CN113821846B - 基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及雷达技术。本发明公开了一种基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法，包括如下步骤：a、根据给定的性能指标计算出频控阵天线阵列几何流形总弧长与曲率；或根据实际需要，直接给定频控阵天线阵列几何流形总弧长与曲率；b、根据初始条件，计算阵元位置多项式系数，得到阵元位置多项式；c、在所述位置多项式为0的条件下求解，得到归一化根；d、选取所述归一化根的子集，将所述子集与频偏偏置向量带入到阵元位置公式中，得到阵元位置设计结果。本发明解决了给定性能需求下的频控阵阵列设计问题，具有重要的研究与应用价值。本发明避免了复杂的搜索过程和复杂的计算，具有低复杂度、超分辨率的特点。

Description

基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法

技术领域

本发明涉及雷达技术领域，特别涉及频控阵雷达技术，具体而言，涉及基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法。

背景技术

在电子技术高速发展的今天，阵列系统被广泛应用在军事国防和民用领域。

在军事领域，阵列天线多用于雷达系统。雷达作为作战的一线探测设备，起着敌方目标感知、武器制导的巨大作用。在现代化战争中，导弹制导、敌机跟踪、战机导航、目标区域成像等任务的完成也很大程度依赖于高性能的阵列雷达系统，因此雷达系统占据着极其重要的军事战略地位。

另外，阵列系统在无线通信领域也取得了巨大成功。与单天线收发通信系统(SISO)相比，多天线阵列通信系统具有波束扫描、波束赋形以及多波束能量聚焦、抗干扰等功能。

随着阵列信号处理的进步，多入多出(MIMO)通信系统被提出，并成功应用在第三代通用移动通信中。至今，阵列通信系统仍在被广泛研究。可以说，阵列的性能直接影响着系统的性能，因此，有必要对阵列本身的几何性质进行研究。

目前，阵列系统无论是用在雷达还是通信中，主要还是基于相控阵(PhasedArray,PA)。相控阵通过控制阵元之间的相位，实现波束的扫描与赋形。在实际中，往往希望获得距离维的信息，以检测和估计距离维上的目标个数与状态。但不幸的是，相控阵并没有这样的能力，其波束在距离上是恒定的(不考虑空间衰减)。换句话说，在同一方位上，目标所接收到的信号能量是恒定的，波束指向与距离无关，其波束如图1b所示。

与传统的相控阵不同，频控阵通过在每个阵元之间引入一个小的频偏，使得频控阵阵元间的相位差是阵元间距与频偏的函数，而频偏带来的相位差与距离具有函数关系。这使得波束在不同的距离和方位上产生了耦合现象，也就是说，频控阵实现了角度维和距离维耦合的特性。其波束如图1a所示。

事实上，当频控阵的频偏为0时，频控阵退化成为相控阵，可以理解为频控阵是相控阵的一般化。因此，将频控阵用于雷达系统，能够实现角度-距离维的检测与估计，具有重大的军用和民用价值。尽管目前已有大量关于频控阵雷达与频控阵安全通信的研究，但绝大多数是基于频控阵的波束以达到检测、估计、安全通信的目的。但是，频控阵本身的几何性质并没有得到很好的研究与设计。

阵列系统总体性能会受阵列结构与信号环境几何特性的影响，当使用不同的阵列结构时，阵列系统性能有所不同。因此，有必要发明一种频控阵列结构的设计方法，以满足实际中对频控阵总体性能的要求。由于阵列流形是参数域(如方位角)的所有可能阵列导向矢量的轨迹，它内在的几何性质蕴含了阵列系统所有特性的信息，包含阵列系统的工作特性。因此可以通过分析、设计阵列流形几何的方法对阵列进行分析与设计。

发明内容

本发明利用频控阵信息几何理论，根据实际工程中所提出的性能指标要求，提供一种满足相应性能的基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法。

为了实现上述目的，根据本发明具体实施方式的一个方面，提供了一种基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

a、根据给定的性能指标计算出频控阵天线阵列几何流形总弧长与曲率；或根据实际需要，直接给定频控阵天线阵列几何流形总弧长与曲率；

b、根据初始条件，计算阵元位置多项式系数，得到阵元位置多项式；

c、在所述位置多项式为0的条件下求解，得到归一化根；

d、选取所述归一化根的子集，将所述子集与频偏偏置向量带入到阵元位置公式中，得到阵元位置设计结果。

进一步的，所述频控阵天线为具有M个阵元的线性阵列全向天线，M为整数，M＞1。

进一步的，所述频控阵天线远场目标反射信号表示为：

其中，c为光速；τ＝r/c为基带信号传播时延；f为阵列公共载频，那么第i个发射信号的频率为f_i＝f+p_i△f，这里△f为参考频偏，p_i为频偏偏置系数且i∈[0,M-1]；远场目标坐标为(r′,θ)，第i个阵元到该目标的距离为

d_i为第i个阵元的位置，该目标反射回来的信号经历的路程为r＝2r′；w＝[w₀,w₁,...w_i,...,w_M-1]^T为阵列激励矢量，w_i,i∈[0,M-1]表示第i个阵元的激励因子；

是单位能量的基带信号；χ是目标反射系数；a(θ,r,t)＝a_θ(θ)⊙a_r(r)⊙a_t(t)为导向矢量，

a_t(t)＝e^j2π△fpt；d＝[d₀,d₁,...d_i,...,d_M-1]^T表示阵列的位置向量，d_i为第i个阵元的位置；p＝[p₀,p₁,...p_i,...,p_M-1]^T表示阵列频偏偏置系数向量，p_i表示第i个阵元的频偏偏置系数；⊙表示哈达玛乘积；T、H分别为转置运算和共轭转置运算。

进一步的，在某个确定的时刻t₀下，导向矢量表示为：

其中α＝[α₀,α₁,...α_i,...,α_M-1]^T，α_i＝j2π△fp_it₀,i∈[0,M-1]；

所述导向矢量a(θ,r)在参数域[0,π)×[0,r_max]的轨迹形成了频控阵的流形几何曲面，r_max表示最大距离。

进一步的，所述流形几何曲面嵌入M维复空间C^M中，当距离为确定值r₀时，其表示为：

Ξ＝{{a(θ,r₀),θ∈[0,π)}∈C^M,r₀∈[0,r_max]}

其中，Ξ表示流形几何曲面；

其流形曲线弧长为：

其流形曲线变化率和第一曲率分别为：

其中，l_FDA(θ)表示流形曲线弧长；k_1-FDA表示流形曲线第一曲率；

表示a(θ,r₀)关于θ求偏导；

ω₁ω₂＝ω₁⊙ω₂；

l_mθ表示流形曲线总弧长。

进一步的，设定两个目标，分别位于(θ₁,r₁)、(θ₂,r₂)，快拍数设定为L，则流形曲线总弧长和流形曲线第一曲率有着如下的具体关系：

其中，△θ_FDA-det为检测阈值，△θ_FDA-res为分辨阈值，

CRLB₁(θ₁)，CRLB₂(θ₁)分别为单目标和两个目标情况下的克拉美罗界。

进一步的，设置频控阵阵元关于质心对称，且有一个阵元位于质心，则有：

其中，

系数

其中k_h-FDA，h＝1,2,...,q-1为流形曲线的第h个曲率。

进一步的，在初始条件为v_q,1＝1，

的条件下，

可以展开成多项式

其中，

是Φ的元素；当

时，必然是该多项式的根，上式进一步改写为：

此即为最终设计所依靠的频控阵的阵元位置多项式。

进一步的，对于一个阵元数目为M，频偏偏置系数向量为p的频控阵，若给定频控阵流形曲线的总弧长为l_mθ，所有的曲率为{k_1-FDA,k_2-FDA,…,k_(q-1)-FDA}，那么频控阵阵列位置为：

其中，O表示同维度的两个向量中对应元素作商运算；x_a/m代表其可以取x_a或x_m，它们分别对应的结果为d_a，d_m；x_a和x_m是以下多项式根的两个子集：

其中，系数

其初始条件为v_q,1＝1，

并满足x_a＝-x_m，x_a∪x_m＝x，‖x_a‖＝‖x_m‖＝1，∑x_a＝∑x_m＝0。

进一步的，若仅给出了流形曲线的总长度和第一曲率，那么此时频控阵阵列位置为：

其中x为以下多项式的根的子集

初始条件为

根据本发明技术方案及其在某些实施例中进一步改进的技术方案，本发明具有如下有益效果：

本发明依据信息流行几何理论，解决了给定性能需求下的频控阵阵列设计问题，具有重要的研究与应用价值。本发明所提出的阵元位置设计方法避免了复杂的搜索过程和复杂的计算，具有低复杂度、超分辨率的特点。本发明可以根据实际项目中对频控阵性能要求进行现场设计，具有高普适性以及设计灵活的优点。

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步的说明。本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的具体实施方式、示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1为频控阵和相控阵波束对比图；

图2为均匀线性频控阵结构示意图；

图3为频控阵流形几何曲面及其高斯曲率示意图。

具体实施方式

需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的具体实施方式、实施例以及其中的特征可以相互组合。现将参考附图并结合以下内容详细说明本发明。

为了使本领域技术人员更好的理解本发明方案，下面将结合本发明具体实施方式、实施例中的附图，对本发明具体实施方式、实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的具体实施方式、实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施方式、实施例，都应当属于本发明保护的范围。

本发明根据频控阵的信息流形几何性质，对阵元位置公式求根以使得所设计的频控阵阵列达到所要求的性能，其具体技术方案如下：

步骤1：根据实际需要，给出所需求的性能指标。并根据所给的性能指标计算出对应的流形总弧长与曲率。或根据实际需要，直接给定流形总弧长与全部曲率。

步骤2：根据初始条件，计算阵元位置多项式系数，得到相应的阵元位置多项式。

步骤3：在阵元位置多项式为0的条件下求解，得到归一化根。

步骤4：选取步骤3中所解得的位置多项式根的子集，将其与频偏偏置向量带入到位置公式中，得到最终的阵元位置设计结果。

频控阵采用全向天线，考虑一般的具有M个阵元的线性阵列，这里M为整数，M＞1，如图2所示。

假设阵列公共载频为f，那么第i个阵元发射信号的频率为f_i＝f+p_i△f，其中△f为参考频偏，p_i为频偏偏置系数且i∈[0,M-1]。

假定在坐标为(r′,θ)的远场点存在一个目标，如图2所示，那么第i个阵元到目标的距离为

d_i为第i个阵元的位置。远场目标反射回来的信号经历了r＝2r′的路程，接收信号可以表示为：

式中参数定义如下：c为光速；τ＝r/c为基带信号传播时延；w＝[w₀,w₁,...,w_M-1]^T为阵列激励矢量，w_i,i∈[0,M-1]表示第i个阵元的激励因子；

是单位能量的基带信号；χ是目标反射系数；a(θ,r,t)＝a_θ(θ)⊙a_r(r)⊙a_t(t)为导向矢量，

a_t(t)＝e^j2π△fpt；d＝[d₀,d₁,...d_i,...,d_M-1]^T表示阵列的位置向量，d_i为第i个阵元的位置；p＝[p₀,p₁,...p_i,...,p_M-1]^T表示阵列频偏偏置系数向量，p_i表示第i个阵元的频偏偏置系数；⊙表示哈达玛乘积；T、H分别为转置运算和共轭转置运算。

上述导向矢量a(θ,r,t)在(θ,r,t)参数域上的轨迹即称为该频控阵的阵列流形几何曲面。由于频控阵的测度矩阵行列式为0，因此对于不同时间下的流形几何结构并不会受到影响，那么可以通过固定时间到某一个时刻来简化分析。在某个确定的时刻t₀下，其导向矢量可以表示为：

其中，α＝[α₀,α₁,...,α_M-1]^T，α_i＝j2π△fp_it₀,i＝0,1,...,M-1。上述导向矢量在参数域[0,π)×[0,r_max]的轨迹形成了频控阵的阵列流行几何曲面，此处参数r_max表示最大距离。可以看出，该曲面嵌入M维复空间C^M中，如图3所示(K_G为流形曲面的高斯曲率)。为简化分析，可以用θ-曲线族交替表示。当距离为确定值r₀时，导向矢量在不同角度上的全部轨迹集合所产生的θ-曲线构成了频控阵流形几何曲面，可以表示为：

Ξ＝{{a(θ,r₀),θ∈[0,π)}∈C^M,r₀∈[0,r_max]}(3)根据微分几何理论可得，其流形曲线弧长为：

其流形曲线变化率和第一曲率分别为：

其中，l_FDA(θ)表示流形曲线弧长；k_1-FDA表示流形曲线第一曲率；

表示a(θ,r₀)关于θ求偏导，

ω₁ω₂＝ω₁⊙ω₂，

l_mθ表示流形曲线总弧长。

第一曲率在流形中是一个极其重要的参数，它将检测阈值、克拉美罗界、分辨阈值相联系。假设存在两个分别位于(θ₁,r₁)、(θ₂,r₂)的目标，快拍数为L。它们与流形弧长和第一曲率有着如下的具体关系

其中△θ_FDA-det为检测阈值，△θ_FDA-res为分辨阈值，

CRLB₁(θ₁)，CRLB₂(θ₁)分别为单目标和两个目标情况下的克拉美罗界。

当频控阵中存在关于质心对称的阵元时，其阵列流形曲线嵌入在2M空间下的q维子空间中，且具有q-1个非零曲率，其第q个曲率恒为0。若频控阵中有一个阵元位于质心，q总是为偶数。根据阵列处理中的微分几何理论，可以得到

其中，

系数

其中k_h-FDA，h＝1,2,...,q-1为流形曲线的第h个曲率。其初始条件为v_q,1＝1，

进一步地，(9)式左边可以展开成多项式

的形式

其中，

是Φ的元素；当

时，必然是该多项式

的根，此时对应的是质心处的阵元。但是，质心阵元会对频控阵的模糊性质造成影响。那么上式进一步改写为

上式即为最终设计所依靠的频控阵的阵元位置多项式。

对于一个阵元数目为M，频偏偏置系数向量为p的频控阵，若给定频控阵流形曲线的总弧长为l_mθ，所有的曲率为{k_1-FDA,k_2-FDA,…,k_(q-1)-FDA}，那么频控阵阵列位置为：

其中，O表示同维度的两个向量中对应元素作商运算；d_a/m表示d_a或d_m；x_a/m代表其可以取x_a或x_m，它们分别对应的结果为d_a或d_m；x_a和x_m是以下多项式根x的两个子集：

其中，系数

其初始条件为v_q,1＝1，

并满足x_a＝-x_m，x_a∪x_m＝x，‖x_a‖＝‖x_m‖＝1，∑x_a＝∑x_m＝0。

此外，若条件有限，仅给出了流形曲线的总长度和第一曲率，那么可以得到一个特殊情况，即此时频控阵阵列位置为

其中x为以下多项式的根的子集

这里初始条件为

由上文可知由于第一曲率与检测阈值、克拉美罗界、分辨阈值有着函数关系，那么在对频控阵有着相应指标要求(检测阈值、克拉美罗界、分辨阈值)的设计中，可以根据给定的指标需求与总弧长，计算出相应的第一曲率，并根据此特殊情况下的方法计算设计出满足要求的频控阵阵元位置。

显然，在给定流形总弧长与全部曲率情况下，式(14)即为步骤2中的阵元位置多项式系数计算公式；式(13)为步骤2中相应的阵元位置多项式表达式，对该多项式求解得到根的子集；式(12)为步骤4中的频控阵阵元位置设计公式。在仅给定阵列的克拉美罗界指标和目标方位角情况下(适用于一般实际场景)，式(7)，(8)即为步骤1中根据所给的性能需求计算总弧长和第一曲率的公式；式(16)为此情况下步骤2中的阵元位置多项式；式(15)即为此情况下步骤4中的频控阵阵元位置设计公式。

具体实施步骤说明：

1、根据实际工程性能预期，给出所需求的性能指标，如目标方位角，克拉美罗界。并根据所给的性能指标计算出对应的流形总弧长与曲率。或根据实际需要，直接给定流形总弧长与全部曲率。

该步骤中，若没有给定全部曲率，只给定克拉美罗界目标方位角，那么按照式(1)、(2)分别计算出总弧长与第一曲率。若直接给定流形总弧长与全部曲率，则转到步骤2。

其中△θ_FDA-det为检测阈值，△θ_FDA-res为分辨阈值，

θ₁，θ₂分别为第一、二个目标的方位角，快拍数为L。CRLB₁(θ₁)，CRLB₂(θ₁)分别为单目标和两个目标情况下的克拉美罗界。

2、根据初始条件，计算阵元位置多项式系数，得到相应的阵元位置多项式。

该步骤中，若已给定频控阵流形曲线总弧长与全部曲率，则按式(3)计算阵元位置多项式系数，且多项式为式(4)，其初始条件为v_q,1＝1，

若仅有曲线总弧长和第一曲率时，多项式为式(5)。

其中

3、对步骤2所得的阵元位置多项式进行求解，得到归一化根。

该步骤中，令上述的多项式为0，求解多项式的归一化根。

4、选取步骤3中所解得的位置多项式根的子集，将其与频偏偏置向量带入到阵元位置公式中，得到最终的阵元位置设计结果。

该步骤中，带入频偏偏置向量。若已给定频控阵流形曲线总弧长与全部曲率，则按式(6)计算频控阵阵元位置，得到最终阵列设计结果。x_a/m代表其可以取x_a或x_m，它们分别对应的结果为d_a，d_m。具体地，x_a和x_m是取步骤3中多项式根的两个子集。

O表示同维度的两个向量中对应元素作商运算。若仅有曲线总弧长和第一曲率时，则按式(7)计算频控阵阵元位置，得到最终基于流行几何的频控阵阵列设计结果。

根据上述方法，进行举例验证，具体的仿真参数如下：

快拍数L＝50，信噪比SNR＝2dB；当单目标位于方位角θ₁＝30°时，频控阵方位角估计的克拉美罗界为CRLB₁(θ₁)＝0.0012°；当两个目标时，假定另外一个目标是位于方位角θ₁＝34°的不相关的等能量目标，频控阵此时方位角估计的克拉美罗界CRLB₂(θ₁)＝0.0012°；设计一频控阵以满足上述指标。

首先通过步骤1，计算得到总弧长为l_mθ＝49.1508，第一曲率为k_1-FDA＝0.5200。由于只得到第一曲率，那么根据步骤2，得到的阵元位置多项式为

转到步骤3，对多项式求解，得到归一化根为[-0.5670,-0.42262,0,0.4226,0.5670]。然后，根据步骤4，将频偏系数向量带入计算，假设频偏系数设定为p＝[2,1,2,0,1,2]以及

那么根据步骤4中的计算公式得到满足指标需求的频控阵阵元位置向量为d＝[-4.3915,-3.2895,0,3.2895,4.3915]。

Claims (1)

1.基于流形几何的频控阵阵元位置设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

a、根据给定的性能指标计算出频控阵天线阵列几何流形总弧长与曲率；或根据实际需要，直接给定频控阵天线阵列几何流形总弧长与曲率；

b、根据初始条件，计算阵元位置多项式系数，得到阵元位置多项式；

c、在所述位置多项式为0的条件下求解，得到归一化根；

d、选取所述归一化根的子集，将所述子集与频偏偏置向量带入到阵元位置公式中，得到阵元位置设计结果；

所述频控阵天线为具有M个阵元的线性阵列全向天线，M为整数，M＞1；

所述频控阵天线远场目标反射信号表示为：

其中，c为光速；τ＝r/c为基带信号传播时延；f为阵列公共载频，那么第i个发射信号的频率为f_i＝f+p_i△f，这里△f为参考频偏，p_i为频偏偏置系数且i∈[0,M-1]；远场目标坐标为(r′,θ)，第i个阵元到该目标的距离为

d_i为第i个阵元的位置，该目标反射回来的信号经历的路程为r＝2r′；w＝[w₀,w₁,...w_i,...,w_M-1]^T为阵列激励矢量，w_i,i∈[0,M-1]表示第i个阵元的激励因子；

是单位能量的基带信号；χ是目标反射系数；a(θ,r,t)＝a_θ(θ)⊙a_r(r)⊙a_t(t)为导向矢量，

a_t(t)＝e^j2π△fpt；d＝[d₀,d₁,...d_i,...,d_M-1]^T表示阵列的位置向量，d_i为第i个阵元的位置；p＝[p₀,p₁,...p_i,...,p_M-1]^T表示阵列频偏偏置系数向量，p_i表示第i个阵元的频偏偏置系数；⊙表示哈达玛乘积；T、H分别为转置运算和共轭转置运算；

在某个确定的时刻t₀下，导向矢量表示为：

其中，α＝[α₀,α₁,...α_i,...,α_M-1]^T，α_i＝j2π△fp_it₀,i∈[0,M-1]；

所述导向矢量a(θ,r)在参数域[0,π)×[0,r_max]的轨迹形成了频控阵的流形几何曲面，r_max表示最大距离；

所述流形几何曲面嵌入M维复空间C^M中，当距离为确定值r₀时，其表示为：

Ξ＝{{a(θ,r₀),θ∈[0,π)}∈C^M,r₀∈[0,r_max]}

其中，Ξ表示流形几何曲面；

其流形曲线弧长为：

其流形曲线变化率和第一曲率分别为：

其中，l_FDA(θ)表示流形曲线弧长；k_1-FDA表示流形曲线第一曲率；

表示a(θ,r₀)关于θ求偏导；

ω₁ω₂＝ω₁⊙ω₂；

l_mθ表示流形曲线总弧长；

设定两个目标，分别位于(θ₁,r₁)、(θ₂,r₂)，快拍数设定为L，则流形曲线总弧长和流形曲线第一曲率有着如下的具体关系：

其中，△θ_FDA-det为检测阈值，△θ_FDA-res为分辨阈值，

CRLB₁(θ₁)，CRLB₂(θ₁)分别为单目标和两个目标情况下的克拉美罗界；

设置频控阵阵元关于质心对称，且有一个阵元位于质心，则有：

其中，

系数

其中k_h-FDA，h＝1,2,...,q-1为流形曲线的第h个曲率；

在初始条件为v_q,1＝1，

的条件下，

可以展开成多项式

其中，

是Φ的元素；当

时，必然是该多项式的根，上式进一步改写为：

此即为最终设计所依靠的频控阵的阵元位置多项式；

对于一个阵元数目为M，频偏偏置系数向量为p的频控阵，若给定频控阵流形曲线的总弧长为l_mθ，所有的曲率为{k_1-FDA,k_2-FDA,…,k_(q-1)-FDA}，那么频控阵阵列位置为：

其中，O表示同维度的两个向量中对应元素作商运算；x_a/m代表其可以取x_a或x_m，它们分别对应的结果为d_a，d_m；x_a和x_m是以下多项式根的两个子集：

其中，系数

其初始条件为v_q,1＝1，

并满足x_a＝-x_m，x_a∪x_m＝x，‖x_a‖＝‖x_m‖＝1，∑x_a＝∑x_m＝0；

若仅给出了流形曲线的总长度和第一曲率，那么此时频控阵阵列位置为：

其中x为以下多项式的根的子集

初始条件为

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