CN114243683A - 基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，首先采用核密度估计方法推导出风功率预测误差的概率分布，然后融合Wasserstein度量和核密度估计构造风功率预测误差的概率分布模糊集，最后根据风功率预测误差的概率分布模糊集，并综合考虑电力系统运行约束条件，建立以风电出力最坏情况下电力系统总运行成本最小为目标的分布鲁棒机组组合模型。本发明解决了电力调度领域中考虑不稳定风力发电的机组组合优化问题，可以有效降低风电不确定性刻画的保守性，进一步提高电力系统运行的经济性，为电力系统的调度人员提供一种可有效处理风电不确定性的、兼顾鲁棒性与经济性的调度策略。

Description

基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法

技术领域

本发明涉及电力系统调度运行和优化的技术领域，具体涉及一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法。

背景技术

随着风力发电在电网中占比的迅速增加，其不确定性严重威胁着电力系统的安全运行。因此，十分有必要探索和研究针对电力系统机组组合问题的不确定优化方法。在过去的几十年中，学者们广泛研究了随机优化方法。该方法假设风功率或风电预测误差服从某一特定分布，采用场景法或者机会约束法求解该模型。随机优化的缺陷是往往过于激进，所得结果不可行的概率较高。鲁棒优化是另一种处理不确定性的有效方法，该方法预先给定一个包含风电出力所有可能情况的集合，然后求解最坏情况下的决策。鲁棒优化的缺陷是过于保守，导致决策的经济性较差。

鉴于随机优化和鲁棒优化的上述缺陷，近年来学者们提出了一种分布鲁棒优化方法。该方法构造一个包含风电出力所有可能概率分布的模糊集，然后求解最坏概率分布下的决策。分布鲁棒优化兼顾了随机优化和鲁棒优化各自的优点，避免了决策的过度激进和保守。但一般的基于Wasserstein的分布鲁棒优化方法，其中心分布往往采用经验分布，分布的构造不够准确，导致概率分布模糊集仍然比较保守。为了进一步降低保守度并提高决策的经济性，本发明提出了一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法。

发明内容

针对现有技术中对风电不确定性的处理比较保守，导致决策的经济性较差的技术问题，本发明提出一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，用于解决电力调度领域中考虑不稳定风力发电的机组组合优化问题，进一步降低保守度并提高决策的经济性。

为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，包括以下步骤：

步骤S1：首先采用核密度估计方法推导风功率预测误差的概率密度，根据概率密度推导出风功率预测误差的概率分布。

步骤S2：根据风功率预测误差的概率分布构造具有置信水平的风功率预测误差的置信空间。

步骤S3：在风功率预测误差的置信空间内，以风功率预测误差的概率分布为中心，采用Wasserstein距离度量概率分布与置信空间内误差分布之间的距离，并构造风功率预测误差的概率分布模糊集。

步骤S4：根据风功率预测误差的概率分布模糊集，并综合考虑电力系统运行约束条件，建立以风电出力最坏情况下电力系统总运行成本最小为目标的分布鲁棒机组组合模型。

所述步骤S1中，风功率预测误差的概率密度的函数表达式为：

式中：x表示风功率预测误差；n表示风功率预测误差的样本数量；x₁,x₂,…,x_l,…x_n为电网数据库中导出的n个风功率预测误差的样本；R^d表示预测误差的实数空间；K_h(·)表示带宽参数为h的高斯核函数。

计算高斯核函数的带宽参数h的最优值：

式中：BW(h)表示计算带宽参数h的交叉验证法函数；

表示带宽参数为

的四维高斯核函数；

是带宽参数h的最优值，即使得BW(h)最小的h值。

根据概率密度函数f(x)推导风功率预测误差的概率分布，函数表达式为：

所述步骤S2中构造风功率预测误差的置信空间的方法为：根据所推导的风功率预测误差的概率分布函数F(x)，首先构造风功率预测误差的α分位数函数：

F^-1(α)＝min{x∈R|F(x)≥α} (6)

然后构造置信水平为(1-2α)的风功率预测误差的置信空间：

式中：F^-1(α)表示F(x)的α分位数函数；R是实数空间；S是置信空间；x^min和x^max分别是风功率预测误差x的下限和上限。

所述步骤S3中，风功率预测误差的概率分布与其置信空间内所有误差分布之间的Wasserstein距离为：

式中：F表示风功率预测误差的概率分布；

表示风功率预测误差的真实分布；x和

分别属于概率分布F和真实分布

Π是指x和

的联合分布；

所述概率分布模糊集为：

式中：

表示置信空间S上所有误差分布的集合；r表示概率分布模糊集的半径；

所述概率分布模糊集的半径r的计算方法为：首先，任意分布落入概率分布模糊集中的概率β为：

所述概率β与样本数量n、概率分布模糊集的半径r具有的关系为：

β＝1-exp(-nr²/c²) (11)

式中：c是一个辅助常数；

因此，可以得到概率分布模糊集的半径r为：

r(n)＝c(ln((1-β)^-1)/n)^0.5 (12)

辅助常数c为：

式中：λ是一个大于零的实数；

为风功率预测误差的样本均值。

所述步骤S4中分布鲁棒机组组合模型的目标函数为：

式中：SU_i、SD_i分别是火电机组i的起动和停机费用；u_it、v_it分别是火电机组i的起动状态和停机状态的0-1变量；E_F是概率分布模糊集

中对应分布下的期望费用；

所述期望费用E_F为：

式中：CU_i、CD_i分别是火电机组i的上备用费用和下备用费用；

r_it分别是火电机组i的上备用和下备用；a_i、b_i、c_i均为火电机组发电成本函数的系数；P_it是火电机组i在t时段的基点功率；α_it是火电机组i在t时段应对风电波动功率的参与因子；x_t是t时段风电预测误差之和。

所述电力系统运行约束条件包括：

①火电机组i的最小起停时间约束：

式中：TU_i、TD_i分别是火电机组i的最小运行时间和最小停机时间；d_it表示火电机组i在t时段的0-1状态量；k表示第k时段；G G表示火电机组数量；T表示火电机组运行总的时段数；

②火电机组i的起停状态约束：

③电力系统运行功率平衡约束：

式中：

是风电厂j在t时段的预测功率；

是风电厂j在t时段的预测误差；

是节点b在t时段的负荷；W、B分别是风电厂数量和节点数量；

④火电机组i的基点功率约束：

式中：P _i、

分别是火电机组i的最小出力和最大出力；

⑤火电机组i的爬坡约束：

式中：

是火电机组i从停机到开机的爬坡费用；RU_i是火电机组i连续运行过程中的爬坡费用；

是火电机组i从开机到停机的滑坡费用；RD_i是火电机组i连续运行过程中的滑坡费用；

⑥火电机组i的参与因子约束：

⑦火电机组i承担风功率波动的约束：

其中，风功率总预测误差x_t为：

⑧线路输送容量约束：

式中：C_mn是节点m到节点n的传输功率限制；

是节点b的净功率引起的节点m到节点n的功率转移分布因子；G_b为节点b上的所有火电机组；W_b为节点b上的所有风电厂。

将目标函数重构为单一的最小化问题求解，重构方法为：首先将目标函数中max部分的期望费用E_F转换为风功率预测误差之和x_t的函数f(x_t)，得到：

式中：

为函数f(x_t)的三个系数，且：

从而得出目标函数中的期望费用E_F为：

式中：θ是一个大于零的实数；f′(·)是函数f(x_t)关于x_t的导数，由于

故

然后将公式(27)替换公式(14)中

即得到重构的目标函数。

本发明首先采用核密度估计方法推导出风功率预测误差的概率分布，然后融合Wasserstein度量和核密度估计构造风功率预测误差的概率分布模糊集，最后根据风功率预测误差的概率分布模糊集，并综合考虑电力系统运行约束条件，建立以风电出力最坏情况下电力系统总运行成本最小为目标的分布鲁棒机组组合模型，解决电力调度领域中考虑不稳定风力发电的机组组合优化问题，可以有效降低风电不确定性刻画的保守性，进一步提高电力系统运行的经济性，为电力系统的调度人员提供一种可有效处理风电不确定性的、兼顾鲁棒性与经济性的调度策略。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的流程图；

图2为本发明与一般的分布鲁棒优化方法关于风功率预测误差边界的对比图，其中(a)是57母线电力系统的测试结果，(b)是118母线电力系统的测试结果；

图3为本发明与一般的分布鲁棒优化方法、随机优化方法、鲁棒优化方法关于总运行成本的对比图，其中(c)是57母线电力系统的测试结果；(d)是118母线电力系统的测试结果。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，本发明提供了一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，通过采用核密度估计方法推导出风功率预测误差的概率分布，然后融合Wasserstein度量和核密度估计构造风功率预测误差的概率分布模糊集，最后根据风功率预测误差的概率分布模糊集，并综合考虑电力系统运行约束条件，建立以风电出力最坏情况下电力系统总运行成本最小为目标的分布鲁棒机组组合模型，不仅解决了电力调度领域中考虑不稳定风力发电的机组组合优化问题，且有效降低风电不确定性刻画的保守性，进一步提高电力系统运行的经济性，为电力系统的调度人员提供一种可有效处理风电不确定性的、兼顾鲁棒性与经济性的调度策略。

本发明具体包括以下步骤：

步骤S1：首先是对风功率预测误差的不确定性进行处理，采用核密度估计方法推导风功率预测误差的概率密度，得出风功率预测误差的概率密度的函数表达式为：

式中：x表示风功率预测误差；n表示风功率预测误差的样本数量；x₁,x₂,…,x_l,…x_n为电网数据库中导出的n个风功率预测误差的样本；R^d表示预测误差的实数空间；K_h(·)表示带宽参数为h的高斯核函数。

带宽参数h对概率密度估计效果的影响较为显著，其取值过大会使估计出的概率密度曲线过于平滑，其取值过小会使得估计出的概率密度曲线过于波动，两种情况都会使所估计的概率密度曲线与真实概率密度相差过大。为了使风电预测误差概率分布的推导更加准确，计算概率密度函数f(x)中高斯核函数的带宽参数h的最优值，计算方法为：

式中：BW(h)表示计算带宽参数h的交叉验证法函数；

表示带宽参数为

的四维高斯核函数；

是带宽参数h的最优值，即使得BW(h)最小的h值。将计算出的带宽参数h的最优值代入概率密度函数f(x)中，即可达到准确估计概率密度函数的效果。

然后根据概率密度函数f(x)推导风功率预测误差的概率分布，得出概率分布的函数表达式为：

步骤S2：根据风功率预测误差的概率分布F(x)构造具有一定置信水平的风功率预测误差的置信空间，具体构造方法为：首先根据所推导的风功率预测误差的概率分布函数F(x)，构造风功率预测误差的α分位数函数：

F^-1(α)＝min{x∈R|F(x)≥α} (6)

然后构造置信水平为(1-2α)的风功率预测误差的置信空间：

式中：F^-1(α)表示F(x)的α分位数函数；R是实数空间；S是置信空间；x^min和x^max分别是风功率预测误差x的下限和上限。

步骤S3：在求出的置信空间内，以风功率预测误差的概率分布为中心，采用Wasserstein距离度量概率分布与置信空间内所有误差可能的分布之间的距离，得出：

式中：F表示风功率预测误差的概率分布；

表示风功率预测误差的真实分布；x和

分别属于概率分布F和真实分布

Π是指x和

的联合分布。

将一定距离r内的所有误差分布构成风功率预测误差的概率分布模糊集，得出概率分布模糊集为：

式中：

表示置信空间S上所有误差分布的集合；r表示概率分布模糊集的半径、与样本数量n有关；

所述概率分布模糊集

的半径r的计算方法为：首先，任意分布落入概率分布模糊集中的概率β为：

所述概率β与样本数量n、概率分布模糊集的半径r具有的关系为：

β＝1-exp(-nr²/c²) (11)

式中：c是一个辅助常数。

因此，可以得到概率分布模糊集

的半径r为：

r(n)＝c(ln((1-β)^-1)/n)^0.5 (12)

辅助常数c为：

式中：λ是一个大于零的实数；

为风功率预测误差的样本均值。

步骤S4：根据风功率预测误差的概率分布模糊集

并综合考虑电力系统运行约束条件，包括电力系统运行的功率平衡约束、保障功率输送的线路容量限制、计及火电机组的功率约束、爬坡限制和起停时间限制等约束条件，建立一个以风电出力最坏情况下系统总运行成本最小为目标的分布鲁棒机组组合模型，其目标函数为：

式中：SU_i、SD_i分别是火电机组i的起动和停机费用；u_it、v_it分别是火电机组i的起动状态和停机状态的0-1变量；E_F是概率分布模糊集

中对应分布下的期望费用。

所述期望费用E_F为：

式中：CU_i、CD_i分别是火电机组i的上备用费用和下备用费用；

r _it分别是火电机组i的上备用和下备用；a_i、b_i、c_i均为火电机组发电成本函数的系数；P_it是火电机组i在t时段的基点功率；α_it是火电机组i在t时段应对风电波动功率的参与因子；x_t是t时段风电预测误差之和。

所述电力系统运行约束条件包括：

①火电机组i的最小起停时间约束：

式中：TU_i、TD_i分别是火电机组i的最小运行时间和最小停机时间；d_it表示火电机组i在t时段的0-1状态量；k表示第k时段；G表示火电机组数量；T表示火电机组运行总的时段数；

②火电机组i的起停状态约束：

③电力系统运行功率平衡约束：

式中：

是风电厂j在t时段的预测功率；

是风电厂j在t时段的预测误差；

是节点b在t时段的负荷；W、B分别是风电厂数量和节点数量；

④火电机组i的基点功率约束：

式中：P _i、

分别是火电机组i的最小出力和最大出力；

⑤火电机组i的爬坡约束：

式中：

是火电机组i从停机到开机的爬坡费用；RU_i是火电机组i连续运行过程中的爬坡费用；

是火电机组i从开机到停机的滑坡费用；RD_i是火电机组i连续运行过程中的滑坡费用；

⑥火电机组i的参与因子约束：

⑦火电机组i承担风功率波动的约束：

其中，风功率总预测误差x_t为：

⑧线路输送容量约束：

式中：C_mn是节点m到节点n的传输功率限制；

是节点b的净功率引起的节点m到节点n的功率转移分布因子；G_b为节点b上的所有火电机组；W_b为节点b上的所有风电厂。

由于构建的分布鲁棒机组组合模型的目标函数为min-max形式，不便于求解，因此需要将该目标函数重构为单一的最小化问题求解。具体重构方法为：首先将目标函数中max部分的期望费用E_F转换为风功率预测误差之和x_t的函数f(x_t)，得到：

式中：

为函数f(x_t)的三个系数，且：

从而得出目标函数中的期望费用E_F为：

式中：θ是一个大于零的实数；f′(·)是函数f(x_t)关于x_t的导数，由于

故

然后将公式(27)替换公式(14)中

即得到重构的目标函数。

本发明分别采用了57母线电力系统和118母线电力系统进行测试，发电机和电网络数据均来源于MATPOWER 6.0软件。风电厂的额定功率为400MW，其中57母线电力系统接入两个风电厂，118母线电力系统接入四个风电厂。风电数据来源于TENNET(网址https://www.tennet.eu/？L＝0#&panel1-1)。系统备用价格、机组起动和关机费用分别取为成本曲线中线性系数的50％、80％和40％。该测试是在一台采用2.9GHz、8GB RAM英特尔酷睿i7处理器的计算机上进行的。

测试结果如图2的(a)和(b)所示，可知一般的分布鲁棒优化方法的预测误差边界随着样本规模的增大逐渐减小，而本发明中的分布鲁棒优化方法的预测误差边界在样本规模不大时就比较小，随着样本规模扩大，边界的变化仅有较小的波动，极大减少了模型的保守性。

表1和表2分别给出了57母线电力系统和118母线电力系统的计算时间的测试结果：

表1

表2

从表1和表2中可以看出，随着样本规模的增加，鲁棒优化和随机优化的计算时间基本上是固定的，一般分布鲁棒优化方法和本发明中的分布鲁棒优化方法的计算时间都随着样本增加而逐渐增大。本发明中的分布鲁棒优化方法的优越性在于：计算时间与一般分布鲁棒优化方法相差无几，但结果更好，从图2(a)、(b)和图3(c)(d)的对比结果可以明显看出。虽然本发明中的分布鲁棒优化方法的计算时间比一般鲁棒优化和随机优化的更多，但避免了鲁棒优化的保守和随机优化的激进。

表3为57母线电力系统和118母线电力系统的可靠性测试结果，即所得的机组组合结果在随机的风功率误差下能够满足约束条件的概率，采用蒙特卡洛模拟进行，得出：

表3

从表3可以看出，随着样本规模的增加，一般分布鲁棒优化方法的可靠性是逐步降低的，而本发明的分布鲁棒优化方法的可靠性随着样本增加虽然有一定的波动，但仍然保持着较高的可靠性水平(98％以上)。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1：首先采用核密度估计方法推导风功率预测误差的概率密度，根据概率密度推导出风功率预测误差的概率分布；

步骤S2：根据风功率预测误差的概率分布构造具有置信水平的风功率预测误差的置信空间；

步骤S3：在风功率预测误差的置信空间内，以风功率预测误差的概率分布为中心，采用Wasserstein距离度量概率分布与置信空间内误差分布之间的距离，并构造风功率预测误差的概率分布模糊集；

步骤S4：根据风功率预测误差的概率分布模糊集，并综合考虑电力系统运行约束条件，建立以风电出力最坏情况下电力系统总运行成本最小为目标的分布鲁棒机组组合模型。

2.根据权利要求1所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，所述步骤S1中，风功率预测误差的概率密度的函数表达式为：

式中：x表示风功率预测误差；n表示风功率预测误差的样本数量；x₁,x₂,…,x_l,…x_n为电网数据库中导出的n个风功率预测误差的样本；R^d表示预测误差的实数空间；K_h(·)表示带宽参数为h的高斯核函数；

计算高斯核函数的带宽参数h的最优值：

式中：BW(h)表示计算带宽参数h的交叉验证法函数；

表示带宽参数为

的四维高斯核函数；

是带宽参数h的最优值，即使得BW(h)最小的h值。

3.根据权利要求2所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，根据概率密度函数f(x)推导风功率预测误差的概率分布，函数表达式为：

4.根据权利要求3所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，所述步骤S2中构造风功率预测误差的置信空间的方法为：根据所推导的风功率预测误差的概率分布函数F(x)，首先构造风功率预测误差的α分位数函数：

F^-1(α)＝min{x∈R|F(x)≥α} (6)

然后构造置信水平为(1-2α)的风功率预测误差的置信空间：

式中：F^-1(α)表示概率分布函数F(x)的α分位数函数；R是实数空间；S是置信空间；x^min和x^max分别是风功率预测误差x的下限和上限。

5.根据权利要求4所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，所述步骤S3中，风功率预测误差的概率分布与其置信空间内所有误差分布之间的Wasserstein距离为：

式中：F表示风功率预测误差的概率分布；

表示风功率预测误差的真实分布；x和

分别属于概率分布F和真实分布

Π是指x和

的联合分布；

所述概率分布模糊集为：

式中：

表示置信空间S上所有误差分布的集合；r表示概率分布模糊集的半径；

所述概率分布模糊集的半径r的计算方法为：首先，任意分布落入概率分布模糊集中的概率β为：

所述概率β与样本数量n、概率分布模糊集的半径r具有的关系为：

β＝1-exp(-nr²/c²) (11)

式中：c是一个辅助常数；

因此，可以得到概率分布模糊集的半径r为：

r(n)＝c(ln((1-β)^-1)/n)^0.5 (12)

辅助常数c为：

式中：λ是一个大于零的实数；

为风功率预测误差的样本均值。

6.根据权利要求5所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，所述步骤S4中分布鲁棒机组组合模型的目标函数为：

式中：SU_i、SD_i分别是火电机组i的起动和停机费用；u_it、v_it分别是火电机组i的起动状态和停机状态的0-1变量；E_F是概率分布模糊集

中对应分布下的期望费用；

所述期望费用E_F为：

式中：CU_i、CD_i分别是火电机组i的上备用费用和下备用费用；

rit分别是火电机组i的上备用和下备用；a_i、b_i、c_i均为火电机组发电成本函数的系数；P_it是火电机组i在t时段的基点功率；α_it是火电机组i在t时段应对风电波动功率的参与因子；x_t是t时段风电预测误差之和。

7.根据权利要求6所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于：所述电力系统运行约束条件包括：

①火电机组i的最小起停时间约束：

式中：TU_i、TD_i分别是火电机组i的最小运行时间和最小停机时间；d_it表示火电机组i在t时段的0-1状态量；k表示第k时段；G表示火电机组数量；T表示火电机组运行总的时段数；

②火电机组i的启停状态约束：

③电力系统运行功率平衡约束：

式中：

是风电厂j在t时段的预测功率；

是风电厂j在t时段的预测误差；

是节点b在t时段的负荷；W、B分别是风电厂数量和节点数量；

④火电机组i的基点功率约束：

式中：P _i、

分别是火电机组i的最小出力和最大出力；

⑤火电机组i的爬坡约束：

式中：

是火电机组i从停机到开机的爬坡费用；RU_i是火电机组i连续运行过程中的爬坡费用；

是火电机组i从开机到停机的滑坡费用；RD_i是火电机组i连续运行过程中的滑坡费用；

⑥火电机组i的参与因子约束：

⑦火电机组i承担风功率波动的约束：

其中，风功率总预测误差x_t为：

⑧线路输送容量约束：

式中：C_mn是节点m到节点n的传输功率限制；

是节点b的净功率引起的节点m到节点n的功率转移分布因子；G_b为节点b上的所有火电机组；W_b为节点b上的所有风电厂。

8.根据权利要求6或7所述的基于Wasserstein度量和核密度估计的分布鲁棒优化方法，其特征在于，将目标函数重构为单一的最小化问题求解，重构方法为：首先将目标函数中max部分的期望费用E_F转换为风功率预测误差之和x_t的函数f(x_t)，得到：

式中：

为函数f(x_t)的三个系数，且：

从而得出目标函数中的期望费用E_F为：

式中：θ是一个大于零的实数；f′(·)是函数f(x_t)关于x_t的导数，由于

故

然后将公式(27)替换公式(14)中

即得到重构的目标函数。

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