CN1669211A - 旋转电磁电机的控制系统及方法 - Google Patents

Abstract

一种用于控制旋转电磁电机的系统和方法。驱动装置被连接到所述电机的相绕组以便激励该绕组。估计器可连接到所述电机以便接收代表所述相绕组电压和转子位置的信号。所述估计器根据所述接收到的电压和转子位置来输出针对所述电机的电气模型的参数估计。转矩模型接收来自所述估计器的所述参数估计以估计所述电机的关联转子位置－相电流组合的转矩。控制器将控制信号输出到所述驱动装置以响应转矩需求信号、转子位置信号以及所述转矩模型。在特定实施例中，解算器使用所述转矩模型根据期望的电机行为(例如平滑转矩和/或对转子位置测量中误差的最小敏感度)来生成激励电流形状。

Description

旋转电磁电机的控制系统及方法

技术领域

本发明总体上涉及控制诸如永磁电机、开关磁阻电机以及混合电机之类的电磁旋转电机，更具体地说，涉及自适应、平滑转矩地控制此类电机。

背景技术

通常，许多电磁电机，特别是采用永磁体的电动机在转子相对定子(其线圈通常以正弦波来激励)旋转时表现出转矩不规则性。这种不规则性称为“转矩脉动”。这些转矩不规则性可能由给定电机的物理构造引起。例如，使用轴承来支撑转子会引起转矩不规则性。此外，由于采用磁体的电机的电磁特性，转子趋向于相对定子位于特定的角度位置。由电磁电机的电磁特性导致的转矩不规则性通常称为“齿槽效应”不规则性，并且由此造成的转子的不均匀旋转或不均匀转矩输出称为“齿槽效应”。齿槽效应可与电流无关，也可与电流有关。当电机不通电旋转时记录第一分量。当电流流动(齿槽效应随着定子电流大小的增加而增加)时出现第二分量。

在采用永磁体的旋转电磁电机中，齿槽效应通常由电机的物理构造引起。例如，由磁体导致的不规则性可能是因为磁体在转子上或转子中放置的不正确，或因为与磁体如何被激励有关的某种不规则。而且，具有不连续南北外极(outer pole)的转子的使用会导致转子周围的磁通量周向分布不平滑，而且是断续的。此外，此类电机常用的定子以这样的方式形成：由定子绕组产生的磁通量在定子周围提供不平滑的通量分布。此类转子和定子的组合以及伴随的不平滑磁通分布在此类电机的转矩输出中产生了所不希望的不规则性。转子输出不均匀性也可能由特定电机中产生的反电势谐波引起。

获得平滑转矩会因其他因素进一步复杂化。例如，电机之间的制造差异使得很难(如果不是不可能)将一个通用解决方法应用于一组电机。这种制造差异包括磁体在转子上的放置或错误放置(如果是表面安装)以及由磁化过程本身和定子线圈绕组中的不规则性引入的差异。其他差异原因包括磁体受损或碎裂的情况。进而，甚至在单个电机内也存在差异。例如，在电机的各相之间以及电机的整个机械循环中通常存在差异。而且，随着电机的老化，其行为也会改变。

特定类型电磁电机的相绕组至少部分地作为瞬时转子位置的函数被激励。因此，此类电机通常使用转子位置传感器，它能够提供输出，指示相对于定子的转子位置。控制器使用该信息来产生用于激励和去激励相绕组的控制信号。转子角度位置测量中的误差也是转矩脉动的原因之一。

对于许多电机应用，由转矩不规则性引起的转子旋转中的轻微不均匀无足轻重或无关紧要。例如，在驱动大型负载的大型电机中，输出转矩的轻微变化不会显著影响转子速度，并且转子速度中任何轻微的变化不会显著影响该由电机驱动的系统。这假定电机转动时转矩变化与负载相比很小。在其他应用中(其中转子的旋转或电机的转矩输出必须被精确地控制或必须均匀)，这种不均匀性是不可接受的。例如，在用于电力转向系统和磁盘驱动器的伺服电机中，转子的旋转输出或电机的转矩输出必须平滑且没有明显变化。

现有技术方法在减少电磁电机中转矩不规则性的不良影响时将重点放在相对复杂的转子或定子构造上，这些构造被设计成消除否则将增加不规则性的电机物理特性。虽然现有技术的电机构造方法可以导致转矩不规则性的降低，但是，这些方法需要设计和构造复杂的转子和定子组件，这些复杂的组件通常难以设计，难以制造，并且其生产比传统结构的组件昂贵的多。而且，与对类似的传统电机的期望相比，此类现有技术解决方法所需的许多物理改变会显著降低所构造电机的效率或其他性能参数。因此，许多尝试减少转矩不规则性的现有技术是以牺牲电机性能为代价。

人们也已经进行了将重点放在电机控制方案而非电机构造来降低转矩脉动的尝试。例如，基于试验过程或公知的有关电机电压、电流和角度位置的物理关系，已经尝试了各种学习或迭代方案。这些尝试的解决方法通常对电机的行为进行假定，例如使用线性关系来描述电机磁通，或者将互感磁通的影响看作不重要。而且，现有对转矩脉动的解决方法通常忽略电机敏感度(对角测量中的不准确性)的影响。为了增加位置测量中的准确性，已尝试使用复杂的位置传感器，但这增加了电机的复杂性和成本。

因此，需要一种解决现有技术的缺点的控制系统。

发明内容

在本发明的一个方面中，提供了一种用于控制旋转电磁电机的系统。旋转电机(例如永磁电机或开关磁阻电机，或二者的混合)包括具有多个相绕组的定子和相对于该定子旋转的转子。驱动装置被连接到所述相绕组以便激励所述绕组。所述控制系统包括估计器，该估计器可连接到所述电机以便接收表示相绕组电压、电流和转子位置的信号。所述估计器基于接收到的电压、电流和转子位置来输出针对所述电机电气模型的参数估计。所述电气模型是描述所述电机电气行为的数学模型，如电机端子处所示。

转矩模型接收来自所述估计器的参数估计。通过对所述电气模型的数学变换，可以推导出所述转矩模型，并且该转矩模型描述了所述电机的转矩特性。使用从所述估计器接收的参数，所述转矩模型为关联的转子位置-相电流组合估计转矩。控制器具有输入端子，所述端子用于接收转矩需求信号和转子位置信号。所述控制器将控制信号输出到所述驱动装置以响应所述转矩需求信号、转子位置信号以及所述转矩模型。在特定实施例中，解算器根据期望的电机行为(例如平滑转矩和/或对转子位置测量中误差的最小敏感度)使用所述转矩模型来生成激励电流形状(current profile)。应特别指出，可以这样定义所述解算器：解具有特定性质。作为电机拖动成本考虑的结果，可能希望只处理最重要的齿槽效应转矩分量或转矩脉动。这样的解能够被实现。

所述转矩模型的某些参数无法通过可以立即从电机端子得到的信息来观测。例如，在采用永磁体的电机中，当转子旋转时，电机电流和电压的改变如何指示或测量电机磁体与它们的相互作用在数学上并不明显。根据本发明的其他方面，提供了一种确定空载相关的齿槽效应转矩的方法。转子以预定的角速度无载旋转并且测量所述电机端子的电压和电流。确定与所述电压和电流测量结果关联的转子位置，并且根据所述测量的电压和转子位置推导出第一数学模型来描述所述电机的电气行为。所述第一数学模型被数学地变换以推导出第二数学模型来描述所述电机的转矩特性。然后激励所述绕组，以使转子保持克服所述齿槽效应转矩的预定位置，并通过所述第二数学模型为所述预定位置计算出所述齿槽效应转矩。

附图说明

阅读以下详细说明并参考附图后，本发明的其他目的和优点将变得显而易见，这些附图是：

图1是根据本发明的诸实施例的示例性旋转电磁电机系统的框图；

图2是示出根据本发明的诸实施例的电磁电机控制系统的框图；

图3是示出用于对在本发明的诸实施例中使用的积分给定(integralgiving)同能量求值的示例性积分路径的图；

图4示出了根据本发明为平滑转矩解决方法生成的电流形状；以及

图5示出了根据本发明的各方面来控制的电机的转矩脉动。

虽然本发明可以有各种修改和替代形式，但在附图中通过实例的方式示出了本发明的具体实施例，并且在本文中对其进行了详细说明。然而应当理解，本文中对具体实施例的说明并非旨在将本发明限定于所公开的特定形式，而是与之相反，其旨在覆盖落入由附带的权利要求限定的本发明的精神和范围之内的全部修改物、等效物和替代物。

具体实施方式

下面描述了本发明的示例性实施例。为清晰起见，本说明书中没有描述实际实施中的全部功能。当然应当理解，在任何此类实际实施例的开发中必须做出大量特定于实施的决策来完成开发人员的特定目标，例如遵循系统相关和业务相关的限制条件，这随实施方式的不同而不同。而且，可以理解这样的开发努力可能是复杂而耗时的，但仍将是从本公开受益的本领域技术人员的例行工作。

现在转到附图，尤其是图1，其中示出了根据本公开的特定教导而构造的系统10。其中，所示出的系统10主动地控制提供给电磁电机的电力，从而减少或消除否则将由电机产生的转矩不规则性的负面影响。

系统10包括电磁电机12和为电磁电机12提供电力的驱动装置14。图1中示出的电机12可以包括例如永磁电机、开关磁阻电机或混合电机(永磁和开关磁阻组合)。电机12具有传统构造，包括旋转组件(转子12a)和固定组件(定子12b)。缠绕定子的是许多可激励的相绕组12c，可以通过将电力施加到电机端子15、16、17来激励相绕组12c。

驱动装置14被连接成向电机12的端子15、16和17提供电力。驱动装置14从控制系统13接收控制输入，控制系统13被连接成从电机12接收关于转子位置信息18和激励反馈19的反馈。可以向控制器13提供其他反馈信息。虽然驱动装置14以示例的形式示出为提供三个电源端子到电机12，但是可以理解，可以提供更多和更少的电源端子以适合三相以上或三相以下的马达或电机，或者适合使用各种类型逆变器(例如，具有中性连接)的情况。

激励反馈19提供对电机12的运行特性的指示，并且可以例如包括有关定子绕组内流动的电流和/或端子15、16和17处的电压的反馈。可以通过诸如标准的转子位置探测器和标准的电流/电压传感器之类的传统探测器来探测位置和激励参数。替代实施例被构想为不直接探测转子位置和反馈参数，而是通过已知技术对其进行计算或估计。例如，实施例被构想为只有端子电压已知，或端子电压与流过电机12定子绕组的电流一起被读出，读出的电流和电压值用于导出转子位置信息。

控制系统13还接收与期望的电机12输出参数(如转子速度、输出转矩等)对应的输入命令信号11。如以下更详细的描述，驱动装置14以这样的方式来响应控制系统13以控制将电源施加到电机12：使输入命令信号11与电机12的相应输出之间的差最小。在特定实施例中，控制系统13还以这样的方式主动地控制将电力作为转子位置的函数施加到电机12：获得所期望的电机12的行为，该行为满足包括例如转矩脉动、齿槽效应转矩、角度敏感度、谐波含量等的一个或多个准则。使用控制系统13主动地获得所期望的电机行为(而不是尝试通过复杂的转子或定子构造获得这种行为)会导致更佳性能的系统，因为例如可以使用传统的低成本电机和电机制造技术。

图2示出了根据本发明示例性实施例的电磁电机系统100。电机系统100包括控制系统13，控制系统13可以由适当编程的数字控制器(例如数字信号处理器(DSP)、微控制器和微处理器)来实现。

控制系统13包括输入端11，其接收例如表示电机12所需转矩的信号。转矩是电流和角度的函数；因此，对于任何特定的转子角度，都存在一组适当的电流来产生所期望的转矩。根据转子角度和所需的转矩，适当的电流值被发送到驱动装置14，这本身又为电机12提供必要的电压来满足电流需求。

转子位置反馈18和激励反馈19(例如电机端子电压和电流)被提供给估计器30。根据数学上的“习惯做法”，可以规范化电压和电流值-测量值被除以最大期望值。估计器30计算诸如角速度和相电流的时间导数之类的电机参数。这些值被用于导出和更新描述电机12的电气行为的第一数学模型。所述电气模型是这样的结构：该结构可以准确地代表诸如阻抗、反电势(“BEMF”)、自感和互感、齿槽效应之类的电机特性(取决于所采用的电机12的类型)。

由估计器30计算的参数被传递给电机12的转矩模型32。通过以适当方式(由电机12的电磁物理性质限定)将所述电气模型数学地变换成描述电机12的转矩特性的第二模型可以推导出转矩模型32。由于电气模型系数自然地应用到转矩模型32，通过构建电机12的精确电气模型，电机12的转矩特性也将已知。例如，转矩模型可以描述电机的正常运行包络线内为相电流与转子位置的任意组合所产生的转矩。因此，使用由估计器30计算的值，可以为任意电流-角度组合计算电机转矩的估计值。

转矩模型32由解算器34询问，解算器34根据某些期望的电机行为和电机12的已知行为来计算所需的电流或解曲线(就电流和角度而言)。这样，控制器36针对给定的转子角度位置提供适当的电流以获得期望的输出转矩40或其他输出参数，并进而根据期望的电机行为来获得所述输出参数。例如，所述期望的电机行为可以包括电机12的运行特性，所述运行特性满足包括齿槽效应转矩、转矩脉动、解对角度误差的角度敏感度以及解曲线的谐波含量等的一个或多个准则。在图2示出的特定系统100中，解算器34的输出被显式地存储为可由控制器36访问的查找表。转矩需求11和转子角度被应用到该查找表以确定将经由驱动装置14施加到相绕组的适当相电流值。在其他实施例中，解算器34的输出是解析形式，其通过将函数拟合到计算出的数值来导出。

由于估计器30所使用的电气模型本质上是代数的，在将一组新的参数估计值应用到转矩模型32之前，允许估计器30在某些时间段运算不一定是顺序的数据。然后，解算器34可以在此时重新计算必要的查找表36。一旦全部计算出后，新的查找表便可取代那些当前正在使用的表。许多这些运算可以被安排成后台任务；即，它们可以在计算资源可用时发生。这是代数的电机模型的优点之一-它与时间变量的联系不密切。

转矩可以通过同能量或场能量来估计，但是通过同能量来计算转矩会产生更简单的表达式。因此，可以仅使用从电机端子得到的反馈(例如端子电压、电流和转子位置)来计算输出转矩40的估计值，以便估计阻抗和磁链的参数。以下公开通常按照三相混合电机来假定，但是受益于本公开的本领域技术人员可以将所述模型形式推广到具有任意相数的各类旋转电机。

在许多应用中，通常会利用被称为平衡三相馈电的系统。在此类系统中，当使用三相电机时，三相电流之和将等于零。因此，可以使用αβ参考坐标系(FoR)。如果不使用平衡馈电，则需要使用abc-FoR。首先考虑使用αβ-FoR。

所述电气模型可以具有电流和角度的多项式乘积形式。通常，角度多项式将包含三角函数。电流多项式也可以是正交多项式或任意数量的适当多项式类型中的一种类型。对于更复杂的电机，正交模型形式可能是适合的。使用此处公开的第一模型结构，假定磁链模型为包含相电流的多项式项与机械角的三角多项式的乘积式。使用正交函数的模型稍后在本说明书中做进一步讨论。本公开中通常使用以下命名规则：

Φ为相指数(phase index)，范围为定义的数集{1，2，3，...}或等价的字母{a，b，c，...}

a，b，c为相名称，当数字地引用时，等同于1，2，3，

α，β，0为αβ参考坐标系(FoR)标号

λΦ为相Φ的磁链

p，P..q，Q..r，R..n，N为求和指数(summation index)以及最大指数值

sin()，cos()为三角函数

g_Φpqrn，h_Φpqrn为模型参数

i_α，i_β，i₀为表示αβ参考坐标系电流的变量

I_α，I_β为同能量积分(coenergy integral)中遇到的αβ参考坐标系电流的最大值

i_a，i_b，i_c为表示abc参考坐标系电流的变量

I_a，I_b，I_c为同能量积分中遇到的abc-FoR电流的最大值

i_f为与虚构转子电路(模拟磁体的存在)关联的电流

V_Φ为相Φ的电压

R_Φα，R_Φβ，R_Φαβ为与相Φ关联的电阻值

为x对于y的微分

θ为转子角度

ω为转子角速度

t为时间t

ω_c为同能量

dx为x无穷小

∫f(x)dx  为f(x)对于x的积分

为函数f(.)对于x的偏导数

D₁，.....，D₆为沿定义路径的同能量积分的分量

T为电机或真实转矩

O(xⁿ)为与雅可比矩阵第n阶和更高项关联的余(remainder)

J_ij为雅可比的第ij表值(entry)

F_i(x₁，..，x_M)为变量X₁，..，X_M的第i个函数

δx为x增量

δ_xnew为x增量的新的值，或x的变化

x_new，x_old为牛顿迭代过程期间计算出的新、旧x值

T_tv为估计的转矩，直接来自端变量(terminal variables)

T_cog为不能直接使用端变量来计算的转矩

S_a为解敏感度

$I=\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ i_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\\ i_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\\ i_{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ i_{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\\ i_{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\end{array}\right)$ 为整个离散角度值集合内αβ参考坐标系电流值的向量

I(n+1)、I(n)为第(n+1)和第n个迭代电流向量

ΔI(n)为计算出的电流向量在第n个区间的变化

Φ_TK＝(0...0T(θ(k)，i_α(k)，i_β(k))0...0)为第k个转矩向量

Φ_SK＝(0...0S(θ(k)，i_α(k)，i_β(k))0...0)为第k个敏感度向量

$A=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{T1}\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{TN}}\end{array}\right)$ 为叠加的转矩向量

$B=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{S1}\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{SN}}\end{array}\right)$ 为叠加的电流向量

假定每个电机相(Φ)的模型结构均相同，则使用αβ-FoR的磁通模型的一般形式为：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(1\right)$

这种模型考虑了相电流与磁通之间的非线性关系以及任意两相或更多相之间的相互作用。如上所述，出于本公开的目的，假定模型结构对于相而言是不变的，尽管不是必须如此。如方程(1)中的情况那样，无需使用多项式电流和角度谐波的连接幂(contiguous powers)。例如，考虑下面的公式：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=p_1}{\overset{p_S}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=q_1}{\overset{q_T}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=r_1}{\overset{r_U}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=n_1}{\overset{n_V}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(2\right)$

其中指数集合：

p＝(p₁，p₂，.....，p_S.)    r＝(r₁，r₂，.....，r_U.)

q＝(q₁，p₂，.....，q_T.)    n＝(n₁，n₂，.....，n_V.)

不需要包含连接整数。实际上，大多数实际应用都将具有这种形式。

可以获得方程(2)中所示形式的足够精确且相对简单的模型。如果希望，则模型结构可以随相的不同而不同。这种定义模型结构的不同对所关联算法的计算复杂性具有显著的影响。某些模型分量将作为制造公差的结果而存在，并且出于电机设计的理论考虑，不建议使用这些分量。进而，不同设计的电机之间，模型复杂性可以有很大差异。例如，具有减少齿槽效应(通常通过使用偏斜)的明确意图的永磁电机设计可能只需要非常简单的模型来精确预估转矩。通常希望避免超定模型或欠定模型。

使用以下变换式，可以将abc-FoR电流变换为αβ-FoR电流：

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\α}}\\ i_{\mathrm{\β}}\\ i_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ \frac{-1}{2}& \frac{-1}{2}\·\sqrt{3}& 1\\ \frac{-1}{2}& \frac{1}{2}\·\sqrt{3}& 1\end{array}\right)\·\left(\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right)---\left(3\right)$

在平衡馈电的假定下，第三相电流为零。已知相电压(V_Φ)由下式定义：

$v_{\mathrm{\φ}}=i_{\mathrm{\φ}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\frac{d}{\mathrm{dt}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}---\left(4\right)$

其中R_Φ为相电阻。因此，使用αβ-FoR：

$v_{\mathrm{\φ}}=R_{\mathrm{\φ}}+i_{\mathrm{\α}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}+\frac{d}{\mathrm{dt}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}---\left(5\right)$

应当注意，从电路如何工作的角度，方程(5)中的电阻项比需要的要多。这些附加项考虑了测试数据偏移的存在以及直接补偿类似偏移；否则所述估计器会将多余的项设为零。

还已知角速度(ω)由下式定义：

$\mathrm{\ω}=\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θ}---\left(6\right)$

根据方程(1)和(4)：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}(p{i_{\mathrm{\α}}}^{p-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}})\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}({q{i}_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β}})\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\left({{\mathrm{ri}}_f}^{r-1}\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_f\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(7\right)$

虚构的转子电流(i_f)名义上是常数，其时间导数为零。因此，根据方程(5)和(7)：

$v_{\mathrm{\φ}}=R_{\mathrm{\φ}}+i_{\mathrm{\α}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}(p{i_{\mathrm{\α}}}^{p-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}})\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}({q{i}_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β}})\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(8\right)$

在采用开关磁阻电机的实施例中，不存在虚构的转子电流状态，因为没有与该状态关联的转子磁体，因此：

          i_f≡0    并且 $\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_f\≡0---\left(9\right)$

因此，在开关磁阻电机的情况下，与虚构的转子相位关联的指数变量(r)可以从方程(8)中删除：

$v_{\mathrm{\φ}}=R_{\mathrm{\φ}}+i_{\mathrm{\α}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}(p{i_{\mathrm{\α}}}^{p-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}})\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}({q{i}_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β}})\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---(10\·)$

例如，将类似的简化过程应用到SR电机的特定情况是从本公开受益的本领域技术人员的一项例行工作。

有若干种技术可用于在给定测试数据的情况下计算所述模型中的系数。如上所述，所述电气模型是代数的，这允许使用大量参数估计技术中的任意一种技术，例如最小二乘法和格莱姆(grammian)矩阵法。基于最小平方的参数估计器找到这样的模型系数：使观测到的数据与来自该模型的输出之间的差的平方最小。在本发明的特定实施例中，使用递归最小平方参数估计器。递归最小平方参数估计器最适合实际的生产系统。它们以这样的方式工作：它们能够借助每个新的数据样本生成改进的估计量。也就是说在工作中，它们并不只限于测试数据的完整集合。

递归最小平方参数估计技术的进一步改进涉及使用“遗忘因子”，其以下列方式工作。随着越来越多的数据被捕获，旧数据对计算新数据的影响被减小了。以这种方式，只有最新的数据才会在参数估计过程中具有显著影响。此遗忘因子在任何适当的时间区间上起作用-例如，分钟、小时或天-具体取决于设计考虑。许多考虑到的变量不随时间显著变化。但是，某些变量(例如相电阻)会随时间并相对于其他因素(例如电机温度)而改变。这种增加的改进可以将所述控制系统调整为适合任何特定的电机，并且还可以适应该电机中的变化。这通常发生在电机老化时。

可以为参数估计使用各种数据收集方案。例如，某种数据收集技术需要恒定的相电流，这通常只发生在受控的数据收集情况下。其他技术涉及变化的电流，在实际应用中通常如此。

在恒定相电流数据收集方案中，

$\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}}=\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β}}=0$

在这些条件下，方程(8)简化为：

$v_{\mathrm{\φ}}=R_{\mathrm{\φ}}+i_{\mathrm{\α}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(11\right)$

为了标记方便并反映i_f项的不可观测性，以下恒等式被定义为考虑方程(11)中最后两个∑项的结果：

$\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·g_{\mathrm{\φpqrn}}=G_{\mathrm{\φpqn}}$ 对于所有Φ、p和q  (12)

$\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·h_{\mathrm{\φpqrn}}=H_{\mathrm{\φpqn}}$ 对于所有Φ、p和q  (13)

为了在相电流变化的情况下保持与方程(10)的一致性，方程(11)中的谐波项(n)不会被收集到由方程(12)和(13)定义的H和G项中。

将方程(12)和(13)代入方程(11)，得到：

$v_{\mathrm{\φ}}=R_{\mathrm{\φ}}+i_{\mathrm{\α}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(14\right)$

将整个方程(14)除以ω得到：

$\frac{v_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+\frac{i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(15\right)$

使用方程(14)，可以在恒定相电流的情况下估计电机参数。

如上所述，实际的电机应用涉及变化的电流。方程(8)描述了当在电流变化的情况下计算相电压时，磁通模型系数(首先出现在方程(1)中)如何通过三个单独的路径传播。第一个路径(正如前面遇到的)通过那些明确包含ω的表达式。另外两个路径涉及具有电流的时间导数的表达式。如前所述，全部除以ω，并如方程(12)和(13)中指示的那样进行代入，得到：

$\frac{v_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+\frac{i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}}\right)]\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p{i_{\mathrm{\α}}}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β\α}}\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}q{i_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(16\right)$

注意：

$\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}i\right)=\frac{1}{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θ}\right)}\frac{d}{\mathrm{dt}}i=\left(\frac{d}{\mathrm{d\θ}}t\right)\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}i\right)=\frac{d}{\mathrm{d\θ}}i$

这样可将方程(16)重新写成以下简单的形式：

$\frac{v_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+\frac{i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+\left(\frac{d}{\mathrm{d\θ}}{i}_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p{i_{\mathrm{\α}}}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\left(\frac{d}{\mathrm{d\θ}}{i}_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{q{i}_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{\φpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{\φpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

重新列出方程(16)的优点在于消除了该方程中脉冲噪声的两个可能来源，以及它们可能导致参数估计器出现的多种问题。如果假定驱动电流波形是已知的，则可以直接计算它们对于角度的导数。如果电流波形被定义为解析形式(例如根据BEMF模型)，则对于所述导数存在一个闭表达式，另外可以获得一个数值估计。具体地说，如果在(k-1)和k区间，角度和期望的电流为θ(k-1)、θ(k)、i_α(k-1)和i_α(k)，则：

$\frac{d}{\mathrm{d\θ}}{i}_{\mathrm{\α}}=\frac{i_{\mathrm{\α}}\left(k\right)-i_{\mathrm{\α}}(k-1)}{\mathrm{\θ}\left(k\right)-\mathrm{\θ}(k-1)}$

这种方法隐含地假定所述系统表现出良好的电流跟随特性。

由于通过所述电气模型可以估计电阻和磁链，因此通过一系列标准运算可以导出将电流和角度与生成的转矩进行关联的转矩模型。这些运算通常包括从零电流到当前电流值对磁链积分-同能量，以及求该表达式对于轴角度的微分。这些运算的结果为转矩表达式。

同能量(ω_c)由下式定义：

${\mathrm{\ω}}_c=\∫\underset{\mathrm{\φ}=1}{\overset{N_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{di}}_{\mathrm{\φ}}---\left(17\right)$

其中，N为定子相数。因此，对于三相开关磁阻电机，N_Φ＝3(对于a、b和c定子相)，但是对于三相PM电机，N_Φ＝4(对于三个定子相和虚构的f转子相)。由下式通过同能量可以得到转矩：

$T=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{\mathrm{\ω}}_c---\left(18\right)$

所述abc-FoR与αβ-FoR之间的关系由下式给出：

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\α}}\\ i_{\mathrm{\β}}\\ i_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ \frac{-1}{2}& \frac{-1}{2}\·\sqrt{3}& 1\\ \frac{-1}{2}& \frac{1}{2}\·\sqrt{3}& 1\end{array}\right)\·\left(\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right)$

abc FoR电流的导数通过以下方程与αβ-FoR相关：

${\mathrm{d\λ}}_a(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},i_f,\mathrm{\θ})=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\λ}}_a\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\λ}}_a\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}+\frac{\∂}{{\∂i}_f}{\mathrm{\λ}}_a\·{\mathrm{di}}_f---\left(19\right)$

${\mathrm{d\λ}}_b(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},i_f,\mathrm{\θ})=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\λ}}_b\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\λ}}_b\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}+\frac{\∂}{{\∂i}_f}{\mathrm{\λ}}_b\·{\mathrm{di}}_f---\left(20\right)$

${\mathrm{d\λ}}_c(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},i_f,\mathrm{\θ})=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\λ}}_c\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\λ}}_c\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}+\frac{\∂}{{\∂i}_f}{\mathrm{\λ}}_c\·{\mathrm{di}}_f---\left(21\right)$

${\mathrm{d\λ}}_f(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},i_f,\mathrm{\θ})=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\λ}}_f\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\λ}}_f\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}+\frac{\∂}{{\∂i}_f}{\mathrm{\λ}}_f\·{\mathrm{di}}_f---\left(22\right)$

并且

  d_ia＝di_α                            (23)

${\mathrm{di}}_b=\frac{-1}{2}\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}---\left(24\right)$

${\mathrm{di}}_c=\frac{-1}{2}\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}---\left(25\right)$

  di_f＝di_f                             (26)

由于开关磁阻电机没有永磁体，因此在开关磁阻电机的情况下，方程(26)为：

  di_f≡0因此，同能量的表达式以αβ-FoR的形式写成：

${\mathrm{\ω}}_c=\∫{\mathrm{\λ}}_a{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}-\frac{1}{2}\·\∫{\mathrm{\λ}}_b{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\·{\∫\mathrm{\λ}}_b{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}-\frac{1}{2}\·{\∫\mathrm{\λ}}_c{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·{\∫\mathrm{\λ}}_c{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}+{\∫\mathrm{\λ}}_f{\mathrm{di}}_f---\left(27\right)$

为方便起见，此表达式的各个积分分量分别被设为等于D₁、D₂、D₃、D₄、D₅和D₆：

${\mathrm{\ω}}_c=D_1-\frac{1}{2}\·D_2-\frac{\sqrt{3}}{2}\·D_3-\frac{1}{2}{D}_4+\frac{\sqrt{3}}{2}\·D_5+D_6---\left(28\right)$

而且，在开关磁阻电机的特定情况下：

  D₆≡0因此对于开关磁阻电机，方程(27)和(28)简化为：

${\mathrm{\ω}}_c=\∫{\mathrm{\λ}}_a{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}-\frac{1}{2}\·\∫{\mathrm{\λ}}_b{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\·{\∫\mathrm{\λ}}_b{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}-\frac{1}{2}\·{\∫\mathrm{\λ}}_c{\mathrm{di}}_{\mathrm{\α}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·{\∫\mathrm{\λ}}_c{\mathrm{di}}_{\mathrm{\β}}---\left(29\right)$

${\mathrm{\ω}}_c=D_1-\frac{1}{2}\·D_2-\frac{\sqrt{3}}{2}\·D_3-\frac{1}{2}{D}_4+\frac{\sqrt{3}}{2}\·D_5---\left(30\right)$

接着，选择积分路径。到此，定义了包含三个有向线段(DLS)的积分路径，将在该路径上计算积分给定同能量的值。为了本公开的目的，积分的虚变量为ξ，而相电流变量(i_a，i_b，i_c，i_α，i_β)为小写。它们关联的终值(对于路径积分)为(I_a，I_b，I_c，I_α，I_β)。

有向线段一：

      i_α＝0    di_α＝0

      i_β＝0    di_β＝0

      i_f        为积分变量，范围从0到I_f

有向线段二：

      i_α＝0    di_α＝0

      i_β       为积分变量，范围从0到I_β

      i_f＝I_f    di_f＝0

有向线段三：

      i_α       为积分变量，范围从0到I_α

      i_β＝I_β  di_β＝0

      i_f＝I_f    di_f＝0

图3示出了定义为有向线段51、52、53的序列的积分路径。

然后在选定的路径上计算每个积分D₁-D₆的值。计算D₁的值：

      D₁＝∫λ_adi_α

除第三条DLS外，其在所有DLS上恒等于零，因此：

$D_1={\∫}_0^{I_{\mathrm{\α}}}\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{apqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{apqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$D_1=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{apqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{apqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(31\right)$

计算D₂的值：

        D₂＝∫λ_bdi_α

除第三条有向线段外，其在所有有向线段上也恒等于零。

$D_2={\∫}_0^{I_{\mathrm{\α}}}\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{bpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{bpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$D_2=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{bpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{bpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))--\left(32\right)$

计算D₃的值：

        D₃＝∫λ_bdi_β除第二条有向线段外，其在所有有向线段上恒等于零，其中所有项(除p＝0的那些项以外)都为零。

$D_3={\∫}_0^{I_{\mathrm{\β}}}\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{b0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{b0\mathrm{qrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$D_3=\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\underset{r=0}{\overset{R}{\·\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{b0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{b0\mathrm{qrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(33\right)$

计算D₄的值：

        D₄＝∫λ_cdi_α除第三条有向线段外，其在所有有向线段上恒等于零，其中所有项(除p＝q＝0的那些项以外)都为零。

$D_4={\∫}_0^{I_{\mathrm{\α}}}[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{cpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{cpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\mathrm{d\ξ}$

得到：

$D_4=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{cpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{cpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(34\right)$

计算D₅的值：

              D₅＝∫λ_cdi_β

除第二条有向线段外，其在所有有向线段上恒等于零。

$D5={\∫}_0^{I_{\mathrm{\β}}}\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{c0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{c0\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$D_5=\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{c0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{c0\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(35\right)$

计算D₆的值：

              D₆＝∫λ_fdi_f

除第一条有向线段外，其在所有有向线段上恒等于零。

$D_6={\∫}_0^{I_f}[\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\mathrm{d\ξ}$

得到：

$D_6=\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))$

将D_I、i＝1，..，6代入方程(29)：

${\mathrm{\ω}}_c=[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{apqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{apqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-1}{2}\·[\underset{\underset{\‾}{p}=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{bpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{bpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-\sqrt{3}}{2}[\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{b0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{b0\mathrm{qrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-1}{2}\·[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{cpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{cpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{\sqrt{3}}{2}\·[\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{c0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{c0\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]---\left(37\right)$

将方程(37)代入方程(18)：

$T=[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{\mathrm{apqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{apqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-1}{2}\·[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{\mathrm{bpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{bpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-\sqrt{3}}{2}\·[\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{b0\mathrm{qrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{b0\mathrm{qrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-1}{2}\·[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{\mathrm{cpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{cpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{\sqrt{3}}{2}\·[\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_f}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{c0\mathrm{qrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{c0\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(38\right)$

使用先前引入方程(12)和方程(13)的恒等式，将方程(38)重新写成：

$T=[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{apqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{apqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-1}{2}\·[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{bpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{bpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-\sqrt{3}}{2}\·[\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{b0\mathrm{qn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{b0\mathrm{qn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{-1}{2}\·[\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{cpqn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{cpqn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\frac{\sqrt{3}}{2}\·[\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{c0\mathrm{qn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{c0\mathrm{qn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))]\·\·\·$

$+\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))$

电气模型参数自然地从磁链的表达式转入转矩的表达式中。但是对于采用永磁体的电机，当所述电气模型被变换成转矩模型时，将出现其他参数。从物理上说，这些参数涉及电机上的磁体如何与它们自身相互作用-齿槽效应参数。当电机旋转时，电机端子电流和电压的变化如何指示或测量此行为在数学上并不明显。换言之，当转子旋转时，仅通过来自电机端子的反馈无法观测齿槽效应参数。

可以使用根据本发明的各种方法来处理这些不可观测的参数。例如，在一个实施例中，具有不可观测参数的转矩模型项被聚集在一起：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}}{2}\·n\·[(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]\·\·\·$

$+\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(39\right)$

对于开关磁阻电机的特定情况，这些参数不存在(电机构造中没有磁体)，并且方程(39)简化为：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(g_{\mathrm{apqn}}-\frac{g_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{g_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-h_{\mathrm{apqn}}+\frac{h_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{h_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\frac{\sqrt{3}}{2}\·[(-g_{b0\mathrm{qn}}+g_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(h_{b0\mathrm{qn}}-h_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]---\left(40\right)\·$

方程(39)中的三重与第一双重求和项包含可以通过电机端子观测的系数，而第二双重求和将那些不可观测的项分类到一起。

可直接或间接地测量齿槽效应转矩以提供用于导出表达式(可替代所述未知分类项)的数据。例如，通过在试验台上旋转电机(没有电流被施加到电机绕组)并测量齿槽效应，可以直接将一个傅立叶级数拟合到测试数据并使用此已知的表达式来替代所述未知分类项。考虑方程(39)在没有电流流入定子相时的特定情况：

          I_α＝I_β＝0

方程(39)中不可观测的分类项为：

$\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))$

由于I_f在名义上是常数，因此可以通过以下三角多项式为齿槽效应的影响建模：

$\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(p_n\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+q_n\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(41\right)$

参数p_n和q_n由齿槽效应转矩测量值(从不通电的电机获得)来提供。然后假定方程(41)可以取代方程(39)中转矩表达式的不可观测的分量，即：

$\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(p_k\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+q_k\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))$

得到：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·[(\frac{-\sqrt{3}}{2}\·G_{b0\mathrm{qn}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(\frac{\sqrt{3}}{2}{H}_{b0\mathrm{qn}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{H}_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]\·\·\·$

$+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(p_k\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+q_k\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(42\right)$

根据本发明的其他技术使用齿槽效应转矩的间接测量值。这通常包含三个步骤。首先，在试运行期间，电机以一种或多种空载(自由轴)速度旋转。由于没有负载被施加到电机轴上，因此电机电流为最小。根据电压、电流以及轴传感器信息来拟合电机的简单线性电压模型(例如，仅包括相电流和BEMF分量-α和β电流表现为无关并只到一次幂)。该线性模型可相当准确地预测电机在轻载下的运行。接着，如先前所述从线性电压电机中导出电机的转矩模型。该转矩模型可相当准确地预测电机在轻载下的输出转矩。

在一个替代方法中，在试运行期间，电机以不通电的速度旋转并测量端子电压。使用该数据，可以拟合完整电机模型的一部分(BEMF分量)。使用与用于完整模型的方法相同的方法，可以从该部分电气模型创建转矩模型。结果模型不会完整地描述电机如何在整个电流范围上产生转矩，但是对于小的电流值来说，它却相当地精确。

然后，控制电机以便保持位置。也就是说，所述控制器激励绕组，直至电机保持所需的位置，克服齿槽效应转矩(假定没有施加其他负载-电机以自由轴运行)。知道了这些低电流范围的相对精确的转矩模型后，现在可以计算在任何特定角度的齿槽效应转矩的值。以这种方式，通过在一个完整的旋转中重复上述过程，可以收集关于齿槽效应模型的数据。例如，按照前面所述，可以拟合傅立叶级数，创建查找表等，并用其替代转矩模型中包含不可观测参数的那些项。

出于数值的原因，希望规范化αβ-FoR电流，以便它们位于闭区间[-1，1]内。通过考虑方程(1)可以最佳地理解该过程：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(1\right)$

假定直接测量磁通并使用某一比例因子I来规范化测量的电流，则方程(1)变为：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\right)}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\right)}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_f}{I}\right)}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(43\right)$

相应的电压方程通过下式给出：

$\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{\φ}}=R_{\mathrm{\φ}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\·\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...\\ +\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}[p{\left(\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\right)}^{p-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\right)]\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\right)}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_f}{I}\right)}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...\\ +\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\right)}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}[q{\left(\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\right)}^{q-1}\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\right)]\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_f}{I}\right)}^r\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...\\ +\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\right)}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_{\mathrm{\β}}}{I}\right)}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{i_f}{I}\right)}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(44\right)\end{array}$

例如以下的项

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{i_{\mathrm{\α}}}{I}\right)$

对应于规范化后的电流的导数。前面引用的另外两个所关心的方程是将磁通与同能量以及将同能量与转矩相关的方程：

${\mathrm{\ω}}_c=\∫\underset{\mathrm{\φ}=1}{\overset{N_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{di}}_{\mathrm{\φ}}---\left(17\right)$

$T=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{\mathrm{\ω}}_c---\left(18\right)$

方程(17)中的积分是对于真实电流测量值。由此，如果使用规范化后的电流来计算转矩方程的值，则通过乘以所述比例因子I可以得到真实转矩值。

解算器34使用所述转矩模型为具有零角度敏感度的平滑转矩计算适当的电流。在轴的单个旋转上，计算出的转矩水平可能会舍去某些干扰。进而，如上所述，位置测量中的误差会降低性能，并且性能趋向于随着角度测量中的误差而迅速降低。为获得对角度测量具有零敏感度或至少降低的敏感度的平滑转矩，将导出一个解(其考虑了转矩相对于角度的变化)，然后使方差最小。首先，求解一组非线性方程。对于包含变量x_i(i＝1，..，N)的N个函数关系：

F_i(x₁，x₂，....，x_N)＝0    i＝1，....，N            (45)

采用向量符号表示并使用泰勒级数展开函数F_i：

$F_i(x+\mathrm{\δx})=F_i\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂}{{\∂x}_j}{F}_i\·{\mathrm{\δx}}_j+O\left({\mathrm{\δx}}^2\right)---\left(46\right)$

雅可比行列式被写成：

$J_{\mathrm{ij}}=\frac{\∂}{{\∂x}_j}{F}_i---\left(47\right)$

则：

F(x+δx)＝F(x)+J·δx+O(δx²)                       (48)

由此得到一组线性方程：

J·δx_new＝-F                                       (49)

求解以上线性方程，得到：

x_new＝x_old+δx_new                                   (50)

在此特定情况下，所述非线性方程用于转矩并且对于角度状况具有零敏感度。

在所讨论的问题中，虽然所述雅可比矩阵通常将很小(二乘二或三乘三)，计算逆矩阵时的计算成本不大。但是，计算雅可比行列式的单个元素需要很大的开销。降低计算成本的一种方法是对于某些数量的迭代使雅可比常数p＞1。这种技术(循环更新所述雅可比矩阵)以解的收敛速度的降低来补偿计算成本的减少。还有多维正割型方法，通过使用多维有限差分来避免显式计算雅可比行列式。

使用上述方法，对解的初始猜测必须相当地接近，因为不能保证整体收敛。搜索PM电机的解时，通常不会有问题，但对于开关磁阻电机，则可能有问题。一种可能的解决方法是检查可能具有重新启动方案的拟牛顿方法(具有整体收敛特性)的使用。

转矩可以使用方程(39)通过同能量来计算，重复如下：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}}{2}\·n\·[({-G}_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]...$

$+\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(39\right)$

忽略不可观测的参数并重新整理方程(39)，得到：

$0=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}}{2}\·n\·[({-G}_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]-T---\left(51\right)$

现在可以导出对于i_α和i_β的必要的偏导数或雅可比行列式的表值。

$\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}T(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},\mathrm{\θ})=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]---\left(52\right)$

$\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}T(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},\mathrm{\θ})=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{qI}}_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}}{2}\·n\·\left[\begin{array}{c}(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]---\left(53\right)$

因此：

$J_{11}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]---\left(54\right)$

$J_{12}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{q{I}_{\mathrm{\β}}}^{q-1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}}{2}\·n\·[(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]---\left(55\right)$

关于零角敏感度，相对于角度的敏感度由下式给出：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(56\right)$

由方程(39)得到：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·\left[\begin{array}{c}-(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·\frac{\sqrt{3}}{2}\·\left[\begin{array}{c}-(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]---\left(57\right)$

因此：

$J_{21}=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(58\right)$

以及：

$J_{22}=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(59\right)$

通过改变偏导数的顺序，方程(58)和(59)变为：

$J_{21}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{J}_{11}---\left(60\right)$

$J_{22}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{J}_{12}---\left(61\right)$

如上所述，无法仅使用来自电机端子的数据来估计齿槽效应转矩。上述齿槽效应模型可以被直接代入解算器34。记得可观测和不可观测转矩模型项在方程(39)中被分类到一起。如果总的电机转矩分成通过端变量(T_tv)估计的转矩和齿槽效应转矩(T_cog)，则：

             T＝T_tv+T_cog     (62)

并且

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{T}_{\mathrm{tv}}+\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{T}_{\mathrm{cog}}---\left(63\right)$

根据傅立叶级数将T_cog看作只是角度的函数(代表与角度相关但与电流无关的齿槽效应)：

$\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}{T}_{\mathrm{cog}}=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}{T}_{\mathrm{cog}}=0---\left(64\right)$

$\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\α}}}\left(\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{T}_{\mathrm{cog}}\right)=\frac{\∂}{{\∂i}_{\mathrm{\β}}}\left(\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{T}_{\mathrm{cog}}\right)=0---\left(65\right)$

从方程(64)和(65)可以看出，对雅可比矩阵的计算没有影响，参见方程(39)和方程(51)到(61)。仅对计算真实转矩(T)及其对于角度的偏导数(或敏感度)有影响。回想方程(39)：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\frac{\sqrt{3}}{2}\·[(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]...$

$+\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^r}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{f00\mathrm{rn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{f00\mathrm{rn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))$

如上所述，如果通过一个傅立叶级数将T_cog看作机械角的函数：

$T_{\mathrm{cog}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{n=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}(a_n\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+b_n\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(66\right)$

则方程(39)得到：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}}{2}\·n\·[(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})]...$

$+\underset{n=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}(a_n\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+b_n\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(67\right)$

然后，真实敏感度是方程(67)中出现的转矩表达式的对于角度的偏导数，参见方程(57)：

$S_a=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·\left[\begin{array}{c}-(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}\·n^2}{2}\·[-(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})]...$

$+\underset{n=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}n\·(a_n\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-b_n\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(68\right)$

到目前为止，假定平滑转矩解是以逐点的方式获得的。一种替代方法是在区间(0，2π)内跨角度区间同时计算解。为方便起见，引入以下命名规则。假定对于特定的转矩和敏感度需求，将在以下各种角度计算解：

      θ(k)对于所有k＝1，....，N

电流列向量由下式给出

$I=\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ i_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\·\·\\ i_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\\ i_{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ i_{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\·\·\\ i_{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\end{array}\right)---\left(69\right)$

如果新的

I(n+1)＝I(n)+Δ(n)                        (70)

则第k个转矩向量为由下式定义的行向量：

φ_Tk＝(0....0T(θ(k)，i_α(k)，i_β(k))0....0)

同样，第k个敏感度向量由下式定义：

φ_Sk＝(0....0S(θ(k)，i_α(k)，i_β(k))0....0)

这些向量可以叠加形成对角矩阵：

$A=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{T1}\\ \·\·\·\·\\ {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{TN}}\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{S1}\\ \·\·\·\·\\ {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{SN}}\end{array}\right)$

最后，采用对于电流的适当偏导数，结果矩阵归并形成一个2N×2N矩阵：

$\mathrm{\Φ}$ $=\left(\begin{array}{cc}\frac{\∂}{\∂i_{\mathrm{\α}}}\mathrm{\&Agr;}& \frac{\∂}{\∂i_{\mathrm{\β}}}\mathrm{\&Agr;}\\ \frac{\∂}{\∂i_{\mathrm{\α}}}\mathrm{\&Bgr;}& \frac{\∂}{\∂i_{\mathrm{\β}}}\mathrm{\&Bgr;}\end{array}\right)---\left(71\right)$

在特定角度θ(k)处希望的转矩和敏感度为：

      T(θ(k))    S(θ(k))

在角度范围内这些值的2N×1需求向量D由下式给出：

$\left(\begin{array}{c}{T}_d\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ T_d\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\·\·\\ T_d\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\\ S_d\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ \·\·\·\·\·\\ S_d\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\end{array}\right)---\left(72\right)$

并且从任意电流组合(i_α，i_β)产生的转矩和敏感度的实际值(其组成迭代解)由下面的列向量给出：

$A=\left(\begin{array}{c}T(\mathrm{\θ}\left(1\right),i_{\mathrm{\α}}\left(1\right),i_{\mathrm{\β}}\left(1\right))\\ T(\mathrm{\θ}\left(2\right),i_{\mathrm{\α}}\left(2\right),i_{\mathrm{\β}}\left(2\right))\\ \·\·\·\·\·\\ T(\mathrm{\θ}\left(N\right),i_{\mathrm{\α}}\left(N\right),i_{\mathrm{\β}}\left(N\right))\\ S(\mathrm{\θ}\left(1\right),i_{\mathrm{\α}}\left(1\right),i_{\mathrm{\β}}\left(1\right))\\ \·\·\·\·\·\\ S(\mathrm{\θ}\left(N\right),i_{\mathrm{\α}}\left(N\right),i_{\mathrm{\β}}\left(N\right))\end{array}\right)---\left(73\right)$

使用此符号表示法并根据初始存在的推导：

         Δ(n)＝Φ^-1·(D-A)                   (74)

和：

         I(n+1)＝I(n)+Δ(n)

当处理PM电机时，从合理的猜测开始，三到十五次迭代通常已足够。在先前的开关磁阻电机的情况下，收敛问题变得非常重要。通常在一个正弦波(使用某些适合于正在讨论的电机的谐波来生成)上选择PM电机的典型种子值。因此，在非叠加版本的解算器中：

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\α}}\\ i_{\mathrm{\β}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0.2\\ -0.2\end{array}\right)$

在叠加的版本中，此表达式由适当大小的正弦馈源(sine feeds)和谐函数来替代，例如，在12-10PM电机中为五。

逼近以上列出的一种替代方法是将该问题看作每个角度下对于αβ电流的约束非线性最优化任务：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},\mathrm{\θ}\left(k\right))=0$

       T(i_α，i_β，θ(k))＝T_demand

$\mathrm{MIN}({i_{\mathrm{\α}}}^2+{i_{\mathrm{\β}}}^2)$

此类问题是“Sensitivity of Automatic Control Systems”(自动控制系统的敏感度)(Rosenwasser和Yusupov，CRC Press，1999)中所描述情况的一种特定情况。

在某些齿槽效应频率很高的情况下，已证明可能很难跟随结果电流形状。当然，日益复杂而昂贵的驱动装置可以提供更好的电流形状跟随能力。在实际中，要求在成本和电流跟随能力之间进行合理的平衡。一种解决方法是将更高谐波项从本公开中出现的全部敏感度表达式中删除。具体地说，考虑方程(71)中出现的表达式。如果忽略高于N_t的更高谐波项，则：

$S_a=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\α}}}^{p+1}}{p+1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·\left[\begin{array}{c}-(G_{\mathrm{apqn}}-\frac{G_{\mathrm{bpqn}}}{2}-\frac{G_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(-H_{\mathrm{apqn}}+\frac{H_{\mathrm{bpqn}}}{2}+\frac{H_{\mathrm{cpqn}}}{2})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_{\mathrm{\β}}}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\sqrt{3}\·n^2}{2}\·[-(-G_{b0\mathrm{qn}}+G_{c0\mathrm{qn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+(H_{b0\mathrm{qn}}-H_{c0\mathrm{qn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})]...$

$+\underset{n=1}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}n\·(a_n\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-b_n\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(75\right)$

通常，删去的谐波将在35至40的范围内。这会产生更平滑的电流形状，在角精度中存在误差时，将比否则的情况更快一些地引入更高频率的转矩脉动。

如果不使用平衡馈电，则需要使用abc-FoR。如以上使用αβ-FoR的讨论，以下公开通常按照三相混合电机来假定，但是受益于本公开的本领域技术人员可以将所述模型形式推广到具有任意相数的各类旋转电机。为了符号表示的方便，abc-定子相由下标“1”、“2”和“3”表示，而单个转子相由下标“4”表示。

abc-FoR中磁链模型的一般形式由下式给出：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}(i_1,i_2,i_3,i_4,\mathrm{\θ})=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(76\right)$

方程(4)提供已知方程：

$v_{\mathrm{\φ}}=i_{\mathrm{\φ}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\frac{d}{\mathrm{dt}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}---\left(4\right)$

根据方程(76)：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{p\·i_1}^{p-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_1\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{q{i}_2}^{q-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_2\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=1}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{s{i}_4}^{s-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_4\right)\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(77\right)$

将方程(77)代入方程(4)：

$v_{\mathrm{\φ}}=i_{\mathrm{\φ}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{i_1}^{p-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_1\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{q{i}_2}^{q-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_2\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{r\·i_3}^{r-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_3\right)\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=1}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{s{i}_4}^{s-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_4\right)\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(78\right)$

如上文所述，在开关磁阻电机的特定情况下：

$\begin{array}{ccc}{i}_f\≡0& \mathrm{and}& \frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_f\≡0\end{array}----\left(9\right)$

因此在开关磁阻电机的情况下，方程(78)得出：

$v_{\mathrm{\φ}}=i_{\mathrm{\φ}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{i_1}^{p-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_1\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{q{i}_2}^{q-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_2\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{r\·i_3}^{r-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_3\right)\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(79\right)$

回想根据方程(17)和(18)，使用以下表达式得到同能量和转矩：

${\mathrm{\ω}}_c=\∫\underset{\mathrm{\φ}=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{di}}_{\mathrm{\φ}}---\left(17\right)$

$T=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{\mathrm{\ω}}_c---\left(18\right)$

可以选定任何合理的积分路径；在特定实施例中，使用四条有向线段：

积分变量  i₄ di₄≠0   i₁，i₂，i₃，di₁，di₂，di₃＝0

积分变量  i₁ di₁≠0   i₄＝I₄ i₂，i₃，di₂，di₃，di₄＝0

积分变量  i₂ di₂≠0   i₄＝I₄ i₁＝I₁  i₃，di₁，di₃，di₄＝0

积分变量  i₃ di₃≠0   i₄＝I₄ i₁＝I₁  i₂＝I₂ di₁，di₂，di₄＝0

路径的选择是使转矩的最终表达式中出现的不可观测参数的数量最少。然后在选定的路径上求积分值。将方程(76)代入方程(17)：

${\mathrm{\ω}}_c=\∫[\underset{\mathrm{\φ}=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))]{\mathrm{di}}_{\mathrm{\φ}}---\left(80\right)$

为了符号表示方便，将上述积分重新写为：

${\mathrm{\ω}}_c=\underset{\mathrm{\φ}=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{F}_{\mathrm{\φ}}---\left(81\right)$

其中，对于Φ＝1，..，4：

$F_{\mathrm{\φ}}=\∫\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})){\mathrm{di}}_{\mathrm{\φ}}---\left(82\right)$

在开关磁阻电机(没有永磁体)的特定情况下，不存在关联的定子相：

$F_{\mathrm{\φ}}=\∫\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})){\mathrm{di}}_{\mathrm{\φ}}---\mathrm{\φ}=\mathrm{1,2,3}.$

积分一(F₁)：

$F_1=\∫\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{1\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{1\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})){\mathrm{di}}_1$

除第二条DLS外，其在所有DLS上恒等于零，其中：

i₄＝I₄    i₁，i₂，i₃＝0 di₂，di₃，di₄＝0

因此：

$F_1={\∫}_0^{I_1}\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^p\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{1p00\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{1p00\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$F_1=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{1p00\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{1p00\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(83\right)$

积分二(F₂)：

$F_2=\∫\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{2\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{2\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})){\mathrm{di}}_2$

除第三条DLS外，其沿所有DLS恒等于零，其中：

i₄＝I₄    i_i＝I₁ i₁，i₃＝0 di₁，di₃，di₄＝0

因此：

$F_2={\∫}_0^{I_2}\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^q\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$F_2=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(84\right)$

积分三(F₃)：

$F_3=\∫\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})){\mathrm{di}}_3$

除第四条DLS外，其沿所有DLS恒等于零，其中：

i₄＝I₄    i_i＝I₁    i₂＝I₂      di₁，di₂，di₄＝0

因此：

$F_3{=\∫}_0^{I_3}\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$F_3=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(85\right)$

积分四(F₄)：

$F_4=\∫\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{4\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{4\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})){\mathrm{di}}_4$

除第一条DLS外，其沿所有DLS恒等于零，其中：

i₁，i₂，i₃，di₁，di₂，di₃＝0

$F_4{=\∫}_0^{I_f}\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\mathrm{d\ξ}$

得到：

$F_4=\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^{s+1}}{s+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(86\right)$

将方程(83)至(86)代入方程(81)，得到表达式：

${\mathrm{\ω}}_c=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{1p00\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{1p00\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^{s+1}}{s+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(87\right)$

回想方程(18)可以看出，在abc-FoR中，转矩由下式给出：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{1p00\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{1p00\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{2\mathrm{pq}0\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^{s+1}}{s+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(88\right)$

在开关磁阻电机的情况下：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})+h_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{3\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(89\right)$

以上论述了适合于参数估计的数据收集方案，包括示例性恒定相电流和变相电流的方案。下面考虑变电流的方案(在实际应用中是典型的)。回想方程(78)：

$v_{\mathrm{\φ}}{=i}_{\mathrm{\φ}}\·R_{\mathrm{\φ}}+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{i_1}^{p-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_1\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}q{i_2}^{q-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_2\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}r\·{i_3}^{r-1}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_3\right)\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ω}\·n\·(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(78\right)$

除以角速度：

$=\frac{i_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ}}+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_1\right)]\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{i_1}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_2\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}q{i_2}^{q-1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_3\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}r\·{i_3}^{r-1}\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{i_4}^s\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{\mathrm{\φpqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(90\right)$

分配给想象的转子相的状态变量无法通过电机端子来观测。因此，必须将名义上的恒定转子电流归到那些可观测的模型参数中，如以上按照为αβ-FoR公式化的模型公开的那样。定义下列恒等式：

$\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·g_{\mathrm{\φpqrsn}}=G_{\mathrm{\φpqrn}},\mathrm{for\; all\; p},\mathrm{q\; and\; r}---\left(91\right)$

$\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}{I_4}^s\·h_{\mathrm{\φpqrsn}}=H_{\mathrm{\φpqrn}},\mathrm{for\; all\; p},\mathrm{q\; and\; r}---\left(92\right)$

使用由方程(91)和(92)提供的恒等式，方程(90)变为：

$\frac{v_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}=\frac{i_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ}}+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_1\right)]\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{i_1}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_2\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{qi}}_2}^{q-1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_3\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{{r\·i}_3}^{r-1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+H_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(93\right)$

使用方程(91)和(92)中出现的恒等式，方程(89)也被重新写成：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^{s+1}}{s+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(94\right)$

并且在开关磁阻电机的特定情况下：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(95\right)$

作为选定的用于对积分求值的路径的结果，并非所有来自电压拟合(voltage fit)的模型参数都在最终的转矩表达式中出现。

由解算器34实现的、计算所需电流以获得希望的电机行为(例如具有最小角度敏感度的平滑转矩)的方法在abc-FoR中与在以上根据αβ-FoR公开的方法类似。主要区别在于所述雅可比行列式为三乘三矩阵，且第三行元素通过对abc-FoR电流可能采用的值进行某种收敛来给出。出于当前公开的目的，假定任何选定的解都将以某种方式最小化各个相电流的平方和。

假设使用方程(88)中陈述的具有abc-FoR的转矩模型通过同能量来计算转矩：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^{s+1}}{s+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(g_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-h_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(88\right)$

现在可以推导出对于i₁、i₂和i₃的必要的偏导数或雅可比行列式的表值。

$\frac{\∂}{\∂i_1}T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{I_1}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(96\right)$

$\frac{\∂}{{\∂i}_2}T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}q\·{I_2}^{q-1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(97\right)$

$\frac{\∂}{{\∂i}_3}T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n-\mathrm{\θ}))---\left(98\right)$

因此：

$J_{11}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{I_1}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+0}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(99\right)$

$J_{12}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}q\·{I_2}^{q-1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(100\right)$

$J_{13}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))---\left(101\right)$

如先前在方程(56)中所述，相对于角度的敏感度由下式给出：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(56\right)$

根据方程(88)：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_1}^{p+1}}{p+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·({-G}_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{s=0}{\overset{S}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_f}^{s+1}}{s+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(g_{4000\mathrm{sn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-h_{4000\mathrm{sn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(102\right)$

因此，所述雅可比行列式第二行的元素由以下表达式给出：

$J_{21}=\frac{\∂}{\∂j_1}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(103\right)$

$J_{22}=\frac{\∂}{\∂i_2}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(104\right)$

$J_{23}=\frac{\∂}{{\∂i}_3}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}T---\left(105\right)$

通过改变方程(103)至(105)中偏导数的顺序，可得：

$J_{21}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{J}_{11}---\left(106\right)$

$J_{22}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{J}_{12}---\left(107\right)$

$J_{23}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{J}_{13}---\left(108\right)$

显式地：

$J_{21}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{1p00n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{1p00n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{I_1}^{p-1}\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_2}^{q+1}}{q+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}p\·{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(109\right)$

$J_{22}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{2\mathrm{pq}0n}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{2\mathrm{pq}0n}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}q\·{I_2}^{q-1}\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{I_3}^{r+1}}{r+1}\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(110\right)$

$J_{23}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{I_1}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{I_2}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{I_3}^r\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{n}^2\·(-G_{3\mathrm{pqrsn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})-H_{3\mathrm{pqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))---\left(111\right)$

在选择电流中使用的准则可以是平衡所述馈电，也可以是最小化平方和。在最小平方和的情况下，以下被最小化：

$I_{\mathrm{ss}}=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{i_k}^2---\left(112\right)$

在下列情况下取得极小值：

$\frac{\∂}{{\∂i}_k}{I}_{\mathrm{ss}}=2\·i_k=0---\left(113\right)$

然后，所述雅可比行列式的第三行由以下形式的表达式给出：

$J_{3k}=\frac{{\∂}^2}{{\∂i_k}^2}{I}_{\mathrm{ss}}=2---\left(114\right)$

可以结合所述αβ-FoR平滑转矩解算器以与上述方式相同的方式将齿槽效应包括到解算器34中。

此外，以与使用αβ-FoR平滑转矩解算器公开的方法类似的方法，可以同时计算给定区间内跨角度区间的解，而不是以逐点的方式计算。对于特定的转矩和敏感度需求，将在以下各种角度计算解：

θ(k)对于所有k＝1，....，N

电流列向量由下式给出：

I＝(i_a(θ(1))....i_a(θ(N))i_b(θ(1))....i_b(θ(N))i_cθ(1))....i_c(θ(N)))^T  (115)

如果新的

I(n+1)＝I(n)+Δ(n)  (116)

则第k个转矩向量为由下式定义的行向量：

φ_Tk＝(0....0 T(θ(k)，i_a(k)，i_b(k)，i_c(k))0....0)

同样，第k个敏感度向量由下式定义：

φ_Sk＝(0....0 S(θ(k)，i_a(k)，i_b(k)，i_c(k))0....0)

最后，最小平方和电流由下式定义：

φ_Ik＝(0....0 I_ss(i_a(k)，i_b(k)，i_c(k)0....0)

可以将这些向量叠加以形成对角矩阵：

$A=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{T1}\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{TN}}\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{S1}\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{SN}}\end{array}\right)$ $C=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{I1}\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{IN}}\end{array}\right)$

因此，采用对于电流的适当偏导数，结果矩阵归并形成一个3N×3N矩阵：

$\mathrm{\Φ}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\∂}{\∂i_a}A& \frac{\∂}{\∂i_b}A& \frac{\∂}{\∂i_c}A\\ \frac{\∂}{\∂i_a}A& \frac{\∂}{\∂i_b}B& \frac{\∂}{\∂i_c}C\\ \frac{\∂}{\∂i_a}A& \frac{\∂}{\∂i_b}B& \frac{\∂}{\∂i_c}C\end{array}\right)---\left(117\right)$

特定角度θ(k)处希望的转矩、敏感度以及平方和的变化率分别为：

T(θ(k))    S(θ(k))    I(θ(k))

在角度范围内这些值的需求向量D由下式给出：

$D=\left(\begin{array}{c}{T}_d\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ T_d\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\\ T_d\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\\ S_d\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ S_d\left(\mathrm{\θ}\left(2\right)\right)\\ \·\·\·\\ S_d\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\\ I\left(\mathrm{\θ}\left(1\right)\right)\\ \·\·\·\\ I\left(\mathrm{\θ}\left(N\right)\right)\end{array}\right)---\left(118\right)$

并且从任意电流组合(i_a，i_b，i_c)产生的转矩和敏感度的实际值(其组成迭代解)由下面的列向量给出：

$A=\left(\begin{array}{c}T(\mathrm{\θ}\left(1\right),i_a\left(1\right),i_b\left(1\right),i_c\left(1\right))\\ T(\mathrm{\θ}\left(2\right),i_a\left(2\right),i_b\left(2\right),i_c\left(2\right))\\ \·\·\·\·\·\\ T(\mathrm{\θ}\left(N\right),i_a\left(N\right),i_b\left(N\right),i_c\left(N\right))\\ S(\mathrm{\θ}\left(1\right),i_a\left(1\right),i_b\left(1\right),i_c\left(1\right))\\ \·\·\·\·\·\\ S(\mathrm{\θ}\left(N\right),i_a\left(N\right),i_b\left(N\right),i_c\left(N\right))\end{array}\right)---\left(119\right)$

使用此符号表示法并根据初始存在的推导：

Δ(n)＝Φ^-1·(D-A)           (120)

和：

I(n+1)＝I(n)+Δ(n)

在本发明的一个实施例中，PM电机与通过此处描述的端变量建立的模型一起使用。据此，可以为各种负载计算平滑转矩馈电。图4示出了针对各种转矩计算出的电流形状，显示了为平滑转矩解决方法生成的三相电流。图5示出了典型12-10PM电机的曲线，其中消除了接近该电机(2.5Nm)平均值的2％或最大额定转矩的8％的噪声和峰值(曲线示出了原始数据)脉动。

已经假定所述电气模型的各个分量以及对应的转矩模型包含多项式与三角函数的乘积。在替代实施例中，上述多项式由真实正交函数来替代。这些正交函数以递归的方式从多项式来构建。在以下形式的特定多项式中：

1，x，x²，x³，x⁴，x⁵

由以下形式的表达式来替代：

$\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}\·x,\sqrt{\frac{5}{8}}\·({3x}^2-1),\sqrt{\frac{7}{8}}\·({5\·x}^3-3\·x),\frac{3}{8\·\sqrt{2}}\·({35\·x}^4+3-30\·x^2),\sqrt{\frac{43659}{128}}\·(x^5-\frac{70}{63}\·x^3+\frac{15}{63}\·x)$

为何要优选使用真实正交函数的模型存在许多充分的理论和实际原因。通常，可以导出具有更少的项且更精确的模型。当电流项的阶增长到2以上时，这样的陈述是正确的。了解这种数学结构的那些人员可以很好地理解其理论原因。简单地说，彼此正交的模型分量不会以有害的方式相互作用。可以避免不必要的模型复杂性，并且结果是改善了通过上述诸变换实现的转矩估计。

推导所需数学表达式的必要过程本质上与先前描述的过程相同。为了简洁，没有不必要地重复平衡馈电情况的相关推导，便提供了关键的数学表达式和符号。

使变量x的第r阶正交函数为：

g_r(x)

则磁通的表达式为：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}(i_{\mathrm{\α}},i_{\mathrm{\β}},\mathrm{\θ})=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{g}_r\left(i_f\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(a_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+b_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))$

磁通的导数由下式给出：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{f}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}}\right)\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{g}_r\left(i_f\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(a_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+b_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{f}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_f\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(a_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+b_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))..$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{f}_r\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_f\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(a_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+b_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))...$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{g}_r\left(i_f\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\mathrm{\ω}\·(a_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-b_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))$

其中：

$\frac{d}{\mathrm{dx}}{g}_p\left(x\right)=f_p\left(x\right)$

然后，将电气方程写成：

$\frac{v_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}=\frac{R_{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ω}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α}}+\frac{i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\β}}+\frac{i_{\mathrm{\α}}\·i_{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\ω}}\·R_{\mathrm{\φ\α\β}}...$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\α}}\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{f}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(A_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+B_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·$

$+[\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{i}_{\mathrm{\β}}\right)]\·\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{f}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(A_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ})+B_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ}))\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(i_{\mathrm{\α}}\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(i_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·(A_{\mathrm{\φpqrn}}\·\cos (n\·\mathrm{\θ})-B_{\mathrm{\φpqrn}}\·\sin (n\·\mathrm{\θ}))$

同能量以类似于先前所述的方式导出：

${\mathrm{\ω}}_c=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}(h_p\left(I_{\mathrm{\α}}\right)-h_p\left(0\right))\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(I_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{c}(A_{\mathrm{apqrn}}-\frac{1}{2}\·A_{\mathrm{bpqrn}}-\frac{1}{2}\·A_{\mathrm{cpqrn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(B_{\mathrm{apqrn}}-\frac{1}{2}\·B_{\mathrm{bpqrn}}-\frac{1}{2}\·B_{\mathrm{cpqrn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(0\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}(h_q\left(I_{\mathrm{\β}}\right)-h_q\left(0\right))\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{c}(\frac{-\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{bpqrn}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{cpqrn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(\frac{-\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{bpqrn}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{cpqrn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]$

其中：

h_p(x)＝∫f_p(x)dx

然后，转矩由下式给出：

$T=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}(h_p\left(I_{\mathrm{\α}}\right)-h_p\left(0\right))\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{g}_q\left(I_{\mathrm{\β}}\right)\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(A_{\mathrm{apqrn}}-\frac{1}{2}\·A_{\mathrm{bpqrn}}-\frac{1}{2}\·A_{\mathrm{cpqrn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +-(B_{\mathrm{apqrn}}-\frac{1}{2}\·B_{\mathrm{bpqrn}}-\frac{1}{2}\·B_{\mathrm{cpqrn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]\·\·\·$

$+\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{g}_p\left(0\right)\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}(h_q\left(I_{\mathrm{\β}}\right)-h_q\left(0\right))\·\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}n\·\left[\begin{array}{c}(\frac{-\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{bpqrn}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{cpqrn}})\·\cos (n\·\mathrm{\θ})...\\ +(\frac{-\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{bpqrn}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\·A_{\mathrm{cpqrn}})\·\sin (n\·\mathrm{\θ})\end{array}\right]$

与先前一样，现在可以定义计算必要电流值以获得期望解的解算器。

与真正地标准正交的模型分量的使用关联的一个特性和优点是仅使用所提供的最基本的模型，也可以相互隔离地计算其他更多标准正交模型分量的参数。也就是说，可以通过添加一个新的标准正交表达式来改进模型。所估计的模型分量的参数和新的模型分量可以根据与其关联的参数的数量被保留或者丢弃。

以这种方式，可以以数字上高效而优雅的方式来筛选许多不同的模型分量，以便确定是否应在模型中包含这些分量。更具体地说，所述模型拟合过程可以是完全自动的。从非常基本的模型(存在电阻项、不随角度变化的电感)开始，可以自动选择模型分量。从上述的基本模型开始，可以通过选择一个或多个附加的“候选”基函数来扩展所述电气模型。重新建立所述模型会产生一组新的模型参数。

那些具有重要系数或参数的模型(或函数)部分会被保留，而其他部分被拒绝。用于重要模型分量的测试可以与测试所述系数的绝对值是否大于当前最大参数的绝对值的某个预定百分比一样简单。这种筛选过程考虑了模型的自动建立。是标准正交基函数(由于它们的最小相互作用)的使用为此类活动创造了条件。如果使用了“标准”多项式，则所述筛选过程会变得混乱。

此处公开的所述自适应控制方案具有若干应用。例如。根据本发明的特定实施例，所述控制方案被嵌入速度控制回路以便在速度伺服应用中使用。以上公开的特定实施例只是示例性的，因为可以使用不同但等同的方式对本发明进行修改和实施，这些修改和实施对于从此处的教导受益的本领域的技术人员来说是显而易见的。例如，使用多项式与三角函数的乘积的所述电气模型可以被写成多项式与复指数的乘积：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\φ}}=\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\α}}}^p\·\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{i_{\mathrm{\β}}}^q\·\underset{r=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{i_f}^r\·\underset{n=-N}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{\mathrm{\φpqrn}}\·\exp (i\·n\·\mathrm{\θ})$

此外，并未旨在限制此处示出的构造或设计的细节，除以下权利要求中描述的以外。因此，很明显可以对以上公开的特定实施例进行变更或修改，并且所有此类改变都被看作在本发明的范围和精神之内。因此，此处寻求的保护与以下权利要求中陈述的相同。

Claims (34)

1.一种用于控制旋转电磁电机的方法，所述电机包括定子以及相对该定子旋转的转子，所述定子包括多个相绕组，所述方法包括：

接收关于相对所述定子的所述转子位置的反馈；

接收关于所述相绕组的激励的反馈；

根据所述转子位置和激励反馈推导出第一数学模型以描述所述电机的电气行为；

通过所述第一数学模型的数学变换来推导出第二数学模型以描述所述电机的转矩特性；

接收转矩需求信号；以及

通过所述第二数学模型和所述转矩需求信号来计算相激励电流值。

2.权利要求1的方法，进一步包括使用所述计算出的相激励电流值来激励所述相绕组。

3.权利要求1的方法，其中所述第一数学模型是非线性的。

4.权利要求1的方法，其中所述第一数学模型描述所述电机在预定运行范围内的电气行为。

5.权利要求3的方法，其中由所述第一数学模型描述的所述电气行为包括在所述预定运行范围内电压、电流以及转子位置之间的关系。

6.权利要求1的方法，其中所述第一和第二数学模型包括由多项式与三角函数的乘积组成的分量。

7.权利要求1的方法，其中所述第一和第二数学模型包括由正交函数组成的分量。

8.权利要求1的方法，其中所述第一数学模型包括递归地估计的参数。

9.权利要求8的方法，其中在参数估计中不使用超出预定时效的已收集的数据。

10.权利要求1的方法，进一步包括生成将转矩需求值与所述相激励电流值相关的查找表。

11.权利要求1的方法，其中计算所述相激励电流值包括按照希望的电机行为来计算所述相激励电流值。

12.权利要求11的方法，其中所述希望的电机行为包括最小化转矩脉动。

13.权利要求12的方法，其中进一步计算所述相激励电流以减小对转子位置测量误差的敏感度。

14.权利要求1的方法，进一步包括在预定时刻更新所述第二数学模型。

15.权利要求14的方法，其中所述预定时刻出现在所述电机未运行时。

16.权利要求2的方法，其中使用平衡馈电来激励所述相绕组。

17.权利要求1的方法，其中推导所述第二数学模型包括为空载相关的齿槽效应转矩建模。

18.权利要求17的方法，其中为所述空载相关的齿槽效应转矩建模包括：

以预定角速度旋转无载的转子；

测量所述相绕组的电压和电流；

确定与所述电压和电流测量值关联的所述转子位置；

根据所述测量的电压和转子位置来推导出第一数学模型以描述所述电机的电气行为；

通过所述第一数学模型的数学变换来推导出第二数学模型以描述所述电机的转矩特性；

激励所述绕组以便使所述转子保持预定位置；以及

通过所述第二数学模型来计算所述预定位置的齿槽效应转矩。

19.一种用于控制旋转电磁电机的系统，所述电机包括具有多个相绕组的定子、相对于所述定子旋转的转子以及连接到所述相绕组以便激励所述绕组的驱动装置，所述控制系统包括：

估计器，其可连接到所述电机以便接收代表所述相绕组电压和转子位置的信号；所述估计器根据所述接收到的电压和转子位置来输出针对所述电机的电气模型的参数估计；

转矩模型，其接收来自所述估计器的所述参数估计，所述转矩模型为关联的转子位置-相电流组合输出转矩的估计值；以及

控制器，其具有输入端子以便接收转矩需求信号和所述转子位置信号，所述控制器适合于将控制信号输出到所述驱动装置以响应所述转矩需求信号、转子位置信号以及所述转矩模型。

20.权利要求19的系统，其中所述估计器在预定时刻输出所述模型参数。

21.权利要求20的系统，其中所述预定时刻包括当所述旋转电机未运行时的时刻。

22.权利要求19的系统，进一步包括被连接到所述转矩模型和所述控制器的解算器，所述解算器计算相电流形状以激励所述电机实现预定的电机行为。

23.权利要求22的系统，其中所述预定电机行为包括最小化转矩脉动。

24.权利要求23的系统，其中进一步计算所述相激励电流以减小对转子位置测量误差的敏感度。

25.权利要求22的系统，其中由所述解算器计算的所述电流形状被存储在所述控制器可以访问的查找表中。

26.权利要求22的系统，其中所述解算器在预定时刻更新所述电流形状。

27.一种旋转电磁电机系统，所述系统包括：

定子；

安置在所述定子中的多个相绕组；

安置成相对所述定子旋转的转子；

转子位置传感器，其输出代表相对于所述定子的所述转子位置的信号；

驱动装置，其被连接到所述相绕组以便激励所述绕组；

估计器，其被连接到所述相绕组和所述转子位置传感器以接收代表所述相绕组电压和转子位置的信号；所述估计器根据所述接收到的电压和转子位置来输出针对所述电机的电气模型的参数估计；

转矩模型，其接收来自所述估计器的所述参数估计，所述转矩模型为关联的转子位置-相电流组合输出转矩的估计值；以及

控制器，其具有输入端子以便接收转矩需求信号和所述转子位置信号，所述控制器适合于将控制信号输出到所述驱动装置以响应所述转矩需求信号、转子位置信号以及所述转矩模型。

28.权利要求27的系统，进一步包括被连接到所述转矩模型和所述控制器的解算器，所述解算器计算相电流形状来激励所述相绕组以实现预定的电机行为。

29.权利要求28的系统，其中由所述解算器计算的所述电流形状被存储在所述控制器可以访问的查找表中。

30.权利要求27的系统，其中所述驱动装置使用平衡馈电来激励所述相绕组。

31.一种确定永磁电机中空载相关的齿槽效应转矩的方法，所述电机具有定子、多个具有可连接到电源以便激励绕组的端子的定子绕组、安置成相对所述定子旋转的转子，所述方法包括：

以预定角速度旋转无载的转子；

测量所述电机端子处的电压和电流；

确定与所述电压和电流测量值关联的所述转子位置；

根据所述测量的电压和转子位置来推导出第一数学模型以描述所述电机的电气行为；

通过所述第一数学模型的数学变换来推导出第二数学模型以描述所述电机的转矩特性；

激励所述绕组以便使所述转子保持预定位置；以及

通过所述第二数学模型来计算所述预定位置的齿槽效应转矩。

32.权利要求31的方法，进一步包括在所述转子的完整回转四周为多个预定位置计算所述齿槽效应转矩。

33.权利要求31的方法，其中旋转无载的转子包括旋转不通电的转子。

34.权利要求31的方法，其中以多个预定角速度旋转所述转子。

Images