CN104899929A - 一种基于拉普拉斯坐标的网格细分方法 - Google Patents

Abstract

一种基于拉普拉斯坐标的网格细分方法，本发明涉及三维网格模型的建模和细分技术，具体地说是涉及到保持三维网格模型指定特点的精细度提高技术。随着计算机硬件的不断发展，为了实现高真实感，许多计算机图形应用都使用复杂的，具有高精度细节信息的模型。但是高精细度的网格模型的构造还不能满足需要。本发明就是为了促进这方面工作而提出的。本发明基于低精细皮的网格模型，由用户确定顶点的插值程度以及新网格的拓扑结构，然后构造扩展的拉普拉斯矩阵以及对应的期望拉普拉斯坐标，形成线性系统，从而求解新网格的顶点位置。最后，结合拓扑结构，构成新的高精细度网格模型。具体实现流程如附图。

Description

一种基于拉普拉斯坐标的网格细分方法

技术领域

本发明涉及三维网格模型的建模和细分技术，具体地说是涉及到保持三维网格模型指定特点的精细度提高技术。

背景技术

目前，在计算机图形学中，随着计算机硬件的不断发展，图形处理能力越来越强，为了实现高真实感，许多计算机图形应用都使用复杂的，具有高精度细节信息的模型。因此常用模型的构造常常需要高精度的。虽然，有三维扫描之类的技术来一次性获得高密度的顶点，但是，仅仅依靠扫描还满足不了人们对三维模型的日益增长的需求。那么，人们需要根据自己的想法使用各种工具设计出模型。直接逐个确定高精度模型的顶点，是比较冗余繁琐的工作。通常人们是先构造出一个基本符合要求的低精细度的网格模型，然后再使用工具在保持指定特点的同时，提高网格模型的精细度。另一方面，三维扫描所得的模型，由于设备的级别不同，有些时候也还是精细度不够。因此，人们迫切需要一些可以提高网格模型精细度的技术。网格细分就是其中一类重要的技术。

细分技术，能够从一个任意的拓扑网格结构构造出一个极限连续的曲面，是20世纪70年代提出的一种曲线曲面造型技术。根据细分后的极限曲面是否插值初始的控制网格，分为逼近细分和插值细分。

逼近细分已有不少经典算法：Catmull-Clark细分方法基于四边形网格，采用1-4四边形分裂算子生成新网格，其中使用双三次均匀B样条；Doo-Sabin细分方法类似于雕塑过程，即不断地切削网格的棱边和角，使之趋向光滑，但是在奇异点处，光滑效果不够；Loop细分方法基于三角网格，采用1-4三角形分裂，取得了不错的效果。

插值细分也有不少经典算法：蝶形细分方法采用1-4三角网格分裂，由于其面具与蝴蝶相似而得名，但得到的极限曲面光顺不太好；4-8细分方法，虽然面片增长速度慢了下来，但是操作过于复杂，还需要先用Catmull-Clark方法把网格处理为四边形，然后把每个四边形变为三角形。

还有借助拉普拉斯坐标来修正顶点位置的细分方法，但是它是在求解的过程中先求出拉普拉斯坐标，然后用于求顶点平移增量来调整。Weimer和Warren在1998年研究过细分方法与变分问题的关系，但他们也是通过线性组合的角度用矩阵来求解新的顶点。

上面提到的细分方法大都是线性且静态的，就是说，对网格上任一细分层次使用的规则都不变，而且新顶点简单地由旧顶点的线性组合得到，需要多步骤地求解才能得到结果。细分曲面没有解析形式，曲面的连续性和光滑性分析无论从理论还是应用角度来说都显得很重要，当然相对来说也比较复杂。

本发明提出一种通过求解线性方程，一次性求出所有的新顶点的方法，从而避免分步骤进行细分，并且能够让拓扑结构更加自由。它把新顶点位置的拉普拉斯坐标设成向量0。在极限情况下，在新顶点位置是极小曲面。由于调和函数总是无穷次可导(光滑)的，所以所得极限曲面是光滑的。

发明内容

本发明的方法是基于低精细度的网格模型和给定的精细度提高需求，使用拉普拉斯坐标，通过线性系统求解出高精细度的网格模型。

为达到上述的目的，本发明采用的技术方案是：一种基于拉普拉斯坐标的网格细分方法。该方法包括以下几个步骤：

(1)输入低精细度的三维网格模型M1；

(2)用户确定M1的各个顶点在细分过程中的插值程度，其中可以按区域来指定；

(3)用户确定新网格的拓扑结构，可以使用其它插值细分方法获取拓扑结构的方法来得到，但该步骤不必求出各个新顶点的坐标；

(4)根据新网格的拓扑结构，构造新网格的拉普拉斯矩阵L；

(5)根据L和用户给定的插值程度，构造扩展后的拉普拉斯矩阵A，以及新网格的期望拉普拉斯坐标b，其中跟新顶点对应的拉普拉斯坐标设成0；

(6)求解线性系统AV’＝b，得到V’；

(7)由得到的V’以及拓扑结构，构成新的高精细度的网格模型M2。

附图说明

图1为本发明方法的流程示意图；

图2为本发明方法对一个四面体网格处理的效果图；

图3为本发明方法对一个兔子网格处理的效果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的说明。

首先，输入低精细度的三维网格模型，设为M1。其中包括顶点集合V＝{v0，v1，…，vi，…}、边集合E＝{e0，e1，…，ej，…}，还有面集合F＝{f0，f1、…，fk，…}。不妨设顶点数为N。

为了确定V中各个顶点的被插值或逼近的程度，需要给每个顶点vi确定一个逼近值cvi。该值可以是任意正数。当该值越大，表示新网格中对应的顶点越逼近原顶点，也就是越接近插值。当该值无穷大时，就是插值原顶点。当该值越小，表示该点越自由，越是由光滑因素来决定其位置。

用户可以通过以下几种方式给定插值程度值；

(1)为所有顶点逐个指定一个值；

(2)为所有边逐条指定一个值，每条边所被赋予的值就相当于赋予它的两个顶点。这样，每个顶点将获得多个值。再通过线性求值方式获得每个顶点的插值程度值。比如：取最大值、取最小值、取平均值等；

(3)为所有面逐个指定一个值，每个面所被赋予的值就相当于赋予它的三个顶点。这样，每个顶点将获得多个值。再通过线性求值方式获得每个顶点的插值程度值。比如：取最大值、取最小值、取平均值等；

(4)前面儿种方式的组合来指定所有顶点的插值程度值。

新的高精细度网格模型跟原来低精细度的网格模型相比，肯定增加顶点，也就导致其拓扑结构肯定与原来的不同。不妨设新的顶点数为T。本发明对于新拓扑结构只要求它包含原网格的顶点，不再限定其它形式。这样，用户可以给出更加自由的拓扑结构。

用户可以通过类似其它细分方法的获取拓扑结构的方式，获取新拓扑结构。当然，这里只是获取拓扑结构，也就是顶点的连接关系，而不必计算顶点位置。计算量将只是其它细分方法的计算过程的一小部分而已。用户还可以手动或使用其它工具，给出一些符合特定要求的拓扑结构，使原网格的某些区域被细分得比较粗，而某些区域则被细分得比较细。

假设新的拓扑结构以T×T连接矩阵P的方式给出。P的每个元素pij具体取值如下：

构造T×T矩阵D来记录每个顶点的度数，其中每个元素dij具体取值如下：

其中di为vi的度，即∑_spis。

使用P和D，构造T×T拉普拉斯矩阵L＝D-P。其中L的每个元素lij具体取值如下：

由于在L中，每一行记录了新拓扑结构中一个顶点的情况，而新网格中包含了N个顶点跟原网格对应。不妨设，和原网格顶点对应的N个顶点排在L中的前N行。构造扩展后的(T+N)×T拉普拉斯矩阵A如下：

$A=\left[\begin{array}{ccc}& L& \\ C& & 0\end{array}\right],---\left(4\right)$

其中C是一个N×N对角矩阵。C的每一行对应原网格的一个顶点。第i行主对角线上的元素就是用户为vi设定的插值程度值cvi。

接下来，构造期望拉普拉斯坐标值(T+N)×3矩阵b如下：

$b=\left[\begin{array}{c}0\\ C*V\end{array}\right],---\left(5\right)$

其中V为N×3矩阵，每一行分别是原网格的一个顶点的x、y、z坐标。即V的第i行是vi的坐标。

使用A和b，构造一个线性系统：AV′＝b。其中V’是新网格的顶点坐标类似V构成的矩阵。由于拉普拉斯矩阵L的秩是T-1，再加上C的扩展，就能够使得A的秩为T，所以该线性系统有唯一解。通过求解该线性系统，就可以得到V’。它是新网格的顶点集，总共有T个顶点。

最后，V’结合新网格的拓扑结构，构成高精细度的网格模型。

使用本发明方法，对一个四面体网格进行细分得到实验效果如图2。其中(a)为初始网格，(b)和(c)分别是从两个不同视角观察处理后的网格的效果。对兔子网格进行细分得到实验效果如图2。其中(a)为初始网格，(b)、(c)和(d)分别是从三个不同视角观察处理后的网格的效果。

Claims (3)

1.一种基于拉普拉斯坐标的网格细分方法，其特征在于，该方法包含以下步骤：

(1)输入三角网格模型；

(2)利用基于拉普拉斯坐标的网格细分方法编辑模型：

(3)生成目标网格模型。

2.根据权利要求1所述的，利用基于拉普拉斯坐标的网格细分方法编辑模型，可用以下步骤来实现：

(1)根据原网格，以及细分要求，构造目标网格的拓扑结构；

(2)基于拓扑结构，构造目标网格的拉普拉斯矩阵A；

(3)根据细分要求，构造目标网格的拉普拉斯坐标b；

(4)求解线性系统AV’＝b，得到目标网格模型的顶点坐标V’。

3.权利要求2所述中的细分要求，包括：

(1)原网格上的各个三角面片的细分粒度，可以按区域的方式给定；

(2)原网格上的各个顶点的逼近程度。