CN117687093A - 一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法 - Google Patents
一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明涉及油气勘探开发领域，具体公开了一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，该方法包括：S1，构建脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角表达的倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程；S2，利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积构建地震数据n阶分量的正演算子，利用离散傅里叶变换估计地震数据的n阶分量；S3，基于倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和2阶、4阶地震分量估计裂缝密度和裂缝倾角；S4，基于倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和零阶地震分量估计脆性因子。本发明方法能够适用于含倾斜裂缝体的储层描述，且定向裂缝体的倾角可为任意值；避免了裂缝参数与岩石背景参数的同步反演，可有效提高裂缝参数预测稳定性。
Description
技术领域
本发明涉及油气勘探开发领域，尤其涉及倾斜裂缝储层脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角直接预测方法。
背景技术
随着油气勘探开发不断向深层、深水、非常规等领域推进，裂缝性油气藏逐渐成为油气增储上产的重要领域。脆性评价有助于识别优质储层的空间分布并优化储层的开发方案。通过将脆性评价与裂缝预测相结合，可以圈定优质储层范围，实现有针对性的井位布置和提高油气采收率。但目前裂缝性储层脆性评价对倾斜裂缝的考虑不足，降低了储层解释精度。因此，研究倾斜裂缝储层地震反演及脆性评价方法对实现裂缝性储层的高效开发具有重要意义。
在长波长假设下，各向同性背景中发育一组或多组定向裂缝的岩石可以等效为各向异性介质，例如发育一组水平裂缝的岩石可等效为垂直横向各向同性（VTI）介质，发育一组垂直裂缝的岩石可等效为水平横向各向同性（HTI）介质，发育一组倾斜裂缝的岩石可等效为倾斜横向各向同性（TTI）介质。对于存在水平裂缝和垂直裂缝的地层，许多学者基于一阶扰动理论或Born逆散射理论，分别推导了裂缝参数表达的VTI、HTI等介质的线性近似反射/透射方程，并通过AVAZ（amplitude versus angle and azimuth，振幅随入射角和方位角变化）反演方法来预测裂缝参数。但这些方法忽略了裂缝倾角对地震波场的影响，降低了其在倾斜裂缝储层中的适用性。对于发育倾斜定向裂缝的地层，国外发表的期刊文章推导了TTI介质的反射系数方程，并开展了宽方位反演方法及应用研究。但他们在高裂缝倾角或低裂缝倾角的假设下开展倾斜裂缝参数预测，不适用于具有任意倾斜裂缝的储层，且他们采用裂缝弱度参数间接描述裂缝空间分布状态，容易引入累计误差。除此之外，由于裂缝参数对反射系数的贡献度比岩石基质参数小，基于线性近似反射系数方程的多参数同步反演方法容易导致裂缝参数反演稳定性低、抗噪性差等问题。
脆性因子是非常规油气田的重要参数，它可以反映岩石被压裂能力，主要受岩石力学性质和矿物成分影响。目前，脆性因子预测方法主要包括四类：硬度-强度法，应力-应变曲线参数法，基于岩石矿物学的方法和基于弹性参数的方法。其中，前两种预测方法通过实验室测试得到的无侧限抗压强度、抗拉强度、硬度、应力-应变关系等来描述岩石脆性。基于岩石矿物学的方法通过岩样测量和测井解释数据获得脆性矿物的含量来描述岩石脆性。但这三类方法一般仅可获得一个测量点或一维测线的脆性因子估计值，无法实现三维空间的脆性评估。基于弹性参数的方法是利用储层弹性参数及其组合实现脆性定量评价，地震反演技术是获取地层弹性参数三维估计的有效手段，所以基于地震反演技术的脆性预测为三维储层脆性估计提供了可能。杨氏模量和泊松比是量化岩石脆性的关键参数。经典的脆性因子地震预测方法通过反演纵横波速度和密度来间接计算杨氏模量和泊松比，从而获得脆性因子的估计值。但计算累积误差和较低的密度反演稳定性导致这种方法的脆性预测精度较低。目前，已发表的外文期刊文献和中国发明专利分别推导了杨氏模量和泊松比表达的各向同性、HTI介质、OA介质反射系数方程，并提出了相应的AVA（amplitude versusangle，振幅随入射角变化）和AVAZ反演方法，但这些方法依旧无法直接获得脆性因子，存在累计误差。比如，申请号为202111406230.4的发明专利申请公开了“基于贝叶斯反演的页岩储层裂缝及脆性预测方法”，该方法主要针对岩石中发育一组垂直裂缝的情况（即HTI介质）；该方法推导了脆性因子、杨氏模量、质量密度和裂缝密度表达的地震反射系数方程，并提出了AVAZ同步反演方法以同时预测脆性因子和裂缝密度；该方法仅考虑垂直裂缝情况，忽略了裂缝倾角的影响，且采用同时反演方法开展脆性因子和裂缝密度的预测，未考虑裂缝密度反演稳定性低于岩石基质的反演稳定性而导致的裂缝参数同步反演稳定性差的问题。再如，申请号为202110870068.5的发明专利申请公开了“一种预测正交各向异性储层裂缝的方法”；该方法主要针对水平层状介质中发育一组垂直裂缝的情况（即正交各向异性介质，简称OA介质），聚焦这种介质中裂缝密度和裂缝倾向的预测；该方法仅考虑垂直裂缝情况，忽略了裂缝倾角的影响，也未开展脆性预测研究。
发明内容
为了解决上述技术问题，本发明提出一种更便于在实际工程中应用、理论精度更高的针对含倾斜裂缝体的富有机质储层的脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角的地震预测方法，该方法构建了脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角直接表征的地震反射系数方程，并将其写为傅里叶级数的形式，从而利用不同阶地震分量直接预测脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角。本发明并通过案例分析验证了该方法的可行性。
为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是： 一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，包括以下步骤：S1，构建脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角表达的倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程；S2，利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积构建地震数据n阶分量的正演算子，利用离散傅里叶变换估计地震数据的n阶分量；S3，基于倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和2阶、4阶地震分量估计裂缝密度和裂缝倾角；S4，基于倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和零阶地震分量估计脆性因子。
进一步的，步骤S1中，设倾斜横向各向同性介质的线性化纵波反射系数方程为：
（1a），
设倾斜裂缝的倾向方位为0度，且
（1b），
（1c），
（1d），
（1a）、（1b）、（1c）、（1d）式中，为各向同性背景反射系数，和分别为各向
同性背景的压缩模量和剪切模量，和分别为裂缝法向弱度和裂缝切向弱度参数，为
质量密度，代表反射界面上层和下层介质弹性模量的平均值，Δ为反射界面下层和上层介
质弹性模量的差，为地震波入射角，为观测方位角，为裂缝倾角，且
，
其中，为横波速度与纵波速度比的平方，为常数，在界面两侧介质属性弱差异的
近似下，，，压缩模量和剪切模量的反射系数表达为：
（2），
（2）式中，为各向同性背景的杨氏模量，为各向同性背景的泊松比；
对于富含有机质的裂缝性储层，脆性因子定义为，其中，BI代表脆性因
子，λ代表拉梅第一参数且；
根据脆性因子BI的定义得到：
（3）；
将（2）式和（3）式代入（1b）式，得到脆性因子表示的各向同性背景反射系数方程为：
（4a），
其中，
（4b），
当裂缝性储层孔裂隙空间中充填气体或气水混合物时，裂缝弱度参数与裂缝密度线性相关，
（5）
（5）式中：为裂缝密度；
将（4a）和（5）式代入（1a）式，得到所述裂缝储层线性化纵波反射系数方程，将所述裂缝储层线性化纵波反射系数方程写为傅里叶级数的形式为：
（6a），
（6a）式中，为n（n=0, 2, 4）阶傅里叶系数，表达为：
（6b），
（6c），
（6d），
（6b）、（6c）、（6d）式中：
。
进一步的，步骤S2中，设方位地震数据具有M个采样点、Q个观测方位角、K个入射角，利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积构建地震数据n阶分量的正演算子为：
（7），
（7）式中，Sn代表由每个地震道的n阶地震分量组成的列向量， ，其中，上
标T代表向量转置，tM代表第M个采样点；rn为由每个地震道的n阶傅里叶系数组成的列向量， ；W代表地
震子波矩阵， ，其中，代表入射角为的平均地震子波矩阵；
在地震数据经过方位子波一致性校正、各向同性对称面倾向方位校正为0度处理后，利用离散傅里叶变换估计地震数据的n阶分量：
（8），
（9），
（10），
其中，代表处理后的地震数据。
进一步的，步骤S3中，通过地震数据的2阶和4阶地震分量来分别估计2阶和4阶傅里叶系数，目标函数为：
（11），
其中，代表利用（7）式合成的地震数据n阶分量；是地震数据的n
阶分量，利用式（8）、式（9）、式（10）进行估计；Lp和Lu分别代表求取p阶和u阶范数；
代表n阶傅里叶系数的低频模型，利用测井数据的内插外推而获得；λ1和λ2是加权系数，用
于调控低频模型和实际地震数据对反演结果的贡献度；
通过对式（11）求最小值获得n阶傅里叶系数的最优估计，利用（6d）式得到：
（12），
利用（6c）式得到：
（13），
利用道积分得到：
（14），
（15），
得到估计裂缝密度和裂缝倾角的公式为：
。
进一步的，步骤S4中，地震数据零阶分量的正演算子为：
（16），
其中，系数矩阵和分别为：
（17），
（18），
（17）、（18）式中：
, ，
且算子代表构建对角矩阵；
模型参数向量和分别为：
（19），
（20），
（19）、（20）式中：
，
，
将步骤S3中反演得到的裂缝密度和裂缝倾角代入（16）式，得到各向同性地震分量的正演算子：
（21），
（21）式中，代表地震数据的各向同性分量；
在贝叶斯反演框架下，待反演参数后验概率密度函数与先验概率密度
函数、似然函数成正相关，表达为：
（22），
选择高斯分布作为似然函数：
（23），
（23）式中，为噪声方差，通过测井数据和井旁地震道进行估计，代表指
数函数；
选择柯西分布作为先验概率密度函数：
（24），
（24）式中，为待反演参数的方差，利用测井数据估计得到；
基于（22）、（23）、（24）式，并耦合脆性因子、杨氏模量和质量密度的低频模型，构建目标函数：
（25），
（25）式中：、和分别为脆性因子、杨氏模量和质量密度低频模型的对数与
每道第一个采样点对数的差值，为积分矩阵，采用迭代重加权最小二乘算法来求解方程
（25）的最小值，得到、和的估计值；
通过道积分来获得脆性因子、杨氏模量和质量密度的估计值：
（26）。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
本发明提出的裂缝和脆性预测方法能够适用于含倾斜裂缝体的储层描述，且定向裂缝体的倾角可为任意值；
本发明利用离散傅里叶变换提出了分级反演方法，避免了裂缝参数与岩石背景参数（背景杨氏模量、质量密度和脆性因子）的同步反演，可有效提高裂缝参数预测稳定性；
本发明提出了地震数据二阶和四阶分量驱动的裂缝密度和裂缝倾角估计方法，不需要裂缝参数的测井解释成果；
本发明提出了倾斜裂缝储层脆性因子和裂缝参数直接预测方法，有效避免间接计算带来的累计误差。
附图说明
图1为本发明一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法具体实施方式流程图。
图2为裂缝密度和裂缝倾角预测结果与真实模型的对比图。
图3为脆性因子、杨氏模量和质量密度预测结果、真实模型和低频约束对比图。
图4 为某富含有机质储层的裂缝密度反演预测结果示意图。
图5a为井周裂缝倾角测井解释结果统计直方图。
图5b为井周裂缝倾角预测结果统计直方图。
图6为某富含有机质储层的脆性因子反演预测结果示意图。
实施方式
下面结合附图，对本发明的技术方案做进一步说明。应该指出，以下详细说明都是示例性的，旨在对本发明提供进一步的说明。除非另有指明,本文使用的所有技术和科学术语具有与本发明所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。
如图1本发明方法一种实施方式的流程图所示，本发明一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法包括以下步骤：
S1，构建脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角表达的倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程；
S2，利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积构建地震数据n阶分量的正演算子，利用离散傅里叶变换估计地震数据的n阶分量；
S3，基于倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和2阶、4阶地震分量估计裂缝密度和裂缝倾角；
S4，基于倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和零阶地震分量估计脆性因子。
步骤S1中，首先公开发表的文献已给出倾斜横向各向同性介质的线性化纵波反射系数方程：
（1a）
该方程假设倾斜裂缝的倾向方位为0度，且
（1b）
（1c）
（1d）
式中：为各向同性背景反射系数，和分别为各向同性背景的压缩模量和
剪切模量，和分别为裂缝法向弱度和裂缝切向弱度参数，为质量密度，代表反射界
面上层和下层介质弹性模量的平均值，Δ为反射界面下层和上层介质弹性模量的差，为
地震波入射角，为观测方位角，为裂缝倾角；且
式中：为横波速度与纵波速度比的平方，可视为常数，利用测井数据进行估计。在
界面两侧介质属性弱差异的近似下（即，），压缩模量和剪切模量的反
射系数可表达为：
（2）
式中：为各向同性背景的杨氏模量，为各向同性背景的泊松比。对于富含有机
质的裂缝性储层，脆性因子可定义为，其中，BI代表脆性因子，λ代表拉梅第一参数
且。
根据脆性因子BI的定义可以得到：
（3）
将（2）式和（3）式代入（1b）式，可以得到脆性因子表示的各向同性背景反射系数方程为：
（4a）
其中，
（4b）
当裂缝性储层孔裂隙空间中充填气体或气水混合物时，裂缝弱度参数与裂缝密度线性相关，即
（5）
式中：为裂缝密度。将（4a）和（5）式代入（1a）式，可以得到脆性因子、裂缝密度和
裂缝倾角直接表达的倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程。由于该方程是观测方位φ的
周期函数，所以可以将其写为傅里叶级数的形式，即
（6a）
其中，为n（n=0, 2, 4）阶傅里叶系数，可表达为：
（6b）
（6c）
（6d）
式中：
。
步骤S2中，对于具有M个采样点、Q个观测方位角、K个入射角的方位地震数据，地震数据n阶分量的正演算子可利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积而构建：
（7）
式中，Sn代表由每个地震道的n阶地震分量组成的列向量，即，其中，上
标T代表向量转置，tM代表第M个采样点；rn为由每个地震道的n阶傅里叶系数组成的列向量，
即；W代
表地震子波矩阵，即，其中，代表入射角为的平均地震子波矩
阵。
在地震数据经过方位子波一致性校正、各向同性对称面倾向方位校正为0度等处理后，可以利用离散傅里叶变换直接估计地震数据的n阶分量，即：
（8）
（9）
（10）
其中，代表处理后的地震数据，这是本发明方法的输入数据。
步骤S3中，采用约束稀疏脉冲反演方法，通过地震数据的2阶和4阶成分来分别估计2阶和4阶傅里叶系数，目标函数可写为：
（11）
其中，代表利用（7）式合成的地震数据n阶分量；是地震数据的n
阶分量，利用式（8）-式（10）进行估计；Lp和Lu分别代表求取p阶和u阶范数；代表n
阶傅里叶系数的低频模型，可利用测井数据的内插外推而获得；λ1和λ2是加权系数，用于调
控低频模型和实际地震数据对反演结果的贡献度，该系数越高则贡献度越大，一般根据先
验认识直接赋值。通过对目标函数（11）求最小值便可获得n阶傅里叶系数的最优估计。然后
利用（6d）式可得：
（12）
利用（6c）式可得：
（13）
接着利用道积分可得：
（14）
（15）
最后，裂缝密度和裂缝倾角可由下式估计而得：
。
步骤S4中，地震数据零阶分量的正演算子可写为如下形式：
（16）
其中，系数矩阵和分别为：
（17）
（18）
式中：
,
且算子意味着构建对角矩阵。模型参数向量和分别为：
（19）
（20）
其中：
然后，将步骤S3中反演得到的裂缝密度和裂缝倾角代入（16）式，可以得到各向同性地震分量的正演算子：
（21）
其中，代表地震数据的各向同性分量。
在贝叶斯反演框架下，待反演参数后验概率密度函数与先验概率密度
函数、似然函数成正相关，可表达为：
（22）
选择高斯分布作为似然函数，即：
（23）
式中：为噪声方差，可通过测井数据和井旁地震道进行估计；代表指数
函数。选择柯西分布作为先验概率密度函数，即：
（24）
式中：为待反演参数的方差，可以利用测井数据估计得到。为了求解方程（22）
的最大后验概率估计，基于（22）~（24）式，并耦合脆性因子、杨氏模量和质量密度的低频模
型，可构建目标函数：
（25）
式中：、和分别为脆性因子、杨氏模量和质量密度低频模型的对数与每道
第一个采样点对数的差值；为积分矩阵，其形式为被1填充的下三角矩阵。采用迭代重加
权最小二乘算法来求解方程（25）的最小值，可以得到、和的估计值。最后，通过
道积分来获得脆性因子、杨氏模量和质量密度的估计值，即
（26）。
本发明方法可行性测试：
设置一个发育倾斜裂缝体的含气储层模型，以测试本发明提出的方法的可行性和合理性。图2是裂缝密度和裂缝倾角预测结果与真实模型的对比图。图3是脆性因子、杨氏模量和质量密度预测结果、真实模型和低频约束对比图。从图中可以看出本发明提出的预测方法对裂缝密度、裂缝倾角和脆性因子具有较好的预测效果。
针对某富含有机质储层，采用本发明提出的方法预测该储层的裂缝密度、裂缝倾角和脆性特征。图4展示了裂缝密度预测结果。从图中可以看出箭头所指的目的区域裂缝密度较高，与水平井钻进数据一致，说明预测结果的合理性。图5a和图5b展示了井周裂缝倾角的测井解释结果和预测结果统计直方图。这两个直方图的比较表明，裂缝倾角预测结果是合理的。图6展示了脆性因子预测结果，白色箭头所指的目的区域脆性指数较高，与水平井破裂压力数据一致，说明预测结果是合理的。
综上，本发明提出的方法可以有效地预测含气倾斜裂缝储层的脆性和裂缝分布。
上述说明示出并描述了本发明的若干优选实施例，但如前所述，应当理解本发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施例的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述发明构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围，则都应在本发明所附权利要求的保护范围内。
Claims (5)
1.一种含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，构建脆性因子、裂缝密度和裂缝倾角表达的倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程；
S2，利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积构建地震数据n阶分量的正演算子，利用离散傅里叶变换估计地震数据的n阶分量；
S3，基于所述倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和2阶、4阶地震分量估计裂缝密度和裂缝倾角；
S4，基于所述倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程和零阶地震分量估计脆性因子。
2.根据权利要求1所述的含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，其特征在于，步骤S1中，
设倾斜横向各向同性介质的线性化纵波反射系数方程为：
（1a），
设倾斜裂缝的倾向方位为0度，且
（1b），
（1c），
（1d），
（1a）、（1b）、（1c）、（1d）式中，为各向同性背景反射系数，/>和/>分别为各向同性背景的压缩模量和剪切模量，/>和/>分别为裂缝法向弱度和裂缝切向弱度参数，/>为质量密度，/>代表反射界面上层和下层介质弹性模量的平均值，Δ为反射界面下层和上层介质弹性模量的差，/>为地震波入射角，/>为观测方位角，/>为裂缝倾角，且
，
其中，为横波速度与纵波速度比的平方，为常数，在界面两侧介质属性弱差异的近似下，/>，/>，压缩模量和剪切模量的反射系数表达为：
（2），
（2）式中，为各向同性背景的杨氏模量，/>为各向同性背景的泊松比；
对于富含有机质的裂缝性储层，脆性因子定义为，其中，BI代表脆性因子，λ代表拉梅第一参数且/>；
根据脆性因子BI的定义得到：
（3）；
将（2）式和（3）式代入（1b）式，得到脆性因子表示的各向同性背景反射系数方程为：
（4a），
其中，
（4b），
当裂缝性储层孔裂隙空间中充填气体或气水混合物时，裂缝弱度参数与裂缝密度线性相关，
（5）
（5）式中：为裂缝密度；
将（4a）和（5）式代入（1a）式，得到所述倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程，将所述倾斜裂缝储层线性化纵波反射系数方程写为傅里叶级数的形式为：
（6a），
（6a）式中，为n（n=0, 2, 4）阶傅里叶系数，表达为：
（6b），
（6c），
（6d），
（6b）、（6c）、（6d）式中：
。
3.根据权利要求2所述的含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，其特征在于，步骤S2中，
设方位地震数据具有M个采样点、Q个观测方位角、K个入射角，利用n阶傅里叶系数与地震子波的褶积构建地震数据n阶分量的正演算子为：
（7），
（7）式中，Sn代表由每个地震道的n阶地震分量组成的列向量，，其中，上标T代表向量转置，tM代表第M个采样点；rn为由每个地震道的n阶傅里叶系数组成的列向量，；W代表地震子波矩阵， />，其中，/>代表入射角为/>的平均地震子波矩阵；
在地震数据经过方位子波一致性校正、各向同性对称面倾向方位校正为0度处理后，利用离散傅里叶变换估计地震数据的n阶分量：
（8），
（9），
（10），
其中，代表处理后的地震数据。
4.根据权利要求3所述的含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，其特征在于，步骤S3中，
通过地震数据的2阶和4阶地震分量来分别估计2阶和4阶傅里叶系数，目标函数为：
（11），
其中，代表利用（7）式合成的地震数据n阶分量；/>是地震数据的n阶分量，利用式（8）、式（9）、式（10）进行估计；Lp和Lu分别代表求取p阶和u阶范数；/>代表n阶傅里叶系数的低频模型，利用测井数据的内插外推而获得；λ1和λ2是加权系数，用于调控低频模型和实际地震数据对反演结果的贡献度；
通过对式（11）求最小值获得n阶傅里叶系数的最优估计，利用（6d）式得到：
（12），
利用（6c）式得到：
（13），
利用道积分得到：
（14），
（15），
得到估计裂缝密度和裂缝倾角的公式为：
，
。
5.根据权利要求4所述的含倾斜裂缝的富有机质储层裂缝和脆性直接预测方法，其特征在于，步骤S4中，
地震数据零阶分量的正演算子为：
（16），
其中，系数矩阵和/>分别为：
（17），
（18），
（17）、（18）式中：
, />，
且算子代表构建/>对角矩阵；
模型参数向量和/>分别为：
（19），
（20），
（19）、（20）式中：
，
，
将步骤S3中反演得到的裂缝密度和裂缝倾角代入（16）式，得到各向同性地震分量的正演算子：
（21），
（21）式中，代表地震数据的各向同性分量；
在贝叶斯反演框架下，待反演参数后验概率密度函数与先验概率密度函数、似然函数/>成正相关，表达为：
（22），
选择高斯分布作为似然函数：
（23），
（23）式中，为噪声方差，通过测井数据和井旁地震道进行估计，/>代表指数函数；
选择柯西分布作为先验概率密度函数：
（24），
（24）式中，为待反演参数的方差，利用测井数据估计得到；
基于（22）、（23）、（24）式，并耦合脆性因子、杨氏模量和质量密度的低频模型，构建目标函数：
（25），
（25）式中：、/>和/>分别为脆性因子、杨氏模量和质量密度低频模型的对数与每道第一个采样点对数的差值，/>为积分矩阵，采用迭代重加权最小二乘算法来求解方程（25）的最小值，得到/>、/>和/>的估计值；
通过道积分来获得脆性因子、杨氏模量和质量密度的估计值：
（26）。
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