CN114527647B - 一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法，旨在解决船用起重机系统参数发生变化引发的控制器频繁整定控制参数的问题，具体包括：根据船用起重机系统的运动规律，对其动力学建模，采用非线性扩张观测器(NLESO)补偿系统未建模扰动，引入误差函数，获取滑模面的等效控制律，将负载质量等价为估计参数，设计对负载质量有先验认知的自适应律，分析及证明所述方法的渐进稳定性。本发明提升了船用起重机模型的准确性，有效减少了负载摆角，提高了响应速度，同时使系统具有较强的鲁棒性。

Description

一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法

技术领域

本发明属于船用起重机控制领域，尤其涉及一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法。

背景技术

船用起重机作为一类常见的舰载装备，被广泛用于海上货物转运、吊装作业、海上工程的安装与维护。由于海洋环境的复杂性和此类装备的欠驱动特性，在作业时由于船体的随机运动，负载会产生复杂的非线性动力学响应。此外，当系统某些参数发生变化时，控制器的控制精度会大幅下降。因此，如何减小负载摆角，提高系统的鲁棒性，对保证安全作业具有重要意义。

目前，常规的船用起重机控制方法有PID控制、反馈线性化控制、滑模变结构控制、能量反馈控制、智能控制等。其中，滑模变结构控制(SMC)技术由于鲁棒性强、响应速度快、对参数变化及扰动不灵敏等优点，被广泛用来控制该非线性系统。

但对于船用起重机系统而言，在起吊不同质量的负载时，由于负载质量变化需要对滑模面的控制参数反复整定，极大降低了运输效率。此外，模型内部还存在未建模扰动问题使得模型不精确，可信度下降，这些影响因素使得常规滑模变结构控制方法不能达到满意的控制效果。

论文《Sliding-Mode Antisway Control of an Offshore Container Crane》存在以下问题：

(1)所建模型未考虑系统内部存在未建模扰动的因素，使得模型建模不精确；

(2)未考虑吊绳长度变化，减弱了模型复杂性，与实际系统有所偏差；

(3)当系统参数发生改变时，需反复整定控制参数，影响控制精度，降低工作效率。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法。本发明方法针对船用起重机控制系统，设计对负载质量有先验认知的自适应律，消除估计参数和负载实际质量的误差，进而得到滑模控制器的等效控制律，同时引入NLESO对系统未建模扰动进行估计补偿，实现船用起重机系统在不同条件下快速安全地完成作业，提高工作效率。

为达到上述目的，本发明采用以下具体技术方案予以解决：

一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法，包括以下步骤：

S1：利用拉格朗日方程对船用起重机进行三自由度建模，分离系统可驱动部分与不可驱动部分；

S2：根据S1得到的船用起重机动力学方程，将状态变量的误差函数引入到变结构滑模面，得到滑模变结构控制律；

S3：采用非线性扩张状态观测器对系统未建模扰动进行估计补偿；

S4：基于S2与S3所得到的控制律，对所构建的滑模变结构控制律设计一种自适应机制，并分析所提控制方法的稳定性；

本方法技术方案的特点为：

S1具体包括如下步骤：

S11：取小车的运动位移y_t、吊绳长度l及负载摆角θ作为广义状态变量q＝[y_t l θ]^T∈R³，取小车的拉力f_y和滚筒转动产生的升力f_M作为广义输入力F＝[f_y f_M 0]^T，根据拉格朗日方程：

式中，L为拉格朗日函数，且L＝T-K，T和K分别为船用起重机系统总动能与势能，

为广义状态变量的一阶导，整理得到系统动力学的一般形式：

式中，

为广义状态变量的二阶导，M(q)为系统惯性矩阵，且为对称正定阵，

为系统科里奥利力以及离心力矩阵，G(q)为系统重力矩阵，W(q)为海浪产生的扰动矩阵，表达式如下：

G(q)＝[G₁ G₂ G₃]^T (5)

W(q)＝[W₁ W₂ W₃]^T (6)

S12：基于起重机的欠驱动特性，分离状态变量为可驱动变量q₁∈R²(y_t,l)和不可驱动变量q₂∈R¹(θ)，将式(2)改写成分离后的形式如下：

式中，F₁＝(f_y,f_M)，Δ定义为系统内未建模扰动量，并假设Δ存在上界，

与

的表达式如下：

S2具体包括如下步骤：

S21：根据S12得到的系统可驱动部分(7)和不可驱动部分(8)，将式(8)代入式(7)整理得到：

式中，

所设计的控制器最终目标是使负载的摆角为0°，即q_2d→0，同时，跟踪小车和吊绳的位置趋于目标位置，即q₁→q_1d，因此，定义误差向量e₁(t)与e₂(t)为：

e₁(t)＝[y_t(t)-y_dt(t) l(t)-l_d(t)]^T (13)

e₂(t)＝θ (14)

式中，y_dt(t)与l_d(t)为小车与吊绳的期望位置。为达到预期控制效果，同时保证当t→∞时，e₁(t)→0与e₂(t)→0。

S22：根据S21的推导与分析，对于船用起重机系统而言，一方面要求小车与吊绳快速达到期望位置，另一方面同时要消除负载产生的摆角。因此，定义的滑模面s函数应包含y_t、l及θ三个变量，定义如下：

式中，α＝diag(α₁,α₂)，β＝(β₁,0)^T，且α₁、α₂和β为正参数。

对式(15)求导得到：

令

整理得到关于

的表达式为：

由于

所以根据式(11)得到等效控制律F₁为：

S3具体包括如下步骤：

S31：由于S22中式(18)存在未建模扰动量Δ，所设计的控制律难以直接获取，采用非线性扩张状态观测器对其进行补偿。对式(7)进行处理后，得到：

式中，x₁＝l(t)，

x₃表示扩张的状态变量，u为系统输入，m_p为负载质量，h为起重机距母船重心的高度，φ为船体横摇运动，根据式(19)设计非线性扩张观测器如下：

式中，e为观测误差，z_i为扩张观测器的输出，其中i＝1,2,3，ζ_i和α为正参数，其中i＝1,2,3；函数fal(e,γ,δ)的作用为抑制信号抖振，具体表达式为：

式中，0＜γ＜1，δ＞0，通过选择合适的参数ζ_i，其中，i＝1,2,3。状态观测器(20)可以估计被扩张的状态变量，即z₃→Δ。因此，更新后的等效控制律F₁：

S4具体包括如下步骤：

S41：提出一种自适应机制来提高起重机的工作效率，将负载质量m_p等效成估计参数m，利用自适应律消除估计参数和负载实际质量的误差，使控制器对负载质量有一定的认知能力；将系统中负载质量参数m_p替换为估计参数m，定义误差矩阵M_e，C_1e，C_2e，G_e，W_e为：

式中，

cos_1-3＝cos_3-1＝cos(φ-θ),cos₁₊₃＝cos(φ+θ)，sin_3-1＝sin(θ-φ)，sin_1-3＝sin(φ-θ)，sin₁₊₃＝sin₃₊₁＝sin(φ+θ)，

基于上述推导，结合式(11)、(17)及(18)，通过运算得到引入估计参数的等效控制律为：

定义如下自适应律：

式中，λ为正增益常数，G_e1与G_e2为误差矩阵G_e的第1列和第2列，W_e1与W_e2为误差矩阵W_e的第1列和第2列，k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的表达式如下：

S42：为证明所设计控制律的渐进稳定性，定义非负Lyapunov函数：

对式(31)求导得：

将式(28)代入式(32)中，得到：

将式(33)中的

替换为式(29)定义的自适应律，整理得到：

由于矩阵

中a₁₁＝m_t+m_psin² _1-3，且其行列式值

因此，矩阵

恒为正定矩阵。

根据Barbalat定理可知，对于任意正参数矩阵α，均存在

故s→0，所构建的滑模面渐进稳定。

本发明具有如下有益效果：

(1)本发明设计的自适应滑模变结构控制方法，所提出的自适应律可以消除估计参数和负载实际质量的误差，使控制器对负载质量有一定的认知能力，提高起重机的工作效率；

(2)本发明利用非线性扩张观测器对系统未建模扰动进行观测估计，使船用起重机模型更趋于真实化，便于实际工程应用；

(3)本发明设计的控制方法鲁棒性强，在存在强干扰与模型不精确的影响下，所发明的控制器相比于传统LQR、SMC方法的平均响应速度提高5-6s，在强干扰下对负载摆角的减摆效果平均提升60％以上，使船用起重机在不同情况下仍快速安全地完成工作。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为船用起重机模型示意图；

图2为自适应滑模变结构控制框图；

图3为φ≈0时，小车位置变化示意图；

图4为φ≈0时，绳子位置变化示意图；

图5为φ≈0时，负载摆角变化示意图；

图6为φ≠0时，小车位置变化示意图；

图7为φ≠0时，绳子位置变化示意图；

图8为φ≠0时，负载摆角变化示意图；

图9为变干扰情况下的船体横摇运动示意图；

图10为加入干扰时，小车位置变化示意图；

图11为加入干扰时，绳子位置变化示意图；

图12为加入干扰时，负载摆角变化示意图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点更加明显易懂，一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法，包括以下步骤：

S1：本发明实施例提供的基于拉格朗日方程对船用起重机进行三自由度建模，具体步骤如下：

S11：如图1所示，建立船用起重机的动力学模型，定义小车坐标为(y_mt,z_mt)，负载坐标为(y_mp,z_mp)。设小车的质量为m_t，小车受到拉力f_y的作用在滑道上移动，轨道长度为y_t，起升装置固定在小车上，滚筒转矩为f_M，起重机高度为h，吊绳为l，负载质量为m_p，负载在惯性空间产生的角度为θ，船体横摇运动为φ。

取小车的运动位移y_t、吊绳长度l及负载摆角θ作为广义状态变量q＝[y_t l θ]^T∈R³，取小车的拉力f_y和滚筒转动产生的升力f_M作为广义输入力F＝[f_y f_M 0]^T，根据拉格朗日方程：

式中，L为拉格朗日函数，且L＝T-K，T和K分别为船用起重机系统总动能与势能，

为广义状态变量的一阶导，整理得到系统动力学的一般形式：

式中，

为广义状态变量的二阶导，M(q)为系统惯性矩阵，且为对称正定阵，

为系统科里奥利力以及离心力矩阵，G(q)为系统重力矩阵，W(q)为海浪产生的扰动矩阵，表达式如下：

W(q)＝[W₁ W₂ W₃]^T (6)

式中，

S12：基于起重机的欠驱动特性，分离状态变量为可驱动变量q₁∈R²(y_t,l)和不可驱动变量q₂∈R¹(θ)，将式(2)改写成分离后的形式如下：

式中，F₁＝(f_y,f_M)，Δ定义为系统内未建模扰动量，并假设Δ存在上界：

M₂₂(q)＝m_pl² (17)

S2：本发明实施例提供的基于S1得到的船用起重机动力学方程，将状态变量的误差函数引入到变结构滑模面，得到滑模变结构控制律，具体步骤如下：

S21：根据S12得到的系统可驱动部分(14)和不可驱动部分(15)，将式(15)代入式(14)整理得到：

式中，

所设计的控制器最终目标是使负载的摆角为0°，即q_2d→0，同时，跟踪小车和吊绳的位置趋于目标位置，即q₁→q_1d，因此，定义误差向量e₁(t)与e₂(t)为：

e₁(t)＝[y_t(t)-y_dt(t) l(t)-l_d(t)]^T (24)

e₂(t)＝θ (25)

式中，y_dt(t)与l_d(t)为小车与吊绳的期望位置。为达到预期控制效果，同时保证当t→∞时，e₁(t)→0与e₂(t)→0。此外，由于海浪的时变干扰，导致负载在惯性空间随机摇晃。因此，小车与吊绳的运动轨迹需遵循坐标系定义的期望轨迹，以便保持坐标系中的负载位置相对不变。

S22：根据S21的推导与分析，对于船用起重机系统而言，一方面要求小车与吊绳快速达到期望位置，另一方面同时要消除负载产生的摆角。因此，定义的滑模面s函数应包含y_t、l及θ三个变量，定义如下：

式中，α＝diag(α₁,α₂)，β＝(β₁,0)^T且α₁、α₂和β为正参数。

对式(26)求导得到：

令

整理得到关于

的表达式为：

由于

所以根据式(22)得到等效控制律F₁为：

S3：本发明实施例提供的采用非线性扩张状态观测器对系统未建模扰动进行估计补偿，具体步骤如下：

S31：由于S22中式(29)存在未建模扰动量Δ，所设计的控制律难以直接获取，采用非线性扩张状态观测器对其进行补偿。对式(14)进行处理后，得到：

式中，x₁＝l(t)，

x₃表示扩张的状态变量，u为系统输入，根据式(30)设计非线性扩张观测器如下：

式中，e为观测误差，z_i为扩张观测器的输出，其中i＝1,2,3，ζ_i和α为正参数，其中i＝1,2,3；函数fal(e,γ,δ)的作用为抑制信号抖振，具体表达式为：

式中，0＜γ＜1，δ＞0，通过选择合适的参数ζ_i，其中，i＝1,2,3，状态观测器(31)可以估计被扩张的状态变量，即z₃→Δ。因此，更新后的等效控制律F₁：

S4：本发明实施例提供的对所构建的滑模变结构控制律设计一种自适应机制，并分析所提控制方法的稳定性，具体步骤如下：

S41：提出一种自适应机制来提高起重机的工作效率，将负载质量m_p等效成估计参数m，利用自适应律消除估计参数和负载实际质量的误差，使控制器对负载质量有一定的认知能力。将系统中负载质量参数m_p替换为估计参数m，定义误差矩阵M_e，C_1e，C_2e，G_e，W_e为：

式中，

基于上述推导，结合式(22)、(28)及(29)，通过运算得到引入估计参数的等效控制律为：

定义如下自适应律：

式中，λ为正增益常数，G_e1与G_e2为误差矩阵G_e的第1列和第2列，W_e1与W_e2为误差矩阵W_e的第1列和第2列，k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的表达式如下：

S42：为证明所设计控制律的渐进稳定性，定义非负Lyapunov函数：

对式(42)求导得：

将式(39)代入式(43)中，得到：

将式(44)中的

替换为式(40)定义的自适应律，整理得到：

由于矩阵

中a₁₁＝m_t+m_p sin² _1-3，且其行列式值

因此，矩阵

恒为正定矩阵。

根据Barbalat定理可知，对于任意正参数矩阵α，均存在

故s→0，所构建的滑模面渐进稳定。

对模型进行数值仿真，具体步骤如下：

利用MATLAB/SIMULINK对本发明控制方法进行数值仿真，并分析不同情况下的小车、吊绳、摆角运动变化情况，并将获得的结果与SMC方法和LQR方法进行比较，进而证明本发明的控制方法的优越性能。船用起重机的相关仿真参数如表1所示。

表1.仿真参数设置

将SMC方法参数设为：k₁＝0.05，k₂＝1.50，k₃＝1.00，μ₁＝0.45，μ₂＝0.50，λ＝0.04。

根据船用起重机系统模型，调整Q，R权重矩阵，得到LQR方法的权重矩阵分别为Q＝diag(500,100,944,602)，R＝diag(1,1)。利用MATLAB求解Riccati方程，得到的反馈控制增益矩阵K＝[K₁ K₂]，反馈控制增益矩阵表达式的参数为

K₁＝(70.71 39.64 454.58 732.79)^T，K₂＝(10.01 16.06 174.21 470.03)^T。

情况1：在φ≈0时，检验负载质量不变时的控制性能。根据所推导的数学模型式(2)，代入式(33)的等效控制律，对各状态变量进行仿真实验研究，通过反复调整控制增益，提高其参数适应性，得到本发明方法的控制器参数设置如下：α₁＝0.30，α₂＝0.65，β₁＝2.00，α＝0.50，ζ₁＝100.00，ζ₂＝500.00，ζ₃＝800.00，δ＝0.01。

图3、图4及图5揭示了控制器使小车与吊绳快速到达期望位置，同时有效抑制负载的摆动。当不存在船体横摇扰动时，与陆地起重机到达稳定状态似，各状态量无残留扰动产生。SMC方法、LQR方法和本发明控制方法均可达到同样的控制效果，本发明方法使小车在10s左右到达期望位置，吊绳在8s左右到达期望位置，在响应时间上均比另外两种方法快，并且负载摆角抖动较小，三种方法均在10s左右使摆角趋于稳定状态。

情况2：在φ≠0时，取φ＝0.2sin(1.5t)，检验控制器性能。控制器参数设置如下：α₁＝0.50，α₂＝1.00，β₁＝0.10，α＝0.50，ζ₁＝100.00，ζ₂＝500.00，ζ₃＝800.00，δ＝0.01。

当存在船体横摇运动时，船体的运动加剧了负载在空间中的摇晃图6、图7及图8展示了存在船体横摇时各状态量的变化情况，通过情况1与情况2仿真结果对比可知，当存在海浪干扰时，小车与吊绳即使到达了期望位置，也会由于海浪的运动而在期望位置小范围运动。图8可以看出，三种方法对负载摆角均有一定程度上的抑制效果，但LQR方法调节速度较慢，SMC方法调节过程波动较大，本发明方法使负载摆动的峰值小，并且调节较为平缓，同时可以快速达到平衡位置。

情况3：检验控制器鲁棒性，将负载质量改为可变参数，范围在0.8-1.5倍之间变动，取Δ＝1.4sin(t)，之后改变横摇角频率和幅值，控制器参数设置如下：α₁＝0.23，α₂＝0.42，β₁＝0.27，α＝0.50，ζ₁＝100.00，ζ₂＝500.00，ζ₃＝800.00，δ＝0.01。

将横摇运动改为分段运动，改变幅值和周期，如式(46)，运动曲线如图9。

由图10、图11及图12可知，在12s至28s时引入幅值较大的横摇运动会使小车运动与吊绳运动变得不稳定，LQR方法与SMC方法均会发生明显振荡，而本发明方法会使小车稳定在[-0.04m 0.04m]范围内运动，吊绳稳定在[-0.03m 0.03m]范围内运动，即使有强干扰的情况下小车与绳子的运动也相对平稳。此外，由于强干扰、负载质量变化和未建模扰动的影响，LQR方法无法在短时间内调节到期望位置，无法实现减摆目的，这是由于此类方法对系统状态矩阵的稳定性要求很高，并且参数灵敏性较强，对于不确定干扰，此类方法鲁棒性差，并且参数需要有较强的适配性才能达到控制要求。而SMC方法自身就有一定的抗扰性，本发明方法引入自适应律后，控制精度要比传统SMC方法精度更高。

表1展示了不同情况下三种方法驱动各状态量到达稳定的时间。对于情况2，本发明方法在小车快速到达期望位置的同时减少了负载摆动，相比于另外两种方法，无论从控制精度和系统响应速度上，均有一定的优势；在情况3，当系统参数不确定并且存在外界时变干扰时，本发明方法响应时间上提升了5-6s左右，控制精度较其他两种方法分别提升了64.24％，61.35％，本发明方法具有良好的鲁棒性，有效提高了船用起重机作业的工作效率和安全性能。

表1.不同方法的性能比较

以上所述具体实施方案，对本发明的发明目的、技术方案和有益效果进行了进一步说明，以上实施例仅用于说明本发明的技术方案，而非对本发明创造保护范围的限制，本领域的普通技术人员应当理解，凡在本发明的技术方案进行修改、等同替换，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于自适应滑模变结构的船用起重机减摆控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：利用拉格朗日方程对船用起重机进行三自由度建模，分离系统可驱动部分与不可驱动部分；

S11：取小车的运动位移y_t、吊绳长度l及负载摆角θ作为广义状态变量q＝[y_t l θ]^T∈R³，取小车的拉力f_y和滚筒转动产生的升力f_M作为广义输入力F＝[f_y f_M 0]^T，根据拉格朗日方程：

式中，L为拉格朗日函数，且L＝T-K，T和K分别为船用起重机系统总动能与势能，

为广义状态变量的一阶导，整理得到系统动力学的一般形式：

式中，

为广义状态变量的二阶导，M(q)为系统惯性矩阵，且为对称正定阵，

为系统科里奥利力以及离心力矩阵，G(q)为系统重力矩阵，W(q)为海浪产生的扰动矩阵，表达式如下：

G(q)＝[G₁ G₂ G₃]^T (5)

W(q)＝[W₁ W₂ W₃]^T (6)

S12：基于起重机的欠驱动特性，分离状态变量为可驱动变量q₁∈R²(y_t,l)和不可驱动变量q₂∈R¹(θ)，将式(2)改写成分离后的形式如下：

式中，F₁＝(f_y,f_M)，Δ定义为系统内未建模扰动量，并假设Δ存在上界，

与

的表达式如下：

S2：根据S1得到的船用起重机动力学方程，将状态变量的误差函数引入到变结构滑模面，得到滑模变结构控制律；

S21：根据S12得到的系统可驱动部分(7)和不可驱动部分(8)，将式(8)代入式(7)整理得到：

式中，

设计的控制器最终目标是使负载的摆角为0°，即q_2d→0，同时，跟踪小车和吊绳的位置趋于目标位置，即q₁→q_1d，因此，定义误差向量e₁(t)与e₂(t)为：

e₁(t)＝[y_t(t)-y_dt(t) l(t)-l_d(t)]^T (13)

e₂(t)＝θ (14)

式中，y_dt(t)与l_d(t)为小车与吊绳的期望位置；为达到预期控制效果，同时保证当t→∞时，e₁(t)→0与e₂(t)→0；

S22：根据S21的推导与分析，对于船用起重机系统而言，一方面要求小车与吊绳快速达到期望位置，另一方面同时要消除负载产生的摆角；因此，定义的滑模面s函数应包含y_t、l及θ三个变量，定义如下：

式中，α＝diag(α₁,α₂)，β＝(β₁,0)^T，且α₁、α₂和β为正参数；

对式(15)求导得到：

令

整理得到关于

的表达式为：

由于

所以根据式(11)得到等效输入F₁为：

S3：采用非线性扩张状态观测器对系统未建模扰动进行估计补偿；

S31：由于S22中式(18)存在未建模扰动量Δ，所设计的控制律难以直接获取，采用非线性扩张状态观测器对其进行补偿；对式(7)进行处理后，得到：

式中，x₁＝l(t)，

x₃表示扩张的状态变量，u为系统输入，m_p为负载质量，h为起重机距母船重心的高度，φ为船体横摇运动，根据式(19)设计非线性扩张观测器如下：

式中，e为观测误差，z_i为扩张观测器的输出，其中i＝1,2,3，ζ_i和α为正参数，其中i＝1,2,3；函数fal(e,γ,δ)的作用为抑制信号抖振，具体表达式为：

式中，0＜γ＜1，δ＞0，通过选择合适的参数ζ_i，其中，i＝1,2,3，状态观测器(20)可以估计被扩张的状态变量，即z₃→Δ；因此，更新后的等效控制律F₁：

S4具体包括如下步骤：

S41：提出一种自适应机制来提高起重机的工作效率，将负载质量m_p等效成估计参数m，利用自适应律消除估计参数和负载实际质量的误差，使控制器对负载质量有一定的认知能力；将系统中负载质量参数m_p替换为估计参数m，定义误差矩阵M_e，C_1e，C_2e，G_e，W_e为：

式中，

cos_1-3＝cos_3-1＝cos(θ-φ),cos₁₊₃＝cos(φ+θ)，sin_3-1＝sin(θ-φ)，sin_1-3＝sin(φ-θ)，sin₁₊₃＝sin₃₊₁＝sin(φ+θ)，

基于上述推导，结合式(11)、(17)及(18)，通过运算得到引入估计参数的等效控制律为：

定义如下自适应律：

式中，λ为正增益常数，G_e1与G_e2为误差矩阵G_e的第1列和第2列，W_e1与W_e2为误差矩阵W_e的第1列和第2列，k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的表达式如下：

S42：为证明所设计控制律的渐进稳定性，定义非负Lyapunov函数：

对式(31)求导得：

将式(28)代入式(32)中，得到：

将式(33)中的

替换为式(29)定义的自适应律，整理得到：

由于矩阵

中a₁₁＝m_t+m_psin² _1-3，其中m_t为小车质量，且其行列式值

因此，矩阵

恒为正定矩阵；

根据Barbalat定理可知，对于任意正参数矩阵α，均存在

故s→0，所构建的滑模面渐进稳定。

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