CN115640652B - 一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，包括以下步骤：(1)采集同类型轴向柱塞泵的历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据，构造内/外协变量‑威布尔比例风险模型；(2)实时协变量监测数据的更新；(3)实时性能监测数据作为贝叶斯参数更新预测模型的输入，实现内部协变量参数分布更新。(4)利用历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据。辨识威布尔比例风险模型参数。(5)将动态更新的协变量时间序列预测集合作为威布尔比例风险模型内部协变量，预测长时间跨度的失效率，预测轴向柱塞泵剩余寿命。本发明方法新颖，构思巧妙，采用贝叶斯参数更新预测模型与威布尔比例风险模型对轴向柱塞泵进行寿命预测，准确度高。

Description

一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法

技术领域

本发明涉及液压设备预测领域，具体为一种基于协变量分布参数不确定性的轴向柱塞泵剩余寿命预测方法。

背景技术

近些年来我国科技水平迅速发展，伴随着“工业4.0和中国制造2025”的提出，液压系统在机械制造业、起重运输业及航空航天业中整体呈现智能化、数字化以及复杂程度增加等特点。据统计，现在采用液压系统用来辅助作业的工程机械占95％以上，且液压系统在设备中经济占比较重，液压设备在实际生产中的工作环境通常比较恶劣，从而导致各种零部件会经常失效，可靠性大幅度地降低，影响生产工作的进度，这些也使得现有的液压系统在工作中必须有更高的可靠性以及安全性，因此对液压系统和系统中核心部件剩余寿命进行预测研究显得尤为重要。

柱塞泵作为液压系统的动力元件之一，其种类也是比较多，常见的柱塞泵有单柱塞泵、卧式柱塞泵、轴向柱塞泵、径向柱塞泵。虽然轴向柱塞泵由于其经济性、容积效率高和输出功率高等特点导致其广泛的应用场景，但其自身也存在一定的问题不可避免，如柱塞泵在工作过程中液压油的内泄漏、油液在工作中易污染、工作中温度不适等都会对柱塞泵的运行有一定影响。因此迫切需要对轴向柱塞泵的性能退化进行研究并分析其剩余使用寿命，避免停机维修影响生产效率，从而提高使用可靠性。

经过对现有技术的文献检索和专利的检索发现常见的柱塞泵的寿命预测方法主要有以下几种：

方法1：王岩等人在《航空柱塞泵缸体疲劳分析及寿命预测方法》中针对目前缸体寿命研究的实验周期长、缺乏理论分析方法的不足，提出了基于有限元分析和线性累积损伤理论的缸体疲劳分析和寿命预测方法。基于理论力学和材料力学建立缸体的力学模型，通过进行仿真分析计算缸体的应力和应变，最后经试验验证了所提的缸体疲劳分析和寿命预测方法的正确性。方法1主要侧重于对有限元模型的分析以及累积损伤理论的应用。

方法2：Wang等人在《Remaining useful life Prediction Based on the WienerProcess for an Aviation Axial Piston Pump》从柱塞泵的主要摩擦副分析其退化机理，研究柱塞泵的性能退化过程，利用带有漂移的一元线性Wiener过程进行建模，利用期望最大化(EM)算法估计维纳过程的初始参数，并进行最大似然估计(MLE)，同时利用卡尔曼滤波方法进行递归估计，获得维纳过程的漂移系数，然后根据基于维纳过程的性能退化模型来计算柱塞泵的剩余使用寿命，最后实验结果验证了基于wiener过程的航空液压轴向柱塞泵剩余使用寿命预测方法的有效性。方法2主要侧重于基于摩擦退化机理的寿命预测。

方法3：Li等人在《A Numerical Approach for Predicting the RemainingUseful Life of an Aviation Hydraulic Pump Based on Monitoring Abrasive DebrisGeneration》中在考虑了不确定性的同时采用了一种数值方法，即使用了蒙特卡罗方法模拟了柱塞泵在磨粒产生过程中的特征，在微观尺度上描述了粗糙表面与磨屑之间的关系，提出了一种分区积分的剩余使用寿命预测框架，将模型应用于泵的宏观退化过程，并用实验数据验证了该方法的有效性。方法3主要侧重于解决不确定性的问题以及一种分区集成的预测框架的应用。

方法4：南西康等人在《基于非线性Wiener过程的柱塞泵剩余使用寿命分析》以轴向柱塞泵的泄漏回油流量作为其性能退化指标，应用非线性wiener过程构建其剩余使用寿命预测模型。通过与柱塞泵实例寿命比较表明，具有随机效应幂函数结构的非线性wiener过程模型预测结果更接近轴向柱塞泵退化过程中的实际寿命。方法4主要侧重于突出使用泄漏回油量作为退化指标。

方法5：中国专利公开号：CN109086804，专利名称：一种基于多源状态监测信息和可靠性特征融合的液压设备早期故障预测方法，该专利自述为：能够提供一种识别早期故障信号，降低预警的误报和漏报，提高故障预测的准确率。主要通过挖掘液压设备的监测信息和状态评价之间的关联规则，构建基于多源传感器监测数据融合方法，实现监测数据降维；同时融合监测信息和可靠性寿命数据来构建参数化的失效率函数，达到预测设备早期故障演变过程的目的，提供预警信息。

方法5主要侧重于通过融合数据来实现构建参数化的失效率函数。

方法6：Guo等人在《Reliability Evaluation of Axial Piston Pump Based onDegradation Failure》中以轴向柱塞泵的容积效率作为性能退化标准，对容积效率进行实时监测，建立了轴向柱塞泵随试验时间变化的退化模型，采用最优线性无偏估计方法对轴向柱塞泵试件的可靠性进行了评估，试验结果表明，从时变流量信号中提取的劣化特征能够反映液压泵的劣化特征。方法法6主要侧重于采用轴向柱塞泵的容积效率作为性能退化指标。

发明内容

本发明的目的在于提供一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，克服了以前方法预测时间尺度小、预测准确度不稳定的问题，利用贝叶斯原理实现协变量分布参数的不断更新，辨识出工况对设备可靠性的影响，采用蒙特卡罗方法仿真模拟其劣化过程，获得预测协变量序列，并取其期望值作为结果，能够有效的提高预测准确度。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于协变量分布参数不确定性的轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，包括以下步骤：

(1)采用同类型轴向柱塞泵的历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据，所述性能监测数据作为威布尔比例风险模型的内部协变量，所述工况监测数据作为威布尔比例风险模型的外部协变量，构造内部协变量/外部协变量-威布尔比例风险模型；

(2)实时内部协变量及外部协变量监测数据的更新；

(3)实时性能监测数据作为贝叶斯参数更新预测模型的输入，实现内部协变量参数分布更新，然后根据分布参数的采样随机组合，利用蒙特卡罗方法仿真模拟其性能监测参数演变过程，获得内部协变量的预测集合，并取其期望值作为预测结果；

(4)利用历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据，辨识威布尔比例风险模型参数。

(5)将动态更新的协变量时间序列预测集合作为威布尔比例风险模型内部协变量，预测长时间跨度的失效率，预测轴向柱塞泵剩余寿命。

(6)根据应用需求确定是否停止寿命预测的更新计算，若继续更新则重复上述步骤(2)-步骤(5)的寿命预测过程，若停止更新计算，则中止更新计算程序。

进一步，步骤(1)中所述的外部协变量为工况参数的累计函数、工况参数的变化率或者工况参数的累计值。

所述贝叶斯参数更新预测模型根据轴向柱塞泵的监测劣化状态数据采用协变量模型进行数学表达，建立误差项服从维纳过程的协变量模型模型如下所示：

其中，U(t)在理论上为关于时间t的连续函数，但在实际上由于传感器采样间隔及精度等问题，该处U(t)为轴向柱塞泵协变量时间序列离散值。本发明假设协变量模型中的β、δ、L(t)三个随机变量相互独立。其中，假设α＝0，β服从对数正态分布，δ服从正态分布，L(t)服从维纳过程；

将上述的协变量模型对数化得到：

Y(t)＝ln(U(t)-α)＝β′+δ′+L(t)  (2)

其中，β′＝ln(β)是正态随机变量，δ′＝δ-(σ^2/2)是正态随机变量。

若己知(2)式中协变量模型中β、δ和L(t)参数，就能唯一确定Y(t)的分布模型。但在实际应用中，由于无法事先知道轴向柱塞泵协变量模型参数，因此无法通过协变量模型软故障阈值来计算其剩余寿命。而本发明通过轴向柱塞泵的历史劣化状态数据，可以得到该类型轴向柱塞泵协变量模型参数的历史统计学规律，即式(2)中协变量模型参数β′和δ′均服从一维正态分布以及L(t)服从维纳过程，该公式表明轴向柱塞泵历史劣化过程规律。因此，利用协变量模型参数的历史统计学规律并结合实时更新劣化状态数据的时间序列，对协变量模型参数统计规律进行实时更新以达到修正目的。

协变量模型参数更新原理是采用贝叶斯参数更新方法，利用贝叶斯定理对后验分布与先验分布的关系进行推导应用，其结果如下所示。

得到如下式所示的关系：

其中，Y_i＝Y(t_i)-Y(t_i-₁)，i＝2，3，4，…，Y(t₁)＝Y₁，μ代表均值，σ代表方差，ρ代表相关系数，Y_i为协变量时间序列t_j时刻与t_i-1时刻的相邻对数差值。t_n是预测时刻，若t_n取值连续，可得到轴向柱塞泵任意时刻更新后的协变量模型参数统计规律，从而实现实时协变量模型参数更新的动态过程。本发明此处t_n取离散值，能够在减少计算量的同时截取更多具有代表性意义的时刻。

贝叶斯参数更新模型实现对协变量模型参数更新的目的。

比例协变量模型最初的广泛应用于生物医学领域，到现在已经被应用到评估机械设备或元件可靠性领域中。PHM模型中的失效率由2部分组成：一个是基准失效率，另一个是含有性能监测的外部协变量信息和表征运行工况的外部协变量函数的指数部分，如式(9)所示。

h(t)＝h₀(t)exp[λ₁X_i+λ₂f(X_e)]  (9)

其中，基准失效率h₀(t)与轴向柱塞泵历史运行寿命数据有关，内部协变量X_i是反映轴向柱塞泵性能状态，即影响失效率的内部因素；协变量X_e是反映轴向柱塞泵运行工况的因素，f(*)表示工况对失效率影响的不同效应，包括当前值效应、变化率效应或者累积效应等，协变量系数是加权系数，表示协变量对失效率函数的影响程度。

本发明中失效率模型采用威布尔比例风险模型，考虑将性能监测量(如内泄漏量)作为表征轴向柱塞泵失效率函数的内部协变量，运行工况函数作为失效率的外部协变量，则失效率函数可表示为式(10)

h(t)＝h₀(t)exp([λ₁X_it+λ₂f(X_et))  (10)

本发明中，在得到t时刻轴向柱塞泵状态监测更新的统计规律后，根据轴向柱塞泵更新的监测状态和工况协变量模型参数分布情况，利用蒙特卡罗仿真方法模拟轴向柱塞泵劣化演变过程，如式(11)，并取其均值作为结果，则PHM模型中的失效率的内部协变量变为式(12)：

Y_i(t)＝β′_i+δ′_i+L(t)，t≥t_n，0＜i＜P  (11)

其中，P为蒙特卡罗模拟预测的内部协变量劣化过程的次数，Y_i(t)表示为第i种预测的协变量演化场景下的内部协变量时间序列。

h(t)＝h₀(t)exp([λ₁mean(X_it)+λ₂f(X_et))  (12)

其中，λ是协变量系数行矢量，X_it是轴向柱塞泵失效时刻的协变量列矢量，mean(X_it)代表内部协变量的预测期望值。

威布尔分布的失效率函数如式(13)

其中m为形状参数，η为尺度参数。

此时失效率函数变为式(14)：

h(t)＝mean[h₀(t)exp([λ₁(X_it)+λ₂f(X_et))]  (14)

根据可靠度函数与失效率函数关系，可靠度函数计算公式如式(15)所示：

根据失效率概率密度函数与可靠度函数关系，概率密度函数计算公式如式(16)所示：

f(t)＝h(t)R(t)  (16)

根据联合概率密度函数构造似然函数如式(17)：

其中，a表示实际失效的轴向柱塞泵数，b表示含有截尾寿命的轴向柱塞泵数。

对上式(18-21)采用极大似然法函数求最优参数解，将求解得到的参数带入PHM模型中可以得到轴向柱塞泵的累积失效率函数，如式(22)

协变量分布参数不确定性下的威布尔分布比例模型可靠度为式(23)：

【】按式(24)求轴向柱塞泵t_i时刻剩余寿命的期望值：

由此便完成了轴向柱塞泵的剩余寿命预测。

本发明针对轴向柱塞泵现有剩余寿命预测技术的不足，采用具有协变量分布参数不确定性的威布尔比例风险模型对轴向柱塞泵进行寿命预测，充分考虑了内部协变量分布参数不确定性、外部协变量与风险关系模型差异性导致的失效率函数的不确定性，在输入监测数据、运行工况数据和历史运行失效寿命数据后，通过贝叶斯参数原理动态更新协变量参数分布，并根据蒙特卡洛方法随机生成的分布参数随机组合集合，获得预测协变量时间序列集合，取其均值作为结果；利用历史寿命数据、运行工况数据和性能监测数据估计威布尔比例风险模型参数；最后利用更新的失效率函数进行可靠性评估并计算其剩余寿命。所提方法通过辨识内/外部协变量与失效率的关系，基于协变量分布参数的动态辨识，提高长时间尺度寿命预测的准确度，对轴向柱塞泵使用过程中维护更换具有重要意义，减少停机维修的次数，从而提高使用可靠性。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

(1)本发明提出的基于协变量分布参数不确定性的轴向柱塞泵剩余寿命预测方法中涉及失效率模型与传统的失效率模型相比较，考虑了针对复杂的液压动力元件，由于内部构造复杂、状态监测量难以直接表征柱塞泵的实际退化状态，较长时间跨度的演变趋势预测准确度低、同时其剩余寿命不仅收到退化状态的影响，还受到了复杂工况的影响，因此本发明同时考虑到外界因素如柱塞泵的内泄漏量、负载、温度、转速等因素对轴向柱塞泵剩余寿命预测的影响，从而克服了当前方法预测时间尺度较小、预测准确度不稳定等难题。

(2)本发明提出的剩余寿命预测方法充分考虑到由轴向柱塞泵运行工况条件和传感器监测精度波动对其寿命预测的影响而导致的状态监测数据时间序列模型参数分布不确定性，同时针对现场的大样本、工况异质性较大的情况，辨识出工况对设备可靠性的影响；并利用贝叶斯原理实现协变量分布参数的不断更新，采用蒙特卡罗方法仿真模拟其劣化过程，获得预测协变量序列，并取其期望值作为结果，能够有效的提高预测准确度。

综上得出，我们可以得到轴向柱塞泵在长时间尺度的劣化演化过程和剩余寿命预测，进一步提高轴向柱塞泵寿命预测的准确度，丰富和发展了液压元件设备的寿命预测方法，提高了液压元件设备的运行可靠性智能运维能力。

附图说明

图1为本发明的预测方法流程示意图。

图2为本发明预测方法涉及的历史寿命、性能监测数据与工况监测数据的原始数据示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

请参阅图1与图2，本发明提供一种技术方案:

一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，包括以下步骤：

(1)输入历史失效寿命、性能监测数据和工况数据，数据获取方法如下：其中针对同类型，类似工况的柱塞泵的历史失效寿命数据和运维数据进行收集，轴向柱塞泵性能监测数据，比如泵内泄漏量由现场采集获得，利用性能监测量作为比例风险模型中的内部协变量构造协变量模型。

(2)实时监测数据的更新，对于采集到的性能监测数据、工况数据实时传输更新，以更新内外部协变量参数分布模型。

(3)实时性能监测数据作为贝叶斯参数更新预测模型的输入，实现内部协变量参数分布更新，然后根据分布参数的采样随机组合，利用蒙特卡罗方法仿真模拟其性能监测参数演变过程，获得内部协变量的预测集合，并取其期望值作为预测结果；

(4)利用历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据，辨识威布尔比例风险模型参数。

(5)将动态更新的协变量时间序列预测集合作为威布尔比例风险模型内部协变量，预测长时间跨度的失效率，预测轴向柱塞泵剩余寿命。

上述步骤(3)中基于贝叶斯参数更新预测模型，方法如下：

本发明中采用建立项服从维纳过程的协变量模型，可以用下式表示：

其中，U(t)为轴向柱塞泵性能监测量时间序列离散值，本发明假设协变量模型中的β、δ、L(t)三个随机变量相互独立，其中，假设α＝0，β服从对数正态分布，δ服从正态分布，L(t)服从维纳过程。

通过对数化协变量模型：

Y(t)＝ln(U(t)-α)＝β′+δ′+L(t)  (2)

其中，β′＝ln(β)是正态随机变量，δ′＝δ-(σ^2/2)是正态随机变量。

若己知(2)式协变量模型中β、δ和L(t)参数，就能确定Y(t)的分布模型。利用协变量模型参数的历史统计学规律并结合实时更新性能监测状态数据的时间序列，对协变量模型参数统计学规律进行实时更新以到达修正目的。

利用贝叶斯定理对后验分布与先验分布的关系进行应用，得到参数更新模型，方法如下：

得到如下式所示的关系：

其中，Y_i＝Y(t_i)-Y(t_i-1)，i＝2，3，4，…，Y(t₁)＝Y₁，μ代表均值，σ代表方差，ρ代表相关系数，Y_i为协变量时间序列t_i时刻与t_i-1时刻的相邻对数差值。t_n是预测时刻，该模型实现了对协变量参数进行更新的目的。

上述步骤(4)及步骤(5)中，基于威布尔分布比例协变量模型失效率计算，方法如下：

PHM模型中的失效率如式(9)所示：

h(t)＝h₀(t)exp[λ₁X_i+λ₂f(X_e)]  (9)

其中，h₀(t)为基准失效率，X_i、X_e是协变量，λ是协变量权重系数。

本发明中失效率模型采用威布尔比例风险模型，其中失效率函数表示为式(10)

h(t)＝h₀(t)exp(λ₁X_i+λ₂f(X_e))  (10)

其中，基准失效率h₀(t)与轴向柱塞泵历史运行寿命数据有关，协变量X_i是反映轴向柱塞泵状态的因素，协变量X_e是反映轴向柱塞泵运行工况的因素，f(*)表示工况对失效率影响的不同效应，包括当前值效应、变化率效应或者累积效应等，协变量系数是加权系数。

在得到t_k时刻轴向柱塞泵更新的统计规律后，根据轴向柱塞泵更新的协变量模型参数分布情况，利用计算机软件生成有限次协变量模型参数随机组合，利用蒙特卡罗仿真方法模拟轴向柱塞泵性能监测过程，如式(11)，并取其均值作为结果，则PHM模型中的失效率变为式(12)：

Y_i(t)＝β′_i+δ′_i+L(t)，t≥t_n，0＜i＜P    (11)

其中，P为蒙特卡罗模拟预测的协变量性能监测量可能场景的个数，Y_i(t)表示为第i_tr种预测的协变量演化场景下的内部协变量时间序列。

h(t)＝h₀(t)exp([λ₁mean(X_it)+λ₂f(X_et))  (12)

其中，λ是协变量系数行矢量，X_it是轴向柱塞泵失效时刻的协变量列矢量，mean(X_it)代表预测内部协变量的期望值。

威布尔分布的失效率函数如式(13)

其中m为形状参数，η为尺度参数。

根据联合概率密度函数构造似然函数如式(14)：

其中，a表示实际失效的轴向柱塞泵数，b表示含有截尾寿命的轴向柱塞泵数。

对上式(18-21)利用极大似然法函数求最优参数解，计算轴向柱塞泵的累积失效率函数，如式(19)

按式(20)求轴向柱塞泵ti时刻剩余寿命的期望值：

以上详细描述了本发明的具体实施案例。

本发明提出的基于协变量分布参数不确定性的轴向柱塞泵剩余寿命预测方法中涉及到失效率模型与传统的失效率模型相比较，考虑了针对复杂的液压动力元件，由于内部构造复杂、状态监测量难以直接表征柱塞泵的实际退化状态，较长时间跨度的演变趋势预测准确度低。同时其剩余寿命不仅受到退化状态的影响，还受到了复杂工况的影响，因此本发明同时考虑到外界因素(此处考虑柱塞泵的内泄漏量)和内在性能(工况：负载、温度、转速)等因素对轴向柱塞泵剩余寿命预测的影响，将失效率模型进行训练和更新，提高较长时间尺度寿命预测准确度，从而克服了当前方法预测时间尺度较小、预测准确度不稳定等难题。

本发明提出的剩余寿命预测方法充分考虑到由轴向柱塞泵运行工况条件和传感器监测精度波动对其寿命预测的影响而导致的状态监测数据时间序列模型参数分布不确定性，同时针对现场的大样本、工况异质性较大的情况，辨识出工况对设备可靠性的影响；并利用贝叶斯原理实现协变量分布参数的不断更新，采用蒙特卡罗方法仿真模拟其劣化过程，获得预测协变量序列，并取其期望值作为结果，能够有效的提高预测准确度。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (4)

1.一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)采用同类型轴向柱塞泵的历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据，所述性能监测数据作为威布尔比例风险模型的内部协变量，所述工况监测数据作为威布尔比例风险模型的外部协变量，构造内部协变量/外部协变量-威布尔比例风险模型；

(2)实时内部协变量及外部协变量监测数据的更新；

(3)实时性能监测数据作为贝叶斯参数更新预测模型的输入，实现内部协变量参数分布更新，然后根据分布参数的采样随机组合，利用蒙特卡罗方法仿真模拟其性能监测参数演变过程，获得内部协变量的预测集合，并取其期望值作为预测结果；

(4)利用历史运行寿命数据、性能监测数据和工况监测数据，辨识威布尔比例风险模型参数；

(5)将动态更新的协变量时间序列预测集合作为威布尔比例风险模型内部协变量，预测长时间跨度的失效率，预测轴向柱塞泵剩余寿命；

(6)根据应用需求确定是否停止寿命预测的更新计算，若继续更新则重复上述步骤(2)-(5)的寿命预测过程，若停止更新计算，则中止更新计算程序。

2.根据权利要求1所述的一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，其特征在于：步骤(1)中所述的外部协变量为工况参数的累计函数、工况参数的变化率或者工况参数的累计值。

3.根据权利要求1所述的一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，其特征在于：所述贝叶斯参数更新预测模型根据轴向柱塞泵的监测劣化状态数据采用协变量模型进行数学表达，建立误差项服从维纳过程的协变量模型模型如下所示：

其中，U(t)在理论上为关于时间t的连续函数，但在实际上由于传感器采样间隔及精度等问题，该处U(t)为轴向柱塞泵协变量时间序列离散值；假设协变量模型中的β、δ、L(t)三个随机变量相互独立；其中，假设α＝0，β服从对数正态分布，δ服从正态分布，L(t)服从维纳过程；

将上述的协变量模型对数化得到：

Y(t)＝ln(U(t)-α)＝β′+δ′+L(t)

其中，β'＝ln(β)是正态随机变量，δ'＝δ-(σ^2/2)是正态随机变量，σ代表方差。

4.根据权利要求1所述的一种轴向柱塞泵剩余寿命预测方法，其特征在于，所述威布尔比例风险模型应用于寿命预测的失效率模型，其将性能监测量作为表征轴向柱塞泵失效率函数的内部协变量，运行工况函数作为失效率函数的外部协变量，则失效率函数可表示为：

h(t)＝h₀(t)exp([λ₁X_it+λ₂f(Xet))

h₀(t)代表基准失效率，λ是协变量系数行矢量，X_it是轴向柱塞泵失效时刻的协变量列矢量；

在得到t时刻轴向柱塞泵状态监测更新的统计规律后，根据轴向柱塞泵更新的监测状态和工况协变量模型参数分布情况，利用蒙特卡罗仿真方法模拟轴向柱塞泵劣化演变过程。

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