CN113721459A - 一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法 - Google Patents

一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法 Download PDF

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CN113721459A CN202110792269.8A CN202110792269A CN113721459A CN 113721459 A CN113721459 A CN 113721459A CN 202110792269 A CN202110792269 A CN 202110792269A CN 113721459 A CN113721459 A CN 113721459A
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张赫
赵杰
李长乐
刘刚峰
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

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Abstract

本发明公开了一种两质量‑弹簧‑阻尼系统位置控制方法，包括以下步骤：步骤1、建立两质量‑弹簧‑阻尼系统的数学模型，如下：
Figure DDA0003158520370000011
Figure DDA0003158520370000012
其中，p1、
Figure DDA0003158520370000013
和
Figure DDA0003158520370000014
分别是负载端质量块的位置、速度和加速度；m1m1是负载端质量块的质量；b1是负载端质量块的粘性阻尼系数；d1(t)是作用在负载端质量块上的外部扰动；p2、
Figure DDA0003158520370000015
m2、b2和d2(t)分别是电机端质量块相对应的物理量变量或参数；c是弹簧的弹性系数；u是驱动源的驱动力。本发明中观测器不仅可以估计速度状态x2和x4，使控制器只依赖于驱动端质量块和负载端质量块的位置信号，同时能够估计系统的匹配扰动和非匹配扰动，使控制器具有较强的鲁棒性；观测器是有限时间收敛的，所以能快速估计速度和扰动信号，更加增强了系统对扰动的鲁棒性。

Description

一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法
技术领域
本发明涉及机器人的末端执行器技术领域，特别涉及一种两质量-弹簧-阻 尼系统位置控制方法。
背景技术
如今，工业领域大量使用的机械设备，其整体或者部分结构的物理模型都 可抽象为两质量-弹簧-阻尼系统，例如，自动化工厂中越来越多的工业机器人 采用谐波减速器作为传动机构，导致其关节在一定范围内产生弹性变形，构成 典型的两质量-弹簧-阻尼系统；弹性的引入使得控制机构远端的精准定位产生 困难，众所周知，柔性关节机器人在进行轨迹跟踪任务时，容易产生振荡现象， 因此，开发出一种可靠的基于两质量-弹簧-阻尼系统模型的位置控制方法，具 有重要的理论和现实意义。
目前针对两质量-弹簧-阻尼系统模型开发的控制方法主要存在以下几方面 不足：
一是控制算法需要全状态反馈，即控制算法需要同时感知系统的位置状态 和速度状态；
二是控制算法采用的观测器其估计误差是渐近收敛于0或者收敛于一定区 域，较慢的收敛或者不准确的收敛都影响控制精度；
三是两质量-弹簧-阻尼系统属于四阶系统，且系统同时存在匹配扰动和非 匹配扰动，用较简单的控制算法处理非匹配扰动是难点，传统的“反步法”设 计较为冗余繁杂。
发明内容
本发明的目的在于提出一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法，以解决 现有的现有的基于两质量-弹簧-阻尼系统的位置控制算法存在的需要全状态反 馈，观测器收敛较慢或者不精确，不能用较简单的方式设计控制算法解决非匹 配扰动的现象。
本发明采用的技术方案如下：一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法， 包括以下步骤：
步骤1、建立两质量-弹簧-阻尼系统的数学模型，如下：
Figure BDA0003158520360000021
Figure BDA0003158520360000022
其中，p1、
Figure BDA0003158520360000023
和
Figure BDA0003158520360000024
分别是负载端质量块的位置、速度和加速度；m1 m1是负 载端质量块的质量；b1是负载端质量块的粘性阻尼系数；d1(t)是作用在负载端 质量块上的外部扰动；p2、
Figure BDA0003158520360000025
m2、b2和d2(t)分别是电机端质量块相对应 的物理量变量或参数；c是弹簧的弹性系数；u是驱动源的驱动力；
步骤2、将两质量-弹簧-阻尼系统动力学模型写成状态空间形式，令x1＝p1，
Figure RE-GDA0003309510240000026
x3＝p2和
Figure RE-GDA0003309510240000027
则表达式可以写成如下形式：
Figure BDA0003158520360000028
Figure BDA0003158520360000029
Figure BDA00031585203600000210
Figure BDA00031585203600000211
步骤3、针对状态空间形式的两质量-弹簧-阻尼系统动力学方程(1)设计一 种有限时间观测器用于估计系统的速度状态x2、x4和扰动d1、d2。
步骤4、结合上述观测器设计基于部分状态反馈的动态面控制器实现两质 量-弹簧-阻尼系统负载端质量块位置的鲁棒跟踪。
综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：
1、观测器不仅可以估计速度状态x2和x4，使控制器只依赖于驱动端质量块 和负载端质量块的位置信号，同时能够估计系统的匹配扰动和非匹配扰动，使 控制器具有较强的鲁棒性；
2、观测器是有限时间收敛的，所以能快速估计速度和扰动信号，更加增强 了系统对扰动的鲁棒性；
3、采用的基于部分状态反馈的动态面控制器设计方法避免了传统“反步法” 控制器对虚拟控制器导数的依赖，大大简化了控制器设计工作量；
4、控制器只需要期望指令的原阶信号和一阶导数信号，不需要更高阶导数 信号，降低了对指令规划器的要求。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例， 对本发明进行进一步详细说明。
实施例一：
一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法，步骤1、针对两质量-弹簧-阻尼 系统的负载端质量块子系统设计虚拟模型。为此，对(1)的第二个等式两边积分， 将其写成如下形式：
Figure BDA0003158520360000031
其中，
Figure BDA0003158520360000032
是一个正的标量数；
Figure BDA0003158520360000033
是一个已知函数；
Figure BDA0003158520360000034
是未知的积分常数。
步骤2、针对式(3)设计一个如下形式的虚拟系统：
Figure BDA0003158520360000035
其中，
Figure BDA0003158520360000036
是一个虚拟状态，其值可以由式(4)计算。
步骤3、定义辅助变量x1e＝x1-x1v，针对x1e设计如下二阶滑模微分器：
Figure BDA0003158520360000037
其中，
Figure BDA0003158520360000038
是微分器增益。
步骤4、由以上推导出速度状态x2和扰动d1的估计表达式如下：
Figure BDA0003158520360000039
步骤5、对于速度状态x4和扰动d2，采用以上步骤设计观测器，推出其估计
Figure BDA00031585203600000310
和
Figure BDA00031585203600000311
然后，结合上述观测器构造基于部分状态反馈的动态面控制器，具体过程如 下：
步骤1、定义跟踪误差变量如下：
Figure BDA0003158520360000041
其中，xr是期望的负载端质量块的指令位置；xid
Figure BDA0003158520360000042
是虚拟控制变量。 对于s2和s4，其估计表达式为：
Figure BDA0003158520360000043
步骤2、写出si
Figure BDA0003158520360000044
导数的表达式如下：
Figure BDA0003158520360000045
步骤3、对于虚拟控制变量xid
Figure BDA0003158520360000046
设计如下一阶滤波器：
Figure BDA0003158520360000047
其中，αi
Figure BDA0003158520360000048
是滤波器时间常数；fi
Figure BDA0003158520360000049
是滤波器输入，表达式为：
Figure BDA00031585203600000410
其中，ki>0
Figure BDA00031585203600000411
是控制增益。
步骤4、最后设计实际控制律u为：
Figure BDA00031585203600000412
其中，k4>0是控制增益。
上述控制器对应的闭环控制系统的稳定性证明如下：
步骤1、(3)式减去(4)式，再进行相应的微分操作，推导出下式：
Figure BDA0003158520360000051
步骤2、速度状态x2表示为：
Figure BDA0003158520360000052
步骤3、高阶滑模微分器(5)的误差表达式为：
Figure BDA0003158520360000053
步骤4、结合(6)、(13)和(14)，写出观测器估计误差表达式为：
Figure BDA0003158520360000054
步骤5、由高阶滑模微分器的性质及表达式(15)、(16)知，存在有限时刻Tf1>0， 当t>Tf1时，下式成立：
Figure BDA0003158520360000055
步骤6、同理推出，存在有限时刻Tf2>0，当t>Tf2时，下式成立：
Figure BDA0003158520360000056
步骤7、对于一阶滤波器(10)，定义滤波误差变量yi＝xid-fi。考虑到(17)和 (18)，当t>max{Tf1,Tf2}时，si
Figure BDA0003158520360000057
导数的表达
Figure BDA0003158520360000058
式(9)重新写为：
Figure BDA0003158520360000059
步骤8、对于滤波误差yi
Figure BDA00031585203600000510
其导数为：
Figure BDA00031585203600000511
其中，函数ηi(*1,*2,…,*n)代表其值只与变量*1,*2,…,*n有关。
步骤9、定义以下集合：
Figure BDA0003158520360000061
其中，Γi>0
Figure BDA0003158520360000062
很明显，
Figure BDA0003158520360000063
和
Figure BDA0003158520360000064
分别是
Figure BDA0003158520360000065
和
Figure BDA0003158520360000066
上的紧集。则
Figure BDA0003158520360000067
是
Figure BDA0003158520360000068
上的紧集。
步骤10、选取Lyapunov函数为
Figure BDA0003158520360000069
其导数为：
Figure BDA00031585203600000610
其中，
Figure BDA00031585203600000611
a2＝k2-1，a3＝k3-1，
Figure BDA00031585203600000612
以及
Figure BDA00031585203600000613
步骤11、由于σ在紧集Sall上是有界的，定义σmax是其在Sall上的最大值。选取增 益为
Figure BDA00031585203600000614
k2>1，k3>1，
Figure BDA00031585203600000615
0<αi<1，则下式成立：
Figure BDA00031585203600000616
其中，
Figure BDA00031585203600000617
注意如果选取
Figure BDA00031585203600000618
V≤Γ2是 一个不变集。这保证了闭环系统各种信号的半全局有界性。
步骤12、由(23)推导出下面不等式：
Figure BDA00031585203600000619
步骤13、进而推出下面等式：
Figure BDA00031585203600000620
因此，通过增大ζ，位置跟踪误差xe＝xr-x1能够任意趋近于0。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发 明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明 的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种两质量-弹簧-阻尼系统位置控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立两质量-弹簧-阻尼系统的数学模型，如下：
Figure RE-FDA0003309510230000011
Figure RE-FDA0003309510230000012
其中，p1、
Figure RE-FDA0003309510230000013
和
Figure RE-FDA0003309510230000014
分别是负载端质量块的位置、速度和加速度；m1 m1是负载端质量块的质量；b1是负载端质量块的粘性阻尼系数；d1(t)是作用在负载端质量块上的外部扰动；p2、
Figure RE-FDA0003309510230000015
m2、b2和d2(t)分别是电机端质量块相对应的物理量变量或参数；c是弹簧的弹性系数；u是驱动源的驱动力；
步骤2、将两质量-弹簧-阻尼系统动力学模型写成状态空间形式，令x1＝p1，
Figure RE-FDA0003309510230000016
x3＝p2和
Figure RE-FDA0003309510230000017
则表达式可以写成如下形式：
Figure RE-FDA0003309510230000018
Figure RE-FDA0003309510230000019
Figure RE-FDA00033095102300000110
Figure RE-FDA00033095102300000111
步骤3、针对状态空间形式的两质量-弹簧-阻尼系统动力学方程设计一种有限时间观测器用于估计系统的速度状态x2、x4和扰动d1、d2；
步骤4、结合上述观测器设计基于部分状态反馈的动态面控制器实现两质量-弹簧-阻尼系统负载端质量块位置的鲁棒跟踪。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN114161402A (zh) * 2021-12-17 2022-03-11 深圳市优必选科技股份有限公司 机器人稳定控制方法、模型构建方法、装置和机器人

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Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112008726A (zh) * 2020-08-28 2020-12-01 浙江协力机器人技术有限公司 基于外骨骼机器人作动器的复合有限时间控制方法

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