CN1302934C - 一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法。根据办公机械送纸机构的工况，提出了在办公纸张厚度方向直接利用小波单元进行离散建模，利用Daubechies小波尺度函数插值，构造任意尺度的8节点小波单元，利用小波两尺度方程，实现低阶小波单元到高阶小波单元的提升，在提升计算过程中，低阶单元的刚度矩阵被有效继承使用，这种多分辨变尺度的小波单元适宜求解大变形奇异性问题。推导了办公纸张几何非线性的大位移格林应变，分析了其几何大变形挠度，确定办公机械导向板位置，有力地克服了办公机械送纸机构夹纸、叠纸等不足。

Description

一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法

技术领域

本发明属于打印机、复印机等办公机械中办公纸张导向板位置确定方法，具体涉一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法。

背景技术

打印机、复印机、点钞机等是一类重要的办公机械，这些设备一方面在提高办公效率的同时，另一方面又因卡纸、褶皱等故障困扰用户与生产厂家。分析办公纸张几何大变形挠度，合理确定办公机械纸张进给机构导向板位置，保证办公纸张运动平稳可靠便成为当务之急。

办公机械的纸张进给机构组成复杂，办公纸张通过进给辊轮副，只有根据办公纸张的几何大变形挠度，合理地确定(1)导向板的位置；(2)辊轮作用于办公纸张外力的大小方向；(3)允许不同办公纸张通过辊轮之间的时间；(4)办公纸张的进给速度的范围，才能提高送纸速度和平稳性，减少故障发生。

国外很多公司、学者都开展了这方面的研究，国内这方面的研究工作才起步不久，现有技术发现传统有限元弯曲板壳元计算模型精度不理想，且分析过程中忽略了办公纸张的厚度信息，这阻止了我们分析很多实际办公纸张运动现象，如卡纸、褶皱，只有建立办公纸张变形的准确分析模型，分析办公纸张几何非线性大变形挠度，才能合理确定办公机械导向板位置，提高办公机械纸张进给机构的性能，避免卡纸、褶皱故障。

小波有限元是近年来新提出的一种有限元方法。小波分析的一个重要特性就是能够以变尺度多分辨的方式刻画函数，因此在小波空间的求解能够逐层逼近精确解，小波有限元是一类新的有限元逼近方法，将信号处理领域中小波函数的多分辨思想引入有限元方法中，以小波函数作为插值函数，构造出嵌套递进的多尺度广义有限元逼近空间，由此获得的自适应小波有限元提升算法，其数值稳定性好，适宜求解大变形问题，由此建立办公纸张小波有限元模型，提供一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法，根据办公纸张变形特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元及其自适应提升格式，在办公纸张厚度方面剖分网格，推导了其对应的大位移格林应变，分析了办公纸张的几何非线性大变形挠度，利用该模型确定办公机械导向板位置，避免了办公机械纸张进给机构卡纸、褶皱故障。

为了实现上述目的，本发明采取的技术方案是：

1)首先，根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元；

2)其次，利用小波两尺度方程，增加插值形函数的尺度，实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升；

3)在办公纸张厚度方向直接利用小波有限元单元离散剖分，分析办公纸张静态几何大变形挠度；

4)根据纸张另外一端变形挠度确定导向板位置，即导向板的起始端位于纸张静态变形终端处，导向板的方向取为与纸张变形曲面终端处的切平面一致。

所说的根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元，包括以下步骤：

利用办公纸张在水平x方向与竖直z方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元，其自由度为：

            a＝[u₁ w₁ u₂ w₂ … u₈ w₈]^T

其中u与w表示单元在x与z方向的自由度，当采用N阶Daubechies小波在V_j空间的尺度函数φ插值，则有：

$u=2^j\underset{k,l=2-2N}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,k}\mathrm{\φ}(2^j\mathrm{\ξ}-k)\underset{l=2-2N}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,l}\mathrm{\φ}(2^j\mathrm{\η}-l)={\mathrm{\Φ}}_k\⊗{\mathrm{\Φ}}_{l}C=\mathrm{\ΦC}$

式中：表示两矩阵的张量运算，φ表示小波尺度函数，j是尺度参数，k、l是平移参数，j、k、l均为整数，ξ、η表示小波有限元单元的局部坐标，c_j，k、c_j，l表示对应尺度函数的插值系数。

所说的利用小波两尺度方程，增加插值形函数的尺度，实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升，包括以下步骤：

利用小波两尺度关系，

$\mathrm{\φ}\left(x\right)=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{p}_k\mathrm{\φ}(2x-k)$

式中P_k表示小波低通滤波器系数，变换Daubechies小波的阶次N，以及增加尺度函数φ_j，k的尺度参数j，则获得任意阶次的小波单元DN_j，由此实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升。

所说的在办公纸张厚度方向直接利用小波有限元单元离散剖分，分析办公纸张静态几何大变形挠度，包括以下步骤：

在办公纸张厚度方向剖分单元，推导出几何非线性大变形中的格林应变，其线性应变ε_L与非线性应变ε_N两部分推导结果如下：

${\mathrm{\ϵ}}_L=\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂u}{\∂x}\\ \frac{\∂w}{\∂z}\\ \frac{\∂u}{\∂z}\end{array}\right\}$ ${\mathrm{\ϵ}}_N=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}[{\left(\frac{\∂u}{\∂x}\right)}^2+{\left(\frac{\∂w}{\∂x}\right)}^2]\\ \frac{1}{2}[{\left(\frac{\∂u}{\∂z}\right)}^2+{\left(\frac{\∂w}{\∂z}\right)}^2]\\ \frac{1}{2}[\left(\frac{\∂u}{\∂x}\right)\left(\frac{\∂u}{\∂z}\right)+\left(\frac{\∂w}{\∂x}\right)\left(\frac{\∂w}{\∂z}\right)]\end{array}\right\}$

利用8节点小波有限元单元，建立办公纸张特征方程：

                         Ka＝P

其中K为刚度矩阵，表示为K＝∫(a^-1ε)^TD(a^-1ε)dΩ，ε为线性应变ε_L与非线性应变ε_N组成的应变矩阵，D为弹性矩阵，P为办公纸张等效重量，得出单元自由度a，获得办公纸张在水平x方向的变形挠度u，与竖直z方向的变形挠度w。

最后，根据纸张另外一端变形挠度确定导向板位置，即导向板的起始端位于纸张静态变形终端处，导向板的方向取为与纸张变形曲面终端处的切平面一致。

由于本发明采用了小波有限元方法确定办公机械纸张进给机构导向板位置，该方法具有以下显著优势：

1)小波有限元单元在提升为高阶单元时，借助小波函数的两尺度关系，低阶单元矩阵将被保留使用，大大减少计算量，求解效率具有明显优势；

2)该方法计算精度高，计算成本低；

3)办公纸张小波有限元模型适宜分析办公纸张几何大变形挠度，该模型准确地刻画了办公机械工况下的纸张特性，确定办公机械导向板位置准确可靠，避免了办公机械纸张进给机构卡纸、褶皱故障。

附图说明

图1为小波有限元单元；

图2为四边简支薄板；

图3为图2分析结果比较；

图4为经典L有限元考题；

图5为图4分析结果比较；

图6为办公纸张小波有限元模型简图；

图7为图6分析结果。

具体实施方式

附图是本发明的具体实施例；

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明：

本发明按以下步骤进行：

1)首先，根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元；

2)其次，利用小波两尺度方程，增加插值形函数的尺度，实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升；

3)在办公纸张厚度方向直接利用小波有限元单元离散剖分，分析办公纸张静态几何大变形挠度；

4)根据纸张另外一端变形挠度确定导向板位置，即导向板的起始端位于纸张静态变形终端处，导向板的方向取为与纸张变形曲面终端处的切平面一致。

首先，根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，给出变尺度多分辨的8节点小波单元的构造方法，设8节点小波单元自由度为：

                a＝[u₁ w₁ u₂ w₂ … u₈ w₈]^T                       (1)

其中u与w表示单元在x与z方向的自由度，当采用N阶Daubechies小波在V_j空间的尺度函数φ插值，则有：

$u=2^j\underset{k,l=2-2N}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,k}\mathrm{\φ}(2^j\mathrm{\ξ}-k)\underset{l=2-2N}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,l}\mathrm{\φ}(2^j\mathrm{\η}-l)={\mathrm{\Φ}}_k\⊗{\mathrm{\Φ}}_{l}C=\mathrm{\ΦC}---\left(2\right)$

式中：表示两矩阵的张量运算，φ表示小波尺度函数，j是尺度参数，k、l是平移参数，j、k、l均为整数，ξ、η表示小波有限元单元的局部坐标，c_j，k、c_j，l表示对应尺度函数的插值系数。由此获得单元自由度a与尺度函数空间展开系数C的关系式：

a＝RC                                                            (3)

其中：

             R_i＝φ(2^jξ_i-k)φ(2^jη_i-k)                          (4)

式中i表示单元节点号，(ξ_i，η_i)为图1中对应局部坐标。设R的逆矩阵为T，并称之为转换矩阵，则单元形状函数为：

             N^e＝ΦT                                             (5)

然后，利用小波两尺度关系，

$\mathrm{\φ}\left(x\right)=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{p}_k\mathrm{\φ}(2x-k)---\left(6\right)$

式中p_k表示小波低通滤波器系数，变换Daubechies小波的阶次N，以及改变尺度函数φ_j，k的尺度参数j，则能够获得任意阶次的小波单元DN_j，由此获得小波单元提升算法，即低阶单元，如DN₀，是采用低阶空间V₀中的尺度函数φ_0，k插值，根据两尺度关系，提升单元形状函数，实现由低阶单元到高阶单元的计算，如DN₂，即采用高阶空间V₂中的尺度函数φ_2，k插值。

最后，在办公纸张厚度方向剖分单元，这时其关键工作是需要推导出几何非线性大变形中的格林应变，实现办公纸张办公纸张几何大变形挠度分析，线性应变ε_L与非线性应变ε_N两部分推导结果如下：

${\mathrm{\ϵ}}_L=\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂u}{\∂x}\\ \frac{\∂w}{\∂z}\\ \frac{\∂u}{\∂z}\end{array}\right\}$ ${\mathrm{\ϵ}}_N=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}[{\left(\frac{\∂u}{\∂x}\right)}^2+{\left(\frac{\∂w}{\∂x}\right)}^2]\\ \frac{1}{2}[{\left(\frac{\∂u}{\∂z}\right)}^2+{\left(\frac{\∂w}{\∂z}\right)}^2]\\ \frac{1}{2}[\left(\frac{\∂u}{\∂x}\right)\left(\frac{\∂u}{\∂z}\right)+\left(\frac{\∂w}{\∂x}\right)\left(\frac{\∂w}{\∂z}\right)]\end{array}\right\}---\left(7\right)$

利用8节点小波有限元单元，建立办公纸张特征方程：

Ka＝P                                                            (8)

其中K为刚度矩阵，表示为K＝∫(a^-1ε)^TD(a^-1ε)dΩ，ε为线性应变ε_L与非线性应变ε_N组成的应变矩阵，D为弹性矩阵，P为办公纸张等效重量，求解单元自由度a，获得办公纸张在水平x方向的变形挠度u，与竖直z方向的变形挠度w，据此确定办公机械导向板位置，即导向板的起始端位于纸张静态变形终端处，导向板的方向取为与纸张变形曲面终端处的切平面一致。

参照图1所示，是Daubechies小波有限元单元的模型，由小波尺度函数插值而成，节点1-8表示单元节点号，(ξ_i，η_i)为对应局部坐标，依据式(1)-(6)构造该小波有限元单元；

参照图2所示，为正方形四边简支薄板，边长为a，x、z为平面坐标系，单元中的数值(2、3、4、5)为该小波有限元单元的计算尺度，即式(2)中的j；O、A、B、C、D为参考分析点；

参照图3所示，为图2正方形四边简支薄板的分析结果比较图，x表示OD长度，量纲为a；w表示参考分析点的挠度，量纲为qa⁴/100D₀；

参照图4所示，为经典平面应力L有限元考题，是用于考验有限元单元计算直角应力奇异的问题，边长为L，x、z为平面坐标系，A、B为计算应力值的参考分析点；

参照图5所示，为图4分析结果比较，其中Q4是传统有限元线性插值的四节点矩形元，Q8是传统有限元二次插值矩形元，D6₀、D6₂为小波有限元单元，参考值为Zienkiewicz的解析计算结果；

参照图6、图7所示，为办公纸张小波有限元模型简图，在办公纸张厚度方向利用8节点小波有限元单元剖分建模，利用式(7)计算办公纸张在重力作用下的静态变形，图7为分析结果图，表明小波有限元单元在办公纸张大变形计算方面比传统板壳单元更接近实验结果。

本发明通过以下步骤说明小波有限元单元提升过程。如图2，正方形四边简支薄板，边长为a，取1/4分析，均匀载荷q＝1。首先利用式(1)～(5)，构造尺度j＝1的3阶Daubechies小波有限元单元D3₁，取计算误差小于10^-3则满足计算要求。如果单元D3₁计算结果不满足要求，则应用式(6)两尺度关系提升单元形状函数，进而采用小波单元D3₂，D3₃，D3₄，D3₅进行计算，直到满足误差要求。求解出A、B、C、D四点的挠度与精确值比较如表1所示，D₀为板的弯曲刚度，j表示小波有限元单元的分析尺度，当分析结果与精确值相差0.001以内则满足要求，停止提升小波有限元单元。图3是OD边上的位移小波有限元计算结果与精确值比较，看出利用小波有限元单元自适应提升算法的计算精度高。

                   表1挠度计算值(单位：qa⁴/100D₀)

j	A	B	C	D
					1	0.130682	0.294702	0.379556	0.408582
2	0.159077	0.294138	0.378000	0.406559
					3	0.160700	0.293987	0.377898
4	0.161999
					5	0.162215
精确解	0.162324	0.293818	0.377615	0.406235

本发明的小波有限元单元自适应提升算法能够很好求解大变形、应力集中奇异性问题。如图4，平面应力状态的L形问题，是Zienkiewicz(英国力学家)提出用于考验有限元单元计算直角应力奇异的问题。杨氏模量E＝1500/16，泊松比u＝0.25。采用20×20的网格，参照式(1)～(6)，不同分辨率的小波有限元单元计算结果比较如图5。沿AB线的应力参考值取自文献(Zienkiewicz O C.，Zhu J Z.Accuracy and adaptivity in FE analysis：the changing face of practicalcomputations.Cheung Y K.Computational Mechanics.Rotterdam：Balkema，1991.3～12.)，其中Q4是传统有限元Lagrange线性插值的四节点矩形元，Q8是传统有限元二次插值矩形元。从图中不难看出，小波单元D6₂获得了好的分析效果。利用经典有限元考题验证了小波有限元自适应提升算法能够很好求解大变形、应力集中奇异性问题，为办公纸张小波有限元建模提供了理论基础。

下面结合实施例对上述步骤进行详细说明：

本实施例主要说明一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法。取办公纸张厚度为0.089mm(图6中进行了放大显示)，长度为200mm，密度为797Kg/m³。利用本发明提供的方法，首先选用Daubechies小波插值，利用式(1)～(5)，根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元；其次，利用小波两尺度方程式(6)，增加插值形函数的尺度，即变化小波分析尺度，实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升计算；再次，直接在办公纸张的厚度方向划分小波有限元单元，如图6所示，办公纸张一端由办公机械进给辊轮固支，一端自由，利用式(7)获得其几何大变形非线性广义格林应变矩阵，利用式(8)求解办公纸张几何大变形挠度，图7给出了小波有限元单元、传统板壳元的分析结果与实验值的比较，看出小波有限元模型分析结果与实验接近，小波有限元模型分析获得办公纸张端部几何大变形水平x方向挠度u为102mm，竖直z方向挠度w为160mm；最后，根据纸张另外一端变形挠度确定导向板位置，即进给辊轮位于办公纸张端部时(坐标0，0处)，导向板的起始端位于纸张静态变形终端处(坐标-102，160处)，导向板的方向取为与纸张变形曲面(该变形曲面垂直于图7中的x-z平面，投影为一条曲线)终端处的切平面一致，才能有力地避免了办公机械纸张进给机构卡纸、褶皱故障。

对于纸张通过进给辊轮后不同时刻，即纸张固支端与自由端长度不同时，可以利用本发明计算出纸张相应的几何大变形挠度，从而设计出所需要的导向板位置，满足不同办公机械纸张进给机构设计要求。

Claims (4)

1、一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法，首先将进给辊轮置于办公纸张端部，其特征在于，根据以下步骤确定导向板位置：

1)首先，根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元；

2)其次，利用小波两尺度方程，增加插值形函数的尺度，实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升；

3)在办公纸张厚度方向直接利用小波有限元单元离散剖分，分析办公纸张静态几何大变形挠度；

4)根据纸张另外一端变形挠度确定导向板位置，即导向板的起始端位于纸张静态变形终端处，导向板的方向取为与纸张变形曲面终端处的切平面一致。

2、根据权利要求1所述的一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法，其特征在于，所说的根据办公纸张在水平方向与竖直方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元，包括以下步骤：

利用办公纸张在水平x方向与竖直z方向发生变形的特征，构造变尺度多分辨的8节点小波有限元单元，其自由度为：

                    a＝[u₁ w₁ u₂ w₂ … u₈ w₈]^T

其中u与w表示单元在x与z方向的自由度，当采用N阶Daubechies小波在V_j空间的尺度函数φ插值，则有：

$u=2^j\underset{k,l=2-2N}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,k}\mathrm{\φ}(2^j\mathrm{\ξ}-k)\underset{l=2-2N}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,l}(2^j\mathrm{\η}-l)={\mathrm{\Φ}}_k{\⊗\mathrm{\Φ}}_{l}C=\mathrm{\ΦC}$

式中：表示两矩阵的张量运算，φ表示小波尺度函数，j是尺度参数，k、l是平移参数，j、k、l均为整数，ξ、η表示小波有限元单元的局部坐标，c_j，k、c_j，l表示对应尺度函数的插值系数。

3、根据权利要求1所述的一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法，其特征在于，所说的利用小波两尺度方程，增加插值形函数的尺度，实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升，包括以下步骤：

利用小波两尺度关系，

$\mathrm{\φ}\left(x\right)=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{p}_k\mathrm{\φ}(2x-k)$

式中P_k表示小波低通滤波器系数，变换Daubechies小波的阶次N，以及增加尺度函数φ的尺度参数j，则获得任意阶次的小波单元DN_j，由此实现低阶小波有限元单元到高阶小波有限元单元的自适应提升。

4、根据权利要求1所述的一种办公机械纸张进给机构导向板位置确定方法，其特征在于，所说的在办公纸张厚度方向直接利用小波有限元单元离散剖分，分析办公纸张静态几何大变形挠度，包括以下步骤：

在办公纸张厚度方向剖分单元，推导出几何非线性大变形中的格林应变，其线性应变ε_L与非线性应变ε_N两部分推导结果如下：

${\mathrm{\ϵ}}_L=\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂u}{\∂x}\\ \frac{\∂w}{\∂z}\\ \frac{\∂u}{\∂z}\end{array}\right\},{\mathrm{\ϵ}}_N=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}[{\left(\frac{\∂u}{\∂x}\right)}^2+{\left(\frac{\∂w}{\∂x}\right)}^2]\\ \frac{1}{2}[{\left(\frac{\∂u}{\∂z}\right)}^2+{\left(\frac{\∂w}{\∂z}\right)}^2]\\ \frac{1}{2}[\left(\frac{\∂u}{\∂x}\right)\left(\frac{\∂u}{\∂z}\right)+\left(\frac{\∂w}{\∂x}\right)\left(\frac{\∂w}{\∂z}\right)\end{array}\right\}$

利用8节点小波有限元单元，建立办公纸张特征方程：

                        Ka＝P

其中K为刚度矩阵，表示为K＝∫(a^-1ε)^TD(a^-1ε)dΩ，ε为线性应变ε_L与非线性应变ε_N组成的应变矩阵，D为弹性矩阵，P为办公纸张等效重量，得出单元自由度a，获得办公纸张在水平x方向的变形挠度u，与竖直z方向的变形挠度w，根据纸张变形挠度确定导向板位置，即导向板的起始端位于纸张静态变形终端处，导向板的方向取为与纸张变形曲面终端处的切平面一致。

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