CN1331533A - 递归型离散傅立叶变换方法 - Google Patents

Abstract

本发明可实现在一个采样周期内对包含逐次提供的采样数据的数列进行高速傅立叶变换处理。在逐次提供的数据中取得最新提供的N个数据,删除最早的数据,并暂时保存这些数据将最近提供的数据与删除数据之差从数据更新部1提供,该提供的数据值与存储器部4中暂时保存的最近的FFT运算结果提供给递归型DFT运算部,通过规定的方法对这些值进行运算,实时地输出对最新的N个数据的FFT运算结果。

Description

递归型离散傅立叶变换方法

本发明涉及傅立叶变换或傅立叶逆变换的运算方法，特别涉及用于通过简易的运算处理可进行这些变换，在短时间内得到这些变换的运算结果的运算方法。

过去，采用时序系列数列的频率分析的傅立叶变换方法除了在音响信号处理、医疗设备的图像数据处理等领域中的信号频谱分析之外，还广泛用于音响信号和图像信号的高压缩编码方式中、并且还用作通信领域的调制和解调技术。

这种傅立叶变换方法将作为数字量的采样数列按照N个(N为整数，例如1024)的集合来使用，将这样的N个的数列存在的时间间隔作为窗口周期，同时将该窗口周期作为基底频率，求取在该窗口周期中的数列的信号成分作为基底频率的高次谐波信号的实部和虚部。

另外傅立叶逆变换方法是与该傅立叶变换方法互补的变换方法。

而且，用于进行傅立叶变换所提供的数列是每个规定的周期采样的离散的数列，进行对于该离散数列的傅立叶变换的手段称为离散傅立叶变换(DFT；Discrete Fourier Transform)，该离散傅立叶变换技术作为一种分析技术，应用于通过离散数据得到制造工艺的状态，通过分析得到的数据而最佳地保持工艺的质量，使制造的产品的合格率提高的控制技术中，除此之外，对于离散数据的傅立叶逆变换方法称为离散傅立叶逆变换(IDFT；Inverse Discrete Fourier Transform)，离散傅立叶逆变换除了用于音响领域的音源生成外，在从2003年开始的数字地面广播的调制等方面也将得到应用，其应用领域每年都在扩大。

这种离散傅立叶变换技术和离散傅立叶逆变换技术是动作的互补信号变换技术。前者的离散傅立叶变换，是在一定的时间间隔采样所提供的信号，获得采样得到的电压值作为采样数据，在对该得到的数据的集合数列在规定的时间t中是N个的数据x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，……，x(t＋N－2)，x(t＋N－1)时，对于该N个的数据所求出的离散傅立叶变换的值x(k，t)是按以下所定义的。 $X(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\exp \{-j2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\}$ $=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}\{x_r\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]+x_i\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\}$ $+j\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}\{-x_r\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]+x_i\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\}$ ………………式(1)

其中k＝0，1，……，N－1

从该式可以看出，对于傅立叶变换所提供的数列求出的每一点都是对固有的基底函数进行卷积，对该基底函数的运算是通过多个乘法处理来进行的。

这样，通过专用的乘法运算电路，或使用DSP(Digital SignalProcessor数字信号处理器)等进行该乘法处理时，对这些乘法运算电路或DSP等的运算所使用的硬件的负担是非常大的。

进行该乘法处理的负担，用上述式(1)表示的变换式进行时，需要4N²次的乘法运算，例如N是1024时的乘法运算次数大约是420万次，所以为了进行该次数的乘法运算的电路规模变大，运算处理的负担变大，进而作为数列使用的点数N变大时，则乘法处理次数也以2次方地增加，这在实际应用上是不利的。

因此，通常对于离散傅立叶变换式，是利用周期函数构成的基底函数，着眼于其规则性，逐渐采用通过其行列的变形可提高运算效率的FFT(Fast Fourier Transform：高速傅立叶变换)。

该FFT是使用所谓蝶形算法的运算手段，该蝶形算法是对于简单的整数值，例如以2作为基数定义提供的2值的复数数据各进行一次加，减，乘的复数运算，输出2值的复数数据。

因此，N点的FFT是由log₂N段的级和(N/2)log₂N个的蝶形算法构成的，通过(N/2)log₂N次的乘法处理次数，可以得到FFT的运算结果等，从而作为运算效率高的傅立叶变换使用。

通常，使用这样构成的FFT或DFT(Discrete Fourier Transform：离散傅立叶变换)，对于在一定的时间间隔中逐次地采样所提供的数列进行傅立叶变换，但是该傅立叶变换被采样后，将采样的数列暂时顺序地储存在存储电路内的同时，当该存储电路内暂时保存的数据数达到N时，则开始对该N个的数据进行傅立叶变换处理。

在进行该变换处理的期间，在对存储电路内暂时保存的数据进行保存的状态下，进行傅立叶变换处理，在运算终了时刻，再将新的数据提供给存储电路暂时保存，当储存N个规定量的数据后再次开始变换处理。

可是，在进行傅立叶运算时，由于数据是不停地提供的，所以在另外的系统设置储存了N个数列的第二存储电路，每当提供N个的数据时，对这些存储电路相互地进行暂时保存处理和运算处理，可以实施对连续地提供的时间序列数据进行傅立叶变换处理的方法。

这样进行的傅立叶变换方法，是对N个的暂时保存的数列，即将数列以块为单位使用的同时，进行运算处理，所以对这样的傅立叶变换处理，至少有相当N个的数据列时间的延迟，不能得到实时的变换效果。

因此，尽管数列是逐次地提供，傅立叶的分析的结果只能得到N个的采样的时间间隔每个的结果，这样产生的延迟时间在利用傅立叶分析的应用中是不好的，所以限制了其应用的领域。

为了解决这样的问题，对于含有逐次提供的、采样的新数据的N点的数列及时地进行傅立叶变换，每提供采样的数据，为了得到傅立叶变换处理的结果，在其中1个采样期间内，必需进行N点的傅立叶变换处理，即使使用这样高速运算处理开发的FFT运算手段，为了从FFT得到连续地运算的结果，要求N倍的运算处理速度，进行超高速的FFT，提供得到运算结果，这在通常情况下是困难的。

傅立叶变换一般是使用FFT运算处理手段，但是该FFT的运算处理，是通过采样频率是fs的时钟信号采样，进行量化后，对于提供的N点的数列，通常是以fs/N的频率间隔进行运算处理。

该运算处理，对于提供运算处理中的时序系列数据也连续地进行傅立叶的分析处理，在傅立叶变换处理中，也能把数据存入其他的缓冲存储器，在对一批缓冲存储器中暂时保存的数据进行运算处理期间，把另外一批数据存入缓冲存储器中，在存入N个数据的终了时刻切换运算处理和数据存入处理后，进行傅立叶运算处理，但是该方法必需有两组缓冲存储器和FFT运算处理装置，从经济角度看不是好的方法。

另外，在该方法中，由于是将提供的N个的时序数列集中使用的块处理，所以对于存入的N点的数据输出的变换结果是在N个采样时钟时间后，在那时得到的分析结果只是输出每个N采样的傅立叶变换处理结果。

这样，对于含有逐次地采样提供的数据的最新的N点数据的傅立叶变换结果不能实时地输出，为了实时地输出变换结果，必需在上述的每个采样周期进行傅立叶变换处理，但是在1个采样时间间隔中连续地进行傅立叶变换时，则每单位时间的运算量很大，这是不现实的。

另一方面，作为得到可连续的傅立叶变换处理结果，在特开平1—59454“傅立叶变换装置及傅立叶变换法”中公开了其方法。

即，在该公报中，公开了关于对采样后提供的振动波形值进行傅立叶变换的方法，但是该变换法是求出新提供的振动波形值和用于已经提供的傅立叶运算处理的旧振动波形值的差值的差，从经运算处理得到的旧复数振幅值，每当提供一振动波形采样值时就得到一新的复数振幅值。

可是，在该公报中，所记载的输入数列只是使用实数，采样的数列用时序列表现的数列时也可以是实数，但是在通信领域等使用的傅立叶运算处理，除了实部输入外也使用虚数输入信号，对于提供的复数信号必需进行变换处理。

在以往对于连续提供的数据得到傅立叶变换处理运算结果的高速傅立叶变换方法中，存在着对于以复数提供的数列不能进行复数傅立叶变换的问题。

而且，对于过去的高速傅立叶变换中所规定的频带进行了频率分析，但是可改变用于分析的频率分辨率这样的在任意频带的频率分析是不能实现的，所以对于频率分析手段的自由度少，存在不能有效地进行频率分析的问题。

因此，本发明提供对于以复数方式提供的数列也可进行傅立叶分析的同时，对于在任意的频率带分析可具有任意的分辨率分析变换的连续傅立叶变换方法。

本发明为了解决上述的问题，是由以下的1)～15)种方式构成的。

1)一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时刻采样后，提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，对于提供的数列，将从时刻t起提供的N个的数值形成数列，对于该数列进行复数傅立叶变换得到的次数k(k为0或比N小的正整数)的频率成分，分别得到其实部X_r(k，t)及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该方法的特征在于，由以下步骤构成：

第一步骤(与图1中符号1对应，以下同样)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(3)，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤(4)，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(3)，使用在时刻t＋N中提供的数值x(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，按照下式， $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]+X_i(k,t)\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $X_i(k,t+1)=X_i(k,t)\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}-\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

2)一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时间点采样后，提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，将从对于提供的数列的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列最低频率f1和最高频率f2决定的频率间隔作为测量频率间隔的同时，用上述N去除该测量频率间隔后的频率间隔作为分析频率间隔，对每个分析频率间隔进行复数傅立叶变换，将得到的频率分析结果作为频率间隔的k倍(k为0或比N小的正整数)的频率成分，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法的特征在于，其是由以下步骤构成的：

第一步骤(1)，将在时刻t＋N－1中从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(3)，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤(4)，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(3)，使用在时刻t＋N中提供的数值x(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x(t)以及第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $+X_i(k,t)\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$

X_i(k，t＋1)＝X_i(k，t) $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的由上述最低频率f1和最高频率f2确定的上述频率间隔中的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

3)如上述第1或第2方面所述的递归型离散傅立叶变换方法，其中使用上述正常数值a提供离散傅立叶逆变换了的离散傅立叶逆变换数据，为了得到对于提供的离散傅立叶逆变换数据的复数傅立叶变换系数，其特征在于

该离散傅立叶逆变换使用上述离散傅立叶逆变换时使用的常数a所对应的常数值A进行离散傅立叶逆变换。

4)如上述第1或第2方面所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于将表示上述复数傅立叶系数的次数的k设定成希望的值，将对于设定的k值的傅立叶变换在上述间隔每一定的时刻反复地进行。

5)一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时刻采样后，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对于提供的数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，对该数列进行复数傅立叶变换，得到次数k(k为0或比N小的正整数)的频率成分，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法的特征在于，其是由以下步骤构成的：

第一步骤(与图4中符号6对应，以下同样)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(8)，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤(9)，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(8)，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $+\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的傅立叶系数Xr(k，t＋1)及Xi(k，t＋1)。

6)一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时间点采样后，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列最低频率f1和最高频率f2赋予的频率间隔作为测量频率指定间隔的同时，用上述N去除该测量频率指定间隔后的频率间隔作为最小频率间隔，对每个最小频率间隔进行傅立叶变换，将得到的频率分析结果作为频率间隔的k倍(k为0或比N小的正整数)的频率成分，用实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个表示的作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法的特征在于，其是由以下步骤构成的：

第一步骤(6)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(8)，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤(9)，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(8)，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)x(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $-{\{X}_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N}+f1\]\}$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $+\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的上述最低频率f1和最高频率f2赋予的上述频率间隔中的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

7)一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时刻采样后，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列以最低频率f1和最高频率f2决定的频率间隔作为指定频率间隔的同时，用上述N去除该指定频率间隔后的频率间隔作为最小频率间隔，对每个最小频率间隔进行复数傅立叶变换，作为最小频率间隔的k倍(k为0或比N小的正整数)的信号成分，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶逆变换方法的特征在于，其是由以下步骤构成的：

第一步骤(与图6中的符号11对应，以下同样)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(13)，在第一步骤进行暂时保存的数列的傅立叶逆变换，得到傅立叶逆系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤(14)，将第二步骤得到的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元的，和

第四步骤(13)，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值B，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $+\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-{\{X}_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的数列的上述逆复数傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

8)一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时刻采样后，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋kx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列最低频率f1和最高频率f2确定的频率间隔作为指定频率间隔的同时，用上述N去除该指定频率间隔后的频率间隔作为最小频率间隔，对每个最小频率间隔进行傅立叶逆变换，作为最小频率间隔的k倍(k为0或比N小的正整数)的信号成分，分别得到其实部x_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)，该离散傅立叶逆变换方法的特征在于，其是由以下步骤构成的：

第一步骤(11)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(13)，在第一步骤暂时保存的数列进行傅立叶逆变换，得到逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤(14)，将第二步骤得到的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(13)，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和第二存储单元中暂时保存的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过给于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值B，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $+\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的上述最低频率f1和最高频率f2赋予的上述频率间隔中的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

9)上述5)或6)所述的递归型离散傅立叶变换方法，其中使用对于一定的时刻t中提供的数值y_r(t)＋jy_i(t)，和时刻t＋1提供的数值y_r(t＋N)＋jy_i(t＋N)，和从时刻t到时刻t＋N－1间提供的N个的数值y_r(t)＋jy_i(t)，y_r(t＋1)＋jy_i(t＋1)，…y_r(t＋N－1)＋jy_i(t＋N－1)得到实部及虚部的逆离散傅立叶系数的Y_r(k，t)及jY_i(k，t)，通过对于上述y_i(t＋N)和上述y_r(t)的差值赋予振幅值的正常数值B，用下式 $Y_r(k,t+1)=\{Y_r(k,t)+\frac{1}{B}\[y_r(t+N)-y_r\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $+\{Y_i(k,t)+\frac{1}{B}\[y_i(t+N)-y_i\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $Y_i(k,t+1)=\{Y_i(k,t)+\frac{1}{B}\[y_i(t+N)-y_i\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\{Y_r(k,t)+\frac{1}{B}\[y_r(t+N)-y_r\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的N个数值的上述复数逆离散傅立叶系数的实部Y_r(k，t＋1)，及虚部Y_i(k，t＋N)的同时，提供得到的逆离散型傅立叶逆变换数值，对于提供的离散傅立叶逆变换数值进行离散傅立叶变换，其特征在于

该递归型离散傅立叶变换使用与上述离散傅立叶逆变换时使用的常数B对应的常数A，进行离散傅立叶变换。

10)上述5)或6)所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于设定表示上述复数傅立叶系数次数的k，在上述间隔的每一定时刻反复地进行对于设定的k值的傅立叶变换。

11)上述7)或8)所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于设定表示上述复数傅立叶系数次数的k，在上述间隔的每一定时刻反复地进行对于设定的k值的傅立叶逆变换。

12)一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时刻采样后，提供得到的复数数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，对于该数列进行复数傅立叶变换，得到的次数k(k为0或比N小的正整数)的频率成分，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法的特征在于，其是由以下构成的：

第一步骤(与图8中的符号21对应，以下同样)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(23)，得到第一步骤暂时保存的数列的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，

第三步骤(24)，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(23)，使用第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)－X_i(k，t)，以下列所示的传递函数为基础，用下式 $H\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]-j\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]-z^{-1}}{1-2\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$

(其中，A是赋予[x(t＋N)－x(t)]振幅值的正常数)得到从时刻t＋1起提供的数列数据的上述傅立叶系数X_r(k，t＋1)－jX_i(k，t＋1)。

13)一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，(N是1以上的正整数)的各个时刻采样后，提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列以最低频率f1和最高频率f2确定的频率间隔作为测量频率间隔的同时，用上述N去除该测量频率间隔后的频率间隔作为分析频率间隔，对每个分析频率间隔进行复数傅立叶变换，将得到的频率分析结果作为频率间隔的k倍(k为0或比N小的正整数)的频率成分，其各个实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法的特征在于，其是由以下步骤构成的：

第一步骤(21)，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤(23)，得到在第一步骤进行暂时保存的数列傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，

第三步骤(24)，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤(23)，使用第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，以下列所示的传递函数为基础，用下式 $H\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \[2\mathrm{\πp}\]-j\sin \[2\mathrm{\πp}\]-z^{-1}}{1-2\cos \[2\mathrm{\πp}\]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$

其中，A是用于赋予[x(t＋N)－x(t)]的振幅值的正常数， $p=\frac{1}{\mathrm{fs}}\{\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\}$ 0≤k≤N－1得到从时刻t＋1起提供的数列的，由上述最低频率f1和最高频率f2确定的上述频率间隔的傅立叶系数X_r(k，t＋1)－jx_i(k，t＋1)。

14)上述12)或13)所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于，用于赋予上述x(t＋N)和上述x(t)之差值的振幅值的正常数值A，可以选择设定为1，N的平方根的倒数或1/N等的值。

15)上述12)或13)所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于设定表示上述复数傅立叶系数的次数k为希望的值，在上述间隔的每一定时刻反复地进行对应于设定的k值的傅立叶变换。

以下，对于本发明的递归型离散傅立叶变换方法及递归型离散傅立叶逆变换方法的实施方案，用优选的实施例加以说明。

图1是与本发明第一实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置的概略构成示意图。

图2是对与本发明第一实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置被提供的信号波形进行采样得到的数据值以及与其对应的DFT运算的关系模式的示意图。

图3是与本发明第一实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置中与设定分析频率范围以及分辨率有关的频率关系的示意图。

图4是与本发明第二实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置的概略构成示意图。

图5是对与本发明第二实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置被提供的信号波形进行采样得到的数据值以及与其对应的DFT运算的关系模式的示意图。

图6是与本发明第三实施例有关的递归型离散傅立叶逆变换装置的概略构成示意图。

图7是与本发明第二实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置中与设定分析频率范围以及分辨率有关的频率关系的示意图。

图8是与本发明第四实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置的概略构成示意图。

图9是对与本发明第四实施例有关的递归型离散傅立叶变换装置被提供的信号波形进行采样得到的数据值以及与其对应的DFT运算的关系模式的示意图。

图10是使用与本发明第四实施例有关的传递函数进行运算的递归型离散傅立叶变换构成的示意图。

图11是与本发明第四实施例有关的递归型离散傅立叶变换中与设定分析频率范围以及分辨率有关的频率关系的示意图。

图12是用与本发明第四实施例有关的传递函数进行运算的递归型离散傅立叶变换装置中与设定分析频率范围以及分辨率有关的构成示意图。

实施例1

图1是适应该递归型离散傅立叶变换方法的递归型离散傅立叶变换的装置的第一实施例，结合该图一起进行说明。

该递归型离散傅立叶变换装置是由以下部分构成的：以一定的时间间隔被提供采样的数据，暂时保存提供的最新的N个(N是正整数)的数据的数据更新部1，和设定为了进行离散傅立叶变换的基底频率的基底频率设定部2，和进行DFT(Discrete Fourier Transform)运算的递归型DFT运算部3，和暂时保存运算后的数据的存储部4。

以下，对于这样的构成的递归型傅立叶变换装置的动作进行说明。

首先，提供的数据用图中未示出的采样电路以一定的时间间隔进行采样，将采样后量化了的离散数据提供到数据更新部。

该采样电路是在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3…t＋N－1，t＋N(N是自然数)，对提供的数值进行采样，该时刻所提供的数值作为对应各个时刻的采样值而生成数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)…x(t＋N－1)，x(t＋N)。

该采样电路的动作是与将提供的模拟信号变换成数字信号的A/D变换器的动作相同，用采样频率的倒数赋予的将一定时间间隔提供的模拟信号电压值变换成数字信号值。变换后的数字信号值是与赋予脉冲振幅调制信号的模拟电压有相类似的电压或以二进制的数字表示该电压值。

这样一来，在数据更新部1中，提供在时刻t采样的数据x(t)，在时刻t＋1的x(t＋1)，……，在时刻t＋N－1的x(t＋N－1)，在时刻t＋N的x(t＋N)。

数据更新部1在提供的数据中一边更新最新提供的数据数为N个(N是正整数)的数据。一边进行暂存。

即，提供的数据从x(t)开始，提供x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)时，将x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)的全体都进行暂时保存，该暂时保存动作一直持续到x(t＋N－1)到来之前，在x(t＋N－1)来到的阶段，总数据数达到N，将数据区充满。

在这样的状态下，提供下一数据x(t＋N)时，由于总数据数是N＋1，所以数据更新部1从x(t＋N)减去x(t)，把相减后得到的数据提供到递归型DFT运算部3的同时，从存储部4除去最早的数据x(t)，更新部1暂时保存x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)……x(t＋N－1)，x(t＋N)的N个数据。

同样，数据更新部1在提供下一个的数据x(t＋N＋1)时，求出x(t＋N＋1)－x(t＋1)，提供给递归型DFT运算部，同时从存储部4删除x(t＋1)，使得总是将提供的数据内最新的N个数据暂时保存到数据更新部1中。

暂时保存的N个数据提供到递归型DFT运算部3，该递归型DFT运算部，根据由基底频率设定部2设定的频率分辨率信息，及暂时保存在存储部4内的上次的FFT运算结果作为递归数据提供给递归型DFT，按照后述的方法继续执行递归离散傅立叶变换的运算，输出该运算结果。

以下，参照过去的傅立叶运算处理，对该递归型离散傅立叶运算处理方法进一步详细地说明。

图2中示意地说明对在采样时间ts提供的信号波形进行采样，得到的数据值和对于它的DFT运算关系。

该图中，表示了从时间在一定的采样期间采样的N个实数数据值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)……x(t＋N－1)的集合，及从时间t＋1采样而得到的N个实数值x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)……x(t＋N－1)，x(t＋N)的集合。

而且，对从该时间t采样的N个实数数据值的数列求出的离散傅立叶变换的值X(k，t)是按照以下定义的。 $X(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\exp \[-j2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ ……………式(2) $=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-j\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ ＝X_r(k，t)－jX_i(k，t)

其中k＝0，1，……，N－1

从这样定义的任意时间t起提供的采样数据列，x(t)～x(t＋1)的实部x_r(k，t)及虚部x_i(k，t)的变换是按照式(3)和式(4)定义的。 $X_r(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ ……………式(3) $X_i(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ ……………式(4)

其中k＝0，1，……，N－1

这样，就定义了从该时间t采样的数列的变换式，以下对从时间t＋1提供的采样数列的变换式进行叙述。

即，从时间t＋1起提供的采样数列是以x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)……x(t＋N－1)，x(t＋N)的集合表示，但这是对于从时间t提供的数列，删除数据x(t)，增加了新的数据x(t＋N)，所以实部的变换按照以下的式表示，同时表示的式按照以下进行展开。 $X_r(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}\cos \[2(n-t-1)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ …………式(5) $=\frac{1}{\sqrt{N}}\{\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $+\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\}$ $=Y_r(k,t+1)\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]+Y_i(k,t+1)\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 其中 $Y_r(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ …………式(6) $Y_i(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ …………式(7)其中，删除最早的数据x(t)，加入最新的数据x(t＋N)时，使用x_r(k，t)可以表示Y_r(k，t＋1)，同样也可以用X_i(k，t)表示Y_i(k，t＋1)。

其结果，将式(6)、式(7)改用如下所示。 $Y_r(k,t+1)=X_r(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]$ …………式(8)

Y_i(k，t＋1)＝X_i(k，t)    …………式(9)

以下对于虚部的变换式(4)也同样进行展开。

即提供新数据x(t＋N)时，虚部的变换也进行同样展开。 $X_i(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ …………式(10) $=\frac{1}{\sqrt{N}}\{\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]\}$ $=Y_i(k,t+1)\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]-Y_r(k,t+1)\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$

因此，以式(8)，式(9)的关系为基础，式(5)及式(10)可以按照以下进行表示。 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}[x(t+N)-x\left(t\right)]$ $\×\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]+X_i(k,t)\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ …………式(11) $X_i(k,t+1)=X_i(k,t)\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}[x(t+N)-x\left(t\right)\left\}\sin \right[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ …………式(12)

这样，在时间t＋1离散傅立叶变换是通过以下得到的：在将时间t的离散傅立叶运算结果用于递归的同时，使用新加入的采样值x(t＋N)同删除的采样值x(t)之差的数值，按照式(11)，式(12)计算可以求出。

这样求出的离散傅立叶变换，是对本来有限的采样数N进行处理的FIR滤波器(非循环型数字滤波器)，从上述式(11)及(12)的变换式可以明显地看出，在当前的采样时间内的离散傅立叶变换是使用在先前采样时间求出的离散傅立叶变换结果而导出的，从而使用IIR滤波器(循环型数字滤波器)可实现这种离散傅立叶变换。

用IIR滤波器实现DFT的方法，比起用FIR滤波器构成DFT，可以更简单地形成运算用的硬件结构，所以进行用以上的变换式所示的递归型离散傅立叶变换时，在上述图2所示的采样时间间隔可以提供逐次采样的新数据，对于含有新数据值的最新数列，可以进行运算效率高的傅立叶变换。

以上叙述了对于提供的数列在采样的时间间隔内可以进行连续地傅立叶变换、但是提供的数列的长度可改变以任意地设定用傅立叶变换的分析分辨率，实现递归型离散傅立叶变换方法。

这样，在用DFT分析得到的结果进行适当的信号处理时，或对作为对象的控制系统进行控制时，为了得到适应目的的分析结果，需要以任意的分辨率(频率间隔)在任意的频带可以分析该离散傅立叶变换。

图3中示出了通过作为目的的离散傅立叶变换分析而得到的频率关系。

在该图中，进行分析的频域的最低频率为f1、最高频率为f2，对于在f1和f2之间具有N个点的分辨率的递归型离散傅立叶变换的方法加以说明。

该分辨率的设定在如前述图1所示的递归型离散傅立叶变换装置中的基底频率设定部2中进行。其中根据所设定的分辨率信息，递归型DFT运算部3对所分析的任意频带的最低频率f1和最高频率f2、以及用频率f1和f2之间N分割的值表示的希望分辨率(频率间隔)为N个点来进行傅立叶变换。

以这样的执行方式，对在希望的任意频带具有所希望分辨率的离散傅立叶变换运算在每个采样时间间隔中进行的方法进行详细说明。

在进行递归型傅立叶变换时使用的式(11)以及式(12)中，用三角函数表示的cos[2πk/N]以及sin[2πk/N]表示与通过运算求得的分析点数N有关的基底函数。

因此，按照在这样的三角函数中表示的基底频率有关的k/N与所希望的频带一致的方式，来设定f1、f2和fs。

其中，相当于最低频率f1的基底函数的基底频率α为α＝f1/fs，相当于最高频率f2的基底函数的基底频率β为β＝f2/fs。

这样，在分辨率为N点的情况下，频带f1～f2中基底频率为： $\left(\frac{\mathrm{\β}-\mathrm{\α}}{N-1}\right)k+\mathrm{\α}$

(其中k＝0～N－1)

从而，式(11)以及式(12)中基底频率k/N通过在下式(13)中进行置换，得到适于进行在所希望分析的任意频带中具有所希望任意分辨率的变换的递归型傅立叶变换。 $\frac{1}{\mathrm{fs}}\{\frac{(f2-f1)k}{N}+f1\}$ ……式(13)

(其中0≤k≤N－1)

这样，用于根据任意频率分辨率的变换的公式示于式(14)和式(15)。 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}[x(t+N)-x\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ ${+X}_i(k,t)\sin \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ …………式(14)

X_i(k，t＋1)＝X_i(k，t) $\×\cos \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}[x(t+N)-x\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\sin \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ …………式(15)

这样，可以进行任意设定用于分析的分辨率的递归型离散傅立叶变换运算，可以对每个新提供的采样值用式(11)及式(12)进行这种傅立叶变换处理。通过将k的值变为0、1、2、…、N－1，该运算处理得到对应于各个k值而设定的各基底频率中变换处理的结果。

这里，对于进行递归型离散傅立叶变换运算的变换式或者是由特定的k设定的基底频率，由于对由其它k值设定的基底频率分析能够得到无关联的独立变换处理的结果，因此能够单独求出对于与任意k值关联的特定的基底频率进行傅立叶变换运算的结果。

这样，在着眼于特定频率点时，即当k为特定的值时，由于式(11)及式(12)中的三角函数值为常数，用从以前所用的上述离散傅立叶变换的定义式(1)，通过与特定的基底函数相关的傅立叶变换，也能容易地得到与该基底函数相关的傅立叶运算结果。

对于该特定的基底函数有关的信号成份的运算处理，由于在使用蝶形运算的FFT场合更加困难，可以预期这里所示的傅立叶变换方法在今后有作为多种多样的使用信号分析方法的广泛应用。

以上说明了递归型离散傅立叶变换方法，从对该变换方法选择分析所希望基底频率开始，不象FFT那样限制所取的点数为2的幂次，可以取任意的正整数值。

此外，这里要说明的递归型离散傅立叶变换方法是同样的变换方法中的递归型离散傅立叶逆变换方法。

即，递归型离散傅立叶变换方法为将时域数据变换到频域数据中的方法，递归型离散傅立叶逆变换方法则是将频域数据变换到时域数据中的变换方法。应用此处说明的方法实现了递归型逆离散傅立叶变换方法。

这样，在由递归型离散傅立叶逆变换方法将频域的数据生成为时域的数据，而生成的时域数据又由递归型离散傅立叶变换方法变换为频域的数据时，在两者利用相对应的参数进行变换的情况下，再现出原来的频域数据。

这种参数是上述式(14)和式(15)中用A表示的规定振幅值的数值，作为该数值，可以是分别使用1、N、或者N的平方根等值进行分割赋予的值。

即，在将使用参数值a的递归型离散傅立叶逆变换方法为之生成的数据提供给递归型离散傅立叶变换这样的对称的信号变换和信号再变换的场合，可以得到使用与那时所用的参数对应的A而进行的傅立叶逆变换以及傅立叶变换的变换前的数据。

通过由该a和A赋予的信号振幅在赋予傅立叶逆变换侧的值为1时，则在傅立叶变换侧中为N，而在赋予傅立叶逆变换侧的值为N时，在傅立叶变换侧中为1，这样在赋予基于当傅立叶逆变换侧中为N的平方根时傅立叶变换侧也为N的平方根的振幅时，对进行傅立叶逆变换的信号通过进行傅立叶变换，可以得到在变换前的数据。

从而，在这种在OFDM(正交频分复用)信号生成装置中使用傅立叶逆变换、而在OFDM信号接收装置中使用傅立叶变换的情况下，传送的OFDM信号在该路径中的振幅值(传送的信号的有效载荷)发生改变的主要因素有很多，离散傅立叶变换时的振幅值与离散傅立叶逆变换时的值大致对应的程度很好，实际当中离散傅立叶变换的A值最好适当地选择设定为易于组合的值。第二实施例

图4是显示适应于本发明的递归型离散傅立叶变换方法的递归型离散傅立叶变换装置第二实施例的图，结合该图加以说明。

该递归型离散傅立叶变换装置的构成为：数据更新部6，其被提供有在一定时间间隔采样得到的数据，并将所提供的最新的N个(N为正整数)的数据暂时保存；基底频率设定部7，设定用于进行离散傅立叶变换的基底频率；递归型DFT(Discrete Fourier Transform离散傅立叶变换)运算部，进行递归型DFT运算；存储器部9，将计算的数据暂时保存。

下面，对这样构成的递归型离散傅立叶变换装置的动作加以说明。

首先，通过图中未示出的采样电路以一定的时间间隔对所提供的复数数据进行采样，向数据更新部6提供采样得到的量化的实部和虚部的离散数据。

该采样电路对以间隔固定的时刻t、t＋1、t＋2、t＋3、…、t＋N－1、t＋N(N为自然数)所提供的数据值进行采样，将这些时刻提供的数据值作为与各自的时刻对应的采样值，来生成数列x_r(t)＋jx_i(t)、x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)、x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)、…、x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)、x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)。

该采样电路的动作与将所提供的模拟信号变换为数字信号的A/D变换器的动作相同。其将在按照采样频率倒数的一定时间间隔提供的复数模拟信号电压值变换为实部与虚部的数字信号值，变换后的数字信号值具有与赋予二系统的脉冲幅值调制信号的模拟电压有相似关系的电压，或者是具有用二进制数的复数数字值表示的电压值。

这样，向数据更新部6提供在时刻t中采样的采样数据x_r(t)＋jx_i(t)、在时刻t＋1中采样的采样数据x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、…、在时刻t＋N－1中采样的采样数据x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)、在时刻t＋N中采样的采样数据x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)、……。

数据更新部6将所提供数据中的最新提供的N个(N为正整数)数据的复数数据更新并暂时保存。即，在从所提供的数据中的x_r(t)＋jx_i(t)开始，象x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)、x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)这样来提供时，将所提供的数据x_r(t)＋jx_i(t)、x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)、x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)全部暂时保存，该暂时保存的动作一直持续到加入了数据x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)为止，在x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)的数据加入的阶段，总数据数量为N个，将数据更新部的数据区域充满。

以这样的状态，在提供下一数据x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)时，由于总数据数量为N＋1个，数据更新部6从x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)减去x_r(t)＋jx_i(t)，将通过相减得到的数据提供给递归型DFT运算部8，将旧的数据x_r(t)＋jx_i(t)从存储器部9中删除。数据更新部6暂时保存x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)、…、x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)、x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)的N个数据。

同样，数据更新部6在被提供下一数据x_r(t＋N＋1)＋jx_i(t＋N＋1)时，求出x_r(t＋N＋1)＋jx_i(t＋N＋1)－[x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)]，提供给递归型DFT运算部，从存储器部9中删除x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，在一直提供的数据中，在数据更新部6中暂时保存最新的N个数据。

这样，向递归型DFT运算部提供暂时保存的N个数据，该递归型DFT运算部根据基底频率设定部7所设定的频率分辨率信息，以及存储器电路9中暂时保存的上一次FFT运算结果作为递归数据提供给递归型DFT。通过后述的方法进行递归型离散傅立叶变换运算，将该运算结果输出。

下面，参照以往所进行的傅立叶运算处理，对于该递归型离散傅立叶运算处理方法加以说明。

图5示意性地说明被提供的信号波形在采样周期ts中被采样而得到的数据值与其所对应的DFT运算的关系。

在该图中，从任意时间t以一定的采样周期采样的数据值x(n)为复数，即x(n)＝x_r(n)＋jx_i(n)。即，提供从时刻t起的x(t)、x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)、…、x(t＋N－1)的数列，或者从时间t＋1起N个复数数据x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)、…、x(t＋N－1)、x(t＋N)的数列。

从而，对以从该时间t起采样和提供的N个复数数据值表示的复数数列求得的离散傅立叶变换的值X(k，t)由下式定义。 $X(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\exp \{-j2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\}$ ……式(22) $=\left\{\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\cos \right[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\sin \left[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ $+j\{-\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\sin [2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\cos \left[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ ＝X_r(k，t)＋jX_i(k，t)

其中k＝0，1，……，N－1

通过这样的定义，将从任意时间t起提供的采样的复数数列从x(t)到x(t＋N－1)为止的实部X_r(k，t)以及虚部X_i(k，t)的变换由下式定义。 $X_r(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\cos \left[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\sin \left[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(23) $X_i(k,t)=-\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(24)

其中k＝0，1，……，N－1

然后，在式(23)、(24)中引入中间变量X_rr(k，t)、X_ir(k，t)、X_ri(k，t)、X_ii(k，t)，对它们的定义如下： $X_{\mathrm{rr}}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(25) $X_{\mathrm{ir}}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(26) $X_{\mathrm{ri}}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(27) $X_{\mathrm{ii}}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(28)

即，表示在时间t中傅立叶变换的DFT(Discrete FourierTransform：离散傅立叶变换)的定义式(21)利用式(23)～式(28)具有以下的关系。X(k，t)＝X_r(k，t)＋jX_i(k，t)

   ＝{X_rr(k，t)＋X_ir(k，t)}

   ＋{－X_ri(k，t)＋X_ii(k，t)}    ……式(29)

这里，首先对与向实部输入的x_r(n)对应的变换x_rr(k，t)和X_ri(k，t)进行探讨。式(25)中，在上述图2所示的时间t＋1中，提供新的数据x_r(t＋N)，如下式表示的那样更新X_rr(k，t)。 $X_{\mathrm{rr}}(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t-1\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $=\frac{1}{\sqrt{N}}\left\{\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\right(n\left)\cos \right[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\left]\cos \right[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ $+\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ ……式(30)

这里，考虑删除最早的数据X_r(t)，存入最新的数据x_r(t＋N)，用X_rr(k，t)和X_ri(k，t)表示X_rr(k，t＋1)，结果式(25)变成下式： $X_{\mathrm{rr}}(k,t+1)=\left\{X_{\mathrm{rr}}\right(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]+X_{\mathrm{ri}}(k,t)\sin \left[2\frac{\mathrm{\π}}{N}\right]$ ……式(31)

同样，式(27)的X_ri(k，t)也被提供新的数据x_r(t＋N)，更新为下面的表达式： $X_{\mathrm{ri}}(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t-1\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $=\frac{1}{\sqrt{N}}\left\{\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\right(n\left)\sin \right[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\left]\cos \right[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ $-\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(32)

然后，考虑删除最早的数据X_r(t)，存入最新的数据x_r(t＋N)，用X_rr(k，t)和X_ri(k，t)表示X_ri(k，t＋1)，结果式(27)变成下式： $X_{\mathrm{ri}}(k,t+1)=X_{\mathrm{ri}}(k,t)\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]-\left\{X_{\mathrm{rr}}\right(k,t)$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\left[x_r\right(t+N)-x_r(t\left)\right]\left\}\sin \right[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ ……式(33)

然后，对与向虚部的输入x_i(n)对应的变换X_ir(k，t)、X_ii(k，t)，同样地，用X_ir(k，t)和X_ii(k，t)分别表示X_ir(k，t＋1)和X_ii(k，t＋1)。作为该结果，式(26)和(28)如下式表示： $X_{\mathrm{ir}}(k,t+1)=X_{\mathrm{ir}}(k,t)\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]-\left\{X_{\mathrm{ii}}\right(k,t)$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\left[x_i\right(t+N)-x_i(t\left)\right]\left\}\sin \right[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ ……式(34) $X_{\mathrm{ii}}(k,t+1)=\left\{X_{\mathrm{ii}}\right(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]+X_{\mathrm{ir}}(k,t)\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(35)

这样，X_rr(k，t＋1)、X_ir(k，t＋1)、X_ri(k，t＋1)、X_ii(k，t＋1)分别用前一采样时间中的X_rr(k，t)、X_ir(k，t)、X_ri(k，t)、X_ii(k，t)如式(32)～(35)那样递归地表示。

接着，表示在时间t＋1中傅立叶变换的DFT定义式以上式(29)为基础，如下面那样。

X(k，t＋1)＝X_r(k，t＋1)＋jX_i(k，t＋1)

          ＝{X_rr(k，t＋1)＋X_ir(k，t＋1)}

          ＋j{－X_ri(k，t＋1)＋X_ii(k，t＋1)}

                                                             ……式(36)

该式(36)中，代入以上那样求得的式(32)～(35)，进行变形，可以导出在时间t＋1中与傅立叶系数X_r(k，t＋1)＋jX_i(k，t＋1)有关的下式(37)和(38)。 $X_r(k,t+1)=\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $-\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(37) $X_i(k,t+1)=\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $+\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(38)

(其中A＝

，0≤k≤N－1)

这样，求出了X_r(k，t＋1)和X_i(k，t＋1)，本来的DFT运算可以考虑为进行对于有限点数N的处理的FIR滤波器(非循环滤波器)。

但是，在这样求取的变换式(37)、(38)的情况下，如从那些式子中可以看出的，当前采样时间中DFT变换是用前一采样时间中求得的DFT变换的结果来导出的，因此，这里表示的变换是通过IIR滤波器(循环型滤波器)来实现的，从而可以减轻象FIR滤波器的构成那样的硬件复杂程度。

如上所述，如这些变换式(37)、(38)所示那样进行的递归型DFT变换如上述图5中所示的那样，可以对于含有在采样时间间隔中逐次地进行采样得到的新数据的最新的N点的复数采样值进行复数傅立叶变换。第三实施例

下面对应用这样一种离散傅立叶变换的技术所实现的第三实施例的离散傅立叶逆变换进行说明。

图6显示的是适用于这种递归型离散傅立叶逆变换方法的递归型离散傅立叶逆变换装置实施例，结合该图加以说明。

该递归型离散傅立叶逆变换装置的构成为：数据更新部11，其被提供有在一定时间间隔采样得到的数据，并将所提供的最新的N个(N为正整数)的数据暂时保存；基底频率设定部12，设定用于进行离散傅立叶逆变换的基底频率；递归型IDFT(Inverse Discrete FourierTransform离散傅立叶逆变换)运算部13，进行递归型IDFT运算；存储器部14，将计算的数据暂时保存。

下面，对这样构成的递归型离散傅立叶逆变换装置的动作加以说明。

首先，通过图中未示出的采样电路以一定的时间间隔对所提供的复数数据进行采样，向数据更新部11提供采样得到的量化的实部和虚部的离散数据。

该采样电路对以一定间隔的时刻t、t＋1、t＋2、t＋3、…、t＋N－1、t＋N(N为自然数)所提供的数据值进行采样，将这些时刻提供的数据值作为与各自的时刻对应的采样值，来生成数列x_r(t)＋jx_i(t)、x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)、x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)、…、x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)、x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)。

这样，向数据更新部11提供在时刻t中采样的采样数据x_r(t)＋jx_i(t)、在时刻t＋1中采样的采样数据x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)、…、在时刻t＋N－1中采样的采样数据x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)、在时刻t＋N中采样的采样数据x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)。数据更新部11将所提供数据中的最新提供的N个(N为正整数)数据的复数数据更新并暂时保存。

这样，向递归型IDFT运算部提供暂时保存的N个数据，该递归型IDFT运算部根据基底频率设定部12所设定的频率分辨率信息，以及存储器电路14中暂时保存的上一次FFT运算结果作为递归数据提供给递归型IDFT。通过后述的方法进行递归型离散傅立叶变换运算，将该运算结果输出。

然后，将通过递归型IDFT运算部13运算的离散傅立叶逆变换的运算结果提供给存储器14并暂时保存。将暂时保存的运算结果提供给递归型IDFT运算部13，在此处进行下一次提供的数据的IDFT运算等，将IDFT运算结果递归地使用。

下面，详细说明这种递归的IDFT运算。

任意时间t时傅立叶逆变换X(k，t)如下式(39)所定义。 $X(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\exp \left\{j2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right\}$ ……………式(39) $=\left\{\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\right(n\left)\cos \right[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ $-\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ $+j\left\{\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_r\right(n\left)\sin \right[2(n-t)\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ $+\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ ＝X_r(k，t)＋jX_i(k，t)

其中k＝0，1，……，N－1

这里，提供的数列x(n)是复数，用x(n)＝x_r(n)＋jx_i(n)表示。

对这样提供的N个复数数据执行递归型离散傅立叶逆变换，其运算方法与上述的递归型DFT变换方法执行同样的处理。

这种运算是用采样时间t＋1时新采样取得的复数数据x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)与N个数列中最早的复数数据x_r(t)＋jx_i(t)之差、通过使用已求得的采样时间t时的复数傅立叶系数X_r(k，t)＋jX_i(k，t)，以下式(40)和(41)来得到采样时间t＋1时的复数傅立叶系数X_r(k，t＋1)＋jX_i(k，t＋1)。 $X_r(k,t+1)=\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $-\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(40) $X_i(k,t+1)=\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $+\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(41)

(其中B＝ ，0≤k≤(N－1)

这样，进行了递归型IDFT变换，而且对傅立叶逆变换也一样，对于前述图5所示的含有在采样时间间隔逐次采样到的新数据的最新N点数列，可以与傅立叶变换同样地进行傅立叶逆变换。

以上介绍了对于提供的数列在采样时间间隔中连续进行傅立叶变换处理及傅立叶逆变换处理的执行情况，所提供的数列的长度是可变的，实现了通过傅立叶变换及傅立叶逆变换(可以将傅立叶变换技术同样地应用于傅立叶逆变换，为了避免烦琐起见，以下以傅立叶变换为中心进行说明)任意地设定分析的分辨率的递归型离散傅立叶变换方法。

在利用通过DFT分析得到的结果进行自适应的信号处理的情况下，或者是对于作为对象的控制系统进行控制的情况下，为了得到与目的相应的分析结果，必须在任意的频率域中按照任意的分辨率(频率间隔)解出该离散傅立叶变换。

图7中示出了通过作为目的的离散傅立叶分析得到的频率的关系。

在该图中描述了所分析的频率域的最低频率为f1、最高频率为f2、在f1与f2之间具有N点的分辨率的递归型离散傅立叶变换。

该分辨率的设定是在前面图4所示的递归型离散傅立叶变换装置中的基底频率设定部7中进行的，根据这里设定的分辨率信息，递归型DFT运算部8进行所分析任意频率域中最低频率为f1和最高频率为f2、以及在频率f1与f2之间用N分割值表示的所希望分辨率(频率间隔)为N个点的傅立叶变换。

下面将详细说明按照这样进行处理，在每个采样时间间隔中执行对于所希望的任意频率域具有所希望分辨率的离散傅立叶变换运算的方法。

在进行递归型离散傅立叶变换时使用的式(37)和式(38)中，以三角函数表示的cos[2πk/N]以及sin[2πk/N]表示与通过运算求得的分析点数N有关的基底函数。

从而，在这样的三角函数中表示的基底频率有关的k/N与所希望的频带一致，以这样的方式，设定f1、f2及fs的值。

其中，相当于最低频率f1的基底函数的基底频率α为α＝f1/fs，而相当于最高频率f2的基底频率β为β＝f2/fs。

这样，在分辨率为N个点的时候，频带f1～f2中的基底频率数为： $\left(\frac{\mathrm{\β}-\mathrm{\α}}{N-1}\right)k+\mathrm{\α}$ ……式(42)

(其中，0≤k≤N－1)

从而，式(37)和式(38)中基底频率k/N通过以下式(43)进行置换，得到适合于执行对于所希望解的任意频率域具有所希望的任意分辨率的变换的递归型傅立叶变换式。 $\frac{1}{\mathrm{fs}}\{\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\}$ ……式(43)

(其中，0≤k≤N－1)

该通过任意频率分辨率进行变换的等式由式(44)及式(45)表示。 $X_r(k,t+1)=\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right\{\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ $-\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\sin \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ ……式(44) $X_i(k,t+1)=\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ $+\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{A}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\sin \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ ……式(45)

这样，能够进行任意设定用于分析的分辨率的递归型离散傅立叶变换运算，对于新提供的每个采样值，可以用式(44)及式(45)进行该傅立叶变换处理，该运算处理通过使k的值变为0、1、2、…、N－1，可以得到分别对应于各个k的值而设定的各基底频率中的变换处理结果。

以上是以递归型离散傅立叶变换运算为中心来加以说明的，与递归型离散傅立叶变换运算通过前述式(37)和(38)来执行相对照，递归型离散傅立叶逆变换运算情况下的变换中的递归型离散傅立叶变换运算则是通过前述式(40)和(41)来进行的。

这样对该式进行比较，各个符号表示为仅在一个地方不同而其它地方相同那样来理解，在与上述同样的递归型离散傅立叶逆变换的情况下，也可以进行任意设定用于分析的分辨率的递归型离散傅立叶逆变换运算。

这样的通过任意频率分辨率进行逆变换的等式用式(46)和(47)来表示。 $X_r(k,t+1)=\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ $+\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\sin \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ ……式(46) $X_i(k,t+1)=\left\{X_i\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ $-\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{B}[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\sin \left\{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\right[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\left]\right\}$ ……式(47)

这样一来，执行该递归型离散傅立叶变换运算及递归型离散傅立叶逆变换运算的变换式、或者是根据特定的k值设定的基底频率，假设对于根据其它的k值设定的基底频率分析没有关连，而能够独立地得出变换处理的结果，因此可以对于与任意k值关联的特定基底频率进行傅立叶变换运算，并且可以单独求出傅立叶逆变换运算结果。

这样，当着眼于特定的频率点时、即k假定为特定的值时，式(44)及式(45)中的三角函数值为常数，因此可以比用过去沿用的上述离散傅立叶变换的定义式(21)来进行的与基底函数相关的傅立叶变换更容易地得到与该基底函数相关的傅立叶运算结果。

与该特定的基底函数相关的信号成分的运算处理在使用蝶形运算的FFT场合更为困难，因此这里示出的递归型离散傅立叶变换方法及递归型离散傅立叶逆变换方法，可以预期今后在越来越多样地使用的信号分析方法和信号生成方法等领域中有广泛应用。

以上针对递归型离散傅立叶变换方法和递归型离散傅立叶逆变换方法进行了说明，这种变换方法从选择所希望解的基底频率开始，不用象FFT等方法那样将使用的点数限制为2的乘幂，可以取任意的正整数。第四实施例

图8显示的是适用于这种递归型离散傅立叶变换方法的递归型离散傅立叶变换装置第四实施例，结合该图加以说明。

该递归型离散傅立叶变换装置包括：数据更新部21，其被提供有以一定时间间隔采样得到的数据，并将所提供的最新的N个(N为正整数)数据暂时保存；基底频率设定部22，设定用于进行离散傅立叶逆变换的基底频率；递归型DFT运算部23，进行递归型IDFT运算；存储器部24，将计算的数据暂时保存。

下面，对这样构成的递归型离散傅立叶逆变换装置的动作加以说明。

首先，通过图中未示出的采样电路以一定的时间间隔对所提供的复数数据进行采样，向数据更新部11提供采样得到的量化的离散数据。

该采样电路对以一定间隔的时刻t、t＋1、t＋2、t＋3、…、t＋N－1、t＋N(N为自然数)所提供的数据值进行采样，将这些时刻提供的数据值作为与各个时刻对应的采样值，来生成数列x(t)、x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)、…、x(t＋N－1)、x(t＋N)。

该采样电路的动作与将所提供的模拟信号变换为数字信号的A/D变换器的动作相同。其将在按照采样频率倒数的一定时间间隔提供的模拟信号电压值变换为数字信号值，变换后的数字信号值具有与赋予脉冲振幅调制信号的模拟电压有相似关系的电压，或者是具有用二进制数的复数数字值表示的电压值。

这样，向数据更新部21提供在时刻t中采样的采样数据x(t)、在时刻t＋1中采样的采样数据x(t＋1)、…、在时刻t＋N－1中采样的采样数据x(t＋N－1)、在时刻t＋N中采样的采样数据x(t＋N)。

数据更新部21将所提供数据中的最新提供的N个(N为正整数)数据更新并暂时保存。即，在从所提供的数据中的x(t)开始，象x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)这样来提供时，将所提供的数据x(t)、x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)全部暂时保存，该暂时保存的动作一直持续到加入了数据x(t＋N－1)为止，在x(t＋N－1)的数据加入的阶段，总数据数量为N个，将数据更新部的数据区域充满。

在这样的状态，在提供下一数据x(t＋N)时，由于总数据数量为N＋1个，数据更新部21从x(t＋N)减去x(t)，将通过相减得到的数据提供给递归型DFT运算部23，将旧的数据x(t)从存储器部24中删除。数据更新部21暂时保存x(t＋1)、x(t＋2)、…、x(t＋3)、…、x(t＋N－1)、x(t＋N)这N个数据。

同样，数据更新部21在被提供下一数据x(t＋N＋1)时，求出x(t＋N＋1)－x(t＋1)，提供给递归型DFT运算部，从存储器中删除x(t＋1)，在一直提供的数据中，在数据更新部21中暂时保存最新的N个数据。

之后，向递归型DFT运算部提供暂时保存的N个数据，该递归型DFT运算部根据基底频率设定部22所设定的频率分辨率信息，以及存储器部24中暂时保存的上一次FFT运算结果作为递归数据提供给再起型DFT。通过后述的方法进行递归型离散傅立叶变换运算，将该运算结果输出。

下面，参照以往所进行的傅立叶运算处理，对于该递归型离散傅立叶运算处理方法加以说明。

图9是说明被提供的信号波形在采样周期ts中被采样而得到的数据值与其所对应的DFT运算的关系的模式。

在该图中，从任意时间t以一定的采样周期采样的N个实数数据值用x(t)、x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)、…、x(t＋N－1)的集合表示，而从时间t＋1起采样得到的N个实数数据用x(t＋1)、x(t＋2)、x(t＋3)、…、x(t＋N－1)、x(t＋N)的集合表示。

从而，对以从该时间t起采样的N个实数数据值表示的数列求得的离散傅立叶变换的值X(k，t)由下式(52)定义。 $X(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\exp [-j2(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……………式(52) $=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $-j\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ＝X_r(k，t)－jX_i(k，t)

其中k＝0，1，……，N－1

通过这样的定义，将从任意时间t提供的采样数列从x(t)到x(t＋N－1)的复数傅立叶变换的实部X_r(k，t)以及虚部X_i(k，t)由下式定义。 $X_r(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……………式(53) $X_i(k,t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t}{\overset{t+N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……………式(54)其中k＝0，1，……，N－1

从而，在式(53)和(54)中，在上述图9所示的时间t＋1提供新的数据x(t＋N)，其实部与虚部的变换如下式所示被更新。 $X_r(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\cos \left[2\right(n-t-1\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……………式(55) $X_i(k,t+1)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{n=t+1}{\overset{t+N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)\sin \left[2\right(n-t-1\left)\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……………式(56)

其中，删除最初提供的数据X(t)，存入新提供的数据x(t＋N)，通过对从时间t开始的数列使用傅立叶系数X_r(k，t)和X_i(k，t)，对从时间t＋1开始的数列可以得到傅立叶系数X_r(k，t＋1)和X_i(k，t＋1)。

下式(57)和(58)通过式(55)和(56)来这样导出。 $X_r(k,t+1)=\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}[x(t+N)-x\left(t\right)]$ $\×\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]+X_i(k,t)\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]\}$ …………式(57) $X_i(k,t+1)=X_i(k,t)\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ $-\left\{X_r\right(k,t)+\frac{1}{\sqrt{N}}[x(t+N)-x\left(t\right)\left]\right\}\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ …………式(58)

这样通过该变换式中所示的递归型DFT变换，用采样提供的数据x(t＋N)和时间t中复数傅立叶变换结果X_r(k，t)－jX_i(k，t)，可以导出时间t＋1时的复数傅立叶变换结果x_r(k，t＋1)－jX_i(k，t＋1)。

如下述图9中所示的那样，表明可以得到对于含有在采样时间间隔逐次采样得到的新数据的最新的N点的数据进行傅立叶变换的结果。

此外，对于这样的傅立叶变换，或者是在具有系数的系统中提供连续采样的数据进行变换的线性时不变系统中可以见到的，该变换处理可以看作是滤波处理。

这样，A设为赋予振幅值的1/(N的平方根)、对从时刻t起提供的数列的傅立叶系数的实部X_r(k，t)和虚部X_i(k，t)分别设为y_r，k(t)和y_i，k(t)时，取上述式(57)和(58)分别相对于输入x的输出y的变换式，从时刻t＋1起提供的数据的傅立叶系数的变换式可如下式所示。 $y_{r,k}(t+1)=\left\{y_{r,k}\right(t)+A[x(t+N)-x\left(t\right)\left]\right\}$ $\×\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]+y_{i,k}\left(t\right)\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ …………式(59) $y_{i,k}(t+1)=y_{i,k}\left(t\right)\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ －{y_r，k(t)＋A[x(t＋N)－x(t)]} $\×\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ …………式(60)

(其中， $A=\frac{1}{\sqrt{N}}$ )

然后，对式(59)和式(60)进行z变换，该变换的结果如下式(61)和(62)所示。Y_r，k(z)＝{Y_r，k(z)z^-1＋A[X(z)z^N－X(z)]} $\×\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]+Y_{i,k}\left(z\right)z^{-1}\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]$ ……式(61) $Y_{i,k}\left(z\right)=Y_{i,k}\left(z\right)z^{-1}\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]-\left\{Y_{r,k}\right(z)z^{-1}$ $+A\left[X\right(z)z^N-X(z\left)\right]\left\}\sin \right[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}]$ ……式(62)

其中，相对于输入X(z)的输出Y(z)的传递函数设为H(z)，H(z)由下式给出。 $H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}$

式(61)和(62)联立的方式分别求出实部及虚部各自的传递函数，如式(63)和(64)那样求解。 $H_r\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]-z^{-1}}{1-2\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$ ……式(63) $H_i\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{-\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]}{1-2\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$ ……式(64)

这样，表示递归型DFT的传递函数可如下式(65)所示。 $H\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]-j\sin \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]-z^{-1}}{1-2\cos \left[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\right]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$ ……式(65)

在该等式中，1－z-N表示更新输入数据时删除最早的数据，在分数所表示的部分中，分子构成为具有1次的、分母构成为具有2次的IIR滤波器(循环型滤波器)。

原来的DFT是对有限点数N进行处理的FIR滤波器，如上述式(65)那样，使用IIR滤波器实现的方法通过FIR滤波器可以构成简单硬件。

图10中示出了通过IIR滤波器实现的离散傅立叶变换的构成。

在该图中，在预定的采样时钟中采样的数据例如在时刻t＋N采样的数据x(t＋N)提供给傅立叶运算部25，在其中将H(z)所表示的传递函数的特性提供给采样数据来进行运算，从而提供傅立叶系数的实部输出X_r(k，t＋1)和虚部输出jX_i(k，t＋1)。

这样，如式(65)所示，具有传递函数H(z)的傅立叶运算部25对每个所提供的采样数据逐次地进行IIR滤波运算处理，从而可提供相当于实部和虚部的DFT变换的运算结果。

即，在采样时间t＋1时被采样而提供的数据x(t＋N)被提供给傅立叶运算部5，可以得到从采样时间t＋1开始提供的N个采样数据的复数傅立叶系数X_r(k，t＋1)－jX_i(k，t＋1)。

如上所述，对于连续提供的数列，傅立叶运算部25可以以采样的时间间隔连续地进行傅立叶变换处理，该傅立叶变换改变所提供的数列的长度N，例如将N值变大来进行在时间方向上分辨率高的频率分析，从而通过傅立叶变换可以得到分析分辨率变化的运算结果。

该分析分辨率的变化例如是使用通过DFT运算分析得到的结果来进行的自适应信号处理，或者是作为对象的控制系统的自适应控制的情况，为了得到与目的相应的分析结果，该离散傅立叶变换必须对任意的频率域以任意的分辨率(频率间隔)进行分析。

在图11中示出了与通过作为目的的离散傅立叶分析得到的分辨率有关的频率关系。

在该图中，显示了所分析的频率域的最低频率为f1、而最高频率为f2，在f1和f2之间具有N个点的分辨率的递归型离散傅立叶变换，对通过这样表示的分辨率来进行DFT的方法加以说明。

该分辨率的设定在如前面图8所示的递归型离散傅立叶变换装置所示的基底频率设定部22中进行。其中根据设定的分辨率信息，递归型DFT运算部23对分析的任意频率域中最低频率为f1和最高频率为f2、并且该频率f1与f2之间的N分割的值表示的所希望分辨率为N点来进行傅立叶变换。

下面，将详细说明在每个采样时间间隔中执行对于所希望的任意频率域具有所希望的分辨率的离散傅立叶变换运算的方法。

在进行递归型离散傅立叶变换时使用的式(65)中，用三角函数所表示的cos[2πk/N]以及sin[2πk/N]表示与通过运算求得的傅立叶分析点数N有关的基底函数。

因此，与这样的三角函数中表示的基底频率相关的k/N设定为与所希望的频率域中的一致，即设定为f1、f2和fs的值。

其中相当于最低频率f1的基底频率函数的基底频率α为α＝fl/fs，相当于最高频率f2的基底函数的基底频率β为β＝f2/fs。

这样，在分辨率为N点的情况下，频带f1～f2中基底频率为： $\left(\frac{\mathrm{\β}-\mathrm{\α}}{N-1}\right)k+\mathrm{\α}$

(其中k＝0～N－1)

从而，式(65)中基底频率k/N通过在下式(66)中进行置换，进行对于所希望分析的任意频带具有所希望的任意分辨率的变换，得到适合的递归型傅立叶变换的公式。 $\frac{1}{\mathrm{fs}}\{\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\}$ ……式(66)

(其中0≤k≤N－1)

这样，用于根据任意频率分辨率进行变换的公式示于式(67)。 $H\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \[2\mathrm{\πp}\]-j\sin \[2\mathrm{\πp}\]-z^{-1}}{1-2\cos \[2\mathrm{\πp}\]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$ ……式(67)

(其中，A是用于赋予[x(t＋N)－x(t)]中振幅值的正常数。 $p=\frac{1}{\mathrm{fs}}\{\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\}$ 0≤k≤N－1)

在图12中，显示了通过任意频率分辨率进行傅立叶变换的构成。

在该图中，在相等间隔的时间中采样的采样数据逐次向线性时不变系统中的傅立叶运算部26提供时，新提供例如在时间t＋N中的数据x(t＋N)。

此时，基底频率设定部27设定所分析的任意频率域的下限频率f1和上限频率f2以及所希望的分辨率N，确定根据上述式(66)变换的基底频率，提供给线性时不变系统中的傅立叶运算部26，该傅立叶运算部26根据该基底频率使之在具有前述式(65)所示传递函数的IIR滤波器中处理。

这样，从傅立叶运算部26中提供输出信号，该输出信号是对应于从时刻t＋1起提供的N个采样数据的傅立叶系数的实部X_r(k，t＋1)和虚部X_i(k，t＋1)，根据对于所希望的任意频率域的所希望分辨率，在每个采样时间间隔中进行DFT运算。

这样，可以进行任意设定用于分析的分辨率的递归型离散傅立叶变换运算，对每个新提供的采样值利用式(65)进行该傅立叶变换处理。该运算处理中将k的值在0、1、2、…、N－1中变化，得到对应于各个k值进行设定的各基底频率中的变换处理结果。

其中，进行递归型离散傅立叶变换运算的变换式根据特定的k值设定的基底频率，与根据其它k值设定的基底频率的分析无关联，而独立地得到变换处理结果，可以单独求得对于与任意k值相关联的特定基底频率的傅立叶变换运算结果。

从而，在着眼于特定的频率点时，即当k为特定的值时，式(65)中的三角函数的值为常数，因此要比使用以前所用的上述离散傅立叶变换定义式(51)的与特定基底函数相关的傅立叶变换更容易，而得到与该基底函数相关的傅立叶运算结果。

对于与该特定的基底函数相关的信号成份的运算处理而言，由于在使用蝶形运算的FFT场合要更加困难，所以可以预期这种形式的傅立叶变换方法在今后有作为越来越多样使用的信号分析方法的广泛应用。

以上，对使用传递函数进行的递归型离散傅立叶变换方法作了说明，该变换方法由于是可对所希望分析的基底频率进行选择，不象FFT那样要将采用的点数限制为2的乘幂，从而可以取任意正整数值。

而且，这里说明了递归型离散傅立叶变换方法，还存在同样的变换方法中的递归型离散傅立叶逆变换方法。

即，递归型离散傅立叶变换方法为将时域数据变换到频域数据中的方法，递归型离散傅立叶逆变换方法则将频域数据变换到时域数据中的变换方法。应用此处说明的方法实现了递归型离散傅立叶逆变换方法。

这样，在由递归型离散傅立叶逆变换方法将频域的数据生成为时域的数据，而生成的时域数据又由递归型离散傅立叶变换方法变换为频域的数据时，在两者采用相对应的参数进行变换的场合，再现出原来的频域数据。

这种参数是上述式(65)中用A表示的规定振幅值的数值，作为该数据值，可以是分别为1、N、或者N的平方根的倒数等值分割赋予的值。

即，在将使用参数值a的递归型离散傅立叶逆变换方法为之生成的数据提供给递归型离散傅立叶变换这样的对称的信号变换和信号再变换的场合，可以得到使用与那时所用的参数对应的A而进行的傅立叶逆变换以及傅立叶变换的变换前的数据。

通过该a和A赋予的信号振幅在赋予傅立叶逆变换侧的值为1时，则在傅立叶变换侧中为1/N，而在赋予傅立叶逆变换侧的值为1/N时，在傅立叶变换侧中为1，这样在赋予基于当傅立叶逆变换侧中为N的平方根倒数时傅立叶变换侧也为N的平方根倒数的振幅时，对进行傅立叶逆变换的信号通过进行傅立叶变换，可以得到在变换前的数据。

从而，在这种在OFDM(正交频分复用)信号生成装置中使用傅立叶逆变换、而在OFDM信号接收装置中使用傅立叶变换的情况下，使传送的OFDM信号在该路径中的振幅值(传送的信号的有效载荷)发生改变的主要因素有很多，离散傅立叶变换时的振幅值与离散傅立叶逆变换时的值大致对应的程度很好，实际当中离散傅立叶变换的A值最好适当地选择设定为易于组合的值。

发明的效果

根据本发明第一方面，对所提供的N个采样组成的数列进行复数傅立叶变换，从接着提供的新采样的采样值中减去已经使用过的用于傅立叶变换的最早采样值，在求得该相减值的同时删除该最早的采样值，根据该相减值和已经求得的复数傅立叶运算结果，可以对新的N个采样求取离散傅立叶运算结果，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶运算没有差异，具有在一个采样周期内快速地得到傅立叶运算结果的效果。

根据本发明第二方面，对所提供的N个采样组成的数列进行复数傅立叶变换，从接着提供的新采样的采样值中减去已经使用过的用于傅立叶变换的最早采样值，在求得该相减值的同时删除该最早的采样值。在根据该相减值和已经求得的复数傅立叶运算结果，对新的N个采样求取离散傅立叶运算结果时，将用于分析得到的频率范围预先设定为f1和f2，此外利用根据N来设定分辨率的基底频率，进行傅立叶运算，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶运算时一样地设定频率范围和分辨率没有差异，具有在一个采样周期内快速地得到对于任意频率范围和分辨率的傅立叶运算结果的效果。

根据本发明第三方面，上述第一和第二方面的效果之外，还特别进行将正常数值A适当地选择设定为1、N或N的平方根等值的FFT运算处理。例如在通信装置中对传送的信息信号进行IFFT(快速傅立叶逆变换)变换处理的时域信号进行变换并传递该时域信号这样的场合。在将该传送信号提供给FFT进行FFT运算、得到信息信号这样的傅立叶运算方法中，该IFFT运算中使用的例如1、N或N的平方根的数作为与a的常数值对应的常数值A在FFT运算处理电路中使用。可对构成作为上述IFFT的互补动作的FFT的上述信息信号进行解调等。对于从相对应的系统提供的信号，通过使用与该系统中IFFT运算使用的a对应的常数值A，可具有实现构造具有良好品质特性的系统的效果。

根据本发明第四方面，在上述第一和第二方面的效果之外，还特别设定了k值的特定值，能够尽早算出与k值确定的特定频率对应的傅立叶分析结果，因此在根据该特定频率的傅立叶变换结果控制的系统的情况下，该系统的控制可以在最小延迟时间中进行，提高了系统整体的响应特性，从而能够达到能够构造出具有良好品质特性的系统的效果。

根据本发明第五方面，对所提供的N个复数数据组成的数列进行傅立叶变换，根据进行傅立叶变换的结果、接着提供的新的复数数据的数据值、和已经使用过的用于进行傅立叶变换的最早的复数数据值，得到对新的N个复数数据进行傅立叶运算的结果，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶运算没有差异，具有容易在一个复数数据周期内快速地得到傅立叶运算结果的效果。

根据本发明第六方面，对所提供的N个复数数据组成的数列进行傅立叶变换，在根据傅立叶变换的结果、接着提供的新的复数数据的数据值、和已经使用过的用于进行傅立叶变换的最早的复数数据值，得到对新的N个复数数据进行傅立叶运算的结果时，将用于进行傅立叶变换的频率范围预先设定为f1和f2，此外利用通过N来设定分辨率的基底频率，进行傅立叶运算，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶运算时一样地设定频率范围和分辨率没有差异，具有在一个采样周期内快速且容易地得到任意频率范围和分辨率的傅立叶运算结果的效果。

根据本发明第七方面，对所提供的N个复数数据组成的数列进行傅立叶逆变换，根据傅立叶逆变换的结果、接着提供的新的复数数据的数据值、和已经使用过的用于进行傅立叶变换的最早的复数数据值，得到对新的N个复数数据进行傅立叶逆运算的结果，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶逆运算没有差异，具有容易在一个复数数据周期内快速地得到傅立叶运算结果的效果。

根据本发明第八方面，对所提供的N个复数数据组成的数列进行傅立叶逆变换，在根据傅立叶逆变换的结果、接着提供的新的复数数据的数据值、和已经使用过的用于进行傅立叶逆变换的最早的复数数据值，得到对新的N个复数数据进行傅立叶逆运算的结果时，将用于进行傅立叶逆变换的频率范围预先通过f1和f2设定，此外利用通过N来设定分辨率的基底频率，进行傅立叶逆运算，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶逆运算时一样地设定频率范围和分辨率没有差异，具有在一个采样周期内快速且容易地得到任意频率范围和分辨率的傅立叶运算结果的效果。

根据本发明第九方面，在上述第五和第六方面的效果之外，还特别进行将正常数值A适当地选择设定为1、N或N的平方根等值的傅立叶变换处理。例如在通信装置中应用的对传送的信息信号进行IFFT(快速傅立叶逆变换)处理的时域信号进行变换并传递该时域信号这样的场合。在将该传送信号提供给FFT进行FFT运算、得到信息信号这样的傅立叶运算方法中，该IFFT运算中使用的例如1、N或N的平方根的数作为与B的常数值对应的常数值A，作为N、1或者N的平方根的数在FFT运算处理电路中使用。可对构成作为上述IFFT的互补动作的FFT的上述信息信号进行解调等。对于从相对应的系统提供的信号，通过使用与该系统中IFFT运算使用的B对应的常数值A，可以达到实现构造具备良好品质特性的傅立叶变换处理用系统的效果。

根据本发明第十方面，在上述第五和第六方面的效果之外，还特别设定了k值的特定值，能够在短时间内算出与k值确定的特定频率对应的傅立叶变换，因此在根据该特定频率的傅立叶变换结果进行控制的系统的情况下，该系统的控制可以在最小延迟时间中进行，提高了系统整体的响应特性，从而达到能够构造出具有良好品质特性的系统的效果。

根据本发明第十一方面，在上述第七和第八方面的效果之外，还通过特别设定k值的特定值，能够在短时间内算出与k值确定的特定频率对应的傅立叶逆变换，因此例如在使用该特定频率的傅立叶逆变换结果生成信号的系统中的情况下，该系统的动作可以在最小延迟时间中进行，改善了系统整体的响应特性，从而达到能够构造出具有良好品质特性的系统的效果。

根据本发明第十二方面，对所提供的N个采样组成的数列进行复数傅立叶变换，从接着提供的新采样的采样值中减去已经使用过的用于傅立叶变换的最早采样值，在求得该相减值的同时删除该最早的采样值，根据该相减值和已经求得的复数傅立叶运算结果，可以对新的N个采样求取离散傅立叶系数，与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶运算没有差异，具有在一个采样周期内快速地得到傅立叶运算结果的效果。

此外，根据本发明第十三方面，对所提供的N个采样组成的数列进行复数傅立叶变换，从接着提供的新采样的采样值中减去已经使用过的用于傅立叶变换的最早采样值，在求得该相减值的同时删除该最早的采样值。在根据该相减值和已经求得的复数傅立叶运算结果，对新的N个采样求取离散傅立叶系数时，将用于分析得到的频率范围预先设定为f1和f2，此外利用根据N来设定分辨率的基底频率，进行傅立叶运算，所以与以往的从所提供的N个采样数据进行傅立叶运算时一样地设定分辨率和频率范围没有差异，具有在一个采样周期内快速地得到对于任意频率范围和分辨率的运算结果的效果。

此外，根据本发明第十四方面，上述第十二和第十三方面的效果之外，还特别进行将正常数值A适当地选择设定为1、N或N的平方根倒数等值的根据FFT的运算处理。例如在通信装置中对传送的信息信号进行IFFT(快速傅立叶逆变换)变换处理的时域信号进行变换并传递该时域信号这样的场合。在将该传送信号提供给FFT进行FFT运算、得到信息信号这样的傅立叶运算方法中，该IFFT运算中使用的例如1、N或N的平方根的倒数作为与a的常数值对应的常数值A，用于FFT运算处理电路中。可对构成作为上述IFFT的互补动作的FFT的上述信息信号进行解调等。对于从相对应的系统提供的信号，通过使用与该系统中IFFT运算使用的a对应的常数值A，可具有实现构造具有良好品质特性的傅立叶变换处理用系统的效果。

根据本发明第十五方面，上述第十二和第十三方面的效果之外，还特别设定了k值的特定值，能够在短时间内算出与k值确定的特定频率对应的傅立叶分析结果，因此在根据该特定频率的傅立叶变换结果进行控制的系统的情况下，该系统的控制可以在最小延迟时间中进行，改善了系统整体的响应特性，从而达到能够构造出具有良好品质特性的系统的效果。

Claims (15)

1.一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时刻采样后，提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，N是1以上的正整数，对于提供的数列，将从时刻t起提供的N个的数值形成数列，对于该数列进行复数傅立叶变换得到的次数k的频率成分，分别得到其实部X_r(k，t)及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，其中k为0或比N小的正整数，该方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用在时刻t＋N中提供的数值x(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，按照下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}$ $\frac{\mathrm{\πk}}{N}$ $X_i(k,t)\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $X_i(k,t+1)=X_i(k,t)\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ ${-\{X}_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}-\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

2.一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时间点采样后，提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，N是1以上的正整数，对于提供的数列，将从时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列最低频率f1和最高频率f2赋予的频率间隔作为测量频率间隔的同时，用上述N去除该测量频率间隔后的频率间隔作为分析频率间隔，对每个分析频率间隔进行复数傅立叶变换，将得到的频率分析结果作为频率间隔的k倍的频率成分，分别得到其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，k为0或比N小的正整数，该离散傅立叶变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，将在时刻t＋N－1中从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用在时刻t＋N中提供的数值x(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x(t)以及第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $+X_i(k,t)\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ X_i(k，t＋1)＝X_i(k，t) $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x(t+N)-x\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的由上述最低频率f1和最高频率f2确定的上述频率间隔中的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

3.如权利要求1或2所述的递归型离散傅立叶变换方法，其中使用上述正常数值a提供离散傅立叶逆变换了的离散傅立叶逆变换数据，以得到对于提供的离散傅立叶逆变换数据的复数傅立叶变换系数，其特征在于

该离散傅立叶逆变换使用上述离散傅立叶逆变换时使用的常数a所对应的常数值A进行离散傅立叶逆变换。

4.如权利要求1或2所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于将表示上述复数傅立叶系数的次数的k设定成希望的值，将对于设定的k值的傅立叶变换在上述间隔每一定的时刻反复地进行。

5.一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时刻采样，N是1以上的正整数，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对于提供的数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，对该数列进行复数傅立叶变换，得到次数k的频率成分，k为0或比N小的正整数，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和所述第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和所述第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\mathrm{}\]$ $+\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的傅立叶系数X_r(k，t＋1)及X_i(k，t＋1)。

6.一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时间点采样，N是1以上的正整数，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列最低频率f1和最高频率f2赋予的频率间隔作为测量频率指定间隔的同时，用该测量频率指定间隔除以上述N后的频率间隔作为最小频率间隔，对每个最小频率间隔进行傅立叶变换，将得到的频率分析结果作为频率间隔的k倍的频率成分，k为0或比N小的正整数，用实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个表示的作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到第一步骤暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值A，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $-\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{A}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $+\{X_r(k,t)+\frac{1}{A}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ 得到从时刻t＋1起提供的数列在由上述最低频率f1和最高频率f2确定的上述频率间隔中的傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。

7.一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时间点采样，N是1以上的正整数，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，对于该数列进行复数傅立叶逆变换，得到的次数k的作为傅立叶逆变换成分，k为0或比N小的正整数，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到第一步骤暂时保存的数列的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，通过对于上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值B，用下式得到从时刻t＋1起提供的数列的上述复数逆傅立叶系数X_r(k，t＋1)，及X_i(k，t＋1)。 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $+\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$

8.一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t，t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时刻采样，N是1以上的正整数，提供得到的复数数值x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋jx_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)，x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列以最低频率f1和最高频率f2确定的频率间隔作为指定频率间隔的同时，把该指定频率间隔除以上述N后的频率间隔作为最小频率间隔，对每个最小频率间隔进行傅立叶逆变换，作为最小频率间隔的k倍的信号成分，k为0或比N小的正整数，分别得到其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)，该离散傅立叶逆变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x_r(t)＋jx_i(t)，x_r(t＋1)＋x_i(t＋1)，x_r(t＋2)＋jx_i(t＋2)，x_r(t＋3)＋jx_i(t＋3)，……，x_r(t＋N－1)＋jx_i(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，对第一步骤暂时保存的数列进行傅立叶逆变换，得到逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)，及X_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用在时刻t＋N中提供的数值x_r(t＋N)＋jx_i(t＋N)和所述第一存储单元中暂时保存的数据值x_r(t)＋jx_i(t)，和所述第二存储单元中暂时保存的逆傅立叶系数X_r(k，t)，及X_j(k，t)，通过给上述x(t＋N)和上述x(t)的差值赋予振幅值的正常数值B，用下式 $X_r(k,t+1)=\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $+\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $X_i(k,t+1)=\{X_i(k,t)+\frac{1}{B}\[x_i(t+N)-x_i\left(t\right)\]\}$ $\×\cos \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ $-\{X_r(k,t)+\frac{1}{B}\[x_r(t+N)-x_r\left(t\right)\]\}$ $\×\sin \{2\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{fs}}\[\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\]\}$ 得到对从时刻t＋1起提供的数列数据以上述最低频率f1和最高频率f2确定的上述频率间隔中的傅立叶系数X_r(k，t＋1)和X_i(k，t＋1)。

9.如权利要求5或6所述的递归型离散傅立叶变换方法，其中使用对于一定的时刻t中提供的数值y_r(t)＋jy_i(t)，和时刻t＋1提供的数值y_r(t＋N)＋jy_i(t＋N)，和从时刻t到时刻t＋N－1间提供的N个的数值y_r(t)＋jy_i(t)，y_r(t＋1)＋jy_i(t＋1)，…y_r(t＋N－1)＋jy_i(t＋N－1)得到实部及虚部的复数逆离散傅立叶系数的Y_r(k，t)及jY_i(k，t)，通过对于上述y_r(t＋N)和上述y_r(t)的差值赋予振幅值的正常数值B，用下式 $Y_r(k,t+1)=\{Y_r(k,t)+\frac{1}{B}\[y_r(t+N)-y_r\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $+\{Y_i(k,t)+\frac{1}{B}\[y_i(t+N)-y_i\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $Y_i(k,t+1)=\{Y_i(k,t)+\frac{1}{B}\[y_i(t+N)-y_i\left(t\right)\]\}\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ $-\{Y_r(k,t)+\frac{1}{B}\[y_r(t+N)-y_r\left(t\right)\]\}\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]$ 得到从时刻t＋1起提供的N个数值的上述复数逆离散傅立叶系数的实部Y_r(k，t＋1)，及虚部Y_i(k，t＋1)的同时，提供得到的离散型傅立叶逆变换数据，对于提供的离散傅立叶逆变换数值进行离散傅立叶变换，其特征在于，

该递归型离散傅立叶变换是使用与上述离散傅立叶逆变换时使用的常数B对应的常数A，进行离散傅立叶变换。

10.如权利要求5或6所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于设定表示上述复数傅立叶系数次数的k，在上述间隔的每一定时刻反复地进行对于设定的k值的傅立叶变换。

11.如权利要求7或8所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于设定表示上述复数傅立叶系数次数的k，在上述间隔的每一定时刻反复地进行对于设定的k值的傅立叶逆变换。

12.一种递归型离散傅立叶变换方法，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时刻采样，N是1以上的正整数，提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，对于该数列进行复数傅立叶变换，得到的次数k的频率成分，k为0或比N小的正整数，得到其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到第一步骤暂时保存的数列的逆复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，以下式所示的传递函数为基础，用下式 $H\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]-j\sin \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]-z^{-1}}{1-2\cos \[2\frac{\mathrm{\πk}}{N}\]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$ 得到从时刻t＋1起提供的数列数据的上述傅立叶系数X_r(k，t＋1)－jX_i(k，t＋1)。

13.一种递归型离散傅立叶变换方法，设采样频率为fs，在间隔固定的时刻t＋1，t＋2，t＋3，……，t＋N－1，t＋N，的各个时刻采样，N是1以上的正整数提供得到的数值x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)，x(t＋N)，将从对应于提供数值的时刻t起提供的N个的数值形成数列，将对于该数列以最低频率f1和最高频率f2确定的频率间隔作为测量频率间隔的同时，用上述N去除该测量频率间隔后的频率间隔作为分析频率间隔，对每个分析频率间隔进行复数傅立叶变换，将得到的频率分析结果作为频率间隔的k倍的频率成分，k为0或比N小的正整数，其实部X_r(k，t)，及虚部X_i(k，t)的各个作为复数傅立叶系数，该离散傅立叶变换方法由以下步骤构成：

第一步骤，在时刻t＋N－1中，将从时刻t起提供的数列x(t)，x(t＋1)，x(t＋2)，x(t＋3)，……，x(t＋N－1)暂时保存在第一存储单元，和

第二步骤，得到在第一步骤进行暂时保存的数列的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，

第三步骤，将第二步骤得到的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)暂时保存在第二存储单元，和

第四步骤，使用第二存储单元中暂时保存的复数傅立叶系数X_r(k，t)－jX_i(k，t)，以下列所示的传递函数为基础，用下式 $H\left(z\right)=A(1-z^{-N})\left\{\frac{\cos \[2\mathrm{\πp}\]-j\sin \[2\mathrm{\πp}\]-z^{-1}}{1-2\cos \[2\mathrm{\πp}\]z^{-1}+z^{-2}}\right\}$

其中，A是用于赋予[x(t＋N)－x(t)]的振幅值的正常数， $p=\frac{1}{\mathrm{fs}}\{\frac{(f2-f1)k}{N-1}+f1\}$ 0≤k≤N－1得到从时刻t＋1起提供的数列在由上述最低频率f1和最高频率f2确定的上述频率间隔的傅立叶系数X_r(k，t＋1)－jX_i(k，t＋1)。

14.如权利要求12或13所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于，用于赋予上述x(t＋N)和上述x(t)之差值的振幅值的正常数值A，可以选择设定为1，N的平方根的倒数或1/N等的值。

15.如权利要求12或13所述的递归型离散傅立叶变换方法，其特征在于设定表示上述复数傅立叶系数的次数k为希望的值，在上述间隔的每一定时刻反复地进行对应于设定的k值的傅立叶变换。

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