CN108710302B - 无源性全方位移动机器人轨迹跟踪自抗扰控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及全方位移动机器人轨迹跟踪的控制，为实现全方位移动机器人在动力学模型不确定及外部扰动同时存在的条件下的精确控制，避免求逆运算，本发明采用的技术方案是，无源性全方位移动机器人轨迹跟踪自抗扰控制方法，采用优化的降阶扩张状态观测器估计全方位移动机器人系统的总扰动，包括未建模部分、参数不确定性及外部扰动，并利用基于全方位移动机器人系统无源特性设计的无源性控制器来补偿观测器所估计的扰动，实现轨迹跟踪控制，其中，利用扩张状态观测器主动从被控对象的输入输出信号中把扰动的信息提炼出来，从而在扰动影响系统之前用控制信号将干扰消除。本发明主要应用于移动机器人轨迹跟踪与控制场合。

Description

无源性全方位移动机器人轨迹跟踪自抗扰控制方法

技术领域

本发明涉及一种三轮全方位移动机器人轨迹跟踪的控制问题。针对全方位移动机器人系统存在的外部扰动及模型参数不确定的问题，利用机器人动力学系统本身的结构特性，提出一种基于全方位移动机器人动力学系统无源特性的自抗扰控制方法。

背景技术

全方位移动机器人是一种具有完全的3个自由度，可以同时且独立得进行平移和旋转运动的移动机器人，非常适合工作在空间狭窄有限、对机器人机动性要求高的场合中，因此越来越被广泛应用。移动机器人的轨迹跟踪是移动机器人自主导航的重要组成部分。具有很好地轨迹跟踪能力的移动机器人可以更高效、准确地完成工作。由于全方位移动机器人系统是非常复杂的非线性、强耦合系统，很难建立准确的系统模型，因此其轨迹跟踪控制成为机器人研究领域的一个具有挑战性的热点问题。

针对移动机器人的轨迹跟踪问题，国内外已经有众多学者进行了研究。日本佐贺大学学者研究了解析加速度控制方法、比例积分微分(PID)控制方法、模糊模型法和随机模糊伺服法四种经典控制方法(会议：Second International Conference on Knowledge-Based Intelligent Electronic SystemsSecond International Conference onKnowledge-Based Intelligent Electronic Systems；著者：Watanabe K；出版年月：1998；文章题目：Control of an omnidirectional mobile robot；页码：51-60)；美国俄亥俄大学学者研究了一种基于沿期望轨迹的线性化及逆动力学的轨迹线性化控制方法，并通过仿真说明该方法的控制效果(会议：American Control Conference；著者：Y.Liu,X.Wu,J.Zhu,J.Lew；出版年月：2003；文章题目：Omni-directional mobile robot controllerdesign by trajectory linearization；页码：3423-3428)；康奈尔大学学者针对理想的全方位移动机器人研究了一种近似最佳的控制算法，并利用仿真验证了算法的有效性(期刊：Robotics&Autonomous Systems；著者：T.Kalmár-Nagy,R.D’Andrea,P.Ganguly；出版年月：2004；文章题目：Near-optimal dynamic trajectory generation and control of anomnidirectional vehicle；页码：47-64)；墨西哥学者研究了一种基于动力学模型的计算转矩控制方法(会议：International Conference on Electrical and ElectronicsEngineering IEEE；著者：Vazquez,J.A.,M.Velasco-Villa；出版年月：2007；文章题目：Computed-Torque Control of an Omnidirectional Mobile Robot；页码：274-277)；蒂宾根大学学者研究了一种模型预测控制算法(会议：International Conference onRobotics and Automation；著者：K.Kanjanawanishkul,A.Zell；出版年月：2009；文章题目：Path following for an omnidirectional mobile robot based on modelpredictive control；页码：3341-3346)。

发明内容

当前各种控制方法均有各自的局限性。目前大多数算法都是基于控制误差来消除系统的干扰，是一种被动的控制，模型依赖性较强，且都忽略了机器人系统本身的结构特性，没有充分利用机器人本身的耗散性。在这些方法中，为了引入系统阻尼，往往需要较大的微分反馈增益，但同时也容易引入高频噪声。另外，传统的线性扩张状态观测器需要对惯性矩阵进行求逆运算，复杂且耗时。为克服现有技术的不足，避免求逆运算，实现全方位移动机器人在动力学模型不确定及外部扰动同时存在的条件下的精确控制，本发明采用的技术方案是，无源性全方位移动机器人轨迹跟踪自抗扰控制方法，采用优化的降阶扩张状态观测器估计全方位移动机器人系统的总扰动，包括未建模部分、参数不确定性及外部扰动，并利用基于全方位移动机器人系统无源特性设计的无源性控制器来补偿观测器所估计的扰动，实现轨迹跟踪控制，其中，利用扩张状态观测器主动从被控对象的输入输出信号中把扰动的信息提炼出来，从而在扰动影响系统之前用控制信号将干扰消除。

具体步骤细化如下：

步骤一：

建立全方位移动机器人系统动力学模型：定义世界坐标系{W}和移动坐标系{M}，并用一个未知向量表示系统的总扰动，包括未建模部分、参数的不确定性以及外部扰动等，从而得到含有未知总扰动的全方位移动机器人动力学模型：

式中，q＝[x y θ]^T表示世界坐标系下机器人的位姿，[·]^T表示矩阵的转置，x、y和θ分别表示三个自由度的方向，M∈R^3×3表示一个惯性矩阵，∈表示集合间的“属于”关系，R^{3 ×3}表示3行3列的实数矩阵，C∈R^3×3表示离心力矩和哥氏力矩；D∈R^3×3为正定对角矩阵,

表示系统的耗散力；F∈R^3×1表示系统总扰动；τ＝Bu∈R^3×1表示虚拟控制输入，B∈R^3×3表示输入矩阵；

对全方位移动机器人系统的无源性进行分析过程如下：在动力学方程(1)中，惯性矩阵M是对称且正定的，并且M和M^-1是一致有界的，另外，C和

均具有反对称性质，即满足x^TCx＝0，

其中x∈R^3×1；

开环动力系统(1)的总能量为：

时间导数为：

另外，由于D为正定矩阵，根据无源性的定义可知从控制输入τ到

是严格无源的；

步骤二：

根据动力学模型设计优化降阶扩张状态观测器：定义变量

其导数为

其中

定义状态变量

x₂＝f(t)＝-F，x_i∈R^3×1(i＝1,2)，则系统(1)的状态空间描述为：

令

为各状态的估计值，

为各状态的观测误差，则优化的降阶扩张状态观测器的方程为：

其中β_i(i＝1,2)为观测器的增益矩阵，

ω_o为观测器的带宽且ω_o>0，是扩张状态观测器仅有的一个需要调节的参数，由于

是x₂的估计值，故总扰动的估计值

假设总扰动的一阶导数

是有界的，则对于任意的ω_o>0，存在一个常向量σ＝[σ₁ σ₂]^T∈R^2×1，且σ_i>0(i＝1,2)，使得在有限时间内，估计误差

中的每个元素满足：

即扩张状态观测器的估计误差是有界的，稳定性证明过程如下：

由式(4)和式(5)可得观测器估计误差方程：

令

得

其中ε＝[ε₁₁ ε₁₂ ε₁₃ … ε₂₃]^T∈R^6×1，并且

I₃∈R^3×3表示3阶单位矩阵，0₃∈R^3×3表示3阶零矩阵；

解方程(7)得到：

令：

其中μ＝[μ₁₁ μ₁₂ μ₁₃ … μ₂₃]^T∈R^6×1，由于f(t)是有界的，即|f_i(t)|<γ(i＝1,2,3)，其中γ是一个正数，因此：

其中|μ(t)|表示各元素的绝对值组成的向量，γ＝[γ γ γ]^T∈R^3×1是一个正常向量；

由于A_o是赫尔维茨的，因此存在一个有限的时间T₁>0，使得：

其中k>6且为一个正整数，

由式(10)和(11)可知，对于所有的t≥T₁都有：

结合式(11)，得到对于所有t≥T₁都有：

由式(8)，(10)和(13)可得：

又因为

所以有以下不等式对于所有t≥T₁均满足：

其中：

从式(15)可以看出，ESO的估计误差是有界的，并且估计误差随着观测器带宽的增加而减小，然而，观测器的带宽不可能无限增大，因此，估计误差也只能是收敛于一定范围内；

步骤三：

设计无源性控制器：无源性控制器由两部分组成，一部分用于补偿系统扰动，一部分用于机器人的轨迹跟踪控制；

扰动补偿部分设计如下：

基于无源性的轨迹跟踪部分设计如下：

其中，e＝q-q_d为跟踪误差，q_d＝[x_d y_d θ_d]^T为机器人期望位姿，

Λ∈R^3×3为一个对角正定矩阵，v∈R^3×1为一个新的控制输入；

闭环误差动力学方程为：

其中

为一个辅助变量；

原始的能量函数被修改为：

为了实现稳定的轨迹跟踪的目的，系统中需引入阻尼，因此选取：

v＝-K_ds (20)

所以，基于无源性的轨迹跟踪控制部分设计为：

最终，控制律为：

式中，K_p∈R^3×3，K_d∈R^3×3为控制器的控制增益，均为正定对角矩阵；

结合(1)和(22)得闭环系统误差动力学方程：

其中

由于扩张状态观测器的估计误差是有界的，则

是有界的；

选取李雅普诺夫函数为：

分别定义(·)_M和(·)_m为矩阵(·)的最大特征值和最小特征值，向量范数定义为

则该李雅普诺夫函数满足：

对李雅普诺夫函数(24)求导可得：

进一步推导得：

设Λ＝diag(λ,λ,λ)，结合不等式组(25)并利用柯西不等式，可得：

假设

将以上不等式两侧同时除以

得：

其中

定义

则有：

其中

得：

由于-γt≤0，则e^-γt∈(0,1]，不等式(31)右侧取最大值，则有

因此：

||s||≤α₁+α₂||w|(33)

其中

又因为||w||有界，所以||s||有界，从而e和

有界，即闭环系统有界输入有界输出稳定。

本发明的特点及有益效果是：

针对全方位移动机器人的轨迹跟踪控制中存在的外部扰动及模型参数不确定的问题，本发明采用基于机器人系统无源特性的自抗扰控制方法进行了研究。该方法利用扩张状态观测器对控制系统的扰动进行有效的估计，并利用控制器对扰动进行补偿，同时利用无源性方法进行轨迹跟踪控制，从而提高了系统的鲁棒性。此外，该控制算法较为简单，计算量小，且控制器保留了系统的耗散项，大大降低了对微分反馈的要求，可以有效减少微分引起的高频干扰。仿真实验表明，该方法对全方位移动机器人轨迹跟踪控制系统中存在的干扰具有很好的鲁棒性，当扰动发生时，系统能快速恢复到稳定状态。

附图说明：

图1是本发明中全方位移动机器人的模型示意图。

图2是全方位移动机器人正方形轨迹跟踪控制仿真效果图，图中：

a是平面轨迹曲线；

b是各方向轨迹追踪曲线；

c是各方向轨迹跟踪误差变化曲线；

d是扩张状态观测器对总扰动的估计值变化曲线；

e是控制输入变化曲线；

图3是全方位移动机器人圆形轨迹跟踪控制仿真效果图，图中：

a是平面轨迹曲线；

b是各方向轨迹追踪曲线；

c是各方向轨迹跟踪误差变化曲线；

d是扩张状态观测器对总扰动的估计值变化曲线；

e是控制输入变化曲线。

具体实施方式

基于无源性的全方位移动机器人轨迹跟踪的自抗扰控制方法。该方案采用扩张状态观测器估计系统的总扰动，包括未建模部分、参数不确定性及外部扰动，并利用基于全方位移动机器人系统无源特性设计的无源性控制器来补偿观测器所估计的扰动，实现精确轨迹跟踪控制的目标。扩张状态观测器会主动从被控对象的输入输出信号中把扰动的信息提炼出来，从而可以在扰动影响系统之前用控制信号将干扰消除，本方案是一种主动的消除扰动的控制。无源性控制器充分利用了系统本身的结构特性，保留系统中的耗散力，减少了对微分反馈的需求，从而有效避免了系统高频干扰的引入。此外，本方案计算式简单，精确模型依赖度低，在实际工程应用中易于实现。

本发明采用的技术方案是，基于无源性的全方位移动机器人轨迹跟踪的自抗扰控制方法。步骤如下：

步骤一：

建立全方位移动机器人系统动力学模型：定义世界坐标系{W}和移动坐标系{M}，并用一个未知向量表示系统的总扰动，包括未建模部分、参数的不确定性以及外部扰动等，从而得到含有未知总扰动的全方位移动机器人动力学模型：

式中，q＝[x yθ]^T表示世界坐标系下机器人的位姿，[·]^T表示矩阵的转置，x、y和θ分别表示三个自由度的方向，M∈R^3×3表示一个惯性矩阵，∈表示集合间的“属于”关系，R^3×3表示3行3列的实数矩阵，C∈R^3×3表示离心力矩和哥氏力矩；D∈R^3×3为正定对角矩阵,

表示系统的耗散力；F∈R^3×1表示系统总扰动；τ＝Bu∈R^3×1表示虚拟控制输入，B∈R^3×3表示输入矩阵；

对全方位移动机器人系统的无源性进行分析过程如下：在动力学方程(1)中，惯性矩阵M是对称且正定的，并且M和M^-1是一致有界的，另外，C和

均具有反对称性质，即满足x^TCx＝0，

其中x∈R^3×1；

开环动力系统(1)的总能量为：

时间导数为：

另外，由于D为正定矩阵，根据无源性的定义可知从控制输入τ到

是严格无源的；

步骤二：

根据动力学模型设计优化降阶扩张状态观测器：定义变量

其导数为

其中

定义状态变量

x₂＝f(t)＝-F，x_i∈R^3×1(i＝1,2)，则系统(1)的状态空间描述为：

令

为各状态的估计值，

为各状态的观测误差，则优化的降阶扩张状态观测器的方程为：

其中β_i(i＝1,2)为观测器的增益矩阵，

ωo为观测器的带宽且ωo>0，是扩张状态观测器仅有的一个需要调节的参数，由于

是x₂的估计值，故总扰动的估计值

假设总扰动的一阶导数

是有界的，则对于任意的ωo>0，存在一个常向量σ＝[σ₁ σ₂]^T∈R^2×1，且σ_i>0(i＝1,2)，使得在有限时间内，估计误差

中的每个元素满足：

即扩张状态观测器的估计误差是有界的，稳定性证明过程如下：

由式(4)和式(5)可得观测器估计误差方程：

令

得

其中ε＝[ε₁₁ ε₁₂ ε₁₃ … ε₂₃]^T∈R^6×1，并且

I3∈R^3×3表示3阶单位矩阵，0₃∈R^3×3表示3阶零矩阵；

解方程(7)得到：

令：

其中μ＝[μ₁₁ μ₁₂ μ₁₃ … μ₂₃]^T∈R^6×1，由于f(t)是有界的，即|f_i(t)|<γ(i＝1,2,3)，其中γ是一个正数，因此：

其中|μ(t)|表示各元素的绝对值组成的向量，γ＝[γ γ γ]^T∈R^3×1是一个正常向量；

由于A_o是赫尔维茨的，因此存在一个有限的时间T₁>0，使得：

其中k>6且为一个正整数，

由式(10)和(11)可知，对于所有的t≥T₁都有：

结合式(11)，得到对于所有t≥T₁都有：

由式(8)，(10)和(13)可得：

又因为

所以有以下不等式对于所有t≥T₁均满足：

其中：

从式(15)可以看出，ESO的估计误差是有界的，并且估计误差随着观测器带宽的增加而减小，然而，观测器的带宽不可能无限增大，因此，估计误差也只能是收敛于一定范围内；

步骤三：

设计无源性控制器：无源性控制器由两部分组成，一部分用于补偿系统扰动，一部分用于机器人的轨迹跟踪控制；

扰动补偿部分设计如下：

基于无源性的轨迹跟踪部分设计如下：

其中，e＝q-q_d为跟踪误差，q_d＝[x_d y_d θ_d]^T为机器人期望位姿，

Λ∈R^3×3为一个对角正定矩阵，v∈R^3×1为一个新的控制输入；

闭环误差动力学方程为：

其中

为一个辅助变量；

原始的能量函数被修改为：

为了实现稳定的轨迹跟踪的目的，系统中需引入阻尼，因此选取：

v＝-K_ds (20)

所以，基于无源性的轨迹跟踪控制部分设计为：

最终，控制律为：

式中，K_p∈R^3×3，K_d∈R^3×3为控制器的控制增益，均为正定对角矩阵；

结合(1)和(22)可得闭环系统误差动力学方程：

其中

由于扩张状态观测器的估计误差是有界的，则

是有界的；

选取李雅普诺夫函数为：

分别定义(·)_M和(·)_m为矩阵(·)的最大特征值和最小特征值，向量范数定义为

则该李雅普诺夫函数满足：

对李雅普诺夫函数(24)求导可得：

进一步推导得：

设Λ＝diag(λ,λ,λ)，结合不等式组(25)并利用柯西不等式，可得：

假设

将以上不等式两侧同时除以

得：

其中

定义

则有：

其中

得：

由于-γt≤0，则e^-γt∈(0,1]，不等式(31)右侧取最大值，则有

因此：

||s||≤α₁+α₂||w|| (33)

其中

又因为||w||有界，所以||s||有界，从而e和

有界，即闭环系统有界输入有界输出稳定。

为验证本发明所设计的控制算法的有效性，以MATLAB作为仿真平台，以三轮全方位移动机器人(图1所示)为控制对象进行了全方位移动机器人轨迹跟踪控制仿真实验的验证。下面结合仿真实验和附图，在控制系统中存在外部扰动及模型参数变化的条件下，对本发明中提出的全方位移动机器人的轨迹跟踪控制方法作出详细说明。

本发明针对存在外部扰动及模型参数不确定性的全方位移动机器人系统的轨迹跟踪控制问题，设计了扩张状态观测器对系统总扰动进行了观测估计，然后利用控制器对扰动进行补偿，再利用无源性方法进行轨迹跟踪控制，最终实现了全方位移动机器人轨迹跟踪控制系统在存在扰动的条件下的稳定控制。

如图1所示，仿真中全方位移动机器人的任务为按照给定轨迹在平面上运动。仿真中各参数取值如下：机器人质量为10千克，车轮半径为0.05米，多项摩擦系数为1×10^-4牛顿·毫秒/弧度，以机器人中心为轴的转动惯量为0.65千克·米²，以电机轴为旋转轴的转动惯量为1.47×10^-6千克·米²，接触半径为0.2425米，电机反向电动势为0.02076伏特/转每分，电机力矩常数为0.02078牛顿·米/安培，减速比71，电机电阻2.53欧姆。本发明方法中控制器各参数：状态观测器带宽ω_o＝20，比例控制增益

微分控制增益

辅助对角矩阵

仿真时间为40秒，采样频率为200赫兹。

正方形参考轨迹为关于时间t的函数，t的单位为秒，如下：

即每经过10秒，轨迹会有一个直角拐点，可以看做是有一个突加外部扰动，正方形轨迹跟踪仿真结果如图2(a)、2(b)、2(c)、2(d)、2(e)所示。从图2(a)、2(b)可以看出，采用本发明的控制系统在有外部干扰的条件下有较好的跟踪性能，基本可以准确跟踪期望轨迹；同时，可以从图2(c)中得到，系统的跟踪误差很小，在正方形轨迹的四个拐角处，有较大的误差，但系统很快就进行了调节；图2(d)说明扩张状态观测器可以及时观测并估计系统受到的外部扰动；图2(e)显示了控制电压随时间的变化曲线。

圆形参考轨迹为关于时间t的函数，如下：

在仿真第30秒之后，将机器人模型参数多项摩擦系数扩大为之前的3倍，即系统存在模型参数的变化，圆形轨迹跟踪仿真结果如图3(a)、3(b)、3(c)、3(d)、3(e)所示。从图3(a)、3(b)可以看出，采用本发明的控制系统在有模型参数变化的条件下有较好的跟踪性能，基本可以准确跟踪期望轨迹；同时，可以从图3(c)中得到，系统的跟踪误差很小，在模型参数发生改变后，系统能够能够较快地进行调节，跟上期望轨迹；图3(d)说明扩张状态观测器可以及时观测并估计系统的参数变化；图3(e)显示了控制电压随时间的变化曲线。

经过上述分析，证明了本发明算法的有效性。

Claims (2)

1.一种无源性全方位移动机器人轨迹跟踪自抗扰控制方法，其特征是，采用优化的降阶扩张状态观测器估计全方位移动机器人系统的总扰动，包括未建模部分、参数不确定性及外部扰动，并利用基于全方位移动机器人系统无源特性设计的无源性控制器来补偿观测器所估计的扰动，实现轨迹跟踪控制，其中，利用扩张状态观测器主动从被控对象的输入输出信号中把扰动的信息提炼出来，从而在扰动影响系统之前用控制信号将干扰消除；具体步骤细化如下：

步骤一：

建立全方位移动机器人系统动力学模型：定义世界坐标系{W}和移动坐标系{M}，并用一个未知向量表示系统的总扰动，包括未建模部分、参数的不确定性以及外部扰动等，从而得到含有未知总扰动的全方位移动机器人动力学模型：

式中，q＝[x y θ]^T表示世界坐标系下机器人的位姿，[·]^T表示矩阵的转置，x、y和θ分别表示三个自由度的方向，M∈R^3×3表示一个惯性矩阵，∈表示集合间的“属于”关系，R^3×3表示3行3列的实数矩阵，C∈R^3×3表示离心力矩和哥氏力矩；D∈R^3×3为正定对角矩阵,

表示系统的耗散力；F∈R^3×1表示系统总扰动；τ＝Bu∈R^3×1表示虚拟控制输入，B∈R^3×3表示输入矩阵；

对全方位移动机器人系统的无源性进行分析过程如下：在动力学方程(1)中，惯性矩阵M是对称且正定的，并且M和M^-1是一致有界的，另外，C和

均具有反对称性质，即满足x^TCx＝0，

其中x∈R^3×1；

开环动力系统(1)的总能量为：

时间导数为：

另外，由于D为正定矩阵，根据无源性的定义可知从控制输入τ到

是严格无源的；

步骤二：

根据动力学模型设计优化降阶扩张状态观测器：定义变量

其导数为

其中

定义状态变量

x₂＝f(t)＝-F，x_i∈R^3×1(i＝1,2)，则系统(1)的状态空间描述为：

令

为各状态的估计值，

为各状态的观测误差，则优化的降阶扩张状态观测器的方程为：

其中β_i(i＝1,2)为观测器的增益矩阵，

ω_o为观测器的带宽且ω_o＞0，是扩张状态观测器仅有的一个需要调节的参数，由于

是x₂的估计值，故总扰动的估计值

假设总扰动的一阶导数

是有界的，则对于任意的ω_o＞0，存在一个常向量σ＝[σ₁σ₂]^T∈R^2×1，且σ_i＞0(i＝1,2)，使得在有限时间内，估计误差

中的每个元素满足：

即扩张状态观测器的估计误差是有界的，稳定性证明过程如下：

由式(4)和式(5)可得观测器估计误差方程：

令

得

其中ε＝[ε₁₁ ε₁₂ ε₁₃ … ε₂₃]^T∈R^6×1，并且

I₃∈R^3×3表示3阶单位矩阵，0₃∈R^3×3表示3阶零矩阵；

解方程(7)得到：

令：

其中μ＝[μ₁₁ μ₁₂ μ₁₃ … μ₂₃]^T∈R^6×1，由于f(t)是有界的，即|f_i(t)|＜γ(i＝1,2,3)，其中γ是一个正数，因此：

其中|μ(t)|表示各元素的绝对值组成的向量，γ＝[γ γ γ]^T∈R^3×1是一个正常向量；

由于A_o是赫尔维茨的，因此存在一个有限的时间T₁＞0，使得：

其中k＞6且为一个正整数，

由式(10)和(11)可知，对于所有的t≥T₁都有：

结合式(11)，得到对于所有t≥T₁都有：

由式(8)，(10)和(13)可得：

又因为

所以有以下不等式对于所有t≥T₁均满足：

其中：

从式(15)可以看出，ESO的估计误差是有界的，并且估计误差随着观测器带宽的增加而减小，然而，观测器的带宽不可能无限增大，因此，估计误差也只能是收敛于一定范围内；

步骤三：

设计无源性控制器：无源性控制器由两部分组成，一部分用于补偿系统扰动，一部分用于机器人的轨迹跟踪控制；

扰动补偿部分设计如下：

基于无源性的轨迹跟踪部分设计如下：

其中，e＝q-q_d为跟踪误差，q_d＝[x_d y_d θ_d]^T为机器人期望位姿，

Λ∈R^3×3为一个对角正定矩阵，v∈R^3×1为一个新的控制输入；

闭环误差动力学方程为：

其中

为一个辅助变量；

原始的能量函数被修改为：

为了实现稳定的轨迹跟踪的目的，系统中需引入阻尼，因此选取：

v＝-K_ds (20)

所以，基于无源性的轨迹跟踪控制部分设计为：

v＝-K_ds (21)

最终，控制律为：

式中，K_p∈R^3×3，K_d∈R^3×3为控制器的控制增益，均为正定对角矩阵。

2.如权利要求1所述的无源性全方位移动机器人轨迹跟踪自抗扰控制方法，其特征是，验证步骤如下：

结合(1)和(22)得闭环系统误差动力学方程：

其中

由于扩张状态观测器的估计误差是有界的，则

是有界的；

选取李雅普诺夫函数为：

分别定义(·)_M和(·)_m为矩阵(·)的最大特征值和最小特征值，向量范数定义为

则该李雅普诺夫函数满足：

对李雅普诺夫函数(24)求导可得：

进一步推导得：

设Λ＝diag(λ,λ,λ)，结合不等式组(25)并利用柯西不等式，可得：

假设

将以上不等式两侧同时除以

得：

其中

定义

则有：

其中

得：

由于-κt≤0，则e^-κt∈(0,1]，不等式(31)右侧取最大值，则有

因此：

||s||≤α₁+α₂||w|| (33)

其中

又因为||w||有界，所以||s||有界，从而e和

有界，即闭环系统有界输入有界输出稳定。

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