CN117558377A - 一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，S1：建立表征应力‑应变响应的分数阶导数本构模型；S2：依据恒定应力循环加载条件，建立描述棘轮应变与循环加载次数的分数阶导数本构模型；S3：构建考虑温度或者应力速率影响的分数阶导数粘弹性本构模型，建立完整变形过程中的模型参数与温度T或者应力速率c的函数关系；S4：采用建立的分数阶导数粘弹性本构模型描述应力循环加载条件的应力‑应变响应以及棘轮应变与循环加载次数的响应，通过拟合实验数据，确定模型参数。本发明提出了一个应用方便、物理概念清晰且能满足精度要求的分数阶导数本构模型，以此解决缺乏描述纳米银浆应力循环加载行为的高精度理论模型的问题。

Description

一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法

技术领域

本发明属于纳米银浆力学行为建模技术领域，特别涉及一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法。

背景技术

由于电子产品的日益复杂化，各种互连材料的熔点不尽相同甚至差异很大，因此对金属焊料各项性能提出了更高的要求。考虑到铅对人类健康具有危害性，在电子产品封装领域，锡铅焊料被逐渐弃用。在全球环保浪潮的推动下，世界主要电子元器件生产商都在有条不紊地实现从有铅产品向无铅产品的过渡。

基于上述面临的问题，为了提升互连焊点的耐高温性能，纳米金属低温烧结技术得到了高功率密度电力电子器件封装互联研究的重点关注。纳米银由于能够实现低温烧结和耐高温工作而被认为是下一代电子封装领域的热选连接材料之一，且纳米银浆已被应用于电力电子封装的芯片贴装和互连。而纳米银浆的力学性能在评价其作为封装和连接材料的有效性方面起着重要作用，因此有必要探究其力学性能随烧结条件的变化情况，并建立相应的力学本构模型预测其使用寿命。

目前，纳米银浆应用于实际工程时往往承受长时间交变载荷的影响，因而会呈现出疲劳现象，且纳米银浆服役寿命与循环载荷下的疲劳强度密切相关。因此，为了探索纳米银浆的更多潜在应用，研究其在循环载荷作用条件下的力学可靠性和服役寿命具有重要意义。

发明内容

为了实现上述目的，本发明提供一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，提供了一个应用方便、物理概念清晰且能满足精度要求的分数阶导数本构模型，以此解决缺乏精度高的理论模型来描述纳米银浆应力循环加载行为的问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，具体步骤如下：

S1：根据应力循环加载过程中纳米银浆力学性质的变化，建立表征应力-应变响应的分数阶导数本构模型；

S2：依据恒定应力循环加载条件，建立描述棘轮应变与循环加载次数的分数阶导数本构模型；

S3：构建考虑温度或者应力速率影响的分数阶导数粘弹性本构模型，建立完整变形过程中的模型参数与温度T或者应力速率c的函数关系；

S4：采用建立的分数阶导数粘弹性本构模型描述应力循环加载条件的应力-应变响应以及棘轮应变与循环加载次数的响应，通过拟合实验数据，确定模型参数。

优选地，所述S1中，采用分数阶积分算子构建表征纳米银浆应力循环加载行为的应变响应，如式(1)所示：

式(1)中，N是循环次数，e是自然常数，n是计数变量，E是弹性模量，θ为松弛时间，t为加载时间，t_-1和t₀均为0，σ(t)和ε(t)分别为t时刻下的应力和应变，α为分数阶导数的阶数，且满足0<α<1，I^α为分数阶导数的符号，其定义为：

式(2)中，t₀和t分别为积分下限和积分上限，f(·)为任意函数，τ为积分变量，Γ(·)为gamma函数；

当在时间区间t_j-1<t<t_j，j＝1，2…n，加载的应力速率为c_j，其中c_j为非负数，则应力加载条件定义为：

将式(3)代入公式(1)得到应力循环加载行为的应变响应如公式(4)所示：

式(4)中，c₀＝0，t₀＝0。

优选地，所述S2中，定义应力循环加载的平均值不为零，随着循环加载次数的增大，加载应力的幅值均为定值，设初始变形的应力从零加载到平均应力时所花的时长为p，平均应力到极值应力时所花的时长为q，其它时间节点分别为t₁＝q+p，t₂＝3q+p，t₃＝5q+p,…,依次类推，t_n＝(2n-1)q+p，定义每个时间区间对应的应力速率大小皆为定值即c_j＝c，其中，j≠0，c₀恒为0，结合公式(4)分别获得每次循环加载的最大应变和最小应变与循环加载次数的关系为：

当循环加载次数N＝1时，

当循环加载次数N>1时，

其中，ε_max(N)为第N次循环加载对应的最大应变，ε_min(N)为第N次循环加载对应的最小应变。

优选地，所述S2中，应力循环加载条件下的棘轮应变响应的一般式如式(9)所示：

其中，ε_r为棘轮应变；

结合公式(7)和式(8)，恒定应力速率条件下棘轮应变与循环次数的关系如公式(10)所示：

(10)。

优选地，所述S3中，考虑温度对构建的分数阶导数粘弹性本构模型的影响，其中，

分数阶阶数α与温度T的幂律关系如公式(11)所示：

式(11)中，u₁、u₂、u₃为常数；

模型参数Eθ^α与温度T的幂律关系如公式(12)所示：

式(12)中，w₁、w₂、w₃为常数；

损伤系数f(N)与循环次数N的关系呈现幂律形式如式(13)所示：

其中，将参数r₂、r₃设置为常数，参数r₁建立与温度T之间的关系如式(14)所示：

式(14)中，z₁、z₂、z₃为常数。

优选地，所述S3中，考虑应力速率对构建的分数阶导数粘弹性本构模型的影响，其中，

分数阶阶数α与应力速率c的幂律关系如式(15)所示：

式(15)中，v₁、v₂、v₃为常数；

模型参数Eθ^α与应力速率c的幂律关系如式(16)所示：

式(16)中，s₁、s₂、s₃为常数；

损伤系数f(N)与循环次数N的关系呈现幂律形式，如式(13)所示：

其中，参数r₂、r₃为常数，参数r₁建立与应力速率c之间的关系如式(17)所示：

式(17)中，h₁、h₂、h₃为常数。

优选地，所述S4中用于描述应力循环加载行为的分数阶导数本构模型的模型参数的具体确定方法如下：

当表征的对象是应力循环加载条件下的应力-应变关系，令损伤系数f(N)＝0，可通过公式(4)拟合实验数据得出参数α，E和θ；

当表征的对象是应力循环加载条件下的棘轮应变与循环加载次数的关系，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)得到模型参数α，Eθ^α；当循环加载到后期，材料内部孔隙度增加，损伤参数变化，因此根据循环加载初期获得的参数α，Eθ^α代入公式(10)，得到幂律形式的f(N)，用于描述棘轮应变与循环加载次数的关系；

当表征的对象是不同温度条件下应力循环加载的棘轮应变与循环加载次数时，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)拟合不同温度条件下的模型参数α和Eθ^α，将不同温度条件下的模型参数α和Eθ^α代入公式(10)，得到不同温度条件下幂律形式的f(N)，分别建立模型参数α，Eθ^α、f(N)与温度T的联系，并将模型参数α，Eθ^α、f(N)的关系式代入公式(10)进行表征；

当表征的对象是不同应力速率条件下应力循环加载的棘轮应变与循环加载次数时，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)拟合不同应力速率条件下的模型参数α和Eθ^α，将不同应力速率条件下的模型参数α和Eθ^α代入公式(10)，得到不同应力速率条件下幂律形式的f(N)，分别建立模型参数α，Eθ^α、f(N)与应力速率的联系，并将模型参数α，Eθ^α、f(N)的关系式代入公式(10)进行表征。

有益效果：本发明公开了一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，具有如下优点：

(1)本发明构建的用于描述纳米银浆循环加载应力应变及棘轮应变的本构模型，相比于传统的本构模型，构建的力学模型参数少、拟合精度高且模型参数物理意义明确，有利于实现对纳米银浆使用寿命的准确预测。

(2)本发明中，针对棘轮应变，构建了温度依赖以及应力速率依赖的本构模型，建立了模型参数与温度或应力速率之间的关系，并能够很好的表征了力学性质变化的过程，有利于提高模型精度。

附图说明

图1为本发明的分数阶导数本构模型的构建方法流程图；

图2为实施例1中应力循环加载与时间的关系；

图3为实施例1表征10MPa/min应力循环加载行为的应力-应变响应效果图；

图4为实施例1表征12MPa/min应力循环加载行为的应力-应变响应效果图；

图5为实施例2中分数阶阶数α、参数Eθ^α与温度的关系图；

图6为实施例2中损伤系数f(N)中参数r₁与温度的关系图；

图7为实施例2中考虑温度影响对损伤系数f(N)的修正结果图；

图8为实施例2中温度依赖本构模型表征的应力循环加载行为的棘轮应变响应效果图；

图9为实施例3分数阶阶数α、参数Eθ^α与应力速率的关系图；

图10为实施例3中损伤系数f(N)中参数r₁与应力速率的关系图；

图11为实施例3中考虑应力速率影响对损伤系数f(N)的修正结果图；

图12为实施例3应力速率依赖本构模型表征的应力循环加载行为的棘轮应变响应效果图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明作若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

实施例1

根据纳米银浆应力循环加载行为的力学响应特点，本实施例1提出一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型，建立描述纳米银浆应力循环加载行为的应力-应变分数阶导数本构模型，用于表征纳米银浆应力循环加载变形。具体构建方法如下：

如图2所示为应力循环加载与时间的关系，采用分数阶积分算子构建纳米银浆应力循环加载行为的应变响应，如公式(1)所示：

式(1)中，N是循环次数，e是自然常数，n是计数变量，E是弹性模量，θ为松弛时间，t为加载时间，t_-1和t₀均为0，σ(t)和ε(t)分别为t时刻下的应力和应变，α为分数阶导数的阶数，且满足0<α<1，I^α为分数阶导数的符号，其定义为：

式(2)中，t₀和t分别为积分下限和积分上限，f(·)为任意函数，τ为积分变量，Γ(·)为gamma函数；

当在时间区间t_j-1<t<t_j，j＝1，2…n，加载的应力速率为c_j，其中c_j为非负数，则应力加载条件定义为：

将式(3)代入公式(1)得到应力循环加载行为的应变响应如式(4)所示：

式(4)中，c₀＝0，t₀＝0。

公式(4)所示即为实施例1构建的应力-应变分数阶导数本构模型，用于表征针对纳米银浆的应力应变关系。本实施例1中模型参数的确定方法如下：令损伤系数f(N)＝0，可通过公式(4)拟合实验数据得出参数α，E和θ。如图3所示为实施例1构建的分数阶导数本构模型表征10MPa/min应力循环加载行为的应力-应变响应效果图；如图4所示为实施例1表征12MPa/min应力循环加载行为的应力-应变响应效果图；相关的模型参数值如表1所示。

表1纳米银应力循环加载应力应变本构模型参数的取值

从图3和图4中可以看出，根据实施例1构建的分数阶导数本构模型的数值模拟和实验数据具有较好的一致性，这说明该分数阶导数本构模型在纳米银浆材料应力循环加载行为中的适用性。

实施例2

在实施例1的基础上，针对纳米银浆在恒定应力速率条件下进行循环加载，考虑温度对纳米银浆棘轮应变行为的影响，实施例2提出一种纳米银浆应力循环加载行为的温度依赖力学模型，用于表征纳米银浆不同温度条件下的棘轮变形。如图1所示，具体构建方法如下：

步骤1：根据应力循环加载过程中纳米银浆力学性质的变化，建立表征应力-应变响应的分数阶导数本构模型，如实施例1中的公式(4)所示；

步骤2：依据恒定应力循环加载条件，建立描述棘轮应变与循环加载次数的分数阶导数本构模型；具体步骤如下：

步骤2-1：定义应力循环加载的平均值不为零，随着循环加载次数的增大，加载应力的幅值均为定值，设初始变形的应力从零加载到平均应力时所花的时长为p，平均应力到极值应力时所花的时长为q，其它时间节点分别为t₁＝q+p，t₂＝3q+p，t₃＝5q+p,…,依次类推，t_n＝(2n-1)q+p，定义每个时间区间对应的应力速率大小皆为定值即c_j＝c，其中，j≠0，c₀恒为0，结合公式(4)分别获得每次循环加载的最大应变和最小应变与循环加载次数的关系为：

当循环加载次数N＝1时，

当循环加载次数N>1时，

其中，ε_max(N)为第N次循环加载对应的最大应变，ε_min(N)为第N次循环加载对应的最小应变。

步骤2-2：应力循环加载条件下的棘轮应变响应的一般式如式(9)所示：

其中，ε_r为棘轮应变；

结合公式(7)和式(8)，恒定应力速率条件下棘轮应变与循环次数的关系如公式(10)所示：

步骤3：构建考虑温度影响的分数阶导数粘弹性本构模型，建立完整变形过程中的模型参数α、Eθ^α、f(N)与温度T的函数关系；具体方法如下：

分数阶阶数α与温度T的幂律关系如公式(11)所示：

式(11)中，u₁、u₂、u₃为常数；

模型参数Eθ^α与温度T的幂律关系如公式(12)所示：

式(12)中，w₁、w₂、w₃为常数；

损伤系数f(N)与循环次数N的关系呈现幂律形式如式(13)所示：

其中，将参数r₂、r₃设置为常数，参数r₁建立与温度T之间的关系如式(14)所示：

式(14)中，z₁、z₂、z₃为常数。

步骤4：当表征的对象是不同温度条件下应力循环加载的棘轮应变与循环加载次数时，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)拟合不同温度条件下的模型参数α和Eθ^α，将不同温度条件下的模型参数α和Eθ^α代入公式(10)，得到不同温度条件下幂律形式的f(N)，分别建立模型参数α，Eθ^α、f(N)与温度T的联系，并将模型参数α，Eθ^α、f(N)的关系式代入公式(10)进行表征，得到表征纳米银浆应力循环加载行为的温度依赖力学模型。

采用本实施例2构建的应力循环加载行为的温度依赖力学模型表征纳米银浆的棘轮应变与循环加载次数的关系。采用实验数据获得模型参数值如表2所示。

如图5所示，为分数阶阶数α、参数Eθ^α与温度的关系，通过构建幂律函数建立与温度的表达式。如图6所示为损伤系数f(N)中参数r₁与温度的关系。考虑温度影响，对损伤系数f(N)进行修正，结果如图7所示。将相关模型参数代入公式(10)，如图8所示，可以看到所提出的应力循环加载行为的温度依赖力学模型能够很好的描述不同温度条件下纳米银浆的棘轮应变。

表2温度依赖棘轮应变本构模型参数的取值

实施例3

在实施例1的基础上，针对纳米银浆在恒定应力速率条件下进行循环加载，考虑应力速率对纳米银浆棘轮应变行为的影响，实施例3提出一种纳米银浆应力循环加载行为的应力速率依赖力学模型，用于表征纳米银浆不同应力速率条件下的棘轮变形。如图1所示，具体构建方法如下(步骤1和步骤2与实施例2中的步骤1和2相同)：

步骤1：根据应力循环加载过程中纳米银浆力学性质的变化，建立表征应力-应变响应的分数阶导数本构模型，如实施例1中的公式(4)所示；

步骤2：依据恒定应力循环加载条件，建立描述棘轮应变与循环加载次数的分数阶导数本构模型，如公式(10)所示；

步骤3：构建考虑应力速率影响的分数阶导数粘弹性本构模型，建立完整变形过程中的模型参数α、Eθ^α、f(N)与应力速率c的函数关系；具体方法如下：

分数阶阶数α与应力速率c的幂律关系如式(15)所示：

式(15)中，v₁、v₂、v₃为常数；

模型参数Eθ^α与应力速率c的幂律关系如式(16)所示：

式(16)中，s₁、s₂、s₃为常数；

损伤系数f(N)与循环次数N的关系呈现幂律形式，如式(13)所示：

其中，参数r₂、r₃为常数，参数r₁建立与应力速率c之间的关系如式(17)所示：

式(17)中，h₁、h₂、h₃为常数。

步骤4：当表征的对象是不同应力速率条件下应力循环加载的棘轮应变与循环加载次数时，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)拟合不同应力速率条件下的模型参数α和Eθ^α，将不同应力速率条件下的模型参数α和Eθ^α代入公式(10)，得到不同应力速率条件下幂律形式的f(N)，分别建立模型参数α，Eθ^α、f(N)与应力速率的联系，并将模型参数α，Eθ^α、f(N)的关系式代入公式(10)进行表征。

采用本实施例3构建的应力循环加载行为的应力速率依赖力学模型表征纳米银浆的棘轮应变与循环加载次数的关系。采用实验数据获得模型参数值如表3所示。

如图9所示，为分数阶阶数α、参数Eθ^α与应力速率的关系，通过构建幂律函数建立与应力速率的表达式。如图10所示为损伤系数f(N)中参数r₁与应力速率的关系。考虑应力速率影响，对损伤系数f(N)进行修正，结果如图11所示。将相关模型参数代入棘轮应变方程，如图12所示，可以看到所提出的应力循环加载行为的应力速率依赖力学模型能够很好的描述不同应力速率条件下纳米银浆的棘轮应变。

表3应力速率依赖棘轮应变本构模型参数的取值

以上所述仅是本发明说明，为本发明的优选实施方式。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来脱离本发明的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，具体步骤如下：

S1：根据应力循环加载过程中纳米银浆力学性质的变化，建立表征应力-应变响应的分数阶导数本构模型；

S2：依据恒定应力循环加载条件，建立描述棘轮应变与循环加载次数的分数阶导数本构模型；

S3：构建考虑温度或者应力速率影响的分数阶导数粘弹性本构模型，建立完整变形过程中的模型参数与温度T或者应力速率c的函数关系；

S4：采用建立的分数阶导数粘弹性本构模型描述应力循环加载条件的应力-应变响应以及棘轮应变与循环加载次数的响应，通过拟合实验数据，确定模型参数。

2.根据权利要求1所述的纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，所述S1中，采用分数阶积分算子构建表征纳米银浆应力循环加载行为的应变响应，如式(1)所示：

式(1)中，N是循环次数，e是自然常数，n是计数变量，E是弹性模量，θ为松弛时间，t为加载时间，t_-1和t₀均为0，σ(t)和ε(t)分别为t时刻下的应力和应变，α为分数阶导数的阶数，且满足0<α<1，I^α为分数阶导数的符号，其定义为：

式(2)中，t₀和t分别为积分下限和积分上限，f(·)为任意函数，τ为积分变量，Γ(·)为gamma函数；

当在时间区间t_j-1<t<t_j，j＝1，2…n，加载的应力速率为c_j，其中c_j为非负数，则应力加载条件定义为：

将式(3)代入公式(1)得到应力循环加载行为的应变响应如公式(4)所示：

式(4)中，c₀＝0，t₀＝0。

3.根据权利要求2所述的纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，所述S2中，定义应力循环加载的平均值不为零，随着循环加载次数的增大，加载应力的幅值均为定值，设初始变形的应力从零加载到平均应力时所花的时长为p，平均应力到极值应力时所花的时长为q，其它时间节点分别为t₁＝q+p，t₂＝3q+p，t₃＝5q+p,…,依次类推，t_n＝(2n-1)q+p，定义每个时间区间对应的应力速率大小皆为定值即c_j＝c，其中，j≠0，c₀恒为0，结合公式(4)分别获得每次循环加载的最大应变和最小应变与循环加载次数的关系为：

当循环加载次数N＝1时，

当循环加载次数N>1时，

其中，ε_max(N)为第N次循环加载对应的最大应变，ε_min(N)为第N次循环加载对应的最小应变。

4.根据权利要求3所述的纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，所述S2中，应力循环加载条件下的棘轮应变响应的一般式如式(9)所示：

其中，ε_r为棘轮应变；

结合公式(7)和式(8)，恒定应力速率条件下棘轮应变与循环次数的关系如公式(10)所示：

5.根据权利要求4所述的纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，所述S3中，考虑温度对构建的分数阶导数粘弹性本构模型的影响，其中，

分数阶阶数α与温度T的幂律关系如公式(11)所示：

式(11)中，u₁、u₂、u₃为常数；

模型参数Eθ^α与温度T的幂律关系如公式(12)所示：

式(12)中，w₁、w₂、w₃为常数；

损伤系数f(N)与循环次数N的关系呈现幂律形式如式(13)所示：

其中，将参数r₂、r₃设置为常数，参数r₁建立与温度T之间的关系如式(14)所示：

式(14)中，z₁、z₂、z₃为常数。

6.根据权利要求5所述的纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，所述S3中，考虑应力速率对构建的分数阶导数粘弹性本构模型的影响，其中，

分数阶阶数α与应力速率c的幂律关系如式(15)所示：

式(15)中，v₁、v₂、v₃为常数；

模型参数Eθ^α与应力速率c的幂律关系如式(16)所示：

式(16)中，s₁、s₂、s₃为常数；

损伤系数f(N)与循环次数N的关系呈现幂律形式，如式(13)所示：

其中，参数r₂、r₃为常数，参数r₁建立与应力速率c之间的关系如式(17)所示：

式(17)中，h₁、h₂、h₃为常数。

7.根据权利要求6所述的纳米银浆应力循环加载行为的力学模型构建方法，其特征在于，所述S4中用于描述应力循环加载行为的分数阶导数本构模型的模型参数的具体确定方法如下：

当表征的对象是应力循环加载条件下的应力-应变关系，令损伤系数f(N)＝0，可通过公式(4)拟合实验数据得出参数α，E和θ；

当表征的对象是应力循环加载条件下的棘轮应变与循环加载次数的关系，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)得到模型参数α，Eθ^α；当循环加载到后期，材料内部孔隙度增加，损伤参数变化，因此根据循环加载初期获得的参数α，Eθ^α代入公式(10)，得到幂律形式的f(N)，用于描述棘轮应变与循环加载次数的关系；

当表征的对象是不同温度条件下应力循环加载的棘轮应变与循环加载次数时，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)拟合不同温度条件下的模型参数α和Eθ^α，将不同温度条件下的模型参数α和Eθ^α代入公式(10)，得到不同温度条件下幂律形式的f(N)，分别建立模型参数α，Eθ^α、f(N)与温度T的联系，并将模型参数α，Eθ^α、f(N)的关系式代入公式(10)进行表征；

当表征的对象是不同应力速率条件下应力循环加载的棘轮应变与循环加载次数时，考虑循环加载初期材料内部无损伤，令损伤系数f(N)＝0，通过公式(10)拟合不同应力速率条件下的模型参数α和Eθ^α，将不同应力速率条件下的模型参数α和Eθ^α代入公式(10)，得到不同应力速率条件下幂律形式的f(N)，分别建立模型参数α，Eθ^α、f(N)与应力速率的联系，并将模型参数α，Eθ^α、f(N)的关系式代入公式(10)进行表征。