CN1176357C - 提取机械动态信息的特征波形信号分解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种提取机械动态信息的特征波形信号分解方法，综合应用了匹配追踪技术的原理和遗传算法，将信号中的正弦波成分和瞬态冲击衰减响应从复合信号中分离和提取出来。采用了最能反映机械冲击衰减响应的负指数衰减正弦波作为信号分解的基元函数，能够更精确地从干扰信号中提取冲击响应信息，同时也具有提取正弦波成分的能力。提取的信息是用特征参数给出的，大大简化了故障诊断和模态分析的后续过程。本发明反复多次应用来自生产现场的机组振动数据和实验室的试验数据进行了验证，证实了方法稳定、可靠，能够很好地满足相关应用及实验分析的实际需要。从而为机械冲击故障诊断和模态分析提供简捷、可靠的数据基础和科学依据。

Description

提取机械动态信息的特征波形信号分解方法

一、技术领域

本发明属于机械故障诊断和模态分析领域，进一步可扩展到涉及信号分析和特征提取的相关应用领域，特别涉及一种提取机械动态信息的特征波形信号分解方法。

二、背景技术

从机械动态信号中提取特征是故障诊断和模态分析的基础和关键所在，历来是学术界和相关应用领域研究关注的焦点，其核心在于将有用信息从采集的混有各种噪声干扰的信号中分离出来，为诊断决策的制定和模态参数识别提供原始数据。

特征提取的主要手段是通过信号分解来实现，最常见的是应用具有特定性质的基元(elementary)函数并根据一定的数学规则将信号展开。从数学的观点，我们可借助于信号展开将一个信号用无穷的方法来表示，例如将信号分解到频域或联合的时频域中。换句话说，任意给定一个信号x(t)∈Ψ，Ψ可以是有限维或无限维，x(t)可以表示为域Ψ上基元函数集合{ψ_k(t)}_k∈Z的线性组合，即

$x\left(t\right)=\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}{a}_k{\mathrm{\ψ}}_k\left(t\right)--\left(1\right)$

如果{ψ_k(t)}的元素相互正交，则展开系数a_k可用信号x(t)和基元函数ψ_k(t)的内积计算：

$a_k=\⟨x\left(t\right),{\mathrm{\ψ}}_k\left(t\right)\⟩=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}x\left(t\right){\mathrm{\ψ}}_k^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}--\left(2\right)$

式中，ψ_k ^*(t)是ψ_k(t)的复共轭。

由(2)式表示的内积有十分明确的物理解释，它反映了信号x(t)和基元函数ψ_k(t)两者之间的相似性。内积＜x(t)，ψ_k(t)＞越大，信号x(t)和基元函数ψ_k(t)越接近。因此，基元函数提供了信号中含有特定成分的“标尺”，而展开系数a_k给出了在该标尺下的“度量”，它描述了信号与基元函数之间的相似性程度。所以，从信号特征提取的意义上讲选取合适的基元函数集合{ψ_k(t)}_k∈Z作为标尺来分解信号极为重要。目前最常用的两种信号分解和特征提取技术是频谱分析和小波分析，分别使用Fourier基元函数和小波基元函数。两者用于信号特征提取主要存在以下两方面的缺陷和不足：

1.频谱分析应用Fourier基元函数来分解信号，基元函数实质上是随时间周期性波动的正弦波(见图1a)，用它作为度量信号中正弦波成分的标尺是最佳的。也就是说，用它来提取信号中的正弦波成分是非常好的。但对于提取机械信号中的瞬态冲击衰减波形则是不合适的。

小波分析应用小波函数作为基元函数来分解信号，小波基元函数具有双边对称的瞬态波形(见图1b)，因此小波分析适合于提取信号中的这种具有双边对称的小波瞬态信息。然而，机械动态信号中的冲击衰减波形虽然是瞬态的，但却是单边的(见图1c)，因此用小波分析来提取这种波形显然也是不合适的。

2.在机械故障诊断和模态分析中，信号常常是由正弦波和瞬态冲击衰减波形共同构成的。频谱分析只适合提取正弦波特征，而小波分析适合提取小波瞬态特征。当正弦波和瞬态冲击衰减同时存在时，两者都是无能为力的。

三、发明内容

针对上述现有技术存在的缺陷和不足，基于机械故障诊断和模态分析的应用需要，本发明的目的在于，提供一种提取机械动态信息的特征波形信号分解方法。本发明的思路及其技术方案也可扩展到信号分解和特征提取的其它相关应用领域。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案是，综合应用了匹配追踪技术的原理和遗传算法，将信号中的正弦波成分和瞬态冲击衰减响应分别提取出来，其特征在于，具体方法如下：

1)用表征机械系统冲击响应的负指数衰减正弦波作为基元函数，即由参数p_k，τ_k，ω_k，_k构成：

由不同的k值形成基元函数集合{ψ_k(t)}_k∈Z。上式表示的基元函数有明确的物理意义，p_k(≥0)给出了冲击响应的阻尼衰减特性，τ_k描述了冲击响应事件的发生时间，ω_k对应于系统的阻尼固有频率，_k为初相位。C_k为归一化系数，使基元函数具有单位能量，即‖ψ_k(t)‖＝1；其值的计算可由(3)式推得

用上式的函数作为基元函数；其一，它与机械系统的瞬态冲击响应最为接近，因而非常适合于提取信号中的冲击衰减波形；其二，当p_k＝0时，基元函数退化为标准的正弦波函数，因此同时也具有提取信号中的正弦波成分的能力；

2)对于(3)式表示的基元函数，根据(1)式可将信号x(t)表示为基元函数的线性组合

采用匹配追踪算法的原理求解上式即可实现提取信号中的正弦波和瞬态冲击衰减响应的目的；

3)信号分解的过程和步骤如下：

<1>设m表示分解步数，x_m(t)为第m步分解的残余信号；

<2>令信号x(t)为第0步分解的残余函数，即x₀(t)＝x(t)，此时m＝0；

<3>在基元函数集合中选取ψ_m(t)，使其与x_m(t)最相似，展开系数为

$a_m=<x_m\left(t\right),{\mathrm{\&psi;}}_m\left(t\right)>=\underset{{\mathrm{\&psi;}}_k}{\max }|<x_m\left(t\right),{\mathrm{\&psi;}}_k\left(t\right)>|--\left(6\right)$

上式的意义是在基元函数集合中选取与x_m(t)的内积最大的基元函数作为ψ_m(t)，并将该内积作为展开系数a_m。ψ_m(t)的求解采用遗传算法；

<4>计算残余信号x_m+1(t)：

x_m+1(t)＝x_m(t)-a_mψ_m(t)    (7)

也就是说，将匹配的波形a_mψ_m(t)从残余信号x_m(t)中提取出来；

<5>计算残余信号的能量‖x_m+1‖²：

‖x_m+1(t)‖²＝‖x_m(t)‖²-|a_m|²    (8)

<6>计算残余信号能量‖x_m+1‖²与原信号能量‖x(t)‖²之比的对数值：

${\mathrm{\&delta;}}_{m+1}=10\log \left(\frac{{\left|\right|x_{m+1}\left(t\right)\left|\right|}^2}{{\left|\right|x\left(t\right)\left|\right|}^2}\right)--\left(9\right)$

<7>比较δ_m+1与设定的阈值G：

如果δ_m+1小于G，分解过程结束；否则，将m增加1，重复步骤<3>到<7>。对于阈值G，可视具体情况来设定，本发明推荐值为G＝-20dB，即残余信号的能量衰减20dB，则可认为分解过程结束；

<8>分解结束后，从原信号中一步步提取出来的特征波形为a₀ψ₀(t)，a₁ψ₁(t)，...，a_mψ_m(t)，它们是以特征参数给出的，即a_k、p_k、τ_k、f_k和_k，k＝0，1，...，m。最终剩下的残余信号为x_m+1(t)。由(3)式和(5)式，可得原信号x(t)的展开式为

若忽略残余信号，则可获得信号x(t)的近似表示

本发明的主要特点是，首先用遗传算法在基元函数集合中求出与信号有最好匹配的基元函数；然后，将剩下的残余信号同样通过上述过程进行分解；如此重复下去，直到残余信号的能量小于设定的阈值为止；这样即可将信号中以基元函数为特征的波形一步一步提取出来；匹配追踪信号分解实质上是一种正交投影过程，从而保证了信号按选定的基元函数分解的唯一性；

本发明反复多次应用来自生产现场的机组振动数据和实验室的试验数据进行了验证，证实了本发明能够很好地满足相关应用及实验分析的实际需要，并在以下方面显示了突出的优点：

1.本发明采用了最能反映机械冲击衰减响应的负指数衰减正弦波作为信号分解的基元函数，因此能够更精确地从干扰信号中提取冲击响应信息，从而为机械冲击故障诊断和模态分析提供简捷、可靠的数据基础和科学依据。这一点正是现有方法难以实现的。

2.机械动态信号的构成主要是冲击响应和周期信号(正弦波的组合)，来源于现场实际的信号通常是两者的复合。现有技术要么适合提取瞬态信息，要么适合提取周期信息，而对于两者的复合信号则无法兼顾。本发明则可很方便地将两者从复合信号中分离和提取出来。这是本发明的另一个突破点。

3.本发明对上述信息的提取是用特征参数给出的，例如频率、衰减系数等，大大简化了故障诊断和模态分析的后续过程。这一点可以在本发明实施例中明显地看出。

4.本发明的实现应用了匹配追踪算法和遗传算法，两者具有很好的鲁棒性和稳定性。因而保证了本发明在方法实现方面的稳定和可靠。

四、附图说明

图1是三种基元函数的特征对比图，图1a是Fourier基元函数(周期性正弦)波形图，图1b是小波基元函数(双边瞬态)波形图，图1c是本发明所用基元函数(机械瞬态冲击衰减波形)波形图；

图2是信号x(t)的匹配追踪分解过程示意图；

图3是从信号中提取冲击衰减响应和正弦波成分的信号分解过程示意图；图3a是仿真实验中使用的原始信号，图3b、图3c和图3d分别是第一步、第二步和第三步分解过程中从原信号中提取的50Hz、40Hz正弦波形图和冲击衰减响应波形图，图3e是最终剩余的残余信号图。

图4是转子试验台的结构简图；

图5是回转机械振动试验中冲击衰减响应和转频、半频成分的提取过程示意图；图5a是用本发明提取的特征波形转子振动位移的时域波形图，图5b是用本发明提取的特征波形提取的冲击衰减响应波形图，图5c是用本发明提取的特征波形提取的半频成分(38Hz)波形图，图5d是用本发明提取的特征波形提取的转频成分(76Hz)波形图，图5e是最终剩下的残余信号波形图。

五、具体实施方式

为了更进一步对本发明提供支持，以下结合附图和具体仿真实验结果以及实施例对本发明作进一步详细描述。

按照本发明的技术方案：综合应用了匹配追踪技术的原理和遗传算法，将信号中的正弦波成分和瞬态冲击衰减响应分别提取出来，为机械故障诊断决策的制定和模态参数识别提供原始数据和科学依据。发明的构思原理和具体方法如下：

1、用表征机械系统冲击响应的负指数衰减正弦波作为基元函数，即由参数p_k，τ_k，ω_k，_k构成：

由不同的k值形成基元函数集合{ψ_k(t)}_k∈Z。上式表示的基元函数有明确的物理意义，p_k(≥0)给出了冲击响应的阻尼衰减特性，τ_n描述了冲击响应事件的发生时间，ω_k对应于系统的阻尼固有频率，_k为初相位。C_k为归一化系数，使基元函数具有单位能量，即‖ψ_k(t)‖＝1。其值的计算可由(3)式推得

用上式的函数作为基元函数是本发明的关键所在。其一，它与机械系统的瞬态冲击响应最为接近，因而非常适合于提取信号中的冲击衰减波形；其二，当p_k＝0时，基元函数退化为标准的正弦波函数，因此同时也具有提取信号中的正弦波成分的能力。

2、对于(3)式表示的基元函数，根据(1)式可将信号x(t)表示为基元函数的线性组合

求解上式即可实现提取信号中的正弦波和瞬态冲击衰减响应的目的。本发明采用匹配追踪算法的原理求解上式。匹配追踪是一种将信号按基元函数逐步分解的过程。首先，在基元函数集合中选取与信号有最好匹配的基元函数，也就是说，选取与信号最相似的基元函数，然后将与选取的基元函数相匹配的成分从原信号中提取出来。下一步，将剩下的残余信号同样通过上述过程进行分解。如此重复下去，直到残余信号的能量小于设定的阈值为止。这样即可将信号中以基元函数为特征的波形一步一步提取出来。匹配追踪信号分解实质上是一种正交投影过程，从而保证了信号按选定的基元函数分解的唯一性，信号分解的示意图见图2。应该指出的是，在以上基元函数的匹配过程中，本发明应用了遗传算法，这一点将在以下给予说明。

遗传算法是一种基于自然选择的原理和自然遗传机制的迭代自适应概率性搜索算法，它源于达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说，在解决多参数优化问题时具有其它方法不可比拟的优势。在这里用遗传算法从基元函数集合{ψ_k(t)}_k∈Z中求解ψ_m(t)的具体工作过程是：先用二进制编码随机产生一个由若干个体组成的初始种群，种群中的每个个体代表基元函数集合的一个元素，这些个体随机地遍布于所求问题的搜索空间中，对于每个个体都可以求出一定的适应度值，即式(6)中基元函数集合的元素ψ_k(t)与x_m(t)的内积|<x_m(t)，ψ_k(t)>|的值，该内积越大越接近于最优解，然后通过选择、交叉、变异等操作繁衍出下一代，使性质优良的基因更容易进化给下一代，同时保持种群中个体的多样性，进化后个体适应度值的平均值大于上一代，经过若干代的进化后，种群中的个体适应度平均值达到最大，适应度最大值即为式(6)中的a_m，对性质最好的个体进行解码，得到一组参数值(p_m，τ_m，ω_m，_m)，这些参数构成了要求解的基元函数ψ_m(t)。

3、信号分解的过程和步骤如下：

<1>设m表示分解步数，x_m(t)为第m步分解的残余信号。

<2>令信号x(t)为第0步分解的残余函数，即x₀(t)＝x(t)，此时m＝0。

<3>在基元函数集合中选取ψ_m(t)，使其与x_m(t)最相似，展开系数为

$a_m=<x_m\left(t\right),{\mathrm{\&psi;}}_m\left(t\right)>=\underset{{\mathrm{\&psi;}}_k}{\max }|<x_m\left(t\right),{\mathrm{\&psi;}}_k\left(t\right)>|--\left(6\right)$

上式的意义是在基元函数集合中选取与x_m(t)的内积最大的基元函数作为ψ_m(t)，并将该内积作为展开系数a_m。本发明采用遗传算法求解ψ_m(t)。

<4>计算残余信号x_m+1(t)：

x_m+1(t)＝x_m(t)-a_mψ_m(t)                 (7)

也就是说，将匹配的波形a_mψ_m(t)从残余信号x_m(t)中提取出来。

<5>计算残余信号的能量‖x_m+1‖²：

‖x_m+1(t)‖²＝‖x_m(t)‖²-|a_m|²    (8)

<6>计算残余信号能量‖x_m+1‖²与原信号能量‖x(t)‖²之比的对数值：

${\mathrm{\&delta;}}_{m+1}=10\log \left(\frac{{\left|\right|x_{m+1}\left(t\right)\left|\right|}^2}{{\left|\right|x\left(t\right)\left|\right|}^2}\right)--\left(9\right)$

<7>比较δ_m+1与设定的阈值G。

如果δ_m+1小于G，分解过程结束；否则，将m增加1，重复步骤<3>到<7>。对于阈值G，可视具体情况来设定，本发明推荐值为G＝-20dB，即残余信号的能量衰减20dB，则可认为分解过程结束。

<8>分解结束后，从原信号中一步步提取出来的特征波形为a₀ψ₀(t)，a₁ψ₁(t)，…，a_mψ_m(t)，它们是以特征参数给出的，即a_k、p_k、τ_k、f_k和_k，k＝0，1，...，m。最终剩下的残余信号为x_m+1(t)。由(3)式和(5)式，可得原信号x(t)的展开式为

若忽略残余信号，则可获得信号x(t)的近似表示

以下是发明人提供的一个具体的仿真实验结果实例。

仿真信号为

$+3*\cos (2\mathrm{\&pi;}{f}_{2}t+\mathrm{\&pi;}/4)+n\left(t\right)--\left(12\right)$

即由冲击衰减响应、两个正弦波和随机干扰组成。式中p₀，τ₀，f₀和₀分别为60μm，0.25s，100Hz和1.57rad；两个正弦波的频率f₁和f₂分别为50和40Hz；n(t)是在[-3，3]之间服从均匀分布的随机干扰信号。A的取值按冲击成分的能量和其他成分能量的不同比值选取，以便验证本发明从干扰中提取冲击响应的能力。表1给出了模拟实验结果。

      表1本发明对冲击衰减响应的提取能力的模拟实验结果

实验  冲击成分与其他   衰减系数   位移     频率     初相位

序号  成分的能量比

                        p/s^-1   τ/s      f/Hz     /rad

1     1∶0(纯冲击)      60        0.250    100.0    1.570

2     10∶1             59        0.251    100.0    1.577

3     5∶1              59        0.250    100.5    0.749

4     2∶1              56        0.251    99.5     2.381

5     1∶1              53        0.251    99.0     3.211

6     1∶2              61        0.251    100.0    4.688

7     1∶5              54        0.250    100.0    4.688

8     1∶10             50        0.250    101.5    2.191

表1的实验结果是以信号中冲击成分与其它成分能量比大小的顺序(即冲击成分由强到弱的顺序)列出的。结果显示：用本发明的技术提取的冲击衰减响应特征参数有相当好的精度，提取的位移参数τ与给定值τ₀的相对误差几乎都是零；提取的频率参数f与给定值f₀的相对误差在冲击成分非常微弱的情况下(即，冲击成分与其它成分的能量比为1∶10)也只有1.5％；提取的衰减系数p与给定值p₀的相对误差在大多数情况下都在5％以内，即使在冲击成分最微弱的情况下，也只有不到20％的相对误差，这在随机信号分析的大多数应用领域是可以接受的。但提取的初相位参数与给定值相比，以及各次实验提取的初相位参数之间都有很大的偏差，结果很不稳定，实际上是不可信的，这一点与通常的信号分析方法是相同的，例如用FFT计算信号的初相位同样无法得到稳定、可靠的估计值。然而，幸运的是，初相位参数值在大多数的应用中并不需要。

图3示出了从信号中提取冲击衰减响应和正弦波成分的信号分解过程。仿真信号中的冲击成分与其它成分的能量比为1∶20。图3a是仿真实验中使用的原始信号，从图中可见，冲击衰减成分十分微弱，几乎完全被淹没在正弦波和随机信号之中。图3b、图3c和图3d分别是第一步、第二步和第三步分解过程中从原信号中提取的波形图。图3e是剩下的残余信号。从图3中可以看出，第一步分解过程将信号中频率为50Hz、幅值为5μm的正弦波提取出来；第二步分解将频率为40Hz、幅值为3μm的正弦波提取出来；第三步提取的是冲击衰减响应；最后剩余的则为均匀分布的随机信号。本发明能够用于提取信号中冲击衰减响应和正弦波信号，其效果是显而易见的。

实施例：回转机械振动试验

为了研究回转机械转子和轴承系统固有振动的系统阻尼和临界转速，常常要进行冲击试验，即用一个持续时间极短的脉冲力激励转子，使系统产生自由衰减振动，然后通过振动的波形曲线计算系统的阻尼和固有频率。由于回转机械中含有很强的周期振动和其它干扰成分，因而提取自由衰减振动成为影响试验精度的关键所在。

试验是在东南大学测振仪器厂生产的转子试验台上进行的，图4是转子试验台的结构简图。转子由两个滑动轴承支撑，轴的转速为4560rpm(即转频为76Hz)，脉冲激振力是用力锤敲击转子上转轮施加的，振动信号由电涡流非接触式位移传感器拾取、用北京振通仪器公司生产的904数采仪采集的。

图5a是原信号的时域波形，从图中可以看到，除了冲击衰减响应以外，还包含了强大的周期成分。图5b、图5c和图5d是用本发明提取的特征波形，图5e是最终剩下的残余信号波形。由图5可见，原信号中的冲击衰减响应和周期成分(正弦波的组合)被分离、提取出来，效果是十分明显的。表2列出了信号分解过程中提取的波形特征参数(幅值、衰减系数和频率)。可见，第一步分解提取的是冲击衰减响应，第二步和第三步分解则将强大的转子振动半频成分(38Hz)和转子的转频成分(76Hz)分别提取出来。在回转机械故障诊断中，转频成分是估计转子动不平衡的重要参数，而半频成分则指示了半速涡动存在。由提取的冲击衰减响应的特征参数(表2)，可以很容易求得转子和轴承系统的临界转速、系统阻尼(阻尼比和对数衰减率)，即

临界转速    n_r＝60ω＝60×59＝3540rpm

阻尼比 $\mathrm{\&xi;}=p/\sqrt{{\mathrm{\&omega;}}^2+p^2}=30/\sqrt{{59}^2+{30}^2}=0.45$

对数衰减率 $\mathrm{\&delta;}=\frac{2\mathrm{\&pi;\&xi;}}{\sqrt{1-{\mathrm{\&xi;}}^2}}=\frac{2\&times;3.14\&times;0.45}{\sqrt{1-{0.45}^2}}=3.16$

                表2提取的特征波形参数

特征成分        幅值(展开系数) 衰减系数   频率

                    a/μm       p/s^-1    f/Hz

冲击衰减响应        1150.2      30.0      59.0

半频成分            168.5       0.0       38.0

转频成分            39.7        0.0       76.0

Claims (1)

1.一种为机械故障诊断决策的制定和模态参数识别提供原始数据和科学依据的提取机械动态信息的特征波形信号分解方法，综合应用了匹配追踪技术的原理和遗传算法，将信号中的正弦波成分和瞬态冲击衰减响应分别提取出来，其特征在于，具体方法如下：

1)用表征机械系统冲击响应的负指数衰减正弦波作为基元函数，即由参数P_k，τ_k，ω_k，_k构成：

由不同的k值形成基元函数集合{ψ_k(t)}_k∈Z；上式表示的基元函数有明确的物理意义，P_k(≥0)给出了冲击响应的阻尼衰减特性，τ_n描述了冲击响应事件的发生时间，ω_k对应于系统的阻尼固有频率，_k为初相位；C_k为归一化系数，使基元函数具有单位能量，即‖ψ_k(t)‖＝1；其值的计算可由(3)式推得

用上式的函数作为基元函数；其一，它与机械系统的瞬态冲击响应最为接近，因而非常适合于提取信号中的冲击衰减波形；其二，当p_k＝0时，基元函数退化为标准的正弦波函数，因此同时也具有提取信号中的正弦波成分的能力；

2)对于(3)式表示的基元函数，根据公式 $x\left(t\right)=\underset{k\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_k{\mathrm{\&psi;}}_k\left(t\right)$ 可将信号x(t)表示为基元函数的线性组合

采用匹配追踪算法的原理求解上式即可实现提取信号中的正弦波和瞬态冲击衰减响应的目的；

3)信号分解的过程和步骤如下：

<1>设m表示分解步数，x_m(t)为第m步分解的残余信号；

<2>令信号x(t)为第0步分解的残余函数，即x₀(t)＝x(t)，此时m＝0；

<3>在基元函数集合中选取ψ_m(t)，使其与x_m(t)最相似，展开系数为

$a_m=<x_m\left(t\right),{\mathrm{\&psi;}}_m\left(t\right)>=\underset{{\mathrm{\&psi;}}_k}{\max }|<x_m\left(t\right),{\mathrm{\&psi;}}_k\left(t\right)>|-----\left(6\right)$

上式的意义是在基元函数集合中选取与x_m(t)的内积最大的基元函数作为ψ_m(t)，并将该内积作为展开系数a_m；采用遗传算法求解ψ_m(t)；

<4>计算残余信号x_m+1(t)：

                       x_m+1(t)＝x_m(t)-a_mψ_m(t)    (7)

也就是说，将匹配的波形a_mψ_m(t)从残余信号x_m(t)中提取出来；

<5>计算残余信号的能量‖x_m+1‖²：

                ‖x_m+1(t)‖²＝‖x_m(t)‖²-|a_m|²    (8)

<6>计算残余信号能量‖x_m+1‖²与原信号能量‖x(t)‖²之比的对数值：

${\mathrm{\&delta;}}_{m+1}=10\log \left(\frac{{\left|\right|x_{m+1}\left(t\right)\left|\right|}^2}{{\left|\right|x\left(t\right)\left|\right|}^2}\right)-----\left(9\right)$

<7>比较δ_m+1与设定的阈值G：

如果δ_m+1小于G，分解过程结束；否则，将m增加1，重复步骤<3>到<7>；对于阈值G，可视具体情况来设定；

<8>分解结束后，从原信号中一步步提取出来的特征波形为a₀ψ₀(t)，a₁ψ₁(t)，…，a_mψ_m(t)，它们是以特征参数给出的，即α_k、P_k、τ_k、f_k和_k，k＝0，1，…，m；最终剩下的残余信号为x_m+1(t)；由(3)式和(5)式，可得原信号x(t)的展开式为

若忽略残余信号，则可获得信号x(t)的近似表示

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