CN116736219B - 基于改进粒子群算法的无源tdoa-fdoa联合定位优化布站方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于改进粒子群算法的无源TDOA‑FDOA联合定位优化布站方法，属于无源定位技术领域；建立无源TDOA‑FDOA联合定位最优布站模型，对现有粒子群算法进行改进，得到改进粒子群算法；最后采用改进的粒子群算法求解无源TDOA‑FDOA联合定位优化布站模型的最优解，得到其最优布站位置；本发明通过建立TDOA‑FDOA联合定位优化布站模型，运用改进粒子群优化算法对该模型求解，得到规定布站区域最优布站结果，解决了在布站区域的优化布站问题，提高对目标区域的定位精度。

Description

基于改进粒子群算法的无源TDOA-FDOA联合定位优化布站 方法

技术领域

本发明涉及多站无源定位领域，具体涉及一种基于改进粒子群算法的无源TDOA-FDOA联合定位优化布站方法。

背景技术

近年来，无源定位技术得到了快速的发展，且广泛运用于各个不同领域。在确保自身系统安全的前提下，无源定位技术具有侦查范围广、作用距离远、隐蔽能力强等特点。对于如何提高无源定位的性能，得到更加精确的目标辐射源位置数据已经成为国内外专家学者所关注的问题。

根据观测站个数的不同，无源定位系统中定位方法可分为单站无源定位和多站无源定位。单站无源定位不需要多个观测站之间的信息通信，具有使用灵活、成本低等优点，但面对复杂电子战环境，单站定位很难及时获取目标辐射源的精确状态参数。而多站无源定位系统能够通过各观测站之间的协同合作完成信息互通，能够不受复杂地理环境制约，实现对目标的快速定位。

对于多站无源定位系统，常见的无源定位方法有许多种，如基于角度信息衍生出的到达角定位技术(Angle of Arrival，AOA)、基于时间信息衍生出的到达时间差定位技术(Time Difference Of Arrival，TDOA)，基于频率信息衍生出的多普勒频率差定位(Frequency Difference Of Arrival，FDOA)和一些联合定位技术。

AOA定位作为一种经典的定位体制，能够利用观测站对目标的到达角实现对目标辐射源的定位，而这种方式对距离依赖性较强，若存在较小的测向误差则可能因其较大的定位误差；TDOA定位利用电磁波到达各个观测站的时间差建立观测方程，通过求解方程得到目标信息，该方法定位技术简单、定位速度快，然而对于观测站和目标辐射源之间存在相对运动的情况，该方法不容易进行定位；当观测站与目标辐射源有相对运动的情况下，在时差定位的基础上联合频差定位技术，即TDOA-FDOA联合定位，利用增加的多普勒频率观测量可以更准确地估计目标辐射源的位置，能够避免求解时出现解模糊，在提高定位精度的基础上减少观测站数目，大大节约成本。

无源定位系统中，影响定位精度的因素有许多种，在测量误差、观测站数目等条件一定的情况下，观测站的布站方式对定位精度有十分重要的影响，良好的布站方式能够有效提高对目标的定位精度，因此，需要考虑多观测站的优化布站问题，即通过调整观测站的相对位置，提高对目标区域的定位精度。

粒子群算法是一种进化计算技术，其基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻求最优解。然而，粒子在进化过程中会产生很大的随机性，导致算法收敛速度慢；此外，粒子群算法中惯性权重作为一个极其重要的参数，能够平衡调节算法全局与局部搜索能力，惯性权重较大，则全局搜索能力较强，惯性权重越小，则局部搜索能力较强。一般情况下，通常设置惯性权重为随迭代次数线性递减。然而，若算法在迭代初期就找到全局最优点，则有可能出现由于权重过大而跳过该最优点的情况，从而降低算法的搜索能力。

目前，已有无源定位与粒子群算法结合的现有方案，但是这些现有技术方案或多或少存在一些缺陷。

例如，专利CN108254716A公开一种基于粒子群算法的观测平台轨迹优化方法，该现有技术中粒子群算法求解的问题为观测站下一刻的位置，其定位体制为时差(TDOA)定位，其误差较大。例如，专利CN108363622A公开一种利用粒子群算法的时差(TDOA)定位算法，其目的是利用粒子群算法进行不断迭代最终得到目标的位置，仅单独用于目标定位，无法实现最优布站涉及。例如，专利CN112346010A提出一种基于尺度差与时差的双机无源定位方法，其要解决的问题也是为了最终得到目标的位置。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于解决现有技术中存在的不足，提供一种基于改进粒子群算法的无源TDOA-FDOA联合定位优化布站方法，本发明能够有效地求解对指定目标区域定位的优化布站位置，提高定位系统的定位精度；并在优化布站过程中，以更快的收敛速度得到最终的最优布站位置。

技术方案：本发明的一种基于改进粒子群算法的TDOA-FDOA联合定位系统最优布站方法，包括以下步骤：

步骤1、建立三维无源TDOA-FDOA联合定位最优布站模型，具体包括以下内容：

步骤1.1、定义最优布站模型中的自变量，该自变量即为所有观测站位置坐标；设定观测站数量为N，各观测站的坐标为

S_i＝[x_i，y_i，z_i]，i＝0，1，…，N-1，则所有观测站位置坐标表示为：

[x₀，y₀，z₀，x₁，y₁，z₁，…，x_N-1，y_N-1，z_N-1]；

步骤1.2、建立求解最优布站模型的约束条件：将辐射源目标区域和观测站布站区域作为粒子群算法中自变量的约束条件；

设定辐射源目标位置为T，观测站位置为S，辐射源目标区域为R₁，定位系统内观测站布站区域为R₂，则最优布站模型的约束条件表示为：

{T∈R₁，S∈R₂} (1)

步骤1.3、将目标区域平均GDOP作为适应度函数，则适应度函数用公式描述为：

式中，V为目标区域；

为简化计算，将目标区域离散化为N个离散点，则适应度函数Fit表示为：

其中，N为目标区域中的离散点个数，GDOP_i为每个离散点的GDOP值；

本步骤用目标区域GDOP的平均值来衡量目标区域整体的定位精度，即将目标区域平均GDOP作为适应度函数，在优化过程中衡量每个粒子的优化状态，有利于快速寻找到定位精度最低时的布站结果；

步骤1.4、通过自变量、约束条件与适应度函数建立无源TDOA-FDOA联合定位最优布站模型，求解最优布站模型，也就是在观测站布站区域和目标区域内，运用粒子群算法对表示定位精度的适应度函数Fit进行迭代寻优，直至Fit函数取最小值；

此时，TDOA-FDOA联合定位的几何稀释精度GDOP为：

P_dX为联合定位误差的协方差矩阵；

步骤2、为收敛速度与探索能力，通过自适应权重策略对粒子群算法进行改进得到改进粒子群算法：

步骤2.1、定义粒子群在迭代过程中评估周期为T₁，假设在一个T₁周期内，算法迭代次数为m，则定义第m+1次迭代为纠正代；

在评估周期T₁内，粒子群状态更新方式与现有粒子群算法一致，当算法迭代至纠正代时，通过比较粒子后m/2次迭代与前m/2次迭代的平均适应度值大小，

判断粒子是否在该评估周期T₁内的更新受到误导，如果受到误导则对粒子下一次迭代的飞行方向加以干预；

步骤2.2、各粒子惯性权重w的值不仅随迭代次数的增加而递减，还与当前迭代下每个粒子的适应度有关，当某一粒子的适应度值小于当前迭代下所有粒子平均适应度值时，则赋予较小的w，减小粒子上次运动速度对本次粒子运动速度的影响；若该粒子的适应度值大于当前迭代下所有粒子平均适应度值时，则赋予较大的w，使得粒子在下次迭代时跳出当前粒子所在位置附近，寻找更优解；

步骤3、采用改进的粒子群算法求解无源TDOA-FDOA联合定位优化布站模型的最优解，得到其最优布站位置；

步骤3.1、初始化粒子状态，设定粒子种群规模、迭代次数、粒子搜索空间维数、初始位置、初始速度等参数；

步骤3.2、根据上次迭代的各个粒子适应度值，计算出惯性权重w；

步骤3.3：判断本次迭代是否处于评估周期T₁内，若是，转步骤3.4，若不是，则说明本次迭代处于纠正代，转步骤3.6；

步骤3.4、更新粒子位置和速度信息；

步骤3.5、计算粒子适应度值，与前一次迭代结果进行比较并更新粒子的P_best和G_best；转步骤3.7；

步骤3.6、使用自纠正策略更新粒子的状态；转步骤3.5；

步骤3.7、判断是否达到最大迭代次数，若是，则输出最优解，若不是，则返回步骤3.2。

本发明将TDOA-FDOA联合定位以及粒子群改进算法相结合，在每次迭代中，根据各粒子的适应度值自适应计算惯性权重w，当粒子迭代到T₁周期，在下一次迭代时使用自纠正策略，对粒子的飞行方向进行监督，在平衡算法收敛性和探索性的基础上提高算法的收敛速度和收敛精度。

进一步地，所述步骤1.4中求解TDOA-FDOA联合定位的几何稀释精度GDOP的具体过程如下：

首先，固定地面中某点为原点建立空间直角坐标系O-XYZ，辐射源目标的坐标S_T(x，y，z)，N个观测站中的主观测站坐标为S₀(x₀，y₀，z₀)，

其运动速度矢量为第i个辅观测站的坐标S_i(x_i，y_i，z_i)，，其运动速度矢量V_i(x_i，y_i，z_i)i＝1，…，N-1；则TDOA-FDOA联合定位方程为：

r_i为第i个观测站到目标辐射源的距离；Δr_i0为目标到主观测站与目标到辅观测站的距离差；为目标到主观测站与目标到辅观测站之间的多普勒频率差接着，推导目标定位精度模型：对式(4)求全微分：

其中，f₀为目标辐射源工作频率，和/>为中间计算变量；

式(6)写作：

dZ＝FdX+dX_s+dV_s (9)

式中：

代表/>c为电磁波传播速度，F为系数矩阵；dX_s为站址误差矩阵；dV_s为速度误差矩阵；Δr_N-1，0为第N-1个观测站与主观测站0的距离差；

根据伪逆法求得dX为：

dX＝(F^TF)^-1F^T(dZ-dX_s-dV_s) (11)

定位误差的协方差矩阵P_dX表示为：

最终得到TDOA-FDOA联合定位的GDOP为：

进一步地，所述步骤2在评估周期T₁内，粒子群状态更新方式如下：

式中，j表示第j个粒子；上标t表示第t次迭代；w为惯性权重；c₁为自我学习因子，c₂为种群学习因子；k₁与k₂为0～1的随机数；为第t+1次迭代时第j个粒子的速度；/>为第t+1次迭代时第j个粒子的位置；/>为第t次迭代时j个粒子的个体最优解；G^t为第t次迭代时整个种群的最优解；

判断粒子是否在该评估周期T₁内的更新受到误导的具体方法为：若后m/2次平均迭代结果更优，则说明粒子寻优方向正确，粒子速度与位置信息按照式(16)进行更新，不需要纠正；若前m/2次平均迭代结果更优，则说明粒子寻优方向受到误导，记m+1次迭代为纠正代，则在纠正代时，运用式(15)更新粒子速度与位置信息。

各粒子惯性权重w的值不仅随迭代次数的增加而递减，还与当前迭代下每个粒子的适应度有关：

其中，t代表第t次迭代，j代表第j个粒子，w_max与w_min为最大和最小惯性权重；为当前粒子的适应度值，/>为第t次迭代时所有粒子的平均适应度值，/>为第t次迭代时所有粒子的最小适应度值。

有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)、本发明通过建立TDOA-FDOA联合定位优化布站模型，运用改进粒子群优化算法对该模型求解，得到规定布站区域最优布站结果，解决了在布站区域的优化布站问题，提高对目标区域的定位精度；

(2)、本发明采用改进的粒子群算法对优化布站模型进行求解，与标准粒子群算法相比，改进的粒子群算法拥有更快的收敛速度，在求解最优布站时速度更快，在实际应用中能够做出更快反映给出优化结果。

附图说明

图1为本发明TDOA-FDOA联合定位场景示意图；

图2为本发明中改进粒子群算法流程图；

图3为本发明一实施例中三维空间下布站区域与目标区域示意图；

图4为本发明一实施例中平均定位精度随迭代次数变化曲线。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

为解决TDOA-FDOA联合定位优化布站问题，提高对目标区域的定位精度，本发明提出运用改进的粒子群算法将无源TDOA-FDOA联合定位优化布站问题转化为求最优解问题。相较于标准粒子群算法的优化过程，本发明所提改进的粒子群算法拥有更快的收敛速度与更高的收敛精度。

本实施例的基于改进粒子群算法的TDOA-FDOA联合定位系统最优布站方法，包括以下步骤：

步骤1、建立无源TDOA-FDOA联合定位最优布站模型。

如图1所示，在本实施例的三维TDOA-FDOA联合定位空间场景中，固定地面中某点为原点建立空间直角坐标系O-XYZ，布置有N个观测站，其中观测站的坐标为：S_i＝[x_i，y_i，z_i]，(i＝0，1，…，N-1)，主观测站坐标为S₀(x₀，y₀，z₀)，其运动速度为第i个辅观测站的坐标S_i(x_i，y_i，z_i)，(i＝1，…，N-1)，其运动速度/>辐射源目标的坐标为S_T＝[x，，y，z]，辐射源目标位置为T，观测站位置为S，辐射源目标区域为R₁，定位系统中观测站布站范围为R₂。

在本实施例中，将各观测站的坐标位置为最优布站模型的自变量[x₀，y₀，z₀，x₁，y₁，z₁，…，x_N-1，y_N-1，z_N-1]；将辐射源目标区域和观测站布站区域作为求解最优布站模型的约束条件{T∈R₁，S∈R₂}；

将目标区域平均GDOP作为适应度函数Fit，Fit函数取最小值时，所对应的布站方式即为最优布站方式。

此时，TDOA-FDOA联合定位方程为：

其中：

r_i为第i个观测站到目标辐射源的距离；Δr_i0为目标到主观测站与目标到辅观测站的距离差；为目标到主观测站与目标到辅观测站之间的多普勒频率差。

在TDOA-FDOA联合定位原理的基础上，进一步推导目标定位精度模型。

对式(4)求全微分：

其中，

式(6)可写作：

dZ＝FdX+dX_s+dV_s (9)

式中：

F为系数矩阵。

根据伪逆法求得dX为：

dX＝(F^TF)^-1F^T(dZ-dX_s-dV_s) (11)

因此定位误差的协方差矩阵可表示为：

因此，TDOA-FDOA联合定位的GDOP为：

步骤2、对现有粒子群算法改进得到改进的粒子群优化算法。

首先，根据标准粒子群算法基本原理，将粒子群算法过程和优化机制描述如下：

(1)初始化粒子状态，设置算法相关参数。

(2)根据粒子的初始状态，利用Fit函数计算当前适应度值。根据当前适应度值，得到个体最优解和群体最优解。

(3)更新粒子状态，粒子群位置和速度更新表达式为：

式中，j表示第j个粒子；上标t表示第t次迭代；w为惯性权重；c₁为自我学习因子，c₂为种群学习因子；k₁与k₂为0～1的随机数；为第t+1次迭代时第j个粒子的速度；为第t+1次迭代时第j个粒子的位置；/>为第t次迭代时j个粒子的个体最优解；G^t为第t次迭代时整个种群的最优解。

(4)计算更新后的粒子适应度值，与前一次迭代结果进行比较并更新粒子的个体最优解和群体最优解。

(5)若达到最大迭代次数，则输出最优解即为最优布站结果。不满足则返回(3)，继续更新粒子状态。

对上述标准粒子群算法而言，每个粒子均按照式(14)进行速度和位置的更新，在进化过程中受个体最优P_best和群体最优G_best的指导，使得粒子在进化过程中产生很大的随机性，导致算法收敛速度慢。

惯性权重作为粒子群算法中极为重要的参数，能够平衡全局搜索能力和局部搜索能力。对标准粒子群算法，其惯性权重w随迭代次数线性递减，即在迭代初期选择较大的w，保证了算法全局搜索能力，在迭代后期w逐渐减小，保证了算法的局部搜索能力。

但是，如果算法在迭代初期就找到全局最优点，则有可能出现由于权重过大而跳过该最优点的情况，从而降低算法的搜索能力。为提高现有粒子群算法的收敛速度、平衡算法的收敛性和探索性之间的矛盾，本实施例，对标准粒子群算法进行改进主要有以下两点：

步骤2.1、针对粒子在进化过程中产生极大随机性从而导致算法收敛速度慢的问题，提出自纠正策略。自纠正策略通过监督粒子在迭代过程中的运动方向，对粒子下一次迭代的飞行方向加以干预以避免其继续受到错误指导，从而提高算法的收敛速度。为判断粒子运动趋势是否正确，定义评估周期为T₁，假设在一个评估周期T₁内算法完成m次迭代，将该评估周期内群体最优的适应度值记录下来，通过比较粒子后m/2次迭代与前m/2次迭代的平均适应度值大小，判断粒子是否在该评估周期T₁内的更新受到误导。

若后m/2次平均迭代结果更优，则说明粒子寻优方向正确，粒子速度与位置信息按照式(16)进行更新，不需要纠正；若前m/2次平均迭代结果更优，则说明粒子寻优方向受到误导，记m+1次迭代为纠正代，则在纠正代时，运用式(15)更新粒子速度与位置信息。

步骤2.2、为平衡算法的收敛速度与探索能力二者的矛盾，本发明提出自适应权重策略对标准粒子群算法进行改进：各粒子惯性权重w的值不仅随迭代次数的增加而递减，还与当前迭代下每个粒子的适应度有关：

其中，t代表第t次迭代，j代表第j个粒子，w_max与w_min为最大和最小惯性权重；为当前粒子的适应度值，/>为第t次迭代时所有粒子的平均适应度值，/>为第t次迭代时所有粒子的最小适应度值。

步骤3、采用步骤2所得改进的粒子群算法求解步骤1无源TDOA-FDOA联合定位优化布站模型的最优解，得到其最优布站位置。

本实施例的流程图如图2所示：

步骤3.1、初始化粒子状态，设定粒子种群规模、迭代次数、粒子搜索空间维数、初始位置、初始速度等参数；

步骤3.2、根据上次迭代的各个粒子适应度值，由式(16)计算出惯性权重w；

步骤3.3、判断本次迭代是否处于评估周期T₁内，若是，转步骤3.4，若不是，则说明本次迭代处于纠正代，转步骤3.6；

步骤3.4、使用公式(14)更新粒子位置和速度信息；

步骤3.5、计算粒子适应度值，与前一次迭代结果进行比较并更新粒子的P_best和G_best；转步骤3.7；

步骤3.6、使用自纠正策略更新粒子的状态；转步骤3.5；

步骤3.7、判断是否达到最大迭代次数，若是，则输出最优解，若不是，则返回步骤3.2。

实施例1：本实施例的三维空间下布站区域与辐射源目标区域如图3所示，固定主观测站坐标后，需要优化的观测站设置为3个；观测站区域为：x轴方向(-15km，15km)，y轴方向(-15km，15km)，z轴方向(2km，5km)，

目标区域为：x轴方向(-100km，200km)，y轴方向(0km，100km)，z轴为0。

本实施例的粒子群优化算法参数设置为：最大迭代次数n＝100；粒子群规模N＝20；粒子搜索维度M＝9；自我学习因子c₁＝1.4962，种群学习因子c₂＝1.6。

为进一步说明本发明所提方法的有效性，对比标准粒子群算法优化布站的仿真结果如图4所示，对比图4中两种技术方案的收敛曲线可知，本发明所提改进粒子群算法在解决优化布站问题时拥有更快的收敛速度。

两种技术方案所得最优布站位置坐标以及对目标区域的平均定位精度如表1所示，对比表1中数据仿真结果，相较于标准粒子群算法，运用改进粒子群算法求解优化布站模型所得布站结果的平均定位精度更高。

表1最优布站结果对比

综上所述，本发明中所提优化布站方法是基于时差-频差(TDOA-FDOA)联合定位，通过改进粒子群算法提高其收敛速度，使得求解最优布站的速度更快，在现实工作条件下拥有更强的机动性；并且本发明能够针对一个目标区域，利用改进粒子群算法寻找该区域最优布站的位置。

Claims (3)

1.一种基于改进粒子群算法的TDOA-FDOA联合定位系统最优布站方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立三维无源TDOA-FDOA联合定位最优布站模型，具体包括以下内容：

步骤1.1、定义最优布站模型中的自变量，该自变量即为所有观测站位置坐标；

设定观测站数量为N，各观测站的坐标为S_i＝[x_i,y_i,z_i],i＝0,1,…,N-1，则所有观测站位置坐标表示为：[x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁,…,x_N-1,y_N-1,z_N-1]；其中，S₀(x₀,y₀,z₀)为主观测站坐标；

步骤1.2、建立求解最优布站模型的约束条件：将辐射源目标区域和观测站布站区域作为粒子群算法中自变量的约束条件；

设定辐射源目标位置为T，观测站位置为S，辐射源目标区域为R₁，定位系统内观测站布站区域为R₂，则最优布站模型的约束条件表示为：

{T∈R₁,S∈R₂}

步骤1.3、将目标区域平均GDOP作为适应度函数，同时将目标区域离散化为N个点，则适应度函数用公式描述为：

其中，N为目标区域中的离散点个数，GDOP_i为每个离散点的GDOP值；

步骤1.4、通过自变量、约束条件与适应度函数建立无源TDOA-FDOA联合定位最优布站模型，求解最优布站模型，也就是在观测站布站区域和目标区域内，运用粒子群算法对表示定位精度的适应度函数Fit进行迭代寻优，直至Fit函数取最小值；

此时，TDOA-FDOA联合定位的几何稀释精度GDOP为：

P_dX为联合定位误差的协方差矩阵；

步骤2、对粒子群算法进行改进得到改进粒子群算法：

步骤2.1、定义粒子群在迭代过程中评估周期为T₁，假设在一个T₁周期内，算法迭代次数为m，则定义第m+1次迭代为纠正代；

在评估周期T₁内，当算法迭代至纠正代时，通过比较粒子后m/2次迭代与前m/2次迭代的平均适应度值大小，判断粒子是否在该评估周期T₁内的更新受到误导，如果受到误导则对粒子下一次迭代的飞行方向加以干预；

步骤2.2、各粒子惯性权重w的值不仅随迭代次数的增加而递减，还与当前迭代下每个粒子的适应度有关，当某一粒子的适应度值小于当前迭代下所有粒子平均适应度值时，则赋予较小的w，减小粒子上次运动速度对本次粒子运动速度的影响；若该粒子的适应度值大于当前迭代下所有粒子平均适应度值时，则赋予较大的w，使得粒子在下次迭代时跳出当前粒子所在位置附近，寻找更优解；

步骤3、采用改进的粒子群算法求解无源TDOA-FDOA联合定位优化布站模型的最优解，得到其最优布站位置；

步骤3.1、初始化粒子状态，设定粒子种群规模、迭代次数、粒子搜索空间维数、初始位置以及初始速度；

步骤3.2、根据上次迭代的各个粒子适应度值，计算出惯性权重w；

步骤3.3：判断本次迭代是否处于评估周期T₁内，若是，转步骤3.4，若不是，则说明本次迭代处于纠正代，转步骤3.6；

步骤3.4、更新粒子位置和速度信息；

步骤3.5、计算粒子适应度值，与前一次迭代结果进行比较并更新粒子的个体最优P_best和群体最优G_best；转步骤3.7；

步骤3.6、使用自纠正策略更新粒子的状态；转步骤3.5；

步骤3.7、判断是否达到最大迭代次数，若是，则输出最优解，若不是，则返回步骤3.2。

2.根据权利要求1所述的基于改进粒子群算法的TDOA-FDOA联合定位系统最优布站方法，其特征在于，所述步骤1.4中求解TDOA-FDOA联合定位的几何稀释精度GDOP的具体过程如下：

首先，固定地面中某点为原点建立空间直角坐标系O-XYZ，辐射源目标的坐标S_T(x,y,z)，N个观测站中的主观测站坐标为S₀(x₀,y₀,z₀)，其运动速度矢量为第i个辅观测站的坐标S_i(x_i,y_i,z_i),，其运动速度矢量V_i(x_i,y_i,z_i)i＝1,…,N-1；则TDOA-FDOA联合定位方程为：

r_i为第i个观测站到目标辐射源的距离；Δr_i0为目标到主观测站与目标到辅观测站的距离差；为目标到主观测站与目标到辅观测站之间的多普勒频率差；

接着，推导目标定位精度模型：对式(4)求全微分：

其中，f₀为目标辐射源工作频率，和/>为中间计算变量；

式(6)写作：

dZ＝FdX+dX_s+dV_s (9)

式中：

代表/>c为电磁波传播速度，F为系数矩阵；dX_s为站址误差矩阵；dV_s为速度误差矩阵；Δr_N-1，0为第N-1个观测站与主观测站0的距离差；

根据伪逆法求得dX为：

dX＝(F^TF)^-1F^T(dZ-dX_s-dV_s) (11)

定位误差的协方差矩阵P_dX表示为：

最终得到TDOA-FDOA联合定位的GDOP为：

3.根据权利要求1所述的基于改进粒子群算法的TDOA-FDOA联合定位系统最优布站方法，其特征在于，所述步骤2在评估周期T₁内，粒子群状态更新方式如下：

式中，j表示第j个粒子；上标t表示第t次迭代；w为惯性权重；c₁为自我学习因子，c₂为种群学习因子；k₁与k₂为0～1的随机数；V_j ^t+1为第t+1次迭代时第j个粒子的速度；为第t+1次迭代时第j个粒子的位置；P_j ^t为第t次迭代时j个粒子的个体最优解；G^t为第t次迭代时整个种群的最优解；

判断粒子是否在该评估周期T₁内的更新受到误导的具体方法为：若后m/2次平均迭代结果更优，则说明粒子寻优方向正确，粒子速度与位置信息按照式(16)进行更新，不需要纠正；若前m/2次平均迭代结果更优，则说明粒子寻优方向受到误导，记m+1次迭代为纠正代，则在纠正代时，运用式(15)更新粒子速度与位置信息；

各粒子惯性权重w的值不仅随迭代次数的增加而递减，还与当前迭代下每个粒子的适应度有关：

其中，t代表第t次迭代，j代表第j个粒子，w_max与w_min为最大和最小惯性权重；为当前粒子的适应度值，/>为第t次迭代时所有粒子的平均适应度值，/>为第t次迭代时所有粒子的最小适应度值。