CN114550834B - 一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的模型构建方法 - Google Patents

一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的模型构建方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的模型构建方法，具体步骤如下：S1：根据压缩或拉伸变形过程中高聚物的力学行为，建立应变率相关的离散的分数阶导数本构模型；S2：建立分数阶导数本构模型中松弛时间θ与加载应变率c的反函数关系；S3：建立分数阶导数本构模型的弹性模量E与应变率c的关系；S4：采用幂函数描述分数阶导数本构模型中分数阶导数的阶数变化；S5：建立应变率相关的高聚物连续变分数阶导数本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。本发明针对高聚物的压缩或拉伸变形，提供一个应用方便、物理概念清晰且能满足精度要求的应变率相关的变阶数分数阶导数本构模型，以此解决线性变阶数模型在描述高聚物压缩或拉伸应变强化行为时的不足。

Description

一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的模型构建方法
技术领域
本发明属于高聚物力学行为建模技术领域，具体涉及一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法。
背景技术
由于更精细化和更高层次化的发展，高聚物在工农业生产、尖端技术甚至医疗产品等各个领域已经无处不在。作为对更多潜在应用的探索，高聚物的力学性能对工程应用具有重要影响。近几十年来，科研人员已经广泛开展了实验来研究各类高聚物的力学响应，例如聚脲、聚对苯二甲酸乙二醇酯、聚氨酯、聚丙烯，甚至半结晶聚合物等。实验结果表明，应力应变响应在大应变下呈现复杂的非线性和具有较强的应变率依赖性。在这种情况下，需要建立本构模型来描述应变率敏感的完整变形过程。然而已有的本构模型在描述加载应变率相关的应力应变行为时呈现复杂的数学形式，因此亟需提出一种准确的、参数较少的有效模型来描述聚合物的力学行为。
发明内容
为解决现有的技术问题，本发明提供一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，针对高聚物的压缩或拉伸变形，提供一个应用方便、物理概念清晰且能满足精度要求的应变率相关的变阶数分数阶导数本构模型，以此解决线性变阶数在描述高聚物压缩或拉伸应变强化行为时的不足。
本发明中主要采用的技术方案为：
一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，具体步骤如下：
S1：根据压缩或拉伸变形过程中高聚物的力学行为，建立应变率相关的离散的分数阶导数本构模型；
S2：建立分数阶导数本构模型中松弛时间θ与加载应变率c的反函数关系；
S3：建立分数阶导数本构模型的弹性模量E与应变率c的关系；
S4：采用幂函数描述分数阶导数本构模型中分数阶导数的阶数变化；
S5：建立应变率相关的高聚物连续变分数阶导数本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。
优选地，所述步骤S1中，所述分数阶导数本构模型如式(1)所示：
Figure BDA0003489757530000021
其中，E是弹性模量，θ为松弛时间，σ为拉伸或者压缩应力，t为加载应变时间，ε为加载应变，α为分数阶导数的阶数，dα/dtα为分数阶导数的符号，且定义为：
Figure BDA0003489757530000022
其中，τ为积分变量，Γ(*)为gamma函数，定义如下：
Figure BDA0003489757530000023
其中，z为自变量；
设加载应变ε(t)＝ct，其中，c为加载应变率，那么公式(1)进一步表示为：
Figure BDA0003489757530000031
对公式(4)作对数处理，如公式(5)所示：
Figure BDA0003489757530000032
其中，ε1为临界加载应变，当0＜ε＜ε1时，ln(σ)和ln(ε)呈直线关系；
由于高聚物材料的力学性质随着应变增大而改变，因此分数阶导数的阶数定义为加载应变的函数α(ε)，则公式(4)所述的应力响应可表示为：
Figure BDA0003489757530000033
优选地，所述步骤S2中，松弛时间θ表示为加载应变率c的反函数，如公式(7)所示：
cθ＝m (7)；
其中，m为固定参数，由参考应变率cref和参考松弛时间θref获得，如公式(8)所示：
m＝crefθref (8)。
优选地，所述步骤S3中，设临界加载应变率为c0，当加载应变率c≤c0，则为小应变率加载力学行为，当加载应变率c＞c0，则为大应变率加载力学行为；
针对小应变率加载力学行为，弹性模量E与加载应变率c的关系如式(9)所示：
Figure BDA0003489757530000034
其中，Er和λ是固定常数，cref1为小应变率下的参考应变率；
针对大应变率加载力学行为，弹性模量E与加载应变率c的关系如式(10)所示：
Figure BDA0003489757530000041
其中，v为固定常数，cref2为大应变率下的参考应变率。
优选地，所述步骤S4中，采用幂函数描述分数阶导数的阶数变化：
α(ε)＝kεβ+b (11)；
其中，系数k、指数β和参数b均为常数。
优选地，所述步骤S5中，依据高聚物应变率依赖力学行为，建立应变率相关的连续变分数阶导数本构模型，如公式(12)所示：
Figure BDA0003489757530000042
有益效果：本发明提供一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，具有如下优点：
(1)本发明描述高聚物的压缩或拉伸变形的本构模型，可以描述应变率相关的力学行为，模型形式简单，便于应用；拟合精度高；模型参数物理意义明确，可以反映恒定应变率变形过程中材料性质的变化过程；
(2)本发明可以通过参数α的变化形象地表征力学性质变化的过程。
附图说明
图1是本发明的模型构建方法流程图；
图2是实施例1中初始应力应变示意图
图3是图2所示的初始应力应变的对数示意图；
图4是实施例1中选取参考应变率后的应力-应变示意图；
图5是不同应变率下，描述初始变形的应力应变响应图，
图6是模型参数E和应变率的关系图(ε<ε1)；
图7是压缩变形全过程的变阶数导数演化图(ε>ε1)；
图8是高聚物(聚对苯二甲酸乙二醇酯树脂)材料的小应变率依赖压缩力学行为的拟合结果示意图；
图9是高聚物(聚氨酯)材料的小应变率依赖压缩力学行为的拟合结果示意图；
图10是高聚物(聚脲)材料的大应变率依赖压缩力学行为的拟合结果示意图；
图11是高聚物(聚脲)材料的包含小应变率和大应变率依赖拉伸力学行为的拟合结果示意图。
具体实施方式
为了使本技术领域的人员更好地理解本申请中的技术方案，下面对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。
实施例1
如图1所示的模型构建流程图，实施例1提出了一个可以描述应变率依赖力学行为的本构模型，该本构模型为考虑应变率相关的变阶数分数阶导数本构模型，即用以描述高聚物在不同应变率作用下压缩或拉伸变形行为，具体步骤如下：
S1：根据压缩或拉伸变形过程中高聚物的力学行为，建立应变率相关的离散的分数阶导数本构模型；其中，高聚物压缩或拉伸力学行为采用分数阶导数粘弹性本构模型描述，如式(1)所示：
Figure BDA0003489757530000061
其中，E是弹性模量，θ为松弛时间，σ为拉伸或者压缩应力(即响应应力)，t为加载应变时间，ε为加载应变，α为分数阶导数的阶数，dα/dtα为分数阶导数的符号，且定义为：
Figure BDA0003489757530000062
其中，τ为积分变量，Γ(*)为gamma函数，定义如下：
Figure BDA0003489757530000063
其中，z为自变量；
设加载应变ε(t)＝ct，其中，c为加载应变率，且ε'(t)＝c，那么公式(1)进一步表示为：
Figure BDA0003489757530000064
对公式(4)作对数处理，如公式(5)所示：
Figure BDA0003489757530000071
其中，ε1为临界加载应变，当0＜ε＜ε1时，ln(σ)和ln(ε)呈直线关系；
由于高聚物具有大应变非线性力学响应，若分数阶导数的阶数α为常数，式(5)无法很好地描述整个非线性阶段的变化过程；考虑高聚物材料的力学性质随着应变增大而改变，因此分数阶导数的阶数定义为加载应变的函数α(ε)，则应力响应可表示为：
Figure BDA0003489757530000072
S2：建立分数阶导数本构模型中松弛时间θ与加载应变率c的反函数关系，如公式(7)所示：
cθ＝m (7)；
其中，m为固定参数，由参考应变率cref和参考松弛时间θref获得，如公式(8)所示：
m＝crefθref (8)。
S3：建立分数阶导数本构模型的弹性模量E与应变率c的关系，设临界加载应变率为c0，当加载应变率c≤c0，则为小应变率加载力学行为，当加载应变率c＞c0，则为大应变率加载力学行为。
针对小应变率加载力学行为，弹性模量E与加载应变率c为线性关系，如公式(9)所示：
Figure BDA0003489757530000073
其中，Er和λ是固定常数，cref1为小应变率下的参考应变率；
针对大应变率加载力学行为，弹性模量E与加载应变率c为幂函数关系，如公式(10)所示：
Figure BDA0003489757530000081
其中，v为固定常数，cref2为大应变率下的参考应变率。
S4：采用幂函数描述分数阶导数本构模型中分数阶导数的阶数变化，如公式(11)所示：
α(ε)＝kεβ+b (11)；
其中，系数k、指数β和参数b均为常数。
S5：建立应变率相关的高聚物连续变分数阶导数本构模型，拟合实验数据，确定模型参数，依据高聚物应变率依赖力学行为，建立应变率相关连续变分数阶导数本构模型，如公式(12)所示：
Figure BDA0003489757530000082
如图2所示，每个应变率对应的初始应变(ε<ε1)演化的应力应变关系，对初始应力应变数据取对数后如图3所示，不同应变率对应的ln(σ)—ln(ε)都可以近似为直线，并且这些直线的斜率近似相等，基于此，不同应变率的初始阶数可由式(5)拟合ln(σ)—ln(ε)数据获得，且都等于同一个定值α0＝0.35。
如图4所示，选取参考应变率为cref1＝0.05s-1的应力-应变数据，在小应变即ε<ε1时，采用已确定的α0＝0.35和式(4)拟合实验数据可获得参考应变率cref1对应的材料小应变率参数参考松弛时间θref1＝0.002s，进一步由式(8)获得参数值m＝0.0001，从而可由式(7)获得其它应变率对应的材料参数松弛时间θ。
如图5所示，使用式(4)和代入已确定的固定值θ＝m/c和α0＝0.35，拟合初始实验数据(ε<ε1)，可获得不同应变率对应的弹性模量E如图6所示，使用式(9)拟合弹性模量E和应变率c即可获得参数Er和λ。
如图7所示，对于每个加载应变速率下的大应变变形(ε>ε1)，由上述步骤获得的材料参数E，θ和式(6)可计算出随着应变演化的分数阶导数的变阶数响应。不同应变率对应的阶数响应是接近的，由式(11)进行拟合可确定系数k,指数β和参数b。
将上述获得的参数代入式(12)可获得应变率相关的应力-应变响应，基于此，所要确定的参数包括m，Er，λ，k，β和b。
本发明中，应变率c对应的弹性模量E可通过应力—应变实验数据获得，其中，小应变率对应的弹性模量E通过公式(9)拟合得到应变率c与E的关系；大应变率对应的弹性模量E通过公式(10)拟合得到应变率c与E的关系；同时使用幂函数α(ε)＝kεβ+b拟合分数阶导数的阶数变化。
如图8所示，为高聚物(聚对苯二甲酸乙二醇酯树脂)材料的小应变率依赖压缩力学行为的拟合结果，其中，应变率相关的弹性模量使用式(9)拟合。模型涉及的参数如表1所示。
表1聚对苯二甲酸乙二醇酯树脂压缩变形的物理参数
Figure BDA0003489757530000091
如图9所示，为高聚物(聚氨酯)材料的小应变率依赖压缩力学行为的拟合结果，其中，应变率相关的弹性模量使用式(9)拟合。模型涉及的参数如表2所示。
表2聚氨酯压缩变形的物理参数
Figure BDA0003489757530000092
如图10所示，为高聚物(聚脲)材料的大应变率依赖压缩力学行为的拟合结果，其中，应变率相关的弹性模量使用式(10)拟合。模型涉及的参数如表3所示。
表3聚脲压缩变形的的物理参数
Figure BDA0003489757530000101
如图11所示，为高聚物(聚脲)材料的包含小应变率和大应变率依赖拉伸力学行为的拟合结果，其中，小应变率对应的应变率相关弹性模量使用式(9)拟合，而大应变率对应的应变率相关弹性模量使用式(10)拟合，拟合模型涉及的参数如表4和表5所示。
表4聚脲小应变率拉伸变形的物理参数
Figure BDA0003489757530000102
表5聚脲大应变率拉伸变形的物理参数
Figure BDA0003489757530000103
上述图8-11所示，均为模型在高聚物应变率相关压缩或拉伸行为的可适用性验证，证明本模型适用于描述高聚物应变率相关压缩或拉伸行为。以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，其特征在于，具体步骤如下：
S1：根据压缩或拉伸变形过程中高聚物的力学行为，建立应变率相关的离散的分数阶导数本构模型；
S2：建立分数阶导数本构模型中松弛时间θ与加载应变率c的反函数关系；
S3：建立分数阶导数本构模型的弹性模量E与加载应变率c的关系；
S4：采用幂函数描述分数阶导数本构模型中分数阶导数的阶数变化；
S5：建立应变率相关的高聚物连续变分数阶导数本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。
2.根据权利要求1所述的基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，其特征在于，所述步骤S1中，所述分数阶导数本构模型如式(1)所示：
Figure FDA0003898761150000011
其中，E是弹性模量，θ为松弛时间，σ为拉伸或者压缩应力，t为加载应变时间，ε为加载应变，α为分数阶导数的阶数，dα/dtα为分数阶导数的符号，且定义为：
Figure FDA0003898761150000012
其中，τ为积分变量，Γ(*)为gamma函数，定义如下：
Figure FDA0003898761150000013
其中，z为自变量；
设加载应变ε(t)＝ct，其中，c为加载应变率，那么公式(1)进一步表示为：
Figure FDA0003898761150000021
对公式(4)作对数处理，如公式(5)所示：
Figure FDA0003898761150000022
其中，ε1为临界加载应变，当0＜ε＜ε1时，ln(σ)和ln(ε)呈直线关系；
由于高聚物材料的力学性质随着应变增大而改变，因此分数阶导数的阶数定义为加载应变的函数α(ε)，则公式(4)所述的应力响应可表示为：
Figure FDA0003898761150000023
3.根据权利要求2所述的基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，其特征在于，所述步骤S2中，松弛时间θ表示为加载应变率c的反函数，如公式(7)所示：
cθ＝m (7)；
其中，m为固定参数，由参考应变率cref和参考松弛时间θref获得，如公式(8)所示：
m＝crefθref (8)。
4.根据权利要求3所述的基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，其特征在于，所述步骤S3中，设临界加载应变率为c0，当加载应变率c≤c0，则为小应变率加载力学行为，当加载应变率c＞c0，则为大应变率加载力学行为；
针对小应变率加载力学行为，弹性模量E与加载应变率c的关系如式(9)所示：
Figure FDA0003898761150000031
其中，Er和λ是固定常数，cref1为小应变率下的参考应变率；
针对大应变率加载力学行为，弹性模量E与加载应变率c的关系如式(10)所示：
Figure FDA0003898761150000032
其中，v为固定常数，cref2为大应变率下的参考应变率。
5.根据权利要求4所述的基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，其特征在于，所述步骤S4中，采用幂函数描述分数阶导数的阶数变化：
α(ε)＝kεβ+b (11)；
其中，系数k、指数β和参数b均为常数。
6.根据权利要求5所述的基于变阶数分数阶导数的高聚物变形的本构模型构建方法，其特征在于，所述步骤S5中，依据高聚物应变率依赖力学行为，建立应变率相关的连续变分数阶导数本构模型，如公式(12)所示：
Figure FDA0003898761150000033
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