CN113032918A - 一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计方法。包括以下步骤：考虑零件结构制造服役中的不确定性，将样本不充分的外载和样本充足的材料属性分别描述为区间变量和有界概率变量；离散化零件结构设计域，设置物理与几何约束，建立可靠性拓扑优化设计模型。利用移动渐近线法求解：解耦概率区间不确定性，利用约束性能梯度确定最差工况；定义最差工况性能波动计算约束性能可靠度；最后计算目标与约束函数对设计变量的梯度用于迭代。本发明建立的优化设计模型真实反映零件结构多源不确定性的分布特性，求解高效，具有很好的工程应用价值。

Description

一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计 方法

技术领域

本发明属于装备结构优化设计领域，涉及一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计方法。

背景技术

拓扑优化作为一种调配有限材料在设计域内的分布从而使结构目标性能最优的方法，已广泛应用于产品设计中。由于生产制造与使用过程中存在各种不确定性，为使拓扑优化所得理论结果在实际制造后不至于性能劣化，必须在设计阶段考虑不确定性的影响。然而，传统可靠性拓扑优化方法中仅采用单一类型数学模型来描述多源不确定性的粗放做法极可能导致不确定性建模的失真与产品结构优化方案的失效，故有必要同时考虑概率区间混合不确定性开展零件结构的可靠性拓扑优化。

另外，目前考虑混合不确定性的结构可靠性拓扑优化领域，大多研究仍停留在搜索最可能点后转化原问题为等价确定性问题的间接思路，这对包含多项可靠性约束的优化问题存在明显缺陷：每一项可靠性约束分析获得的最可能点往往不一致，其取舍或引入人为因素或涉及额外计算。另外，现有方法构造的可靠度表达式常需要额外条件判别，且某些场景下的可靠度梯度计算结果难以适用于基于梯度的拓扑优化框架。因此，需要在给出有界混合不确定性描述的基础上，研究涉及多项约束性能的可靠性拓扑优化方法，并提高约束性能可靠度表达式的梯度可分析性。

发明内容

为解决多源不确定性影响下零件结构的可靠性拓扑优化设计问题，本发明提供了一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计方法。包括以下步骤：考虑零件结构在制造、使用中的不确定性，将样本不充分的外载视为区间不确定性、将样本充足的材料属性视为有界概率不确定性；离散化设计域并设置物理与几何约束，建立零件结构可靠性拓扑优化设计模型；利用移动渐近线算法迭代求解：解耦概率区间不确定性，利用约束性能梯度确定最差工况；定义最差工况性能波动计算约束性能可靠度；最后计算目标与约束函数对设计变量的梯度用于迭代。本发明高效地解决了概率区间不确定因素共存情况下零件结构的可靠性拓扑优化设计问题，具有很好的工程应用价值。

本发明是通过以下技术方案实现的：一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计方法，该方法包括以下步骤：

1)考虑零件结构在制造与服役过程中的以下不确定性：将难以获得充足样本信息的外载幅值与加载方向视为区间不确定性；将具有充足样本信息的零件结构材料属性视为有界概率不确定性，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数；

2)离散化零件结构设计域，具体为：

简化零件结构受力情况为二维平面应力状态，保留安装孔并去除结构细节以提高计算效率；将简化的零件结构置于一规则矩形设计域内，并将该矩形设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数；基于带罚各向同性材料拓扑优化(SMIP)框架，每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1](e＝1,2,…,N_x·N_y)；

3)对已离散化的结构施加物理约束与几何约束，具体为：

3.1)依据经典有限元方式施加包括固定或支持、外部载荷在内的物理约束；

3.2)几何约束包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞内单元所对应的设计变量置ρ_e≡0而要求保留材料区域内单元所对应的设计变量置ρ_e≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；

4)以设计域空间利用率为目标函数、考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下零件结构的若干关键点位移为可靠性约束性能，建立零件结构可靠性拓扑优化设计模型如Eq.1所示：

式Eq.1中，

是设计变量ρ_e(e＝1,2,…,N_x·N_y)构成的设计向量，ρ_min是设计变量最小允许值，取ρ_min＝1E-6；总单元数N_e＝N_x·N_y；有界概率不确定性向量X＝(X₁,X₂,…,X_m)^T包含m个零件结构的不确定材料属性；区间不确定性向量I＝(f₁,f₂,…,f_n,α₁,α₂,…,α_n)^T包含零件结构所受n个不确定外载的幅值f₁,f₂,…,f_n与方向角α₁,α₂,…,α_n；

V(ρ)是设计域空间利用率，对应零件结构的材料总使用量，V₀是设计域体积；

g_q(ρ,X,I)是第q个约束函数；u_q(ρ,X,I)是第q个关键点位移约束性能，是设计变量与不确定性变量的函数，下文为了简明起见简记其为u_q，u_qcri是其允许值；P(·)计算括号内事件的概率，P_q是第q个约束性能的可靠性指标，N_con为约束函数个数；

零件结构平衡方程K(ρ,X)U＝F(I)中，K(ρ,X)是(2(N_x+1)(N_y+1))×(2(N_x+1)(N_y+1))维总体刚度矩阵，受设计向量ρ与有界概率不确定性向量X的影响；F(I)是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点力向量，受区间不确定性向量I影响；U是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点位移向量；u_q按

从U中提取，其中(2(N_x+1)(N_y+1))维列向量L_q中除第q个关键点对应位置为1以外其余元素均为0；

5)计算约束性能在有界混合不确定性条件下的可靠度：

5.1)首先搜索约束性能u_q的最差工况：

5.1.1)令

其中

分别为各不确定性X₁,X₂,…,X_m的均值；此时约束性能u_q仅受区间不确定性影响；将不确定外载F_s(s＝1,2,…,n)改写为水平与竖直两方向的分量F_s＝[f_s cosα_s,f_s sinα_s]^T；

5.1.2)基于小变形内的线弹性假设，由F_s造成的位移U_s如Eq.2所示，通过

与F_s计算，其中

分别为F_s作用点上水平与竖直两方向的单元节点力；

式中

与

分别为仅有单元节点力

或

作用时通过零件结构平衡方程计算得到的节点位移向量；

5.1.3)按Eq.3、Eq.4计算约束性能u_q关于不确定性外载幅值与加载方向的梯度：

5.1.4)利用Eq.3、Eq.4结果，借助梯度搜索算法求解最差工况

此时最差工况外载为

5.2)在最差工况

下还原μ_X为X，则最差工况下的约束性能

只表现为概率型，求解最差工况性能波动以评估可靠性，详细如下：

5.2.1)按Eq.5计算最差工况下的约束性能

关于有界概率不确定性参数X_i(i＝1,2,…,m)的梯度：

式中，求和符号为有限元理论定义的单元刚度矩阵组合操作，k_e是单元刚度矩阵，最差工况下的节点位移向量

通过最差工况下的控制方程

求解得到；罚因子一般取p＝3；

5.2.2)基于Eq.5结果，按Eq.6搜索使

分别取得最小或最大的两个有界概率不确定性向量：

对应于

总体刚度矩阵K分别为

统一上标记为

节点位移向量

分别为

统一上标记为

5.2.3)简记

定义

为约束性能u_q的最差工况性能波动，按Eq.7计算约束性能可靠度

式中，

是最差工况性能波动的中点；乘子

其中ε^u是用于调节最差工况性能波动边界位置可靠度的小常数，通过实际测试推荐取

是最差工况性能波动的半径；γ∈{2i|i∈N⁺}是调节因子；

则Eq.1中的约束函数可重新整理为Eq.8所示：

6)计算目标函数与约束函数关于设计变量的梯度：

6.1)目标函数梯度通过Eq.9给出：

6.2)约束函数的梯度求解如下：

6.2.1)由链式法则写出g_q(ρ,X,I)的梯度表达如Eq.10所示：

6.2.2)记Eq.7中tanh(·)括号内函数为

则Eq.10中梯度项

与

可按Eq.11计算：

式中，梯度项

具体为：

6.2.3)Eq.10中梯度项

与

根据SMIP框架以统一形式给出：

式中，

与

在5.2.2中定义；梯度项

按Eq.15计算：

式中，

是

中提取的单元刚度矩阵，

是将

内各元素按单元刚度矩阵组合操作重构的方阵，与

维数一致；

6.2.4)将Eq.11至Eq.15全部梯度项代入Eq.10中，获得约束函数g_q(ρ,X,I)的梯度；

7)根据目标函数与约束函数关于设计变量的梯度，采用移动渐近线算法更新设计变量；检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于收敛阈值，则输出更新后的设计变量；否则重复步骤5)至7)。

本发明具有的有益效果是：

1)考虑零件结构在制造与服役过程中的以下不确定性：零件结构的材料属性、所受外载的幅值与方向；其中，由于难以获得外载的充足样本信息，故将其幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理；将具有充足样本信息的基体材料属性视为有界概率不确定性处理，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数，克服了现有可靠性拓扑优化设计方法仅考虑概率或区间不确定性的不足，所构建的零件结构可靠性拓扑优化设计模型更符合工程实际。

2)借助经典有限元框架，建立约束性能关于设计变量与不确定性参数的显示表达；引入线弹性形变假设，通过叠加各外载单独作用产生的形变而获得结构最终发生的形变，并据此计算约束性能对不确定性外载的梯度信息，从而获得结构最差约束性能所对应的最差工况，为保障结构安全服役提供了理论依据。

3)定义最差工况性能波动，给出了计算约束性能在混合不确定性条件下的可靠度数学表达式；现有考虑多项约束性能的可靠性拓扑优化方法中，涉及各约束性能失效最可能点取舍的人为因素，以及需要额外求解不确定性协相关矩阵、可靠度表达式常包含条件判断的不足；相较以上现有方法，本发明方法从根本上避免了最可能点的求解，并利用混合不确定性的有界性对约束性能进行了完整范围的考察，且约束性能可靠度数学表达无需额外条件判断，从而保证了设计变量梯度信息的高效求解。

附图说明

图1是考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计流程图。

图2是某型号盾构机掘进机构的三维外观图与外刀盘支撑结构位置示意图。

图3是外刀盘支撑结构初始设计图。

图4是外刀盘支撑结构可靠性拓扑优化设计域示意图。

图5是外刀盘支撑结构可靠性拓扑优化设计结果。

图6是根据可靠性拓扑优化设计平滑处理得到的外刀盘支撑结构最终设计图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

图中涉及信息为本发明在某型号盾构机外刀盘支撑结构可靠性拓扑优化设计中的实际应用数据，图1是考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计流程图。

1、以图2所示使用高强度低合金钢材料制造的某型号盾构机外刀盘支撑结构作为研究对象，考虑该支撑结构在制造与服役过程中的不确定性：

1.1)图3为盾构机外刀盘支撑结构的初始设计相关尺寸，图4为用于协同稳健优化的边界设置情况。支撑结构顶部受到盾构机切削运动过程中外刀盘传递而来的轴向载荷；由于支撑结构厚度较小，故将优化问题简化至二维平面内，且该载荷在此考虑为均布线载荷，其幅值大小与加载方向随切削岩层物理性质的波动而具有一定不确定性；但由于在盾构机工作过程中对该外载进行测量有一定困难，难以获得关于外载的充足样本信息，故将其幅值f与方向角α视为区间不确定性处理；

1.2)在外刀盘支撑结构所使用的高强度低合金钢的杨氏模量E_M与泊松比ν_M由于原材料物性不均一、冶金工艺波动等而具有较显著的不确定性，但通过测量成品可获得充足样本信息，故可被视为有界概率不确定性处理，以上有界概率不确定性采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述；各不确定性信息总结如表1所示；

表1盾构机外刀盘支撑结构的不确定性信息汇总表

不确定性	不确定性变量类型	取值范围	不确定性参数*
				E<sub>M</sub>(GPa)	有界概率变量α<sub>EM</sub>＝5.30,β<sub>EM</sub>＝6.28	[200.00,210.00]	μ<sub>EM</sub>＝206.00,σ<sub>EM</sub>＝1.20
ν<sub>M</sub>	有界概率变量α<sub>νM</sub>＝β<sub>νM</sub>＝5.32	[0.28,0.32]	μ<sub>νM</sub>＝0.30,σ<sub>νM</sub>＝5.00E-3
				f(kN/m)	区间变量	[85.4,87.4]	<86.4,1.0>
α	区间变量	[-105.00°,-75.00°]	<-90.00°,15.00°>

*对区间变量而言为区间中点与半径；对有界概率变量而言为其均值与标准差；

2、对该支撑结构设计域进行离散化，具体为：

盾构机外刀盘支撑结构厚度较小，故简化其受力情况为二维平面应力状态；将待优化的支撑结构置于一规则矩形设计域内(图4中最外侧实线框出的范围，其尺寸为X×Y＝1900mm×1400mm)，并将该矩形设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数，在本设计中取N_x＝190、N_y＝140；基于拓扑优化中经典的带罚各向同性材料框架，每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1](e＝1,2,…,190×140)；

3、依据经典有限元方式，对已离散化的外刀盘支撑结构施加物理约束与几何约束，具体为：

3.1)物理约束：设置图4中支撑结构底部全部单元为固定约束、左右侧边允许y方向的位移；图4中支撑结构上部施加均布线载荷，具有不确定性幅值f与方向角α；

3.2)几何约束：如图4所示，设计域Ω内斜线区域为非设计区，其中单元所对应的设计变量置ρ_e≡0，并在后续优化过程中不改变其数值；

4、以设计域空间利用率为目标函数、考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下、外刀盘支撑结构正常工况与临界状态下形变均显著的点A(552,413)的x、y方向位移u_xA、u_yA为可靠性约束性能；允许值分别为u_xAcri＝0.4mm、u_yAcri＝1.0mm；以可靠性要求P_xA＝P_yA＝0.98建立外刀盘支撑结构的可靠性拓扑优化设计模型如Eq.16所示：

式中，ρ＝(ρ₁,ρ₂,…,ρ_190×140)^T是设计向量，各设计变量最小允许值ρ_min＝0.001；X＝(E_M,ν_M)^T是有界概率不确定性向量；I＝(f,α)^T是区间不确定性向量；V(ρ)是设计域内的空间利用率，对应材料总使用量；g_xA(ρ,X,I)与g_yA(ρ,X,I)是约束函数；约束性能u_xA(ρ,X,I)、u_yA(ρ,X,I)是设计变量与不确定性变量的函数，下文为了简明起见简记其为u_xA、u_yA，

K(ρ,X)U＝F(I)是平衡方程，其中K(ρ,X)是2(191×141)×2(191×141)维总体刚度矩阵；F(I)是2(191×141)维节点力向量；U是2(191×141)维节点位移向量；

5、计算约束性能在混合不确定性条件下的可靠度，下面以g_xA(ρ,X,I)为例展开说明：

5.1)首先搜索约束性能u_xA的最差工况：

5.1.1)令

其中

分别为不确定性E_M,ν_M的均值；此时约束性能u_xA仅受区间不确定性影响；将不确定性外载改写为水平与竖直两方向的分量F＝[fcosα,fsinα]^T；

5.1.2)基于小变形内的线弹性假设，由F造成的位移U如Eq.17所示，通过e^x＝[1,0]^T、e^y＝[0,1]^T与F计算，其中e^x、e^y分别为F作用点上水平与竖直两方向的单元节点力；

U＝U^x+U^y＝u^xfcosα+u^yfsinα＝[u^x,u^y]·F Eq.17

式中u^x＝[u^x,0]^T与u^y＝[0,u^y]^T分别为仅有单元节点力e^x或e^y作用时通过平衡方程计算得到的节点位移向量；

5.1.3)按Eq.18、Eq.19计算约束性能关于不确定性外载幅值与加载方向的梯度：

5.1.4)利用Eq.18、Eq.19结果，借助梯度搜索算法求解最差工况

此时最差工况外载为

5.2)在最差工况

下还原μ_X为X，则最差工况下的约束性能

只表现为概率型，求解最差工况性能波动以评估可靠性，详细如下：

5.2.1)按Eq.20、Eq.21计算最差工况

下约束性能

关于有界概率不确定性E_M,ν_M的梯度：

式中，求和符号为有限元理论定义的单元刚度矩阵组合操作，k_e是单元刚度矩阵，最差工况下的节点位移向量

通过最差工况下的控制方程

求解得到；罚因子p＝3；

5.2.2)基于Eq.20、Eq.21结果，按Eq.22搜索使

分别取得最小或最大的两个有界概率不确定性向量：

对应于

总体刚度矩阵K分别为

统一上标记为

节点位移向量

分别为

统一上标记为

5.2.3)简记

定义

为约束性能u_xA的最差工况性能波动；设置ε^u＝0、γ＝4并按Eq.23计算约束性能可靠度

6、计算目标函数V(ρ)与约束函数g_xA(ρ,X,I)、g_yA(ρ,X,I)关于设计变量的梯度如下：

6.1)目标函数梯度通过Eq.24给出：

6.2)对约束函数的梯度求解过程以g_xA(ρ,X,I)为例展开说明：

6.2.1)由链式法则写出g_xA(ρ,X,I)的梯度表达如Eq.25所示：

6.2.2)记Eq.23中tanh(·)括号内函数为

则Eq.25中梯度项

与

可按Eq.26计算：

式中，梯度项

具体为：

6.2.3)Eq.25中梯度项

与

根据SMIP框架以统一形式给出：

式中，

与

在5.2.2中定义；梯度项

按Eq.30计算：

式中，

是

中提取的单元刚度矩阵，

是将

内各元素按单元刚度矩阵组合操作重构的方阵，与

维数一致；

6.2.4)将Eq.26至Eq.30全部梯度项代入Eq.25，获得约束函数g_xA(ρ,X,I)的梯度；

7、采用移动渐近线算法更新设计变量如下：

ρ₁＝0.76,ρ₂＝0.76,…,ρ_10×70＝0.31,…,ρ_190×140＝0.78 Eq.32

检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，由于是第一次迭代，该差值被定义为当前目标函数值，不满足收敛阈值0.01，重复步骤5至7；

最终获得的最优解截取部分如下：

ρ₁＝1.00,ρ₂＝1.00,…,ρ_10×70＝1E-3,…,ρ_190×140＝1.00 Eq.33

迭代寻优在第143代收敛，最优解对应的拓扑结构如图5所示；最优解的目标性能V(ρ)＝0.4388，约束性能u_xA、u_yA的可靠性分别为0.9920、0.9894，满足盾构机外刀盘支撑结构稳健性设计要求。对该拓扑与材料分布协同稳健优化结果进行进一步轮廓平滑后，最终获得的盾构机外刀盘支撑结构设计如图6所示。

需要声明的是，本发明内容及具体实施方式意在证明本发明所提供技术方案的实际应用，不应解释为对本发明保护范围的限定。在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种考虑有界混合不确定性的零件结构可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)考虑零件结构在制造与服役过程中的以下不确定性：将难以获得充足样本信息的外载幅值与加载方向视为区间不确定性；将具有充足样本信息的零件结构材料属性视为有界概率不确定性，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数；

2)离散化零件结构设计域，具体为：

简化零件结构受力情况为二维平面应力状态，保留安装孔并去除结构细节以提高计算效率；将简化的零件结构置于一规则矩形设计域内，并将该矩形设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数；基于带罚各向同性材料拓扑优化(SMIP)框架，每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1](e＝1,2,…,N_x·N_y)；

3)对已离散化的结构施加物理约束与几何约束，具体为：

3.1)依据经典有限元方式施加包括固定或支持、外部载荷在内的物理约束；

3.2)几何约束包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞内单元所对应的设计变量置ρ_e≡0而要求保留材料区域内单元所对应的设计变量置ρ_e≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；

4)以设计域空间利用率为目标函数、考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下零件结构的若干关键点位移为可靠性约束性能，建立零件结构可靠性拓扑优化设计模型如Eq.1所示：

式Eq.1中，

是设计变量ρ_e(e＝1,2,…,N_x·N_y)构成的设计向量，ρ_min是设计变量最小允许值；总单元数N_e＝N_x·N_y；有界概率不确定性向量X＝(X₁,X₂,…,X_m)^T包含m个零件结构的不确定材料属性；区间不确定性向量I＝(f₁,f₂,…,f_n,α₁,α₂,…,α_n)^T包含零件结构所受n个不确定外载的幅值f₁,f₂,…,f_n与方向角α₁,α₂,…,α_n；

V(ρ)是设计域空间利用率，对应零件结构的材料总使用量，V₀是设计域体积；

g_q(ρ,X,I)是第q个约束函数；u_q(ρ,X,I)是第q个关键点位移约束性能，u_qcri是其允许值；P(·)计算括号内事件的发生概率，P_q是第q个约束性能的可靠性指标，N_con为约束函数个数；

零件结构平衡方程K(ρ,X)U＝F(I)中，K(ρ,X)是(2(N_x+1)(N_y+1))×(2(N_x+1)(N_y+1))维总体刚度矩阵，受设计向量ρ与有界概率不确定性向量X的影响；F(I)是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点力向量，受区间不确定性向量I影响；U是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点位移向量；u_q按

从U中提取，其中(2(N_x+1)(N_y+1))维列向量L_q中除第q个关键点对应位置为1以外其余元素均为0；

5)计算约束性能在有界混合不确定性条件下的可靠度：

5.1)首先搜索约束性能u_q的最差工况：

5.1.1)令

其中

分别为各不确定性X₁,X₂,…,X_m的均值；此时约束性能u_q仅受区间不确定性影响；将不确定外载F_s(s＝1,2,…,n)改写为水平与竖直两方向的分量F_s＝[f_scosα_s,f_ssinα_s]^T；

5.1.2)基于小变形内的线弹性假设，由F_s造成的位移U_s如Eq.2所示，通过

与F_s计算，其中

分别为F_s作用点上水平与竖直两方向的单元节点力；

式中

与

分别为仅有单元节点力

或

作用时通过零件结构平衡方程计算得到的节点位移向量；

5.1.3)按Eq.3、Eq.4计算约束性能u_q关于不确定性外载幅值与加载方向的梯度：

5.1.4)利用Eq.3、Eq.4结果，借助梯度搜索算法求解最差工况

此时最差工况外载为

5.2)在最差工况

下还原μ_X为X，则最差工况下的约束性能

只表现为概率型，求解最差工况性能波动以评估可靠性，详细如下：

5.2.1)按Eq.5计算最差工况下的约束性能

关于有界概率不确定性参数X_i(i＝1,2,…,m)的梯度：

式中，求和符号为有限元理论定义的单元刚度矩阵组合操作，k_e是单元刚度矩阵，最差工况下的节点位移向量

通过最差工况下的控制方程

求解得到；p为罚因子；

5.2.2)基于Eq.5结果，按Eq.6搜索使

分别取得最小或最大的两个有界概率不确定性向量：

对应于

总体刚度矩阵K分别为

统一上标记为

节点位移向量

分别为

统一上标记为

5.2.3)简记

定义

为约束性能u_q的最差工况性能波动，按Eq.7计算约束性能可靠度

式中，

是最差工况性能波动的中点；乘子

其中ε^u是用于调节最差工况性能波动边界位置可靠度的小常数；

是最差工况性能波动的半径；γ∈{2i|i∈N⁺}是调节因子；

则Eq.1中的约束函数可重新整理为Eq.8所示：

6)计算目标函数与约束函数关于设计变量的梯度：

6.1)目标函数梯度通过Eq.9给出：

6.2)约束函数的梯度求解如下：

6.2.1)由链式法则写出g_q(ρ,X,I)的梯度表达如Eq.10所示：

6.2.2)记Eq.7中tanh(·)括号内函数为

则Eq.10中梯度项

与

可按Eq.11计算：

式中，梯度项

具体为：

6.2.3)Eq.10中梯度项

与

根据SMIP框架以统一形式给出：

式中，

与

在5.2.2中定义；梯度项

按Eq.15计算：

式中，

是

中提取的单元刚度矩阵，

是将

内各元素按单元刚度矩阵组合操作重构的方阵，与

维数一致；

6.2.4)将Eq.11至Eq.15全部梯度项代入Eq.10中，获得约束函数g_q(ρ,X,I)的梯度；

7)根据目标函数与约束函数关于设计变量的梯度，采用移动渐近线算法更新设计变量；检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于收敛阈值，则输出更新后的设计变量；否则重复步骤5)至7)。

Images