CN114326432A - 一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，首先根据特种车辆三维模型建立特种车辆动力学模型；对每个支腿电机分别建立支腿电机模型；再设计基于ESO的ARC控制器；将特种车辆动力学模型导出生成MATLAB/Simulink子模块，作为特种车辆模块，在MATLAB/Simulink加入支腿电机模型，并结合设计的基于ESO的ARC控制器，在MATLAB/Simulink中搭建出上述控制器模块，利用交叉耦合控制，搭建特种车辆和支腿电机的控制仿真模块，对其赋予指令信号，通过调节控制器中的各个参数实现对特种车辆的快速调平。本发明提供的基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，有效的克服了各通道之间的耦合效应，满足了高精度的调平要求。

Description

一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法

技术领域

本发明涉及车辆调平技术领域，具体涉及一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法。

技术背景

对于特种车辆，除了车辆自身质量外，车辆上需加装各种功能的设备，一般情况，车辆上加装搭载的设备载荷比车辆底盘自身的质量要大。对于某些加装搭载的专用设备，需要在车辆上加支撑并调平后，设备才能正常工作。特种车辆多工作在恶劣环境中，比如车载雷达、天线、激光武器和火炮及车载DDFS作战平台等，由于设备随时需要更换位置，再次调整到水平状态的时间过长，想要充分发挥其作用，就必须具有高机动性能和快速反应性能。对于特种车辆来说调平时间、调平精度是调平系统优良的两个重要指标，采用汽车起重机调平方式已不能满足支撑的平稳性要求和快速调平的时间指标要求。

对于多缸同步系统控制的特种车辆，由于调平过程中系统存在复杂的外界干扰以及非线性因素，两缸的同步性既会影响双缸同步控制的精度，又可能破坏负载，因此必须考虑两侧电动缸的同步控制问题。要实现高精度同步控制，采用电动缸与支撑平台间的刚性联接，势必会增加各通道间的耦合效应，电机系统固有的非线性影响会更加显著，此时采用经典同步控制方法已不能满足高精度同步的要求。

发明内容

本发明的目的在于提供一种面向于特种车辆调平的基于交叉耦合控制的方法，有效的克服了各通道之间的耦合效应，满足了高精度的调平要求，同时采用联合仿真技术，可以更好的模拟出具体调平过程，以便于分析仿真过程中的动力学特性。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，包括以下步骤：

步骤1，建立特种车辆三维模型，在ADAMS中，根据特种车辆三维模型建立特种车辆动力学模型。

步骤2，对每个支腿电机分别建立支腿电机模型。

步骤3，根据支腿电机的模型，设计基于ESO的ARC控制器。

步骤4，将ADAMS中的特种车辆动力学模型导出生成MATLAB/Simulink子模块，作为特种车辆模块，在MATLAB/Simulink加入支腿电机模型，并结合设计的基于ESO的ARC控制器，在MATLAB/Simulink中搭建出上述控制器模块，利用交叉耦合控制，搭建特种车辆和支腿电机的控制仿真模块，对其赋予指令信号，通过调节控制器中的各个参数实现对特种车辆的快速调平。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：

(1)提升了特种车辆的准备时间，有效的解决了经典同步控制无法满足大偏载、强耦合、强非线性及参数时变等环境下的控制精度要求的问题。

(2)采用MATLAB与ADAMS联合仿真技术，建立了与实际工况更为接近的特种车辆模型，可以得到车辆调平过程中的动态响应结果，为修改车辆控制方案提供意见。

(3)经过与其余学者的研究结果对比分析，本发明提供的仿真方法计算所得结果较为准确可靠，解决了现有技术的局限性。

附图说明

图1是Simulink与ADAMS数据交换原理图。

图2是交叉耦合控制的原理示意图。

图3是特种车辆示意图。

图4是支腿分布示意图。

图5是支腿电机模型示意图。

图6是控制模块具体模块设置图。

图7是两支腿的控制方案总体设置图。

图8是ADAMS生成的系统子模块图。

图9是Simulink与ADAMS联合仿真的系统模型图。

图10是支腿一期望(实)与输出(虚)轨迹图。

图11是支腿一误差曲线图。

图12是支腿一受力曲线图。

图13是支腿二期望(实)与输出(虚)轨迹图。

图14是支腿二误差曲线图。

图15是支腿二受力曲线图。

图16是支腿三期望(实)与输出(虚)轨迹图。

图17是支腿三误差曲线图。

图18是支腿三受力曲线图。

图19是支腿四期望(实)与输出(虚)轨迹图。

图20是支腿四误差曲线图。

图21是支腿四受力曲线图。

图22是支腿一与支腿三之间的误差曲线图。

图23是支腿二与支腿四之间的误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～图9，本发明所述的一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，具体如下：

步骤1，建立特种车辆三维模型，根据特种车辆三维模型建立特种车辆动力学模型,具体步骤如下：

本发明所考虑的重载大型特种车辆，车辆进行适当简化，其主要由大梁、悬架、轮胎、支腿和上装部件组成，使用Solidworks进行绘图。

调平部分三维模型主要有支腿、车体、电动缸三部分组成，其余结构均予以适当简化；调平方案为四点支撑，由车辆支撑支腿进行调平，将我们的车架与其余各部分包括上装部件通过Solidworks进行装配，特种车辆的模型示意图如图3所示。

将三维模型导入ADAMS中添加约束。电动缸与车辆支腿使用固定副连接；支腿电动缸中采用移动副连接；轮胎及支腿与地面之间均采用接触力连接；且车辆支腿给予位移驱动。其中车体与地面，轴向旋转2.5°，径向旋转5°，以此模拟在不平整路面调平的环境，车辆四个支腿分布如图4所示。

步骤2，对每个支腿电机分别建立模型，步骤如下：所述电机采用永磁同步电机，利用matlab/simulink建立支腿电机模型，各支腿电机模型相同。电机模型搭建如图5所示。

步骤3，根据支腿电机的模型，设计基于ESO的ARC控制器，步骤如下：

对于一个电流控制的永磁同步电机，将其作为系统，惯性载荷的动力学方程为：

其中，y表示角位移，

表示角速度，

表示角加速度，m表示惯性载荷，K表示转矩常数，u为控制器输入，B表示粘滞摩擦系数，

表示其他未建模扰动，包括非线性摩擦、外部扰动和未建模动力学；t表示时间；

将式(1)写成状态空间形式，如下：

其中，x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量，x₁表示位置向量，x₂表示速度向量，

表示加速度，中间参数向量θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝K/m，θ₂＝B/m；总扰动

假设1：θ满足：

θ_min≤θ≤θ_max (3)

其中，θ最小值θ_min＝[θ_1min,θ_2min]^T，θ最大值θ_max＝[θ_1max,θ_2max]^T是已知的，并且d(x,t)是有界的，此外我们还假设θ_1min＞0；

参数适应：

令

表示θ的估计值，

表示估计误差，

不连续的投影定义为：

其中，·_i表示向量·的第i个分量，i＝1,2；两个向量之间的<运算，是根据向量对应的元素来执行的；

通过使用自适应律得

的导数

其中，Γ＞0为对角自适应速率矩阵，τ为待合成的自适应函数，对于任意自适应函数τ，式(5)中使用的投影映射保证，如式(6)和式(7)：

P1:

P2:

设计控制器：

1)设计反馈线性化控制器：定义一组切换函数，如下

其中，z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是系统期望跟踪的位置指令，z₂表示系统速度误差，k₁为反馈增益，

是期望位置指令对时间的导数，

位置跟踪误差的导数，x_2eq为x₂的期望，由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，使z₁小或者收敛为零等价于使z₂小或者收敛为零，其中s表示拉普拉斯算子；因此，剩下的设计就是使z₂尽可能小，通过式(8)和式(2)，得到：

基于系统模型，设计的反馈线性化控制器为：

其中θ_1n为θ₁的标称值，θ_2n为θ₂的标称值，反馈增益k₂＞0；θ_1n＝θ₁；

如果系统模型已知，即θ_1n＝θ₁，θ_2n＝θ₂，d(x,t)＝0，则所设计的反馈线性化控制器(10)可获得渐进跟踪性能；但是，事实上，所有的物理系统都有不同的建模不确定性，因此，θ_1n≠θ₁，θ_2n≠θ₂，d(x,t) ≠0；

2)基于ESO的反馈线性化控制器设计：为了处理反馈线性化控制中的建模不确定性，使用ESO，首先，将式(2)重写为：

其中，Δ(t)＝(θ1₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x,t)视为广义扰动，扩展Δ(t)作为附加的状态变量，即定义x₃＝Δ(t)，其中x₃是扩展的系统状态，设h(t)表示Δ(t)的时间导数，则式(11)被描述为：

从式(12)可知，它是可观测的；因此，线型ESO构造为：

其中，

是状态估计向量，ω_o为ESO的带宽，ω_o＞0；

为了分析ESO的特性，推导式(13)中的特征多项式λ_o(l)为：

λ_o(l)＝(l+ω_o)³ (14)

其中l表示特征多项式中单个特征值。设

表示估计误差，j＝1,2,3，

表示

的导数，由式(12)和(13)可知，观测器估计误差为：

定义，中间变量

中间变量向量

则

的导数

为：

其中，A为Hurwitz矩阵，由式(15)以及矩阵M＝[0,0,1]^T推导得出；

引理1：假设h(t)有界，则状态估计总是有界的，并且存在一个常数σ_j＞0和一个有限的时间T₁＞0，使式(17)对正整数c成立；

在状态估计

的基础上，提出一种带ESO的反馈线性化控制器：

则z₂写成：

在引理1的基础上，经过有限时间T₁，z₂满足：

其中，时间差值Δt＝t-T₁；

式(20)表明，有限时间T₁过后，所提出的带ESO的反馈线性化控制器具有指数收敛的暂态性能，最终跟踪误差以已知形式通过某些控制器参数自由调整；从引理1可以看出，大的ω_o可以减小σ₃的界。因此，σ₃/k₂以及z₂(∞)(跟踪误差最终指标)的界可以通过增加σ₃或k₂来任意减小。因此，增加这些增益将提高闭环系统的带宽。但是，如果控制器和观测器的带宽过高，会由于忽略测量噪声和高频动态等因素而不稳定或恶化。因此，实际中控制器(18)所能达到的精度是有限的。该控制器的另一个问题是，系统中存在的不确定性没有被明确地单独考虑，即参数不确定性和非结构不确定性被认为是相同的，并由ESO共同估计。当参数的标称值与真实值相差甚远时，参数的不确定性可能导致扩展状态x₃非常大。此外，众所周知，残差估计误差将会很大，跟踪性能将会很差。

3)自适应鲁棒控制器设计：为了进一步提高性能，有必要引入不同的机制分别处理参数不确定性和非结构不确定性。ARC控制器既可以通过自适应控制处理参数不确定性，也可以通过确定性鲁棒反馈控制处理非结构不确定性，并采用基于投影的自适应律将这两种控制技术统一起来。根据(9)，得到的ARC控制器为：

u_s＝u_s1+u_s2,u_s1＝-k₂z₂ (21)

其中u_a为模型补偿项、u_s表示鲁棒控制函数、u_s1表示线型反馈项、u_s2表示非线性控制反馈项；

把式(21)带入式(9)，得到：

中间向量

式(6)中的假设1和P1存在u_s2满足以下两个条件，其中ε为一个正的设计参数：

z₂u_s2≤0 (24)

为了选择一个u_s2来满足式(24)、式(25)这样的约束，设g为任意满足条件的光滑函数：

其中，中间变量θ_M＝θ_max-θ_min，并且δ_d是d(x,t)的上界；那么选出一个u_s2来满足式(24)和式(25)的约束条件：

其中k_s被认为是一个非线性反馈增益；

定理1：取式(5)中的自适应函数τ为：

并定义中间变量λ＝2k₂，那么ARC法则式(21)保证：一般情况下，所有信号都是有界的，并且正定函数V_s被定义为：

其上界为：

其中，v(0)表示一中间函数在t＝0时的值；

仔细考虑一下鲁棒控制律和条件，其应该是一个高增益反馈律，它使用不确定行的最大界。在实际应用中，由于测量噪声和未建模的动态，高增益反馈控制很难实现。因此，高增益反馈控制可能会导致实际系统不稳定。为了避免这个实际问题，必须采用有限增益和较大的ε。这些参数的选择将使结果(30)没有什么意义。

但是，从前文，已经证明了ESO具有一定的能力来估计具有给定估计误差的扰动，即引理1。一种直观的想法是将自适应律和ESO相结合，以处理(2)中存在的不同不确定性。采用参数自适应减少结构化不确定性，剩余的不确定性由ESO估计，并在前向信道中进行补偿。参数估计可以最大限度的减小参数不确定性。

4)基于ESO的自适应鲁棒控制器设计：为了在无高增益反馈的情况下控制来自各种不确定因素的干扰，提出了一种带ESO的自适应鲁棒控制器设计：

扩展后的系统模型为：

其中，

H(t)表示x₃的时间导数；

根据式(31)、式(32)中的估计状态

可由ESO更新：

通过将得到的控制律式(31)应用于式(9)，可得：

与引理1相似，当H(t)有界时，也存在常数γ_i＞0和有限时间T₂＞0使式(35)对正整数n成立：

由于缺乏γ₃的精确界，像式(25)这样的控制精度水平无法预先指定，从而导致式(31)中的非线性控制反馈项u_s2满足比式(25)更宽松的条件，即：

u_s2取为：

u_s2＝-z₂/(4ε) (37)

假设H(t)有界，并让参数估计用自适应律式(5)更新，其中τ如式(28)，则控制律式(31)、式(33)和式(37)一起保证所有信号都有界；此外所提出的控制律(31)保证在有限时间后，正定函数V_s的界为：

其中，时间差值T＝t-T₂；

证明：因为t＜T₂，从式(34)和式(37)，我们有：

与引理1相似，状态估计误差总是有界的；因此，当t＜T₂时，z₂总是有界的；

若t≥T₂，基于式(35)和式(37)中的u_s2保证式(36)为真；因此，V_s的时间导数满足

对上述不等式以T₂到t为界积分，获得：

因此，基于式(6)和式(35)的V_s∈L_∞很容易保证控制输入是有界的，L_∞表示V_s所属的一个无穷集合。

步骤4，将ADAMS中的特种车辆动力学模型导出生成MATLAB/Simulink子模块，作为特种车辆模块，在MATLAB/Simulink加入支腿电机模型，并结合设计的基于ESO的ARC控制器，在MATLAB/Simulink中搭建出上述控制器。设计交叉耦合控制方案，因是交叉耦合控制，所以不仅需要支腿的输出做反馈，同时也需要同侧支腿之间的误差做反馈信号，由此来达到更好更高的控制精度。图6为控制模块具体模块设置，ADAMS中的反馈值，在此模块中做差而后进入控制器。最后反馈到支腿中。图7为两支腿的控制方案总体设置。由ADAMS生成MATLAB/Simulink子模块，该模块即为系统模块；随后搭建MATLAB/Simulink控制模块；赋予合适的指令信号，通过调节交叉耦合控制器中的各个参数得到理想的控制效果。

本发明的基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法可通过以下仿真进一步说明：

本发明所考虑的重载特种车辆全重大约100吨，其中平台质量大约60吨，上装质量大约40吨。平台长度为17±0.15米，宽度为3米，高度为4米(含上装)。特种车辆进行适当简化，其主要由大梁、悬架、轮胎、支腿和上装部件组成，使用Solidworks进行绘图。车辆支腿的设计行程为650mm，其中空载行程为400，负载行程为250mm；支腿前后距离为8480mm，左右距离为2800mm。

由电机带动支腿进行一个曲线规划，因此，我们可以从支腿轨迹规划中反推出电机的转速规划曲线。先从支腿的轨迹规划曲线，反推出支腿的速度规划曲线，再根据

可得到各段速度曲线所对应的电机转速曲线(P为导程，n₁/n₂为减速比。)由此可得最终的电机转速曲线，以此作为输入。

使用Simulink与ADAMS进行联合仿真，首先由ADAMS生成Simulink子模块，该模块即为系统模块，如图8所示。输入为车辆支腿位移输入；输出为各支腿受力、车辆支腿位移。搭建Simulink模型如图9所示，给定期望位移曲线，由matlab输入到ADAMS模块中。

依据以上建模方式，对系统进行仿真，各支腿位置示意如图4所示，仿真结果如图10～23所示。对结果分析结果如下：仿真过程中各支腿与其规划的理想曲线之间误差最大不超过10mm，电动缸最大伸出长度为650mm，同侧交叉耦合控制支腿控制效果好，两只腿行程之间的误差最大不超过0.7mm。各支腿在触底瞬间，接触力产生波动，随后平稳波动，总体大小在安全范围内，支腿1/2受力不超过490KN，支腿受力不超过224KN。车辆最终调平结果误差在0.5°以内。

综上所述，本发明提供的基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，可以有效的在保证高机动性能和快速反应性能的情况下，是车辆完成高精度的调平，对研究车辆调平方案具有指导意义。

Claims (4)

1.一种基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，在特种车辆的前部和后部各设有两个支腿，每个支腿受一个电机控制，通过控制支腿的伸缩快速调平特种车辆，其特征在于，步骤如下：

步骤1，建立特种车辆三维模型，在ADAMS中，根据特种车辆三维模型建立特种车辆动力学模型；

步骤2，对每个支腿电机分别建立支腿电机模型；

步骤3，根据支腿电机模型，设计基于ESO的ARC控制器；

步骤4，将ADAMS中的特种车辆动力学模型导出生成MATLAB/Simulink子模块，作为特种车辆模块，在MATLAB/Simulink加入支腿电机模型，并结合设计的基于ESO的ARC控制器，在MATLAB/Simulink中搭建出上述控制器，利用交叉耦合控制，搭建特种车辆和支腿电机的控制仿真模块，对控制仿真模块赋予指令信号，通过调节控制器中的各个参数实现对特种车辆的快速调平。

2.根据权利要求1所述的基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，其特征在于，步骤1中，建立特种车辆三维模型，在ADAMS中，根据特种车辆三维模型建立特种车辆动力学模型，具体如下：

对特种车辆进行简化，将其简化为由大梁、悬架、轮胎、支腿和上装部件组成，使用Solidworks进行绘图，得到特种车辆三维模型；

将特种车辆三维模型导入ADAMS中添加约束，得到特种车辆动力学模型。

3.根据权利要求2所述的基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，其特征在于，步骤2中，对每个支腿电机分别建立支腿电机模型，具体如下：

所述电机采用永磁同步电机，利用matlab/simulink建立支腿电机模型，各支腿电机模型相同。

4.根据权利要求3所述的基于交叉耦合控制的特种车辆快速调平方法，其特征在于，步骤3中，根据支腿电机的模型，设计基于ESO的ARC控制器，具体如下：

对于一个电流控制的永磁同步电机，将其作为系统，惯性载荷的动力学方程为：

其中，y表示角位移，

表示角速度，

表示角加速度，m表示惯性载荷，K表示转矩常数，u为控制器输入，B表示粘滞摩擦系数，

表示其他未建模扰动，包括非线性摩擦、外部扰动和未建模动力学；t表示时间；

将式(1)写成状态空间形式，如下：

其中，x＝[x₁，x₂]^T表示位置和速度的状态向量，x₁表示位置向量，x₂表示速度向量，

表示加速度，中间参数向量θ＝[θ₁，θ₂]^T，其中θ₁＝K/m，θ₂＝B/m；总扰动

假设1：θ满足：

θ_min≤θ≤θ_max (3)

其中，θ最小值θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T，θ最大值θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T是已知的，并且d(x，t)是有界的，此外我们还假设θ_1min＞0；

参数适应：

令

表示θ的估计值，

表示估计误差，

不连续的投影定义为：

其中，·_i表示向量·的第i个分量，i＝1，2；两个向量之间的＜运算是根据向量对应的元素来执行的；

通过使用自适应律，得

的导数

其中，Γ＞0为对角自适应速率矩阵，τ为待合成的自适应函数，对于任意自适应函数τ，式(5)中使用的投影映射保证，如式(6)和式(7)：

P1：

P2：

设计控制器：

1)设计反馈线性化控制器：定义一组切换函数，如下

其中，系统的跟踪误差z₁＝x₁-x_1d，x_1d是系统期望跟踪的位置指令，z₂表示系统速度误差，k₁为反馈增益，

是期望位置指令对时间的导数，

位置跟踪误差的导数，x_2eq为x₂的期望，由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，使z₁小或者收敛为零等价于使z₂小或者收敛为零，其中s表示拉普拉斯算子；因此，剩下的设计就是使z₂尽可能小，通过式(8)和式(2)，得：

基于系统模型，设计的反馈线性化控制器为：

其中θ_1n为θ₁的标称值，θ_2n为θ₂的标称值，反馈增益k₂＞0；θ_1n＝θ₁；

如果系统模型已知，即θ_1n＝θ₁，θ_2n＝θ₂，d(x，t)＝0，则所设计的反馈线性化控制器式(10)能够获得渐进跟踪性能；但是，事实上，所有的物理系统都有不同的建模不确定性，因此，θ_1n≠θ₁，θ_2n≠θ₂，d(x，t)≠0；

2)基于ESO的反馈线性化控制器设计：为了处理反馈线性化控制中的建模不确定性，使用ESO，首先，将式(2)重写为：

其中，Δ(t)＝(θ₁-θ_1n)u-(θ₂-θ_2n)x₂-d(x，t)视为广义扰动，扩展Δ(t)作为附加的状态变量，即定义扩展的系统状态x₃＝Δ(t)，设h(t)表示Δ(t)的时间导数，则式(11)被描述为：

从式(12)可知，它是可观测的；因此，线型ESO构造为：

其中，

是状态估计向量，ω_o＞0被认定为是ESO的带宽；

为了分析ESO的特性，推导式(13)中参数矩阵的特征多项式λ_o(l)为：

λ_o(l)＝(l+ω_o)³ (14)

其中l表示特征多项式中单个特征值；设估计误差

下标j＝1，2，3，

表示

的导数，由式(12)和(13)可知，观测器估计误差为：

定义，中间变量

中间变量向量

则

的导数

为：

其中，A为Hurwitz矩阵，由式(15)以及矩阵M＝[0，0，1]^T推导得出；

引理1：假设h(t)有界，则状态估计总是有界的，并且存在一个常数σ_j＞0和一个有限的时间T₁＞0，使式(17)对正整数c成立；

在状态估计

的基础上，提出一种带ESO的反馈线性化控制器：

则z₂写成：

在引理1的基础上，经过有限时间T₁，z₂满足：

其中，时间差值Δt＝t-T₁；

式(20)表明，有限时间T₁过后，所提出的带ESO的反馈线性化控制器具有指数收敛的暂态性能，最终跟踪误差以已知形式通过某些控制器参数自由调整；

3)设计自适应鲁棒控制器：

根据式(9)，得到的ARC控制器为

u_s＝u_s1+u_s2，u_s1＝-k₂z₂ (21)

其中u_a为模型补偿项、u_s表示鲁棒控制函数、u_s1表示线型反馈项、u_s2表示非线性控制反馈项；

把式(21)带入式(9)，得到：

中间向量

式(6)中的假设1和P1存在u_s2满足以下两个条件，其中ε为一个正的设计参数：

z₂u_s2≤0 (24)

为了选择一个u_s2来满足式(24)、式(25)这样的约束，设g为任意满足条件的光滑函数：

其中，中间变量θ_M＝θ_max-θ_min，并且δ_d是d(x，t)的上界；那么选出一个u_s2来满足式(24)和式(25)的约束条件：

其中k_s被认为是一个非线性反馈增益；

定理1：取式(5)中的自适应函数τ为：

并定义中间变量λ＝2k₂，那么ARC法则式(21)保证：一般情况下，所有信号都是有界的，并且正定函数V_s被定义为：

其上界为：

其中，v(0)表示一中间函数在t＝0时的值；

4)为了在无高增益反馈的情况下控制来自各种不确定因素的干扰，提出了一种带ESO的自适应鲁棒控制器设计：

扩展后的系统模型为：

其中，

H(t)表示x₃的时间导数；

根据式(31)、式(32)中的估计状态

由ESO更新：

通过将得到的控制律式(31)应用于式(9)，得：

与引理1相似，当H(t)有界时，也存在常数γ_i＞0和有限时间T₂＞0，使式(35)对正整数n成立：

由于缺乏γ₃的精确界，像式(25)这样的控制精度水平无法预先指定，从而导致式(31)中的非线性控制反馈项u_s2满足比式(25)更宽松的条件，即：

u_s2取为：

u_s2＝-z₂/(4s) (37)

假设H(t)有界，并让参数估计用自适应律式(5)更新，其中τ如式(28)，则控制律式(31)、式(33)和式(37)一起保证所有信号都有界；此外所提出的控制律(31)保证在有限时间后，正定函数V_s的界为：

其中，时间差值T＝t-T₂；

证明：因为t＜T₂，从式(34)和式(37)，我们有：

与引理1相似，状态估计误差总是有界的；因此，当t＜T₂时，z₂总是有界的；

若t≥T₂，基于式(35)和式(37)中的u_s2保证式(36)为真；因此，V_s的时间导数满足

对上述不等式以T₂到t为界积分，获得：

因此，基于式(6)和式(35)的V_s∈L_∞很容易保证控制输入是有界的，L_∞表示V_s所属的一个无穷集合；

v(0)表示一中间函数在t＝0时的值。

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