通过离散阶跃高度而仿真、并假定标称的500-nm光源的类似分析。图19a示出了与用于仿真的实际高度轮廓(点状线)相比、使用传统的FDA处理而确定的高度轮廓(实线)。图19b示出了与用于仿真的实际高度轮廓(点状线)相比、使用库搜索方法而确定的高度轮廓(实线)。在库搜索中用于模型谱的参数为位置和阶跃高度幅度。如所图解的，库搜索分析使横向分辨率改善了约0.5微米至约0.3微米。

在上述详细分析中，已在频域中发生实际数据中的信息和与不同模型相对应的信息之间的比较。在其它实施例中，可在扫描坐标域中进行所述比较。例如，尽管条纹对比包络的绝对位置中的改变通常指明与所述信号相对应的第一表面位置处的表面高度中的改变，但该信号的形状(与其绝对位置无关)包含复杂的表面结构的信息，如第一表面位置上的基础层和/或相邻位置处的表面结构。

一个简单的情况为：考虑条纹对比包络自身的幅度。例如，当薄膜厚度相对于由光源产生的波长的范围非常小时，由薄膜产生的干涉效果变为与波长无关，在该情况中，薄膜厚度直接调制条纹对比包络的幅度。于是，通常，可将条纹对比幅度与用于和不同的薄膜厚度相对应的模型的所述幅度相比较，以识别对于特定的薄膜厚度的匹配(考虑来自干涉计自身的系统贡献)。

另一个简单的情况为：借助于条纹对比包络而察看条纹的过零点的相对间隔。对于通过对称的频率分布而图解的简单的表面结构，不同过零点之间的相对间隔应当在标称上相同。因此，相对间隔的变化指明复杂的表面结构(当考虑来自干涉计自身的系统贡献时)，并可将其与用于不同的复杂表面结构的模型相比较，以识别与特定的表面结构的匹配。

另一个情况为：执行该扫描域信号和与不同的测试表面模型相对应的扫描域信号之间的相关。通常，匹配对应于具有最高峰值的相关，其指明其扫描域信号具有与实际信号的形状最相似的形状。注意，通常，这样的分析与表面高度无关，这是因为实际样本的表面高度和每个模型的表面高度之间的差仅使相关函数中的峰值的位置偏移，而一般不会影响峰值自身。另一方面，一旦识别了正确的模型，正确的模型的相关函数中的峰值位置便产生测试样本的表面高度，而不需要进一步的分析(如传统的FDA)。

像在空间频域中的分析一样，扫描坐标域中的分析可用于很多不同类型的复杂表面，其不仅包括薄膜，还包括其它复杂表面，如上述在分辨以下的表面高度特征。

现在，我们详细描述扫描坐标库搜索分析，其涉及用于测试样本的信号和用于各种测试样本模型的对应信号之间的相关。

该方法取消有关干涉图案的任意假定，而不是说：与具有相同的复杂表面特性的表面位置相对应的数据集中的所有像素包含对于每个像素而仅在位置上偏移(并可能被重新按比例调节)的相同的基础、局部的干涉图案。信号实际看起来的样子、其为高斯包络或在频域中具有线性相位状态或无论怎样都不是问题。该思想为：为用于测试对象的不同复杂表面结构模型而生成表示此局部干涉图案的简单的信号或模板，并且，随后为每个像素而找到其局部干涉图案最佳地匹配实际的局部干涉图案的形状的模型，并且，为模型而找到提供干涉图案模板和观察信号(其给出表面高度)之间的最佳匹配的数据集内的扫描位置。一些技术可用于图案匹配。一种方法为：将每个模板与数据进行数学相关。通过为每个模型使用复(即，实加虚)模板函数，我们恢复两个轮廓，一个与信号包络紧密地相关联，而另一个与基础载波信号的相位相关联。

例如，在一个实施例中，对于每个像素的分析将包括：(1)从为可调节参数(如膜厚度)的特定值而计算或记录的模板库中选择测试模板；(2)使用所选测试模板和相关技术来找到局部表面高度(下面描述了其例子)；(3)基于相关技术，对于所选测试模板而记录峰值品质函数值；(4)对于库中的模板的全部或子集而重复步骤1-3；(5)确定哪个测试模板提供最佳匹配(＝最高的峰值品质函数值)；(6)为最佳匹配的模板而记录可调节参数的值(例如，薄膜厚度)；以及(7)重新调用在数据跟踪内提供峰值匹配位置的高度值。

现在，我们描述基于复相关的适合的相关技术。我们根据每个测试表面模型而生成模板干涉图案

其中，索引j指示用于模板图案的特定模型。函数m_temp ^j(ζ)和

_temp ^j(ζ)表征复杂表面结构，但与在与信号相对应的位置上的表面高度(其被设为0)无关。在优选实施例中，函数m_temp ^j(ζ)和

_temp ^j(ζ)还考虑到来自干涉计的系统贡献。随后，我们使用模板图案的复表示：

我们进一步使用窗函数来选择复模板函数的特定部分：

${\tilde{I}}_{\mathrm{pat}}^k\left(\mathrm{\ζ}\right)=w\left(\mathrm{\ζ}\right){\stackrel{\_}{I}}_{\mathrm{temp}}^k\left(\mathrm{\ζ}\right)...\left(111\right)$

例如，适当的窗可为：

${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{start}}=-\frac{\mathrm{\Δ\ζ}}{2}$ (112)

${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{stop}}=+\frac{\mathrm{\Δ\ζ}}{2}$

其中，窗宽度Δζ可被手动设置。

现在，我们有了干涉图案模板

我们准备使用它来与实际数据集进行比较。在对此进行准备时，生成从实实验数据集开始的复信号

将会是方便的：

I_ex(ζ，x)＝DC_ex(x)+…(113)

…AC_ex(x)m_ex[ζ-h_ex(x)]cos{-[ζ-h_ex(x)]K₀+

_ex[ζ-h_ex(x)]}此信号的傅立叶变换为

q_ex(K，x)＝FT{I_ex(ζ，x)}           (114)

$q_{\mathrm{ex}}(K,x)=\mathrm{\δ}\left(K\right){\mathrm{DC}}_{\mathrm{ex}}\left(x\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{AC}}_{\mathrm{ex}}\left(x\right)[G_{\mathrm{ex}}^{*}(-K-K_0,x)+G_{\mathrm{ex}}(K-K_0,x)]...\left(115\right)$

其中，

G_ex(K)＝FT{m_ex(ζ)exp[i _ex(ζ)]}exp[iKh_ex(x)]        (116)随后，我们从该频谱的正频率部分构造部分频谱：

${\tilde{q}}_{\mathrm{ex}}\left(K\right)={\mathrm{AC}}_{\mathrm{ex}}\left(x\right)G_{\mathrm{ex}}(K-K_0,x)...\left(117\right)$

随后，逆傅立叶变换为：

${\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}\left(\mathrm{\ζ}\right)={\mathrm{FT}}^{-1}\left\{{\tilde{q}}_{\mathrm{ex}}\left(K\right)\right\}...\left(118\right)$

这里，此复函数的实部为原始的实验数据I_ex。此外，可通过简单的操作而分离相位和包络，例如，我们可使用复函数的幅度，来得到信号强度AC_ex(x)和包络m_ex的乘积：

${\mathrm{AC}}_{\mathrm{ex}}\left(x\right)m_{\mathrm{ex}}[\mathrm{\ζ}-h_{\mathrm{ex}}\left(x\right)]=\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}(\mathrm{\ζ},x)\right|...\left(120\right)$

根据该技术的基础理论，我们预计m_ex的至少有意义的一部分具有与用于正确模型的m_temp ^j相同的一般形状，仅有的差异为线性偏移h_ex和比例因子AC_ex(x)。我们还预计：对于正确模型来说，实验和干涉图案模板相位偏移

_ex、

_pat ^j之间的差分别与高度h_ex线性地成比例。

即将到来的任务为：在实验数据集

内探测通过干涉图案模板

而表示的特定信号图案，并对于每个不同的模型j而确定存在何种程度的匹配。在下文中，我们将取消索引j，并注意，对于每个模型而继续匹配分析。

第一个步骤为：找到包络的形状m_ex、m_pat、和

_ex、 _pat与其最佳匹配的扫描位置ζ_best。一种可行方法为：基于干涉图案模板与通过以下窗口w而定义的扫描片段内的信号的标准化相关(correlation)的品质函数：

$\mathrm{\Π}(\mathrm{\ζ},x)=\frac{{\left|\tilde{I}(\mathrm{\ζ},x)\right|}^2}{\⟨m_{\mathrm{pat}}^2\⟩\⟨{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}(\mathrm{\ζ},x)\right|}^2\⟩}...\left(121\right)$

其中，

$\tilde{I}(\mathrm{\ζ},x)=\frac{1}{N}\stackrel{\∞}{\∫}{\tilde{I}}_{\mathrm{pat}}^{*}\left(\widehat{\mathrm{\ζ}}\right){\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}(\mathrm{\ζ}+\widehat{\mathrm{\ζ}},x)d\widehat{\mathrm{\ζ}}...\left(122\right)$

为复相关函数，并且，

$\⟨m_{\mathrm{pat}}^2\⟩=\frac{1}{N}\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{pat}}\left(\widehat{\mathrm{\ζ}}\right)\right|}^{2}d\widehat{\mathrm{\ζ}}...\left(123\right)$

$\⟨{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}(\mathrm{\ζ},x)\right|}^2\⟩=\frac{1}{N}\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}(\mathrm{\ζ}+\widehat{\mathrm{\ζ}},x)\right|}^{2}w\left(\widehat{\mathrm{\ζ}}\right)d\widehat{\mathrm{\ζ}}...\left(124\right)$

为产生与信号强度无关的品质函数П的标准化。对于

_ex、 _pat匹配的情况，模板的复共轭的使用消去了同步线性相位项K₀ζ，并使П最大化。该相关的绝对值||消除了任何剩余的复相位。

为防止П(ζ)生成错误的高值、或在低信号电平处遇到奇点，向分母添加最小值是谨慎的，如

$\⟨{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}(\mathrm{\ζ},x)\right|}^2\⟩\←\⟨{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{cx}}(\mathrm{\ζ},x)\right|}^2\⟩+\mathrm{MinDenom}\·\max (\⟨{\left|{\tilde{I}}_{\mathrm{ex}}\right|}^2\⟩)...\left(125\right)$

其中，max()函数返回信号强度

在全扫描长度ζ上的最大值，而MinDenom为我们认为在品质函数搜索中有效的最小相对信号强度。可将MinDenom的值硬编码(hard code)为5％或某个其它的小值，或将其保留为可调节的参数。

还可使用相关定理、在频域中执行相关积分

$\tilde{I}\left(\mathrm{\ζ}\right)={\mathrm{FT}}^{-1}\left\{{\tilde{q}}_{\mathrm{pat}}^{*}\left(K\right){\tilde{q}}_{\mathrm{ex}}\left(K\right)\right\}...\left(126\right)$

其中，I已利用了

$\mathrm{FT}\left\{{\tilde{I}}_{\mathrm{pat}}^{*}(\mathrm{\ζ},x)\right\}={\tilde{q}}_{\mathrm{pat}}^{*}(-K,x)...\left(127\right)$

其中，

${\tilde{q}}_{\mathrm{pat}}(K,x)=\mathrm{FT}\left\{{\tilde{I}}_{\mathrm{pat}}(\mathrm{\ζ},x)\right\}...\left(128\right)$

通过П来找到峰值的搜索产生最佳匹配位置ζ_best，并且，П的值为范围从0到1的匹配质量的测量，其中1对应于完美匹配。为每个不同的模型计算品质函数的峰值，以确定哪个模型是最佳匹配，并且，随后，用于该模型的最佳匹配位置ζ_best给出表面高度。

图20-24图解了该技术的例子。图20示出了无薄膜的基本硅基板的实际扫描干涉测量信号。图21和22分别示出了用于裸露硅基板和在硅上具有1微米的二氧化硅的薄膜结构的干涉模板图案。图23和24分别示出了作为图21和22中的模板函数的扫描位置的函数的品质函数。品质函数示出了：用于裸露基板的干涉模板图案(峰值为0.92)比用于薄膜模板图案的干涉模板图案(峰值为0.76)匹配得好得多，并且，因此指明了：测试样本是裸露基板。此外，用于正确模板图案的品质函数中的峰值位置给出了用于测试样本的相对表面高度位置。

上述方法和系统在半导体应用中特别有用。本发明的附加实施例包括：应用上述任意测量技术来针对于下述任意半导体应用；以及用于进行测量技术和半导体应用两者的系统。

目前在半导体行业中非常感兴趣的是进行表面构形的量化测量。由于典型芯片特征的小尺寸，典型地，用于进行这些测量的仪器必须具有在平行和垂直于芯片表面两者方向上的高空间分辨率。工程师和科学家使用表面构型测量系统来进行过程控制，并检测在制造过程中出现的缺陷，特别是由诸如蚀刻、抛光、清洁和图案化而导致的缺陷。

对于将是特别有用的过程控制和缺陷检测，表面构形测量系统应当具有可与典型的表面特征的横向尺寸相比的横向分辨率、以及可与所允许的最小表面阶跃高度相比的纵向分辨率。典型地，这需要小于1微米的横向分辨率、以及小于1纳米的纵向分辨率。并且，优选地，对于这样的系统来说，在不接触芯片表面、或在其上施加潜在的破坏力的情况下进行系统的测量，以便避免改动表面或引入缺陷。此外，如所公知的，在芯片制造中使用的很多过程的效果强烈地依赖于局部因素，如图案密度和边缘接近度，对于表面构型测量系统来说，具有高测量吞吐量、以及在可能包含一个或多个感兴趣的表面特征的区域中的大面积上进行密集采样的能力也是重要的。

在芯片制造者中，使用所谓的“双波纹铜(dual damascene copper)”过程来制造芯片的不同部分之间的电互连正变得平常。这是可使用适合的表面构形系统来有效的表征的过程的一个例子。双波纹过程可被认为具有5部分：(1)层间电介质(ILD)沉积(deposition)，其中，将电介质材料(如聚合物、或玻璃)层沉积到晶片(包含多个独立的芯片)的表面；(2)化学机械抛光(CMP)，其中，对电介质层进行抛光，以便创建适于精确光学印刷术的平滑的表面；(3)光刻(lithographic)图案化和反作用离子蚀刻(reactive ion etch)步骤的组合，其中，创建复杂的网络，其包括平行于晶片表面而延伸的窄沟道(trench)、以及从沟道的底部延伸到较低的(先前定义的)电传导层的小通路，(4)产生被铜过充满(over-filled)的沟道和通路的金属沉积步骤的组合，以及(5)最后的化学机械抛光(CMP)步骤，其中，清除过多的铜，留下围绕着电介质材料的被铜填满的沟道(以及可能的通路)的网络。

典型地，沟道区域(即，沟道深度)中的铜的厚度、以及周围电介质的厚度落在0.2至0.5微米的范围中。所得到的沟道的宽度可在100至100000纳米的范围中，并且，每个芯片内的铜区域可在一些区域中形成规则的图案(如平行线的阵列)，而在其它区域中，它们可不具有显现的图案。同样，在一些区域内，可对表面密集地覆盖铜区域，而在其它区域中，铜区域可能很稀疏。理解抛光率以及在抛光之后因而剩余的铜(以及电介质)厚度强烈、并以复杂的方式依赖于抛光条件(如填充压力(pad pressure)、以及抛光剂(polishing slurry)成分)、以及铜和周围电介质区域的局部详细排列(即，朝向、接近度、以及形状)是重要的。

这个“依赖于位置的抛光率”被认为引起了很多横向长度尺度上的可变表面构形。例如，它可能意味着：位于接近聚合体上的晶片的边缘的芯片与位于接近中心的那些芯片相比被更迅速地抛光，从而创建了比在边缘附近所期望的薄、而比中心处所期望的厚的铜区域。这是“晶片尺度(wafer scale)”过程不均匀性的例子，即，其在可与晶片直径相比的长度尺度上出现。具有高铜沟道密度的区域以比具有低铜线密度的附近区域以更高的速率抛光也是公知的。这在高铜密度区域中导致被称为“CMP诱使的腐蚀”的现象。这是“芯片尺度(chip scale)”过程不均匀性的例子，即，其在可与单个芯片的线性尺寸相比(并且，有时远小于该线性尺寸)的长度尺度上出现。被称为“凹陷(dishing)”的另一个类型的芯片尺度不均匀性在单个铜填充的沟道区域内出现(其导致与周围电介质材料相比，以更高的速率抛光)。对于大于几微米的沟道来说，凹陷可能变得严重，其使得受影响的线之后显示出过多的电阻，并导致芯片故障。

CMP诱使的晶片和芯片过程不均匀性在本质上难以预测，并且，它们服从于作为CMP处理系统发展内的条件的时间上的改变。为对于确保任何不均匀性保持在可接受的限度内的目的而有效地监控并适当地调节过程条件，对于工艺工程师来说，在芯片上的大量且广泛多种位置处产生频繁的非接触表面构形测量是重要的。这利用上述干涉测量技术的实施例而成为可能。

可以硬件或软件、或所述两者的组合来实现上述任意计算机分析方法。可以遵循这里描述方法和图的、使用标准编程技术的计算机程序来实现所述方法。将程序代码应用于输入数据，以执行这里描述的功能，并生成输出信息。将输出信息施加到一个或多个输出设备，如显示监视器。可以高级过程或面向对象编程语言来实现每个程序，以与计算机系统通信。然而，如果期望，可以汇编或机器语言来实现所述程序。在任意情况下，该语言可为编译或解释性语言。此外，该程序可在为该目的而预先编程的专用集成电路上运行。

优选地，将每个这样的计算机程序存储在可由通用或专用目的的可编程计算机读取的存储介质或设备(例如，ROM或磁盘)上，以便在由计算机读取该存储介质或设备时配置并操作该计算机，以执行这里描述的过程。计算机程序还可在程序运行期间驻留在高速缓冲存储器或主存储器中。还可将分析方法实现为通过计算机程序而配置的计算机可读存储介质，其中，将该存储介质配置为使计算机以特定和预定义的方式操作，以执行这里描述的功能。

已描述了本发明的大量实施例。然而，将理解，可在不背离本发明的精神和范围的情况下作出各种修改。

Claims (69)

1.一种测量对象表面结构的轮廓的方法，其包括：

将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化，

其中，正被比较的可导出的信息与用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号的形状相关。

2.如权利要求1所述的方法，还包括：基于所述比较而确定用于测试对象的精确特性。

3.如权利要求1所述的方法，还包括：基于所述比较而确定对于第一表面位置的相对表面高度。

4.如权利要求3所述的方法，其中，相对表面高度的确定包括：基于所述比较而确定哪一个模型对应于测试对象的特性中的精确特性，并使用与精确特性相对应的模型来计算相对表面高度。

5.如权利要求4所述的方法，其中，使用与精确特性相对应的模型来计算相对表面高度包括：确定用来将用于测试对象的信息与用于与精确特性相对应的模型的信息相比较的相关函数中的峰值的位置。

6.如权利要求1所述的方法，还包括：将可从用于附加的表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与多个模型相对应的信息相比较。

7.如权利要求6所述的方法，还包括：基于所述比较而确定用于测试对象的表面高度轮廓。

8.如权利要求1所述的方法，其中，所述比较包括：计算指明可从扫描干涉测量信号导出的信息和与每个模型相对应的信息之间的相似性的一个或多个品质函数。

9.如权利要求1所述的方法，其中，所述比较包括：将可从扫描干涉测量信号导出的信息与对应于模型的信息的表示相拟合。

10.如权利要求1所述的方法，其中，用于测试对象的信息与扫描干涉测量信号的形状中的条纹对比幅度相关。

11.如权利要求1所述的方法，其中，用于测试对象的信息与扫描干涉测量信号的形状中的过零点之间的相对间隔相关。

12.如权利要求1所述的方法，其中，将用于测试对象的信息表示为扫描位置的函数。

13.如权利要求12所述的方法，所述比较包括：计算用于测试对象的信息和用于每个模型的信息之间的相关函数。

14.如权利要求12所述的方法，其中，所述比较还包括：确定每个相关函数中的一个或多个峰值。

15.如权利要求14所述的方法，还包括：基于与最大峰值相对应的模型的参数化而确定测试对象的精确特性。

16.如权利要求14所述的方法，还包括：基于相关函数中的至少一个峰值的坐标而确定第一表面位置处的测试对象的相对表面高度。

17.如权利要求1所述的方法，其中，由扫描干涉测量系统产生扫描干涉测量信号，并且，其中，所述比较包括：考虑由扫描干涉测量系统产生的、对扫描干涉测量信号的系统贡献。

18.如权利要求17所述的方法，还包括：使用具有已知属性的另一个测试对象，而校准扫描干涉测量系统的系统贡献。

19.如权利要求1所述的方法，其中，所述一系列特性包括：测试对象的至少一个物理参数的一系列值。

20.如权利要求19所述的方法，其中，所述测试对象包括具有厚度的薄膜层，而所述物理参数为第一位置处的薄膜厚度。

21.如权利要求1所述的方法，其中，所述一系列特性包括测试对象在不同于第一表面位置的第二表面位置处的一系列特性。

22.如权利要求21所述的方法，其中，测试对象包括：在将光衍射而对用于第一表面位置的扫描干涉测量信号作出贡献的第二表面位置处的结构。

23.如权利要求21所述的方法，其中，第二表面位置处的一系列特性包括：在第二位置处的阶跃高度的幅度的排列、以及第二位置的定位。

24.如权利要求21所述的方法，其中，第二表面位置处的一系列特性包括：用于光栅的调制深度的排列、以及光栅的偏移位置，其中，光栅在第二位置上延伸。

25.如权利要求1所述的方法，其中，所述一系列特性为用于测试对象的一系列表面材料。

26.如权利要求1所述的方法，其中，所述模型对应于第一表面位置处的测试对象的固定表面高度。

27.如权利要求1所述的方法，其中，通过对从测试对象发出以在检测器上与参考光干涉的测试光进行成像、以及改变测试和参考光的干涉部分之间的从公共源到检测器的光路径长度差，来产生扫描干涉测量信号，其中，从公共源导出测试和参考光，并且，其中，扫描干涉测量信号对应于：在光路径长度差变化时，由检测器测量的干涉强度。

28.如权利要求27所述的方法，还包括：产生扫描干涉测量信号。

29.如权利要求27所述的方法，其中，测试和参考光具有大于测试和参考光的中心频率的5％的谱带宽。

30.如权利要求27所述的方法，其中，公共源具有谱相干长度，并且，光路径长度差在大于谱相干长度的范围上变化，以产生扫描干涉测量信号。

31.如权利要求27所述的方法，其中，用来将测试光引导到测试对象上、并将其成像到检测器的光学器件定义大于0.8的、用于测试光的数值孔径。

32.如权利要求28所述的方法，其中，所述公共源为空间延伸的源。

33.一种测量对象表面结构的轮廓的设备，其包括：

扫描干涉测量系统，其被配置为产生扫描干涉测量信号；以及

电子处理器，其被耦接到扫描干涉测量系统、以接收扫描干涉测量信号，并被编程为将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化，

其中，正被比较的可导出的信息与用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号的形状相关。

34.一种测量对象表面结构的轮廓的方法，其包括：

将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化，

其中，所述一系列特性包括测试对象在不同于第一表面位置的第二表面位置处的一系列特性。

35.如权利要求34所述的方法，其中，测试对象包括：在将光衍射而对用于第一表面位置的扫描干涉测量信号作出贡献的第二表面位置处的结构。

36.如权利要求34所述的方法，其中，第二表面位置处的一系列特性包括：在第二位置处的阶跃高度的幅度的排列、以及第二位置的定位。

37.如权利要求34所述的方法，其中，第二表面位置处的一系列特性包括：用于光栅的调制深度的排列、以及光栅的偏移位置，其中，光栅在第二位置上延伸。

38.如权利要求34所述的方法，还包括：基于所述比较而确定用于测试对象的精确特性。

39.如权利要求34所述的方法，还包括：基于所述比较而确定对于第一表面位置的相对表面高度。

40.如权利要求39所述的方法，其中，相对表面高度的确定包括：基于所述比较而确定哪一个模型对应于测试对象的特性中的精确特性，并使用与精确特性相对应的模型来计算相对表面高度。

41.如权利要求40所述的方法，其中，与精确特性相对应的模型的使用包括：补偿来自扫描干涉测量信号的数据，以减小从该精确特性产生的贡献。

42.如权利要求41所述的方法，其中，对数据的补偿包括：从对于测试对象的扫描干涉测量信号的变换的相位分量中消除从该精确特性产生的相位贡献，并且，其中，与精确特性相对应的模型的使用还包括：在已消除从该精确特性产生的相位贡献之后，根据该变换的相位分量而计算相对表面高度。

43.如权利要求41所述的方法，其中，使用与精确特性相对应的模型来计算相对表面高度包括：确定用来将用于测试对象的信息与用于与精确特性相对应的模型的信息相比较的相关函数中的峰值的位置。

44.如权利要求34所述的方法，还包括：将可从用于附加的表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与多个模型相对应的信息相比较。

45.如权利要求44所述的方法，还包括：基于所述比较而确定用于测试对象的表面高度轮廓。

46.如权利要求34所述的方法，其中，所述比较包括：计算指明可从扫描干涉测量信号导出的信息和与每个模型相对应的信息之间的相似性的一个或多个品质函数。

47.如权利要求34所述的方法，其中，所述比较包括：将可从扫描干涉测量信号导出的信息与对应于模型的信息的表示相拟合。

48.如权利要求34所述的方法，其中，可从扫描干涉测量信号导出并正被比较的信息为一个数目。

49.如权利要求34所述的方法，其中，可从扫描干涉测量信号导出并正被比较的信息可为函数。

50.如权利要求49所述的方法，其中，所述函数为空间频率的函数。

51.如权利要求49所述的方法，其中，所述函数为扫描位置的函数。

52.如权利要求34所述的方法，其中，根据将用于测试对象的扫描干涉测量信号变换为空间频率域的变换，而导出用于测试对象的信息。

53.如权利要求52所述的方法，其中，所述变换为傅立叶变换。

54.如权利要求52所述的方法，其中，用于测试对象的信息包括有关变换的幅值轮廓的信息。

55.如权利要求52所述的方法，其中，用于测试对象的信息包括有关变换的相位轮廓的信息。

56.如权利要求34所述的方法，其中，用于测试对象的信息与在第一位置处的用于测试对象的扫描干涉测量信号的形状相关。

57.如权利要求56所述的方法，其中，用于测试对象的信息与扫描干涉测量信号的形状中的条纹对比幅度相关。

58.如权利要求56所述的方法，其中，用于测试对象的信息与扫描干涉测量信号的形状中的过零点之间的相对间隔相关。

59.如权利要求56所述的方法，其中，将用于测试对象的信息表示为扫描位置的函数，其中，从扫描干涉测量信号的形状导出所述函数。

60.如权利要求34所述的方法，其中，所述比较包括：计算用于测试对象的 信息和用于每个模型的信息之间的相关函数。

61.如权利要求60所述的方法，其中，所述相关函数为复相关函数。

62.如权利要求60所述的方法，其中，所述比较还包括：确定每个相关函数中的一个或多个峰值。

63.如权利要求62所述的方法，还包括：基于与最大峰值相对应的模型的参数化而确定测试对象的精确特性。

64.如权利要求62所述的方法，还包括：基于相关函数中的至少一个峰值的坐标而确定第一表面位置处的测试对象的相对表面高度。

65.如权利要求34所述的方法，其中，由扫描干涉测量系统产生扫描干涉测量信号，并且，其中，所述比较包括：考虑由扫描干涉测量系统产生的、对扫描干涉测量信号的系统贡献。

66.如权利要求65所述的方法，还包括：使用具有已知属性的另一个测试对象，而校准扫描干涉测量系统的系统贡献。

67.一种测量对象表面结构的轮廓的设备，其包括：

扫描干涉测量系统，其被配置为产生扫描干涉测量信号；以及

电子处理器，其被耦接到扫描干涉测量系统、以接收扫描干涉测量信号，并被编程为将可从用于测试对象的第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化，

其中，所述一系列特性包括测试对象在不同于第一表面位置的第二表面位置处的一系列特性。

68.一种测量对象表面结构的轮廓的方法，其包括：

对测试对象进行化学机械抛光；

收集用于测试对象表面构形的扫描干涉测量数据；以及

基于可从扫描干涉测量数据导出的信息，而调节用于测试对象的化学机械抛光的处理条件，

其中，基于从扫描干涉测量数据导出的信息而调节用于处理条件包括：将可从用于测试对象的至少第一表面位置的扫描干涉测量信号导出的信息和与测试对象的多个模型相对应的信息相比较，其中，通过一系列用于测试对象的特性而将所述多个模型参数化。

69.如权利要求68所述的方法，其中，处理条件包括填充压力和抛光剂成分中的至少一个。

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