CN1540895A - 用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制的方法 - Google Patents

Abstract

用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制的方法属于自适应编码调制技术，其特征在于在恒定子载波发射功率和目标误码率的限制下，对相邻若干个OFDM符号中频域上同一子带内的子载波作联合编码调制，以适应高性能Turbo编码调制的要求；同时它利用带限白高斯噪声信道下离散输入、连续输出的信道容量公式对当前子带采用各种编码调制下的传输能力进行估计，以便选取具有最大吞吐性能且又不高于该子带估计出来的吞吐能力的编码调制参数作为该子带的编码调制参数。它在获得更高频谱利用率的同时又降低了系统的反馈开销。

Description

用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制的方法

技术领域

本发明涉及正交频分复用(OFDM)中的自适应编码调制技术。

背景技术

OFDM技术是目前解决高速无线数据传输的主流技术。OFDM技术的原理是将要传输的高速数据用许多个正交的子载波来传输，每个子载波上的数据速率相对较低。与通常的频分复用系统相比，OFDM中子载波的正交交迭使得系统有更高的频谱利用率。OFDM中将整个信号带宽划分为多个很窄的子载波频带，由于每个子载波带宽小于信道的相干带宽，从而是平坦衰落。这样，与单载波系统相比，OFDM中的均衡要容易实现的多。目前，OFDM技术已成功应用于非对称用户数据环路(ADSL)、数字视频广播(DVB)以及无线异步传输模式(WATM)系统之中。

为了提高无线系统的频谱利用率，衰落信道的高速无线数据传输要求采用自适应、高频谱利用率的传输技术。

Turbo编码调制是一种高频谱利用率的编码调制技术。1993年Berrou等人提出的Turbo码由于其独特的编码结构和迭代译码的思想，使得其具有了接近香农容量理论值的性能。一定的编码结构和译码迭代次数下，在白高斯噪声(AWGN)信道下与信道容量极限的差距可小于1dB。之后，又有多人先后提出了几种二进制Turbo码与高进制调制相结合的方法，称为Turbo编码调制，用于有效提高系统的频谱利用率。1994年，S.L.Goff等人首先提出了二进制Turbo码级联格雷映射多进制调制的方法。接着，Wachsmann又提出了一种将Turbo码作为多级编码(MLC)分量码的方法。S.Benedetto提出了并行级联网格编码调制(PCTCM)的结构，P.Robertson提出了一种采用Ungerboeck网格码作为Turbo码分量码以及符号交织的方法。

在衰落信道中，与固定编码调制相比，自适应调制与编码(AMC)技术可以有效的提高系统的吞吐和误码率(BER)性能。这里所谓的吞吐指的就是系统的频谱利用率，也就是单位频谱带宽在单位时间内传输的信息量。AMC技术的基本思路是根据当前的信道特性自适应的变化发送功率、符号传输速率、星座大小、编码效率和编码机制中的一种或者多种。在不牺牲BER的前提下，在信道条件好时多传一些信息，提高频谱利用率，在信道条件差时降低吞吐量来保证一定的BER要求。

近年来，人们对AMC技术与OFDM的结合进行了研究。对OFDM中逐个子载波进行变功率自适应调制，根据每个子载波上信道特性的不同为其分配不同的发送功率和调制方式。与固定调制相比，在相同的吞吐性能下可以获得相当大的信噪比(SNR)增益。接着，如果引入了自适应网格编码调制(ATCM)，还可以进一步提高了系统的频谱利用率。但是，它们都假设发端完全知道每个子载波的信道特性，而在实际的闭环自适应中，发端的自适应信息来自于收端的反馈，因此逐子载波自适应在实际系统中需要很大的反馈信息。为了减少系统的反馈开销，Hanzo提出了一种基于固定门限的子带自适应调制方法。其中将OFDM中所有子载波划分为若干子带，频域上相邻若干子载波称为一个子带。在自适应中，根据每个子带内子载波的最低SNR与各种调制方式下的SNR门限相比较，对每个子带选取同一种调制方式。这样，由于同一个子带采用相同的调制方式，从而可以大大降低收端向发端的反馈信息量。

但是，Hanzo的子带自适应中仅仅考虑了自适应调制，而没有给出如何将子带自适应调制与自适应编码相结合的有效方法。而我们知道，如果在自适应调制中引入编码，尤其是进行Turbo编码调制的话，可以大大的提高系统的吞吐和BER性能。还有一点，在Hanzo的基于固定门限的子带自适应调制中，反馈开销的减少是以吞吐性能的牺牲为代价的。系统的吞吐性能对子带的选取数目很敏感，如果进一步减少开销，降低子带数目的话，吞吐性能的损失将会很大。

发明内容

本发明的目的是提供了一种用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制的方法，其目标是在恒定功率和目标BER限制下，优化系统吞吐。本发明中在子带自适应中引入Turbo编码调制，用于进一步提高系统的频谱利用率。同时，为了满足目标BER的限制条件，给出了基于容量估计的自适应算法。我们提出的基于恒定功率的子带自适应编码调制具有高频谱利用率和低反馈的特点。而且，该方法下的吞吐性能对于OFDM中子带个数的选取不敏感，因此该方法还可以用于整个OFDM符号的自适应，也就是子带个数为1的情况，从而可以进一步降低系统反馈。

本发明的主要思路是：

1)从自适应结构上来说，对时域上相邻OFDM符号中的同一子带进行联合编码。由于Turbo编码调制中，要获得优异的性能需要较长的编码块，而单纯一个OFDM符号内每个子带内的子载波数目有限。而且时域相邻OFDM符号信道特性也有一定的相关性，因此在自适应Turbo编码调制中，为了增加Turbo编码块的长度，我们对相邻若干OFDM符号中频域上同一子带内的子载波进行联合的编码调制。也就是说，一个自适应编码块包括时域上M个相邻OFDM符号中的N·M个相邻子载波，参见图1；

2)采用基于子带容量估计的自适应算法。恒定发送功率下的子带自适应问题，归结为就是每个子带内编码调制参数选取的问题。本专利申请中，我们进行子带自适应的目标是在恒定发送功率以及目标BER限制下获得尽可能高的吞吐能力。自适应算法的目标，就是根据每个子带内的信道特性，为每个子带选取满足目标BER且吞吐性能尽可能高的Turbo编码调制参数。对于Turbo编码调制来说，我们难以像Hanzo提出的自适应调制一样，根据各个子载波上的瞬时SNR，利用显式直接计算出各自瞬时BER，从而得到自适应后的平均BER性能。信道色散下的Turbo编码调制的误码性能目前还很难由显式给出。但是，基于Turbo编码调制在子载波之间很强的分集能力，同时由于在每个编码块内信道特性具有很强的相关性，我们提出了的基于子带容量估计的自适应算法。其思路是，利用容量公式计算每个子带内的信道容量。由于用容量公式计算出来的是理想的编码调制下的吞吐性能，而考虑到实际的编码调制无法达到理想容量的性能，再根据实际Turbo编码调制的性能对计算所得的信道容量做一个回退。为了达到目标BER的要求且能获得尽可能高的系统吞吐，我们选取吞吐能力不高于所估计的子带信道容量且吞吐能力尽可能高的Turbo编码调制参数作为当前子带的参数。

本发明的特征在于：

1)在恒定子载波发射功率和目标误码率BER的限制下，对相邻若干个OFDM符号中频域上同一子带内的子载波进行联合的编码调制，即它使一个自适应编码块包括时域上M个相邻OFDM符号中的N·M个相邻子载波，N为频域上一个子带内子载波个数，以获得较长的编码块，以满足高性能Turbo编码调制的需要；同时它又基于容量估计的准则来选取不同子带内的编码调制参数，即利用带限AWGN信道下的离散输入连续输出的信道容量公式对当前子带采用各种编码调制参数下的传输能力进行估计，以便选取具有最大吞吐性能，且又小于该子带估计出来的吞吐能力的编码调制参数作为该子带的编码调制参数。

2)在对所选的子带传输能力作估计时所用的每个子载波的信噪比SNR这个参数，需要对实际各子载波的接收SNR进行一个回退，其回退数值要根据AWGN中仿真所得的目标误码率下各种Turbo编码调制的SNR门限性能与离散输入连续输出的信道容量下的SNR之差而确定。它依次含有以下步骤：

(1)首先选取几种具有不同吞吐能力的Turbo编码调制参数，作为每个子带选取参数的范围：

a.不传；

b.1/2 Turbo码BPSK，吞吐能力为0.5bits/s/Hz；

c.1/2 Turbo码QPSK，吞吐能力为1bits/s/Hz；

d.3/4 Turbo码QPSK，吞吐能力为1.5bits/s/Hz；

e.2/3 Turbo码8PSK，吞吐能力为2bits/s/Hz；

f.3/4 Turbo码16QAM，吞吐能力为3bits/s/Hz；

g.2/3 Turbo码64QAM，吞吐能力为4bits/s/Hz；

分别依次表示成M_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)；

吞吐能力分别依次表示成R_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)；

(2)估计各种Turbo编码调制参数M_m在AWGN下逼近信道容量的能力，即实际编码调制与理想编码调制相比的SNR性能损失G_m；

(2.1)通过仿真计算各种Turbo编码调制参数M_m在AWGN下达到目标BER所需的SNR门限G1_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)；

(2.2)根据下述现有的AWGN下的离散输入连续输出的信道容量公式：

$C^{*}(\mathrm{SNR},N)={\log }_2\left(N\right)-\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}E\left\{{\log }_2\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\exp \right[-\frac{{|a^k+w-a^i|}^2-{\left|w\right|}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}\left]\right\}\·\·\·\left(1\right)$

其中：{a⁰...a^N-1}是信道的N个离散输入亦即调制级数；

E是对复高斯噪声w的期望；

2σ²为w的方差；

计算参数M_m达到各自吞吐R_m所需的SNR门限G2_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。由于由上面容量公式(1)无法直接得到求SNR门限的表达式，实际中可以通过先画出容量公式(1)的曲线，然后再通过曲线观察要达到一定容量所需的最小SNR门限，即G2_m

(2.3)G_m＝G1_m-G2_m；G1_m：实际值，G2_m：理想值；

(3)估计每个子带的实际传输能力，即目标BER下最大允许的吞吐；

当前每个子带采用编码调制M_m下的实际传输能力的估计值C_m，为：

$C_m=\frac{1}{N_c}\underset{n=1}{\overset{N_C}{\mathrm{\Σ}}}{C}^{*}({\mathrm{\γ}}_n-G_m\left(\mathrm{dB}\right),D_m)\·\·\·\left(2\right)$

其中，N_c为子带内子载波总数；

D_m为M_m中调制星座的大小，D_m＝{0，1，2，2，3，4，6}；

γ_n为子带内子载波n的接收SNR；

(4)选取R_m不高于C_m，且吞吐量最大的Turbo编码调制M_m*作为该子带的编码调制参数：

$m^{*}=\max \left\{\underset{m}{\arg }\right[R_m-C_m\≤0\left]\right\}\·\·\·\left(3\right)$

子带自适应与子载波自适应相比，可以降低系统的反馈开销，以及自适应复杂度。本专利申请在现有的子带自适应调制中引入Turbo编码调制技术，用于进一步提高系统的频谱利用率。同现有的子带自适应思路一样，子带自适应Turbo编码调制亦是根据当前信道特性，在信道条件好的子带采用高吞吐的Turbo编码调制参数，以提高系统总吞吐，在信道条件差的子带采用低吞吐的Turbo编码调制参数，保证系统BER要求。

附图说明：

图1：自适应编码块示意图。

图2：各种调制级数下的容量曲线。

图3：本发明使用的通用Turbo编码调制结构。

图4：本方法的流程图。

具体实施方式

具体说来，该自适应算法包括以下几个步骤，见图4：

1)选取几种具有不同吞吐能力的Turbo编码调制参数，作为每个子带选取参数的范围。比如：我们可以选取以下七种Turbo编码调制参数，它们是：“不传”、1/2 Turbo码BPSK、1/2 Turbo码QPSK、3/4 Turbo码QPSK、2/3 Turbo码8PSK、3/4 Turbo码16QAM、以及2/3 Turbo码64QAM，分别表示成M_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)，其对应吞吐分别为0、0.5、1、1.5、2、3、和4bits/s/Hz，分别表示成R_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。以下的步骤都假设基于这些参数进行。

2)估计各种Turbo编码调制参数在AWGN下逼近信道容量的能力。我们首先得到各种Turbo编码调制参数在AWGN下，达到目标BER所需的最低SNR，即SNR门限，表示成G1_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。AWGN下Turbo编码调制的性能可以通过其性能界获得，亦可以通过仿真获得。然后计算从容量的角度，采用理想编码调制获得相应的吞吐所需的SNR门限。我们利用现有的AWGN下的离散输入连续输出的信道容量公式进行计算。

$C^{*}(\mathrm{SNR},N){=\log }_2\left(N\right)-\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}E\left\{{\log }_2\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\exp \right[-\frac{{|a^k+w-a^i|}^2-{\left|w\right|}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}\left]\right\}$

其中{a⁰...a^N-1}是信道的N个离散输入亦即调制级数，其平均功率为1。E是对复高斯噪声w的期望，w方差为2σ²。各种调制参数下容量的数值结果参见图2，其中横轴和纵轴分别表示SNR和信道容量C。我们将由上式所得的各种参数M_m获得相应吞吐R_m所需的SNR门限表示成G2_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。并定义G_m＝G1_m-G2_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)，意指实际编码调制M_m与理想的编码调制相比的性能损失。

3)估计每个子带的实际传输能力，即目标BER下最大允许的吞吐。对OFDM每个子带，我们用下式作为对当前子带采用编码调制M_m下的实际传输能力的估计

$C_m=\frac{1}{N_c}\underset{n=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}{C}^{*}({\mathrm{\γ}}_n-G_m\left(\mathrm{dB}\right),D_m)$

其中，C^*(，)参见上面的容量公式，N_c为子带内子载波总数，D_m表示M_m中调制星座的大小，D_m＝{0，1，2，2，3，4，6}，γ_n为子带内子载波n的接收SNR。由于考虑到AWGN下实际Turbo编码调制不能达到信道容量的性能，式中对每个子载波的SNRγ_n做了一个G_mdB的回退。

4)选取R_m不高于C_m，且吞吐最大的Turbo编码调制M_m*作为该子带的编码调制参数，即 $m^{*}=\max \left\{\underset{m=0..6}{\arg }\right[R_m-C_m\≤0\left]\right\}$ 其中，R_m为参数M_m的实际吞吐，R_m＝{0，0，5，1，1.5，2，3，4}。最后如果m^*＝0，意味着该子带内不传数据。

现举例说明如下：

以下结果来自计算机软件仿真，计算机操作系统为windows2000，仿真软件采用matlab。

假设OFDM系统信道带宽为10MHz，等分为1024个子载波。时域上一个时隙包含8个OFDM符号，长度为1ms。信道采用M.1225车载信道模型A，其六径最大时延约为2.5us。目标BER为10^-4。子带自适应中频域划分为16个子带，每个子带内的子载波数为1024/16＝64。时域联合编码的符号数M＝8，参见图1。这样一个编码块内包含子载波数为512。

按上面步骤1，假设选取以下七种Turbo编码调制参数作为每个子带参数选取范围，它们是：“不传”、1/2 Turbo码BPSK、1/2 Turbo码QPSK、3/4 Turbo码QPSK、2/3 Turbo码8PSK、3/4 Turbo码16QAM、以及2/3 Turbo码64QAM，分别表示成M_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)，其对应吞吐分别为0、0.5、1、1.5、2、3、和4bits/s/Hz，分别表示成R_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。Turbo编码调制采用当前复杂度最低的一种结构，即二进制Turbo码与多进制调制相级连的结构。Turbo码的分量递归系统卷积(RSC)多项式为(13，11)，不同效率Turbo码由1/3码校验位均匀凿孔而得。译码采用4次迭代，最大后验概率(MAP)算法。

按上面步骤2，计算G_m＝G1_m-G2_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。首先通过仿真计算各种Turbo编码调制参数M_m在AWGN下达到目标BER所需的BER门限G1_m。通过仿真可得G1_m＝(-∞，-0.4，2.2，5.2，7.6，10.9，14.5）。再由容量公式计算参数M_m达到各自吞吐R_m所需的SNR门限G2_m。通过计算得G2_m＝(-∞，-2.8，0，3.5，5.7，9.3，12.7)。最后得到G_m＝(0，2.4，2.2，1.7，1.9，1.6，1.8)，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。

按上面步骤3，计算每个子带按照参数M_m来传输，要达到目标BER所能达到的最大传输能力。其中D_m＝{0，1，2，2，3，4，6}，表示参数M_m中各自的调制进制数。其中考虑到Turbo编码调制的实际性能与理想容量值之间的差距，需要对每个子载波的SNR做G_m的回退。

按上面步骤4，为每个子带选取合适的编码调制参数。选取R_m小于步骤3中计算的最大传输能力，且比其他参数吞吐大的参数，作为该子带的编码调制参数。其中R_m为参数M_m的实际吞吐，R_m＝{0，0，5，1，1.5，2，3，4}。要求R_m小于步骤3中计算的最大传输能力，是因为超过了最大传输能力，目标BER就难以满足了。比如，计算出的子带最大吞吐能力为(0.2，3.2，4.6，1.7)，此时选取的参数应分别为(m₀，m₅，M₆，M₃)。意即分别表示：不传，3/4 Turbo码16QAM，2/3Turbo码64QAM和3/4 Turbo码QPSK。

采用本专利申请的自适应Turbo编码调制技术，可以获得更高的频谱利用率。通过软件仿真可见，在子带数为16，目标BER为10^-4下，吞吐分别为1、2、和3bits/s/Hz时，相对于固定Turbo编码调制来说，SNR增益分别约为8dB、7.5dB和10dB。如果进行符号自适应，即子带数为1，此时的SNR增益亦分别有8dB、7.5dB和11dB。

本专利申请中的编码调制采用了目前复杂度最低的一种通用Turbo编码调制结构，其结构如图3所示。在其编码调制中，前端是一个标准的二进制Turbo编码器，编码器输出信息位d_k，1L d_k，m-m％，和校验位c_k，1 ¹L c_k，m-m％ ¹，c_k，1 ²L c_k，m-m％ ²。然后将其输出经凿孔和交织后再进行多进制调制，多进制符号采用格雷映射。假设符号星座点数为M＝2^m，在k时刻调制前的比特序列为{u_k，i}＝1...m，调制符号输出为{A_k，B_k}。在接收端，先对接收复数符号{X_k，Y_k}进行解调，计算出每个传输比特的似然比，再采用二进制Turbo码的译码算法进行译码。

由此可见，本发明有如下优点：

1)可以获得更高的频谱利用率。采用逼近信道容量的Turbo编码调制，以及基于容量估计的自适应算法，使得可以获得更加优异的自适应吞吐性能。

2)可以降低系统反馈开销。本技术基于固定发射功率的子带自适应，因此对每个子带来说，收端只需要向发端反馈若干比特来表示该子带内编码调制参数的选取，从而可以大大降低自适应中系统所需的反馈开销。更为重要的一点是，在该自适应算法下，OFDM中所有子载波划分子带的个数对自适应性能的影响不大，也就是说，该自适应算法还可以用于OFDM符号的自适应，从而进一步降低系统反馈开销。

Claims (3)

1.用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制，含有子带自适应编码调制的步骤，其特征在于：

在恒定子载波发射功率和目标误码率BER的限制下，对相邻若干个OFDM符号中频域上同一子带内的子载波用通用的Turbo编码调制结构进行联合的编码调制，即它使一个自适应编码块包括时域上M个相邻OFDM符号中的N·M个相邻子载波，N为频域上一个子带内子载波个数，以获得较长的编码块，以满足高性能Turbo编码调制的需要；同时它又基于容量估计的准则来选取不同子带内的编码调制参数，即利用带限白高斯噪声(AWGN)信道下的离散输入连续输出的信道容量公式对当前子带采用各种编码调制参数下的传输能力进行估计，以便选取具有最大吞吐性能，且又不高于该子带估计出来的吞吐能力的编码调制参数作为该子带的编码调制参数。

2.根据权利要求1所述的用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制的方法，其特征在于：

在对所选的子带传输能力作估计时所用的每个子载波的信噪比SNR这个参数，需要对实际每个载波的接收SNR进行一个回退，其回退数值要根据AWGN中仿真所得的目标误码率下各种Turbo编码调制的SNR门限性能与离散输入连续输出的信道容量下所需的SNR之差而确定。

3.根据权利要求1或2所述的用于OFDM中的子带自适应Turbo编码调制的方法，其特征在于：

它依次含有以下步骤：

(1)首先选取几种具有不同吞吐能力的Turbo编码调制参数，作为每个子带选取参数的范围。比如：

a.不传；

b.1/2 Turbo码BPSK，吞吐能力为0.5bits/s/Hz；

c.1/2 Turbo码QPSK，吞吐能力为1bits/s/Hz；

d.3/4 Turbo码QPSK，吞吐能力为1.5bits/s/Hz；

e.2/3 Turbo码8PSK，吞吐能力为2bits/s/Hz；

f.3/4 Turbo码16QAM，吞吐能力为3bits/s/Hz；

g.2/3 Turbo码64QAM，吞吐能力为4bits/s/Hz；

分别依次表示成M_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)；

吞吐能力分别依次表示成R_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)；

(2)估计各种Turbo编码调制参数M_m在AWGN下逼近信道容量的能力，即实际编码调制与理想编码调制相比的SNR性能损失G_m；

(2.1)通过仿真计算各种Turbo编码调制参数M_m在AWGN下达到目标BER所需的SNR门限G1_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)；

(2.2)根据下述现有的AWGN下的离散输入连续输出的信道容量公式：

$C^{*}(\mathrm{SNR},N)={\log }_2\left(N\right)-\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}E\left\{{\log }_2\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\exp \right[\frac{{|a^k+w-a^i|}^2-{\left|w\right|}^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}\left]\right\}$

其中：{a⁰...a^N-1}是信道的N个离散输入亦即调制级数；

E是对复高斯噪声w的期望；

2σ²为w的方差；

计算参数M_m达到各自吞吐R_m所需的SNR门限G2_m，m∈(0，1，2，3，4，5，6)。由于由上面容量公式无法直接得到求SNR门限的表达式，实际中可以通过先画出容量公式的曲线，然后再通过曲线观察要达到一定容量所需的最小SNR门限，即G2_m；

(2.3)G_m＝G1_m-G2_m；G1_m：实际值，G2_m：理想值；

(3)估计每个子带的实际传输能力，即目标BER下最大允许的吞吐；当前每个子带采用编码调制M_m下的实际传输能力的估计值C_m为：

$C_m=\frac{1}{N_c}\underset{n=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}{C}^{*}({\mathrm{\γ}}_n-G_m\left(\mathrm{dB}\right),D_m)$

其中，N_c为子带内子载波总数；

D_m为M_m中调制星座的大小，D_m＝{0，1，2，2，3，4，6}；

γ_n为子带内子载波n的接收SNR；

(4)选取R_m不高于C_m，且吞吐量最大的Turbo编码调制M_m。作为该子带的编码调制参数：

$m^{*}=\max \{\underset{m}{\arg }{[R}_m-C_m\≤0]\}.$

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