CN116451537A - 一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法。包括以下步骤：考虑功能梯度材料构件在制造与使用中的不确定性，将样本不充分的外载视为区间不确定性、将样本充足的基体材料属性、增强颗粒在基体中的体积分数视为有界概率不确定性；通过基于等几何分析的功能梯度材料构件的最差工况搜索，结合基于拉盖尔积分的目标性能统计特征值计算和灵敏度分析，实现了对颗粒增强功能梯度材料构件的稳健性拓扑优化。本发明建立的功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化模型真实反映实际工程中不确定性的分布特性，基于等几何分析的构件拓扑优化运用拉盖尔积分、结合灵敏度分析和最优准则法进行求解，能高效获得优化结果，具有很好的工程应用价值。
Description
技术领域
本发明属于结构优化领域，涉及一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法。
背景技术
拓扑优化作为一种调配有限材料在构件设计域内的分布、以使其具有最优目标性能的方法，已广泛应用于构件设计中，并随着增材制造技术的推广而进一步成熟。由于生产制造与使用过程中存在各种不确定性，为使拓扑优化设计结果经过实际加工后不至于性能劣化，考虑不确定性的稳健拓扑优化也已获得丰富成果。但是，考虑概率区间混合不确定性的构件稳健拓扑优化没有得到广泛深入的研究，主要体现在：
1)概率不确定性的建模方式会影响目标性能的分析精度，进而影响稳健拓扑优化结果。现有采用正态分布描述概率不确定性的手段在工程中存在不合理性，即：正态分布参数在理论上可取负值与正无穷，这与实际工程中不确定性参数仅在某一范围内概率性波动的事实不符。2)概率区间混合不确定性同时存在时的目标性能估计方式理论支撑薄弱，现有考虑概率区间混合不确定性的构件稳健拓扑优化方法仅能给出目标性能统计矩的上界(最差性能)，但无法给出对应的最差工况(特别是在不确定性外载作为区间不确定性变量时)——最差工况这在工程实际分析中往往具有重要指导作用。3)现有考虑概率区间混合不确定性的构件稳健拓扑优化方法均仅针对使用单一材料的问题进行了研究，对于使用多相材料、功能梯度材料等广义复合材料的构件稳健拓扑优化缺少关注。事实上，增材制造中选择性激光烧结或熔融等手段目前已可以成熟应用于具有复杂拓扑构件的金属、陶瓷材料或功能梯度材料，且构件中材料的构成可以得到较精准的控制，因此对于使用功能梯度材料的构件进行稳健拓扑优化具有实际研究价值与现实需要。
另一方面，目前对于功能梯度材料构件的稳健性拓扑优化都是基于有限元分析进行的，该拓扑优化方式存在以下不足：1)有限元网格只是对构件几何的近似，网格模型和实际几何模型之间存在差距，这会严重影响构件响应分析的准确性；2)在将基于有限元分析的优化结果导入到CAD/CAE系统中时，需要经过额外的后处理才能提取相应的构件几何信息，这种后处理过程必然会破坏优化结果的最优性，而且会增加设计过程的时间成本和计算资源消耗；3)基于有限元分析进行的拓扑优化容易导致数值的不稳定和棋盘状图案的出现，而为了解决该问题引入滤波手段又会增加优化中的时间成本。同时，功能梯度材料在今后较长时间内仍会是适合实际制造生产的材料形式，所以该类材料的稳健拓扑优化具有特别迫切的研究需要。
发明内容
本发明针对现有基于传统有限元分析的功能梯度材料构件优化未充分考虑不确定性对构件性能的影响且分析精度相对较低的问题，在同时考虑区间不确定外载与有界概率不确定材料属性的基础上，提出了一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法。通过NURBS网格建立构件模型，根据每个网格的位置和材料分布利用Halpin-Tsai微观力学模型计算材料属性。基于等几何方法，在每次迭代后通过对载荷大小、方向求解设计目标灵敏度从而实现最差工况的搜索。通过单变量降维方法与拉盖尔积分相结合，高效计算最差工况下目标性能的统计特征值并计算目标函数，结合设计域空间利用率约束，建立了一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化模型，高效地解决了概率区间不确定性因素共存情况下、使用功能梯度材料构件的等几何稳健拓扑优化问题。
本发明通过以下技术方案实现：一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法，包括以下步骤：
1)考虑功能梯度材料构件在制造与使用过程中的不确定性，包括：构件基体材料的材料属性、增强颗粒在基体中分布的体积分数、构件所受外载的幅值与方向；材料相关不确定性组成的向量表示为X，载荷相关不确定性组成的向量表示为I；其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将外载的幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理，将具有充足样本信息的基体材料属性、增强颗粒在基体中分布的体积分数视为有界概率不确定性处理，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性因素；
2)构建功能梯度材料构件的非均匀有理B样条NURBS等几何分析模型，具体为：
在构建NURBS曲线的基础上，同时引入两个方向的节点向量u＝(u0,u1,...,um+p+1)和v＝(v0,v1,...,vn+q+1)，引入m×n个控制点Pi,j,i＝1,2,...,m；j＝1,2,...,n和m×n个权重wi,j,i＝1,2,...,m；j＝1,2,...,n，构件分析模型表达为：
其中，
其中，S(u,v)表示NURBS曲面内的任意点，Ni,p(u)和Mj,q(v)分别表示在u方向上第i个p阶一维B样条基函数和在v方向上第j个q阶一维B样条基函数，p,q通常取偶数；
3)确定模型中NURBS网格单元增强颗粒体积分数及不确定性影响下的杨氏模量和泊松比，具体为：
3.1)根据NURBS网格分析模型指定坐标系；控制点Pi,j根据对应单元表示为Pe,a,b,e＝1,2,...,Ne；a＝1,2,...,1+p；b＝1,2,...,1+q，Ne表示单元总数；对应基函数同时根据控制点对应的单元表示为Re,a,b(u,v)；对应控制点材料密度ρi,j同时根据控制点对应的单元表示为ρe,a,b；对于第e个单元，将控制点按照梯度方向即y轴方向进行从小到大排序，选取最中间的控制点的坐标作为其单元坐标，记为：
其中，表示控制点的纵坐标，vole(y)表示第e个单元的增强颗粒体积分数；
3.2)使用Halpin-Tsai微观力学模型计算在不确定性影响下各单元整体材料杨氏模量Ee(X)与泊松比νe(X)；
3.3)基于拓扑优化中经典的固体各向同性材料惩罚模型SIMP框架，引入罚因子，则不确定性影响下单元e内高斯积分点对应的杨氏模量表示为：
其中，ρ表示本次迭代内控制点材料密度组成的向量，Ee(X)表示不确定性影响下当前单元满材料时的杨氏模量，Emin为当前单元无材料时的杨氏模量，一般取无限接近0的数值，表示对应高斯积分点的材料密度，s表示SIMP框架下的罚因子；
4)对已离散化的构件施加边界条件与几何约束，具体为：
4.1)边界条件包括构件的固定或支持、外部载荷，依据经典有限元方式施加；
4.2)几何约束包括构件中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞覆盖的单元所对应的控制点设计变量置ρe,a,b≡0，而要求强制保留材料区域覆盖的单元所对应的控制点设计变量置ρe,a,b≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；
5)取功能梯度材料构件的柔顺度为优化设计目标，在稳健拓扑优化框架内考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下的构件柔顺度，将构件在最差工况下的柔顺度均值与标准差作为优化设计目标的表征，建立考虑区间与有界概率混合不确定性的功能梯度材料构件稳健优化设计模型，如Eq.5所示：
ρ＝{ρi,j},10-6≤ρi,j≤1,i＝1,2,...,m；j＝1,2,...,n
其中，J(ρ,X,I)表示稳健性优化的目标函数；ρi,j表示控制点Pi,j对应的材料密度；NX表示材料相关不确定性个数；fk,k＝1,2,...,NF和αk,k＝1,2,...,NF分别表示载荷的大小和载荷与x轴的夹角，NF表示载荷的数量；和分别表示最差工况下，在材料相关不确定性作用下构件目标性能的均值和标准差；表示使当前构件柔顺度达到最大的载荷状态即最差工况；c(ρ,μX,I)表示限制材料相关不确定性于其均值时的构件柔顺度；μX表示材料相关不确定性的均值组成的向量；ue表示单元e的位移向量；ke(ρ,μX)表示限制材料相关不确定性于其均值时单元e的刚度矩阵；ρthis表示每次迭代优化前构件材料密度分布；g(ρ)表示优化空间利用率约束函数；V(ρ)表示当前优化空间大小；V0和[V]分别表示设计域大小和空间利用率的上限值；NG表示参数域每个单元内每个方向上的离散高斯积分点个数；和分别表示每个单元参数域单一方向上第ii项和第jj项权重值；Re,a,b表示影响高斯点的控制点所对应的基函数；Je表示单元e连通物理域和参数域的雅克比矩阵，det表示求行列式；K(ρ,X)表示不确定性影响下构件总体刚度矩阵；U表示构件整体位移向量；表示最差工况在等几何框架下的载荷向量；
6)考虑材料相关不确定性的总体刚度矩阵构建，具体为：
6.1)在考虑材料相关不确定性的情况下，对于NURBS网格分析模型的第e个单元，得到在SIMP框架下的单元刚度矩阵ke，记为：
其中，表示单元e内点对应的应变-位移矩阵；jj＝1,2,...,NG表示每个高斯积分点在参数域内对应的横纵坐标；表示不确定性影响下单元e内高斯积分点对应的弹性张量矩阵；
其中，Re,a,b表示点处基函数的简化形式，为的简化形式，表示在点处基函数在x轴方向上的导数；基于单元刚度矩阵，得到构件总体刚度矩阵，表示为：
6.2)忽略增强颗粒材料属性的不确定性，将基材杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数都限制在其均值上，得到总体刚度矩阵，表示为：
其中，ρthis表示每次迭代优化前构件材料密度分布，μX表示基材杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数的均值组成的向量；
7)计算功能梯度材料构件的最差工况具体为：
7.1)根据线弹性假设，NF个不确定载荷的总体作用等效为各载荷单独作用效果的叠加；采用有限元理论中构件柔顺度的定义，表示为：
其中，表示第i个单元控制点位移的单位正交基，表示第j个单元控制点载荷的单位正交基；ui,i＝1,2,...,Ne表示单元位移向量，Rj,j＝1,2,...,Ne表示单元载荷向量，且有：
Fi表示作用于第i个单元控制点的外载F；
Cij是对称阵，由两组正交基相乘获得，表示为：
式Eq.13进一步写为：
7.2)利用链式法则，将式Eq.17分别对不确定载荷的幅值fk与方向角αk求导得：
其中，k＝1,2,…,NF；
7.3)式Eq.18、Eq.19同时满足时，即得到最差工况
8)结合拉盖尔积分求解统计特征值，具体为：
8.1)在已知最差工况的条件下，将基材杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数不确定性分开考虑，将上述不确定性都取均值时，构件柔顺度表示为：
其中，表示构件柔顺度的名义值，表示在材料相关不确定性都取均值时第e个单元的位移向量；
8.2)考虑上述材料相关不确定性，得：
结合单变量降维方法对进行近似展开，得：
其中，表示仅考虑单一变量时的材料相关不确定性；
8.3)计算最差工况下，功能梯度材料构件柔顺度在材料不确定性作用下的均值E(c)和方差D(c)：
其中，φ(Xt),t＝1,2,...,NX表示中的每个材料相关不确定性随机变量Xt的概率密度函数；
通过拉盖尔积分近似得到柔顺度的均值和二次方均值进而计算得到功能梯度材料构件柔顺度在材料不确定性作用下的均值和标准差
9)分析目标函数J(ρ,X,I)和约束函数g(ρ)对各单元控制点密度ρe,a,b的灵敏度；
9.1)计算目标函数与约束函数对各单元控制点密度的灵敏度：
利用链式法则和方差公式将Eq.26展开得：
其中，灵敏度项分别为最差工况柔顺度值一阶及二阶原点矩对各单元控制点密度ρe,a,b的灵敏度；
9.2)计算灵敏度项获得目标函数灵敏度结果；
9.3)根据所求目标函数与约束函数灵敏度信息，根据标准最优准则法更新当前设计变量即控制点密度；
9.4)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于事先指定的收敛阈值，则满足收敛条件并输出更新后的设计变量；否则重复步骤9.1)至9.4)。
进一步地，所述步骤3.2)中，使用Halpin-Tsai微观力学模型计算在不确定性影响下各单元杨氏模量Ee(X)与泊松比νe(X)，具体如下：
3.2.1)增强颗粒的物理属性包括：颗粒平均长度lprm、平均宽度wprm与平均厚度tprm、杨氏模量Eprm；
3.2.2)定义以下中间参数：
其中，EM是基材的杨氏模量；
3.2.3)结合式Eq.3，计算得不确定性影响下各单元的杨氏模量Ee(X)为：
3.2.4)计算得不确定性影响下各单元的泊松比为：
νe(X)＝νprmvole(y)+νM[1-vole(y)] Eq.32
其中，νe(X)、νprm、νM分别为第e个单元、增强颗粒材料、基体材料的泊松比。
进一步地，步骤8.3)中采用拉盖尔积分进行简化计算：
其中，L表示拉盖尔积分点数目，表示中第l个材料相关的不确定性随机变量，x(l)表示积分点数值，λ(l)表示积分点对应的权重；结合式Eq.23、Eq.24计算
根据方差公式，计算得功能梯度材料构件柔顺度在材料不确定性随机变量作用下的均值和方差：
本发明具有的有益效果是：
1)考虑颗粒增强材料构件在制造与使用过程中的多源不确定性，包括构件基体材料的材料属性、颗粒增强相在基体中分布的体积分数、构件所受外载的幅值与方向等；其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将其幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理；将具有充足样本信息的基体材料属性、颗粒增强相在基体中分布的体积分数等视为有界概率不确定性处理，并采用广义贝塔分布来描述各有界概率不确定性参数，克服了现有产品结构稳健拓扑优化设计方法仅考虑概率不确定性或区间不确定性的不足，所构建的构件稳健优化模型更符合工程实际。
2)针对工业制造中已广泛使用的颗粒增强材料，本发明通过考虑颗粒增强相在基体材料中体积分布的不确定性，建立了一种功能梯度材料结构等几何稳健拓扑优化方法，将现有的针对单一材料的构件稳健优化设计方法推广到复合材料中；通过等几何方法进行稳健性拓扑优化,有效地避免传统稳健性拓扑优化方法带来的弊端,可以精确描述复杂高曲率几何边界。通过将等几何方法与拓扑优化相结合，可以提高拓扑优化过程中构件分析的精度，提高数值稳定性，避免优化过程中出现的棋盘格现象，无需额外的滤波手段。
3)现有构件稳健拓扑优化方法由于考虑正态分布的概率不确定性，因此一般采用积分限为正负无穷的厄密特(Hermit)积分格式计算目标性能统计矩；但正态分布取值的无界性与实际工程中不确定性参数一般非负的合理取值有冲突，可能造成设计结果不合理；本发明通过引入对所优化目标性能的单变量降维方法与积分限为零至正无穷的拉盖尔积分格式，提出了一种精确估计构件目标性能均值与标准差的数值方法；相较现有考虑概率区间混合不确定性的产品构件性能统计矩估计方法，该方法以更符合实际的有界概率不确定性模型——广义贝塔分布为基础、与成熟的稳健拓扑优化框架中具有更好兼容性，且能高效导出目标性能对设计变量的梯度信息用于迭代更新、寻优。
附图说明
图1是功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化流程图。
图2是一示例性实施例提供的扭力臂增强相分布模式图。
图3是一示例性实施例提供的扭力臂初始设计图。
图4是一示例性实施例提供的扭力臂稳健拓扑优化设计结果。
具体实施方式
以下结合附图和实例对本发明作进一步说明。
图中涉及信息为本发明在某型号飞机起落架扭力臂稳健设计中的实际应用数据，图1是功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化流程图。
1、以使用石墨烯薄片(Graphene platelets，GPLs)作为增强颗粒，以40CrNi2Si2MoVA材料作为基材制造的某型号飞机起落架扭力臂作为研究对象，考虑该起落架在制造与使用过程中的不确定性：
1.1)飞机在起降过程中，起落架受到的冲击由于飞机质量以及速度的变化而产生波动，因此载荷大小及方向存在一定范围内的不确定性，由于对外载进行测量有一定困难，难以获得关于外载的充足样本信息，故将其幅值f与方向角α视为区间不确定性处理，选用I表示通过区间不确定性表示的载荷大小和方向组成的向量；
1.2)起落架扭力臂基体材料40CrNi2Si2MoVA的材料属性由于原材料物性不均一、冶金过程中工艺波动等具有较显著的不确定性，但通过测量成品可获得充足样本信息，故可作为有界概率不确定性处理；GPLs杨氏模量与泊松比稳定，故不考虑其不确定性而使用其标称值；GPLs在40CrNi2Si2MoVA基体中的体积分数不确定度VGPLs可通过测量添加机构的相关参数获得充足样本信息，故也作为有界概率不确定性处理，选用X表示材料相关不确定性组成的向量；进一步地，以上有界概率不确定性均采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述，各不确定性变量的参数信息总结如表1所示：
表1飞机起落架扭力臂稳健拓扑优化中考虑的不确定性参数信息
| 不确定性变量 | 不确定性类型 | 下界 | 上界 | 标准差 | 均值 |
| EM(GPa) | 概率 | 0.85 | 1.15 | 0.04 | 1.00 |
| νM | 概率 | 0.27 | 0.33 | 4.00E-3 | 0.30 |
| VGPLs | 概率 | 0.9％ | 1.1％ | 0.34‰ | 1％ |
| f1(kN) | 区间 | 1.30 | 1.50 | / | 1.40 |
| f2(kN) | 区间 | 1.05 | 1.25 | / | 1.15 |
| α1/α2(°) | 区间 | -120 | -60 | / | -90 |
1.3)起落架扭力臂基体根据设计域指定坐标系，确定坐标位置；扭力臂增强相分布模式如图2所示；示例性实施例提供的扭力臂初始设计图如图3所示。由于实际工作时要求增强扭力臂韧性与耐磨性、减小变形并避免失稳，因此每个单元对应的增强颗粒体积分数的理论表达式vole(y)根据实际使用要求，计算得：
vole(y)＝volmax·(1-cos(πy/2h+π/4)) Eq.1
其中，y表示单元e对应的纵坐标值，volmax表示GPLs的最大体积分数，此处取2％，h表示设计域的高度。
2、构建NURBS等几何分析模型，具体为：
将构件设计域利用等几何方法进行建模，在构建NURBS曲线的基础上，同时引入两个方向的NURBS节点向量u＝(u0,u1,...,u251+2+1)和v＝(v0,v1,...,v101+2+1)，引入控制点Pi,j,i＝1,2,...,251；j＝1,2,...,101和权重wi,j，此处NURBS曲线的阶次均取为2，即p＝q＝2。
3、确定模型中NURBS网格单元GPLs体积分数及不确定性影响下的杨氏模量和泊松比，具体为：
3.1)根据NURBS网格分析模型指定坐标系，控制点Pi,j根据对应单元表示为Pe,a,b,e＝1,2,...,25000；a＝1,2,3；b＝1,2,3；基函数根据对应单元表示为Re,a,b(u,v)；对应控制点材料密度ρi,j根据控制点对应的单元表示为ρe,a,b。对于第e个单元，通过对单元控制点根据物理空间内横纵坐标，按照梯度方向即y轴方向从小到大进行坐标排序，选取排在最中间的控制点Pe,2,2的坐标作为其单元坐标，记为：
其中，vole(y)表示第e个单元的GPLs体积分数，表示第e个单元内控制点Pe,2,2的纵坐标。
3.2)使用Halpin-Tsai微观力学模型计算在不确定性影响下各单元整体材料杨氏模量Ee(X)与泊松比νe(X)；
3.2.1)取GPLs的物理属性为：颗粒平均长度lGPLs＝2.5μm、平均宽度wGPLs＝1.5μm与平均厚度tGPLs＝1.5nm、杨氏模量EGPLs＝5.08GPa、泊松比νGPLs＝0.186；
3.2.2)定义以下参数：
其中，EM是40CrNi2Si2MoVA的杨氏模量，EM＝1.0GPa。基材40CrNi2Si2MoVA的泊松比为νM＝0.3；
3.2.3)计算不确定性影响下等几何单元的杨氏模量Ee(X)：
3.2.4)计算不确定性影响下等几何单元的泊松比νe(X)：
νe(X)＝0.186·vole(y)+0.3·[1-vole(y)] Eq.5
3.3)基于拓扑优化中经典的SIMP框架，引入罚因子s，这里取3.5，计算得各高斯积分点对应的杨氏模量
4、对已离散化的构件施加边界条件与几何约束，具体为：
4.1)边界条件包括构件的固定或支持、外部载荷，依据经典有限元方式施加；
4.2)几何约束包括构件中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞覆盖的单元所对应的控制点设计变量置ρe,a,b≡0而要求强制保留材料区域覆盖的单元所对应的控制点设计变量置ρe,a,b≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；
5、取起落架扭力臂的结构柔顺度为优化设计目标，在稳健拓扑优化框架内考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下的构件柔顺度，将构件在最差工况下的柔顺度均值与标准差作为优化设计目标的表征，建立功能梯度材料构件稳健优化设计模型，如Eq.6所示：
ρ＝{ρi,j},10-6≤ρi,j≤1(i＝1,2,...,251；j＝1,2,...,101)
X＝(EM,νM,VGPLs)T,I＝(f1,f2,α1,α2)T
其中，J(ρ,X,I)表示稳健性优化的目标函数；ρ表示扭力臂每个控制点密度组成的集合，ρi,j表示控制点Pi,j对应的材料密度；EM表示基材40CrNi2Si2MoVA的杨氏模量，νM表示基材40CrNi2Si2MoVA的泊松比，VGPLs表示增强颗粒GPLs的体积分数；fk,k＝1,2和αk分别表示作用于扭力臂的载荷大小和载荷与x轴的夹角；和分别表示最差工况下，在材料相关不确定性作用下扭力臂柔顺度的均值和标准差；表示使扭力臂柔顺度达到最大的载荷状态(即最差工况)；c(ρ,μX,I)表示限制材料相关不确定性于其均值时的扭力臂柔顺度；μX表示材料相关不确定性的均值组成的向量，表示基材40CrNi2Si2MoVA杨氏模量均值，表示基材40CrNi2Si2MoVA的泊松比均值，表示增强颗粒GPLs的体积分数的均值；ue表示单元e的位移向量；ke(ρ,μX)表示限制材料相关不确定性于其均值时单元e的刚度矩阵；ρthis表示每次迭代优化前扭力臂材料密度分布；g(ρ)表示优化空间利用率约束函数；V(ρ)表示当前优化空间大小；V0表示设计域大小和空间利用率的上限值；表示单元e的对应高斯积分点的材料密度；和分别表示每个单元参数域单一方向上第ii项和第jj项权重值；Re,a,b表示影响高斯点的控制点所对应的基函数；Je表示单元e连通物理域和参数域的雅克比矩阵，det表示求行列式；K(ρ,X)表示扭力臂总体刚度矩阵；U表示扭力臂整体位移向量；表示最差工况在等几何框架下的载荷向量；
6、考虑材料相关不确定性的总体刚度矩阵构建，具体为：
6.1)在考虑材料相关不确定性的情况下，对于NURBS网格分析模型的第e个单元，得到在SIMP框架下的单元刚度矩阵ke，记为：
其中，表示单元e内点对应的应变-位移矩阵；jj＝1,2,3表示每个高斯积分点在参数域内对应的横纵坐标；表示不确定性影响下单元e的弹性张量矩阵；Je表示单元e连通物理域和参数域的雅克比矩阵；det表示求行列式。
其中，Re,a,b表示点处基函数的简化形式，为的简化形式，表示在点处基函数在x轴方向上的导数。基于单元刚度矩阵，得到扭力臂总体刚度矩阵，表示为：
6.2)忽略增强颗粒材料属性的不确定性，将基材的杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数都限制在其均值上，得到总体刚度矩阵；
7)计算功能梯度材料构件的最差工况具体为：
7.1)根据线弹性假设，本例中2个不确定载荷的总体作用等效为各载荷单独作用效果的叠加。采用有限元理论中构件柔顺度的定义，表示为：
式中，Fi和Fj分别表示第i个单元控制点对应的外载F和第j个单元控制点对应的外载F的向量，表示第i个单元控制点位移的单位正交基，表示第j个单元控制点载荷的单位正交基，ui,i＝1,2,...,Ne表示单元位移向量，Rj,j＝1,2,...,Ne表示单元载荷向量。
将上式进一步写为：
7.2)利用链式法则，将式Eq.14分别对不确定载荷的幅值fk与方向角αk求导得：
其中，k＝1,2。
7.3)式Eq.15、Eq.16同时满足时，即得到最差工况
8、结合拉盖尔积分求解统计特征值，具体为：
8.1)在已知最差工况的条件下，将40CrNi2Si2MoVA的杨氏模量、泊松比以及GPLs体积分数不确定性分开考虑，取为均值，得到不确定性都取均值时的构件柔顺度
8.2)考虑材料相关不确定性，结合单变量降维方法对最差工况下的扭力臂柔顺度进行近似展开：
8.3)计算最差工况下，起落架扭力臂柔顺度在材料相关不确定性随机变量作用下的均值和方差，结合拉盖尔积分进行简化计算，此处拉盖尔积分点数目L取为3。
9、基于目标函数J(ρ,X,I)和约束函数g(ρ)对各单元控制点密度ρe,a,b进行灵敏度分析。
9.1)分别计算目标函数与约束函数对各单元控制点密度灵敏度，利用链式法则和方差公式将灵敏度计算公式展开；通过SIMP框架，计算最差工况柔顺度值对各单元控制点密度的梯灵敏度；
9.2)计算得目标函数灵敏度结果；
9.3)根据所求目标函数与约束函数灵敏度信息，根据标准最优准则法更新当前设计变量；
9.4)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于事先指定的收敛阈值，此处收敛阈值取ερ＝0.015，则称满足收敛条件并输出更新后的设计变量；否则重复步骤9.1)至9.4)。
迭代寻优在第151代收敛，优化后，性能最差工况为f1＝1.5kN,α1＝-60°，f2＝1.25kN,α2＝-73.4°，该值可用于进一步工程分析；优化结果如图4所示，满足面向功能梯度材料的飞机起落架扭力臂稳健性设计需求与工作要求，从而验证了所提出方法的有效性。
需要声明的是，本发明内容及具体实施方式意在证明本发明所提供技术方案的实际应用，不应解释为对本发明保护范围的限定。在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。
Claims (3)
1.一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
1)考虑功能梯度材料构件在制造与使用过程中的不确定性，包括：构件基体材料的材料属性、增强颗粒在基体中分布的体积分数、构件所受外载的幅值与方向；材料相关不确定性组成的向量表示为X，载荷相关不确定性组成的向量表示为I；其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将外载的幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理，将具有充足样本信息的基体材料属性、增强颗粒在基体中分布的体积分数视为有界概率不确定性处理，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性因素；
2)构建功能梯度材料构件的非均匀有理B样条NURBS等几何分析模型，具体为：
在构建NURBS曲线的基础上，同时引入两个方向的节点向量u＝(u0,u1,...,um+p+1)和v＝(v0,v1,...,vn+q+1)，引入m×n个控制点Pi,j,i＝1,2,...,m；j＝1,2,...,n和m×n个权重wi,j,i＝1,2,...,m；j＝1,2,...,n，构件分析模型表达为：
其中，
其中，S(u,v)表示NURBS曲面内的任意点，Ni,p(u)和Mj,q(v)分别表示在u方向上第i个p阶一维B样条基函数和在v方向上第j个q阶一维B样条基函数；
3)确定模型中NURBS网格单元增强颗粒体积分数及不确定性影响下的杨氏模量和泊松比，具体为：
3.1)根据NURBS网格分析模型指定坐标系；控制点Pi,j根据对应单元表示为Pe,a,b,e＝1,2,...,Ne；a＝1,2,...,1+p；b＝1,2,...,1+q，Ne表示单元总数；对应基函数同时根据控制点对应的单元表示为Re,a,b(u,v)；对应控制点材料密度ρi,j同时根据控制点对应的单元表示为ρe,a,b；对于第e个单元，将控制点按照梯度方向即y轴方向进行从小到大排序，选取最中间的控制点的坐标作为其单元坐标，记为：
其中，表示控制点的纵坐标，vole(y)表示第e个单元的增强颗粒体积分数；
3.2)使用Halpin-Tsai微观力学模型计算在不确定性影响下各单元整体材料杨氏模量Ee(X)与泊松比νe(X)；
3.3)基于拓扑优化中经典的固体各向同性材料惩罚模型SIMP框架，引入罚因子，则不确定性影响下单元e内高斯积分点对应的杨氏模量表示为：
其中，ρ表示本次迭代内控制点材料密度组成的向量，Ee(X)表示不确定性影响下当前单元满材料时的杨氏模量，Emin为当前单元无材料时的杨氏模量，表示对应高斯积分点的材料密度，s表示SIMP框架下的罚因子；
4)对已离散化的构件施加边界条件与几何约束，具体为：
4.1)边界条件包括构件的固定或支持、外部载荷，依据经典有限元方式施加；
4.2)几何约束包括构件中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞覆盖的单元所对应的控制点设计变量置ρe,a,b≡0，而要求强制保留材料区域覆盖的单元所对应的控制点设计变量置ρe,a,b≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；
5)取功能梯度材料构件的柔顺度为优化设计目标，在稳健拓扑优化框架内考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下的构件柔顺度，将构件在最差工况下的柔顺度均值与标准差作为优化设计目标的表征，建立考虑区间与有界概率混合不确定性的功能梯度材料构件稳健优化设计模型，如Eq.5所示：
ρ＝{ρi,j},10-6≤ρi,j≤1,i＝1,2,...,m；j＝1,2,...,n
其中，J(ρ,X,I)表示稳健性优化的目标函数；ρi,j表示控制点Pi,j对应的材料密度；NX表示材料相关不确定性个数；fk,k＝1,2,...,NF和αk,k＝1,2,...,NF分别表示载荷的大小和载荷与x轴的夹角，NF表示载荷的数量；和分别表示最差工况下，在材料相关不确定性作用下构件目标性能的均值和标准差；表示使当前构件柔顺度达到最大的载荷状态即最差工况；c(ρ,μX,I)表示限制材料相关不确定性于其均值时的构件柔顺度；μX表示材料相关不确定性的均值组成的向量；ue表示单元e的位移向量；ke(ρ,μX)表示限制材料相关不确定性于其均值时单元e的刚度矩阵；ρthis表示每次迭代优化前构件材料密度分布；g(ρ)表示优化空间利用率约束函数；V(ρ)表示当前优化空间大小；V0和[V]分别表示设计域大小和空间利用率的上限值；NG表示参数域每个单元内每个方向上的离散高斯积分点个数；和分别表示每个单元参数域单一方向上第ii项和第jj项权重值；Re,a,b表示影响高斯点的控制点所对应的基函数；Je表示单元e连通物理域和参数域的雅克比矩阵，det表示求行列式；K(ρ,X)表示不确定性影响下构件总体刚度矩阵；U表示构件整体位移向量；表示最差工况在等几何框架下的载荷向量；
6)考虑材料相关不确定性的总体刚度矩阵构建，具体为：
6.1)在考虑材料相关不确定性的情况下，对于NURBS网格分析模型的第e个单元，得到在SIMP框架下的单元刚度矩阵ke，记为：
其中，表示单元e内点对应的应变-位移矩阵；表示每个高斯积分点在参数域内对应的横纵坐标；表示不确定性影响下单元e内高斯积分点对应的弹性张量矩阵；
其中，Re,a,b表示点处基函数的简化形式，为的简化形式，表示在点处基函数在x轴方向上的导数；基于单元刚度矩阵，得到构件总体刚度矩阵，表示为：
6.2)忽略增强颗粒材料属性的不确定性，将基材杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数都限制在其均值上，得到总体刚度矩阵，表示为：
其中，ρthis表示每次迭代优化前构件材料密度分布，μX表示基材杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数的均值组成的向量；
7)计算功能梯度材料构件的最差工况具体为：
7.1)根据线弹性假设，NF个不确定载荷的总体作用等效为各载荷单独作用效果的叠加；采用有限元理论中构件柔顺度的定义，表示为：
其中，表示第i个单元控制点位移的单位正交基，表示第j个单元控制点载荷的单位正交基；ui,i＝1,2,...,Ne表示单元位移向量，Rj,j＝1,2,...,Ne表示单元载荷向量，且有：
Fi表示作用于第i个单元控制点的外载F；
Cij是对称阵，由两组正交基相乘获得，表示为：
式Eq.13进一步写为：
7.2)利用链式法则，将式Eq.17分别对不确定载荷的幅值fk与方向角αk求导得：
其中，k＝1,2,…,NF；
7.3)式Eq.18、Eq.19同时满足时，即得到最差工况
8)结合拉盖尔积分求解统计特征值，具体为：
8.1)在已知最差工况的条件下，将基材杨氏模量、泊松比以及增强颗粒体积分数不确定性分开考虑，将上述不确定性都取均值时，构件柔顺度表示为：
其中，表示构件柔顺度的名义值，表示在材料相关不确定性都取均值时第e个单元的位移向量；
8.2)考虑上述材料相关不确定性，得：
结合单变量降维方法对进行近似展开，得：
其中，表示仅考虑单一变量时的材料相关不确定性；
8.3)计算最差工况下，功能梯度材料构件柔顺度在材料不确定性作用下的均值E(c)和方差D(c)：
其中，φ(Xt),t＝1,2,...,NX表示中的每个材料相关不确定性随机变量Xt的概率密度函数；
通过拉盖尔积分近似得到柔顺度的均值和二次方均值进而计算得到功能梯度材料构件柔顺度在材料不确定性作用下的均值和标准差
9)分析目标函数J(ρ,X,I)和约束函数g(ρ)对各单元控制点密度ρe,a,b的灵敏度；
9.1)计算目标函数与约束函数对各单元控制点密度的灵敏度：
利用链式法则和方差公式将Eq.26展开得：
其中，灵敏度项分别为最差工况柔顺度值一阶及二阶原点矩对各单元控制点密度ρe,a,b的灵敏度；
9.2)计算灵敏度项获得目标函数灵敏度结果；
9.3)根据所求目标函数与约束函数灵敏度信息，根据标准最优准则法更新当前设计变量即控制点密度；
9.4)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于事先指定的收敛阈值，则满足收敛条件并输出更新后的设计变量；否则重复步骤9.1)至9.4)。
2.根据权利要求1所述的一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法，其特征在于，所述步骤3.2)中，使用Halpin-Tsai微观力学模型计算在不确定性影响下各单元杨氏模量Ee(X)与泊松比νe(X)，具体如下：
3.2.1)增强颗粒的物理属性包括：颗粒平均长度lprm、平均宽度wprm与平均厚度tprm、杨氏模量Eprm；
3.2.2)定义以下中间参数：
其中，EM是基材的杨氏模量；
3.2.3)结合式Eq.3，计算得不确定性影响下各单元的杨氏模量Ee(X)为：
3.2.4)计算得不确定性影响下各单元的泊松比为：
νe(X)＝νprmvole(y)+νM[1-vole(y)] Eq.32
其中，νe(X)、νprm、νM分别为第e个单元、增强颗粒材料、基体材料的泊松比。
3.根据权利要求1所述的一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法，其特征在于，步骤8.3)中采用拉盖尔积分进行简化计算：
其中，L表示拉盖尔积分点数目，表示中第l个材料相关的不确定性随机变量，x(l)表示积分点数值，λ(l)表示积分点对应的权重；结合式Eq.23、Eq.24计算
根据方差公式，计算得功能梯度材料构件柔顺度在材料不确定性随机变量作用下的均值和方差：
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|---|---|---|---|
| CN202310400255.6A CN116451537A (zh) | 2023-04-14 | 2023-04-14 | 一种功能梯度材料构件等几何稳健拓扑优化方法 |
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Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN118378554A (zh) * | 2024-06-27 | 2024-07-23 | 华东交通大学 | 基于应力约束的多自由度柔顺机构稳健性拓扑优化方法 |
-
2023
- 2023-04-14 CN CN202310400255.6A patent/CN116451537A/zh active Pending
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|---|---|---|---|---|
| CN118378554A (zh) * | 2024-06-27 | 2024-07-23 | 华东交通大学 | 基于应力约束的多自由度柔顺机构稳健性拓扑优化方法 |
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