CN102306394A - 基于外观保持的三维模型简化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于外观保持的三维模型简化方法，包括以下步骤：一、读入模型数据；二、将模型顶点分为边界点和非边界点；三、计算每个顶点的二次误差度量矩阵Q及其他参数；四、计算每一条边(v_i，v_j)的折叠代价value，计算折叠代价时，根据是否是边界点、是否引起凹凸变化以及是否是细节图像，调整折叠代价；五、从优先队列中取出折叠代价最小的边进行简化操作；六、判断是否达到简化要求，若达到，则输出简化后模型，否则从步骤二开始重新执行模型的简化过程。本发明保持了二次误差度量的高效性，最大限度的保持模型外观的一致性、简单易行、简化速度快、鲁棒性好。

Description

基于外观保持的三维模型简化方法

技术领域

本发明涉及一种三维模型简化方法，属于计算机图形图像处理技术领域。

背景技术

三维模型作为三维仿真应用的基本组成部分，随着仿真系统的日益复杂，为了追求更高的真实感，三维模型变得越来越精细，导致模型的规模愈加庞大。但是高分辨率的模型对于计算机系统的存储容量、处理能力、渲染速度、传输速度等构成极大挑战，难以满足实时渲染的要求。在实际应用中，针对不同的应用场合，考虑到计算机的处理能力和场景的真实感等因素平衡折衷，一般选择一个合适的低分辨率模型代替原始高分辨率模型，降低系统开销，即模型简化。

模型简化的目的是通过特定的方法，降低原始模型的规模，同时在简化过程中尽量保持原始模型的形状和特征。目前已有三角形模型简化方法按照几何元素操作基础可以划分为顶点删除方法、三角形面片删除方法和边折叠方法三类。其中边折叠方法由于速度、健壮性的优势，以及作为增量式简化具有自然生成多分辨率模型的优点，获得了广泛深入的应用。其基本思想是：在每一次简化操作中以边作为被删除的基本几何元素，并增加一个新点，所有与被删除的边相连的点都与该新点相连，使模型仍保持三角形网格。在迭代进行多次选择性边折叠后，模型可简化至任意分辨率。

边折叠方法关键需要解决两个主要问题，即选取折叠边和确定代替边上新顶点的位置。Garland等人在《Surface simplification using quadric error metric》中提出的二次误差度量(Quadric Error Metric，简称QEM)方法，将简化误差度量简化为计算简单的顶点到相关平面的距离平方和，然后依据误差大小来排序各条待收缩边，控制简化过程。假设对边(v_i，v_j)进行折叠，则与边(v_i，v_j)相关联的三角形集合Planes(i，j)构成了原模型上的一个区域。将一次边折叠操作记作

分为如下三步改变模型：

(1)将顶点v_i移到位置

(2)将出现v_j的所有地方用v_i代替，即将所有关联至v_j的边关联至v_i；

(3)删除v_j，删除所有的退化边和退化三角形。

设折叠后生成的新位置

定义这次折叠带来的新误差

为

到三角形集合Planes(i，j)中每个三角形所在面的距离的平方和，即 $\mathrm{\Δ}\left(\stackrel{\‾}{v}\right)=\underset{p\∈\mathrm{Planes}(i,j)}{\mathrm{\Σ}}{\left(p^T\stackrel{\‾}{v}\right)}^2$

其中p＝[a b c d]^T表示三角型集合，Planes(i，j)中的每个三角形所在面的方程n^Tv+d＝0，其中n＝[a b c]^T为单位向量，d是距离常量，点

到任一平面距离的平方和可表示如下：

$D_p^2\left(\stackrel{\‾}{v}\right)={\left(p^T\stackrel{\‾}{v}\right)}^2={\stackrel{\‾}{v}}^T\left({\mathrm{pp}}^T\right)\stackrel{\‾}{v}={\stackrel{\‾}{v}}^T{K}_p\stackrel{\‾}{v}---\left(1\right)$

K_p是4×4的对称矩阵，称为三角形的误差矩阵，定义如下：

$K_p={\mathrm{PP}}^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}^2& \mathrm{ab}& \mathrm{ac}& \mathrm{ad}\\ \mathrm{ab}& b^2& \mathrm{bc}& \mathrm{bd}\\ \mathrm{ac}& \mathrm{bc}& c^2& \mathrm{cd}\\ \mathrm{ad}& \mathrm{bd}& \mathrm{cd}& d^2\end{array}\right]$

Q称为本次边折叠的误差矩阵，定义如下：

$Q=\underset{p\∈\mathrm{Planes}(i,j)}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{Kp}=\underset{p\∈\mathrm{Planes}(i,j)}{\mathrm{\Σ}}\left[\begin{array}{cccc}{a}^2& \mathrm{ab}& \mathrm{ac}& \mathrm{ad}\\ \mathrm{ab}& b^2& \mathrm{bc}& \mathrm{bd}\\ \mathrm{ac}& \mathrm{bc}& c^2& \mathrm{cd}\\ \mathrm{ad}& \mathrm{bd}& \mathrm{cd}& d^2\end{array}\right]=\underset{p\∈\mathrm{Planes}(i,j)}{\mathrm{\Σ}}\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& \mathrm{ab}& \mathrm{ac}\\ \mathrm{ab}& b^2& \mathrm{bc}\\ \mathrm{ac}& \mathrm{bc}& c^2\end{array}\right],$

C＝d²

令

为点v_i的二次误差度量矩阵，Planes(v_i)为所有包含顶点v_i的三角面的集合。

由式1和式2可得折叠代价近似为：

$\mathrm{\Δ}\left(\stackrel{\‾}{v}\right)=\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vi}\right)}{\mathrm{\Σ}}{D}_p^2\left(\stackrel{\‾}{v}\right)+\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vj}\right)}{\mathrm{\Σ}}{D}_p^2\left(\stackrel{\‾}{v}\right)=\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vi}\right)}{\mathrm{\Σ}}{D}_p^2\left(\stackrel{\‾}{v}\right)+\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vj}\right)}{\mathrm{\Σ}}{D}_p^2\left(\stackrel{\‾}{v}\right)=\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vi}\right)}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\‾}{v}}^T{K}_p\stackrel{\‾}{v}+\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vj}\right)}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\‾}{v}}^T{K}_p\stackrel{\‾}{v}$

$={\stackrel{\‾}{v}}^T(\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vi}\right)}{\mathrm{\Σ}}{K}_p+\underset{p\∈\mathrm{Planes}\left(\mathrm{vj}\right)}{\mathrm{\Σ}}{K}_p)\stackrel{\‾}{v}={\stackrel{\‾}{v}}^T(Q\left(v_i\right)+Q\left(v_j\right))\stackrel{\‾}{v}={\stackrel{\‾}{v}}^{T}Q\left(\stackrel{\‾}{v}\right)\stackrel{\‾}{v}$

代入A，B和C后得：

$\mathrm{\Δ}\left(\stackrel{\‾}{v}\right)=\stackrel{\‾}{v}A\stackrel{\‾}{v}+{2B}^T\stackrel{\‾}{v}+C---\left(3\right)$

新顶点

的误差矩阵由v_i和v_j的二次误差矩阵相加得到，通过观察

形式可知，点

位置的选取对折叠代价有直接影响，在矩阵A可逆的情况下，对式3求偏导并令其等于0，解得最优解为：

$\stackrel{\‾}{v}={\left[\begin{array}{cccc}{a}^2& \mathrm{ab}& \mathrm{ac}& \mathrm{ad}\\ \mathrm{ab}& b^2& \mathrm{bc}& \mathrm{bd}\\ \mathrm{ac}& \mathrm{bc}& c^2& \mathrm{cd}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

若A不可逆，则在v_i和v_j中选择折叠代价较小的点。

当简化流程开始后，首先读取模型，为每个顶点计算度量误差的矩阵，并计算每条边的收缩代价，计算完所有边的收缩代价以后，从具有最小误差数值的边开始进行收缩操作，收缩后，判断是否达到简化要求，并且将最优顶点作为新加入的顶点，更新相关边的折叠代价。

通过对QEM方法的分析可见，其误差度量标准主要是考虑新顶点位置与相关三角面的距离平方和，新顶点的位置，通常可以保证模型的体积变化最小，从一定程度上保证了模型外观的保持。但是基于体积的度量方式往往使简化集中于模型的尖锐特征和细节部分，而这些恰好是保持模型外观的重要因素，且根据QEM方法生成新顶点的法矢量与原始模型的法矢量有可能反向，也会对模型外观产生较大影响，这些应该在模型简化过程中尽量避免。

发明内容

本发明的目的是为了克服二次误差度量方法的不足，解决非均匀分布模型中细节局部的处理，在二次误差度量方法的基础上，引入边界约束条件、尖锐几何元素控制和模型精细度差别处理，解决模型简化中出现的外观畸变问题，在保持了二次误差度量方法高效率的同时，获得更好的保真度。

本发明提供了一种基于外观保持的三维模型简化方法，包括以下步骤：

一、读入模型数据；

二、对模型顶点进行分类，分为边界点和非边界点，并计算所有三角形平均面积

三、计算每个顶点的二次误差度量矩阵Q，顶点所有相关三角形面积S_i以及个数m，并且计算每个顶点的近似法矢量n_p：设顶点的m个相关平面的法矢量分别为n_i，面积为s_i，i∈(1，m)，则该顶点的近似法矢量为：

分析QEM方法的误差度量计算公式，由式3以及其矩阵表达形式可知，

为实二次型，所有误差值点构成闭合的空间曲面，在误差矩阵可逆的情况下，最优解的结果可能导致模型的法向量偏移(模型凸凹特性)改变，即若一待折叠边收缩以后，所有顶点位置与原折叠边的相关顶点组成新的三角平面组，与原始三角平面组相比，可能造成原始带折叠边相关顶点向模型外外凸的改变为向模型内凹，反之亦然。为避免这种折叠情况，计算误差时应赋予较大权值。

由于三角网格模型是分段连续模型，没有连续的矢量和曲率，本方法中利用待折叠边相关平面矢量进行插值求值。对三角网格模型中任一点p来说，其法矢量n_p可根据该点的三角形法矢量的加权平均来计算，取三角形的面积为权值，如图2所示，点p的6个相关平面，假设其法矢量分别为n_i，面积为s_i(i∈{1，2，3，4，5，6})，则点p的矢量为： $n_p=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i{n}_i/\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i;$

四、计算每一条边(v_i，v_j)的折叠代价value，根据value数值大小，将所有待折叠边放入优先队列；

本发明对计算折叠代价的方法进行了优化，本发明中计算折叠代价value的方法为：

(1)首先判断v_i和v_j的类型，如果其中有边界点，则将该边的折叠代价赋值为大于所有折叠代价的数值MAX，例如所使用数据类型的最大值，如果没有，则使用常规的二次误差度量方法计算最佳折叠点

和折叠代价value；

边界边是指如图4所示边，边界边的折叠对模型外观影响较大，非边界边折叠影响较小，如图3所示。因此一般的边折叠简化方法中应避免边界边的折叠，因此我们提出的相应方法如下：首先判断边是否为边界边，当判定为边界边以后，其两端点被认定为边界顶点，由于包含边界顶点的非边界边折叠以后，会间接改变边界边，造成边界边的改变，因此对于边界边和包含边界顶点的非边界边，都赋予极大折叠误差。这是本发明对折叠代价计算方法的第一层优化。

(2)根据的位置计算其近似法矢量，与v_i和v_j法矢量之和进行比较；用户在90°和180°之间设定一个角度α，若两个矢量角度相差超过α，则将误差value赋值为MAX，若相差不超过α，则根据v_i和v_j的相关三角形的面积和个数，计算待折叠边相关三角形平均面积

并根据

的值是否大于0判断是否属于模型精细部分，若大于0则属于模型精细部分，折叠代价

否则保持value数值不变；其中d为细节保留程度常数，由用户设定，d的值越大，细节保留程度越高；

分别计算待折叠边(v_i，v_j)中v_i和v_j的法矢量，以v_i，v_j法矢量的向量和n_ij作为待折叠边(v_i，v_j)的方向向量，再计算最优顶点

的法矢量

判断

和n_ij的夹角是否超过设定角度，如果超过，则认为简化前后模型的凸凹性质发生了改变。该设定角度用户可以在90°和180°之间选取，角度越小判定条件越严格。为了避免使简化前后模型的凸凹性质发生改变，需要对相应待折叠边的简化误差做权值增加处理，本方法直接对误差度量赋极大值。这是本发明对折叠代价计算方法的第二层优化。

对大多数三维模型来说，其分辨率不是均匀分布的，一般而言外观曲率变化较大的部分三角面片比较密集，三角面片面积较小，而在外观曲率变化较小的部分三角面片比较稀疏，三角面片面积较大，对三维模型而言，其细节特征区域往往对模型的外观影响较大。在QEM方法的误差度量标准下，由于面积较小的三角面片区域改变后，引起的体积变化较小，基于体积变化的误差度量趋向于优先简化模型的精细部分，从而导致虽然模型整体体积变化较小，但是丢失了三维模型的细节特征，这不利于模型外观的保持。为了避免模型细节的丢失，本方法考虑在误差度量计算中引入模型细节特征加权，根据三角形面片的密集程度，对细节集中区域的简化误差进行权值调整。本方法根据相关三角形的面积计算误差调整的权值。

简化过程开始以后，首先计算模型所有三角形的面积，并且除以三角形总个数，得到模型所有三角面片的平均面积

假设待折叠边(v_i，v_j)的所有相关三角形面积和分别为s_ij，个数分别为m_ij，则相关三角形面积平均值为

若

表明待折叠边的相关三角形平均面积较小，属于细节特征部分，采用二次误差度量值乘以

作为误差的权值增量，其中d为细节保留程度常数，通过d的值可以更改简化中对细节的保留程度，d的值越大，细节保留程度越高，反之亦然，常数d的默认值一般为1；若

则认为待折叠边的相关三角形不属于模型的细节部分，不对误差做修改。通过上述操作，我们可以修改待折叠边的误差度量，降低模型细节部分的简化优先级，避免对模型的细节部分做过度简化，在模型得到简化的同时，较好的保留外观细节特征。这是本发明对折叠代价计算方法的进一步优化。

五、从优先队列中取出折叠代价最小的边进行简化操作；

六、判断是否达到简化要求，若达到，则输出简化后模型，否则从步骤二开始重新执行模型的简化过程；本方法采用局部更新策略，即只更新受影响的边的折叠代价。

有益效果

由于本发明方法构建于二次误差度量方法基础之上，方法保持了二次误差度量的高效性，方法通过对模型区分细节部分和非细节部分，采用不同的简化策略，并且通过限制模型折叠前后的法矢量改变，最大限度的保持模型外观的一致性。本方法对比现有技术，步骤少、简单易行、简化速度快、鲁棒性好，而且是对模型局部细节有很好的保留效果，达到了模型简化中保持外观的目的。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为三维模型顶点近似法矢量示意图；

图3为非边界边折叠示意图；

图4为边界边折叠示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细说明。

一种基于外观保持的多分辨率模型生成方法，其过程如图1所示，其详细的描述了如何读取模型数据，计算简化误差以及根据外观条件优化简化误差的过程。具体如下：

本方法从读入模型数据开始：

一、读入模型数据；

二、对模型顶点进行分类，分为边界点和非边界点，并计算所有三角形平均面积

三、计算每个顶点的二次误差度量矩阵Q，顶点所有相关三角形面积S_i以及个数m，并且计算每个顶点的近似法矢量n_p：设顶点的m个相关平面的法矢量分别为n_i，面积为s_i，i∈(1，m)，则该顶点的近似法矢量为：

四、计算每一条边(v_i，v_j)的折叠代价value，根据value数值大小，将所有待折叠边放入优先队列；

计算折叠代价value的方法为：

(1)首先判断v_i和v_j的类型，如果其中有边界点，则将该边的折叠代价赋值为大于所有折叠代价的数值MAX，本实施例中MAX使用unsigned int类型的最大数；如果没有，则使用常规的二次误差度量方法计算最佳折叠点

和折叠代价value。

(2)根据

的位置计算其近似法矢量，与v_i和v_j法矢量之和进行比较；用户设定一个角度90°，若两个矢量角度相差超过90°，则将误差value赋值为MAX，若相差不超过90°，则根据v_i和v_j的相关三角形的面积和个数，计算待折叠边相关三角形平均面积

并根据的值是否大于0判断是否属于模型精细部分，若大于0则属于模型精细部分，折叠代价

否则保持value数值不变；其中d为细节保留程度常数，由用户设定，d的值越大，细节保留程度越高；

五、从优先队列中取出折叠代价最小的边进行简化操作；

六、判断是否达到简化要求，若达到，则输出简化后模型，否则从步骤二开始重新执行模型的简化过程；本方法采用局部更新策略，即只更新受影响的边的折叠代价。

应该理解的是，本实施方式只是本发明实施的具体实例，不应该是本发明保护范围的限制。在不脱离本发明的精神与范围的情况下，对上述内容进行等效的修改或变更均应包含在本发明所要求保护的范围之内。

Claims (4)

1.一种基于外观保持的三维模型简化方法，包括以下步骤：

一、读入模型数据；

二、对模型顶点进行分类，分为边界点和非边界点，并计算所有三角形平均面积

三、计算每个顶点的二次误差度量矩阵Q，顶点所有相关三角形面积S_i以及个数m，并且计算每个顶点的近似法矢量n_p：设顶点的m个相关平面的法矢量分别为n_i，面积为s_i，i∈(1，m)，则该顶点的近似法矢量为：

四、计算每一条边(v_i，v_j)的折叠代价value，根据value数值大小，将所有待折叠边放入优先队列；计算折叠代价的方法为：

首先判断v_i和v_j的类型，如果其中有边界点，则将该边的折叠代价赋值为大于所有折叠代价的数值MAX，如果没有，则使用常规的二次误差度量方法计算最佳折叠点

和折叠代价value；

五、从优先队列中取出折叠代价最小的边进行简化操作；

六、判断是否达到简化要求，若达到，则输出简化后模型，否则从步骤二开始重新执行模型的简化过程。

2.根据权利要求1所述的一种基于外观保持的三维模型简化方法，其特征在于，步骤三中计算折叠代价的方法为：

(1)首先判断v_i和v_j的类型，如果其中有边界点，则将该边的折叠代价赋值为大于所有折叠代价的数值MAX，如果没有，则使用常规的二次误差度量方法计算最佳折叠点

和折叠代价value；

(2)根据

的位置计算其近似法矢量，与v_i和v_j法矢量之和进行比较；用户在90°和180°之间设定一个角度α，若两个矢量角度相差超过α，则将误差value赋值为MAX，若相差不超过α，则根据v_i和v_j的相关三角形的面积和个数，计算待折叠边相关三角形平均面积

并根据

的值是否大于0判断是否属于模型精细部分，若大于0则属于模型精细部分，折叠代价

否则保持value数值不变；其中d为细节保留程度常数，由用户设定，d的值越大，细节保留程度越高。

3.根据权利要求1或2所述的一种基于外观保持的三维模型简化方法，其特征在于，所述MAX为所使用数据类型的最大值。

4.根据权利要求1或2所述的一种基于外观保持的三维模型简化方法，其特征在于，步骤六中若未达到简化要求，在重新执行模型的简化过程中，采用局部更新策略，只更新受影响的边的折叠代价。

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