CN113689566A - 一种基于特征约束的三角网格优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及计算机图形学、虚拟现实技术领域，公开了一种基于特征约束的三角网格优化方法，读取并初始化网格模型数据，设置简化目标和迭代次数，计算三角网格模型边影响因子，加权到边收缩代价中，确定可收缩边，寻找最合适的折叠顶点位置，并将新的可折叠代价和最合适顶点位置折叠代价进行排序，折叠代价最小的边，更新顶点位置，对收缩边所占初始模型的百分比，若满足则进行网格优化模块，否则重新计算进行折叠代价的排序，优化网格时利用改进后的拉普拉斯算子和平均曲率算子结合方法，对简化后三角网格模型优化劣质的三角形，计算初始模型与优化后模型之间的误差，达到阈值则结束算法。

Description

一种基于特征约束的三角网格优化方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学、虚拟现实技术领域，具体涉及一种基于特征约束的三角网格优化方法。

背景技术

在虚拟现实场景模型中，模型不管在顶点还是面都具有更大的数据量，由于受到计算机性能的影响，在VR环境下的场景不仅要满足显示时间与用户交互速度一致，还要与用户视点视角变化一致，因此，对于虚拟场景中三角网格模型的细节特征保持上具有较大的挑战。但在对三维模型进行简化过程一般会存在如下问题：一是在三角网格模型简化过程中，随着简化程度的不断提高，模型的视觉特征会越来越不明显，而部分特征对整个模型来说意义重大，为正确表现这些特征，网格简化在模型细节特征保留上的研究仍是一个值得探究的问题；二是在三角网格模型简化后会出现一些比较狭长或者畸形的三角网格，此类三角网格模型在渲染过程中，网格质量不好的三角形网格容易影响模型的视觉效果，且曲率变化较大的地方劣质三角形网格更多，局部特征不明显，故对三角网格进行优化也是一个非常重要的方面。同时，为了降低场景加载与场景处理之间的实时性，网格简化在场景漫游及展示方面有着重要的意义。

三角网格模型简化算法中对最终效果影响的较重要的因素主要在两个方面：一是新顶点位置的确定，二是折叠顺序的确定。在CN109345627A,2019-02-15.专利中特征区域的边收缩代价计算采用点到平面的距离误差度量算法；CN111968237A,2020-11-20.专利中采用顶点近似曲率、折叠边的边长和三角形狭长度的边收缩算法来保留模型细节特征；焦越,王慧青,吴煜豪,杨哲.结合面积度量和误差校正的网格简化算法[J].计算机工程与应用,2019,55(17):221-226.提出一种将局部面积度量加入简化过程的二次误差算法等等。以上论文和相关专利算法将三维模型几何特征影响到的几何因子作为权值计算，但只关注原始网格和简化后网格之间的误差，忽略了网格中较小的几何特征。

简化后的网格一般都未考虑三角网格质量，三角网格中存在较多质量差的三角网格，故对网格优化尤为重要。其中任华桥.基于工业CT图像的三角网格简化及狭长三角网格优化研究[D].重庆大学,2019.针对网格中存在的大量细小或狭长三角网格，利用其顶点及二阶邻域三角网格的二阶加权拉普拉斯坐标，最终确定核函数参数来预测顶点位置来减少狭长三角网格并提高网格质量；何发智,梁亚倩,陈壹林,李浩然.一种基于优化的特征保持的三维网格模型简化方法和系统[P].湖北省：CN111667565A,2020-09-15.采用鲸鱼优化算法为基础进行改进，寻找最优的边分裂操作和边收缩操作序列组合方式，进而减少简化后模型与原始模型误差减少；任华桥,段黎明,陈杨喜,罗喜为.基于最小二乘支持向量机的狭长三角形网格优化方法[P].重庆市：CN109872394A,2019-06-11.利用最小而成法作为向量机改进形式的拉普拉斯算子的三角网格优化方法来将狭长三角网格接近正三角形网格；以上论文和相关专利算法优化对象均主要针对于狭长三角网格，而对于畸形三角网格、冗余三角形或者不符合Delaunay准则的三角形处理效果不明显，且未考虑三角网格模型的细节特征，若三角网格密度不均匀，使用拉普拉斯算法优化会造成模型整体变形。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明提供一种基于特征约束的三角网格优化方法，通过改进曲面的高斯曲率，对高斯曲率绝对值较大的边缘进行惩罚，从而增加了代价，使得它们在较平坦和较不精细的区域中比边缘要晚处理，显示出网格中比较细节的特征；结合改进后的拉普拉斯算子和平均曲率算子对优化算子进行改进，改进后的算子使得三角网格在平坦的特征大幅优化，特征多的小幅度优化，区分并保留了网格中的特征。

技术方案：本发明提供了一种基于特征约束的三角网格优化方法，包括如下步骤：

步骤1：读取用户输入的迭代次数及简化目标，建立网格中顶点的拓扑关系，并对模型中不同的顶点进行分类，包括边界顶点；

步骤2：计算每个顶点的二次误差矩阵、邻域三角平均面积和顶点高斯曲率；

步骤3：对每条边进行误差计算，并计算每条边的边长、边收缩误差矩阵、新顶点的位置及边收缩误差；

步骤4：对所计算的边收缩误差进行排序；

步骤5：每次从边收缩误差中选取最小误差边进行边收缩操作；

步骤6：对边收缩后所影响的特征因素进行更新；在下次边收缩之前，重新计算与收缩边相关联的所有边收缩代价，更新堆中的折叠代价的顺序、顶点位置、边收缩误差。

步骤7：若不符合简化条件，跳到步骤5，否则继续；

步骤8：对网格进行初始化，计算每个顶点的优化算子，并计算新的顶点坐标、网格误差；

步骤9：将计算误差与设定阈值进行比较，不符合条件则跳转步骤8，符合则继续；

步骤10：更新顶点位置，不符合迭代次数跳转步骤8，符合则结束。

进一步地，所述步骤2中计算每个顶点的二次误差矩阵、邻域三角平均面积和顶点高斯曲率的方法为：

步骤2.1：为网格模型中每个顶点分配二次误差矩阵Q(v_i)，网格模型中顶点坐标表示为v_i＝(x，y，z)^T，与顶点v_i相关的三角形平面方程为ax+by+cz+d＝0，令p＝(a，b，c，d)^T表示平面，顶点v_i到平面距离如下：

R²＝(p^Tv)²＝(p^Tv)^T·(p^Tv)＝v^T(pp^T)v＝v^TK_Pv

其中，K_p为一个4×4的矩阵：

步骤2.2：用Q(v_i)表示顶点v_i的二次误差矩阵如下：

其中，planes(v_i)为以v_i为顶点的三角形集合；

步骤2.3：计算三角形面积可通过给出三角形的三个顶点坐标v₀(x₀，y₀，z₀)，v₁(x₁，y₁，z₁)，v₂(x₂，y₂，z₂)，令三角形面积为S(Tr)，

步骤2.4：考虑局部区域中某点邻接三角形面积大小及网格密度对模型特征损失的影响，对顶点v_i的邻接三角形的平均面积计算如下：

其中n为顶点v_i邻接三角形数目，S(Tr_i)为顶点v_i邻接三角形中第i个三角形面积；

步骤2.5：通过对网格中三角形的角度和面积之和来计算顶点曲率，设α_i为所求顶点邻域内第i个三角形的角度，利用高斯-博内定理近似得：

其中，

为以此顶点为三角形且在顶点局部邻域内的角度和，N表示顶点的局部邻域，dS_N为该曲面的面积元，高斯曲率用G表示；

步骤2.6：假设G在顶点的局部区域内是常数，可将其近似为周围的重心区域，求解G：

其中，

为顶点重心邻域N内第i个三角面面积。

进一步地，所述步骤3的具体方法为：

步骤3.1：利用欧氏距离方法计算v_i，v_j间的折叠边长：

其中，v_i，v_j坐标为v_i＝(x_i，y_i，z_i)，v_j＝(x_j，y_j，z_j)；

步骤3.2：顶点邻接三角形平均面积

与顶点高斯曲率

建立关系式，用边约束因子

表示；

步骤3.3：由二次误差矩阵并将

作为权值加入边代价计算中，当边(v_i，v_j)收缩至新顶点v＝[x y z 1]^T时，令

且将G(v_i，v_j)映射到[0，1]，则收缩边总误差矩阵如下：

步骤3.4：将Q(v_i)，Q(v_j)记为Q(v)，则边收缩误差计算如下：

其中，Q(v)矩阵形式为；

步骤3.5：由边收缩误差看出边收缩代价函数方程为二次曲面方程，对其求偏导并极小化求新顶点位置坐标；

步骤3.6：列出方程组如下：

变成矩阵形式，记左边矩阵为r如下：

若矩阵不可逆，则v＝[x y z 1]^T为折叠边新顶点；

步骤3.7：若矩阵r可逆，对于非边界顶点求新顶点，则得到v的唯一解：

对于边界顶点，利用折叠边两端点位置加权权重来确定：

其中，

为折叠边两端点的权值，且

步骤3.8：

定义如下，由

为步骤3.3知，即每个顶点局部邻域内的曲率；

步骤3.9：含有边界顶点的收缩边需要处理边界问题，给边界边设置一个合适的权值，将其折叠误差增大，保留网格边界特征。

进一步地，所述步骤4中对计算的边收缩误差进行排序：设网格模型有n条边，使用1×n的数组模拟堆，从小到达对边收缩误差进行排序，并依次存入最小堆中。

进一步地，所述步骤8的具体方法为：

步骤8.1：对网格数据进行初始化，计算平均曲率，具体为：

其中，

为顶点v_i平均曲率，

为v_i的法向单位向量，λ，β为边(v_i，v_j)所对的两个角，I为顶点局部重心邻域内三角面面积；

步骤8.2：得到新的顶点优化调整算法：

其中，σ为引入的网格模型调整参数；

步骤8.3：将步骤1中的网格特征顶点加入到平均曲率中，c(i)为特征顶点加权后平均曲率，并利用新的顶点优化调整算法优化近似得：c(i)′＝(1-ω·H_i)·c(i)，其中，ω为惩罚项，并取0.1，若0.5＜ω·H_it＜1，则将其调整为0.5；

步骤8.4：将步骤8.2和步骤8.3结合得到平均曲率优化算子，并用拉普拉斯算子基础上利用加权位置约束的对角矩阵W_p，增大W_p权值：

其中，V_d′为x，y和z的位置加权矩阵，L为拉普拉斯矩阵，且

L即均匀权拉普拉斯矩阵，f即均匀权拉普拉斯量；

步骤8.5：利用改进后的拉普拉斯算子计算后，与平均曲率优化算子相结合得到网格优化算子；

步骤8.6：在不断对网格迭代优化过程中，计算顶点坐标，并利用平均距离作为网格误差的误差度量。

有益效果：

1、本发明方法基于已有边收缩算法，利用误差加权方法，将边特征因子引入误差函数中，并结合改进后拉普拉斯和平均曲率优化网格质量。

2、本发明利用基于二次误差度量的边收缩算法对模型几何特征加权进行计算，该算法基于已有的边收缩方式，利用改进的高斯曲率和边的几何特征加权来保留模型的细节特征；利用改进后的拉普拉斯算子结合平均曲率算子，对简化后的模型进行优化，实现模型平坦区域和局部区域劣质三角形的优化，可缩小原始模型和简化后模型间的误差差距，保留原始模型的细节特征，提高三角网格模型的视觉保真度。

附图说明

图1为本发明基于三角网格简化及优化方法整体流程图；

图2为本发明边界顶点处理示意图；

图3为本发明三角网格模型优化方法流程图；

图4为本发明计算平均曲率的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明公开了一种基于特征约束的三角网格优化方法，具体操作过程为：

步骤1：读取初始三角网格模型、用户输入的迭代次数及简化目标，并初始化网格的数据结构，具体为：

步骤1.1：读取初始网格模型，根据用户输入的简化目标和迭代次数来对网格模型进行简化；

步骤1.2：定义Mesh类，用M表示；Point_3d包含组成3个顶点信息，定义三角形Trangle(Tr)结构，并使用索引方式来对表示三角形顶点在Mesh中点集数组中的位置，且满足关系P_3d＝{v₁，v₂，...}；

步骤1.3：用二元组形式表示网格，M＝(V，Tr)，其中顶点集合V＝(v₁，v₂，...，v_n)，三角形集合Tr＝(Tr₁，Tr₂，...，Tr_n)；

步骤1.4：定义三角形网格Tr₀，对三角网格Tr₀中任意一个顶点v_i，直接与顶点v_i相连的点的集合为v_i的一阶邻域点，此外，对于Tr₀中任意一条边(v_i，v_j)，与该边两端点v_i，v_j相邻的三角形集合的交集为边(v_i，v_j)的邻域三角形；

步骤1.5：定义边界边，三角形网格T₀中的任意一条边(v_i，v_j)，若与该边相邻的三角形数目为1，则为边界边，且不对此边进行折叠；

步骤1.6：对网格模型中顶点进行分类，给定阈值角度δ，若特征边邻接的两个三角面法向夹角大于或等于δ，则该边是特征边，特征边所包含顶点为特征顶点，否则为非边界顶点。

步骤2：计算每个顶点的二次误差矩阵、领域三角平均面积和顶点高斯曲率，具体为：

步骤2.1：为网格模型中每个顶点分配二次误差矩阵Q(v_i)，网格模型中顶点坐标表示为v_i＝(x，y，z)^T，与顶点v_i相关的三角形平面方程为ax+by+cz+d＝0，令p＝(a，b，c，d)^T表示平面，顶点v_i到平面距离如下：

R²＝(p^Tv)²＝(p^Tv)^T·(p^Tv)＝v^T(pp^T)v＝v^TK_Pv (1)

其中，K_p为一个4×4的矩阵：

步骤2.2：用Q(v_i)表示顶点v_i的二次误差矩阵如下：

其中，planes(v_i)为以v_i为顶点的三角形集合；

步骤2.3：计算三角形面积可通过给出三角形的三个顶点坐标v₀，v₁，v₂，令三角形面积为S(Tr)；

步骤2.4：考虑局部区域中某点邻接三角形面积大小及网格密度对模型特征损失的影响，对顶点v_i的邻接三角形的平均面积计算如下：

其中，n为顶点v_i邻接三角形数目，S(Tr_i)为顶点v_i邻接三角形中第i个三角形面积；

步骤2.5：通过对网格中三角形的角度和面积之和来计算顶点曲率，设α_i为所求顶点邻域内第i个三角形的角度，利用高斯-博内定理近似得：

其中，

为以此顶点为三角形且在顶点局部邻域内的角度和，N表示顶点的局部邻域，dS_N为该曲面的面积元，高斯曲率用G表示；

步骤2.6：假设G在顶点的局部区域内是常数，可将其近似为周围的重心区域，由公式(6)求解G：

其中，

为顶点重心邻域N内第i个三角面面积。

步骤3：对每条边进行误差计算，并计算每条边的边长、边收缩误差矩阵、新顶点的位置及边收缩误差，具体为：

步骤3.1：计算v_i，v_j间的折叠边长，利用欧氏距离方法计算得到：

其中，v_i，v_j坐标为v_i＝(x_i，y_i，z_i)，v_j＝(x_j，y_j，z_j)；

步骤3.2：顶点邻接三角形平均面积

越小，顶点高斯曲率

变化越剧烈，由此建立关系式，用边约束因子

表示；

步骤3.3：由公式(3)得，并将

作为权值加入边代价计算中，当边(v_i，v_j)收缩至新顶点v＝[x y z 1]^T时，令

且将G(v_i，v_j)映射到[0，1]，则收缩边总误差矩阵如下：

步骤3.4：将Q(v_i)，Q(v_j)记为Q(v)，则边收缩误差计算如下：

其中，Q(v)矩阵形式为；

步骤3.5：由公式(11)看出边收缩代价函数方程为二次曲面方程，若矩阵不可逆，对其求偏导并极小化求新顶点位置坐标；

步骤3.6：列出方程组如下：

变成矩阵形式，记左边矩阵为r如下：

其中，v＝[x y z 1]^T为折叠边新顶点；

步骤3.7：若矩阵r可逆，对于非边界顶点求新顶点，则得到v的唯一解：

对于边界顶点，利用折叠边两端点位置加权权重来确定：

其中，

为折叠边两端点的权值，且

步骤3.8：

由以下公式定义，由G(v_i，v_j)为步骤3.3知，即每个顶点局部邻域内的曲率；

步骤3.9：含有边界顶点的收缩边需要处理边界问题，可利用给边界边设置一个合适的权值，将其折叠误差增大，保留网格边界特征，如图2。

步骤4：对所计算的边收缩误差进行排序。使用数组模拟堆的数据进行添加和删除操作，设网格模型有n条边，即可使用1×n的数组模拟堆，从小到达对边收缩代价进行排序，并依次存入最小堆中。

步骤5：每次从边收缩误差中选取最小误差边进行边收缩操作。设一条边的两个顶点v₁，v₂，在将两个顶点删除后，添加新的顶点v，并将v₁，v₂顶点相关的边连接到顶点v，最后删除顶点邻域内的边和三角形。

步骤6：对边收缩后所影响的特征因素进行更新，如顶点位置、边收缩误差的更新。在下次边收缩之前，重新计算与收缩边相关联的所有边收缩代价，更新堆中的折叠代价的顺序、顶点位置、边收缩误差。

步骤7：若不符合简化条件，跳到步骤5，否则继续；

步骤8：对网格进行初始化，计算每个顶点的优化算子，并计算新的顶点坐标、网格误差，具体如图3所示：

步骤8.1：对网格数据进行初始化，计算平均曲率，如图4：

其中，

为顶点v_i平均曲率，

为v_i的法向单位向量，λ，β为边(v_i，v_j)所对的两个角，I为顶点局部重心邻域内三角面面积；

步骤8.2：得到新的顶点优化调整算法：

其中，σ为引入的网格模型调整参数；

步骤8.3：将步骤1定义的网格特征顶点加入到平均曲率中，c(i)为特征顶点加权后平均曲率，并利用公式(20)近似得：

c(i)＝(1-ω·H_i)·c(i) (21)

其中，ω为惩罚项，并取0.1，若0.5＜ω·H_it＜1，则将其调整为0.5；

步骤8.4：将公式(20)和公式(21)结合得到平均曲率优化算子，并用拉普拉斯算子基础上利用加权位置约束的对角矩阵W_p，增大W_p权值：

其中，V_d′为x，y和z的位置加权矩阵，L为拉普拉斯矩阵，且

L即均匀权拉普拉斯矩阵，f即均匀权拉普拉斯量；

步骤8.5：利用改进后的拉普拉斯算子计算后，与平均曲率优化算子相结合得到网格优化算子；

步骤8.6：在不断对网格迭代优化过程中，计算顶点坐标，并利用平均距离作为网格误差的误差度量；

步骤9：将计算误差与设定阈值进行比较，不符合条件则跳转步骤8，符合则继续；

步骤10：更新顶点位置，不符合迭代次数跳转步骤8，符合则结束。

本发明提通过读取并初始化网格模型数据，设置简化目标和迭代次数，计算三角网格模型边影响因子，加权到边收缩代价中，确定可收缩边，寻找最合适的折叠顶点位置，并将新的可折叠代价和最合适顶点位置折叠代价进行排序，折叠代价最小的边，更新顶点位置，对收缩边所占初始模型的百分比，若满足则进行网格优化模块，否则重新计算进行折叠代价的排序，优化网格时利用改进后的拉普拉斯算子和平均曲率算子结合方法，对简化后三角网格模型优化劣质的三角形，计算初始模型与优化后模型之间的误差，达到阈值则结束算法。

本发明针对三角网格模型简化的网格特征保持和网格质量优化需求，尤其对于平坦区域、圆角区域和边界区域的三维模型能够较好的保证简化后的网格特征，同时，拉普拉斯算子和平均曲率算子的有效结合，使得劣质的三角形优化为符合规则的正三角形，缩小原始网格模型与简化后网格模型误差大小，得到网格特征与原始模型较近似模型。

上述实施方式只为说明本发明的技术构思及特点，其目的在于让熟悉此项技术的人能够了解本发明的内容并据以实施，并不能以此限制本发明的保护范围。凡根据本发明精神实质所做的等效变换或修饰，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于特征约束的三角网格优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：读取用户输入的迭代次数及简化目标，建立网格中顶点的拓扑关系，并对模型中不同的顶点进行分类，包括边界顶点；

步骤2：计算每个顶点的二次误差矩阵、邻域三角平均面积和顶点高斯曲率；

步骤3：对每条边进行误差计算，并计算每条边的边长、边收缩误差矩阵、新顶点的位置及边收缩误差；

步骤4：对所计算的边收缩误差进行排序；

步骤5：每次从边收缩误差中选取最小误差边进行边收缩操作；

步骤6：对边收缩后所影响的特征因素进行更新；在下次边收缩之前，重新计算与收缩边相关联的所有边收缩代价，更新堆中的折叠代价的顺序、顶点位置、边收缩误差。

步骤7：若不符合简化条件，跳到步骤5，否则继续；

步骤8：对网格进行初始化，计算每个顶点的优化算子，并计算新的顶点坐标、网格误差；

步骤9：将计算误差与设定阈值进行比较，不符合条件则跳转步骤8，符合则继续；

步骤10：更新顶点位置，不符合迭代次数跳转步骤8，符合则结束。

2.根据权利要求1所述的基于特征约束的三角网格优化方法，其特征在于，所述步骤2中计算每个顶点的二次误差矩阵、邻域三角平均面积和顶点高斯曲率的方法为：

步骤2.1：为网格模型中每个顶点分配二次误差矩阵Q(v_i)，网格模型中顶点坐标表示为v_i＝(x,y,z)^T，与顶点v_i相关的三角形平面方程为ax+by+cz+d＝0，令p＝(a,b,c,d)^T表示平面，顶点v_i到平面距离如下：

R²＝(p^Tv)²＝(p^Tv)^T·(p^Tv)＝v^T(pp^T)v＝v^TK_Pv

其中，K_p为一个4×4的矩阵：

步骤2.2：用Q(v_i)表示顶点v_i的二次误差矩阵如下：

其中，planes(v_i)为以v_i为顶点的三角形集合；

步骤2.3：计算三角形面积可通过给出三角形的三个顶点坐标v₀(x₀,y₀,z₀)，v₁(x₁,y₁,z₁)，v₂(x₂,y₂,z₂)，令三角形面积为S(Tr)，

步骤2.4：考虑局部区域中某点邻接三角形面积大小及网格密度对模型特征损失的影响，对顶点v_i的邻接三角形的平均面积计算如下：

其中n为顶点v_i邻接三角形数目，S(Tr_i)为顶点v_i邻接三角形中第i个三角形面积；

步骤2.5：通过对网格中三角形的角度和面积之和来计算顶点曲率，设α_i为所求顶点邻域内第i个三角形的角度，利用高斯-博内定理近似得：

其中，

为以此顶点为三角形且在顶点局部邻域内的角度和，N表示顶点的局部邻域，dS_N为该曲面的面积元，高斯曲率用G表示；

步骤2.6：假设G在顶点的局部区域内是常数，可将其近似为周围的重心区域，求解G：

其中，

为顶点重心邻域N内第i个三角面面积。

3.根据权利要求1所述的基于特征约束的三角网格优化方法，其特征在于，所述步骤3的具体方法为：

步骤3.1：利用欧氏距离方法计算v_i，v_j间的折叠边长：

其中，v_i，v_j坐标为v_i＝(x_i,y_i,z_i)，v_j＝(x_j,y_j,z_j)；

步骤3.2：顶点邻接三角形平均面积

与顶点高斯曲率

建立关系式，用边约束因子

表示；

步骤3.3：由二次误差矩阵并将

作为权值加入边代价计算中，当边(v_i,v_j)收缩至新顶点v＝[x y z 1]^T时，令

且将G(v_i,v_j)映射到[0,1]，则收缩边总误差矩阵如下：

步骤3.4：将Q(v_i)，Q(v_j)记为Q(v)，则边收缩误差计算如下：

其中，Q(v)矩阵形式为；

步骤3.5：由边收缩误差看出边收缩代价函数方程为二次曲面方程，对其求偏导并极小化求新顶点位置坐标；

步骤3.6：列出方程组如下：

变成矩阵形式，记左边矩阵为r如下：

若矩阵不可逆，则v＝[x y z 1]^T为折叠边新顶点；

步骤3.7：若矩阵r可逆，对于非边界顶点求新顶点，则得到v的唯一解：

对于边界顶点，利用折叠边两端点位置加权权重来确定：

其中，

为折叠边两端点的权值，且

步骤3.8：

定义如下，由G(v_i,v_j)为步骤3.3知，即每个顶点局部邻域内的曲率；

步骤3.9：含有边界顶点的收缩边需要处理边界问题，给边界边设置一个合适的权值，将其折叠误差增大，保留网格边界特征。

4.根据权利要求1所述的基于特征约束的三角网格优化方法，其特征在于，所述步骤4中对计算的边收缩误差进行排序：设网格模型有n条边，使用1×n的数组模拟堆，从小到大对边收缩误差进行排序，并依次存入最小堆中。

5.根据权利要求1所述的基于特征约束的三角网格优化方法，其特征在于，所述步骤8的具体方法为：

步骤8.1：对网格数据进行初始化，计算平均曲率，具体为：

其中，

为顶点v_i平均曲率，

为v_i的法向单位向量，λ，β为边(v_i,v_j)所对的两个角，I为顶点局部重心邻域内三角面面积；

步骤8.2：得到新的顶点优化调整算法：

其中，σ为引入的网格模型调整参数；

步骤8.3：将步骤1中的网格特征顶点加入到平均曲率中，c(i)为特征顶点加权后平均曲率，并利用新的顶点优化调整算法优化近似得：c(i)'＝(1-ω·H_i)·c(i)，其中，ω为惩罚项，并取0.1，若0.5＜ω·H_it＜1，则将其调整为0.5；

步骤8.4：将步骤8.2和步骤8.3结合得到平均曲率优化算子，并用拉普拉斯算子基础上利用加权位置约束的对角矩阵W_p，增大W_p权值：

其中，V_d'为x，y和z的位置加权矩阵，L为拉普拉斯矩阵，且

L即均匀权拉普拉斯矩阵，f即均匀权拉普拉斯量；

步骤8.5：利用改进后的拉普拉斯算子计算后，与平均曲率优化算子相结合得到网格优化算子；

步骤8.6：在不断对网格迭代优化过程中，计算顶点坐标，并利用平均距离作为网格误差的误差度量。

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