CN115903484A - 基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，包括以下步骤：步骤1)、建立航空发动机状态空间模型并设计控制器；步骤2)、基于控制器分析控制系统性能；步骤3)、基于性能分析构造合作博弈框架；步骤4)、建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；步骤5)、利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数。本发明将合作博弈理论引入航空发动机鲁棒控制器优化方法中，设计多变量鲁棒控制器最优参数，提出了基于合作博弈的参数优化框架和Pareto最优解的标量化求解方法。

Description

基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法

技术领域

本发明属于航空航天组合发动机控制技术领域，具体涉及一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法。

背景技术

航空发动机对于飞机和航空事业的进步和发展具有极其重要的作用，被称为工业皇冠上的明珠。近年来，随着航空发动机性能的不断提高，如良好的稳定性及动态品质，足够高的稳态控制精度，大推重比以及高可靠性，对航空发动机控制系统提出了更高的要求。目前常用与航空发动机的几种经典现代控制方法有线性二次型最优控制和鲁棒控制等。线性二次型最优控制是基于线性系统理论提出来的，而航空发动是一个十分复杂的气动热力学系统，具有很强的非线性。因此，在将现代控制理论用于航空发动机时，首先需要将发动机非线性模型在稳态工作点上线性化，建立状态空间模型(或状态变量模型，SVM)，按照各点的状态空间模型设计控制器。然而，由于建模误差，建立的状态空间模型与实际发动机系统往往存在误差，这种不确定性会导致控制器的性能下降。鲁棒控制能够在系统存在不确定性和外部干扰时保持良好的稳定性和动态品质，因此常用于航空发动机控制系统的实际。

在控制器设计时往往会有多个可调参数，根据发动机的性能和成本需求，优化控制器参数以获得最佳性能。多目标多参数优化问题是指在一定的约束条件下，选取合适的设计参数使得多个目标在给定条件下尽可能同时最优化。然而，多目标优化的各个子目标大多是矛盾的，一个目标的改善优化可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低，也就是说使多个子目标一起达到最优值是不可能的，只能协调折中处理。因此，多目标多参数优化问题与单参数优化问题最本质的区别在于多目标多参数优化问题的解并非是唯一的，而是由众多Pareto最优解组成的一组最优解集合。传统的基于目标权重分配的多目标优化方法，例如评价函数法，不仅需要较多的先验知识，计算效率低，而且不能收敛到Pareto的最优前沿面上。而多目标进化算法虽然可以一次性获得多目标优化问题的大量Pareto最优解，但是无法证明解是否有意义。利用博弈论解决多目标多参数优化问题，不仅其成本函数有具体的物理含义，计算得出的Pareto最优解也有明确的意义，凡偏离Pareto Optimal的解必然会导致至少一个玩家的成本增加，因此在Pareto Optimal点上的解可保证各个玩家的成本维持成本相对最小的动态平衡中。因此，本发明提出一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法。

发明内容

发明目的：为了解决航空发动机控制器多参数优化问题，本发明提出一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法。考虑建模误差、参数摄动等不确定因素，建立航空发动机状态空间模型并采用模糊集描述上述不确定因素，构造系统稳态和瞬态性能函数；基于稳态和瞬态性能函数，构造面向合作博弈的控制器参数优化成本函数；建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数设。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，包括以下步骤：

步骤1)，建立航空发动机状态空间模型并设计多变量鲁棒控制器；

步骤2)，构造系统稳态和瞬态性能函数；

步骤3)，基于稳态和瞬态性能函数，构造面向合作博弈的控制器参数优化成本函数；

步骤4)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；

步骤5)，利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数。

进一步的，步骤1)中的具体步骤如下：

步骤1.1)，考虑建模误差、参数摄动、外界扰动等不确定因素，航空发动机不确定非线性系统为

其中，

表示时间，

表示状态，x₀为初始状态，

表示控制，

表示包含系统不确定性和输入干扰的未知时变参数。

为已知常数矩阵，ΔA(x,σ,t)、ΔB(x,σ,t)分别为取决于x、t以及未知时变参数σ的矩阵和向量。ΔA(·,t)、ΔB(·,t)是连续的并且ΔA(x,σ,·)、ΔB(x,σ,·)是Lebesgue可测的。

步骤1.2)，采用模糊集描述时变不确定参数σ，即不确定参数都是有界的且在模糊集

S_i＝{(σ_i,μ_i(σ_i))|σ_i∈∑_i},i＝1,2,…,p (24)

范围内，其中∑_i为已知闭紧集，μ_i为隶属度函数，且有μ_i:Σ_i→[0,1]；

步骤1.3)，基于航空发动机的部件级模型，采用小扰动法建立发动机模糊动态系统模型，获取系统(1)的系数矩阵A、B，且(A,B)可稳定。考虑Riccati方程

A^TP+PA-2PBR^-1B^TP+Q＝0 (25)

其中Q、R为大于0的适维矩阵，由于(A,B)可稳，存在矩阵P使得式(3)成立。

构造矩阵D(x,σ,t)、E(x,σ,t)使得

构造模糊数ρ_D、

满足

其中，λ_m(λ_M)为相应矩阵的最小(最大)特征值。

步骤1.4)，针对建立的航空发动机模糊动态系统(1)，设计鲁棒控制器：

u(t)＝-R^-1B^TPx(t)-γ||x(t)||^ηR^-1B^TPx(t) (28)

其中γ、η为可调实参数，它们的调节范围分别为γ∈(0,+∞)、η∈[2,+∞)，P为Riccati方程(3)的解。

进一步的，所述步骤2)中的具体步骤如下：

步骤2.1)，考虑Lyapunov函数

V＝x^TPx (29)

将Lyapunov函数对时间t进行求导可得

定义

结合式(4)-式(5)，定义

可以得到对任意

均有

步骤2.2)，根据Rayleigh准则，有

λ_m(P)||x||²≤x^TPx≤λ_M(P)||x||² (32)

结合式(9)对系统性能进行分析，可以得到微分不等式

其中，

针对任意t_s以及τ≥t_s，求解式(11)可以得到相应微分不等式的解为

其中，

t_s是控制器开始控制时系统时间。

步骤2.3)，针对任意τ>t_s，根据式(12)构造系统

进一步的，所述步骤3)中的具体步骤如下：

步骤3.1)，根据式(13)-式(14)构造包含系统控制量和系统性能的优化成本函数：

其中，a、b为选取的任意正实数；H₁(γ,η)包含aγ²和

两部分，aγ²表示控制输入量，

与时间τ相关，表示系统的整体瞬态性能；H₂(γ,η)中bη²表示控制输入量，

与时间τ无关，表示系统的稳态性能；

步骤3.2)，构造

采用模糊集理论中的D-operation方法对式(15)-式(16)解模糊从而获得成本函数，即

其中，κ₁＝D[V_s]，

进一步的，所述步骤4)中的具体步骤如下：

步骤4.1)，基于式(17)、(18)，结合式(1)与式(6)，确定基于合作博弈的控制器参数γ和η优化问题，即合作博弈中两个玩家分别为控制器中γ、η这两个可调实参数；根据两个参数的调节范围确定其决策集分别为D₁＝(0,+∞)、D₂＝[2,+∞)，γ和η两个玩家的成本函数分别取为式(17)、(18)；

步骤4.2)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题。首先令优化代价函数

J(γ,η)＝α₁J₁(γ,η)+α₂J₂(γ,η) (41)

其中α₁+α₂＝1，γ∈(0,+∞)，η∈[2,+∞)。其次，计算使得式(19)满足

J(γ^*,η^*)≤J(γ,η) (42)

的Pareto最优解(γ^*,η^*)，即为控制器(6)的最优参数。

进一步的，所述步骤5)中的具体步骤如下：

步骤5.1)，通过数值法求解使得不等式(20)满足的Pareto最优解。首先，选取一组α₁和α₂，对式(20)求偏微分，并令偏微分为0，即

找到可能存在极值点的各个解；

步骤5.2)，求解不等式

找出满足式(21)和不等式(22)极小值点，即为Pareto最优解。

步骤5.3)，重新选取一组α₁和α₂，重复步骤5.1)-步骤5.1)。根据发动机实际性能需求比选出最佳的γ^*、η^*。

本发明的有益效果为：

(1)针对航空发动机建模误差、外界干扰等不确定性，充分利用模糊集理论在不确定性领域的应用，提出了一类新的鲁棒控制方法，在不确定性有界的情况下，保证系统的确定性性能，即一致有界和一直最终有界，弥补了技术短板，可以保证系统良好的工作性能；

(2)针对具有双目标和双控制设计参数的鲁棒控制的最优设计，制定了由合作博弈为导向的优化框架，给多目标多参数优化问题的处理提供了新的思路；

(3)证明了所制定的博弈中Pareto最优解的存在性，并提出其Pareto最优解的标量化求解方法，为未来可能存在的类似问题提供了优化求解思路。

附图说明

图1本发明方法流程示意图。

图2为本发明中航空发动机结构与截面标识示意图，①进气道，②风扇，③压气机，④燃烧室，⑤低压涡轮，⑥高压涡轮，⑦外涵道，⑧混合室，⑨加力燃烧室，⑩尾喷管。

图3为发动机飞行包线。

图4为α₁＝α₂＝0.5时Pareto最优解与成本函数之间的关系。

图5为本发明博弈论优化后的控制方法与滑模控制方法下n_L响应结果比较示意图。

图6为本发明博弈论优化后的控制方法与滑模控制方法下n_H响应结果比较示意图。

图7为本发明控制方法与博弈论优化后的控制方法下||x||响应结果比较示意图。

具体实施方式

本发明公开了一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，包括以下步骤：步骤1)，建立航空发动机状态空间模型并设计多变量鲁棒控制器；步骤2)，构造系统稳态和瞬态性能函数；步骤3)，基于稳态和瞬态性能函数，构造面向合作博弈的控制器参数优化成本函数；步骤4)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；步骤5)，利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数。

一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1)，建立航空发动机状态空间模型并设计多变量鲁棒控制器；

步骤1.1)，考虑建模误差、参数摄动、外界扰动等不确定因素，航空发动机不确定非线性系统为

其中，

表示时间，

表示状态，x₀为初始状态，

表示控制，

表示包含系统不确定性和输入干扰的未知时变参数。

为已知常数矩阵，ΔA(x,σ,t)、ΔB(x,σ,t)分别为取决于x、t以及未知时变参数σ的矩阵和向量。ΔA(·,t)、ΔB(·,t)是连续的并且ΔA(x,σ,·)、ΔB(x,σ,·)是Lebesgue可测的。

步骤1.2)，采用模糊集描述时变不确定参数σ，即不确定参数都是有界的且在模糊集

S_i＝{(σ_i,μ_i(σ_i))|σ_i∈∑_i},i＝1,2,…,p (46)

范围内，其中∑_i为已知闭紧集，μ_i为隶属度函数，且有μ_i:Σ_i→[0,1]；

步骤1.3)，基于航空发动机的部件级模型，采用小扰动法建立发动机模糊动态系统模型，获取系统(1)的系数矩阵A、B，且(A,B)可稳定。考虑Riccati方程

A^TP+PA-2PBR^-1B^TP+Q＝0 (47)

其中Q、R为大于0的适维矩阵，由于(A,B)可稳，存在矩阵P使得式(3)成立。

构造矩阵D(x,σ,t)、E(x,σ,t)使得

构造模糊数ρ_D、

满足

其中，λ_m(λ_M)为相应矩阵的最小(最大)特征值。

步骤1.4)，针对建立的航空发动机模糊动态系统(1)，设计鲁棒控制器：

u(t)＝-R^-1B^TPx(t)-γ||x(t)||^ηR^-1B^TPx(t) (50)

其中γ、η为可调实参数，它们的调节范围分别为γ∈(0,+∞)、η∈[2,+∞)，P为Riccati方程(3)的解；

步骤2)，构造系统稳态和瞬态性能函数；

步骤2.1)，考虑Lyapunov函数

V＝x^TPx (51)

将Lyapunov函数对时间t进行求导可得

定义

结合式(4)-式(5)，定义

可以得到对任意

均有

步骤2.2)，根据Rayleigh准则，有

λ_m(P)||x||²≤x^TPx≤λ_M(P)||x||² (54)

结合式(9)对系统性能进行分析，可以得到微分不等式

其中，

针对任意t_s以及τ≥t_s，求解式(11)可以得到相应微分不等式的解为

其中，

t_s是控制器开始控制时系统时间。

步骤2.3)，针对任意τ>t_s，根据式(12)构造系统

步骤3)，基于瞬态和稳态性能函数，构造面向合作博弈的控制器参数优化成本函数；

步骤3.1)，根据式(13)-式(14)构造包含系统控制量和系统性能的优化成本函数：

其中，a、b为选取的任意正实数；H₁(γ,η)包含aγ²和

两部分，aγ²表示控制输入量，

与时间τ相关，表示系统的整体瞬态性能；H₂(γ,η)中bη²表示控制输入量，

与时间τ无关，表示系统的稳态性能；

步骤3.2)，构造

采用模糊集理论中的D-operation方法对式(15)-式(16)解模糊从而获得成本函数，即

其中，κ₁＝D[V_s]，

步骤4)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；

步骤4.1)，基于式(17)、(18)，结合式(1)与式(6)，确定基于合作博弈的控制器参数γ和η优化问题，即合作博弈中两个玩家分别为控制器中γ、η这两个可调实参数；根据两个参数的调节范围确定其决策集分别为D₁＝(0,+∞)、D₂＝[2,+∞)，γ和η两个玩家的成本函数分别取为式(17)、(18)；

步骤4.2)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题。首先令优化代价函数

J(γ,η)＝α₁J₁(γ,η)+α₂J₂(γ,η) (63)

其中α₁+α₂＝1，γ∈(0,+∞)，η∈[2,+∞)。其次，计算使得式(19)满足

J(γ^*,η^*)≤J(γ,η) (64)

的Pareto最优解(γ^*,η^*)，即为控制器(6)的最优参数。

步骤5)，利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数；

步骤5.1)，通过数值法求解使得不等式(20)满足的Pareto最优解。首先，选取一组α₁和α₂，对式(20)求偏微分，并令偏微分为0，即

找到可能存在极值点的各个解；

步骤5.2)，求解不等式

找出满足式(21)和不等式(22)极小值点，即为Pareto最优解。

步骤5.3)，重新选取一组α₁和α₂，重复步骤5.1)-步骤5.1)。根据发动机实际性能需求比选出最佳的γ^*、η^*。

实施例

下面结合附图和实施例对本发明作更进一步的说明。

根据下述实施例，可以更好的理解本发明。然而，本领域的技术人员容易理解，实施例所描述的具体的物料配比、工艺条件及其结果仅用于说明本发明，而不应当也不会限制权利要求书中所详细描述的本发明。

以图2中某型涡扇发动机为例，基于涡扇发动机气动热力学的部件级模型，选择状态变量为低压转子转速n_L和高压转子转速n_H，控制变量为主燃烧室燃油流量W_f和尾喷管喉道面积A₈。如图3所示，选择发动机工作包线中的18个工作点，每一个点可以被写为

根据图3中18个工作点的平均值确定标称点的系数矩阵A、B，即

计算结果为

采用模糊集w₁、w₂表征包线范围内各个点偏离标称点的程度，即系统不确定性的大小，有

ΔA＝w₁A,ΔB＝w₁B (4)

采用三角隶属度函数描述模糊集w₁、w₂，即

其中σ₁、σ₂由各个工作点的系数矩阵的元素决定，即

计算得出

h ₁＝-1,h ₂＝-0.8。

选取

计算得κ₁＝0.1387，κ₂＝0.0215，κ₃＝0.1190。根据上述参数，分别选取α₁＝0.1,0.2,...,0.9计算Pareto最优解，图4展示了α₁＝0.5的情况下Pareto最优解与成本函数之间的关系。

图4-图7展示了在对系统施加初始扰动后，状态变量和控制变量的响应曲线，并选择滑模控制器与本发明所设计控制器进行比较。仿真结果表明，当系统受到干扰时，滑模控制器下系统状态有超调并且响应时间更慢，而在经过博弈优化后的控制器下，系统无超调并响应时间更快，大约在0.2秒进入一直最终有界的范围。由图X可知，在经过博弈优化后的控制器下，其累计误差小于随机给定参数的控制器。因此，可得出结论：对于不确定模糊航空发动机非线性系统，本发明设计基于合作博弈优化方法下的控制器性能优于滑模控制器的性能。

Claims (6)

1.一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1)，建立航空发动机状态空间模型并设计多变量鲁棒控制器；

步骤2)，构造系统稳态和瞬态性能函数；

步骤3)，基于稳态和瞬态性能函数，构造面向合作博弈的控制器参数优化成本函数；

步骤4)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；

步骤5)，利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数。

2.根据权利要求1所述的一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，其特征在于：所述步骤1)中建立航空发动机状态空间模型并设计控制器的具体步骤如下：

步骤1.1)，考虑建模误差、参数摄动、外界扰动这些不确定因素，航空发动机不确定非线性系统为

其中，

表示时间，

表示状态，x₀为初始状态，

表示控制，

表示包含系统不确定性和输入干扰的未知时变参数；

为已知常数矩阵，△A(x,σ,t)、△B(x,σ,t)分别为取决于x、t以及未知时变参数σ的矩阵和向量；△A(·,t)、△B(·,t)是连续的并且△A(x,σ,·)、△B(x,σ,·)是Lebesgue可测的；

步骤1.2)，采用模糊集描述时变不确定参数σ，即不确定参数都是有界的且在模糊集

S_i＝{(σ_i,μ_i(σ_i))|σ_i∈∑_i},i＝1,2,…,p (2)

范围内，其中∑_i为已知闭紧集，μ_i为隶属度函数，且有μ_i:Σ_i→[0,1]；

步骤1.3)，基于航空发动机的部件级模型，采用小扰动法建立发动机模糊动态系统模型，获取系统(1)的系数矩阵A、B，且(A,B)可稳定，考虑Riccati方程

A^TP+PA-2PBR^-1B^TP+Q＝0 (3)

其中Q、R为大于0的适维矩阵，由于(A,B)可稳，存在矩阵P使得式(3)成立；构造矩阵D(x,σ,t)、E(x,σ,t)使得

构造模糊数ρ_D、

满足

其中，λ_m(λ_M)为相应矩阵的最小或最大特征值；

步骤1.4)，针对建立的航空发动机模糊动态系统(1)，设计鲁棒控制器：

u(t)＝-R^-1B^TPx(t)-γ||x(t)||^ηR^-1B^TPx(t) (6)

其中γ、η为可调实参数，它们的调节范围分别为γ∈(0,+∞)、η∈[2,+∞)，P为Riccati方程(3)的解。

3.根据权利要求2所述的一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，其特征在于：所述步骤2)中构造系统稳态和动态性能函数的具体步骤如下：

步骤2.1)，考虑Lyapunov函数

V＝x^TPx (7)

将Lyapunov函数对时间t进行求导可得

定义

结合式(4)-式(5)，定义

得到对任意

均有

步骤2.2)，根据Rayleigh准则，有

λ_m(P)||x||²≤x^TPx≤λ_M(P)||x||² (10)

结合式(9)对系统性能进行分析，得到微分不等式

其中，

针对任意t_s以及τ≥t_s，求解式(11)得到相应微分不等式的解为

其中，

t_s是控制器开始控制时系统时间；

步骤2.3)，针对任意τ>t_s，根据式(12)构造系统

4.根据权利要求3所述的一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，其特征在于：所述步骤3)中基于瞬态和稳态性能函数，构造面向合作博弈的控制器参数优化函数具体步骤如下：

步骤3.1)，根据式(13)-式(14)构造包含系统控制量和系统性能的优化成本函数：

其中，a、b为选取的任意正实数；H₁(γ,η)包含aγ²和

两部分，aγ²表示控制输入量，

与时间τ相关，表示系统的整体瞬态性能；H₂(γ,η)中bη²表示控制输入量，

与时间τ无关，表示系统的稳态性能；

步骤3.2)，构造

采用模糊集理论中的D-operation方法对式(15)-式(16)解模糊从而获得成本函数，即

其中，κ₁＝D[V_s]，

5.根据权利要求4所述的一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，其特征在于：所述步骤4)中建立基于合作博弈的控制器参数优化问题的具体步骤如下：

步骤4.1)，基于式(17)、(18)，结合式(1)与式(6)，确定基于合作博弈的控制器参数γ和η优化问题，即合作博弈中两个玩家分别为控制器中γ、η这两个可调实参数；根据两个参数的调节范围确定其决策集分别为D₁＝(0,+∞)、D₂＝[2,+∞)，γ和η两个玩家的成本函数分别取为式(17)、(18)；

步骤4.2)，建立基于合作博弈的控制器参数优化问题；首先令优化代价函数

J(γ,η)＝α₁J₁(γ,η)+α₂J₂(γ,η) (19)

其中α₁+α₂＝1，γ∈(0,+∞)，η∈[2,+∞)；其次，计算使得式(19)满足

J(γ^*,η^*)≤J(γ,η) (20)

的Pareto最优解(γ^*,η^*)，即为控制器(6)的最优参数。

6.根据权利要求5所述的一种基于合作博弈的航空发动机多变量鲁棒控制器优化方法，其特征在于：所述步骤5)中利用数值法求解Pareto最优问题获得最优控制器参数的具体步骤如下：

步骤5.1)，通过数值法求解使得不等式(20)满足的Pareto最优解；首先，选取一组α₁和α₂，对式(20)求偏微分，并令偏微分为0，即

找到可能存在极值点的各个解；

步骤5.2)，求解不等式

找出满足式(21)和不等式(22)极小值点，即为Pareto最优解；

步骤5.3)，重新选取一组α₁和α₂，重复步骤5.1)-步骤5.1)；根据发动机实际性能需求比选出最佳的γ^*、η^*。

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