CN109635443A - 一种独立电力系统稳定性解耦分析方法 - Google Patents

Abstract

一种独立电力系统稳定性解耦分析方法，预先离线估计子系统的局部输入‑状态稳定/局部输入‑输出稳定(LISS/LIOS)属性，其中LISS/LIOS属性包括局部稳定域以及渐近增益，且渐近增益采用分段线性形式；计算获取子系统互联后的小增益条件，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性。该方法通过使用分段线性形式的渐近增益函数，减少子系统的LISS分析的保守性，而且通过提出的解耦稳定性准则可以实现快速灵活的稳定性分析。

Description

一种独立电力系统稳定性解耦分析方法

技术领域

本发明属于电力系统控制技术领域，具体涉及一种独立电力系统稳定性解耦分析方法。

背景技术

在通常情况下，舰载、飞机、空间站中的电力系统处于孤立运行状态，称为独立电力系统(IPS)。IPS的稳定性是保证船舶、飞机和空间站正常运行和执行任务的重要条件，由于独立电力系统的容量有限并且缺乏大电网的支持，IPS的稳定性问题突出。IPS中存在大量的动态负载，如船载电力系统上的推进负载(单个容量可与发电机容量相比拟)，因此IPS中的短期电压稳定性问题尤为突出。此外，网络重构和紧急控制是保证IPS生存性和可靠性的重要措施，使得IPS具有多变的系统拓扑和频繁的开断操作。因此，迫切需要快速灵活的稳定性分析方法以适应IPS的特点。

现有的稳定性分析方法可分为时域仿真法和解析法。在采用时域仿真法时，由于IPS在运行过程中拓扑和运行方式灵活多变，因此计算量巨大。此外，采用时域仿真法只能得到稳定或不稳定的定性结果，而不能获得稳定裕度的信息。

从广义上讲，解析研究动态系统稳定性有两种主要方法：状态空间法和算子法。状态空间方法通常与Lyapunov理论相关联，采用几何和拓扑工具研究非线性系统的动态响应。基于Lyapunov理论的电力系统暂态稳定分析方法，可以通过校验故障后系统的初始状态是否在稳定域内部进行稳定性评估。然而，Lyapunov方法在IPS的实际应用中面临以下困难：缺乏构建能量/Lyapunov函数的通用算法。IPS的拓扑灵活多变，当IPS的拓扑或运行状态改变时，需要重新建立整个系统的数学模型，重新构造相应的能量/Lyapunov函数，并计算相应的临界能量，难以满足IPS对稳定性分析快速灵活的要求。算子法研究系统输入到输出的映射关系，使用Hibert或Banach空间技术，并将线性系统的许多属性扩展到非线性系统。然而，算子法不涉及诸如系统状态初值等信息，无法分析系统状态变量的动态响应。

将算子法和状态空间法的结合在一起的输入-状态稳定性(ISS)理论是非线性系统稳定性分析和控制的重要理论，ISS理论的一个主要优点是通过子系统的ISS属性研究互联系统的稳定性。子系统ISS分析的关键在于渐近增益的估计。然而，对于一般非线性系统难以精确估计其渐近增益函数。因此，线性形式的渐近增益函数被广泛使用，为实际应用带来一定的保守性。

发明内容

本发明的目的是提供一种独立电力系统(Isolated Power System，IPS)稳定性解耦分析方法。

为实现上述目的，本发明采用如下的技术方案：

一种独立电力系统稳定性解耦分析方法，包括以下步骤：

S1，预先离线估计子系统的局部输入-状态稳定/局部输入-输出稳定属性，其中，子系统的局部输入-状态稳定/局部输入-输出稳定属性包括局部稳定域以及渐近增益，且渐近增益采用分段线性形式；

S2，计算获取子系统互联后的小增益条件，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性。

本发明进一步的改进在于，进行步骤S1之前，考虑如下仿射非线性系统：

其中x∈Rⁿ，u∈R^m，f：Rⁿ→Rⁿ，g：Rⁿ→R^n×m，假设f，g在x中是连续的局部Lipschitz，并且假设未受干扰的系统的平衡点在原点，即f(0)＝0；

全局ISS的定义如下：

定义1：如果存在函数β和函数γ，β和γ是比较函数，则对于任何初始状态和外部输入，以下不等式成立：

上述仿射非线性系统是全局ISS的，欧几里德范数由|·|表示，γ称为系统的渐近增益，x₀为仿射非线性系统的平衡点，t为时间，u为外部输入；||u||_∞表示外部输入u的(本质)上确界，||u||_∞它是使得|u(t)|≤a对所有t成立的最小的a，比较函数的定义如下：

函数

函数

函数

以下给出LISS的定义；

定义2：如果存在函数β和函数γ，则对于以下成立

则上述仿射非线性系统是LISS的；Ω表示初始状态的局部区域，Rⁿ为n维实数空间，U表示外部输入的局部区域，R^m为m维实数空间；LISS表示局部输入-状态稳定性；

LISS-Lyapunov函数的定义如下：

定义3.令Ω表示初始状态的局部区域，Rⁿ为n维实数空间，U表示外部输入的局部区域，，R^m为m维实数空间；考虑平滑函数V：Ω→R_≥0，其在Ω\{0}上为正定且V(0)＝0，如果存在函数χ，则对于和以下成立；

则V是仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数；

定理1.令与定义3中所示的域相同，考虑平滑函数V，其在Ω\{0}上为正定，其中V(0)＝0，且V满足以下条件：

则V是仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数；

推论1：令[m₁，m₂]为外部输入的上限范数的域，其中m₂＞m₁＞0；假设存在平滑函数V满足定理1中的条件，当||u||_∞＝m₂时，渐近增益由γ′表示；在输入域[m₁，m₂]上，仿射非线性系统状态变量的收敛区域由γ′m₂界定，相应的渐近增益γ满足以下条件：

本发明进一步的改进在于，LISS-Lyapunov函数的构造方法如下：

给定定义域根据仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数的条件，连续可导，并且满足以下三个条件：

为使以上三个条件用SOSTOOLS求解，去除中的绝对值符号，将重新表示为

则上述三个条件表示为以下集合归属条件：

通过进一步将非多项式约束z≠0替换为多项式约束l₁(z)≠0和l₂(z)≠0，其中l₁，l₂∈∑_N，上述集合归属条件表示为如下空集约束：

应用P-satz定理，上述空集约束表示如下：

为了限制上述空集约束的求解规模，进行如下简化：令k₁＝k₂＝k₃＝1，s_i＝s_il₁，s_j＝s_jl₂以及λ₁＝λ₁l₁，λ₂＝λ₂l₂，其中i＝0，1，2，3，j＝4，5，…，11，并且分别提取公因式l₁和l₂；最后，选取s₂＝s₃＝1以及s₈＝s₉＝s₁₁＝0，以去除中的四次方项，进而限制多项式的度；上述空集约束简化为以下SOS约束：

本发明进一步的改进在于，寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的算法的具体过程为：以某一初始子系统LISS-Lyapunov函数为起点，通过迭代搜索的方式扩展输入的局部范围；初始子系统LISS-Lyapunov函数选择0输入系统的Lyapunov函数，0输入系统的Lyapunov函数采用函数findlyap进行构造。

本发明进一步的改进在于，寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的具体过程如下：

给定定义域迭代；子记为i，迭代从一个0-AS Lyapunov函数开始；将子系统LISS-Lyapunov函数的最高次数、SOS乘子、以及公因式l和系数λ的度分别选取为以及最后，取i＝1及||u^(i-1)||_∞＝0；

步骤1：令为了获得输入的局部范围估计，求解以下SOS优化问题：

获得的决策变量为： 令 以及||u⁽ⁱ⁾||_∞＝||u||_∞；

步骤2：给定||u||_∞＝||u⁽ⁱ⁾||_∞以及 寻找s₁，s₆及s₁₄，使得以下三个约束成立：

令||u⁽ⁱ⁾||_∞＝||u||_∞及若|||u⁽ⁱ⁾||_∞-||u^(i-1)||_∞|小于给定的容许误差，则迭代结束；否则令i＝i+1并转至步骤1；

步骤3：当迭代停止时，集合u＝{u∈R^m|||u||_∞≤||u⁽ⁱ⁾||_∞}即为对外部输入的局部范围的最佳估计，即为优化后的子系统Lyapunov函数。

本发明进一步的改进在于，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性的判据如下：

考虑由n个子系统组成的互联系统，第i个子系统如下所示；

其中，第i个子系统的状态变量，外部输入和输出分别由和表示；

假设每个子系统满足如定义2所示的LISS属性，即对于以下成立：

其中和分别表示初始状态和外部输入的LISS区域；其局部输入到输出稳定性如下所示；

其中和是LIOS属性，和 和分别表示初始状态和外部输入的LIOS定义域；

为了给出稳定性分析的一般情况，考虑子系统输入/输出关系满足以下不等式；

(|u(t)|)_c≤(σ(|y(t)|))_c+e

其中(·)_c表示包含n个元素的列向量，映射σ＝[σ₁，…，σ_n]^T，σ_i是函数；e中每个元素e_i≥0；以下定理给出了互联系统稳定性的充分条件；

定理2.考虑满足上述条件的n个子系统；如果x_i(0)∈Ω_i和u_i(0)∈U_i，其中表示初始状态的稳定区域，并且以下两个条件成立；

小增益条件：

第二个条件：

则互联系统是稳定的；其中是IOS增益矩阵Γ^IOS和σ的函数组成；表示对各个子系统输入的估计，I_d表示恒等映射；U＝[U₁，…，U_n]^T表示各子系统的局部输入范围；

基于上述稳定性解耦判据，通过校验两组代数约束实现互联系统的稳定性评估，其中子系统的LISS和LIOS属性是离线获得的。

本发明进一步的改进在于，校验第一个条件即小增益条件的具体过程如下：

引理1：设增益矩阵用Γ表示；考虑由{s(k)}表示的离散单调序列，其中 s(0)＝s₀，并且s₀是由正实常数组成的向量；如果当k→∞时，基于引理1，小增益条件的验证分为两个步骤：

首先，确定研究的局部区域，然后判断序列{s(k)}的收敛性；根据稳定行的判据的第二个条件，表示各子系统输入的估计；因此，选择局部区域为

其次，为校验序列的极限，以下为校验序列其中k∈N，是否收敛至0的具体过程如下：

设k表示迭代因子；迭代从开始，选择k_max为最大迭代次数，以避免算法无限循环；令k＝1，并且

步骤1.令s＝s(k-1)；计算序列令

步骤2.如果s(k)小于给定的容许误差，则满足上的小增益条件，则互联系统稳定，迭代结束；否则，增加k并检查k是否大于k_max；如果是，执行步骤3；否则，返回步骤1；

步骤3.若不满足上的小增益条件，互联系统不稳定。

本发明进一步的改进在于，一次迭代的计算量涉及单调序列的计算，其中每个计算具有O(S(k))阶的复杂度；因此，校验的总体复杂度为O(kS(k))，其中k是迭代次数。

与现有技术相比，本发明具有的有益效果：本发明通过预先离线估计子系统的LISS/LIOS属性，其中LISS/LIOS特性包括局部稳定域以及渐近稳定增益，采用分段线性形式的获得系统的渐近稳定增益，进而计算获取互联系统的小增益条件，验证互联的独立电力系统的LISS/LIOS属性。该方法通过使用分段线性形式的渐近增益函数，减少子系统的LISS分析的保守性，而且通过提出的解耦稳定性准则可以实现快速灵活的稳定性分析。

进一步的，本发明考虑分段线性形式的渐近增益函数，并提出子系统渐近增益函数估计的实用算法；同时，本发明提出考虑非线性渐近增益的稳定性解耦分析判据，基于小增益定理，将稳定性判据转化为一系列代数方程，并提出实用化的算法以校验所述稳定判据。

进一步的，本发明设计的稳定性解耦判据由每个子系统的LISS/LIOS属性及子系统连接关系所形成的一系列代数约束组成，能够灵活地反映IPS拓扑和运行工况的变化。

附图说明

图1为感应电动机的输入/输出关系。

图2为发电机的输入/输出关系。

图3为稳定性分析的总体流程图。

图4为测试系统的结构图。

图5为恢复过程的电压动态。

图6为估计输入到其边界的最小距离。

图7为M1，M2和CPL1母线的电压动态。

图8为P_CPL1相对于线性增益的谱半径。

图9为不同P_CPL1下序列的收敛情况。

图10为负载母线的端电压。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为了分析IPS的稳定性，需要快速且灵活的稳定性解耦分析方法，通过采用分段线性形式的渐近增益形式，可以减少子系统的LISS分析的保守性，通过提出的分解稳定性准则可以实现快速灵活的稳定性分析。

本发明的方法包括：S1，预先离线估计子系统的局部输入-状态稳定/局部输入-输出稳定(LISS/LIOS)属性，其中LISS/LIOS属性包括局部稳定域以及渐近增益，且渐近增益采用分段线性形式；

S2，计算获取子系统互联后的小增益条件，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性；

独立电力系统的子系统包括同步发电机、感应电动机、恒功率负载和恒阻抗负载。

在进行S1之前，本发明先给出以下定义以及推论：

考虑如下仿射非线性系统：

其中x∈Rⁿ，u∈R^m，f：Rn→Rⁿ，g：Rⁿ→R^n×m，假设f，g在x中是连续的局部Lipschitz，并且假设未受干扰的系统的平衡点在原点，即f(0)＝0。

全局ISS的定义如下。

定义1：如果存在函数β和函数γ，β和γ是比较函数，则对于任何初始状态和外部输入，以下不等式成立：

上述仿射非线性系统是全局ISS的，欧几里德范数由|·|表示，γ称为系统的渐近增益，x₀为仿射非线性系统的平衡点，t为时间，u为外部输入。||u||_∞表示外部输入u的(本质)上确界，||u||_∞它是使得|u(t)|≤a对所有t成立的最小的a，比较函数的定义如下：

函数

函数

函数

由于大多数实际系统是局部稳定的，以下给出局部输入-状态稳定性(LISS)的定义。

定义2：如果存在函数β和函数γ，则对于以下成立

则上述仿射非线性系统是局部输入-状态稳定(LISS)的。Ω表示初始状态的局部区域，Rⁿ为n维实数空间，U表示外部输入的局部区域，R^m为m维实数空间。LISS-Lyapunov函数的定义如下。

定义3.令和Ω表示初始状态的局部区域，Rⁿ为n维实数空间，U表示外部输入的局部区域，R^m为m维实数空间。考虑平滑函数V：Ω→R_≥0，其在Ω\{0}上为正定且V(0)＝0，如果存在函数χ，则对于和以下成立。

则V是仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数。

定理1.令与定义3中所示的域相同，即考虑平滑函数V，其在Ω\{0}上为正定，其中V(0)＝0，且V满足以下条件：

则V是仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数。

推论1：令[m₁，m₂]为外部输入的上限范数的域，其中m₂＞m₁＞0。假设存在平滑函数V满足定理1中的条件，当||u||_∞＝m₂时，渐近增益由γ′表示。在输入域[m₁，m₂]上，仿射非线性系统状态变量的收敛区域由γ′m₂界定，相应的渐近增益γ满足以下条件：

在步骤S1之前，所述方法还包括设计迭代搜索算法构造子系统的LISS-Lyapunov函数：

子系统LISS-Lyapunov函数的构造方法如下：

给定定义域根据仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数的条件，需连续可导，并且满足以下三个条件：

为使以上三个条件可用SOSTOOLS求解，必须去除中的绝对值符号，将重新表示为

则上述三个条件可以表示为以下集合归属条件：

通过进一步将非多项式约束z≠0替换为多项式约束l₁(z)≠0和l₂(z)≠0，其中l₁，l₂∈∑_N，上述集合归属条件可以表示为如下空集约束：

应用P-satz定理，上述空集约束可以表示如下：

为了限制上述空集约束的求解规模，进行如下简化：令k₁＝k₂＝k₃＝1，s_i＝s_il₁，s_j＝s_jl₂以及λ₁＝λ₁l₁，λ₂＝λ₂l₂，其中i＝0，1，2，3，j＝4，5，…，11，并且分别提取公因式l₁和l₂。最后，选取s₂＝s₃＝1以及s₈＝s₉＝s₁₁＝0，以去除中的四次方项，进而限制多项式的度。综上，上述空集约束可简化为以下SOS约束：

寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的算法的具体过程为：以某一初始子系统LISS-Lyapunov函数为起点，通过迭代搜索的方式扩展输入的局部范围。初始子系统LISS-Lyapunov函数可选择0输入系统的Lyapunov函数，0输入系统的Lyapunov函数可采用函数findlyap进行构造。

寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的算法在两个SOS约束之间交替轮换。寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的算法的具体描述如下：

给定定义域迭代因子记为i，迭代从一个0-AS Lyapunov函数开始。将子系统LISS-Lyapunov函数的最高次数、SOS乘子、以及公因式l和系数λ的度分别选取为以及最后，取i＝1及||u^(i-1)||_∞＝0。

多项式的度为最高次的系数。

步骤1：令为了获得输入的局部范围估计，需要求解以下SOS优化问题：

获得的决策变量为： 令 以及||u⁽ⁱ⁾||_∞＝||u||_∞。

步骤2：给定||u||_∞＝||u⁽ⁱ⁾||_∞以及 寻找s₁，s₆及s₁₄，使得以下三个约束成立：

令||u⁽ⁱ⁾||_∞＝||u||_∞及若|||u⁽ⁱ⁾||_∞-||u^(i-1)||_∞|小于给定的容许误差，则迭代结束。否则令i＝i+1并转至步骤1。

步骤3：当迭代停止时，集合U＝{u∈R^m|||u||_∞≤||u⁽ⁱ⁾||_∞}即为对外部输入的局部范围的最佳估计，即为优化后的子系统Lyapunov函数。

S1，基于上述定义、推论等，预先离线估计子系统的局部输入-状态稳定/局部输入-输出稳定(LISS/LIOS)属性，其中LISS/LIOS属性包括局部稳定域以及渐近增益，且渐近增益采用分段线性形式；具体过程如下：

参见图3，对于一般多项式子系统的LISS分析，需要利用上述子系统LISS-Lyapunov函数的构造方法构造LISS-Lyapunov函数。

定义一个输入U＝{u|a≤||u||_∞≤b}，基于分段线性形式求解子系统在U上的渐近增益，求解子系统在U上的渐近增益的具体过程如下：

步骤1.将集合U划分为具有相同间隔的N个子集，并且第k个子集由U_k＝{u|a_k≤||u||_∞≤b_k}表示，其中k＝1，2，…，N，a₁＝a，b_N＝b，并且b_k＝a_k+1。i表示迭代因子，并设置i＝1。

步骤2.求解U_i区间内子系统的渐近增益。根据推论1，首先研究||u||_∞＝b_i时的渐近增益。根据LISS的定义，当系统是LISS时，受扰系统的状态变量终值可以由lim_t→∞|x(t)|≤γ(||u||_∞)表示，γ为一正的常数。如果存在一个集合P＝{x∈Ω||x(t)|≤γ·b_i}，使得 则γ是渐近增益的估计。求解以下含集合归属条件的优化问题，由最小γ给出对渐近增益的估计：

minγ

上述约束可以通过使用P-satz定理重新表示为平方和(SOS)约束。然后通过Matlab软件工具箱SOSTOOLS解决优化问题，得到

步骤3.通过使用推论1，U_i上的渐近增益γ_i可以通过下式计算：

步骤4.设置i＝i+1。校验是否i≤N。若不是，则迭代结束，并获得U上的子系统分段线性形式渐近增益。否则，返回步骤2。

对于非多项式子系统，本发明提出了一种实用化的渐近增益的估计算法，具体过程如下：根据LISS的定义，渐近增益表示状态的最终值与0输入系统平衡点之间的距离。因此，对外部扰动||u||_∞＝v的渐近增益估计应通过计算扰动系统的平衡点与原点之间的最大距离进行估计，具体过程如下。

步骤1.将输入集合U＝{u|a≤||u||_∞≤b}分成N个子集，第k个子集由U_k＝{u|a_k≤||u||_∞≤b_k}表示，其中k＝1，2，…，N，a₁＝a，b_N＝b，b_k＝a_k+1。i表示迭代因子，并设置i＝1。

步骤2.求解局部稳定域U_i区间的渐近增益。根据推论1，首先求解||u||_∞＝b_i时子系统的渐近增益，求解以下优化问题：

s.t.f(x_e)+g(x)u＝0

采用粒子群优化算法(PSO)求解上述优化问题，得到渐近增益估计

步骤3.通过使用推论1，局部稳定域U_i上的渐近增益可以估计为

步骤4.设置i＝i+1。校验是否i≤N。如果不是，则迭代结束，并获得U上的子系统分段线性形式渐近增益。否则，返回步骤2。

S2，计算获取子系统互联后的小增益条件，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性；具体过程如下：

本发明基于小增益定理，提出适用于IPS的稳定性解耦分析判据，并提出一种实用算法校验所提稳定性条件。稳定性解耦分析判据如下：

考虑由n个子系统组成的互联系统，第i个子系统如下所示。

其中，第i个子系统的状态变量，外部输入和输出分别由和表示。

假设每个子系统满足如定义2所示的LISS属性，即对于以下成立：

其中和分别表示初始状态和外部输入的LISS区域。其局部输入到输出稳定性(LIOS)如下所示。

其中和是LIOS属性，和 和分别表示初始状态和外部输入的LIOS定义域。

本发明设计的稳定性解耦判据由每个子系统的LISS/LIOS属性及子系统连接关系所形成的一系列代数约束组成，能够灵活地反映IPS拓扑和运行工况的变化：每个子系统的关系可以表示为输入u_i和输出y_i的关系。通常，电力系统模型由微分代数方程组成，每个子系统的输入和输出通常满足一系列代数方程g(u，y)＝0。研究短期电压稳定性时电源、负载子系统的将选择电压、电流作为输入和输出，子系统连接关系可由IPS的网络方程获得。为了给出稳定性分析的一般情况，考虑子系统输入/输出关系满足以下不等式。

(|u(t)|)_c≤(σ(|y(t)|))_c+e

其中(·)_c表示包含n个元素的列向量，映射σ＝[σ₁，…，σ_n]^T，σ_i是函数。e中每个元素e_i≥0。以下定理给出了互联系统稳定性的充分条件。

定理2.考虑满足上述条件的n个子系统。如果x_i(0)∈Ω_i和u_i(0)∈U_i，其中表示初始状态的稳定区域，并且以下两个条件成立。

小增益条件：

第二个条件：

则互联系统是稳定的。其中是IOS增益矩阵F^IOS和σ的函数组成。表示对各个子系统输入的估计，I_d表示恒等映射。U＝[U₁，…，U_n]^T表示各子系统的局部输入范围。

基于上述稳定性解耦判据，可以通过校验两组代数约束实现互联系统的稳定性评估，其中子系统的LISS和LIOS属性是离线获得的。

根据定理2给出的稳定判据，第二个条件仅包含复合函数的计算，易于验证。因此，仅需提出一种实用的算法以有效地校验第一个条件即小增益条件。

引理1：设增益矩阵用Γ表示。考虑由{s(k)}表示的离散单调序列，其中 s(0)＝s₀，并且s₀是由正实常数组成的向量。如果当k→∞时，基于引理1，小增益条件的验证可以分为两个步骤：首先，确定研究的局部区域，然后判断序列{s(k)}的收敛性。根据稳定判据的第二个条件，表示各子系统输入的估计。因此，可以选择局部区域为其次，需要有效地校验序列的极限，本发明提出一种校验序列是否收敛至0的实用算法，其中k∈N。该校验序列是否收敛至0的实用算法的详细描述如下。

设k表示迭代因子。迭代从开始。选择k_max为最大迭代次数，以避免算法无限循环。令k＝1，并且

步骤1.令s＝s(k-1)。计算序列令

步骤2.如果s(k)小于给定的容许误差，则满足上的小增益条件，则互联系统稳定，迭代结束。否则，增加k并检查k是否大于k_max。如果是，执行步骤3.否则，返回步骤1。

步骤3.若不满足上的小增益条件，互联系统不稳定。

一次迭代的计算量涉及单调序列的计算，其中每个计算具有O(S(k))阶的复杂度。因此，上述校验的总体复杂度为O(kS(k))，其中k是迭代次数。

基于上述讨论，图3描述了互联系统稳定性解耦分析的总体流程图。

本发明提出子系统分段线性化形式的渐近增益函数实用估计算法：

对于多项式子系统，本发明通过构造LISS-Lyapunov函数，构造平方和(Sum-Of-Squares，SOS)约束，设计迭代算法求解分段线性形式的渐近增益；

对于非多项式子系统，本发明以受扰系统的平衡点与原点的最大距离估计子系统的分段线性渐近增益函数；

对于多项式系统，利用Positivstellensatz定理构造SOS约束，并设计迭代搜索算法构造子系统的LISS-Lyapunov函数；利用Positivstellensatz(P-satz)定理构造SOS约束，并设计迭代搜索算法求解分段线性形式的渐近增益，SOS约束可以通过Matlab软件中SOSTOOLS工具包处理；

对于非多项式系统，将分段线性渐近增益的估计转化为一组优化问题，并采用粒子群优化算法(PSO)进行求解。

稳定性判据由每个子系统的LISS/LIOS属性及子系统连接关系所形成的一系列代数约束组成，即由一系列代数约束组成，能够灵活地反映IPS拓扑和运行工况的变化；

由于IPS中短期电压稳定问题突出，在研究短期电压稳定性时，电源、负载子系统的将选择电压、电流作为输入和输出，负载子系统连接关系可由IPS的网络方程获得。

设计迭代算法，通过验证某一离散序列的收敛性以校验稳定性判据中的小增益条件。

本发明提出一种适用于IPS的稳定性解耦分析方法，渐近增益函数采用分段线性形式，并提出估计子系统ISS属性的算法。其次，本发明提出考虑非线性渐近增益的互联系统稳定性解耦判据，并设计实用算法检验稳定性条件。该方法的优点是：通过使用分段线性形式的渐近增益函数，减少子系统LISS分析的保守性。通过提出的稳定性解耦分析判据，实现快速灵活的稳定性分析。最后通过所提出的实用算法有效地验证小增益条件。

下面通过实施例对本发明实施例进行进一步说明，以下仅为本发明实施例的两个实施例，本发明实施例并不以此为限。

根据本发明所提多项式子系统和非多项式子系统LISS/LIOS分析方法，对IPS中常用设备：发电机、感应电动机、恒功率负载、恒阻抗负载进行LISS/LIOS分析，估计相应的渐近增益函数。

1)感应电动机

感应电动机采用如下三阶模型。

感应电动机的LISS/LIOS区域以及β函数的估计可以通过构造子系统LISS-Lyapunov函数获取。由于上述感应电动机模型是多项式形式，渐近增益可由多项式系统渐近增益估计算法求解，计算结果如图1所示。

2)发电机

对于短期电压稳定性的研究，发电机采用如下四阶模型。

u_d＝X_qi_q

u_q＝E′_q-X′_di_d

采用本发明所提算法估计渐近增益，结果如图2所示。

3)恒功率负载和恒阻抗负载

恒功率负载的特征可由以下等式表示。

P＝UI

其中，P是恒定功率，U和I分别表示电压和电流。令ΔU＝U-U_ref，ΔI＝I-I_ref，U_refI_ref＝P。输入/输出关系可以用下面的等式表示。

综上，恒功率负载的非线性渐近增益函数可以由γ_CPL＝I_ref/(ΔU+U_ref)表示。

对于恒阻抗负载，忽略电感的动态过程，输入/输出关系呈线性形式，并且可以由γ_Z＝1/|Z|表示，其中Z表示负载阻抗。

将上述系统进行互联稳定性分析：选择图4中描绘的典型独立电力系统作为测试系统。测试系统由发电机，感应电动机，恒阻抗负载和恒功率负载组成。M1，M2，CPL1和CPL2为四个关键负载；M3，M4，M5和M6是四个重要负载，一般负载由L1-L8表示，如图4所示。测试系统的母线电压暂态波动要求在0.2p.u以内。

A.稳定性分析结果

在紧急情况下，例如短路故障，电压会骤降，保护电路启动。紧急情况清除后，IPS需要尽快恢复负载供电，并保证在恢复过程中系统的安全稳定运行。假设负载的重要性级别为M1＞CPL1＞M2＞CPL2＞M4＞M6＞M3＞M。通过本发明所提方法估计的所有子系统的LISS/LIOS属性，并且基于测试系统的基值进行标准化。

实施例1：假设在故障期间所有负载均被切除，研究可行的恢复供电策略，以确保在恢复过程中系统的稳定性和安全性，恢复的目标是尽可能多地恢复负载供电和重要的负载优先恢复，利用本发明提出稳定性解耦分析方法校验可行的恢复供电策略。假设每个恢复阶段的时间间隔为1秒。利用本发明所提的具有分段线性形式渐近增益的分解稳定性判据，可行的恢复策略为：M1，M2，CPL1→CPL2，M4，M6→M3，M5。执行该恢复过程的时域仿真结果如图5所示。从图5中可以看出，恢复过程中的电压跌落都在运行约束内。当使用线性形式的渐近增益时，可行的恢复过程是M1，CPL1→M2，CPL2→M4，M6→M3，M5。因此，通过使用所提出的具有分段线性形式渐近增益的稳定性解耦判据，可以降低稳定性分析的保守性。

从图5中可以看出，M1，M2和CPL1在第一个恢复阶段恢复。为了进一步验证所提方法的有效性，在实施例2中研究了第一阶段的稳定性分析如下。

实施例2：考虑恢复供电的第一阶段，目的是找到使得系统保持安全稳定的CPL1的临界功率，以确保在恢复期间电压的降落在限制内。

从实施例1的分析和仿真结果可知，当P_CPL1＝0.4MW时，M1，M2，和CPL1可以同时恢复。定理2中的第二个条件表示各子系统的输入估计。估计输入到其边界的最小距离如图6所示，CPL1的临界功率为距离等于0时的功率。从图6中可以看出，通过所提出的方法和采用线性渐近增益的方法计算的临界功率分别为0.47MW和0.38MW。利用时域仿真以验证分析结果，当P＝0.53MW时电压超过操作极限，如图7所示。

在定理2中，稳定性判据由两个条件组成。第一个是小增益条件，它代表互联系统的稳定性。如果小增益条件成立，系统状态和输出将收敛到给定平衡点附近。否则，互联系统将失去稳定性。第二个条件根据系统的运行约束设计，用于校验系统状态和输出是否满足运行要求。通过在实施例2中增加CPL1的功率，可以找到保证小增益条件满足的临界功率。对于使用线性渐近增益的方法，小增益条件则简化为ρ＜1，其中ρ是增益矩阵的谱半径。图8，描绘了ρ相对于CPL1的功率的变化，可得CPL1的临界功率是大约为0.81MW。采用所提出的分段线性形式渐近增益的稳定性解耦分析判据校验小增益条件的迭代过程如图9所示。从图9可以看出，当P＝0.8MW时，序列通过15次迭代收敛。P＝0.9MW时，其序列发散，由理论分析结果可知CPL1的临界功率约为0.89MW。进行时域仿真以验证理论分析结果，当P＝0.97MW时发生电压崩溃，如图10所示。

Claims (8)

1.一种独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1，预先离线估计子系统的局部输入-状态稳定/局部输入-输出稳定属性，其中，子系统的局部输入-状态稳定/局部输入-输出稳定属性包括局部稳定域以及渐近增益，且渐近增益采用分段线性形式；

S2，计算获取子系统互联后的小增益条件，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性。

2.根据权利要求1所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，进行步骤S1之前，考虑如下仿射非线性系统：

其中x∈Rⁿ，u∈R^m，f：Rⁿ→Rⁿ，g：Rⁿ→R^n×m，假设f，g在x中是连续的局部Lipschitz，并且假设未受干扰的系统的平衡点在原点，即f(0)＝0；

全局ISS的定义如下：

定义1：如果存在函数β和函数γ，β和γ是比较函数，则对于任何初始状态和外部输入，以下不等式成立：

上述仿射非线性系统是全局ISS的，欧几里德范数由|·|表示，γ称为系统的渐近增益，x₀为仿射非线性系统的平衡点，t为时间，u为外部输入；||u||_∞表示外部输入u的(本质)上确界，||u||_∞它是使得|u(t)|≤a对所有t成立的最小的a，比较函数的定义如下：

函数

函数

函数

以下给出LISS的定义；

定义2：如果存在函数β和函数γ，则对于以下成立

则上述仿射非线性系统是LISS的；Ω表示初始状态的局部区域，Rⁿ为n维实数空间，U表示外部输入的局部区域，R^m为m维实数空间；LISS表示局部输入-状态稳定性；

LISS-Lyapunov函数的定义如下：

定义3.令Ω表示初始状态的局部区域，Rⁿ为n维实数空间，U表示外部输入的局部区域，，R^m为m维实数空间；考虑平滑函数V：Ω→R_≥0，其在Ω\{0}上为正定且V(0)＝0，如果存在函数χ，则对于和以下成立；

则V是仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数；

定理1.令与定义3中所示的域相同，考虑平滑函数V，其在Ω\{0}上为正定，其中V(0)＝0，且V满足以下条件：

则V是仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数；

推论1：令[m₁，m₂]为外部输入的上限范数的域，其中m₂＞m₁＞0；假设存在平滑函数V满足定理1中的条件，当||u||_∞＝m₂时，渐近增益由γ′表示；在输入域[m₁，m₂]上，仿射非线性系统状态变量的收敛区域由γ′m₂界定，相应的渐近增益γ满足以下条件：

3.根据权利要求2所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，LISS-Lyapunov函数的构造方法如下：

给定定义域根据仿射非线性系统的LISS-Lyapunov函数的条件， 连续可导，并且满足以下三个条件：

为使以上三个条件用SOSTOOLS求解，去除中的绝对值符号，将重新表示为

则上述三个条件表示为以下集合归属条件：

通过进一步将非多项式约束z≠0替换为多项式约束l₁(z)≠0和l₂(z)≠0，其中l₁，l₂∈∑_N，上述集合归属条件表示为如下空集约束：

应用P-satz定理，上述空集约束表示如下：

为了限制上述空集约束的求解规模，进行如下简化：令k₁＝k₂＝k₃＝1，s_i＝s_il₁，s_j＝s_jl₂以及λ₁＝λ₁l₁，λ₂＝λ₂l₂，其中i＝0，1，2，3，j＝4，5，…，11，并且分别提取公因式l₁和l₂；最后，选取s₂＝s₃＝1以及s₈＝s₉＝s₁₁＝0，以去除中的四次方项，进而限制多项式的度；上述空集约束简化为以下SOS约束：

4.根据权利要求3所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的算法的具体过程为：以某一初始子系统LISS-Lyapunov函数为起点，通过迭代搜索的方式扩展输入的局部范围；初始子系统LISS-Lyapunov函数选择0输入系统的Lyapunov函数，0输入系统的Lyapunov函数采用函数findlyap进行构造。

5.根据权利要求4所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，寻找最优子系统LISS-Lyapunov函数的具体过程如下：

给定定义域迭代；子记为i，迭代从一个0-AS Lyapunov函数开始；将子系统LISS-Lyapunov函数的最高次数、SOS乘子、以及公因式l和系数λ的度分别选取为以及最后，取i＝1及||u^(i-1)||_∞＝0；

步骤1：令为了获得输入的局部范围估计，求解以下SOS优化问题：

获得的决策变量为： 令 以及||u⁽ⁱ⁾||_∞＝||u||_∞；

步骤2：给定||u||_∞＝||u⁽ⁱ⁾||_∞以及 寻找s₁，s₆及s₁₄，使得以下三个约束成立：

令||u⁽ⁱ⁾||_∞＝||u||_∞及若|||u⁽ⁱ⁾||_∞-||u^(i-1)||_∞|小于给定的容许误差，则迭代结束；否则令i＝i+1并转至步骤1；

步骤3：当迭代停止时，集合u＝{u∈R^m|||u||_∞≤||u⁽ⁱ⁾||_∞}即为对外部输入的局部范围的最佳估计，即为优化后的子系统Lyapunov函数。

6.根据权利要求2所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，验证子系统互联后独立电力系统的稳定性的判据如下：

考虑由n个子系统组成的互联系统，第i个子系统如下所示；

其中，第i个子系统的状态变量，外部输入和输出分别由和表示；

假设每个子系统满足如定义2所示的LISS属性，即对于以下成立：

其中和分别表示初始状态和外部输入的LISS区域；其局部输入到输出稳定性如下所示；

其中和是LIOS属性，和 和分别表示初始状态和外部输入的LIOS定义域；

为了给出稳定性分析的一般情况，考虑子系统输入/输出关系满足以下不等式；

(|u(t)|)_c≤(σ(|y(t)|))_c+e

其中(·)_c表示包含n个元素的列向量，映射σ＝[σ₁，…，σ_n]^T，σ_i是函数；e中每个元素e_i≥0；以下定理给出了互联系统稳定性的充分条件；

定理2.考虑满足上述条件的n个子系统；如果x_i(0)∈Ω_i和u_i(0)∈U_i，其中表示初始状态的稳定区域，并且以下两个条件成立；

小增益条件：

第二个条件：

则互联系统是稳定的；其中是IOS增益矩阵Γ^IOS和σ的函数组成；表示对各个子系统输入的估计，I_d表示恒等映射；U＝[U₁，…，U_n]^T表示各子系统的局部输入范围；

基于上述稳定性解耦判据，通过校验两组代数约束实现互联系统的稳定性评估，其中子系统的LISS和LIOS属性是离线获得的。

7.根据权利要求6所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，校验第一个条件即小增益条件的具体过程如下：

引理1：设增益矩阵用Γ表示；考虑由{s(k)}表示的离散单调序列，其中 s(0)＝s₀，并且s₀是由正实常数组成的向量；如果当k→∞时，基于引理1，小增益条件的验证分为两个步骤：

首先，确定研究的局部区域，然后判断序列{s(k)}的收敛性；根据稳定行的判据的第二个条件，表示各子系统输入的估计；因此，选择局部区域为

其次，为校验序列的极限，以下为校验序列其中k∈N，是否收敛至0的具体过程如下：

设k表示迭代因子；迭代从开始，选择k_max为最大迭代次数，以避免算法无限循环；令k＝1，并月

步骤1.令s＝s(k-1)；计算序列令

步骤2.如果s(k)小于给定的容许误差，则满足上的小增益条件，则互联系统稳定，迭代结束；否则，增加k并检查k是否大于k_max；如果是，执行步骤3；否则，返回步骤1；

步骤3.若不满足上的小增益条件，互联系统不稳定。

8.根据权利要求7所述的独立电力系统稳定性解耦分析方法，其特征在于，一次迭代的计算量涉及单调序列的计算，其中每个计算具有O(S(k))阶的复杂度；因此，校验的总体复杂度为O(kS(k))，其中k是迭代次数。