CN117407989B - 一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于传动齿轮设计技术领域，具体涉及一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法。包括步骤：做内外齿轮的节圆交点和内外齿轮的齿顶圆交点，做过两个交点的直线段的垂直平分线，做过两个交点的圆弧为齿顶啮合圆弧，齿顶啮合圆弧的圆心沿所述垂直平分线滑动，根据齿顶啮合圆弧建立齿顶啮合线方程；根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿顶啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程；根据齿顶齿廓表达式方程求解齿根啮合线方程和齿根齿廓表达式方程；通过改变圆心在垂直平分线上的位置，获得不同的齿轮修形方案。由于垂直平分线是斜线，则改变圆心横坐标的同时也能改变其纵坐标，实现对其他参数的自动修改。

Description

一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法

技术领域

本发明属于传动齿轮设计技术领域，具体涉及一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法。

背景技术

内啮合直齿轮的啮合面积大，接触强度大、接触应力小，有效降低了齿轮啮合时的噪音和磨损，啮合稳定性强，能够有效避免齿轮间隙、弹性变形等因素的影响，从而提高了传动效率。内啮合直齿轮的传动效率可以达到98％以上。其运行可靠性高，寿命长，能够广泛应用于大功率、工作要求运动平稳、空间有限的传动系统中，例如纺织机械、食品机械、橡胶机械、矿山机械等领域。

随着对内啮合齿轮传动性能的要求更高，需要更多形式的齿形修形方案供技术人员选择或者优化。在齿廓上直接修形的传统齿形修形方式(在齿廓上利用二次曲线、圆弧曲线直接修形)已经不能满足传动要求。围绕渐开线及摆线设计的齿形设计方案，在相同模数、齿数及半径的条件下，获得的齿形固定不变，限制了设计人员选择/优化的范围。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供了一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，该方法利用调节圆弧圆心的方法，在原有齿形的基础上，提供了新种类的参数选择，能够获得更多样的修行方案，大大降低了修形设计的难度，为内啮合齿轮传动性能的进一步提高提供了基础。

为了实现上述目的，本发明的技术方案为：

第一方面，一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，包括步骤如下。

S1、做内外齿轮的节圆交点和内外齿轮的齿顶圆交点，做过两个交点的直线段的垂直平分线，做过两个交点的圆弧为齿顶啮合圆弧，所述齿顶啮合圆弧的圆心沿所述垂直平分线滑动，根据所述齿顶啮合圆弧建立齿顶啮合线方程；

S2、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿顶啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程；

S3、根据齿顶齿廓表达式方程求解齿根啮合线方程；

S4、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿根啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程；

S5、通过改变圆心在垂直平分线上的位置，获得不同的齿轮修形方案。

可选的，S1中，内外齿轮的节圆交点P₀为坐标零点，做内外齿轮的齿顶圆交点P(x₀，y₀)为：

其中，R为圆心在y轴时的齿顶啮合线半径，θ₁为圆心在y轴时圆弧角度，R₂为内齿轮半径。

可选的，S1中，垂直平分线方程为：

可选的，S2中，通过平面坐标变换，得到内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程，将齿顶啮合线方程和齿条方程代入共轭齿廓方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程。

可选的，啮合线上的共轭点在直角坐标系S₁上的轨迹的向量为r_a1,表示为：

其中，M_1a为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵：

可选的，S2中，外齿轮齿顶齿廓表达式：

内齿轮齿顶齿廓表达式：

可选的，S3中，利用齿廓法线法获得齿根啮合线方程。

可选的，S3中，计算γ角和角的公式如下：

其中，齿廓上任意一点坐标的切线与直角坐标系S₁:{O₁,X₁,Y₁}的x₁轴的夹角为γ；角为外齿轮的转动角度。

可选的，内齿轮齿顶齿廓(a1)与外齿轮齿根齿廓(f2)曲线的齿根啮合线为：

其下标中，a1表示外齿轮齿顶齿廓，f2表示内齿轮齿根齿廓。

可选的，S4中，通过平面坐标变换，得到内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程，将齿根啮合线方程和齿条方程代入共轭齿廓方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程。

可选的，外齿轮齿根齿廓表达式为：

内齿轮齿根齿廓表达式为：

可选的，S5中，只调节圆弧圆心的横坐标的参数，即可自动修改其他参数的数值。

本发明的有益效果为：

1、本发明将可变圆心设计为沿过内外齿轮的节圆交点和内外齿轮的齿顶圆交点的直线段的垂直平分线滑动，由于垂直平分线是斜线，则改变圆心横坐标的同时也能改变圆心的纵坐标，实现对其他参数数值的自动修改。相比于围绕渐开线及摆线设计的齿形修形方案，将齿顶啮合圆弧的圆心作为新种类的变量，在相同模数、齿数及半径的条件下，能够获得更多种类的齿形。齿轮的参数修形设计更加自由，能够提供更多样的齿轮修形方案供设计人员选择与优化，极大提高了齿轮修形的效率和质量。

2、本发明采用了齿轮啮合原理推导的齿轮齿廓，相比于传统的利用特定曲线直接修形的传统方法，齿轮运行时轮齿间不会发生干涉，运行较为平稳，噪声小，修形优化后的轮齿承载能力强，动态冲击小，提高了齿轮的性能。

3、本发明在修改圆心坐标，设计新齿形时，能仍旧保持圆心在y轴上时的大重合度不变。

附图说明

构成本发明的一部分的说明书附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

图1是具体实施方式中的基于可变圆心啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法流程图。

图2是具体实施方式中坐标系S_f的示意图。

图3是具体实施方式中改变圆心在垂直平分线上的位置的示意图。

图4是圆心x坐标为0.3时的内外齿轮的啮合线示意图。

图5是具体实施方式中可变圆心啮合线的圆心P_B的示意图。

图6是圆心x坐标为-0.3时的单侧齿形示意图。

图7是圆心x坐标为0.3时的外齿轮和内齿轮单齿形状。

图8是内齿轮、外齿轮整体齿形示意图。

图9是修形后的内啮合齿轮的性能变化折线图；(a)为啮合刚度折线图；(b)为传动误差折线图。

其中，1、外齿轮齿顶圆；2、外齿轮齿顶齿廓；3、外齿轮齿根齿廓；4、外齿轮齿根过渡圆弧曲线；5、外齿轮齿根圆；6、内齿轮齿顶圆；7、内齿轮齿顶齿廓；8、内齿轮齿根齿廓；9、内齿轮齿根过渡圆弧曲线；10、内齿轮齿根圆。

具体实施方式

应该指出，以下详细说明都是示例性的，旨在对本发明提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本发明所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

如图1所示，一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，包括步骤如下。

S1、做内外齿轮的节圆交点和内外齿轮的齿顶圆交点，做过两个交点的直线段的垂直平分线，做过两个交点的圆弧为齿顶啮合圆弧，所述齿顶啮合圆弧的圆心沿所述垂直平分线滑动，根据所述齿顶啮合圆弧建立齿顶啮合线方程；

S2、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿顶啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程；

S3、根据齿顶齿廓表达式方程求解齿根啮合线方程；

S4、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿根啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程；

S5、通过改变圆心在垂直平分线上的位置，获得不同的齿轮修形方案。

其中，S2中，通过平面坐标变换，得到内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程，将齿顶啮合线方程和齿条方程代入共轭齿廓方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程。

S3中，利用齿廓法线法获得齿根啮合线方程，具体为：

S4中，通过平面坐标变换，得到内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程，将齿根啮合线方程和齿条方程代入共轭齿廓方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程。

S5中，将获得内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程与齿根齿廓表达式方程组合为可变圆心啮合线的总体齿廓设计，只调节圆弧圆心的横坐标的参数，即可自动修改其他参数的数值。

分析获得的可变圆心啮合线的总体齿廓设计方案是否能够满足设计要求，若否，则修改啮合线参数，具体为修改圆心的X坐标，获得修改后的总体齿廓设计方案，进一步检测修改后的总体齿廓设计方案能够满足设计要求；若是，则代表获得符合设计要求的总体齿廓设计方案，完成了可变圆心啮合线的总体齿廓设计。

代入具体方程的设计方法如下。

如图8所示，内啮合齿轮包括外齿轮与内齿轮，在设计过程中，两者啮合于节圆的底部。

S1、如图2所示，图中，点画线为外齿轮，虚线为内齿轮，做内外齿轮的节圆交点和内外齿轮的齿顶圆交点，过两个交点的圆弧为齿顶啮合圆弧，做过两个交点的直线段的垂直平分线，所述齿顶啮合圆弧的圆心沿所述垂直平分线滑动，根据所述齿顶啮合圆弧建立齿顶啮合线方程，具体如下。

在坐标系S_f中做内外齿轮的节圆交点P₀为坐标零点，做内外齿轮的齿顶圆交点P(x₀，y₀)为：

其中，R为圆心在y轴时的齿顶啮合线半径，θ₁为圆心在y轴时圆弧角度，R₂为内齿轮半径。

由于垂直平分线P_AP_B与直线P₀P垂直，且过直线P₀P的中点，则垂直平分线方程为：

其中，垂直平分线斜率为：

如图5所示，可变圆心啮合线的圆心P_B的坐标为(x_AC，y_AC)，遵从垂直平分线方程；则可变圆心啮合线圆弧半径r为：

可变圆心啮合线圆弧角度θ为：

可得：

直线P₀P_B与y轴的夹角为偏移角度α_AC:

其中，β为垂直平分线与y轴的夹角。

则可变圆心啮合线圆弧角度θ可以被y轴的平行线分为两部分：起始角度θ_first和最终角度θ_end：

θ_first＝0-α_AC＝-α_AC

θ_end＝θ-α_AC (8)

则可变圆心圆弧啮合线在坐标系S_f上的方程表达式为：

其中，x_a，y_a，为啮合点在直角坐标系S_f上的坐标值，则该啮合线位于内外齿轮的齿顶圆与节圆之间，且只有齿顶齿廓参与啮合，所以通过该啮合线构造的共辄齿廓是内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓。

建立直角坐标系S₁:{0₁,X₁,Y₁}与外齿轮固连，建立直角坐标系S₂:{0₂,X₂,Y₂}与内齿轮固连，建立固定坐标系S_f:{O_f,X_f,Y_f}，O_f为节点，与点P重合，共轭齿廓在接触点的公法线通过节点(此处的S_f与上文的P(x0，y0)所在的坐标系相同)。

为外齿轮和内齿轮的转动角度，R1、R2分别为外齿轮和内齿轮的节圆半径。

设啮合线在直角坐标系S_f上的向量表达式为：

S2、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿顶啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程，具体如下。

内外齿轮接触点在直角坐标系S₁、S₂上的轨迹为齿轮齿顶齿廓曲线。啮合线上的共轭点在直角坐标系S₁上的轨迹的向量为r_a1,表示为：

其中，M_1a为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵：

啮合线上的共轭点在直角坐标系S₂上的轨迹的向量为r_a2,表示为：

其中，M_2a为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵：

根据齿廓啮合基本定理可知，齿廓与啮合线交点处的法线必须通过P₀点，将啮合线方程式(9)代入齿条方程式得到

求时，齿条方程式为：

其中，为外齿轮的转动角度,表示为：

将影响不大的部分去除化简后得到：

按照同样的方法根据齿条方程式求 为内齿轮的转动角度,表示为：

将影响不大的部分去除化简后为：

将代入r_a1得到外齿轮齿顶齿廓表达式：

将代入r_a2得到内齿轮齿顶齿廓表达式：

S3、根据齿顶齿廓表达式方程求解齿根啮合线方程，具体如下。

先求出齿廓上任意一点坐标的切线与直角坐标系S₁:{O₁,X₁,Y₁}的x₁轴的夹角γ，利用所求结果γ，就可求得该点成为接触点时需要转过的角。计算γ角和角的公式如下：

接触点在固定平面中的轨迹是啮合线，所以，利用上式算得的(x1，y1)与角的关系以及坐标变换式，把接触点的坐标变换到固定坐标系S_f:{O_f,X_f,Y_f}中，将角(外齿轮/内齿轮的转动角度)代入到接触点的坐标变换中，就可以得到齿根啮合线方程。具体过程如下：

齿顶齿廓方程为：

可以计算γ角：

γ经化简可得两个解，分别为γ₁和γ₂，将影响不大的部分去除后化简可得：

基于γ₁，可以计算ψ和

ψ₁经化简可得两个解，分别为ψ₁₁和ψ₁₂，将影响不大的部分去除化简后为：

基于γ₂，求ψ和

同样的，可得两个解，将将影响不大的部分去除化简后为：

从求解的的结果可以看出，

所求的和与齿顶齿廓所求的角相同，如式(16)；证明内齿轮齿顶齿廓与外齿轮的齿顶齿廓曲线共轭；另一种解提供了与内齿轮齿顶齿廓共轭的外齿轮的齿根齿廓曲线。

将角代入到接触点的坐标变换中，就可以得到内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的齿根啮合线为方程：

齿根啮合线方程为：

综上，能够获得内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的齿根啮合线为:如图4所示，其中P₀P'为内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓的齿根啮合线，P₀P”为外齿轮齿顶齿廓与内齿轮齿根齿廓的齿根啮合线，表示为：

如图4中P₀P”所示；其下标中，a1表示外齿轮齿顶齿廓，f2表示内齿轮齿根齿廓。

同样的,P₀P'表示为:

如图4中P₀P'所示；其下标中，a2表示内齿轮齿顶齿廓，f1表示外齿轮齿根齿廓。

S4、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿根啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程，具体如下。

齿根齿廓啮合线：

M_1f为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵：

则外齿轮齿根齿廓轨迹方程r_f1为：

根据齿廓啮合基本定理可知，齿廓与啮合线交点处的法线必须通过P₀点，将啮合线方程式(39)(40)代入齿条方程式得到

将代入r_f1得外齿轮齿根齿廓：

M_2f为直角坐标系S_f到S₂的坐标变换矩阵:

则内齿轮齿根齿廓轨迹方程r_f2为：

同理，根据齿廓啮合基本定理可知，齿廓与啮合线交点处的法线必须通过P₀点，将啮合线方程式(P₀P'的方程)代入齿条方程式得到

将代入r_f2，得内齿轮齿根齿廓：

S5、如图3所示，通过改变圆心在垂直平分线上的位置，获得不同的齿轮修形方案。

即：改变式(9)中的x_AC，y_AC值，修改圆心坐标x_AC，y_AC，可以对应获得不同的齿轮修形方案。

实施例2

本实施例基于实施例1所述的方案，以下长度尺寸的单位均为毫米，以齿数z1＝35，z2＝53，m＝4的内啮合齿轮为例进行说明(以下长度尺寸的单位均为毫米)：

内啮合齿轮的具体参数如表1所示：

表1

步骤一、建立可变圆心啮合线方程：

设计可变圆心圆弧曲线，根据几何原理可以得到圆弧的半径r＝86.113，圆弧弧度θ＝0.6816，圆弧起始角度θ_first＝0.0058064，圆弧最终角度θ_end＝0.68741，其方程表达式，即式(9)为：

步骤二、建立内齿轮、外齿轮齿顶齿廓曲线：

外齿轮和内齿轮的节圆半径为R₁＝z₁×m/2，R₂＝z₂×m/2，根据推导得到圆弧啮合线上的点与共轭齿廓曲线上接触点之间的对应关系，即式(16)、式(18)分别为：

外齿轮齿顶齿廓方程，即式(19)为：

内齿轮齿顶齿廓方程，即式(20)为：

其中，由于

则θ的取值范围为0.0058064≤θ≤0.68741。

内啮合齿轮齿顶齿廓齿形点如表2所示。

表2

步骤三、通过齿顶齿廓表达式方程求解内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的齿根啮合线方程，即式(41)为：

步骤四、构造内齿轮和外齿轮的齿根齿廓曲线，即式(47)为：

式(51)为：

内啮合齿轮齿顶齿廓齿形点如表3所示。

表3

步骤五、通过改变圆心的x坐标的位置，重复步骤一～步骤四，即可对齿根齿廓进行修改，选用适合的参数，即可达到修形设计的目标，选出合适的设计修形参数。

当可变圆心啮合线圆心x坐标从-0.5变更为为0.3时，根据几何原理设计可变圆心圆弧曲线，如图7所示。

外齿轮齿顶圆1为：半径148的圆弧的局部；外齿轮齿根圆5为：半径130的圆弧的局部；内齿轮齿顶圆6为：半径204的圆弧的局部；内齿轮齿根圆10为：半径222的圆弧的局部，与表1中记载的参数相同。

外齿轮齿根过渡圆弧曲线4的半径为1，内齿轮齿根过渡圆弧曲线9的半径为1，与表1中记载的参数相同。

可以得到圆弧的半径r＝83.8972，圆弧弧度θ＝0.70037，圆弧起始角度θ_first＝-0.0035758，圆弧最终角度θ_end＝0.69679，其方程表达式，即式(9)为：

如图7中所示，外齿轮齿顶齿廓2的表达式，即式(19)为：

如图7中所示，内齿轮齿顶齿廓7的表达式，即式(20)为：

此时，变圆心啮合线圆心x坐标从-0.5变更为为0.3后，内啮合齿轮齿顶齿廓齿形点如表4所示。

表4

构造内齿轮和外齿轮的齿根齿廓曲线，图7中外齿轮齿根齿廓3的表达式，即式(47)为：

图7中内齿轮齿根齿廓8的表达式，即式(51)为：

内啮合齿轮齿根齿廓齿形点如表5所示

表5

经上述步骤得到可变圆心啮合线圆心x坐标为0.3时的内啮合齿轮齿廓，如图6所示。

再次改变圆心啮合线圆心x坐标，可进一步获得多种内啮合齿轮齿廓。

实施例3

以内啮合齿轮啮合时的最大平均应力值为评价指标，采用上述内啮合齿轮修形设计方法进行设计，将不同圆心横坐标值的设计方案进行对比。

采用有限元接触分析仿真，分析其最大平均应力，参数设计如下：

圆心横坐标设置为0.0625时，应力为423.6MPa；圆心横坐标设置为0，应力为474.9MPa，即：通过本发明技术方案的调整，当图3中的圆心由原点向X轴正方向偏移0.0625mm时，最大平均应力由474.9MPa下降至423.6MPa，实现了最大平均应力的降低，有利于齿轮寿命的延长。

对圆心横坐标进行多次修改，分别考察其应力场、啮合刚度及传动误差，获得的结果如图9所示。

图9(a)显示，经过可变圆心啮合线修形后的内啮合齿轮啮合刚度在0～0.50mm的范围内获得提升，刚度性能得到改善。

图9(b)显示，经过可变圆心啮合线修形后的传动误差在0～0.50mm的范围内被降低，传动误差性能得到改善。

可以看出：当圆心横坐标选取不为0的值时，能够优化应力场、啮合刚度及传动误差，进而优化内啮合齿轮传动性能。上述设计方法能够将齿顶啮合圆弧的圆心横坐标作为新种类的变量，在相同模数、齿数及半径的条件下，能够获得更多种类的齿形。齿轮的参数修形设计更加自由，能够提供更多样的齿轮修形方案供设计人员选择与优化，相较于技术文件CN116484531A，本方案在齿厚上的变化范围和幅度较大，极大提高了齿轮修形的效率和质量。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，其特征在于，包括步骤如下：

S1、做内外齿轮的节圆交点和内外齿轮的齿顶圆交点，做过两个交点的直线段的垂直平分线，做过两个交点的圆弧为齿顶啮合圆弧，所述齿顶啮合圆弧的圆心沿所述垂直平分线滑动，根据所述齿顶啮合圆弧建立齿顶啮合线方程；

S2、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿顶啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程；

S3、根据齿顶齿廓表达式方程求解齿根啮合线方程；

S4、根据内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程、齿条方程和所述齿根啮合线方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程；

S5、通过改变圆心在垂直平分线上的位置，获得不同的齿轮修形方案；

S2中，啮合线上的共轭点在直角坐标系S₁上的轨迹的向量为r_a1,表示为：

其中，M_1a为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵：x_AC，y_AC为可变圆心啮合线的圆心P_B的坐标，θ为可变圆心啮合线圆弧角度，角为外齿轮的转动角度，R1为外齿轮的节圆半径；

S2中，外齿轮齿顶齿廓表达式：

内齿轮齿顶齿廓表达式：

其中，R₂为内齿轮半径，r为可变圆心啮合线圆弧半径；

S3中，利用齿廓法线法获得齿根啮合线方程；

S3中，计算γ角和角的公式如下：

其中，齿廓上任意一点坐标的切线与直角坐标系S₁:{O₁,X₁,Y₁}的x₁轴的夹角为γ；

S3中，内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的齿根啮合线为：

其中，下标a1为外齿轮齿顶齿廓，f2为内齿轮齿根齿廓；

S4中，通过平面坐标变换，得到内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程，将齿根啮合线方程和齿条方程代入共轭齿廓方程，得到内齿轮、外齿轮的齿根齿廓表达式方程；

外齿轮齿根齿廓表达式为：

内齿轮齿根齿廓表达式为：

2.根据权利要求1所述的基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，其特征在于，S1中，内外齿轮的节圆交点P₀为坐标零点，做内外齿轮的齿顶圆交点P(x₀，y₀)为：

其中，R为圆心在y轴时的齿顶啮合线半径，θ₁为圆心在y轴时圆弧角度，R₂为内齿轮半径。

3.根据权利要求1所述的基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，其特征在于，S1中，垂直平分线方程为：

4.根据权利要求1所述的基于可变圆心啮合线的内啮合齿轮修形设计方法，其特征在于，S2中，通过平面坐标变换，得到内啮合齿轮传动的共轭齿廓方程，将齿顶啮合线方程和齿条方程代入共轭齿廓方程，得到内齿轮、外齿轮的齿顶齿廓表达式方程。