CN115062751B - 一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法，具体步骤为：步骤一：选择用于闭环系统辨识的参数；步骤二：基于当前时刻获得的全部输入输出数据{y_k}与{u_k}，构造待求解的目标函数；步骤三：基于步骤二构造的目标函数，求解极小化该目标函数的优化问题；步骤四：基于步骤三中得到的近似解，经硬阈值算子作用，得到稀疏解。本发明在非平稳非独立情形的闭环控制环境下，用一步估计完成了比阶估计更进一步的变量选择和参数估计问题，即将航空发动机燃油数学模型的零参数精确地选择出来，非零参数渐近地辨识出来，该方法可以得到适应性更高的简约模型。

Description

一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法

技术领域

本发明涉及航空发动机燃油系统数学模型的建立，属于闭环控制系统辨识领域。

背景技术

航天发动机是飞机的重要组成部分，建立航天发动机燃油系统数学模型具有重要的意义。近年来，学者提出了多种系统辨识方法用于建立航空发动机燃油系统数学模型，并取得了很多理论和应用研究成果(详见参考文献[1])。开环辨识建模方法是其中一个成熟的方法，但由于实际工程应用的需求，被辨识的模型通常处于闭环控制环境当中，且在辨识过程中不允许断开控制，因此无法满足开环辨识的条件。考虑航空发动机燃油系统的闭环控制系统的辨识是一个重要的问题。

另一方面，关于航天发动机燃油系统的辨识问题，现有的文献通常分为两步：第一步是航空发动机燃油系统模型结构辨识，即在一定的模型结构条件下，寻找模型的阶次，通常采用AIC(Akaike’s Information Criterion)准则等方法。第二步是在确立好阶次的模型基础上进行参数辨识。在过去的十年里，辨识问题中的参数稀疏性问题引起了人们的广泛关注，其目的是寻找表示系统的参数的稀疏解。这类问题相比于模型阶次估计更进一步，其涵盖了模型阶估计的问题，并且可以灵活地筛除无贡献变量，具有更好的近似真实系统的效果。稀疏性的假设源于：在实践中，为尽可能地减少建模偏差，在建模的初始阶段会引入大量可能的预测因子，由此模型中将存在许多冗余不相关的预测因子，即系统参数包含许多零元素。如何识别有贡献的变量并且筛除无贡献的变量是一个重要的问题，这在当代辨识领域是一个日益增长的特征，出现在包括系统控制与闭环辨识在内的许多领域。系统辨识理论在理论研究和实际应用上都取得了很大的成功。但对于稀疏系统，由于其通常会有较高的维数或者有限的样本数，这些经典理论和方法将不适用。这种稀疏系统参数辨识问题，也逐渐引起了学者关注。参考文献[2]考虑由高维信号组成的线性动力系统的辨识，利用L₁正则来辨识系统参数并预测未来的信号值。参考文献[3]考虑了递推形式的稀疏系统辨识算法。但在实际应用中，L₀正则化面临组合优化的问题，通常难以求解；L₁正则化的解不如L₀正则化的解稀疏，并且估计有偏。一个自然的选择是尝试L_γ(0＜γ＜1)正则化。已有方法均建立在平稳独立情形下，但对于航空发动机燃油系统模型建立等相关问题，其一般不满足平稳独立条件，现有技术没有给出在一步估计中同时进行参数辨识和变量选择的方法与性能保证。

参考文献：

1.刘雨兴.航空发动机闭环控制系统辨识方法研究[D].天津:中国民航大学，2020.

2.Jiahe Lin and George Michailidis.System identification of high-dimensional linear dynamical systems with serially correlated output noisecomponents.IEEE Transactions on Signal Processing，68:5573–5587，2020。

3.金坚，谷源涛，梅顺良.用于稀疏系统辨识的零吸引最小均方算法[J].清华大学学报:自然科学版，2010(10):1656-1659。

发明内容

为解决航空发动机燃油系统闭环辨识建模问题，并得到一个简约模型，本发明提出了一种可以应用于非平稳非独立情形的反馈控制系统下稀疏系统辨识方法。本发明针对自校正调节控制器的稀疏闭环系统提出了一种基于L_γ(0＜γ＜1)正则化的辨识方法，并给出了该方法的辨识能力。本发明具有以下优点：在非平稳非独立情形的闭环控制环境下，用一步估计完成了比阶估计更进一步的变量选择和参数估计问题，即将航空发动机燃油数学模型的零参数精确地选择出来，非零参数渐近地辨识出来，该方法可以得到适应性更高的简约模型。

本发明中涉及的相关符号如下：

u_k：k时刻燃油流量；y_k：k时刻高压转子转速、低压转子转速、燃烧室出口压力、涡轮出口温度等的变量；{w_k}：传感器噪声序列；a₁，...，a_p，b₁，...，b_q：发动机燃油系统中待辨识的参数；基本概率空间；ω∈Ω：随机事件；E(·)：期望算子；||·||：向量2-范数。对于两个正序列{a_k}_k≥1和{b_k}_k≥1，a_k＝O(b_k)表示存在c＞0使得a_k≤cb_k；a_k＝o(b_k)表示a_k/b_k→∞。对随机序列{x_k}，{y_k}，x_k＝O_p(y_k)是指存在C＞0使得}(|x_k|≥C|y_k|}→0，k→∞；x_k＝o_p(y_k)是指/>

首先介绍燃油发动机系统模型与控制系统所采用的自校正调节器。航空发动机燃油系统在一定的稳定情形范围内可简化为线性系统，具体地说，对于高压转子转速、低压转子转速、燃烧室出口压力、涡轮出口温度等可测量变量，均可以建立关于燃油流量的模型，其可简化为如下的单输入单输出的ARX(AutoRegressive eXogenous)模型：

y_k+1＝a₁y_k+…+a_py_k+1-p+b₁u_k+…+b_qu_k+1-1+w_k+1， (1)

其中{y_k}与{u_k}表示可以测量的外部输出序列和可以测量的外部输入序列，u_k为k时刻燃油流量；y_k可以为k时刻高压转子转速、低压转子转速、燃烧室出口压力、涡轮出口温度等，即每种变量均可独立建立与燃油变量的模型，在本发明中，考虑辨识高压转子转速与燃油变量的模型；{w_k}是噪声序列，a₁，...，a_p，b₁，...，b_q表示系统待辨识的参数。为了减少建模偏差，在建模的初始阶段通常会选择较高的维数。用(·)^T表示向量或者矩阵的转置，记

θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T，

其中θ是待辨识的参数向量，是回归向量。

航空发动机燃油系统针对高压转子转速的控制问题通常可以简化为其跟踪某一确定的有界参考信号，通过改变燃油流量u_k，使得高压转子转速y_k达到期望的输出。设该系统需要追踪的确定性有界参考信号为对于该系统需要解决两个问题：一是使用自校正调节控制器，通过调整燃油流量u_k使该闭环系统输出，即高压转子转速跟踪到参考信号二是在自校正调节器控制环境下，利用输入输出数据{y_k}与{u_k}，对该闭环系统进行参数辨识，估计出真实参数θ，并且随着时刻的增大，其零参数可以被精确确定，非零参数的估计可以收敛到真实值，由此建立一个简约模型。

对于控制问题，记该系统参数的最小二乘估计值为

计算为

其中表示参数θ的最小二乘估计值，/>为对应参数a₁，...，a_p，b₁，...，b_q的估计值。

得到自适应控制为

其中k代表系统运行的时刻点，是k时刻用于系统中的输入，即燃油流量；/>是参数b_k的最小二乘估计值；/>是被跟踪信号；/>是独立同分布的有界随机序列，可以任意选择，满足

此外，p、q是模型(1)中输入和输出的阶，r_k-1是定义的用于设计控制的值，/>是回归量，/>是待选择的参数，t用于/>的选择。

步骤一：选择用于闭环系统辨识的参数：

任意选择0＜γ＜1，取λ_n＝n^τ，且τ满足

其中γ、τ是待选择的参数，λ_n是用于构造目标函数的自适应惩罚参数。γ的选择越小，λ_n的选择越大，更容易产生简约的模型。该步骤为本发明方法进行了相关超参数的选择。

步骤二：基于当前时刻获得的全部输入输出数据{y_k}与{u_k}，构造待求解的目标函数：

系统运行到n时刻，收集全部时刻的高压转子转速数据{y_k}与燃油流量数据{u_k}，记

计算目标函数

其中J_F，n(β)是构造的目标函数，β是优化变量，为p+q维向量，β(l)表示向量β的第l个分量。该步骤得到的目标函数包含估计误差部分以及参数变量的惩罚部分，将有助于选择出真实参数变量θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T中的零参数。

步骤三：基于步骤二构造的目标函数，求解极小化该目标函数的优化问题：

利用由高压转子转速数据{y_k}与燃油流量数据{u_k}得到的目标函数J_F，n(β)，求解优化问题：

其中min_βJ_F，n(β)表示搜寻β使得目标函数J_F，n(β)最小。求解方法可以为最速下降法、牛顿法、粒子群算法、遗传算法等。记迭代求解得到的真实参数θ的近似解为

其中表示优化问题(2)迭代求解得到的近似解，/>为其分量。该步骤得到了真实参数θ的近似估计/>但该结果不一定是精确稀疏的。

步骤四：基于步骤三中得到的近似解，经硬阈值算子作用，得到稀疏解：

给定足够小的数∈＞0(如∈＝1×10^-7)，定义硬阈值算子

计算估计

其中∈为待选择的参数，其值越大，将产生越稀疏的解；I_∈是定义的硬阈值算子，用于得到稀疏解；为最终得到的参数θ的稀疏估计，/>为得到的稀疏系统(1)中无贡献的变量。用/>替换模型(1)中的参数，由此，高压转子转速数据{y_k}关于燃油流量数据{u_k}的稀疏模型可以被建立如下，

其筛除了大量冗余的无贡献变量，得到了燃油流量为输入数据，对高压转子转速的燃油闭环系统的简约模型。

记

其中β_F，n是优化问题(2)的精确解，β_F，n(1)...β_F，n(p+q)为其分量，表示J_F，n(β)的最小值点，/>是优化问题(2)的精确解中得到的零元素的集合，并且

其中||α_n||≤，为任意给定的向量。为方便描述，设稀疏参数向量θ零参数向量表示全部排列于最后(实际零元素可以出现在任意位置)，即在中/> 分别是参数/>的估计，/>表示预报协方差阵，/>为的方差。

本发明给出的关于模型(1)中参数θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T的估计β_F，n具有以下性质：

1)零参数的变量选择性；

系统在有限步之后，可以以趋近于1的概率将真实为零的参数估计为零，即，

其中，

G^*＝{i＝1，…，p+q|a_i＝0，对1≤i≤p；

b_i-p＝0对p+1≤i≤p+q}.

2)非零参数的渐近收敛性；

本发明得到的参数的估计，可以收敛到真实值，即

β_F，n-θ→0，a.s.

其中a.s表示几乎处处收敛。

3)非零参数估计的渐近正态性；

本发明中非零参数的估计误差的分布是渐近正态的，即

其中，N(0，1)表示均值为0，方差为1的正态分布。

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：

1.本发明针对更一般的非平稳非独立观测数据情形，特别是反馈控制稀疏系统提出了基于L_γ惩罚的参数辨识和变量选择方法。

2.本发明的方法在单一步骤中同时得到了参数辨识和变量选择的结果，只需要求解一个优化问题。

3.本发明的方法可以直接被推广到一类具有有限基函数的NARX(Nonlinear AutoRegressive models with eXogenous variables)模型，特别地，Hammerstein系统。

4.本发明在更一般噪声即鞅差列下具有以下性质：参数估计和变量选择的收敛性，以及非零参数的估计误差的渐近正态性，并且同时完成了系统模型阶估计问题，得到了一个更准确的简约模型。

附图说明

图1是针对航空发动机燃油系统的基于L_γ惩罚的稀疏辨识算法的流程图。

图2是航空发动机燃油系统闭环辨识实例中闭环控制系统的输出结果图。

图3是航空发动机燃油系统闭环辨识实例中本发明方法与最小二乘、LASSO、岭回归、弹性网2000次迭代时参数θ₁估计结果图。

图4是航空发动机燃油系统闭环辨识实例中本发明方法与最小二乘、LASSO、岭回归、弹性网2000次迭代时参数θ₃估计结果图。

图5是航空发动机燃油系统闭环辨识实例中本发明方法与最小二乘、LASSO、岭回归、弹性网2000次迭代时参数θ₇估计结果图。

具体实施方式

为了更进一步说明本发明的特征，请参阅以下有关本发明的详细说明与附图。所附图仅供参考与说明之用，并非用来对本发明的保护范围加以限制。

对于某型涡扇燃油航空发动机，取输入为燃油流量，输出为高压转子转速，其闭环系统的离散形式模型表达为如下形式

y_k+1＝a₁y_k+…+a_py_k+1-p+b₁u_k+…+b_qu_k+1-1+w_k+1， (2)

定义：

θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T，

系统写为：

其中θ∈R^p+q为p+q维参数，φ_k∈R^p+q为p+q维回归量，y_k+1为k时刻输出，w_k+1为k时刻的观测噪声。本发明针对航空发动机燃油系统闭环辨识问题提出了一种基于L_γ惩罚的随机稀疏系统辨识方法，其关键步骤总结为：(i)根据自校正调节器的设置确定参数λ_n，使其满足某些条件；(ii)利用当前时刻获取的全部数据，确定目标函数J_F，n(β)，并求解最小化该目标函数的优化问题；(iii)定义实用的硬阈值算子，利用该硬阈值算子与(ii)中的近似解得到包含若干零估计值的参数估计结果。其结果包含非零参数的一个渐近估计，并且得到了变量选择的结果，即估计结果为零的参数可被视为无贡献变量，得到了一个更准确的简约模型。

设系统需要追踪的确定性有界参考信号为对于该系统需要解决两个问题：一是使用自校正调节控制器使该闭环系统跟踪到参考信号，二是在自校正调节器控制下，对该稀疏闭环系统进行参数辨识，更快地辨识到零参数并准确估计出非零参数。

对于控制问题，记该系统的最小二乘参数估计量为

采用必然等价原则，将该参数的估计值视为真实参数，并采用衰减激励形式的控制，带入模型得到自适应控制：

其中是独立同分布的有界随机序列，满足

考虑如下的仿真，高压转子转速y_k关于燃油流量u_k的闭环系统的离散形式模型初步建立为

其中y_k，k≥1为k时刻高压转子转速，u_k，k≥1为k时刻燃油流量；真实稀疏参数为θ₁＝0.5，θ₃＝0.5，θ₆＝3，θ₇＝-1；其余参数为0。噪声{w_k}独立同分布，服从正态分布N(0，0.025)。设需要追踪离散信号为

设最小二乘估计量为

带衰减激励的自校正调节控制为

其中独立同分布且服从均匀分布U(-0.1，0.1).当系统运行到n时刻，收集n时刻之前的全部高压转子转速y_k和燃油流量u_k的数据，分别利用最小二乘方法、Lasso、岭回归、弹性网及本方法进行系统辨识。这些方法统一的目标函数可以写为：

表1是不同方法对应于目标函数(3)的不同参数设置对应关系；

表1

表1

对于Lasso、岭回归、弹性网方法，使用matlab中的函数，对于本发明方法，使用粒子群方法。图2是采用自校正调节控制器下反馈控制系统输出与被追踪信号示意图。图3-5是系统运行到2000步前非零参数估计结果图，分别显示了本发明方法、最小二乘、Lasso、岭回归以及弹性网方法的估计结果，可以看到本发明方法非零参数估计结果接近真值，并在迭代次数逐渐增大时，非零参数估计能逼近真实值，且与其他方法收敛性没有差异。

表2

表2是线性反馈控制系统实例中本发明方法与最小二乘、LASSO、岭回归、弹性网迭代2000次时部分零参数估计结果比较。可以看到本文方法对零参数具有更好的选择效果，可以更快更精确的选择出无贡献的变量，在实际应用中将提供一个更准确的简约模型。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法，其特征在于：发动机燃油系统模型与控制系统采用自校正调节器；航空发动机燃油系统在稳定情形范围内能简化为线性系统；对于高压转子转速、低压转子转速、燃烧室出口压力、涡轮出口温度的可测量变量，建立关于燃油流量的模型，简化为如下的单输入单输出的外因输入自回归ARX模型：

y_k+1＝a₁y_k+…+a_py_k+1-p+b₁u_k+…+b_qu_k+1-1+w_k+1， (1)

其中{y_k}与{u_k}表示可以测量的外部输出序列和可以测量的外部输入序列，u_k为k时刻燃油流量；y_k为k时刻高压转子转速、低压转子转速、燃烧室出口压力及涡轮出口温度，即每种变量均独立建立与燃油变量的模型，考虑辨识高压转子转速与燃油变量的模型；a₁，...，a_p，b₁，...，b_q发动机燃油系统中待辨识的参数；[·]^T表示向量或者矩阵的转置，记

θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T，

其中，θ是待辨识的参数向量，是回归向量；

航空发动机燃油系统针对高压转子转速的控制问题简化为跟踪某一确定的有界参考信号，通过改变燃油流量u_k，使得高压转子转速y_k达到期望的输出；设系统需要追踪的确定性有界参考信号为使用自校正调节控制器，通过调整燃油流量uk使该系统输出，即高压转子转速跟踪到参考信号/>在自校正调节器控制环境下，利用输入输出数据{y_k}与{u_k}，对该系统进行参数辨识，估计出真实参数θ，并且随着时刻的增大，其零参数被精确确定，非零参数的估计能收敛到真实值，由此建立一个简约模型；

对于控制问题,记系统参数的最小二乘估计值为

计算为

其中，表示参数θ的最小二乘估计值，/>为对应参数a₁，...，a_p，b₁，...，b_q的估计值；

得到自适应控制为

其中，k代表系统运行的时刻点，是k时刻用于系统中的输入，即燃油流量；/>是参数b_k的最小二乘估计值；/>是被跟踪信号；/>是独立同分布的有界随机序列，满足

t＝max{p，q}+p-1；

此外，p、q是模型(1)中输入和输出的阶，r_k-1是定义的用于设计控制的值，/>是回归量，/>是待选择的参数，t用于/>的选择；E(·)为期望算子；||·||为向量2-范数；具体步骤包括如下：

步骤一：选择用于闭环系统辨识的参数：

步骤二：基于当前时刻获得的全部输入输出数据{y_k}与{u_k}，构造待求解的目标函数：

步骤三：基于步骤二构造的目标函数，求解极小化该目标函数的优化问题：

利用由高压转子转速数据{y_k}与燃油流量数据{u_k}得到的目标函数J_F，n(β)，求解优化问题：

其中，min_βJ_F，n(β)表示搜寻β使得目标函数J_F，n(β)最小；求解方法为最速下降法、牛顿法、粒子群算法或遗传算法；记迭代求解得到的真实参数θ的近似解为

其中，表示优化问题(2)迭代求解得到的近似解，/>为其分量；

步骤四：基于步骤三中得到的近似解，经硬阈值算子作用，得到稀疏解；

在步骤四中，给定足够小的数∈＞0,定义硬阈值算子

计算估计

其中，∈为待选择的参数，其值越大，将产生越稀疏的解；I_∈是定义的硬阈值算子，用于得到稀疏解；为最终得到的参数θ的稀疏估计，/>为得到的公式(1)中无贡献的变量；用替换公式(1)中的参数，由此，高压转子转速数据{y_k}关于燃油流量数据{u_k}的稀疏模型被建立如下，

筛除了大量冗余的无贡献变量，得到了燃油流量为输入数据，对高压转子转速的燃油闭环系统的简约模型；

记

其中β_F，n是公式(2)的精确解，β_F，n(1)...β_F，n(p+q)为其分量，表示J_F，n(β)的最小值点，/>是公式(2)的精确解中得到的零元素的集合，并且

其中，||α_n||≤1，为任意给定的向量；为方便描述，设稀疏参数向量θ零参数向量表示全部排列于最后，即在中/> 分别是参数/>的估计，表示预报协方差阵，/>为/>的方差。

2.根据权利要求1所述的一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法，其特征在于：在步骤一中，任意选择0＜γ＜1，取λ_n＝n^τ，且τ满足

其中γ、τ是待选择的参数，λ_n是用于构造目标函数的自适应惩罚参数；γ的选择越小，λ_n的选择越大，更容易产生简约的模型。

3.根据权利要求1所述的一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法，其特征在于：在步骤二中，系统运行到n时刻，收集全部时刻的高压转子转速数据{y_k}与燃油流量数据{u_k}，记

计算目标函数

其中，J_F，n(β)是构造的目标函数，β是优化变量，为p+q维向量，β(l)表示向量β的第l个分量；该步骤得到的目标函数包含估计误差部分以及参数变量的惩罚部分，将有助于选择出真实参数变量θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T中的零参数。

4.根据权利要求1所述的一种基于稀疏闭环辨识的航空发动机燃油系统建模方法，其特征在于：公式(1)中参数θ＝[a₁，...，a_p，b₁，...，b_q]^T的估计β_F，n具有以下性质：

1)零参数的变量选择性；

系统在有限步之后，以趋近于1的概率将真实为零的参数估计为零，即，

其中，

G^*＝{i＝1，…，p+q|a_i＝0，对1≤i≤p；

b_i-p＝0对p+1≤i≤p+q}；

2)非零参数的渐近收敛性；

得到的参数的估计，收敛到真实值，即

β_F，n-θ→0,a.s.

其中，a.s表示几乎处处收敛；

3)非零参数估计的渐近正态性；

非零参数的估计误差的分布是渐近正态的，即

其中，N(0，1)表示均值为0，方差为1的正态分布。