CN111967120A - 基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，包括如下步骤：步骤SS1：根据剪切变形过程中纳米银烧结体粘弹性性质的变化，建立分段的分数阶导数粘弹性本构模型；步骤SS2：采用线性函数描述分数阶导数的阶数变化；步骤SS3：根据应力应变曲线判断纳米银烧结体是否发生应变软化现象；步骤SS4：建立变分数阶导数粘弹性本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。本发明针对纳米银烧结体的剪切变形，提供一个应用方便、物理概念清晰且能满足精度要求的变阶数分数阶导数本构模型，以此解决纳米银烧结体剪切行为缺乏理论模型的问题。

Description

基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，属于剪切软化建模技术领域。

背景技术

近年来，伴随着日益增长的信息社会对电力电子产品多功能、高可靠、智能化、小型化等方面的要求，对封装材料的耐热性、耐压性要求也越来越高。为了能够满足电子芯片高温的要求，人们着眼于研究能耐高温的封装材料，如锡基焊料、银材料等。由于银具有良好的导电、导热性能，人们开始着眼于研究纳米银。作为具有优良导电性和导热性的有前途的材料，纳米银可以实现低温烧结，因而纳米银已被广泛用作基底和芯片之间的互连材料。因此，研究纳米银烧结体的力学性能在评估微电子封装的寿命中起着至关重要的作用。

纳米烧结体的力学拉伸行为主要通过Anand模型进行建模和预测，但是对纳米银烧结体剪切行为描述的报道较少。尽管已有一些定性的实验研究，但仍缺少相应的建模方法研究。纳米银烧结体作为基体和芯片之间的互连材料，在电子封装领域的使用中必然会受到剪切力的影响，因此，构建一个能够描述不同环境条件下剪切变形行为(尤其是剪切软化过程)的模型是十分必要的。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服现有技术的缺陷，针对纳米银烧结体的剪切变形，提供一个应用方便、物理概念清晰且能满足精度要求的变阶数分数阶导数本构模型，以此解决纳米银烧结体剪切行为缺乏理论模型的问题。

为解决上述技术问题，本发明提供基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤SS1：根据剪切变形过程中纳米银烧结体粘弹性性质的变化，建立分段的分数阶导数粘弹性本构模型；

步骤SS2：采用线性函数描述分数阶导数的阶数变化；

步骤SS3：根据应力应变曲线判断纳米银烧结体是否发生应变软化现象；

步骤SS4：建立变分数阶导数粘弹性本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS1具体包括：

纳米银烧结体的变化过程分为线性阶段和非线性阶段；线性阶段用经典的胡克定律描述：

τ_e(t)＝Gγ_e(t) (1)；

式(1)中G为剪切模量，γ_e和τ_e分别为弹性应变和弹性应力；

非线性阶段采用分数阶导数粘弹性本构方程描述：

式(2)中τ_ve是粘弹性应力，φ为材料参数，α为分数阶导数的阶数，d^α/dt^α为分数阶导数的符号，其定义为：

式(3)中Γ(*)为gamma函数，定义如下：

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS1具体还包括：

在非线性阶段，当分数阶导数的阶数α为常数时，式(2)无法很好地刻画整个非线性阶段的变化过程；考虑在一个很短的时间间隔t_k∈(t_N，t_M)内，材料的力学性质不会发生改变，因此在该阶段设定分数阶导数的阶数为常数α_k，那么在此阶段内，粘弹性剪应力表示为：

τ_ve(t_k)＝f(t_k，α_k)-f(t_k-1，α_k) (5)；

式(5)中，

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS1具体还包括：

当外力作用为控制应变率ε’(t)＝c，即ε(t)＝ct时，式(5)改写为：

或者

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS1具体还包括：

在整个非线性阶段的粘弹性剪应力可表征为：

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS1具体还包括：

当α_k用一个统一函数表示时，式(8)表示为：

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS2具体包括：采用线性函数描述分数阶导数的阶数变化，即令线性函数α＝kγ+b；对于弹性阶段，令k＝b＝0，此时α＝0，式(2)退化为式(1)。

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS3具体包括：对于应变强化阶段，随着剪切应变的增大，剪切应力逐渐增大至材料发生破坏，线性函数α＝kγ+b的取值在(0，1)之间；对于应变软化阶段，随着剪切应变的增大，剪切应力逐渐增大至峰值后逐渐减小，线性函数α＝kγ+b的取值在(1，2)之间。

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS4具体包括：对于没有应变软化的实验曲线，分为弹性阶段和粘弹性阶段：弹性阶段取α＝0，拟合实验数据可得参数G；粘弹性阶段，取α₁＝k₁γ+b₁，采用最小二乘法拟合实验数据可得参数φ、k₁和b₁。

作为一种较佳的实施例，所述步骤SS4具体还包括：对于有应变软化的实验曲线，分为强化阶段和软化阶段：对于强化阶段的剪切变形，参考没有应变软化的实验曲线，确定4个参数G,φ、k₁和b₁；对于软化阶段，分为软化初期，中期和后期三个阶段，相应的分数阶导数的阶数分别为α₂＝k₂γ+b₂，α₃＝k₃γ+b₃，α₄＝k₄γ+b₄，采用最小二乘法拟合可得相应的6个参数k₂，b₂，k₃，b₃，k₄和b₄。

本发明所达到的有益效果：第一，本发明的描述纳米银烧结体的剪切变形的本构模型，既可以表征剪切强化阶段又可以描述剪切软化阶段，模型形式简单，便于应用；拟合精度高；模型参数物理意义明确，可以反应剪切过程中材料性质的变化过程；第二，本发明的表征强化阶段的模型可以被拓展应用于纳米银烧结体的单向拉伸行为中，与常用的Anand模型相比(9个参数)，该模型具有模型参数少的优势(4个参数)，可以极大降低参数的不确定性；第三，本发明可以通过参数α的变化形象地表征软化初期、中期和后期过程；当α大于1时开始出现软化现象，当α接近2时，剪切应力趋向于0。

附图说明

图1是本发明的变阶数分数阶导数模型的构建方法的流程图；

图2是剪切变形的强化和软化示意图；

图3是本发明描述剪切强化和软化过程示意图；

图4(a)和4(b)分别是描述剪切强化变形的变阶数导数取值和有效性验证曲线；

图5(a)和5(b)分别是描述剪切变形全过程的变阶数导数取值和有效性验证曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明的提出了考虑剪切应变率的变阶数分数阶导数本构模型，其中重点是提出了一个可以描述剪切软化的本构模型，用以描述纳米银烧结体在不同应变率作用下剪切变形行为，其具体实施流程如图1所示。

步骤SS1，根据剪切变形过程中纳米银烧结体粘弹性性质的变化，建立分段的分数阶导数粘弹性本构模型。

纳米银烧结体的变化过程大致可分为线性阶段和非线性阶段。线性阶段可以用经典的胡克定律描述：

τ_e(t)＝Gγ_e(t) (1)；

式(1)中G为剪切模量，γ_e和τ_e分别为弹性应变和弹性应力。

非线性阶段可以采用分数阶导数粘弹性本构方程描述：

式(2)中τ_ve是粘弹性应力，φ为材料参数，α为分数阶导数的阶数，d^α/dt^α为分数阶导数的符号，其定义为：

式(3)中Γ(*)为gamma函数，定义如下：

在非线性阶段，随着外力作用时间的增加，材料的力学性质有可能会剧烈变化。当分数阶导数的阶数α为常数时，式(2)无法很好地刻画整个非线性阶段的变化过程。考虑在一个很短的时间间隔t_k∈(t_N，t_M)内，材料的力学性质不会发生改变，因此在该阶段设定分数阶导数的阶数为常数α_k。那么在此阶段内，粘弹性剪应力可表示为：

τ_ve(t_k)＝f(t_k，α_k)-f(t_k-1，α_k) (5)；

式(5)中

当外力作用为控制应变率ε’(t)＝c，即ε(t)＝ct时，式(5)可改写为：

或者

在整个非线性阶段的粘弹性剪应力可表征为

当α_k可以用一个统一函数表示时，式(8)可以表示为：

步骤SS2，采用线性函数描述分数阶导数的阶数变化。

在上述模型式(9)中，令α＝kγ+b，特别地，对于弹性阶段可以令k＝b＝0，此时α＝0，式(2)可以退化为式(1)。

步骤SS3，根据应力应变曲线判断纳米银烧结体是否发生应变软化现象。

如图2中曲线1所示，随着剪切应变的增大，剪切应力逐渐增大至峰值后逐渐减小，发生应变软化现象，取线性函数α＝kγ+b的取值在(1，2)之间；随着剪切应变的增大，剪切应力逐渐增大至材料发生破坏，未发生应变软化现象，取线性函数α＝kγ+b的取值在(0，1)之间。

图3显示当分数阶导数阶数α在(0，1)之间时曲线逐渐上升，当α在(1，2) 之间时曲线逐渐下降，因此采用分数阶导数可以描述剪切过程中的应变软化现象。

步骤S4，建立变分数阶导数粘弹性本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。

对于没有应变软化的实验曲线，分为弹性阶段和粘弹性阶段：弹性阶段取α＝0，拟合实验数据可得参数G；粘弹性阶段，取α₁＝k₁γ+b₁，采用最小二乘法拟合实验数据可得参数φ、k₁和b₁。因此，对于没有软化阶段的剪切变形，只有4个未知参数需要确定。

对于有应变软化的实验曲线，分为强化(上升)阶段和软化(下降)阶段：对于强化(上升)阶段的剪切变形，参考前一步，需要确定4个参数G,φ、k₁和b₁；对于软化(下降)阶段，可以分为软化初期，中期和后期三个阶段，相应的分数阶导数的阶数分别为α₂＝k₂γ+b₂，α₃＝k₃γ+b₃，α₄＝k₄γ+b₄，采用最小二乘法拟合可得相应的6个参数k₂，b₂，k₃，b₃，k₄和b₄。因此，对于应变软化的剪切变形实验曲线有10个参数需要确定。

对于不同应变率条件下的剪切强化行为，变阶数导数的取值如图4(a)所示，拟合结果如图4(b)所示，其他参数列于表1中。

表1剪切强化变形中其他物理参数的取值

对于不同应变率条件下的剪切软化行为，变阶数导数的取值如图5(a)所示，拟合结果如图5(b)所示，其他参数列于表2中。

表2剪切软化变形中其他物理参数的取值

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤SS1：根据剪切变形过程中纳米银烧结体粘弹性性质的变化，建立分段的分数阶导数粘弹性本构模型；

步骤SS2：采用线性函数描述分数阶导数的阶数变化；

步骤SS3：根据应力应变曲线判断纳米银烧结体是否发生应变软化现象；

步骤SS4：建立变分数阶导数粘弹性本构模型，拟合实验数据，确定模型参数。

2.根据权利要求1所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS1具体包括：

纳米银烧结体的变化过程分为线性阶段和非线性阶段；线性阶段用经典的胡克定律描述：

τ_e(t)＝Gγ_e(t) (1)；

式(1)中G为剪切模量，γ_e和τ_e分别为弹性应变和弹性应力；

非线性阶段采用分数阶导数粘弹性本构方程描述：

式(2)中τ_ve是粘弹性应力，φ为材料参数，α为分数阶导数的阶数，d^α/dt^α为分数阶导数的符号，其定义为：

式(3)中Γ(*)为gamma函数，定义如下：

3.根据权利要求2所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS1具体还包括：

在非线性阶段，当分数阶导数的阶数α为常数时，式(2)无法很好地刻画整个非线性阶段的变化过程；考虑在一个很短的时间间隔t_k∈(t_N，t_M)内，材料的力学性质不会发生改变，因此在该阶段设定分数阶导数的阶数为常数α_k，那么在此阶段内，粘弹性剪应力表示为：

τ_ve(t_k)＝f(t_k，α_k)-f(t_k-1，α_k) (5)；

式(5)中，

4.根据权利要求3所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS1具体还包括：

当外力作用为控制应变率ε’(t)＝c，即ε(t)＝ct时，式(5)改写为：

或者

5.根据权利要求4所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS1具体还包括：

在整个非线性阶段的粘弹性剪应力可表征为：

6.根据权利要求5所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS1具体还包括：

当α_k用一个统一函数表示时，式(8)表示为：

7.根据权利要求2所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS2具体包括：采用线性函数描述分数阶导数的阶数变化，即令线性函数α＝kγ+b；对于弹性阶段，令k＝b＝0，此时α＝0，式(2)退化为式(1)。

8.根据权利要求7所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS3具体包括：对于应变强化阶段，随着剪切应变的增大，剪切应力逐渐增大至材料发生破坏，线性函数α＝kγ+b的取值在(0，1)之间；对于应变软化阶段，随着剪切应变的增大，剪切应力逐渐增大至峰值后逐渐减小，线性函数α＝kγ+b的取值在(1，2)之间。

9.根据权利要求7所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS4具体包括：对于没有应变软化的实验曲线，分为弹性阶段和粘弹性阶段：弹性阶段取α＝0，拟合实验数据可得参数G；粘弹性阶段，取α₁＝k₁γ+b₁，采用最小二乘法拟合实验数据可得参数φ、k₁和b₁。

10.根据权利要求9所述的基于变阶数分数阶导数的纳米银烧结体剪切变形建模方法，其特征在于，所述步骤SS4具体还包括：对于有应变软化的实验曲线，分为强化阶段和软化阶段：对于强化阶段的剪切变形，参考没有应变软化的实验曲线，确定4个参数G,φ、k₁和b₁；对于软化阶段，分为软化初期，中期和后期三个阶段，相应的分数阶导数的阶数分别为α₂＝k₂γ+b₂，α₃＝k₃γ+b₃，α₄＝k₄γ+b₄，采用最小二乘法拟合可得相应的6个参数k₂，b₂，k₃，b₃，k₄和b₄。

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