CN116306167B - 一种基于t样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法。包括以下步骤：考虑复合材料机械结构制造和使用中的不确定性，将样本不充分的外载视为区间不确定性，将样本充分的材料属性和增强相体积分数视为有界概率不确定性；建立复杂机械结构的T样条网格模型，进而建立以柔顺度最小化为目标的等几何稳健拓扑优化模型；根据最优准则法更新设计向量，引入基于T样条控制点的最小宽度滤波来获得符合实际工程需求的最优结构。本发明建立的复杂机械结构等几何稳健拓扑优化模型考虑了实际工程中的多源不确定性，采用更加灵活的T样条实现对复杂机械结构建模，基于不确定性等几何分析求解优化模型，所得最优结构具有更好的工程应用价值。

Description

一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法
技术领域
本发明属于装备结构优化设计领域，涉及一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法。
背景技术
复合材料具有高刚度、轻质量等优良特性，在工业领域有着广泛的应用。拓扑优化是指在产品结构概念设计阶段，设计人员不依赖于先验知识通过相应框架获得设计域内材料最佳分布形式的过程。对复合材料制造的复杂机械结构进行拓扑优化，可以在概念设计阶段对材料用量进行规划，实现材料的最优布局。
等几何分析是美国工程院院士Hughes于2005年提出的一种新型计算机仿真分析技术，近年来受到广泛的关注。等几何分析采用非均匀有理B样条或T样条等样条基函数作为形函数，相比于有限元分析中的拉格朗日插值函数，样条基函数可以实现任意高阶连续性，并且可以精确描述复杂高曲率几何边界。相比于传统有限元方法的近似网格划分，等几何方法进行的网格化划分具有较高的精度。此外，由于等几何方法的基函数相比于有限元分析中的拉格朗日插值函数可以实现任意高阶连续性，从而提升网格质量，这体现在通过等几何方法对结构进行拓扑优化时不容易出现棋盘格现象，从而提高最终拓扑优化结果的质量。因此，和传统有限元方法相比，通过等几何方法进行拓扑优化更具有优势。
目前，大多基于等几何分析的结构拓扑优化方法都是基于非均匀有理B样条展开，非均匀有理B样条具有模型整体网格划分、非负性和线性独立性等优异的数学和算法特性。然而，非均匀有理B样条的张量积拓扑结构严重限制了它的应用，这种局限性导致基于非均匀有理B样条的等几何拓扑优化方法只能处理简单几何形状(如矩形设计域)中定义的拓扑优化问题，难以处理带圆角/孔洞复杂机械结构。为了克服非均匀有理B样条的缺陷，T样条作为非均匀有理B样条的一种推广，通过引入T结点和奇异点，可表示任意的拓扑结构。
此外，目前基于等几何分析的拓扑优化研究没有考虑不确定性。而在实际工程中，复杂机械结构制造过程中，工艺波动以及增强相体积分数控制的不稳定都有可能导致材料本身属性的不确定；此外由于服役工况的变化导致复合材料受到的载荷大小和方向存在不确定性。因此，需要在复杂机械结构拓扑优化中需要充分考虑这些进行不确定性。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，提出了一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法。考虑使用的复合材料在制造和使用过程中的不确定性，将样本不充分的外载视为区间不确定性、将样本充分的材料属性参数和材料增强相的体积分数视为有界概率不确定性；建立复合材料制造的带圆角/孔洞的复杂机械结构T样条模型，设置边界条件，确定载荷大小及方向，建立基于T样条的等几何稳健拓扑优化模型：利用优化目标梯度信息确定最差工况，解决载荷幅值和方向角的不确定性问题；使用单变量降维方法与拉盖尔积分格式估计最差工况下优化目标的均值、方差以构造目标函数；结合控制点坐标和对应材料密度在物理域上进行滤波，优化不理想的结构；使用最优设计准则迭代求解设计变量；对最终得到的设计变量在参数域上进行细化，求解每个网格单元内部的密度分布来形成最优拓扑结构。本发明方法高效地解决了概率区间不确定因素共存情况下，复合材料制造的带圆角/孔洞复杂机械结构的稳健拓扑优化设计问题。
本发明是通过以下技术方案实现的：一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法，该方法包括以下步骤：
1)考虑使用复合材料的复杂机械结构在制造和使用过程中的以下不确定性：复合材料的材料属性、增强相的体积分数以及复杂机械结构所受外载的大小和方向；其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将外载的大小与方向不确定性视为区间不确定性处理，各区间不确定性参数构成的区间向量记为I；将具有充足样本信息的基体材料属性和材料增强相的体积分数视为有界概率不确定性，采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数，各有界概率不确定性参数构成的随机向量记为X；
2)建立复杂机械结构的T样条网格模型，设置边界条件；
2.1)建立T样条网格模型；
2.2)设置物理约束，包括结构的固定或支持、外部载荷；
2.3)设置几何约束，包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞覆盖的单元所对应的设计变量置ρe≡0而要求强制保留材料区域覆盖的单元所对应的设计变量置ρe≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；
3)使用Halpin-Tsai微观力学模型计算复合材料杨氏模量E(X)与泊松比ν(X)；
4)基于T样条构建考虑不确定性的复杂机械结构刚度矩阵，具体为：
4.1)对每个T样条网格单元进行公共Bernstein多项式基函数提取，实现每个T样条单元参数空间的统一，具体为：
对于第e个T样条网格单元的T样条基函数组成的向量Te,i为第i个T样条基函数，n为第e个T样条网格单元的T样条基函数总数，对Te(u,v)进行Bézier提取，使其转换为能够可等价表示的Bernstein多项式基函数：
Te(u,v)＝CeR(u,v)Eq.1
其中，Ce表示Bézier提取算子矩阵，表示p阶二元Bernstein基函数/>组成的向量；二元Bernstein基函数由两个p阶一元Bernstein基函数/>相乘得到，其关系如Eq.2所示：
其中，一元Bernstein基函数的计算方法为：
其中，
基于Bézier提取以及T样条的定义，得出第e个T样条网格单元的基函数向量：
其中，表示由每个控制点权重构成的向量；diag(·)表示对角矩阵；
4.2)在考虑材料属性、增强相的体积分数不确定性的情况下，对于T样条网格模型的第e个单元，在参数域内对其进行高斯细分，根据控制点的材料密度线性插值得到每个高斯积分点对应的材料密度：
其中，表示高斯积分点/>在参数域内对应的横纵坐标，ρe,i表示控制点对应的材料密度，NG表示参数域内每个方向的高斯积分点数量；根据SIMP框架得到的带有罚因子的杨氏模量为：
其中，ρ表示控制点对应的材料密度向量，s表示SIMP框架下的罚因子，E(X)表示复杂机械结构根据Halpin-Tsai微观力学模型得到的复合材料杨氏模量，Emin为无材料时对应点的弹性模量，一般取无限接近0的数值，单元e内高斯积分点对应的弹性张量矩阵如下：
其中，ν(X)表示通过Halpin-Tsai微观力学模型得到的复合材料泊松比，单元刚度矩阵ke(ρ,X)如下：
其中，和/>分别表示每个T样条网格单元参数域单一方向上第i项和第j项权重值，i,j＝1,2,3,...,NG；/>表示单元e在点/>的应变-位移矩阵，/>表示每个高斯积分点在参数域内对应的横纵坐标，det(·)表示求行列式；Je表示每个单元的雅克比矩阵，具体如Eq.10和Eq.11所示：
其中，Te,j,j＝1,2,3,...,(1+p)2表示单元e的第j个基函数，Pe,j,j＝1,2,3,...,(1+p)2表示单元e的第j个控制点，x,y表示物理域中的横纵坐标，u,v表示参数域中的横纵坐标；根据每个单元的单元刚度矩阵得到复杂机械结构的总体刚度矩阵：
其中，Ne表示复杂机械结构的T样条网格单元数量；
5)考虑体积约束下的复杂机械结构柔顺度最小化即刚度最大化的问题，在稳健拓扑优化过程中确定设计域内各个位置的材料有无，通过变密度方法将设计域离散，通过数学上0-1的数值表示单元内的材料密度，结合SIMP框架量化每个单元的变密度稳健拓扑优化问题，其优化模型为：
其中，J(ρ,X,I)为表征复杂机械结构柔顺度的目标函数，是Nctr×1维设计向量，Nctr表示结构控制点数量；X表示材料相关的随机向量，NX表示X中的随机变量数量；/>是区间不确定性向量，其中/>分别为结构所受NF个不确定外载的幅值，/>分别是结构所受NF个不确定外载的方向角；NF表示结构所受的外载荷数量；/>和/>分别表示最差工况下，在概率不确定性作用下结构目标性能的均值和标准差；/>表示使当前结构柔顺度达到最大的载荷状态即最差工况；c(ρ,μX,I)表示限制材料相关不确定性于其均值时结构的柔顺度，μX表示材料不确定性随机变量均值组成的向量，ue表示第e个单元的单元位移向量；ke(ρ,μX)表示限制材料不确定性于其均值时第e个单元的单元刚度矩阵；ρthis表示每次迭代优化前材料密度分布；g(ρ)＝V(ρ)/V0是当前结构的体积比；/>是当前设计向量ρ所对应结构的体积，V0和[V]分别表示设计域大小以及许用材料的体积上限值，为常数；ρmin、ρmax分别为设计变量的下限和上限；K(ρ,X)表示总体刚度矩阵；U表示整体位移向量；/>表示最差工况下的载荷向量；
6)采用拓扑优化中的标准最优准则法迭代求解Eq.13的考虑区间与有界概率混合不确定性的复杂机械结构稳健优化设计模型，每一次迭代的计算过程具体为：
6.1)采用最差工况搜索算法，寻找最差工况下的不确定性载荷的幅值和方向角；
6.2)通过单变量分析方法，近似展开最差工况下的目标性能通过拉盖尔积分求解不确定性作用下的目标性能统计特征值，计算最差工况下的目标函数
6.3)结合控制点坐标和对应材料密度在物理域上进行滤波，优化不理想的结构；
在物理域上设定滤波半径rmin，对于控制点Pi，距离小于rmin的控制点假设有t个，记为Pi,j,j＝1,2,...,t；将这些控制点与Pi的距离记为ri,j,j＝1,2,...,t；
对控制点Pi,j的密度进行重新分配，公式为：
其中，li,j表示基于Shepard函数得出的控制点Pi,j的权重
li,j＝(1-r)6+35r2+18r+3 Eq.15
其中，
6.4)根据最优准则法更新所有高斯积分点和控制点对应的材料密度；
6.5)检查收敛条件，即每个单元所有高斯积分点密度值变化量最大值不高于预设阈值ερ；若不满足则重复6.1)至6.4)；否则输出本次迭代所得设计向量；
7)对迭代得到的设计向量最优解，在参数域上进行均匀细分，得到最终的拓扑结构；
对于第e个单元，将其在参数域沿u方向和v方向均匀划分为Nd段，构造向量
其中，ud和vd分别表示参数域中所有细分点对应的横纵坐标组成的向量，根据参数域中的细分点及单元e对应控制点的材料密度得到物理域内每个细分点的材料密度，公式如下：
其中，ρe,m,n是物理域内细分点对应的材料密度，分别是ud和vd向量中第m个和第n个数值，物理域内细分点的坐标(xe,m,n,ye,m,n)通过Eq.19得到：
其中，Pe,i表示单元e内第i个控制点；
基于得到的每个细分点坐标(xe,m,n,ye,m,n)，结合对应材料密度，划分出轮廓得到最优拓扑结构。
进一步地，步骤3)中，使用Halpin-Tsai微观力学模型计算杨氏模量E(X)与泊松比ν(X)，具体如下：
3.1)增强颗粒的物理属性包括：颗粒平均长度lprm、平均宽度wprm与平均厚度tprm、杨氏模量Eprm；
3.2)定义以下中间参数：
其中，EM是基材的杨氏模量；
3.3)结构杨氏模量E(X)为：
其中，vol表示结构增强颗粒体积分数；
3.4)计算复合材料的泊松比为：
ν(X)＝νprmvol+νM(1-vol) Eq.22
其中，ν(X)、νprm、νM分别为复合材料、增强颗粒、基材的泊松比。
进一步地，步骤6.1)中，最差工况状态的搜索具体如下：
将材料的不确定性参数都限制在其均值上，得到总体刚度矩阵
在完成结构总体刚度矩阵的构建之后，对于作用于某个点的不确定大小方向的外载荷Fk＝(fkcos(αk),fksin(αk)),k＝1,2,3,...,NF，fk,αk分别表示载荷的大小和方向，构建外载力向量F(I)，在没有力作用处用0填充；通过对F(I)进行灵敏度分析实现结构在载荷作用下的最差工况的搜索；采用有限元理论中结构柔顺度的定义：
其中，表示第i个单元控制点位移的单位正交基，/>表示第j个单元控制点载荷的单位正交基，Rj,j＝1,2,...,Ne表示单元载荷向量，且有
其中，Cij是对称阵，通过两组正交基相乘获得，表示为：
故式Eq.26可进一步化简为：
结构屈服c(ρ,μX,Ι)为fk与αk的连续光滑函数，利用链式法则分别对fk与αk求导可得：
其中，梯度项与/>通过下式计算：
当满足条件Eq.30时，即可得到最差工况
进一步地，步骤6.2)中，通过单变量分析方法，近似展开目标性能通过拉盖尔积分求解不确定性作用下的目标性能统计特征值，计算最差工况下的目标函数具体如下：
在已知最差工况的情况下，将材料不确定性参数取均值作为基准，可得：
其中，表示最差工况下的力向量，ue表示在基准条件下第e个单元的位移向量，ke代表第e个单元的刚度矩阵；采用单变量降维方法对/>进行近似展开：
其中，表示考虑单一变量时的材料不确定性，NX是不确定性变量的数量，/>是不确定性变量取均值时计算得到的柔顺度名义值；
其中，E(c),D(c)分别表示柔顺度函数在不确定性作用下的均值和方差，φ(Xt),t＝1,2,...,NX分别表示结构的材料不确定性参数的概率密度函数；通过拉盖尔积分近似得到柔顺度的均值和二次方均值/>进而计算柔顺度的均值/>和标准差/>最终根据/>得到优化设计模型中表征柔顺度的目标函数值。
本发明具有的有益效果是：
1)考虑复合材料属性和所受外载荷的不确定性，更加符合实际情况。其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将其幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理；将具有充足样本信息的基体材料属性、增强相的体积分数等视为有界概率不确定性处理，并采用广义贝塔分布来描述各有界概率不确定性参数，克服了现有结构等几何拓扑优化方法未考虑不确定性的不足，所构建的稳健优化模型更符合工程实际。
2)提出了基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法，在同时考虑区间不确定外载与有界概率材料不确定性的基础上，利用T样条建立复杂机械结构模型性能分析模型，实现对复杂机械结构精确表示。
3)提出了一种基于Shepard函数的最小宽度滤波方法，通过调节滤波半径，避免材料分布中出现无法加工的过细结构，获得了更契合工程实际的复杂机械结构拓扑最优解。
附图说明
图1是基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化流程图。
图2是一示例性实施例提供的某型号隧道掘进机刀盘内部挡板结构。
图3是一示例性实施例提供的外刀盘内部挡板相关模型。
图4是一示例性实施例提供的外刀盘内部挡板拓扑优化后的拓扑结构。
具体实施方式
以下结合附图和实例对本发明作进一步说明。
图中涉及信息为本发明在某型号隧道掘进机中外刀盘内部挡板设计的实际应用数据，图1是基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化流程图。
1、图2所示的低合金高强度结构钢生产的外刀盘内部挡板，加入了体积分数为2％的石墨烯微片(GPLs)来提高其材料性能，考虑该挡板在制造与使用过程中的不确定性：
1.1)外刀盘内部挡板在刀盘内部起支撑作用以维持刀盘内部空间，受到了较大的轴向力。且在隧道掘进机服役的过程中，由于岩石表面的不平整和功率的波动，受到的外力具有不确定性。但是在工作过程中对外载测量有一定的困难，难以获得外载充足的样本信息，所以外载的幅值f和方向角α视为区间不确定性处理；
1.2)考虑刀盘内部挡板材料的材料属性杨氏模量、泊松比等的不确定性，由于样本通过测试成品即可获取，便于拟合概率模型，因此可通过广义贝塔分布的有界概率变量进行建模；对于增强相的体积分数不确定性可以通过测量制造设备的相关参数获得充足样本信息，同样可视为有界概率模型，采用广义贝塔分布的有界概率变量进行建模。各不确定性变量的参数信息总结如表1所示：
表1外刀盘内部挡板的稳健拓扑优化中所涉及各不确定性参数信息表
不确定性参数 不确定性类型 下界 上界 标准差 名义值*
EM(GPa) 概率 200 210 1.0 205
νM 概率 0.27 0.33 4.00E-3 0.30
f(kN/m) 区间 38 40 / 39
α 区间 -120° -60° / -90°
*对区间变量而言，其不确定性参数为区间中点与半径；对有界概率变量而言，其不确定性参数为其均值与标准差；
2、对外刀盘内部挡板进行T样条建模，对载荷进行相应的简化，仅保留轴向力的外载，同时对模型左右两端进行位置约束，结构受力及约束模型如图中(a)所示，T样条网格模型如图3中(b)所示，共包含1280个T样条单元，每个单元的控制点数量Nep＝16。T样条曲面阶次为3次，T样条细分划分段数Nd＝8。
3、使用Halpin-Tsai微观力学模型计算外刀盘内部挡板杨氏模量E(X)与泊松比ν(X)；
3.1)GPLs的物理属性为：颗粒平均长度lGPLs＝2.5μm、平均宽度wGPLs＝1.5μm、平均厚度tGPLs＝1.5nm、杨氏模量EGPLs＝1.01Tpa、泊松比νGPLs＝0.186；
3.2)定义以下参数：
其中，EM是低合金高强度结构钢的杨氏模量，EM＝205.0GPa；
3.3)计算外刀盘内部挡板杨氏模量：
其中，vol表示每个结构GPLs的体积分数，为2％；
3.4)计算外刀盘内部挡板的泊松比：
ν(X)＝0.186·vol+0.3·(1-vol)＝0.29772 Eq.38
4、建立基于T样条的考虑材料不确定性的刚度矩阵。
4.1)提取每个T样条单元公共的Bernstein多项式基函数。
4.2)引入罚因子s＝3构建单元对应的弹性张量矩阵。
4.3)根据公式Eq.9计算每个单元的刚度矩阵。
4.4)组装外刀盘内部挡板的总体刚度矩阵。
5、考虑体积约束下的柔顺度最小化(刚度最大化)的问题，在稳健拓扑优化过程中确定设计域内各个位置的材料有无，通过变密度方法可以将设计域离散，通过数学上0-1的数值表示单元内的材料密度，结合SIMP框架量化每个单元的变密度稳健拓扑优化问题，外刀盘内部挡板的优化模型为
其中J(ρ,X,I)为表征外刀盘内部挡板柔顺度的目标函数，是1280×1维设计向量；X＝(EM,μM,VGPLs)T是3×1维有界概率不确定性向量，其中三个分量EM,μM,VGPLs分别为通过广义贝塔分布概率模型表示的基材杨氏模量、泊松比和增强相体积分数。I＝(f,α)T是2×1维外部载荷的区间不确定性向量；/>和/>分别表示最差工况下，在概率不确定性作用下外刀盘内部挡板目标性能的均值和标准差；/>表示使当前材料分布下柔顺度达到最大的载荷状态(即最差工况)；c(ρ,μX,I)表示材料不确定性取均值时的柔顺度，μX表示EM,μM,VGPLs三个随机变量均值组成的向量，ue表示第e个单元的单元位移向量；ke(ρ,μX)表示限制材料不确定性于其均值时第e个单元的单元刚度矩阵；ρthis表示每次迭代优化前材料密度分布；g(ρ)＝V(ρ)/V0是当前材料分布的体积比；/>是当前设计向量ρ所对应结构的体积；K(ρ,X)表示总体刚度矩阵；U表示整体位移向量；/>表示最差工况在等几何框架下的载荷向量。
6、利用最优准则法求解外刀盘内部挡板的柔顺度最小化拓扑优化模型，设置收敛阈值ερ＝0.01；
6.1)限制材料属性的随机变量处于均值，EM＝205GPa,νM＝0.30，利用最差工况搜索算法来求解区间不确定性的外载荷幅值和方向角的具体数值。
6.2)固定载荷的幅值和方向角处于最差工况状态，利用单变量降维的方法近似展开最差工况下的目标性能
6.3)基于拉盖尔积分求解不确定性作用下的目标性能统计特征值，计算目标函数关于设计向量灵敏度。
6.4)滤波半径rmin设置为80mm，在物理空间中，对每个控制点筛选距离小于rmin的周围控制点，对这些控制点密度进行加权平均，权值基于Shepard函数计算得到。
6.5)根据最优准则法更新设计向量，检查收敛条件，判断每个单元所有高斯点密度值变化量最大值不高于阈值0.01。
7、得到设计向量的最优解之后，对所有T样条网格在参数域上进行均匀细分，其中细分划分段数Nd取8。对每个T样条单元，在参数域上沿u方向和v方向均匀划分为8段，构造参数域所有细分点的横纵坐标组成的向量
ud＝[-1,-0.75,-0.5,-0.25,0，0.25，0.5，0.75，1] Eq.40
vd＝[-1,-0.75,-0.5,-0.25,0，0.25，0.5，0.75，1] Eq.41
每个细分点材料密度可以根据如下公式计算得到
迭代寻优在第94代收敛，最优解对应的结构如图4所示，最优解的结构性能为该值满足隧道掘进机内部挡板的设计需求和工作要求，验证了所提出方法的有效性。
需要声明的是，本发明内容及具体实施方式意在证明本发明所提供技术方案的实际应用，不应解释为对本发明保护范围的限定。在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)考虑使用复合材料的复杂机械结构在制造和使用过程中的以下不确定性：复合材料的材料属性、增强相的体积分数以及复杂机械结构所受外载的大小和方向；其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将外载的大小与方向不确定性视为区间不确定性处理，各区间不确定性参数构成的区间向量记为I；将具有充足样本信息的基体材料属性和材料增强相的体积分数视为有界概率不确定性，采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数，各有界概率不确定性参数构成的随机向量记为X；
2)建立复杂机械结构的T样条网格模型，设置边界条件；
2.1)建立T样条网格模型；
2.2)设置物理约束，包括结构的固定或支持、外部载荷；
2.3)设置几何约束，包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞覆盖的单元所对应的设计变量置ρe≡0而要求强制保留材料区域覆盖的单元所对应的设计变量置ρe≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；
3)使用Halpin-Tsai微观力学模型计算复合材料杨氏模量E(X)与泊松比ν(X)；
4)基于T样条构建考虑不确定性的复杂机械结构刚度矩阵，具体为：
4.1)对每个T样条网格单元进行公共Bernstein多项式基函数提取，实现每个T样条单元参数空间的统一，具体为：
对于第e个T样条网格单元的T样条基函数组成的向量Te,i为第i个T样条基函数，n为第e个T样条网格单元的T样条基函数总数，对Te(u,v)进行Bézier提取，使其转换为能够可等价表示的Bernstein多项式基函数：
Te(u,v)＝CeR(u,v) Eq.1
其中，Ce表示Bézier提取算子矩阵，表示p阶二元Bernstein基函数/>组成的向量；二元Bernstein基函数由两个p阶一元Bernstein基函数/>相乘得到，其关系如Eq.2所示：
其中，一元Bernstein基函数的计算方法为：
其中，
基于Bézier提取以及T样条的定义，得出第e个T样条网格单元的基函数向量：
其中，表示由每个控制点权重构成的向量；diag(·)表示对角矩阵；
4.2)在考虑材料属性、增强相的体积分数不确定性的情况下，对于T样条网格模型的第e个单元，在参数域内对其进行高斯细分，根据控制点的材料密度线性插值得到每个高斯积分点对应的材料密度：
其中，表示高斯积分点/>在参数域内对应的横纵坐标，ρe,i表示控制点对应的材料密度，NG表示参数域内每个方向的高斯积分点数量；根据SIMP框架得到的带有罚因子的杨氏模量为：
其中，ρ表示控制点对应的材料密度向量，s表示SIMP框架下的罚因子，E(X)表示复杂机械结构根据Halpin-Tsai微观力学模型得到的复合材料杨氏模量，Emin为无材料时对应点的弹性模量，单元e内高斯积分点对应的弹性张量矩阵如下：
其中，ν(X)表示通过Halpin-Tsai微观力学模型得到的复合材料泊松比，单元刚度矩阵ke(ρ,X)如下：
其中，和/>分别表示每个T样条网格单元参数域单一方向上第i项和第j项权重值，i,j＝1,2,3,...,NG；/>表示单元e在点/>的应变-位移矩阵，/>表示每个高斯积分点在参数域内对应的横纵坐标，det(·)表示求行列式；Je表示每个单元的雅克比矩阵，具体如Eq.10和Eq.11所示：
其中，Te,j,j＝1,2,3,...,(1+p)2表示单元e的第j个基函数，Pe,j,j＝1,2,3,...,(1+p)2表示单元e的第j个控制点，x,y表示物理域中的横纵坐标，u,v表示参数域中的横纵坐标；根据每个单元的单元刚度矩阵得到复杂机械结构的总体刚度矩阵：
其中，Ne表示复杂机械结构的T样条网格单元数量；
5)考虑体积约束下的复杂机械结构柔顺度最小化即刚度最大化的问题，在稳健拓扑优化过程中确定设计域内各个位置的材料有无，通过变密度方法将设计域离散，通过数学上0-1的数值表示单元内的材料密度，结合SIMP框架量化每个单元的变密度稳健拓扑优化问题，其优化模型为：
其中，J(ρ,X,I)为表征复杂机械结构柔顺度的目标函数，是Nctr×1维设计向量，Nctr表示结构控制点数量；X表示材料相关的随机向量，NX表示X中的随机变量数量；/>是区间不确定性向量，其中/>分别为结构所受NF个不确定外载的幅值，/>分别是结构所受NF个不确定外载的方向角；NF表示结构所受的外载荷数量；/>和/>分别表示最差工况下，在概率不确定性作用下结构目标性能的均值和标准差；/>表示使当前结构柔顺度达到最大的载荷状态即最差工况；c(ρ,μX,I)表示限制材料相关不确定性于其均值时结构的柔顺度，μX表示材料不确定性随机变量均值组成的向量，ue表示第e个单元的单元位移向量；ke(ρ,μX)表示限制材料不确定性于其均值时第e个单元的单元刚度矩阵；ρthis表示每次迭代优化前材料密度分布；g(ρ)＝V(ρ)/V0是当前结构的体积比；/>是当前设计向量ρ所对应结构的体积，V0和[V]分别表示设计域大小以及许用材料的体积上限值，为常数；ρmin、ρmax分别为设计变量的下限和上限；K(ρ,X)表示总体刚度矩阵；U表示整体位移向量；/>表示最差工况下的载荷向量；
6)采用拓扑优化中的标准最优准则法迭代求解Eq.13的考虑区间与有界概率混合不确定性的复杂机械结构稳健优化设计模型，每一次迭代的计算过程具体为：
6.1)采用最差工况搜索算法，寻找最差工况下的不确定性载荷的幅值和方向角；
6.2)通过单变量分析方法，近似展开最差工况下的目标性能通过拉盖尔积分求解不确定性作用下的目标性能统计特征值，计算最差工况下的目标函数/>
6.3)结合控制点坐标和对应材料密度在物理域上进行滤波，优化不理想的结构；
在物理域上设定滤波半径rmin，对于控制点Pi，距离小于rmin的控制点假设有t个，记为Pi,j,j＝1,2,...,t；将这些控制点与Pi的距离记为ri,j,j＝1,2,...,t；
对控制点Pi,j的密度进行重新分配，公式为：
其中，li,j表示基于Shepard函数得出的控制点Pi,j的权重
li,j＝(1-r)6+35r2+18r+3 Eq.15
其中，
6.4)根据最优准则法更新所有高斯积分点和控制点对应的材料密度；
6.5)检查收敛条件，即每个单元所有高斯积分点密度值变化量最大值不高于预设阈值ερ；若不满足则重复6.1)至6.4)；否则输出本次迭代所得设计向量；
7)对迭代得到的设计向量最优解，在参数域上进行均匀细分，得到最终的拓扑结构；
对于第e个单元，将其在参数域沿u方向和v方向均匀划分为Nd段，构造向量
其中，ud和vd分别表示参数域中所有细分点对应的横纵坐标组成的向量，根据参数域中的细分点及单元e对应控制点的材料密度得到物理域内每个细分点的材料密度，公式如下：
其中，ρe,m,n是物理域内细分点对应的材料密度，分别是ud和vd向量中第m个和第n个数值，物理域内细分点的坐标(xe,m,n,ye,m,n)通过Eq.19得到：
其中，Pe,i表示单元e内第i个控制点；
基于得到的每个细分点坐标(xe,m,n,ye,m,n)，结合对应材料密度，划分出轮廓得到最优拓扑结构。
2.根据权利要求1所述的一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法，其特征在于，步骤3)中，使用Halpin-Tsai微观力学模型计算杨氏模量E(X)与泊松比ν(X)，具体如下：
3.1)增强颗粒的物理属性包括：颗粒平均长度lprm、平均宽度wprm与平均厚度tprm、杨氏模量Eprm；
3.2)定义以下中间参数：
其中，EM是基材的杨氏模量；
3.3)结构杨氏模量E(X)为：
其中，vol表示结构增强颗粒体积分数；
3.4)计算复合材料的泊松比为：
ν(X)＝νprmvol+νM(1-vol) Eq.22
其中，ν(X)、νprm、νM分别为复合材料、增强颗粒、基材的泊松比。
3.根据权利要求1所述的一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法，其特征在于，步骤6.1)中，最差工况状态的搜索具体如下：
将材料的不确定性参数都限制在其均值上，得到总体刚度矩阵
在完成结构总体刚度矩阵的构建之后，对于作用于某个点的不确定大小方向的外载荷Fk＝(fkcos(αk),fksin(αk)),k＝1,2,3,...,NF，fk,αk分别表示载荷的大小和方向，构建外载力向量F(I)，在没有力作用处用0填充；通过对F(I)进行灵敏度分析实现结构在载荷作用下的最差工况的搜索；采用有限元理论中结构柔顺度的定义：
其中，表示第i个单元控制点位移的单位正交基，/>表示第j个单元控制点载荷的单位正交基，Rj,j＝1,2,...,Ne表示单元载荷向量，且有
其中，Cij是对称阵，通过两组正交基相乘获得，表示为：
故式Eq.26可进一步化简为：
结构屈服c(ρ,μX,Ι)为fk与αk的连续光滑函数，利用链式法则分别对fk与αk求导可得：
其中，梯度项与/>通过下式计算：
当满足条件Eq.30时，即可得到最差工况
4.根据权利要求1所述的一种基于T样条的复杂机械结构稳健拓扑优化方法，其特征在于，步骤6.2)中，通过单变量分析方法，近似展开目标性能通过拉盖尔积分求解不确定性作用下的目标性能统计特征值，计算最差工况下的目标函数/>具体如下：
在已知最差工况的情况下，将材料不确定性参数取均值作为基准，可得：
其中，表示最差工况下的力向量，ue表示在基准条件下第e个单元的位移向量，ke代表第e个单元的刚度矩阵；采用单变量降维方法对/>进行近似展开：
其中，表示考虑单一变量时的材料不确定性，NX是不确定性变量的数量，/>是不确定性变量取均值时计算得到的柔顺度名义值；
其中，E(c),D(c)分别表示柔顺度函数在不确定性作用下的均值和方差，φ(Xt),t＝1,2,...,NX分别表示结构的材料不确定性参数的概率密度函数；通过拉盖尔积分近似得到柔顺度的均值和二次方均值/>进而计算柔顺度的均值/>和标准差最终根据/>得到优化设计模型中表征柔顺度的目标函数值。
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Isogeometric analysis of large thin shell structures based on weak coupling of substructures with unstructured T-splines patches;Liu Zhenyu 等;《Advances in Engineering Software》;全文 *

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