CN109410335A - 一种基于可复用拉普拉斯矩阵的高效网格融合方法 - Google Patents

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CN109410335A CN201811109384.5A CN201811109384A CN109410335A CN 109410335 A CN109410335 A CN 109410335A CN 201811109384 A CN201811109384 A CN 201811109384A CN 109410335 A CN109410335 A CN 109410335A
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卢星宇
张华熊
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Abstract

本发明公开了一种基于可复用拉普拉斯矩阵的高效网格融合方法。该方法包括：设置源网格模型与目标网格模型边界顶点的对应关系，计算源网格边界顶点到对应目标网格边界顶点的局部变换，采用拉普拉斯算子计算旋转场与尺度因子场，复用拉普拉斯矩阵重建几何坐标等。该方法将几何融合、旋转场与尺度因子场的插值问题均转化为拉普拉斯(泊松)方程进行求解，仅需一次Cholesky分解和多次回代计算得到融合所需的八个标量场，比起传统基于测地线的插值方法快两个数量级。该方法不仅能够获得与传统泊松融合方法相媲美的结果，而且显著地提高了效率，达到实时响应的速度。

Description

一种基于可复用拉普拉斯矩阵的高效网格融合方法
技术领域
本发明涉及计算机图形学与数字几何处理技术领域，具体涉及一种基于可复用拉普拉斯矩阵的网格融合方法，以实现网格之间的高效融合。
背景技术
网格融合是计算机图形学与数字几何处理领域的一个重要问题，即将源网格与目标网格进行融合以合成新的网格模型。现有的主流方法主要有两种：重建几何法与构造过渡曲面法。这两种方法的具体内容与局限性如下：重建法，如经典的泊松融合法能针对差异(形状、大小与顶点密度)较大的融合边界重建出可靠的源网格几何形状，但其旋转场与尺度因子场涉及测地线的计算，降低了效率，难以满足交互需求，为避免耗时的旋转场与尺度因子场计算，现有方法往往借助交互手段将源模型与目标网格进行对齐，然后运用代价较小的变形方法进行几何重建实现融合，变形过程采用广义重心坐标法避免方程组的求解，进一步提高效率，但还是无法达到实时交互的需求。构造过渡曲面法，即在源网格与目标网格边界之间构造一个隐式曲面实现光滑拼接，该方法能适用多个复杂边界的融合，但隐式曲面(如径向基函数插值)通常需求解稠密矩阵方程得到，且曲面需最终进行网格化，较为耗时，因此也难以达到交互响应速度。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种能够有效地提升融合效率，便于交互应用，同时减少用户的交互量，使用户操作简洁的网格融合方法。本发明充分利用重构几何所用的拉普拉斯矩阵的性质，将几何重建、旋转场与尺度因子场的插值问题均转化为拉普拉斯(泊松)方程进行求解，从而实现网格的高效融合。
本发明提供的一种基于可复用拉普拉斯矩阵的网格融合方法，该方法包括以下步骤：
步骤一，设置源网格模型与目标网格模型边界顶点的对应关系，并计算旋转变换矩阵及尺度因子。
源网格与目标网格的融合边界均为一个封闭的空间曲线，但其顶点个数与间距往往不一致。为建立两边界的对应关系，由用户指定若干稀疏的关键对应点；并对对相邻关键对应点之间的曲线段，利用弦长参数化方法插入新顶点并设置其对应关系。
步骤二，构建源网格的约束几何拉普拉斯矩阵，并对矩阵进行预分解，计算几何坐标的梯度场。
所述约束几何拉普拉斯矩阵表示为Lc＝SL+λC，其中L为余切拉普拉斯矩阵，S为网格顶点的Voronoi面积构成的对角阵，C为位置约束的对角系数矩阵，λ为软约束权重(默认取作108)；
所述预分解采用Cholesky分解法，将矩阵Lc分解为：Lc＝AAt，其中A为下三角矩阵。
步骤三，将源网格边界顶点的旋转变换矩阵转化成四元素。
步骤四，根据源网格边界顶点的四元素及尺度因子，采用全局拉普拉斯光顺法插值得到源网格顶点上的四元素场与尺度因子场，具体为：利用约束几何拉普拉斯矩阵，通过回代计算快速插值出源网格顶点上的的四元素场与尺度因子场。
所述回代计算是指根据步骤二的预分解结果，分为两步计算拉普拉斯方程Lc X＝b的解：
AY＝b,At X＝Y；
其中，X＝[qx,qy,qz,qw,s]，qx,qy,qz,qw为所有顶点的四元素的四个分量构成的向量，s为所有顶点上尺度因子构成的向量，b为|V|×5的常矩阵，|V|为源网格顶点个数，当顶点序号对应边界顶点时，对应b中的行向量为λ[q'x,q'y,q'z,q'w,s']，其中[q'x,q'y,q'z,q'w,s']为边界顶点的四元素值与尺度因子；否则对应b中的行向量为0；
该步骤是本发明的核心，不仅避免了传统方法耗时的测地距离的计算，而且通过复用拉普拉斯矩阵，仅需代价很小的回代计算边能快速得到标量场。
步骤五，由源网格顶点上的尺度因子场与四元素场插值面片上的场，并将面片上的四元素转化成旋转变换矩阵。
步骤六，根据步骤五得到的旋转变换矩阵及尺度因子场更新源网格的梯度场，并复用约束几何拉普拉斯矩阵，再次利用约束几何拉普拉斯矩阵的预分解结果进行回代计算，重建源网格几何坐标，实现与目标网格融合。
步骤七，对融合边界的带状区域进行网格优化，具体为：搜索融合边界顶点的1-环邻域三角形所构成的带状区域，利用带状区域类柱形拓扑特性，沿着连接柱形边界的网格边将其剪开成与盘同胚的开曲面，并利用弦长参数化方法将该曲面的边界映射到一个平面矩形区域，然后运用成熟的带约束Delaunay三角化算法对该区域进行三角剖分；最后在原融合网格的边界约束下，由拉普拉斯方程构造极小曲面：
ΔX＝0
其中Δ为拉普拉斯矩阵，X为待求网格顶点的三维坐标构成的矩阵，其大小为:|V|×3；
用极小曲面法重构该区域曲面，实现网格优化。
进一步地，所述步骤一中，首先将两曲线段弦长参数化到单位长度线段上；然后分别对其中一条线段的每一个顶点，根据等距关系在另一条线段上找到对应点，若该顶点靠近该线段上已有的顶点，则将该顶点作为对应点；否则对该点所在的边进行细分。将由该方法所生成的顶点作为对应点，两者边界的顶点按逆时针顺序排列分别为与并满足对应关系：
进一步地，所述步骤一中，对于源网格与目标网格边界上的每一个顶点(包括生成的顶点)vi处建立局部标架Fi：以(其中上标表示顶点序号，对顶点个数n取模，下同)为x轴，以vi处法向为z轴，以为y轴。其中源网格与目标网格顶点的标架分别计作由此计算源网格边界顶点的旋转变换矩阵与尺度因子
进一步地，所述步骤二中，将源网格表示为M＝<V,E,T>，其中V为顶点集，E为边集，T为面片集。则该网格的拉普拉斯算子L为|V|×|V|矩阵，表示为：
其中i,j为顶点序号，求和符号∑中j遍历顶点i的1-环邻域顶点，αij与βij是网格边<i,j>的对角。
设C为|V|×|V|对角矩阵，用于约束源网格边界顶点的属性值，表示为：
则约束拉普拉斯矩阵表示为Lc＝SL+λC，其中S为网格顶点的Voronoi面积构成的对角阵，其对角元表示为顶点1-环邻域三角形面积总和的三分之一：Si＝1/3∑jsj(j遍历顶点i的邻接三角形的面积)，C为位置约束的对角系数矩阵，λ为软约束权重。
采用Cholesky分解法将矩阵Lc分解为一个下三角矩阵及其转置的乘积，即Lc＝AAt，其中A为下三角矩阵。
几何坐标梯度场定义在网格面上，对于三维坐标分别对应三个梯度场。对于三角形面片t，若其三个顶点上的标量为则其梯度表示为：
分别将三个顶点坐标值替换成上述标量值，则可得到其对应的梯度。
进一步地，所述步骤三中，将源网格边界顶点的旋转变换矩阵R转化成四元素Q＝[q0,q1,q2,q3]。根据如下旋转矩阵与其对应四元素的关系，求解四元素：
进一步地，所述步骤四具体为：
将旋转变换场与尺寸变换场转化成五个标量场：四元素标量场qx,qy,qz,qw与一个尺度因子场s，并采用全局拉普拉斯光顺法对其进行平滑插值，即求解如下狄利克雷边界条件约束下的拉普拉斯方程：
L[qx,qy,qz,qw,s]＝0
并将该方程转化成形式：LcX＝b，其中X＝[qx,qy,qz,qw,s]，利用步骤二中Lc预分解结果，进行两步回代计算得到方程解：
AY＝b,At X＝Y。
进一步地，所述步骤五中，对于三角形面片t，设其三个顶点分别为<i,j,k>，则该面片的上的四元素可插值为：Qt＝λ1Qi+λ2Qj+λ3Qk，对Qt进行归一化处理，并将其转化成旋转变换矩阵；该面片上的尺度因子插值为：st＝λ1si+λ2sj+λ3sk；其中λ1,λ2,λ3均为大于1的权重，满足λ1+λ2+λ3＝1，可以采用λ1,λ2,λ3均取作1/3。
进一步地，所述步骤六中，根据步骤五得到的旋转变换矩阵R与尺度因子场s更新每个面片上的梯度场，设原面片t上的三个梯度向量构成的矩阵为Tt，尺度因子为st，旋转矩阵为Rt，则更新后的梯度为stRtTt；通过求解如下泊松方程重构网格几何坐标X：
LcX＝d
其中d是所有顶点三个梯度场的散度构成的|V|×3的矩阵，求解时再次利用步骤二中Lc预分解结果，进行回代计算得到方程解：AY＝d,At X＝Y。
进一步地，所述步骤七中，曲面所映射的矩形区域的宽w和高h分别取值如下：w＝(ls+lt)/2,h＝A/w，其中ls，lt分别是源网格与目标网格融合边界的长度，A为带状区域的面积。
本发明的有益效果是：本发明方法将几何融合、旋转场与尺度因子场的插值问题均转化为拉普拉斯(泊松)方程进行求解，仅需一次Cholesky分解和多次回代计算得到融合所需的八个标量场，比起传统基于测地线的插值方法快两个数量级。该方法不仅能够获得与传统泊松融合方法相媲美的结果，而且显著地提高了效率，达到实时响应的速度。
附图说明
图1为本发明中一个实施例的可复用拉普拉斯的高效网格融合方法流程图。
图2为实施例中步骤一融合边界网格顶点对应关系示意图，其中S与T分别表示源网格与目标网格边界对应的单位长度参数域。
图3为实施例中步骤七网格优化的示意图，其中(a)为优化前网格，(b)为将网格边界参数化到一个矩形区域并进行约束Delaunay三角化得到的平面网格，(c)为优化后网格。
图4中，(a)为源网格与目标网格，图中所示为其实际朝向与大小；(b)为网格融合后经过网格优化的结果，(c)为网格融合后未经过网格优化的结果。
图5为实施例中网格融合结果对比图，其中(a)为源网格与目标网格，(b)为本发明得到的结果，(c)基于传统的测地线的融合方法得到的结果，(d)为将(b)模型和(c)模型置于同一坐标系下的结果。
具体实施方式
针对于背景技术的不足，本发明的目的主要在于提供一种高效的网格融合方法，能够显著地提高网格融合的计算效率，使其便于交互应用。
本发明公开了一种基于可复用拉普拉斯的高效网格融合方法，利用拉普拉斯矩阵良好的性质，将网融合中几何、旋转场、尺度因子场的计算统一运用拉普拉斯矩阵进行建模，使之在计算中得到多次复用，只需对拉普拉斯矩阵进行一次Cholesky分解和多次代价较小的回代计算，从而提高计算效率。
本发明的优点包括：(a)复用拉普拉斯矩阵计算旋转场、尺度因子场与几何坐标，计算效率得到明显提高，适于交互应用；(b)得益于拉普拉斯矩阵的良好属性，旋转场、尺度因子场的能够得到光滑插值且融合过渡平滑自然。
下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。
实施例1
本实施例涉及一种基于可复用拉普拉斯矩阵的高效网格融合方法，对网融合中旋转场、尺度因子场、几何的计算统一运用拉普拉斯矩阵进行建模，充分利用拉普拉斯矩阵的预分解结果，通过多次快速回代计算求得各种不同的量，计算简单，而且运算速度快捷。
图1是本实施例中的基于可复用拉普拉斯的高效网格融合方法的流程图。该网格融合方法包括以下步骤：步骤101，设置顶点对应关系，并计算其旋转与尺度因子；步骤102，构建拉普拉斯矩阵并进行分解，计算几何坐标的梯度场；步骤103，多次回代计算得到融合所需的八个标量场(三个位置场、四个四元素分量场与一个尺度因子场)；步骤104，再次复用拉普拉斯实现纹理坐标的融合。
具体地说，在一个实施例中，该网格融合方法包括以下步骤：
步骤一：提取两个模型(源模型与目标模型)的边界顶点形成边界线(如图4(a)所示)；由用户在两个边界线上设置若干(大于等于2个)对应点，将边界线分割成若干曲线段；运用弦长参数化方法，建立每一段曲线段上顶点的对应关系。具体对应方法如图2所示，即首先将两曲线段弦长参数化到单位长度线段上；然后分别对其中一条线段的每一个顶点，根据等距关系在另一条线段上找到对应点，若该顶点靠近该线段上已有的顶点，则将该顶点作为对应点；否则对该点所在的边进行细分。
步骤二：构建源网格的约束几何拉普拉斯矩阵，并对矩阵进行预分解，计算几何坐标的梯度场。
将源网格表示为三元组<V,E,T>，分别对应网格顶点集、边集，面片集。首先按如下公式计算该网格的拉普拉斯矩阵L(|V|×|V|)：
其中i,j为顶点序号，求和符号∑中j遍历顶点i的1-环邻域顶点，αij与βij是网格边<i,j>的对角。
然后计算约束拉普拉斯矩阵。设C为|V|×|V|对角矩阵，用于约束源网格边界顶点的属性值，表示为：
则约束拉普拉斯矩阵表示为Lc＝SL+λC，其中S为网格顶点的Voronoi面积构成的对角阵，其对角元表示为顶点1-环邻域三角形面积总和的三分之一：Si＝1/3∑jsj(j遍历顶点i的邻接三角形的面积)，C为位置约束的对角系数矩阵，λ为软约束权重。
采用Cholesky分解法将矩阵Lc分解为一个下三角矩阵及其转置的乘积，即Lc＝AAt，其中A为下三角矩阵。
最后计算几何坐标的梯度场。几何坐标梯度场定义在网格面上，三维坐标分别对应三个梯度场。对于三角形面片t，若其三个顶点上的标量为则其梯度表示为：
分别将三个顶点坐标值替换成上述标量值，则可得到其对应的梯度。
步骤三：将源网格边界顶点的旋转变换矩阵转化成四元素。设四元素Q＝[q0,q1,q2,q3]。则旋转矩阵R与其对应四元素Q存在如下关系：
通过求解方程，可实现转换。
步骤四，利用拉普拉斯矩阵，通过回代计算快速插值出源网格的四元素场与尺度因子场。
将局部旋转与尺寸变换场转化成五个标量场(四元素标量场qx,qy,qz,qw与一个尺度因子场s)，并采用全局拉普拉斯光顺法对其进行平滑插值。即求解如下狄利克雷边界条件约束下的拉普拉斯方程：
L[qx,qy,qz,qw,s]＝0
并将该方程转化成形式：LcX＝b，其中X＝[qx,qy,qz,qw,s]。求解时可利用步骤三中Lc预分解的结果进行两步回代计算得到方程解。
AY＝b,At X＝Y。
步骤五，由源网格顶点上的尺度因子场与四元素场插值面片上的场，并将面片上的四元素转化成旋转变换矩阵。
根据四元素的线性可加性，由步骤四计算得到的顶点上的四元素场，插值出面片上的四元素场。对于三角形面片t，设其三个顶点分别为<i,j,k>，则该面片的上的四元素可插值为：Qt＝(Qi+Qj+Qk)/3，对Qt进行归一化处理，并将其转化成旋转矩阵；该面片上的尺度因子插值为：st＝(si+sj+sk)/3。
步骤六，根据步骤五得到的旋转变换矩阵及尺度因子场更新源网格的梯度场，并复用约束几何拉普拉斯矩阵，再次利用约束几何拉普拉斯矩阵的预分解结果进行回代计算，重建源网格几何坐标，实现与目标网格融合。
根据步骤五得到的旋转变换矩阵R与尺度因子场s更新每个面片上的梯度场。设原面片t上的三个梯度向量构成的矩阵为Tt，尺度因子为st，旋转矩阵为Rt，则更新后的梯度为：stRtTt。
则通过求解如下泊松方程重构网格几何坐标X:
LcX＝d，
其中d是所有顶点三个梯度场的散度构成的|V|×3的矩阵。求解时再次利用步骤二中Lc预分解的结果，进行回代计算得到上述方程的解：
AY＝d,At X＝Y。
图4(c)是由上述方法融合的结果。
步骤七，对融合边界的带状区域进行网格优化。
搜索融合边界顶点的1-环邻域三角形所构成的带状区域(图3(a))，并利用带状区域“类柱形”拓扑特性，沿着连接柱形边界的网格边将其剪开成与盘同胚的开曲面，并利用弦长参数化方法将该曲面的边界映射到一个平面矩形；然后运用成熟的带约束Delaunay三角化算法对该区域进行三角剖分(见图3(b))；最后在原融合网格的边界约束下，由拉普拉斯方程构造极小曲面(见图3(c))：
ΔX＝0
其中Δ为拉普拉斯矩阵，X为待求网格顶点的三维坐标构成的矩阵，其大小为：|V|×3。
图4(b)是由图4(c)经过网格优化后的融合结果。图5是人体与马身模型的融合结果，其中(b)是本发明的结果，(c)是基于测地线插值的结果。
虽然通过参照本发明的某些优选实施方式，已经对本发明进行了图示和描述，但本领域的普通技术人员应该明白，可以在形式上和细节上对其作各种改变，而不偏离本发明的精神和范围。

Claims (10)

1.一种基于可复用拉普拉斯矩阵的高效网格融合方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，设置源网格模型与目标网格模型边界顶点的对应关系，并计算旋转变换矩阵及尺度因子，具体为：由用户指定若干关键对应点，对相邻关键对应点之间的曲线段，利用弦长参数化方法插入新顶点并设置其对应关系；
步骤二，构建源网格的约束几何拉普拉斯矩阵，并对矩阵进行预分解，计算几何坐标的梯度场；
所述约束几何拉普拉斯矩阵表示为Lc＝SL+λC，其中L为余切拉普拉斯矩阵，S为网格顶点的Voronoi面积构成的对角阵，C为位置约束的对角系数矩阵，λ为软约束权重；
所述预分解采用Cholesky分解法，将矩阵Lc分解为：Lc＝AAt，其中A为下三角矩阵；
步骤三，将源网格边界顶点的旋转变换矩阵转化成四元素；
步骤四，根据源网格边界顶点的四元素及尺度因子，采用全局拉普拉斯光顺法插值得到源网格顶点上的四元素场与尺度因子场，具体为：利用约束几何拉普拉斯矩阵，通过回代计算快速插值出源网格顶点上的的四元素场与尺度因子场；
所述回代计算是指根据步骤二的预分解结果，分为两步计算拉普拉斯方程LcX＝b的解：
AY＝b,AtX＝Y；
其中，X＝[qx,qy,qz,qw,s]，qx,qy,qz,qw为所有顶点的四元素的四个分量构成的向量，s为所有顶点上尺度因子构成的向量，b为|V|×5的常矩阵，|V|为源网格顶点个数，当顶点序号对应边界顶点时，对应b中的行向量为λ[q'x,q'y,q'z,q'w,s']，其中[q'x,q'y,q'z,q'w,s']为边界顶点的四元素值与尺度因子；否则对应b中的行向量为0；
步骤五，由源网格顶点上的尺度因子场与四元素场插值面片上相应的场，并将面片上的四元素转化成旋转变换矩阵；
步骤六，根据步骤五得到的旋转变换矩阵及尺度因子场更新源网格的梯度场，并复用约束几何拉普拉斯矩阵，再次利用约束几何拉普拉斯矩阵的预分解结果进行回代计算，重建源网格几何坐标，实现与目标网格融合；
步骤七，对融合边界的带状区域进行网格优化，具体为：利用带状区域类柱形拓扑特性，沿着连接柱形边界的网格边将其剪开成与盘同胚的开曲面，并利用弦长参数化方法将该曲面的边界映射到一个平面矩形区域，然后运用带约束Delaunay三角化算法对该区域进行三角剖分；最后在原融合网格的边界约束下，由拉普拉斯方程构造极小曲面，用极小曲面法重构该区域曲面，实现网格优化。
2.如权利要求1所述的网格融合方法，其特征在于，所述步骤一中，首先将两曲线段弦长参数化到单位长度线段上；然后分别对其中一条线段的每一个顶点，根据等距关系在另一条线段上找到对应点，若该顶点靠近该线段上已有的顶点，则将该顶点作为对应点；否则对该点所在的边进行细分；将生成的顶点作为对应点，两者边界的顶点按逆时针顺序排列分别为与并满足对应关系：
3.如权利要求2所述的网格融合方法，其特征在于，所述步骤一中，对于源网格与目标网格边界上的每一个顶点vi处建立局部标架Fi：以为x轴，以vi处法向为z轴，以为y轴，其中源网格与目标网格顶点的标架分别计作由此计算源网格边界顶点的旋转变换矩阵与尺度因子
4.如权利要求1所述的网格融合方法，其特征在于，所述步骤二中，将源网格表示为M＝<V,E,T>，其中V为顶点集，E为边集，T为面片集；则该网格的拉普拉斯算子L为|V|×|V|矩阵，表示为：
其中i,j为顶点序号，求和符号∑中j遍历顶点i的1-环邻域顶点，αij与βij是网格边<i,j>的对角；
设C为|V|×|V|对角矩阵，用于约束源网格边界顶点的属性值，表示为：
则约束拉普拉斯矩阵表示为Lc＝SL+λC，其中S的对角元表示为顶点1-环邻域三角形面积总和的三分之一。
5.如权利要求1所述的网格融合方法，其特征在于，所述步骤二中，计算几何坐标的梯度场具体为：几何坐标梯度场定义在网格面上，对于三维坐标分别对应三个梯度场，对于三角形面片t，若其三个顶点上的标量为则其梯度表示为：
分别将三个顶点坐标值替换成上述标量值，则可得到其对应的梯度。
6.如权利要求1所述的网格融合方法，其特征在于，所述步骤三中，将源网格边界顶点的旋转变换矩阵转化成四元素，具体为：设四元素Q＝[q0,q1,q2,q3]，则旋转变换矩阵R与其对应四元素Q存在如下关系：
通过求解方程实现转换。
7.如权利要求1所述的网格融合方法，其特征在于，所述步骤四具体为：
将旋转变换场与尺寸变换场转化成五个标量场：四元素标量场qx,qy,qz,qw与一个尺度因子场s，并采用全局拉普拉斯光顺法对其进行平滑插值，即求解如下狄利克雷边界条件约束下的拉普拉斯方程：
并将该方程转化成形式：LcX＝b，其中X＝[qx,qy,qz,qw,s]，利用步骤二中Lc预分解结果，进行两步回代计算得到方程解：
AY＝b,AtX＝Y。
8.如权利要求1所述的高效网格融合方法，其特征在于，所述步骤五中，对于三角形面片t，设其三个顶点分别为<i,j,k>，则该面片的上的四元素可插值为：Qt＝λ1Qi+λ2Qj+λ3Qk，对Qt进行归一化处理，并将其转化成旋转变换矩阵；该面片上的尺度因子插值为：st＝λ1si+λ2sj+λ3sk；其中λ1,λ2,λ3均为大于1的权重，满足λ1+λ2+λ3＝1。
9.如权利要求1所述的高效网格融合方法，其特征在于，所述步骤六中，根据步骤五得到的旋转变换矩阵R与尺度因子场s更新每个面片上的梯度场，设原面片t上的三个梯度向量构成的矩阵为Tt，尺度因子为st，旋转矩阵为Rt，则更新后的梯度为stRtTt；
通过求解如下泊松方程重构网格几何坐标X：
LcX＝d，
其中d是所有顶点三个梯度场的散度构成的|V|×3的矩阵，求解时再次利用步骤二中Lc预分解结果，进行回代计算得到方程解：
AY＝d,AtX＝Y。
10.如权利要求1所述的高效网格融合方法，其特征在于，所述步骤七中，曲面所映射的矩形区域的宽w和高h分别取值如下：w＝(ls+lt)/2,h＝A/w，其中ls，lt分别是源网格与目标网格融合边界的长度，A为带状区域的面积。
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