CN113555891A - 基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法。所述方法包括以下步骤：考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的含不确定参数交直流混合电力系统的数学模型；当不确定参数为零时，利用潮流计算交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将其作为含不确定参数交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将数学模型的稳定平衡点转换至原点；将数学模型中的三角函数变换成多项式；根据李雅普诺夫稳定性理论和数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力系统在确定参数处于给定范围内的稳定域。本发明可用于分析和评估暂态稳定性的影响因素，有利于对电力系统的暂态控制和参数优化。

Description

基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法

技术领域

本发明涉及交直流电力系统暂态稳定域估计技术领域，特别涉及一种基于平方和的含不 确定参数交直流系统稳定域估计方法。

背景技术

直流输电系统凭借其快速调节能力和功率传输的灵活性，在大容量远距离输电以及多区 域间的电力联络之间得到了快速应用，随着直流馈入比例的增大，直流换流站多种控制方式 对交直流系统稳定性的影响分析，也越来越重要。对于含有高压直流输电的电力系统，其高 复杂性、强非线性以及多尺度控制相互影响的特性，需要更加准确且有效的稳定判定与控制 手段，才能在保证系统安全稳定运行的基础上，最大程度的发挥直流系统的优势。交直流系 统中各个电气设备的动态特性受到多个控制环节的影响，较为复杂且难以精确建模，因此传 统基于能量函数与稳定域进行稳定性分析的方法主要依赖于较为简化的数学模型以及具体的 参数，因此存在一定的误差，加上稳定域估计方法本身的保守性，使得所求结果准确度进一 步降低，难以满足未来多馈入直流的复杂电力系统供电稳定性的要求。除了在对模型进行简 化与近似过程中产生的误差，实际工程中，电力系统本身就具有较强的不确定性，在模型方 面主要体现随着运行环境和时间的变化，元器件受到影响而使其工作特性、放大倍数等参数 发生变化，与出厂时的铭牌参数存在着一定范围内的差异，进而导致实际暂态运行过程中的 系统模型与用于稳定性评估的数学模型中间存在着误差，亦是一种不确定性。因此，如何估 计稳定域边界，使其在关键控制参数存在一定范围内误差时，依然能较为准确的提供稳定信 息，来更好的挖掘更深层次的机理问题以及控制策略的提出，依然是一个难题。

有文献(S.Wang，Z.She and S.S.Ge.Estimating Minimal Domains ofAttraction for Uncertain Nonlinear Systems[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems， early access，doi：10.1109/TSMC.2020.2980673.)在理论方法本身上较为接近，但是属于数学领 域，并未用于电力系统专业领域，进一步的，该文献没有针对非线性切换系统，尤其是交直 流混合电力系统的稳定域估计，仅仅针对含不确定参数的普通非线性系统进行稳定域估计。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种基于平方和的含不确定参数交 直流系统稳定域估计方法，该方法可用于含不确定参数的交直流系统稳定域估计，有利于对 交直流系统的暂态控制和参数优化。本发明针对系统范围更广，且可以在考虑直流控制切换 特性的基础上，不仅能通过建立公共李雅普诺夫函数进行稳定判定，还能对反映不同控制模 式影响下的交直流切换系统稳定域边界进行估计，对后续控制分析和参数配置等都有更广泛 的意义和作用。

本发明的目的至少通过如下技术方案之一实现。

基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，包括以下步骤：

S1、考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的含不确定参数交直 流混合电力系统的数学模型；

S2、当不确定参数为零时，利用潮流计算交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将其作 为含不确定参数交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将步骤S1中的数学模型的稳定平衡点 转换至原点；

S3、将含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型中的三角函数变换成多项式；

S4、根据李雅普诺夫稳定性理论和含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型，利用 平方和分解优化算法求得交直流混合电力系统在确定参数处于给定范围内的稳定域。

进一步地，步骤S1具体包括以下步骤：

S1.1、交直流输电系统包括送端交流系统、直流输电系统和受端交流系统，直流输电系 统包括整流站、直流线路和逆变站，送端系统送出交流电经整流站的换流变压器和整流器变 换成直流电，然后由直流线路把直流电输送给逆变站，经逆变器和换流变压器再将直流电变 换成交流电送入受端交流系统；完成交直流变换的站称为换流站，将交流电变换为直流电的 换流站称为整流站，而将直流电变换为交流电的换流站称为逆变站；

考虑直流动态特性，将直流线路动态特性建模为动态RL电路，动态RL电路具体如下：

其中，I_d是直流电流；t是时间；L_d是直流线电感；R_d是直流线电阻；V_dr是直流整 流器的直流电压，V_di是直流逆变器的直流电压，

是直流电流的不确定参数，分别定义为：

其中，m_r是将直流整流器连接到交流电网的变压器的抽头比；V_r是整流侧交流母线电 压；V_i是逆变侧交流母线电压；m_i是将直流逆变器连接到交流电网的变压器的抽头比；X_r是 直流整流器的变压器电抗；X_i是直流逆变器的变压器电抗；α是触发角；β是超前角；γ表示熄弧角；

S1.2、针对于含不确定参数的交直流混合电力系统的多种不同控制模式，分别构建对应 的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程；

所构建的动态RL电路、不同控制模式下的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程 共同构成含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型。

进一步地，直流换流器包括直流整流器与直流逆变器，直流换流器控制方程包括直流整 流器的控制方程和直流逆变器的控制方程；

步骤S1.2中，不同控制模式包括第一控制模式和第二控制模式，其中，第一控制模式为 交直流混合电力系统的正常运行模式，当直流整流器的直流电压或者交流电压下降到设定的 阈值以下时，则交直流混合电力系统从第一控制模式切换为第二控制模式；

第一控制模式具体是指直流整流器的定直流电流控制和直流逆变器的定熄弧角控制；在 第一控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：

其中，X₁是直流整流器的控制器输入信号；t是时间；K_Ir是整流器控制环节的积分增 益；

整流器控制环节的积分增益的不确定参数；I_dref是参考电流；I_d是直流电流；α_max是触发角的最大值；α_min是触发角的最小值；K_Pr是整流器控制环节的比例增益；

是整 流器控制环节的比例增益的不确定参数；

在第一控制模式下，直流逆变器的控制方程为定熄弧角控制方程，具体如下：

其中，X₂是第一控制模式的直流逆变器的控制器输入信号；

是第一控制模式的逆变 器控制环节的积分增益；

是第一控制模式的逆变器控制环节的积分增益的不确定参数； γ是熄弧角；γ_ref是参考熄弧角；β是超前角；β_max是超前角的最大值；

是第一控制模 式的逆变器控制环节的比例增益；

是第一控制模式的逆变器控制环节的比例增益的不确 定参数；

第二控制模式具体是直流整流器和直流逆变器的定直流电流控制；在第二控制模式下， 直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，其与第一控制模式下的直流整流器的控制方 程相同；

在第二控制模式下，直流逆变器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：

其中，X₃是第二控制模式的直流逆变器的控制器输入信号；

是第二控制模式的逆变 器控制环节的积分增益；

是第二控制模式的逆变器控制环节的积分增益的不确定参数； γ_min是熄弧角的最小值；

是第二控制模式的逆变器控制环节的比例增益；

是第二 控制模式的逆变器控制环节的比例增益的不确定参数。

进一步地，步骤S2中，通过将状态向量x更改为x+x_s，将含不确定参数交直流混合电力 系统数学模型的稳定平衡点转换至原点，其中状态向量x是含不确定参数交直流混合电力系 统数学模型中的所有微分变量组成的列矩阵，x_s为当不确定参数取0时，含不确定参数交直 流混合电力系统在稳定平衡点处的值。

进一步地，步骤S3中，采用泰勒级数将含不确定参数交直流混合电力系统的数学模型中 的三角函数展开为多项式的形式，得到三角函数的估计值。

进一步地，步骤S4包括以下步骤：

S4.1、提出满足李雅普诺夫稳定性理沦的平方和分解约束以及含不确定参数的交直流混 合电力系统的数学模型的切换条件约束；

S4.2、以每次迭代求解的稳定域大于前一次为优化目标，以每次迭代求解的稳定域边界 值与前一次迭代结果差值范围小于设定的差值阈值为停止迭代的判定条件，对平方和分解约 束和切换条件约束进行求解，得到考虑故障后暂态过程中直流换流器控制切换特性下，交直 流混合电力系统数学模型中的相关参数处于某一范围内变化时，对应的多项式李雅普诺夫函 数和稳定域。

进一步地，步骤S4.1具体包括以下步骤：

S4.1.1、考虑如下标准形式的含不确定参数的非线性切换系统：

其中，x∈Rⁿ是包括切换系统所有状态变量的状态向量， f_i(x(t)，u)：Rⁿ×R^m→Rⁿ，i＝1，...，N，是表征第i种控制模式下系统动态特性的状态方程矢量集， 且均为多项式函数集；

是包括所有不确定参数变量的向量， Δ＝{u∈R^m：a_z(u)≤0，z＝1，2，..，l}是由多项式不等式描述的半代数集合；同时，对于所有u∈Δ， 都有f_i(0，u)＝0，在原点处均能保持稳定；

对于某确定的参数向量且满足u∈Δ的含不确定参数的非线性切换系统，其稳定域定义为：

其中，x(t；x₀，u)为从初始平衡点x(0；x₀，u)＝x₀开始时刻t对 应状态变量的运行位置；因此，对于包含整个不确定参数向量取值范围集合的非线性切换系 统，其稳定域为

S4.1.2、初始李雅普诺夫函数值和稳定域初始迭代值求取，具体如下：

对于可以写成标准形式的不确定参数非线性切换系统模型的交直流电力系统，其公共李 雅普诺夫函数迭代初值可满足如下第一约束条件：

其中，定义R[x]为包括实数系数的多项式集合，能够进行平方和分解的多项式集合为

∑[x，u]定义为能够进行平方和分解的 关于状态向量x的多项式集合，其多项式的系数也是关于不确定参变量u的多项式；v_j，i(x，u)是

中所有关于状态向量x的n次项的和，

是一个偶数，且有

ε₁和ε_2，i均为大于零的实数，s_{1，0，i，z}(x，u)和s_2，0，i(x，u)∈∑[x，u]；σ_i(x)为控制模式i起作用时的数学条 件；

为状态向量中第j行对应变量的d次方。

基于第一约束条件(1)得到初始函数V₀(x)的可行解，进一步的基于公式(2)得到满足 可行解c，并作为内部稳定域估计初值：

其中，s_0，1，i(x，u)、s_0，2，i(x，u)、s_{0，3，i，k}(x，u)和s_0，4，i(x，u)∈∑[x，u]；ε_3，i是一个正实数；对所 得结果进行归一化处理，即可得到稳定域估计初值Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}，并得到 李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)；

S4.1.3、得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)后的非参数依赖的公共李雅普诺夫函数迭代 约束条件以及平方和近似条件如下：

在得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)后，同样利用平方和近似约束条件构造半正定规划 问题，逐次迭代扩大初始内部吸引域Ω₀；首先每次迭代过程中为得到更大的稳定域估计，所 要搜寻的公共李雅普诺夫函数V^k(x)可行解满足如下第二约束条件：

其中，k是迭代次数，同时第k次迭代的稳定域为Ω^k，Ω^k＝{V^k(x)≤1}，V^k(x)是一个连续 可微且径向无界的函数，0＜β≤1。

基于第二约束条件(3)，得到平方和近似后的第三约束条件(4)，其中V^k+1(x)是一个最 高次数为d，且不包括常数项和一次项的多项式函数，具体如下：

其中，s₁(x)∈∑[x]，s_2，i(x，u)、s_3，i(x，u)、s_4，i(x，u)、s_5，i(x，u)和s_6，z，i(x，u)∈∑[x，u]，ε是 一个正实数，用于保证每一次迭代得到的域严格比上一次迭代的结果大，ε₄和ε_5，i是正实数；

值得注意的是，第三约束条件(4)中的公式(4c)包括有双线性矩阵不等式(BMI)，使 得求解第三约束条件(4)也成为了一个双线性半正定规划问题，因此，若没有相关求解器直 接求解的情况下，可以先基于上一步迭代得到的V^k(x)，构造包括第四约束条件(5)的线性 矩阵不等式问题，具体如下：

由第四约束条件(5)求得s_2，i(x，u)和s_3，i(x，u)的可行解，定义为s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)，并 将其代入第三约束条件(4)中相应位置，进而得到新的线性半正定求解问题，得到第五约束 条件(6)，s₇(x)∈∑[x]，具体如下：

需要注意的是，在具体程序撰写过程中，各个系数多项式的次数设置需要满足一定的大 小关系，其中deg()表示括号中表达式的最高次数：

deg(s_3，i(x，u))≥deg(s_4，i(x，u))≥{deg(s_5，i(x，u))，deg(s_6，z，i(x，u))}_max。

进一步地，步骤S4.1.3中，当需要反映不同控制模式影响的稳定边界估计需求时，则得 到迭代初值后的非参数依赖的分段连续李雅普诺夫函数迭代约束条件以及平方和近似条件如 下：

在得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)和初始内部吸引域Ω₀后，通过逐次迭代扩大初始内 部吸引域Ω₀，首先每次迭代过程中为得到更大的稳定域估计，所要搜寻的分段连续的李雅普 诺夫函数

满足如下第六约束条件：

其中，第k次迭代的控制模式i对应的稳定域

满足

σ_i(x)是控制模式i下 对应的多项式函数；如果x∈χ_i，χ_i为状态变量空间上，控制模式i所对应的状态变量域集， 称为第i个子空间，则第i个子空间χ_i上状态变量满足状态方程矢量f_i(x(t)，u)所描述的动态 特性；介于第i个子空间χ_i和第j个子空间χ_j之间的切换界面定义为S_ij＝{σ_ij(x)＝0}，而 σ_ij(x)＝0是控制模式i与控制模式j之间的切换边界条件；SS_ij是第i个子空间χ_i和第j个子空 间χ_j之间切换界面与系统稳定域边界的交集；控制模式i对应的子李雅普诺夫函数V_i(x)满足

是偏微分算子；第k次迭代的稳定域Ω^k满足

其中

是第k次迭代得到的控制模式i对应的子李雅普诺夫函数；

对第六约束条件(7)进行转化，得到平方和近似后的第七约束条件(8)，其中

是 一个最高次数为d，且不含常数项和一次项的多项式函数，具体如下：

其中，L₁(x)、L_{7，1，i，j}(x)、L_{8，1，i，j}(x)、L_{9，1，i，j}(x)、L_{10，1，i，j}(x)、L_{11，1，i，j}(x)、L_{7，2，i，j}(x)、L_{8，2，i，j}(x)、 L_{9，2，i，j}(x)、L_{10，2，i，j}(x)、L_{11，2，i，j}(x)∈∑[x]，L_2，i(x，u)、L_3，i(x，u)、L_4，i(x，u)、和L_6，z，i(x，u)∈∑[x，u]， ε是一个正实数，用于保证每一次迭代得到的域严格比上一次迭代的结果大，，ε₅和ε_6，i是正 实数；

基于上一步迭代得到的

和

可以得到第k+1次迭代的值，即构造包括第八约束 条件(9)的线性矩阵不等式问题，具体如下：

由第八约束条件(9)得到L_2，i(x，u)、L_3，i(x，u)、L_{7，2，i，j}(x)、L_{7，1，i，j}(x)、L_{8，1，i，j}(x)、L_{8，2，i，j}(x)、 L_{9，1，i，j}(x)和L_{9，2，i，j}(x)的可行解，定义为L_2，i，0(x，u)、L_3，i，0(x，u)、L_{7，2，i，j，0}(x)、L_{7，1，i，j，0}(x)、L_{8，1，i，j，0}(x)、L_{8，2，i，j，0}(x)、L_{9，1，i，j，0}(x)和L_{9，2，i，j，0}(x)，并将其代入第七约束条件(8)中相应位置，进而得到新 的线性半正定求解问题，如第九约束条件(10)所示，其中s₈(x)∈∑[x]，具体如下：

需要注意的是，在具体程序撰写过程中，各个系数多项式的次数设置需要满足一定的大 小关系：

deg(L_3，i(x，u))≥deg(L_4，i(x，u))≥{deg(L_5，i(x，u))，deg(L_6，z，i(x，u))}_max。

进一步地，步骤S4.2中，含不确定参数的交直流切换系统的李雅普诺夫函数构造和稳定 域求解具体如下：

当需要用公共李雅普诺夫函数求解时，包括以下步骤：

步骤A1：开始迭代前，给定ε₁的值，令ε_up和ε_low为ε₁的上下限；

步骤A2：由第一约束条件(1)得到初始的李雅普诺夫函数，并由公式(2)得到初始边 界值；经过归一化处理得到初始李雅普诺夫函数V⁰(x)＝V₀(x)/c以及内部稳定域 Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}；在第k次迭代中，基于上一次迭代中得到的解V^k-1和第四约束条件(5)，从而得到s_2，i(x，u)和s_3，i(x，u)的可行解，并标注为s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)；

步骤A3：将步骤A2中求得的s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)代入第五约束条件(6)，当ε₁＝ε_up时， 找到满足第五约束条件(6)的可行解V^k(x)，并令k＝k+1；

步骤A4：重复步骤A2到步骤A3，直到找不到满足第五约束条件(6)的可行解后，令ε₁＝ε₁/10；

步骤A5：继续重复步骤A2到步骤A4，直到ε₁≤ε_low时停止迭代；得到满足含不确定参 数的非线性切换系统稳定域定义要求的李雅普诺夫函数V(x)＝V^k(x)且稳定域为

当需要用连续李雅普诺夫函数求解时，包括以下步骤：

步骤B1：由第一约束条件(1)得到初始的李雅普诺夫函数，并由公式(2)得到初始边 界值；经过归一化处理得到初始李雅普诺夫函数V⁰(x)＝V₀(x)/c以及内部稳定域 Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}；在第k次迭代中，将上一次迭代中得到的解V^k-1代入第八约 束条件(9)中的公式(9a)，找到L_2，i(x，u)和L_3，i(x，u)的可行解，记为L_2，i，0(x，u)和L_3，i，0(x，u)，代 入第七约束条件(8)中，求解第八约束条件(9)中的公式(9b)和公式(9c)，找到L_{7，2，i，j}(x)， L_{7，1，i，j}(x)，L_{8，1，i，j}(x)，L_{8，2，i，j}(x)，L_9，1i，j(x)，L_{9，2，i，j}(x)的可行解，作为已知量标记并代入第七约 束条件(8)中；

步骤B2：将步骤B1中得到满足第九约束条件(10)的问题，寻找满足要求的

当ε₁＝ε_up时，找到满足第八约束条件(9)中的公式(9a)、公式(9b)和公式(9c)的可行解V^k(x)，并令k＝k+1；

步骤B3：重复步骤B1到步骤B2，直到找不到满足约束条件的可行解后，令ε₁＝ε₁/10；

步骤B4：继续重复步骤B1到步骤B3，直到ε₁≤ε_low时停止迭代。得到满足含不确定参数 的非线性切换系统稳定域定义要求的李雅普诺夫函数

且稳定域为

进一步地，含不确定参数的交直流混合电力系统所用的三阶发电机模型为：

其中，δ_i表示接入母线节点为i的发电机的功角；ω_i表示发电机i的角速度；Δω_i表示发 电机的角速度变化量；D表示发电机的阻尼系数；ΔD表示发电机的阻尼系数的不确定参数；M_i表示发电机的惯性常数；P_mi表示发电机的机械功率；P_ei为电磁功率；T′_doi表示发电机的d轴 开路暂态时间常数；E′_qi表示发电机的q轴暂态电势；E_fdi表示接入母线节点i的发电机励磁电 压；θ_i为i号母线电压相角；x_di和x′_di分别为发电机的暂态电抗和次暂态电抗，

为发电机 i的交轴电抗，f为系统频率，V_i表示节点为i的母线电压幅值。

本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：

(1)本发明基于平方和近似的优化算法，提出含不确定参数的交直流系统稳定域估计方 法，首先考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的含不确定参数交直 流混合电力系统数学模型；当不确定参数为零时，利用潮流计算该交直流系统的稳定平衡点， 并将其作为原含不确定参数的交直流系统稳定平衡点，并将原系统数学模型的稳定平衡点转 换至原点；将交直流混合电力系统数学模型中的三角函数变换成多项式，以适用于平方和分 解优化算法；根据李雅普诺夫稳定性理论和含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型， 利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力系统在确定参数处于给定范围内的稳定域。本 发明方法从域的角度，以直流换流器控制模式和切换特性为主要研究对象，将交直流系统建 立为不确定的非线性切换系统，将平方和近似和李雅普诺夫稳定性理论应用于参数不确定的 交直流混合电力系统的暂态稳定性分析中，与传统的能量函数法等直接法相比，本发明能够 在交直流系统实际运行过程中，电气设备的参数、控制元件工作特性等发生变化时，依然能 够在出厂设置参数的误差范围内，对交直流系统稳定域边界进行估计，并提供较为准确的稳 定信息，可以对系统暂态稳定性进行实时分析。可用于分析和评估暂态稳定性的影响因素， 有利于对电力系统的暂态控制和参数优化。

(2)本发明基于平方和分解优化算法的交直流系统稳定域分析方法中，通过将李雅普诺 夫函数求解问题转换为优化问题，相较于传统的能量函数法，本发明方法可以在每次系统拓 扑结构、模型和参数发生变化时，避免重新进行数值积分与推导流程，并利用一套计算机程 序化框架进行计算，因此，本发明方法省去了较多人力环节，提高计算效率，实现简单，鲁 棒性高。

附图说明

图1是本发明基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法的流程图；

图2是直流输电系统的示意图；

图3是电力系统仿真软件PSCAD/EMTDC中搭建的单机无穷大交直流系统示意图；

图4是整流侧故障0.7s清除后稳定域边界和系统状态量运行轨迹在(x₁，x₂)上二维投影示 意图；

图5是整流侧故障0.7s清除后的公共李雅普诺夫函数值曲线示意图；

图6a是整流侧故障0.5s清除后稳定域边界和系统状态量运行轨迹在面(x₁,x₂)上二维投 影示意图；

图6b是稳定域边界和系统状态量运行轨迹在面(x₄，x₅)上二维投影示意图；

图7是整流侧故障0.5s后清除的公共李雅普诺夫函数值曲线示意图；

图8是逆变侧故障1.15s清除后稳定域和系统状态量运行轨迹在面(x₁，x₂)上二维投影示 意图；

图9是逆变侧故障1.15s清除后的公共李雅普诺夫函数值曲线示意图；

图10a是逆变侧故障1s清除后稳定域边界和系统状态量运行轨迹在面(x₁,x₂)上二维投影 示意图；

图10b是逆变侧故障1s清除后稳定域边界和系统状态量运行轨迹在面(x₄,x₅)上二维投影 示意图；

图11是逆变侧故障1s清除后的公共李雅普诺夫函数值曲线示意图；

图12是分段连续李雅普诺夫函数估计的稳定域边界在面(x₄，x₅)的二维投影示意图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例：

基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，如图1所示，包括以下步骤：

S1、考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的含不确定参数交直 流混合电力系统的数学模型，具体包括以下步骤：

S1.1、如图2所示，交直流输电系统包括送端交流系统、直流输电系统和受端交流系统， 直流输电系统包括整流站、直流线路和逆变站，送端系统送出交流电经整流站的换流变压器 和整流器变换成直流电，然后由直流线路把直流电输送给逆变站，经逆变器和换流变压器再 将直流电变换成交流电送入受端交流系统；完成交直流变换的站称为换流站，将交流电变换 为直流电的换流站称为整流站，而将直流电变换为交流电的换流站称为逆变站；考虑直流动 态特性，将直流线路动态特性建模为动态RL电路，动态RL电路具体如下：

其中，I_d是直流电流；t是时间；L_d是直流线电感；R_d是直流线电阻；V_dr是直流整 流器的直流电压，V_di是直流逆变器的直流电压，

是直流电流的不确定参数，分别定义为：

其中，m_r是将直流整流器连接到交流电网的变压器的抽头比；V_r是整流侧交流母线电 压；V_i是逆变侧交流母线电压；m_i是将直流逆变器连接到交流电网的变压器的抽头比；X_r是 直流整流器的变压器电抗；X_i是直流逆变器的变压器电抗；α是触发角；β是超前角；γ表示熄弧角；

S1.2、针对于含不确定参数的交直流混合电力系统的多种不同控制模式，分别构建对应 的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程；

所构建的动态RL电路、不同控制模式下的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程 共同构成含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型。

直流换流器包括直流整流器与直流逆变器，直流换流器控制方程包括直流整流器的控制 方程和直流逆变器的控制方程；

不同控制模式包括第一控制模式和第二控制模式，其中，第一控制模式为交直流混合电 力系统的正常运行模式，当直流整流器的直流电压或者交流电压下降到设定的阈值以下时， 则交直流混合电力系统从第一控制模式切换为第二控制模式；

第一控制模式具体是指直流整流器的定直流电流控制和直流逆变器的定熄弧角控制；在 第一控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：

其中，X₁是直流整流器的控制器输入信号；t是时间；K_Ir是整流器控制环节的积分增 益；

整流器控制环节的积分增益的不确定参数；I_dref是参考电流；I_d是直流电流；α_max是触发角的最大值；α_min是触发角的最小值；K_Pr是整流器控制环节的比例增益；

是整 流器控制环节的比例增益的不确定参数；

在第一控制模式下，直流逆变器的控制方程为定熄弧角控制方程，具体如下：

其中，X₂是第一控制模式的直流逆变器的控制器输入信号；

是第一控制模式的逆变 器控制环节的积分增益；

是第一控制模式的逆变器控制环节的积分增益的不确定参数； γ是熄弧角；γ_ref是参考熄弧角；β是超前角；β_max是超前角的最大值；

是第一控制模 式的逆变器控制环节的比例增益；

是第一控制模式的逆变器控制环节的比例增益的不确 定参数；

第二控制模式具体是直流整流器和直流逆变器的定直流电流控制；在第二控制模式下， 直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，其与第一控制模式下的直流整流器的控制方 程相同；

在第二控制模式下，直流逆变器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：

其中，X₃是第二控制模式的直流逆变器的控制器输入信号；

是第二控制模式的逆变 器控制环节的积分增益；

是第二控制模式的逆变器控制环节的积分增益的不确定参数； γ_min是熄弧角的最小值；

是第二控制模式的逆变器控制环节的比例增益；

是第二 控制模式的逆变器控制环节的比例增益的不确定参数。

如上所述的直流换流器(直流整流器和直流逆变器)对应的控制模型比工业上使用的实 际直流控制器更简单，并且能将与暂态稳定性相关的关键元件的动态特性相对完整地保留下 来。

当然，在其他实施例中，第一控制模式下和第二控制模式下的系统控制方程不限于如上 方程，也可以是在其他控制模式下的与直流、交流变换有关的元件和相关参数构建得到，例 如直流整流器为低压限流控制(VDCOL)，同时逆变器为定电流控制等。

S2、当不确定参数为零时，利用潮流计算交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将其作 为含不确定参数交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将步骤S1中的数学模型的稳定平衡点 转换至原点；

在电力系统领域中，通过对电网的有功、无功潮流平衡方程进行求解，当找到满足这个 方程的解时，也即是找到稳定平衡点。

本实施例中，通过将状态向量x更改为x+x_s，将含不确定参数交直流混合电力系统数学 模型的稳定平衡点转换至原点，其中状态向量x是含不确定参数交直流混合电力系统数学模 型中的所有微分变量组成的列矩阵，x_s为当不确定参数取0时，系统在稳定平衡点处的值。

S3、将含不确定参数交直流混合电力系统的数学模型中的三角函数变换成多项式；

由于电力线系统的数学模型包含三角函数，数学表达不是多项式形式，使得平方和分解 (sum of squares，SOS)不能直接用于分析电力线系统的稳定性；此外，代数变换会使维度 增大，例如本来只是二阶系统，通过对三角函数部分的代数变换，每代数变换一次至少会增 大一阶，因此，对于复杂的电力系统，不适合对三角函数执行代数变换，步骤S3将三角函数 变换成多项式，可以避免动态方程阶数的爆炸式增长，简化了计算。

本实施例中，采用泰勒级数将含不确定参数交直流混合电力系统数学模型中的三角函数 展开为多项式的形式，得到三角函数的估计值。

在其他实施例中，也可以采用其他能够将三角函数转换成多项式的计算方法。

S4、根据李雅普诺夫稳定性理沦和含不确定参数的交直流混合电力系统的数学模型，利 用平方和分解优化算法求得交直流混合电力系统在确定参数处于给定范围内的稳定域，包括 以下步骤：

S4.1、提出满足李雅普诺夫稳定性理沦的平方和分解约束以及含不确定参数的交直流混 合电力系统数学模型的切换条件约束，具体包括以下步骤：

S4.1.1、考虑如下标准形式的含不确定参数的非线性切换系统：

其中，x∈Rⁿ是包括切换系统所有状态变量的状态向量， f_i(x(t)，u)：Rⁿ×R^m→Rⁿ，i＝1，...，N，是表征第i种控制模式下系统动态特性的状态方程矢量集， 且均为多项式函数集；

是包括所有不确定参数变量的向量， Δ＝{u∈R^m：a_z(u)≤0，z＝1，2，...，l}是由多项式不等式描述的半代数集合；同时，对于所有u∈Δ， 都有f_i(0，u)＝0，在原点处均能保持稳定；

对于某确定的参数向量且满足u∈Δ的含不确定参数的非线性切换系统，其稳定域定义为：

其中，x(t；x₀，u)为从初始平衡点x(0；x₀，u)＝x₀开始时刻t对 应状态变量的运行位置；因此，对于包含整个不确定参数向量取值范围集合的非线性切换系 统，其稳定域为

S4.1.2、初始李雅普诺夫函数值和稳定域初始迭代值求取，具体如下：

对于可以写成标准形式的不确定参数非线性切换系统模型的交直流电力系统，其公共李 雅普诺夫函数迭代初值可满足如下第一约束条件：

其中，定义R[x]为包括实数系数的多项式集合，能够进行平方和分解的多项式集合为

∑[x，u]定义为能够进行平方和分解的 关于状态向量x的多项式集合，其多项式的系数也是关于不确定参变量u的多项式；v_j，i(x，u)是

中所有关于状态向量x的n次项的和，

是一个偶数，且有

ε₁和ε_2，i均为大于零的实数，s_{1，0，i，z}(x，u)和s_2，0，i(x，u)∈∑[x，u]；σ_i(x)为控制模式i起作用时的数学条 件；

为状态向量中第j行对应变量的d次方。

基于第一约束条件(1)得到初始函数V₀(x)的可行解，进一步的基于公式(2)得到满足 可行解c，并作为内部稳定域估计初值：

其中，s_0，1，i(x，u)、s_0，2，i(x，u)、s_{0，3，i，k}(x，u)和s_0，4，i(x，u)∈∑[x，u]；ε_3，i是一个正实数；对所 得结果进行归一化处理，即可得到稳定域估计初值Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}，并得到 李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)；

S4.1.3、得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)后的非参数依赖的公共李雅普诺夫函数迭代 约束条件以及平方和近似条件如下：

在得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)后，同样利用平方和近似约束条件构造半正定规划 问题，逐次迭代扩大初始内部吸引域Ω₀；首先每次迭代过程中为得到更大的稳定域估计，所 要搜寻的公共李雅普诺夫函数V^k(x)可行解满足如下第二约束条件：

其中，k是迭代次数，同时Ω^k＝{V^k(x)≤1}，V^k(x)是一个连续可微且径向无界的函数，0＜β≤1。

基于第二约束条件(3)，得到平方和近似后的第三约束条件(4)，其中V^k+1(x)是一个最 高次数为d，且不包括常数项和一次项的多项式函数，具体如下：

其中，s₁(x)∈∑[x]，s_2，i(x，u)、s_3，i(x，u)、s_4，i(x，u)、s_5，i(x，u)和s_6，z，i(x，u)∈∑[x，u]，ε是 一个正实数，用于保证每一次迭代得到的域严格比上一次迭代的结果大，ε₄和ε_5，i是正实数；

值得注意的是，第三约束条件(4)中的公式(4c)包括有双线性矩阵不等式(BMI)，使 得求解第三约束条件(4)也成为了一个双线性半正定规划问题，因此，若没有相关求解器直 接求解的情况下，可以先基于上一步迭代得到的V^k(x)，构造包括第四约束条件(5)的线性 矩阵不等式问题，具体如下：

由第四约束条件(5)求得s_2，i(x，u)和s_3，i(x，u)的可行解，定义为s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)，并 将其代入第三约束条件(4)中相应位置，进而得到新的线性半正定求解问题，得到第五约束 条件(6)，s₇(x)∈∑[x]，具体如下：

需要注意的是，在具体程序撰写过程中，各个系数多项式的次数设置需要满足一定的大 小关系，其中deg()表示括号中表达式的最高次数：

deg(s_3，i(x，u))≥deg(s_4，i(x，u))≥{deg(s_5，i(x，u))，deg(s_6，z，i(x，u))}_max。

当需要反映不同控制模式影响的稳定边界估计需求时，则得到迭代初值后的非参数依赖 的分段连续李雅普诺夫函数迭代约束条件以及平方和近似条件如下：

在得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)和初始内部吸引域Ω₀后，通过逐次迭代扩大初始内 部吸引域Ω₀，首先每次迭代过程中为得到更大的稳定域估计，所要搜寻的分段连续的李雅普 诺夫函数

满足如下第六约束条件：

其中，第k次迭代的控制模式i对应的稳定域

满足

σ_i(x)是控制模式i下 对应的多项式函数；如果x∈χ_i，χ_i为状态变量空间上，控制模式i所对应的状态变量域集， 称为第i个子空间，则第i个子空间χ_i上状态变量满足状态方程矢量f_i(x(t)，u)所描述的动态 特性；介于第i个子空间χ_i和第j个子空间χ_j之间的切换界面定义为S_ij＝{σ_ij(x)＝0}，而 σ_ij(x)＝0是控制模式i与控制模式j之间的切换边界条件；SS_ij是第i个子空间χ_i和第j个子空 间χ_j之间切换界而与系统稳定域边界的交集；控制模式i对应的子李雅普诺夫函数V_i(x)满足

是偏微分算子；第k次迭代的稳定域Ω^k满足

其中

是第k次迭代得到的控制模式i对应的子李雅普诺夫函数；

对第六约束条件(7)进行转化，得到平方和近似后的第七约束条件(8)，其中

是 一个最高次数为d，且不含常数项和一次项的多项式函数，具体如下：

其中，L₁(x)、L_{7，1，i，j}(x)、L_{8，1，i，j}(x)、L_{9，1，i，j}(x)、L_101，i，j(x)、L_{11，1，i，j}(x)、L_{7，2，i，j}(x)、L_{8，2，i，j}(x)、 L_{9，2，i，j}(x)、L_{10，2，i，j}(x)、L_{11，2，i，j}(x)∈∑[x]，L_2，i(x，u)、L_3，i(x，u)、L_4，i(x，u)、和L_6，z，i(x，u)∈∑[x，u]， ε是一个正实数，用于保证每一次迭代得到的域严格比上一次迭代的结果大，，ε₅和ε_6，i是正 实数；

基于上一步迭代得到的

和

可以得到第k+1次迭代的值，即构造包括第八约束 条件(9)的线性矩阵不等式问题，具体如下：

由第八约束条件(9)得到L_2，i(x，u)、L_3，i(x，u)、L_{7，2，i，j}(x)、L_{7，1，i，j}(x)、L_{8，1，i，j}(x)、L_{8，2，i，j}(x)、 L_{9，1，i，j}(x)和L_{9，2，i，j}(x)的可行解，定义为L_2，i，0(x，u)、L_3，i，0(x，u)、L_{7，2，i，j，0}(x)、L_{7，1，i，j，0}(x)、L_{8，1，i，j，0}(x)、 L_{8，2，i，j，0}(x)、L_{9，1，i，j，0}(x)和L_{9，2，i，j，0}(x)，并将其代入第七约束条件(8)中相应位置，进而得到新 的线性半正定求解问题，如第九约束条件(10)所示，其中s₈(x)∈∑[x]，具体如下：

需要注意的是，在具体程序撰写过程中，各个系数多项式的次数设置需要满足一定的大 小关系：

deg(L_3，i(x，u))≥deg(L_4，i(x，u))≥{deg(L_5，i(x，u))，deg(L_6，z，i(x，u))}_max。

S4.2、以每次迭代求解的稳定域大于前一次为优化目标，以每次迭代求解的稳定域边界 值与前一次迭代结果差值范围小于设定的差值阈值(通常小于0.001)为停止迭代的判定条件， 对平方和分解约束和切换条件约束进行求解，得到考虑故障后暂态过程中直流换流器控制切 换特性下，交直流混合电力系统的数学模型中的相关参数处于某一范围内变化时，对应的多 项式李雅普诺夫函数和稳定域；

含不确定参数的交直流切换系统的李雅普诺夫函数构造和稳定域求解具体如下：

当需要用公共李雅普诺夫函数求解时，包括以下步骤：

步骤A1：开始迭代前，给定ε₁的值，令ε_up和ε_low为ε₁的上下限；

步骤A2：由第一约束条件(1)得到初始的李雅普诺夫函数，并由公(2)得到初始边界 值；经过归一化处理得到初始李雅普诺夫函数V⁰(x)＝V₀(x)/c以及内部稳定域 Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}；在第k次迭代中，基于上一次迭代中得到的解V^k-1和第四约束 条件(5)，从而得到s_2，i(x，u)和s_3，i(x，u)的可行解，并标注为s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)；

步骤A3：将步骤A2中求得的s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)代入第五约束条件(6)，当ε₁＝ε_up时， 找到满足第五约束条件(6)的可行解V^k(x)，并令k＝k+1；

步骤A4：重复步骤A2到步骤A3，直到找不到满足第五约束条件(6)的可行解后，令ε₁＝ε₁/10；

步骤A5：继续重复步骤A2到步骤A4，直到ε₁≤ε_low时停止迭代；得到满足含不确定参 数的非线性切换系统稳定域定义要求的李雅普诺夫函数V(x)＝V^k(x)且稳定域为

当需要用连续李雅普诺夫函数求解时，包括以下步骤：

步骤B1：由第一约束条件(1)得到初始的李雅普诺夫函数，并由公式(2)得到初始边 界值；经过归一化处理得到初始李雅普诺夫函数V⁰(x)＝V₀(x)/c以及内部稳定域 Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}；在第k次迭代中，将上一次迭代中得到的解V^k-1代入第八约束条件(9)中的公式(9a)，找到L_2，i(x，u)和L_3，i(x，u)的可行解，记为L_2，i，0(x，u)和L_3，i，0(z，u)，代入第 七约束条件(8)中，求解第八约束条件(9)中的公式(9b)和公式(9c)，找到L_{7，2，i，j}(x)，L_{7，1，i，j}(x)， L_{8，1，i，j}(x)，L_{8，2，i，j}(x)，L_{9，1，i，j}(x)，L_{9，2，i，j}(x)的可行解，作为已知量标记并代入第七约束条件(8) 中；

步骤B2：将步骤B1中得到满足第九约束条件(10)的问题，寻找满足要求的

当ε₁＝ε_up时，找到满足第八约束条件(9)中的公式(9a)、公式(9b)和公式(9c)的可行解V^k(x)，并令k＝k+1；

步骤B3：重复步骤B1到步骤B2，直到找不到满足约束条件的可行解后，令ε₁＝ε₁/10。

步骤B4：继续重复步骤B1到步骤B3，直到ε₁≤ε_low时停止迭代。得到满足含不确定参 数的非线性切换系统稳定域定义要求的李雅普诺夫函数

且稳定域为

本实施例中，考虑到含不确定参数的交直流系统李雅普诺夫函数需要满足的数学约束条 件较多，因此以单机无穷大的交直流系统为例进行求解并估计稳定域边界，具体如图3，系统 参数见表1和表2。所用的三阶发电机模型为：

其中，δ_i表示接入母线节点为i的发电机的功角；ω_i表示发电机i的角速度；Δω_i表示发 电机i的角速度的变化量；D表示发电机的阻尼系数；ΔD表示发电机的阻尼系数的不确定参数； M_i表示发电机的惯性常数；P_mi表示发电机的机械功率；P_ei为电磁功率；T′_doi表示发电机的d 轴开路暂态时间常数；E′_qi表示发电机的q轴暂态电势；E_fdi表示接入母线节点i的发电机励磁 电压；θ_i为i号母线电压相角；x_di和x′_di分别为发电机的暂态电抗和次暂态电抗，

为发电 机i的交轴电抗，f为系统频率，V_i表示节点为i的母线电压幅值。

表1直流输电系统参数

表2发电机和交流线路参数

含不确定参数的交直流切换系统数学模型中，整流侧定电流控制的数学模型中

和

作为控制系数的不确参数， 令

并且取

除此之外的所有不确定参 数取0。系统稳定平衡点为x_s＝(0.3，0，1.104，1，0.9063，0.966)。由于平方和(SOS)分解近似 后的半正定求解只能针对平衡点在原点的情况，因此需要对原系统状态向量进行变化，令 x→x+x_s，则得到的新系统模型满足f(0)＝0，其中x₁＝δ₁，x₂＝Δω₁，x₃＝E′_q1，x₄＝I_d， x₅＝cosα，x₆＝cosγ。

本实施例中，经过14次迭代后得到公共李雅普诺夫函数解为：

V(x)＝x₁(10.08x1-2.981x₂-0.7387x₃-0.04136x₄+0.005419x5+0.118x₆)

-x₃(0.7387x₁+3.298x₂-24.39x₃-0.1011x₄-0.04001x₅+0.1639x₆)

+x₅(0.005419x₁+0.02873x₂+0.04001x₃-3.216x₄+8.03x₅-1.636x₆)

-x₂(2.981x₁-18.7x₂+3.298x₃+0.04314x₄-0.02873x₅+0.1221x₆)

-x₄(0.04136x₁+0.04314x₂-0.1011x₃-10.92x₄+3.216x₅+0.9619x₆)

-x₆(0.1221x₂-0.118x₁+0.1639x₃+0.9619x₄+1.636x₅-12.91x₆)

在分别在整流侧交流母线加三相短路接地故障0.7s和逆变侧交流母线加三相短路接地故 障1.15s后清除故障，系统均发生暂态失稳，可以得到发电机功角和转速在状态向量空间上的 运动轨迹，由于进行稳定域估计时将原稳定平衡点处理至原点，因此图4和图8可以视作故 障清除后状态向量中，发电机功角和转速投影面上与稳定平衡点之间的偏移情况，以及与所 估计稳定域边界(即允许的最大偏移量)之间的距离。

图4和图8中，五角星为故障清除瞬刻状态向量在空间中的位置，黑色虚线为故障清除 后状态空间上的系统运动轨迹，黑色实线为迭代得到的李雅普诺夫函数V(x)所估计的稳定边 界。可以看出，故障瞬刻，系统状态向量在(x₁，x₂)空间上所处的位置在稳定边界外，这与时 域仿真的失稳结果一致，此外图5和图9为故障清除后根据系统状态变量随时间变化，对应 的李雅普诺夫函数值曲线，可以明显看出，故障清除后函数值迅速增大，并趋于无界，满足 李雅普诺夫不稳定条件。

分别在整流侧交流母线设置三相短路接地故障0.5s和逆变侧交流母线设置三相短路接地 故障1s后清除，系统均保持稳定，发电机功角和转速、直流电流和整流侧触发角余弦的投影 面上，交直流系统变量在状态向量空间中与稳定平衡点之间运行偏移轨迹、与投影得到的稳 定域边界之间的关系见图6b和图10b所示，其中五角星为故障清除瞬刻状态向量在空间中的 位置，黑色虚线为故障清除后状态空间上的系统运动轨迹，黑色实线为迭代得到的李雅普诺 夫函数V(x)所估计的稳定域边界。可以明显看出，系统运动轨迹始终能够回到所估计的稳定 域内，在图6a和图10a中发电机功角和转速偏移量接近稳定边界，并最终能够回到稳定平衡 点。在图6b和图10b中直流电流和整流侧触发角余弦值平面上，故障清除时刻状态偏移量位 于投影面的稳定边界外，同时图7和图11中李雅普诺夫函数的峰值超过边界值，但是故障清 除后能够迅速减小，且在进入所估计稳定域内能很快回到稳定平衡点，亦满足李雅普诺夫稳 定性条件。这主要是由于本章所用平方和近似以及迭代优化过程中存在保守性，加上不确定 参数和公共李雅普诺夫函数的影响，使得所估计稳定边界保守性进一步增大。

经过8次迭代得到分段连续的李雅普诺夫函数V₁(x)和V₂(x)，其在平面(x₄，x₅)(I_d和 cos(α)与稳定平衡点之间偏移变量)上的稳定边界投影如图12所示，其中实线为模式一下 V₁(x)对应的分段边界，点虚线为模式二下V₂(x)对应的分段边界，虚线为两种模式间切换边 界，首先将图12与图6b和图10b中的公共李雅普诺夫函数估计的稳定边界进行对比，可以 看对于含有不确定参数的交直流切换系统，分段连续的李雅普诺夫函数估计的稳定边界明显 大于公共李雅普诺夫函数，且迭代次数也大大降低。由此可见，根据本实施例的系统稳定域 估计方法可以在系统模型参数与实际参数存在一定误差时，仍能较为准确的用于分析和评估 暂态稳定性，有利于对电力系统的暂态控制和参数优化，且该方法迭代次数较少，鲁棒性好， 效率高。

V₁(x)＝x₁(7.921x₁-2.289x₂-0.566x₃-0.03176x₄+0.003658x₅+0.09019x₆)

-x₆(0.09424x₂-0.09019x₁+0.1254x₃+0.7011x₄+1.219x₅-10.11x₆)

-x₂(2.289x₁-14.5x₂+2.495x₃+0.0325x₄-0.02231x₅+0.09424x₆)

-x₃(0.566x₁+2.495x₂-18.8x₃-0.07678x₄-0.03024x₅+0.1254x₆)

+x₅(0.003658x₁+0.02231x₂+0.03024x₃-2.362x₄+6.496x₅-1.219x₆)

-x₄(0.03176x₁+0.0325x₂-0.07678x₃-8.615x₄+2.362x₅+0.7011x₆)

V₂(x)＝x₄(0.009924x₂-0.001304x₁+0.08671x₃+4.029x₄+0.4568x₅-0.5709x₆)

-x₆(0.005659x₁+0.01179x₂+0.1661x₃+0.5709x₄+1.418x₅-4.763x₆)

+x₃(3.168x₁-3.084x₂+33.35x₃+0.08671x₄+0.03674x₅-0.1661x₆)

-x₂(2.727x₁-18.81x₂+3.084x₃-0.009924x₄-0.006622x₅+0.01179x₆)

+x₅(0.006622x₂-0.001607x₁+0.03674x₃+0.4568x₄+4.561x₅-1.418x₆)

-x1(2.727x₂-7.516x₁-3.168x₃+0.001304x₄+0.001607x₅+0.005659x₆)

可通过各种手段实施本发明描述的技术。举例来说，这些技术可实施在硬件、固件、软 件或其组合中。对于硬件实施方案，处理模块可实施在一个或一个以上专用集成电路(ASIC)、 数字信号处理器(DSP)、可编程逻辑装置(PLD)、现场可编辑逻辑门阵列(FPGA)、处理 器、控制器、微控制器、电子装置、其他经设计以执行本发明所描述的功能的电子单元或其 组合内。

对于固件和/或软件实施方案，可用执行本发明描述的功能的模块(例如，过程、步骤、 流程等)来实施所述技术。固件和/或软件代码可存储在存储器中并由处理器执行。存储器可 实施在处理器内或处理器外部。

本领域普通技术人员可以理解：实现上述方法实施例的全部或部分步骤可以通过程序指 令相关的硬件来完成，前述的程序可以存储在一计算机可读取存储介质中，该程序在执行时， 执行包括上述方法实施例的步骤；而前述的存储介质包括：ROM、RAM、磁碟或者光盘等各 种可以存储程序代码的介质。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制， 其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应 为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的含不确定参数交直流混合电力系统的数学模型；

S2、当不确定参数为零时，利用潮流计算交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将其作为含不确定参数交直流混合电力系统的稳定平衡点，并将步骤S1中的数学模型的稳定平衡点转换至原点；

S3、将含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型中的三角函数变换成多项式；

S4、根据李雅普诺夫稳定性理论和含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力系统在确定参数处于给定范围内的稳定域。

2.根据权利要求1所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S1具体包括以下步骤：

S1.1、交直流输电系统包括送端交流系统、直流输电系统和受端交流系统，直流输电系统包括整流站、直流线路和逆变站，送端系统送出交流电经整流站的换流变压器和整流器变换成直流电，然后由直流线路把直流电输送给逆变站，经逆变器和换流变压器再将直流电变换成交流电送入受端交流系统；完成交直流变换的站称为换流站，将交流电变换为直流电的换流站称为整流站，而将直流电变换为交流电的换流站称为逆变站；

考虑直流动态特性，将直流线路动态特性建模为动态RL电路，动态RL电路具体如下：

其中，I_d是直流电流；t是时间；L_d是直流线电感；R_d是直流线电阻；V_dr是直流整流器的直流电压，V_di是直流逆变器的直流电压，

是直流电流的不确定参数，分别定义为：

其中，m_r是将直流整流器连接到交流电网的变压器的抽头比；V_r是整流侧交流母线电压；V_i是逆变侧交流母线电压；m_i是将直流逆变器连接到交流电网的变压器的抽头比；X_r是直流整流器的变压器电抗；X_i是直流逆变器的变压器电抗；α是触发角；β是超前角；γ表示熄弧角；

S1.2、针对于含不确定参数的交直流混合电力系统的多种不同控制模式，分别构建对应的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程；

所构建的动态RL电路、不同控制模式下的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程共同构成含不确定参数的交直流混合电力系统数学模型。

3.根据权利要求2所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，直流换流器包括直流整流器与直流逆变器，直流换流器控制方程包括直流整流器的控制方程和直流逆变器的控制方程；

步骤S1.2中，不同控制模式包括第一控制模式和第二控制模式，其中，第一控制模式为交直流混合电力系统的正常运行模式，当直流整流器的直流电压或者交流电压下降到设定的阈值以下时，则交直流混合电力系统从第一控制模式切换为第二控制模式；

第一控制模式具体是指直流整流器的定直流电流控制和直流逆变器的定熄弧角控制；在第一控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：

其中，X₁是直流整流器的控制器输入信号；t是时间；K_Ir是整流器控制环节的积分增益；

整流器控制环节的积分增益的不确定参数；I_dref是参考电流；I_d是直流电流；α_max是触发角的最大值；α_min是触发角的最小值；K_Pr是整流器控制环节的比例增益；

是整流器控制环节的比例增益的不确定参数；

在第一控制模式下，直流逆变器的控制方程为定熄弧角控制方程，具体如下：

其中，X₂是第一控制模式的直流逆变器的控制器输入信号；

是第一控制模式的逆变器控制环节的积分增益；

是第一控制模式的逆变器控制环节的积分增益的不确定参数；γ是熄弧角；γ_ref是参考熄弧角；β是超前角；β_max是超前角的最大值；

是第一控制模式的逆变器控制环节的比例增益；

是第一控制模式的逆变器控制环节的比例增益的不确定参数；

第二控制模式具体是直流整流器和直流逆变器的定直流电流控制；在第二控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，其与第一控制模式下的直流整流器的控制方程相同；

在第二控制模式下，直流逆变器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：

其中，X₃是第二控制模式的直流逆变器的控制器输入信号；

是第二控制模式的逆变器控制环节的积分增益；

是第二控制模式的逆变器控制环节的积分增益的不确定参数；γ_min是熄弧角的最小值；

是第二控制模式的逆变器控制环节的比例增益；

是第二控制模式的逆变器控制环节的比例增益的不确定参数。

4.根据权利要求3所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S2中，通过将状态向量x更改为x+x_s，将含不确定参数交直流混合电力系统数学模型的稳定平衡点转换至原点，其中状态向量x是含不确定参数交直流混合电力系统数学模型中的所有微分变量组成的列矩阵，x_s为当不确定参数取0时，含不确定参数交直流混合电力系统在稳定平衡点处的值。

5.根据权利要求4所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S3中，采用泰勒级数将含不确定参数交直流混合电力系统的数学模型中的三角函数展开为多项式的形式，得到三角函数的估计值。

6.根据权利要求5所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S4包括以下步骤：

S4.1、提出满足李雅普诺夫稳定性理论的平方和分解约束以及含不确定参数的交直流混合电力系统的数学模型的切换条件约束；

S4.2、以每次迭代求解的稳定域大于前一次为优化目标，以每次迭代求解的稳定域边界值与前一次迭代结果差值范围小于设定的差值阈值为停止迭代的判定条件，对平方和分解约束和切换条件约束进行求解，得到考虑故障后暂态过程中直流换流器控制切换特性下，交直流混合电力系统数学模型中的相关参数处于某一范围内变化时，对应的多项式李雅普诺夫函数和稳定域。

7.根据权利要求6所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S4.1具体包括以下步骤：

S4.1.1、考虑如下标准形式的含不确定参数的非线性切换系统：

其中，x∈Rⁿ是包括切换系统所有状态变量的状态向量，f_i(x(t)，u)：Rⁿ×R^m→Rⁿ，i＝1，...，N，是表征第i种控制模式下系统动态特性的状态方程矢量集，且均为多项式函数集；

是包括所有不确定参数变量的向量，Δ＝{u∈R^m：a_z(u)≤0，z＝1，2，...，l}是由多项式不等式描述的半代数集合；同时，对于所有u∈Δ，都有f_i(0，u)＝0，在原点处均能保持稳定；

对于某确定的参数向量且满足u∈Δ的含不确定参数的非线性切换系统，其稳定域定义为：

其中，x(t；x₀，u)为从初始平衡点x(0；x₀，u)＝x₀开始时刻t对应状态变量的运行位置；因此，对于包含整个不确定参数向量取值范围集合的非线性切换系统，其稳定域为

S4.1.2、初始李雅普诺夫函数值和稳定域初始迭代值求取，具体如下：

对于可以写成标准形式的不确定参数非线性切换系统模型的交直流电力系统，其公共李雅普诺夫函数迭代初值可满足如下第一约束条件：

其中，定义R[x]为包括实数系数的多项式集合，能够进行平方和分解的多项式集合为

∑[x，u]定义为能够进行平方和分解的关于状态向量x的多项式集合，其多项式的系数也是关于不确定参变量u的多项式；v_j，i(x，u)是

中所有关于状态向量x的n次项的和，

是一个偶数，且有

ε₁和ε_2，i均为大于零的实数，s_{1，0，i，z}(x，u)和s_2，0，i(x，u)∈∑[x，u]；σ_i(x)为控制模式i起作用时的数学条件；

为状态向量中第j行对应变量的d次方；

基于第一约束条件(1)得到初始函数V₀(x)的可行解，进一步的基于公式(2)得到满足可行解c，并作为内部稳定域估计初值：

其中，s_0，1，i(x，u)、s_0，2，i(x，u)、s_{0，3，i，k}(x，u)和s_0，4，i(x，u)∈∑[x，u]；ε_3，i是一个正实数；对所得结果进行归一化处理，即可得到稳定域估计初值Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}，并得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)；

S4.1.3、得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)后的非参数依赖的公共李雅普诺夫函数迭代约束条件以及平方和近似条件如下：

在得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)后，同样利用平方和近似约束条件构造半正定规划问题，逐次迭代扩大初始内部吸引域Ω₀；首先每次迭代过程中为得到更大的稳定域估计，所要搜寻的公共李雅普诺夫函数V^k(x)可行解满足如下第二约束条件：

其中，k是迭代次数，同时第k次迭代的稳定域为Ω^k，Ω^k＝{V^k(x)≤1}，V^k(x)是一个连续可微且径向无界的函数，0＜β≤1；

基于第二约束条件(3)，得到平方和近似后的第三约束条件(4)，其中V^k+1(x)是一个最高次数为d，且不包括常数项和一次项的多项式函数，具体如下：

其中，s₁(x)∈∑[x]，s_2，i(x，u)、s_3，i(x，u)、s_4，i(x，u)、s_5，i(s，u)和s_6，z，i(x，u)∈∑[x，u]，ε是一个正实数，用于保证每一次迭代得到的域严格比上一次迭代的结果大，ε₄和ε_5，i是正实数；

第三约束条件(4)中的公式(4c)包括有双线性矩阵不等式(BMI)，使得求解第三约束条件(4)也成为了一个双线性半正定规划问题，因此，若没有相关求解器直接求解的情况下，先基于上一步迭代得到的V^k(x)，构造包括第四约束条件(5)的线性矩阵不等式问题，具体如下：

由第四约束条件(5)求得s_2，i(x，u)和s_3，i(x，u)的可行解，定义为s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)，并将其代入第三约束条件(4)中相应位置，进而得到新的线性半正定求解问题，得到第五约束条件(6)，s₇(x)∈∑[x]，具体如下：

在具体程序撰写过程中，各个系数多项式的次数设置需要满足一定的大小关系，其中deg()表示括号中表达式的最高次数：

deg(s_3，i(x，u))≥deg(s_4，i(x，u))≥{deg(s_5，i(x，u))，deg(s_6，z，i(x，u))}_max。

8.根据权利要求7所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S4.1.3中，当需要反映不同控制模式影响的稳定边界估计需求时，则得到迭代初值后的非参数依赖的分段连续李雅普诺夫函数迭代约束条件以及平方和近似条件如下：

在得到李雅普诺夫函数迭代初值V⁰(x)和初始内部吸引域Ω₀后，通过逐次迭代扩大初始内部吸引域Ω₀，首先每次迭代过程中为得到更大的稳定域估计，所要搜寻的分段连续的李雅普诺大函数V^k(x)∈{V_i ^k(x)：x∈χ_i，i∈{1，2，...，L}}满足如下第六约束条件：

其中，第k次迭代的控制模式i对应的稳定域Ω_i ^k满足Ω_i ^k＝{V_i ^k(x)≤1}，σ_i(x)是控制模式i下对应的多项式函数；如果x∈χ_i，χ_i为状态变量空间上，控制模式i所对应的状态变量域集，称为第i个子空间，则第i个子空间χ_i上状态变量满足状态方程矢量f_i(x(t)，u)所描述的动态特性；介于第i个子空间χ_i和第j个子空间χ_j之间的切换界面定义为S_ij＝{σ_ij(x)＝0}，而σ_ij(x)＝0是控制模式i与控制模式j之间的切换边界条件；SS_ij是第i个子空间χ_i和第j个子空间χ_j之间切换界面与系统稳定域边界的交集；控制模式i对应的子李雅普诺夫函数V_i(x)满足

是偏微分算子；第k次迭代的稳定域Ω^k满足Ω^k＝{V^k(x)≤1}，V^k(x)∈{V_i ^k(x)，i∈{1，2，...，N}}，其中V_i ^k(x)是第k次迭代得到的控制模式i对应的子李雅普诺夫函数；

对第六约束条件(7)进行转化，得到平方和近似后的第七约束条件(8)，其中V_i ^k+1(x)是一个最高次数为d，且不含常数项和一次项的多项式函数，具体如下：

其中，L₁(x)、L_{7，1，i，j}(x)、L_{8，1，i，j}(x)、L_{9，1，i，j}(x)、L_{10，1，i，j}(x)、L_{11，1，i，j}(x)、L_{7，2，i，j}(x)、L_{8，2，i，j}(x)、L_{9，2，i，j}(x)、L_{10，2，i，j}(x)、L_{11，2，i，j}(x)∈∑[x]，L_2，i(x，u)、L_3，i(x，u)、L_4，i(x，u)、和L_6，z，i(x，u)∈∑[x，u]，ε是一个正实数，用于保证每一次迭代得到的域严格比上一次迭代的结果大，ε₅和ε_6，i是正实数；

基于上一步迭代得到的V_i ^k(x)和V_j ^k(x)可以得到第k+1次迭代的值，即构造包括第八约束条件(9)的线性矩阵不等式问题，具体如下：

由第八约束条件(9)得到L_2，i(x，u)、L_3，i(x，u)、L_{7，2，i，j}(x)、L_{7，1，i，j}(x)、L_{8，1，i，j}(x)、L_{8，2，i，j}(x)、L_{9，1，i，j}(x)和L_{9，2，i，j}(x)的可行解，定义为L_2，i，0(x，u)、L_3，i，0(x，u)、L_{7，2，i，j，0}(x)、L_{7，1，i，j，0}(x)、L_{8，1，i，j，0}(x)、L_{8，2，i，j，0}(x)、L_{9，1，i，j，0}(x)和L_{9，2，i，j，0}(x)，并将其代入第七约束条件(8)中相应位置，进而得到新的线性半正定求解问题，如第九约束条件(10)所示，其中s₈(x)∈∑[x]，具体如下：

在具体程序撰写过程中，各个系数多项式的次数设置需要满足一定的大小关系：

deg(L_3，i(x，u))≥deg(L_4，i(x，u))≥{deg(L_5，i(x，u))，deg(L_6，z，i(x，u))}_max。

9.根据权利要求8所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，步骤S4.2中，含不确定参数的交直流切换系统的李雅普诺夫函数构造和稳定域求解具体如下：

当需要用公共李雅普诺夫函数求解时，包括以下步骤：

步骤A1：开始迭代前，给定ε₁的值，令ε_up和ε_low为ε₁的上下限；

步骤A2：由第一约束条件(1)得到初始的李雅普诺夫函数，并由公(2)得到初始边界值；经过归一化处理得到初始李雅普诺夫函数V⁰(x)＝V₀(x)/c以及内部稳定域Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}；在第k次迭代中，基于上一次迭代中得到的解V^k-1和第四约束条件(5)，从而得到s_2，i(x，u)和s_3，i(x，u)的可行解，并标注为s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)；

步骤A3：将步骤A2中求得的s_2，i，0(x，u)和s_3，i，0(x，u)代入第五约束条件(6)，当ε₁＝ε_up时，找到满≤第五约束条件(6)的可行解V^k(x)，并令k＝k+1；

步骤A4：重复步骤A2到步骤A3，直到找不到满足第五约束条件(6)的可行解后，令ε₁＝ε₁/10；

步骤A5：继续重复步骤A2到步骤A4，直到ε₁≤ε_low时停止迭代；得到满≤含不确定参数的非线性切换系统稳定域定义要求的李雅普诺夫函数V(x)＝V^k(x)且稳定域为

当需要用连续李雅普诺夫函数求解时，包括以下步骤：

步骤B1：由第一约束条件(1)得到初始的李雅普诺夫函数，并由公式(2)得到初始边界值；经过归一化处理得到初始李雅普诺夫函数V⁰(x)＝V₀(x)/c以及内部稳定域Ω₀＝{x∈Rⁿ：V⁰(x)＝V₀(x)/c≤1}；在第k次迭代中，将上一次迭代中得到的解V^k-1代入第八约束条件(9)中的公式(9a)，找到L_2，i(x，u)和L_3，i(x，u)的可行解，记为L_2，i，0(x，u)和L_3，i，0(x，u)，代入第七约束条件(8)中，求解第八约束条件(9)中的公式(9b)和公式(9c)，找到L_{7，2，i，j}(x)，L_{7，1，i，j}(x)，L_{8，1，i，j}(x)，L_{8，2，i，j}(x)，L_{9，1，i，j}(x)，L_{9，2，i，j}(x)的可行解，作为已知量标记并代入第七约束条件(8)中；

步骤B2：将步骤B1中得到满足第九约束条件(10)的问题，寻找满足要求的L_i ^k(x)，当ε₁＝ε_up时，找到满足第八约束条件(9)中的公式(9a)、公式(9b)和公式(9c)的可行解V^k(x)，并令k＝k+1；

步骤B3：重复步骤B1到步骤B2，直到找不到满足约束条件的可行解后，令ε₁＝ε₁/10；

步骤B4：继续重复步骤B1到步骤B3，直到ε₁≤ε_low时停止迭代；得到满足含不确定参数的非线性切换系统稳定域定义要求的李雅普诺夫函数V(x)∈{x∈Rⁿ，u∈Δ，V_i(x)＝V_i ^k，i∈{1，2，...，N}}且稳定域为

10.根据权利要求1～9所述的基于平方和的含不确定参数交直流系统稳定域估计方法，其特征在于，含不确定参数的交直流混合电力系统所用的三阶发电机模型为：

其中，δ_i表示接入母线节点为i的发电机的功角；ω_i表示发电机i的角速度；Δω_i表示发电机的角速度变化量；D表示发电机的阻尼系数；ΔD表示发电机的阻尼系数的不确定参数；M_i表示发电机的惯性常数；P_mi表示发电机的机械功率；P_ei为电磁功率；T′_doi表示发电机的d轴开路暂态时间常数；E′_qi表示发电机的q轴暂态电势；E_fdi表示接入母线节点i的发电机励磁电压；θ_i为i号母线电压相角；x_di和x′_di分别为发电机的暂态电抗和次暂态电抗，

为发电机i的交轴电抗，f为系统频率，V_i表示节点为i的母线电压幅值。

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