CN116595292B - 振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法 - Google Patents

Abstract

振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法，属于铣刀加工技术领域。本发明包括步骤1，振动和磨损条件下的瞬时切削刃方程构建方法；步骤2，振动和磨损条件下切削刃瞬时速度矢量的解算方法；步骤3，振动和磨损条件下瞬时切削层参数的解算方法；步骤4，振动和磨损条件下瞬时切削能效的解算方法。为了揭示刀齿磨损条件下铣刀切削力与剪切力能效分布的变化特性，本发明根据切削刃离散点的瞬时磨损深度、前刀面方程，解算刀齿坐标系中切削刃选定点磨损后的坐标，构建磨损后的瞬时切削刃方程，揭示刀齿磨损对切削刃结构的影响。根据切削力与剪切力能效的解算方法，获取磨损条件下切削力与剪切力能效沿瞬时切削刃的分布特性。

Description

振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法

技术领域

本发明涉及振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法，属于铣刀加工技术领域。

背景技术

铣刀瞬时多齿切削方式决定了铣刀切削力与剪切力能效是由参与切削的各个刀齿的瞬态能效构成，刀齿切削刃上切削力与剪切力能效的分布，是揭示铣刀瞬态能效变化特性的关键。采用螺旋刃立铣刀切削时，刀齿切削刃上各点瞬时速度矢量方向并不相同。同时，受刀齿磨损和铣削振动的影响，刀齿瞬时切削行为在工件坐标系中处于不断变化的状态，导致刀齿与工件瞬时切削接触关系处于不断变化过程中，从而引起了刀齿磨损后切削刃各点切削力大小和方向的不断变化，进而导致不同磨损程度的切削刃各点的能耗值不同，使得铣刀瞬态切削力与剪切力能效分布的变化特性呈多样性。

已有铣刀瞬时切削力与剪切力能效解算方法，仅考虑了刀齿误差和铣削振动对铣刀瞬时切削力与剪切力能效分布的影响。上述方法假定刀齿切削刃在切削工件过程中未产生磨损，无法揭示刀齿磨损条件下铣刀切削力与剪切力能效的空间分布特性。

因此，亟需提出一种新型的振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法，以解决上述技术问题。

发明内容

本发明研发目的是为了表征刀齿切削刃瞬时磨损深度的大小和方向，提出了振动和磨损条件下的瞬时切削刃方程构建方法，解决已有铣刀瞬时切削力与剪切力能效解算方法，仅考虑了刀齿误差和铣削振动对铣刀瞬时切削力与剪切力能效分布的影响，同时无法揭示刀齿磨损条件下铣刀切削力与剪切力能效的空间分布特性的问题，在下文中给出了关于本发明的简要概述，以便提供关于本发明的某些方面的基本理解。应当理解，这个概述并不是关于本发明的穷举性概述。它并不是意图确定本发明的关键或重要部分，也不是意图限定本发明的范围。

本发明的技术方案：

振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法，包括：

步骤1，振动和磨损条件下的瞬时切削刃方程构建方法；

步骤2，振动和磨损条件下切削刃瞬时速度矢量的解算方法；

步骤3，振动和磨损条件下瞬时切削层参数的解算方法；

步骤4，振动和磨损条件下瞬时切削能效的解算方法。

进一步的，所述步骤1包括：

步骤1.1，构建未磨损切削刃方程；

步骤1.2，瞬时磨损深度表征；

步骤1.3，基于步骤1.2计算出轨迹切矢量、前刀面方程和瞬时磨损深度在坐标轴上的分量；

步骤1.4，得出磨损后的切削刃方程。

进一步的，所述步骤2包括：

计算出切削刃微元的瞬时运动合速度，根据切削刃微元的瞬时运动合速度计算瞬时切削速度矢量，根据瞬时切削速度矢量获得瞬时剪切速度矢量。

进一步的，所述步骤3包括：

基于步骤1-2计算出刀齿磨损条件下的切削刃瞬时切削边界和铣削微元瞬时切削层厚度，根据刀齿磨损条件下的切削刃瞬时切削边界、铣削微元瞬时切削层厚度和瞬时切削速度矢量推导出铣削微元瞬时切削体积。

进一步的，所述步骤4包括：

基于步骤3推导出切削刃微元瞬时切削力能耗和切削刃微元瞬时剪切力能耗，根据切削刃微元瞬时切削力能耗和切削刃微元瞬时剪切力能耗的解算方法，获得瞬时剪切能效、瞬时剪切比能和瞬时切削比能。

本发明具有以下有益效果：

1.本发明考虑了铣削过程中切削刃不同位置产生的磨损深度的差异性，对磨损条件下切削刃方程进行构建，揭示了刀齿磨损后切削刃方程的时变性。本发明解决了已有磨损条件下切削刃方程构建方法忽略瞬时磨损深度，进而导致建立的切削刃方程与实际加工过程中的切削刃存在较大误差的问题，该方法可用于提高构建刀齿磨损后切削刃方程的准确性；

2.本发明根据刀齿结构、铣刀及其刀齿的瞬时切削行为，对铣削振动和刀齿磨损作用下的切削刃微元的切削力与剪切力能效进行解算，揭示了切削力与剪切力能效沿瞬时切削刃的空间分布特性，为提升铣刀能效水平和稳定性提供基础模型，实现铣刀磨损条件下刀齿瞬时切削力与剪切力能效精确解算的目的，为铣刀等寿命设计提供了理论依据。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明的铣刀切削过程中切削刃的磨损过程图；

图3是本发明的刀齿切削刃瞬时磨损深度表征图；

图4是本发明的振动和磨损条件下的切削刃瞬时速度矢量图；

图5是本发明的瞬时切削速度图；

图6是本发明的剪切速度图；

图7是本发明的瞬时切削体积图；

图8是本发明的不同因素影响下剪切能效分布的变化特性图，图中(a)为无振动无磨损状态，(b)为有振动无磨损状态，(c)为无振动有磨损状态，(d)为有振动有磨损状态；

图9是本发明的振动、磨损对剪切能效的影响示意图，图中γ₁为参考序列与比较序列1的关联度，γ₂为参考序列与比较序列2的关联度；

图10是本发明的不同周期剪切能效的均方根值分布图，图中RMS₁为γ₁的均方根值，RMS₂为γ₂的均方根值；

图11是本发明的不同因素下剪切比能沿切削刃分布的变化特性图，图中(a)为无振动无磨损状态，(b)为有振动无磨损状态，(c)为无振动有磨损状态，(d)为有振动有磨损状态；

图12是本发明的振动、磨损对剪切比能的影响示意图，图中，γ_es1为参考序列与比较序列1的关联度，γ_es2为参考序列与比较序列2的关联度；

图13是本发明的不同周期剪切比能的均方根值分布图；

图14是本发明的不同因素条件下切削比能沿切削刃分布的变化特性图，图中(a)为无振动无磨损状态，(b)为有振动无磨损状态，(c)为无振动有磨损状态，(d)为有振动有磨损状态；

图15是本发明的振动、磨损对切削比能的影响示意图，图中，γ_ec1为参考序列与比较序列1的关联度，γ_ec2为参考序列与比较序列2的关联度；

图16是本发明的不同周期振动、磨损对切削比能影响的整体水平对比图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面通过附图中示出的具体实施例来描述本发明。但是应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。

本发明所提到的连接分为固定连接和可拆卸连接，所述固定连接(即为不可拆卸连接)包括但不限于折边连接、铆钉连接、粘结连接和焊接连接等常规固定连接方式，所述可拆卸连接包括但不限于螺纹连接、卡扣连接、销钉连接和铰链连接等常规拆卸方式，未明确限定具体连接方式时，默认为总能在现有连接方式中找到至少一种连接方式能够实现该功能，本领域技术人员可根据需要自行选择。例如：固定连接选择焊接连接，可拆卸连接选择铰链连接。

具体实施方式一：结合图1-图16说明本实施方式，本实施方式的振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法，包括：

步骤1，振动和磨损条件下的瞬时切削刃方程构建方法；

步骤1.1，构建未磨损切削刃方程；

铣刀结构、铣削振动和刀齿磨损直接决定了铣刀和刀齿的瞬时切削行为，并影响铣刀切削工件过程中能量输入与输出。其中，刀齿切削刃瞬时磨损深度的表征如图2所示。

图1中，o-xyz为工件坐标系，o₀-x₀y₀z₀为无振动的切削坐标系，o_c-x_cy_cz_c为振动作用下的切削坐标系，o_d-x_dy_dz_d为铣刀结构坐标系，o_i-x_iy_iz_i为刀齿坐标系。n为主轴转速，v_f为进给速度，a_p为切削深度，a_e为切削宽度，L、W、H分别为工件的长、宽、高。f(x_i(t₀)，y_i(t₀)，z_i(t₀))＝0为t₀时刻的切削刃方程，f(x_i(t-Δt)，y_i(t-Δt)，z_i(t-Δt))＝0为t-Δt时刻的切削刃方程，f(x_i(t)，y_i(t)，z_i(t))＝0为t时刻的切削刃方程。

刀齿未发生磨损时的未磨损切削刃方程为：

式中，(x_i ⁰，y_i ⁰，z_i ⁰)为未磨损切削刃任意一点在刀齿坐标系的坐标，r_i为回转半径，ζ_i为滞后角，β为螺旋角。

步骤1.2，瞬时磨损深度表征；

图3中，o-xyz为工件坐标系，o_i-x_iy_iz_i为刀齿坐标系。G(x，y，z)＝0为加工过渡表面方程，G(x(t)，y(t)，z(t))＝0为t时刻的加工过渡表面方程，m_j'为切削刃未磨损点，m_j为距离m_j'瞬时磨损深度的点，为过渡表面过点m_j'的法矢量，h_w(t₀)为t₀时刻的磨损深度，h_w(t-Δt)为t-Δt时刻的磨损深度，h_w(t)为瞬时磨损深度。θ_hx为刀齿坐标系中h_w(t)与坐标轴x_i的夹角。

瞬时磨损深度h_w(t)为：

式中，H_w(t)为t时刻的累积磨损深度。

步骤1.3，基于步骤1.2计算出轨迹切矢量、前刀面方程和瞬时磨损深度在坐标轴上的分量；

磨损后的切削刃由刀齿坐标系中平行于点m_j'运动轨迹的切矢量且过点m_j的直线方程与刀齿前刀面方程联立进行解算，即轨迹切矢量：

式中，m_qj为磨损后切削刃上的任意一点，为点m_qj沿刀齿坐标系x_i轴的坐标，为点m_qj沿刀齿坐标系y_i轴的坐标，/>为点m_qj沿刀齿坐标系z_i轴的坐标，/>为磨损后的切削刃由刀齿坐标系中平行于点m_j'运动轨迹的切矢量，/>为前刀面点Q沿刀齿坐标系x_i轴的坐标，/>为前刀面点Q沿刀齿坐标系y_i轴的坐标，/>为前刀面点Q沿刀齿坐标系z_i轴的坐标，刀齿坐标系中刀齿初始前刀面方程/>为：

式中，r_i ^Q为前刀面点Q的回转半径。

刀齿坐标系中，平行于点m_j'运动轨迹的切矢量且过点m_j的直线方程如下式：

式中，为点m_j沿刀齿坐标系x_i轴的坐标，/>为点m_j沿刀齿坐标系y_i轴的坐标，为点m_j沿刀齿坐标系z_i轴的坐标。

其中，A₁，A₂，A₃为平移矩阵，T₁，T₂，T₃为旋转矩阵，具体如式公式(5)～(7)所示：

由图2，加工过渡表面方程为：

加工过渡表面过切削刃上点的切平面g(x，y，z)＝0及其法向量分别为：

点m_j'在工件坐标系中运动轨迹的切线方程/>为：

工件坐标系中，平行于点m_j'运动轨迹的切矢量且过点m_j的直线方程为：

式中，点m_j在刀齿坐标系中的坐标为

Δh_xi(t)、Δh_yi(t)分别为刀齿坐标系中瞬时磨损深度在x_i轴、y_i轴上的分量：

Δh_xi(t)＝h_w(t)·cosθ_hx(t)，Δh_yi(t)＝h_w(t)·sinθ_hx(t) 公式(15)

步骤1.4，得出磨损后的切削刃方程；

由于铣削过程中刀齿磨损的产生，切削刃结构不断发生改变，磨损后的切削刃结构为：

式中，为齿间夹角，v_f为进给速度，a_e为切削宽度，a_p为切削深度，W为工件宽度，Δh_xi(t-1+Δt)、Δh_yi(t-1+Δt)、Δh_zi(t-1+Δt)分别为Δt时段瞬时磨损深度h_w(t)在x_i轴、y_i轴、z_i轴上的分量。

步骤2，振动和磨损条件下切削刃瞬时速度矢量的解算方法；

计算出切削刃微元的瞬时运动合速度和瞬时切削速度矢量，根据切削刃微元的瞬时运动合速度和瞬时切削速度矢量获得瞬时剪切速度矢量。

由切削刃上选定点m_j的轨迹方程及图4，铣削微元的瞬时运动合速度v(t)和瞬时切削速度为：

式中，θ_c(t)为工件坐标系中v(t)与v_c ⁱ(t)的夹角

θ_s＝π/4+γ₀-arctanμ 公式(21)

式中，v_s ⁱ(t)为刀齿i选定点的剪切方向速度，θ_s为剪切角，μ为摩擦系数，a为晶格常数(2.9506×10^-10m)，h为普朗克常量(h＝6.62607015×10^-34J·s)，k为波尔兹曼常量(k＝1.380649×10^-23J/K)，υ为原子受迫振动频率，F_N为切削刃特征点的法向应力。

步骤3，振动和磨损条件下瞬时切削层参数的解算方法；

根据刀齿磨损条件下的切削刃瞬时切削边界和铣削微元瞬时切削层厚度推导出铣削微元瞬时切削体积。

铣削振动和刀齿磨损条件下瞬时参与切削的刀齿切削刃上边界(m_k)、下边界(m₀)分别为：

θ_st(t)＝3π/2-arccos[(r_i(t)-a_e)/r_i(t)] 公式(25)

式中，θ_i(t)为刀尖点的瞬时位置角，θ_st为刀齿的初始切入角，θ_wt为刀齿的初始切出角，值为3π/2，θ_et为刀齿完全切出工件时的位置角，θ_p为切削刃初始达到切深时的位置角。

刀齿磨损条件下切削刃微元瞬时切削层参数和单位时间的切削体积为：

式中，f_z ⁱ为刀齿i的每齿进给量，v_c ⁱ(t)为考虑振动速度的刀齿i任意一点相对于工件的合成切削运动的瞬时速度在铣刀主运动速度方向上的分量。

步骤4，振动和磨损条件下瞬时切削能效的解算方法。

基于步骤3推导出切削刃微元瞬时切削力能耗和切削刃微元瞬时剪切力能耗，根据切削刃微元瞬时切削力能耗和切削刃微元瞬时剪切力能耗的解算方法，获得瞬时剪切能效、瞬时剪切比能和瞬时切削比能。

刀齿磨损条件下切削刃微元的瞬时切削力能耗和瞬时剪切能耗分布函数为：

刀齿磨损条件下切削刃微元的瞬时剪切能量效率、切削比能与剪切比能为：

根据式(32)-(34)，解算振动和磨损条件下切削刃剪切能耗沿切削刃分布的变化特性，如图8所示。

利用改进的灰色相对关联分析方法，以振动和磨损共同作用下的刀齿剪切能效沿切削刃的分布作为参考序列，振动作用下的刀齿剪切能效沿切削刃的分布作为比较序列1，磨损作用下的剪切能效沿切削刃的分布作为比较序列2，进行关联分析。

利用改进的灰色相对关联分析方法，以振动和磨损共同作用下的刀齿剪切比能沿切削刃的分布作为参考序列，振动作用下的刀齿剪切比能沿切削刃的分布作为比较序列1，磨损作用下的剪切比能沿切削刃的分布作为比较序列2，进行关联分析。

利用改进的灰色相对关联分析方法，以振动和磨损共同作用下的刀齿切削比能沿切削刃的分布作为参考序列，振动作用下的刀齿切削比能沿切削刃的分布作为比较序列1，磨损作用下的切削比能沿切削刃的分布作为比较序列2，进行关联分析。

由图15，铣削振动和铣刀磨损均对切削比能有较大影响，但其影响机制并不一致。利用均方根值定量表征铣削振动、铣刀磨损分别对不同周期的切削比能整体水平的影响，如图16所示。

由图16可知，不同周期振动、磨损对切削比能影响的整体水平均在0.8上下浮动，说明铣削振动与刀齿磨损对切削比能沿切削刃分布变化的影响程度相近。

本发明为了表征刀齿切削刃瞬时磨损深度的大小和方向，提出了振动和磨损条件下的瞬时切削刃方程构建方法。该方法利用切削刃选定点的累积磨损深度，解算了切削刃瞬时磨损深度的大小；根据切削刃形成的过渡表面过切削刃选定点切平面的法矢量，确定了瞬时磨损深度的方向。

为了揭示铣刀磨损条件下切削刃的时变性，提出了刀齿磨损条件下瞬时切削刃方程的构建方法。该方法利用刀齿切削刃的瞬时磨损深度，结合刀齿前刀面方程，对刀齿磨损条件下的切削刃方程进行构建。

为了揭示切削力与剪切力能效沿磨损后的切削刃分布的变化特性，提出了磨损条件下切削力与剪切力能效沿瞬时切削刃的分布方法。该方法利用振动和磨损条件下的切削刃瞬时速度矢量及瞬时切削层参数，解算切削刃瞬时剪切能耗、瞬时切削力能耗与瞬时切削体积，进一步解算磨损条件下刀齿切削力与剪切力能效沿瞬时切削刃的分布。

需要说明的是，在以上实施例中，只要不矛盾的技术方案都能够进行排列组合，本领域技术人员能够根据排列组合的数学知识穷尽所有可能，因此本发明不再对排列组合后的技术方案进行一一说明，但应该理解为排列组合后的技术方案已经被本发明所公开。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.振动和磨损条件下刀齿瞬时切削能效的动态特性解算方法，其特征在于，包括：

步骤1，振动和磨损条件下的瞬时切削刃方程构建方法；

步骤2， 振动和磨损条件下切削刃瞬时速度矢量的解算方法；

步骤3，振动和磨损条件下瞬时切削层参数的解算方法；

步骤4，振动和磨损条件下瞬时切削能效的解算方法；

所述步骤1包括：

步骤1.1，构建未磨损切削刃方程；

刀齿未发生磨损时的未磨损切削刃方程为：

；

式中，(x _i ⁰，y _i ⁰，z _i ⁰)为未磨损切削刃任意一点在刀齿坐标系的坐标，r _i 为回转半径，ζ _i 为滞后角，β为螺旋角；

o-xyz为工件坐标系，o ₀-x ₀ y ₀ z ₀为无振动的切削坐标系，o _c -x _c y _c z _c 为振动作用下的切削坐标系，o _d -x _d y _d z _d 为铣刀结构坐标系，o _i -x _i y _i z _i 为刀齿坐标系；n为主轴转速，v _f 为进给速度，a _p 为切削深度，a _e 为切削宽度，L、W、H分别为工件的长、宽、高；f(x _i (t ₀)，y _i (t ₀)，z _i (t ₀))=0为t ₀时刻的切削刃方程，f(x _i (t-Δt)，y _i (t-Δt)，z _i (t-Δt))=0为t-Δt时刻的切削刃方程，f(x _i (t)，y _i (t)，z _i (t))=0为t时刻的切削刃方程；

步骤1.2，瞬时磨损深度表征；

o-xyz为工件坐标系，o _i -x _i y _i z _i 为刀齿坐标系；G(x，y，z)=0为加工过渡表面方程，G(x(t)，y(t)，z(t))=0为t时刻的加工过渡表面方程， m _j '为切削刃未磨损点，m _j 为距离m _j '瞬时磨损深度的点， 为过渡表面过点m _j '的法矢量，h _w (t ₀)为t ₀时刻的磨损深度，h _w (t-Δt)为t-Δt时刻的磨损深度，h _w (t)为瞬时磨损深度；θ _hx 为刀齿坐标系中h _w (t)与坐标轴x _i 的夹角；

瞬时磨损深度h _w (t)为：

；

式中，H _w (t)为t时刻的累积磨损深度；

步骤1.3，基于步骤1.2计算出轨迹切矢量、前刀面方程和瞬时磨损深度在坐标轴上的分量；

磨损后的切削刃由刀齿坐标系中平行于点m _j '运动轨迹的切矢量且过点m _j 的直线方程与刀齿前刀面方程联立进行解算，即轨迹切矢量：

；

式中，为磨损后切削刃上的任意一点，/>为点/>沿刀齿坐标系x _i 轴的坐标，/>为点/>沿刀齿坐标系y _i 轴的坐标，/>为点/>沿刀齿坐标系z _i 轴的坐标，/>为磨损后的切削刃由刀齿坐标系中平行于点m _j '运动轨迹的切矢量，/>为前刀面点Q沿刀齿坐标系x _i 轴的坐标，/>为前刀面点Q沿刀齿坐标系y _i 轴的坐标，/>为前刀面点Q沿刀齿坐标系z _i 轴的坐标，刀齿坐标系中刀齿初始前刀面方程/>=0为：

；

式中，为前刀面点Q的回转半径；

刀齿坐标系中，平行于点m _j '运动轨迹的切矢量且过点m _j 的直线方程如下式：

；

式中，为点m _j 沿刀齿坐标系x _i 轴的坐标，/>为点m _j 沿刀齿坐标系y _i 轴的坐标，/>为点m _j 沿刀齿坐标系z _i 轴的坐标；

其中，A ₁， A ₂， A ₃为平移矩阵，T ₁， T ₂， T ₃为旋转矩阵，具体如式公式(6)~(8)所示：

；

；

；

加工过渡表面方程为：

；

加工过渡表面过切削刃上点的切平面g(x，y，z)=0及其法向量/>分别为：

；

；

；

点m _j '在工件坐标系中运动轨迹的切线方程/>为：

；

工件坐标系中，平行于点m _j '运动轨迹的切矢量且过点m _j 的直线方程为：

；

式中，点m _j 在刀齿坐标系中的坐标为；

、/>分别为刀齿坐标系中瞬时磨损深度在x _i 轴、y _i 轴上的分量：

；

步骤1.4，得出磨损后的切削刃方程；

由于铣削过程中刀齿磨损的产生，切削刃结构不断发生改变，磨损后的切削刃结构为：

；

式中，φ _si 为齿间夹角，v _f 为进给速度，为切削宽度，/>为切削深度，W为工件宽度，、/>、/>分别为Δt时段瞬时磨损深度h _w (t)在x _i 轴、y _i 轴、z _i 轴上的分量；

所述步骤2包括：

计算出切削刃微元的瞬时运动合速度和瞬时切削速度矢量，根据切削刃微元的瞬时运动合速度和瞬时切削速度矢量获得瞬时剪切速度矢量；

由切削刃上选定点m _j 的轨迹方程，铣削微元的瞬时运动合速度和瞬时切削速度为：

；

；

；

式中，θ _c (t)为工件坐标系中v(t)与v _c ⁱ (t)的夹角

；

；

；

式中，v _s ⁱ (t)为刀齿i选定点的剪切方向速度，θ _s 为剪切角，μ为摩擦系数，为晶格常数(2.9506×10^-10m)，h为普朗克常量(h=6.62607015×10^-34 J·s)，k为波尔兹曼常量(k=1.380649 × 10^-23 J/K)，υ为原子受迫振动频率，F _N 为切削刃特征点的法向应力；

所述步骤3包括：

基于步骤1-2计算出刀齿磨损条件下的切削刃瞬时切削边界和铣削微元瞬时切削层厚度，根据刀齿磨损条件下的切削刃瞬时切削边界、铣削微元瞬时切削层厚度和瞬时切削速度矢量推导出铣削微元瞬时切削体积；

铣削振动和刀齿磨损条件下瞬时参与切削的刀齿切削刃上边界(m _k )、下边界(m ₀)分别为：

；

；

；

；

；

式中，θ _i (t)为刀尖点的瞬时位置角，θ _st 为刀齿的初始切入角，θ _wt 为刀齿的初始切出角，值为3π/2，θ _et 为刀齿完全切出工件时的位置角， θ _p 为切削刃初始达到切深时的位置角；

刀齿磨损条件下切削刃微元瞬时切削层参数和单位时间的切削体积为：

；

；

式中，f _z ⁱ 为刀齿i的每齿进给量， v _c ⁱ (t)为考虑振动速度的刀齿i任意一点相对于工件的合成切削运动的瞬时速度在铣刀主运动速度方向上的分量；

所述步骤4包括：

刀齿磨损条件下切削刃微元的瞬时切削力能耗和瞬时剪切能耗分布函数为：

；

；

刀齿磨损条件下切削刃微元的瞬时剪切能量效率、切削比能与剪切比能为：

；

；

；

根据式(32)-(34)，解算振动和磨损条件下切削刃剪切能耗沿切削刃分布的变化特性。