CN112989679B - 一种结构引导的六面体网格几何优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种结构引导的六面体网格几何优化方法，包括以下步骤：步骤一、生成与六面体网格拓扑结构相兼容的光滑标架场；步骤二、建立符合结构约束的参数化；步骤三、基于参数化结果优化六面体网格。本发明的优点在于：根据六面体网格拓扑结构建立满足结构约束的参数化，并通过改变奇异线上网格点的几何位置，降低参数化能量，使基结构有更优的几何嵌入。通过提取关键等参面，分层次优化奇异线上网格点、关键等参面上网格点以及其余网格点的几何位置，提高整体网格质量。

Description

一种结构引导的六面体网格几何优化方法

技术领域

本发明涉及六面体网格优化技术领域，具体地说是一种结构引导的六面体网格几何优化方法。

背景技术

六面体网格由于在计算精度、收敛速度及存储空间等方面相对其他体网格具有显著优势，因此一直被认为是最理想的有限元体网格；近年来随着工业界对产品仿真分析的要求越来越高，对六面体网格单元的质量要求也不断提高。标准雅可比值是判断六面体单元质量的重要依据，其范围是[-1,1].当六面体单元的最小雅可比值趋近于1时，说明网格质量越高。

网格质量无法满足分析需求已经成为制约高精度仿真分析的重要瓶颈，而六面体网格几何优化是最常用的提高网格质量的方法。关于六面体网格几何优化的算法有很多，可以简单分为两类：局部优化算法和全局优化算法。

为了避免优化过程中出现翻转单元，有人改进了拉普拉斯算法，通过预判避免优化过程中出现翻转单元，但仍无法保证非凸区域的网格质量；为了提高质量较差单元的网格质量，有人提出了基于对偶单元的几何变换法(GETMe)，对六面体网格进行几何优化，但忽略了表面网格的几何约束，难以提高边界六面体单元的质量；还有人基于均值比度量建立局部优化目标函数，通过迭代求解能够提高网格质量，虽然效率高、易实现，但求解有可能无法收敛。

有人以六面体单元的雅可比矩阵的条件数为质量度量建立全局优化目标函数，并通过共轭梯度以及线性搜索法进行求解，能够较大幅度地提高六面体网格的质量；有人提出了一种基于六面体单元形状度量的全局优化方法，并通过Newton–Raphson方法求解最小值。为了能够将目标函数转变为非凸函数，且提高全局优化的效率，有人将六面体网格的优化问题转化为网格中每个有向网格边邻接的四面体单元组成的锥体edge-cone的凸优化问题，能够从任意输入的六面体网格优化得到无翻转的网格，但当最优网格边长度与当前边长度差异较大时，优化效果会受到影响。为了能够提高网格的最差单元质量，有人从网格边之间角度的垂直性、平直性以及非规则边角度的平分性出发，提出了一种优化网格边之间角度的六面体网格几何优化方法，能够提高网格的最差单元质量。

综上可知，目前的几何优化方法仅考虑单元度量，没有充分考虑模型的结构信息，因此导致对某些六面体网格优化效果不理想。

发明内容

本发明之目的是弥补上述之不足，向社会公开能够有效提升网格质量的一种结构引导的六面体网格几何优化方法。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种结构引导的六面体网格几何优化方法，包括以下步骤：

步骤一、生成与六面体网格拓扑结构相兼容的光滑标架场：

1)从六面体网格的奇异线追踪，提取六面体网格的基结构(base complex)；

2)根据奇异线的度数，确定基结构中面片上的匹配矩阵；

3)根据光滑能量、法向对齐能量、标架场正交约束对应的能量，优化得到拓扑兼容的光滑标架场；

步骤二、建立符合结构约束的参数化：

4)建立参数化能量目标函数，使所求映射函数的梯度对齐于步骤一中得到的光滑标架场；

5)建立面间一致性约束、边界等参约束以及结构约束；

6)通过将优化问题转化为线性系统求解问题，得到参数化结果；

步骤三、基于参数化结果优化六面体网格：

7)通过参数化能量的梯度下降法，优化奇异线上网格点的位置，进一步降低参数化的能量；

8)提取参数化结果中对应基结构面片的等参面；

9)以等参面作为基结构面片上网格点的约束面，建立优化目标函数，优化整个六面体网格。

进一步优化本技术方案的措施是：

优选的，所述的基结构中，任意两个标架fs、ft之间的匹配矩阵R_st定义为

其中G由24个旋转对称阵组成。

优选的，所述的根据奇异线的度数，确定基结构中面片上的匹配矩阵的具体步骤为：

(1)建立对偶生成树：以每块六面体网格为节点，从一个随机边界种子节点开始建立生成树，将该生成树上所有弧对应的面片上网格面的匹配矩阵设置为单位阵；

(2)确定匹配矩阵：若一条线(line)仅有一个邻接面片未确定匹配矩阵，则根据该线的度数确定该面片的匹配矩阵R_j＝(R_k...R_j+1)^-1H_l(R_j-1...R₀)^-1,迭代此步骤，直至不存在线仅有一个邻接面片未确定匹配矩阵；

(3)指定匹配矩阵：对剩余面片中未确定匹配矩阵的，将其中一个的匹配矩阵设置为单位阵后，再进行第(2)步骤；迭代第(2)、(3)步骤，直至所有的面片的匹配矩阵均确定。

优选的，所述的标架场光滑优化的过程为：求解

s.t.M_h ^TM_h＝I

第一项用来衡量标架场之间的光滑度，第二项用来衡量标架场与边界法向的对齐性，约束条件保证标架场的单位正交性，其中，标架场采用矩阵M_h表示，R_ij表示面片上的匹配矩阵，权重w设置为100，||·||_F表示Frobenius范数，||·||₁表示l₁范数，优化时采用近似代替

所述的步骤3)的求解采用六面体网格初始标架场生成方法[Wang etal.2018.Hex mesh topological improvement based on frame field and sheetadjustment.Computer-Aided Design]得到的标架场为初值，使用公开库DLIB中的L-BFGS优化器求解该优化方程。

所述的参数化能量目标函数为：

其中，H是输入六面体网格单元，f＝(u,v,w)是六面体网格顶点处的参数值,M_h＝(U,V,W)是标架场,vol_h是单元h的体积。

优选的，所述的面间一致性约束的建立：对于给定的相邻两六面体s和t，其公共面的转换函数为：f_|t＝R_stf_|s+g_st，R_st是s到t的匹配矩阵，g_st是一个三维变量。

优选的，所述的边界等参约束的建立：对任意一个边界网格面q，满足约束w_|h(p_i)＝w_|h(p_j)，其中，p_i,p_j是q上的任意两个点，h是q邻接的六面体单元，w是h上标架中与q法向方向相近的方向。

优选的，所述的结构约束的建立：首先，确定每一个面片的参数；然后，在面片的奇异线之间建立该参数上的等参约束。

优选的，所述的面片的参数确定的具体步骤为：

(a)对于位于边界上的面片，根据其邻接单元的标架确定参数。若该单元标架中的λ方向与法向近似，λ∈{u,v,w}，则该面片为λ面；

(b)若两个面片通过规则线连接，并在拓扑上位于一个方向上，则这两个面片的参数应该在变换意义下相等，即

其中p₁，p₂分别是这两个面片的，连接R₁,R₂…R_k是连接p₁，p₂的六面体单元串邻接半面上的匹配矩阵；

(c)若两个面片通过非奇异线邻接，并在拓扑上位于不同方向上，则这两个面片的参数应该在变换意义下不同。

(d)对于任意奇异有向边，若其邻接的面片依次(按顺时针或者逆时针)为P₁,P₂,…P_k,则P_i与P_i-1，P_i+1的参数应在变换意义下不同。

优选的，所述的步骤6)中，通过拉格朗日乘数法将参数化能量目标函数优化转化为线性系统的求解

使用公开库EIGEN中的共轭梯度法求解该线性系统。

优选的，所述的梯度下降法中，梯度表示为：

优选的，所述的步骤8)中，等参面提取的步骤如下：

a)基于广度优先的等参点确定，根据参数化结果，采用广度优先算法提取所有奇异边处的等参点。

b)基于样条拟合的等参面确定，对确定的等参点采用双三次样条曲面拟合生成等参面，通过遍历所有的内部奇异边和边界几何边，生成对应于面片的所有等参面。

优选的，所述的步骤9)中，采用局部优化方式优化每个点的几何位置，优化函数采用[Wilson et al.2012.Untangling and smoothing of quadrilateral and hexahedralmeshes.Civil-Comp Proceedings]中的目标函数，其中，位于基结构面片上的网格点采用等参面的参数坐标优化，使用DLIB库中的BFGS求解器求解该优化方程。

本发明与现有技术相比的优点是：

(1)根据六面体网格拓扑结构建立满足结构约束的参数化，并通过改变奇异线上网格点的几何位置，降低参数化能量，使基结构有更优的几何嵌入。

(2)通过提取关键等参面，分层次优化奇异线上网格点、关键等参面上网格点以及其余网格点的几何位置，提高整体网格质量。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明优化方法与其他优化方法的效果对比图。

具体实施方式

下面结合附图进一步详细描述本发明：

本发明一种结构引导的六面体网格几何优化方法，包括以下步骤：

步骤一、生成与六面体网格拓扑结构相兼容的光滑标架场；

步骤二、建立符合结构约束的参数化；

步骤三、基于参数化结果优化六面体网格。

采用本发明优化方法优化六面体网格的主要流程如图1所示：输入六面体网格(带网格质量，提取基结构，确定网格面上的匹配矩阵，确定基结构面片的结构约束参数值，基于参数化梯度优化奇异线位置，带位置约束的六面体网格几何优化。

本发明一种结构引导的六面体网格几何优化方法，通过精心布置网格奇异线的位置及奇异线间的面片位置，达到较低的全局整体扭曲值。该方法的输入是一个六面体网格和CAD模型，输出是整体参数化能量较低、拓扑结构相同的优化的六面体网格。

为了能够建立满足结构约束的参数化，首先需要在输入六面体网格上生成一个拓扑上与输入六面体网格相同、几何上符合模型边界法向的光滑的引导标架场，即使得标架场的奇异结构与基结构完全相同。采用六面体网格初始标架场生成方法[Wang etal.2018.Hex mesh topological improvement based on frame field and sheetadjustment.Computer-Aided Design]，在每个六面体单元内建立一个标架，得到六面体网格的初始标架场，但该标架场的奇异边不一定完全符合六面体网格的非规则边，需要对其进行优化。

分两步优化得到所需的标架场：首先确定符合奇异结构要求的六面体网格面的匹配矩阵，然后在匹配矩阵约束下进行标架场光滑化。其中，任意两个标架fs、ft之间的匹配矩阵R_st定义为

其中G由24个旋转对称阵组成。

借助基结构确定网格面上的匹配矩阵，使标架场的奇异结构符合网格的拓扑结构。基结构将六面体网格分成了很多六面块，邻接块之间的网格面组称之为面片，邻接面片之间的网格边组称之为线，可以是奇异线，或者规则线。由于每个六面块内部不存在奇异边，故而可以将六面块内部的所有网格面上的匹配矩阵定义为单位阵。每个面片内不存在奇异点，故而任何一个面片上的一侧的网格半面上的匹配矩阵应一致。根据每条线的度数，便可按如下步骤确定所有内部面片上的匹配矩阵：

(1)建立对偶生成树。以每块六面体网格为节点，从一个随机边界种子节点开始建立生成树，将该生成树上所有弧对应的面片上网格面的匹配矩阵设置为单位阵。通过这种方式，每条线邻接的面片至少有一个未确定匹配矩阵。

(2)确定匹配矩阵。若一条线仅有一个邻接面片未确定匹配矩阵，则根据该线的度数确定该面片的匹配矩阵R_j＝(R_k...R_j+1)^-1H_l(R_j-1...R₀)^-1。迭代此步骤，直至不存在线仅有一个邻接面片未确定匹配矩阵。其中，H_l由该线的度数决定，采用[Liu etal.2018.Singularity-constrained octahedral fields for hexahedral meshing.ACMTOG]中的方法确定。

(3)指定匹配矩阵。对剩余面片中未确定匹配矩阵的，将其中一个的匹配矩阵设置为单位阵后，再进行第(2)步骤；迭代第(2)、(3)步骤，直至所有的面片的匹配矩阵均确定。

确定标架场的奇异结构后，需要对其进行光滑化，从而尽量降低后续参数化的扭曲度。为了始终保持标架场的奇异结构，在光滑化过程中，需保持邻接单元的标架之间的匹配矩阵不变。满足匹配矩阵的标架场光滑化可看作一个优化问题进行求解：

s.t.M_h ^TM_h＝I

第一项用来衡量标架场之间的光滑度，第二项用来衡量标架场与边界法向的对齐性，约束条件保证标架场的单位正交性。其中，标架场采用矩阵M_h表示，R_ij表示面片上的匹配矩阵，权重w设置为100，||·||_F表示Frobenius范数。||·||₁表示l₁范数，优化时采用近似代替

采用DLIB库中的L-BFGS方法求解该优化方程。

基于上述标架场，在输入六面体网格上进行带结构约束的全局参数化，这样便可提取得到基结构的面片的优化嵌入。

为了能通过提取整数等参线来获得最终符合标架场的六面体网格，所求映射函数的梯度需尽可能对齐输入的标架场。为此，有以下目标函数，

其中，H是输入六面体网格单元，f＝(u,v,w)是六面体网格顶点处的参数值,M_h＝(U,V,W)是标架场,vol_h是单元h的体积。每个网格节点在不同的六面体单元内具有不同的参数值。

由于背景网格为六面体网格，采用坐标映射方式计算上述参数函数的梯度。为了能够从参数化结果中提取出与原网格结构一致的基结构，需要添加面间一致性约束、边界等参约束，以及结构约束。

面间一致性约束：对于给定的相邻两六面体s和t，公共面上参数函数f在不同单元上可能有不同值，为了保证结果六面体网格无可视缝隙，需要添加两者之间的转换函数:

f_|t＝R_stf_|s+g_st。

R_st是s到t的匹配矩阵，g_st是一个三维变量，上述约束可变换为：

f_|t(pi)-f_|t(p_j)＝R_st(f_|s(p_i)-f_|s(p_j))

其中，p_i,p_j是s,t公共面上的任意两个点。

边界等参约束：为了保证边界保形，还需要边界等参约束。即，对任意一个边界网格面q，需满足如下约束：

w_|h(p_i)＝w_|h(p_j)

其中，p_i,p_j是s,t公共面上的任意两个点，h是q邻接的边界六面体单元，，w是h上标架中与q法向方向相近的方向。

结构约束：为了能够使通过参数化提取的奇异结构，特别是奇异边间的连接关系与输入六面体网格完全一致，需要加入额外的等参约束。即，对基结构上的任意一个面片，其边界的奇异边之间都应该在变换意义下等参。为此，我们分两步进行：首先确定每一个面片的参数，然后在面片的奇异线之间建立该参数上的等参约束。

面片参数确定：六面体网格基结构上的任意一个面片都应对应于参数化的一个等参面。为此，我们应该首先确定所有面片的参数(即该面片对应于参数化的u面，v面，或w面)，该参数确定应符合网格面上的匹配矩阵变换。我们采用从边界递推至内部的方式迭代确定所有面片的参数：

(a)对于位于边界上的面片，我们根据其邻接单元的标架确定参数。若该单元标架中的λ方向与法向近似，λ∈{u,v,w}，则该面片为λ面。

(b)若两个面片通过非奇异线连接，并在拓扑上位于一个方向上，则这两个面片的参数应该在变换意义下相等，即

其中p₁，p₂是这两个面片的代表半面，连接R₁,R₂,...R_k是连接p₁，p₂的六面体单元串邻接半面上的匹配矩阵。

(c)若两个面片通过非奇异线邻接，并在拓扑上位于不同方向上，则这两个面片的参数应该在变换意义下不同。

(d)对于任意奇异有向边，若其邻接的面片按顺时针(逆时针)为P₁,P₂,…P_k,则P_i与P_i-1，P_i+1的参数应在变换意义下不同。

面片等参约束：对于任意一个面片，建立该面片任两条奇异线之间的等参约束。由于仅有拓扑一致约束，面片的具体几何嵌入无任何要求，仅需对面片的边界边做等参约束。假设该面片的参数为λ，l_s,l_t是面片的两条奇异线，分别取其上的任意一个网格边e_s,e_t，e_s,e_t邻接的该面片的网格面分别为q_s,q_t，其邻接的六面体单元为h_s,h_t。计算六面体网的对偶图从hs到ht的最短路径作为穿越体序列，在该体序列间按顺序代入面间一致性约束，并递推最终获得从hs到ht间的转换约束。

我们通过拉格朗日乘数法将该参数化能量目标函数优化转化为线性系统的求解

使用公开库EIGEN中的共轭梯度法求解该线性系统。根据上述参数化结果，便可提取相应等参面，从而优化面片内网格点的几何位置。但由于参数化的设置，奇异线上网格点保持固定，这仍有可能影响网格质量。为此，我们通过允许奇异线上网格节点位置变动，进一步降低参数化能量函数。

通过上述方法优化了网格点在奇异线上的位置后，其余网格顶点的位置通过层次迭代进行优化，如下所示：

(一)提取面片对应的等参面；

(二)将网格顶点投影到等参面上，并使用参数坐标对其进行优化；

(三)优化其他网格顶点。

迭代步骤(二)、(三)直到收敛。下面具体阐释基于参数化梯度的奇异线位置优化和基于等参面提取的面片位置优化。

基于参数化梯度的奇异线位置优化：我们基于以网格节点位置为变量的参数化目标函数的梯度重新放置奇异线的位置，以达到局部最优的全局嵌入质量，从而提高六面体网格质量。由于能量函数E中涉及网格单元的体积，我们将体积转换为顶点坐标(x,y,z)表示，固定所有节点u,v,w参数值后，能量函数E仅与节点坐标(x,y,z)相关。我们通过将奇异边上节点沿梯度方向移动降低能量函数值，其梯度

为了计算简便，在此我们采用有限差分法计算梯度方向，即

其中权重ε设置为0.001.

确定梯度方向后，需进一步确定每个节点的移动步长，在此我们定义移动步长为l(h)＝α||d(h)||，其中权重α设置为0.1。

基于等参面提取的面片位置优化：由于面片均位于等参面上，我们通过提取等参面，优化面片上的网格点。步骤如下：

a)基于广度优先的等参点确定。根据参数化结果，采用广度优先算法提取所有奇异边处的等参点。具体地，从奇异线上的任一网格点出发，根据对应面片的参数λ，确定其邻接单元的12条边上与该网格点的λ等参点；然后再寻找该等参点所在的网格边的邻接单元，通过匹配矩阵确定该单元的参数λ′，并在该六面体单元的12条边继续寻找与上一个等参点的λ′等参点，直至所有的单元寻找完毕，或者到达其他奇异线时，停止搜索。

b)基于样条拟合的等参面确定。我们对确定的等参点采用双三次样条曲面拟合生成等参面，通过遍历所有的内部奇异边和边界几何边，便可生成对应于面片的所有等参面。

我们采用局部优化方式优化每个点的几何位置。优化函数采用[Wilson etal.2012.Untangling and smoothing of quadrilateral and hexahedralmeshes.Civil-Comp Proceedings]中的目标函数。其中，位于基结构面片上的网格点采用等参面的参数坐标优化，使用DLIB库中的BFGS求解器求解该优化方程。

如图2所示，采用不同优化方法所得到的六面体网格结构优化结果对比图。图2a为输入的六面体网格，最低雅可比值为0.436；图2b为采用本发明优化方法的结果网格，最低雅可比值提高到0.802；图2c为采用智能拉普拉斯优化方法的结果网格，最低雅可比值为0.490；图2d为采用基于条件数的优化方法的结果网格，最低雅可比值为0.634；图2e为采用基于均衡比的优化方法的结果网格，最低雅可比值为0.628。从图2的优化效果中可以看出，采用本发明的优化方法能够显著提高六面体网格的质量，六面体单元的最小雅可比值上升明显。

本发明的最佳实施例已被阐明，由本领域普通技术人员做出的各种变化或改型都不会脱离本发明的范围。

Claims (9)

1.一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：包括以下步骤：

步骤一、生成与六面体网格拓扑结构相兼容的光滑标架场：

1)从六面体网格的奇异线追踪，提取六面体网格的基结构；

2)根据奇异线的度数，确定基结构中面片上的匹配矩阵；

3)根据光滑能量、法向对齐能量、标架场正交约束对应的能量，优化得到拓扑兼容的光滑标架场；

步骤二、建立符合结构约束的参数化：

4)建立参数化能量目标函数，使所求映射函数的梯度对齐于步骤一中得到的光滑标架场；

5)建立面间一致性约束、边界等参约束以及结构约束；

6)通过将优化问题转化为线性系统求解问题，得到参数化结果；

步骤三、基于参数化结果优化六面体网格：

7)通过参数化能量的梯度下降法，优化奇异线上网格点的位置，进一步降低参数化的能量；

8)提取参数化结果中对应基结构面片的等参面；等参面提取的步骤如下：

a)基于广度优先的等参点确定，根据参数化结果，采用广度优先算法提取所有奇异边处的等参点；从奇异线上的任一网格点出发，根据对应面片的参数λ，确定其邻接单元的12条边上与该网格点的λ等参点；然后再寻找该等参点所在的网格边的邻接单元，通过匹配矩阵确定该单元的参数λ′，并在该六面体单元的12条边继续寻找与上一个等参点的λ′等参点，直至所有的单元寻找完毕，或者到达其他奇异线时，停止搜索；

b)基于样条拟合的等参面确定，对确定的等参点采用双三次样条曲面拟合生成等参面，通过遍历所有的内部奇异边和边界几何边，生成对应于面片的所有等参面；

9)以等参面作为基结构面片上网格点的约束面，建立优化目标函数，优化整个六面体网格。

2.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的基结构中，任意两个标架fs、ft之间的匹配矩阵R_st定义为

其中G由24个旋转对称阵组成。

3.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的根据奇异线的度数，确定基结构中面片上的匹配矩阵的具体步骤为：

(1)建立对偶生成树：以每块六面体网格为节点，从一个随机边界种子节点开始建立生成树，将该生成树上所有弧对应的面片上网格面的匹配矩阵设置为单位阵；

(2)确定匹配矩阵：若一条线仅有一个邻接面片未确定匹配矩阵，则根据该线的度数确定该面片的匹配矩阵R_j＝(R_k...R_j+1)^-1H_l(R_j-1...R₀)^-1,迭代此步骤，直至不存在线仅有一个邻接面片未确定匹配矩阵；

(3)指定匹配矩阵：对剩余面片中未确定匹配矩阵的，将其中一个的匹配矩阵设置为单位阵后，再进行第(2)步骤；迭代第(2)、(3)步骤，直至所有的面片的匹配矩阵均确定。

4.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的标架场光滑优化的过程为：求解

s.t.M_h ^TM_h＝I

第一项用来衡量标架场之间的光滑度，第二项用来衡量标架场与边界法向的对齐性，其中，标架场采用矩阵M_h表示，R_ij表示面片上的匹配矩阵，权重w设置为100。

5.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的参数化能量目标函数为：

其中，H是输入六面体网格单元，f＝(u,v,w)是六面体网格顶点处的参数值,M_h＝(U,V,W)是标架场,vol_h是单元h的体积。

6.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的面间一致性约束的建立：对于给定的相邻两六面体s和t，其公共面的转换函数为：f_|t＝R_stf_|s+g_st，R_st是s到t的匹配矩阵，g_st是一个三维变量；所述的边界等参约束的建立：对任意一个边界网格面q，满足约束w_|h(p_i)＝w_|h(p_j)，其中，p_i,p_j是q上的任意两个点，h是q邻接的六面体单元，w是h上标架中与q法向方向相近的方向；所述的结构约束的建立：首先，确定每一个面片的参数；然后，在面片的奇异线之间建立该参数上的等参约束。

7.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的面片的参数确定的具体步骤为：

(a)对于位于边界上的面片，根据其邻接单元的标架确定参数，若该单元标架中的λ方向与法向近似，λ∈{u,v,w}，则该面片为λ面；

(b)若两个面片通过规则线连接，并在拓扑上位于一个方向上，则这两个面片的参数应该在变换意义下相等，即

其中p1，p2是这两个面片的代表半面，连接R₁,R₂…R_k是连接p1，p2的六面体单元串邻接半面上的匹配矩阵；

(c)若两个面片通过非奇异线邻接，并在拓扑上位于不同方向上，则这两个面片的参数应该在变换意义下不同，

(d)对于任意奇异有向边，若其邻接的面片依次为P1,P2,…Pk,则Pi与Pi-1，Pi+1的参数应在变换意义下不同。

8.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的步骤6)中，通过拉格朗日乘数法将参数化能量目标函数优化转化为线性系统的求解

使用公开库EIGEN中的共轭梯度法求解该线性系统。

9.根据权利要求1所述的一种结构引导的六面体网格几何优化方法，其特征是：所述的梯度下降法中，梯度表示为：

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