CN113534661B - 基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，先对离散模型的非最小状态空间形式进行增广变换，然后通过卡尔曼滤波器获得最优状态，进而通过最小状态空间模型预测得到最优控制，基于增广非最小状态空间模型的预测控制器在实际应用中的调节非常方便。该控制方法具有较快的响应速度和较强的鲁棒性，可以很好地满足系统的精度和动态特性要求。本发明的目的在于改善目前电阻炉温度控制的效果和质量，而且依赖于精确模型的现状，使用此技术方法可以提升电阻炉温度控制方案控制效率与控制质量的鲁棒性。

Description

基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法

技术领域

本发明涉及自动控制技术领域，尤其涉及一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法。

背景技术

电阻炉是流程工业中的关键单元，其控制对产品质量和能耗起着至关重要的作用。其主要目标是在高温下烧结滚抛磨块等多种产品。电阻炉的温度控制效果直接影响后续工艺及其产品性能。因此，炉温的高精度控制非常重要。实际上，比例-积分-微分(PID)控制应用于大多数控制回路。由于炉子过程非常复杂，存在一些问题，如非线性、大惯性大滞后、模型不确定性等问题，传统的PID控制已被证明是不够的，不能用于这种复杂的工业过程。因此，研究先进的控制方法非常重要。

发明内容

为解决现有技术的不足，本发明提出了一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，目的在于改善目前电阻炉温度控制的效果和质量，而且依赖于精确模型的现状，使用此技术方法可以提升电阻炉温度控制方案控制效率与控制质量的鲁棒性。

为了实现上述目的，本发明提供一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，包括：

在电阻炉内设置热电偶传感器，并将热电偶传感器与变送器、控制器、执行机构依序连接，根据实际要求控制精度确定采样时间间隔和时间常数；

确定预测时域和控制时域的步长，根据实际环境选取初始温度值，并根据初始温度值初始化开始时刻的状态变量；设定初始控制律为0，构建电阻炉离散系统的离散时间模型，得到状态空间方程表达；

在预测控制过程中，根据状态空间方程的差分方程，定义增广状态向量，确定增广状态空间模型；

对于电阻炉离散化后，得到增广状态空间模型的传递函数，确定电阻炉离散系统的非最小状态空间表达；

通过卡尔曼滤波求电阻炉离散系统的状态向量；对非最小状态空间模型的预测控制进行误差校正；

根据改进后的预测输出，通过非最小状态空间模型得到未来状态向量和知校正后的预测输出，从而求得控制增量矩阵；

结合控制增量矩阵，获得反馈控制率，将得到的控制率输入电阻炉控制仪表，对电阻炉的加热功率进行控制。

其中，离散时间模型的状态空间表达式为：

其中x_m(k)为状态变量，y(k)为输出变量，u(k)为控制输入变量，ω(k)和v(k)为对应的噪声，A_m，B_m，C_m，D_m，F_m为对应的系数矩阵。

其中，状态空间方程的差分方程可表示为：Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)；在预测控制过程中，未来的噪声信号无法预测，并且后期状态观测器使用卡尔曼滤波器消除噪声污染，取 D_m＝0，C_m＝0。

其中，定义新的增广状态向量为：x_k＝[Δx_m(k)^T y(k)^T]

y(k+1)-y(k)＝C_m[x_m(k+1)-x_m(k)]＝C_mΔx_m(k+1)＝C_mA_mΔx_m(k)+C_mB_mΔu(k)

故有增广状态空间模型：

其中O_m＝[0 0 … 0]。

其中，增广状态空间模型的传递函数表示为：

式中τ为时间延迟常数，F(z)和H(z)分别为分母和分子多项式，记为： F(z)＝zⁿ+f₁z^n-1+…+f_n，H(z)＝h₁z^n-1+h₂z^n-2+…+h_n；选择状态变量： x_n(k)＝[y(k) y(k+1) … y(k-n+1) u(k-1) … u(k-n-d+1)]^T则 x_n(k)是2n+d-1维的状态向量，而传统的最小状态向量为n+d维，因此相对于传统向量称为非最小状态向量。

其中，在设计卡尔曼滤波器中，包括以下步骤：

1)令

状态变量的最优预测值：

2)预测误差协方差阵：P(k|k-1)＝AP(K-1)A^T+Q_k，其中Q_k预测值协方差矩阵；

3)滤波增益：K_k＝P(k)Z^T[ZP(k)Z^T+R_k]^-1，其中R_k测量值的协方差矩阵；

4)估计误差协方差阵：P(k)＝[I_2n+d-1-K(k)Z]P(k|k-1)，其中I_2n+d-1是单位向量；

5)误差：

6)估计状态值：

其中，在误差校正的过程中，包括以下步骤：

1)定义预测误差：

其中y_p(k)是系统k时刻电阻炉设备的实际输出值，

是模型预测输出值；

2)反馈校正：e(k+i)＝e(k)+h_i[e(k)-e(k-1)]

对应的矩阵向量形式：

其中H＝[h₁ h₂ … h_p]^T为预测误差修正矩阵，I＝[1 1 … 1]^T；

3)使用改进的预测输出修正后的预测输出：

其中，结合控制增量矩阵，获得反馈控制率的步骤中，包括步骤：

1)期望的参考轨迹：y_r(k+i)＝αⁱy_p(k)+(1-αⁱ)y_s(k)

其中y_r(k+i)是期望的参考轨迹输出，y_s(k)是期望设置值，α＝exp(-T_s/T_r)为参考轨迹柔化因子，T_s是采样时间，T_r为时间常数；对应的矩阵形式：

其中

通过非最小状态空间模型可得到未来状态向量为：

其中

其中c是控制时域，c≤p；O是(2n+d)×1维零矩阵；

输出矩阵：

这里

是p×{(2n+d-1)×p}维。

2)校正后的预测输出为：

目标优化函数为：

J＝[Y_r-(λ+1)Y-E]^TQ[Y_r-(λ+1)Y-E]+ΔU^TRΔU

其中λ∈(0,1)为建议的可调因子；Q和R非负对角加权矩阵；其中 Q＝diag{q₁，q₂，…，q_p}为误差权重矩阵，q_i为权重系数，式中R＝r_wI_c，其中调优参数r_w是通过平衡输出和输入变量通过试错法获得的，I_c为 c×c的单位矩阵；

对求偏导数

可得：

控制增量向量形式：

取

则M₁＝(λ+1)MCF为状态

的系数矩阵，M₂＝MI为误差e(k)的系数矩阵，M₃＝MH为Δe(k)的系数矩阵，M₄＝MΨ为y_p(k)的系数矩阵，M₅＝M(I-Ψ)为y_s(k)的系数矩阵；

3)在k时刻的增量控制变量为：

Δu(k)＝-m₁x(k)-m₂e(k)-m₃Δe(k)+m₄y_p(k)+m₅y_s(k)。

其中，m1，m2，m3，m4，m5分别为系数矩阵M₁,M₂,M₃,M₄,M₅的每一行；

4)反馈控制器的控制律为：u(k)＝u(k-1)+Δu(k)，把得到的控制律代入电阻炉控制仪表，控制仪表控制加热功率。

区别于现有技术，本发明提供了一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，先对离散模型的非最小状态空间形式进行增广变换，然后通过卡尔曼滤波器获得最优状态，进而通过最小状态空间模型预测得到最优控制，基于增广非最小状态空间模型的预测控制器在实际应用中的调节非常方便。该控制方法具有较快的响应速度和较强的鲁棒性，可以很好地满足系统的精度和动态特性要求。本发明的目的在于改善目前电阻炉温度控制的效果和质量，而且依赖于精确模型的现状，使用此技术方法可以提升电阻炉温度控制方案控制效率与控制质量的鲁棒性。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1为本发明提供的一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法的流程示意图；

图2为本发明提供的一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法的非最小状态空间模型预测控制的流程示意图。

具体实施方式

为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图详细说明本发明的具体实施方式。

参阅图1和图2，本发明提出一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，包括：

在电阻炉内设置热电偶传感器，并将热电偶传感器与变送器、控制器、执行机构依序连接，根据实际要求控制精度确定采样时间间隔和时间常数；

确定预测时域和控制时域的步长，根据实际环境选取初始温度值，并根据初始温度值初始化开始时刻的状态变量；设定初始控制律为0，构建电阻炉离散系统的离散时间模型，得到状态空间方程表达；

在预测控制过程中，根据状态空间方程的差分方程，定义增广状态向量，确定增广状态空间模型；

对于电阻炉离散化后，得到增广状态空间模型的传递函数，确定电阻炉离散系统的非最小状态空间表达；

通过卡尔曼滤波求电阻炉离散系统的状态向量；对非最小状态空间模型的预测控制进行误差校正；

根据改进后的预测输出，通过非最小状态空间模型得到未来状态向量和知校正后的预测输出，从而求得控制增量矩阵；

结合控制增量矩阵，获得反馈控制率，将得到的控制率输入电阻炉控制仪表，对电阻炉的加热功率进行控制。

其中，离散时间模型的状态空间表达式为：

其中x_m(k)为状态变量，y(k)为输出变量，u(k)为控制输入变量，ω(k)和v(k)为对应的噪声，A_m，B_m，C_m，D_m，F_m为对应的系数矩阵。

其中，状态空间方程的差分方程可表示为：Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)；在预测控制过程中，未来的噪声信号无法预测，并且后期状态观测器使用卡尔曼滤波器消除噪声污染，取 D_m＝0，C_m＝0。

其中，定义新的增广状态向量为：x_k＝[Δx_m(k)^T y(k)^T]

y(k+1)-y(k)＝C_m[x_m(k+1)-x_m(k)]＝C_mΔx_m(k+1)＝C_mA_mΔx_m(k)+C_mB_mΔu(k)

故有增广状态空间模型：

其中O_m＝[0 0 … 0]。

其中，增广状态空间模型的传递函数表示为：

式中τ为时间延迟常数，F(z)和H(z)分别为分母和分子多项式，记为： F(z)＝zⁿ+f₁z^n-1+…+f_n，H(z)＝h₁z^n-1+h₂z^n-2+…+h_n；选择状态变量： x_n(k)＝[y(k) y(k+1) … y(k-n+1) u(k-1)… u(k-n-d+1)]^T则 x_n(k)是2n+d-1维的状态向量，而传统的最小状态向量为n+d维，因此相对于传统向量称为非最小状态向量。

其中，在设计卡尔曼滤波器中，包括以下步骤：

1)令

状态变量的最优预测值：

2)预测误差协方差阵：P(k|k-1)＝AP(K-1)A^T+Q_k，其中Q_k预测值协方差矩阵；

3)滤波增益：K_k＝P(k)Z^T[ZP(k)Z^T+R_k]^-1，其中R_k测量值的协方差矩阵；

4)估计误差协方差阵：P(k)＝[I_2n+d-1-K(k)Z]P(k|k-1)，其中I_2n+d-1是单位向量；

5)误差：

6)估计状态值：

其中，在误差校正的过程中，包括以下步骤：

1)定义预测误差：

其中y_p(k)是系统k时刻电阻炉设备的实际输出值，

是模型预测输出值；

2)反馈校正：e(k+i)＝e(k)+h_i[e(k)-e(k-1)]

对应的矩阵向量形式：

其中H＝[h₁ h₂ … h_p]^T为预测误差修正矩阵，I＝[1 1 … 1]^T；

3)使用改进的预测输出修正后的预测输出：

其中，结合控制增量矩阵，获得反馈控制率的步骤中，包括步骤：

1)期望的参考轨迹：y_r(k+i)＝αⁱy_p(k)+(1-αⁱ)y_s(k)

其中y_r(k+i)是期望的参考轨迹输出，y_s(k)是期望设置值，α＝exp(-T_s/T_r)为参考轨迹柔化因子，T_s是采样时间，T_r为时间常数；对应的矩阵形式：

其中

通过非最小状态空间模型可得到未来状态向量为：

其中

其中c是控制时域，c≤p；O是(2n+d)×1维零矩阵；

输出矩阵：

这里

是p×{(2n+d-1)×p}维。

2)校正后的预测输出为：

目标优化函数为：

J＝[Y_r-(λ+1)Y-E]^TQ[Y_r-(λ+1)Y-E]+ΔU^TRΔU

其中λ∈(0,1)为建议的可调因子；Q和R非负对角加权矩阵；其中 Q＝diag{q₁，q₂，…，q_p}为误差权重矩阵，q_i为权重系数，式中R＝r_wI_c，其中调优参数r_w是通过平衡输出和输入变量通过试错法获得的，I_c为 c×c的单位矩阵；

对求偏导数

可得：

控制增量向量形式：

取

则M₁＝(λ+1)MCF为状态

的系数矩阵，M₂＝MI为误差e(k)的系数矩阵，M₃＝MH为Δe(k)的系数矩阵，M₄＝MΨ为y_p(k)的系数矩阵，M₅＝M(I-Ψ)为y_s(k)的系数矩阵；

3)在k时刻的增量控制变量为：

Δu(k)＝-m₁x(k)-m₂e(k)-m₃Δe(k)+m₄y_p(k)+m₅y_s(k)。

其中，m1，m2，m3，m4，m5分别为系数矩阵M₁,M₂,M₃,M₄,M₅的每一行；

4)反馈控制器的控制律为：u(k)＝u(k-1)+Δu(k)，把得到的控制律代入电阻炉控制仪表，控制仪表控制加热功率。

对于线性定常系统，当加权因子也是常数时，根据目标函数求解，得到每个滚动时域下的控制增量。状态空间模型预测控制的控制策略是将时刻求解到的最优控制序列的第一个元素作用于系统后，时刻测量系统状态变量值，重新进行预测和求解，而不是一次性离线求解出一系列的控制序列，这样得到的每个时刻的控制增量输出都是实时的，避免了控制作用的空档期，增强了抗干扰能力和鲁棒性。

综上所述本发明是基于卡尔曼滤波和非最小状态空间模型预测控制的电阻炉温度控制方法，过程的描述可以通过简单的实验获得，不需要深入了解过程的内部机理。可以提高控制系统的鲁棒性和准确性。

上面结合附图对本发明的实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可做出很多形式，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (7)

1.一种基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，包括步骤：

在电阻炉内设置热电偶传感器，并将热电偶传感器与变送器、控制器、执行机构依序连接，根据实际要求控制精度确定采样时间间隔和时间常数；

确定预测时域和控制时域的步长，根据实际环境选取初始温度值，并根据初始温度值初始化开始时刻的状态变量；设定初始控制律为0，构建电阻炉离散系统的离散时间模型，得到状态空间方程表达；

在预测控制过程中，根据状态空间方程的差分方程，定义增广状态向量，确定增广状态空间模型；

电阻炉连续传递函数离散化后，得到增广状态空间模型的传递函数，确定电阻炉离散系统的非最小状态空间表达；

通过卡尔曼滤波求电阻炉离散系统的状态向量；对非最小状态空间模型的预测控制进行误差校正；

根据改进后的预测输出，通过非最小状态空间模型得到未来状态向量和校正后的预测输出，从而求得控制增量矩阵；

结合控制增量矩阵，获得反馈控制率，将得到的控制率输入电阻炉控制仪表，对电阻炉的加热功率进行控制；

增广状态空间模型的传递函数表示为：

式中τ为时间延迟常数，F(z)和H(z)分别为分母和分子多项式，记为：F(z)＝zⁿ+f₁z^n-1+…+f_n，H(z)＝h₁z^n-1+h₂z^n-2+…+h_n；选择状态变量：

x_n(k)＝[y(k)y(k+1)…y(k-n+1)u(k-1)…u(k-n-d+1)]^T则

x_n(k)是2n+d-1维的状态向量，而传统的最小状态向量为n+d维，因此相对于传统向量称为非最小状态向量。

2.根据权利要求1所述的基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，离散时间模型的状态空间表达式为：

其中x_m(k)为状态变量，y(k)为输出变量，u(k)为控制输入变量，ω(k)和v(k)为对应的噪声，A_m，B_m，C_m，D_m，F_m为对应的系数矩阵。

3.根据权利要求2所述的基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，状态空间方程的差分方程可表示为：Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)；在预测控制过程中，未来的噪声信号无法预测，并且后期状态观测器使用卡尔曼滤波器消除噪声污染，取D_m＝0，C_m＝0。

4.根据权利要求1所述的基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，定义新的增广状态向量为：

x_k＝[Δx_m(k)^T y(k)^T]

y(k+1)-y(k)＝C_m[x_m(k+1)-x_m(k)]＝C_mΔx_m(k+1)＝C_mA_mΔx_m(k)+C_mB_mΔu(k)

故有增广状态空间模型：

其中O_m＝[00…0]。

5.根据权利要求1所述的基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，在设计卡尔曼滤波器中，包括以下步骤：

1)令

状态变量的最优预测值：

2)预测误差协方差阵：P(k|k-1)＝AP(K-1)A^T+Q_k，其中Q_k预测值协方差矩阵；

3)滤波增益：K_k＝P(k)Z^T[ZP(k)Z^T+R_k]^-1，其中R_k测量值的协方差矩阵；

4)估计误差协方差阵：P(k)＝[I_2n+d-1-K(k)Z]P(k|k-1)，其中I_2n+d-1是单位向量；

5)误差：

6)估计状态值：

6.根据权利要求5所述的基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，在误差校正的过程中，包括以下步骤：

1)定义预测误差：

其中y_p(k)是系统k时刻电阻炉设备的实际输出值，

是模型预测输出值；

2)反馈校正：e(k+i)＝e(k)+h_i[e(k)-e(k-1)]

对应的矩阵向量形式：

其中H＝[h₁ h₂ … h_p]^T为预测误差修正矩阵，l＝[1 1… 1]]^T；

3)使用改进的预测输出修正后的预测输出：

7.根据权利要求5所述的基于卡尔曼滤波和非最小状态空间的电阻炉温度控制方法，其特征在于，结合控制增量矩阵，获得反馈控制率的步骤中，包括步骤：

1)期望的参考轨迹：y_r(k+i)＝αⁱy_p(k)+(1-αⁱ)y_s(k)

其中y_r(k+i)是期望的参考轨迹输出，y_s(k)是期望设置值，α＝exp(-T_s/T_r)为参考轨迹柔化因子，T_s是采样时间，T_r为时间常数；对应的矩阵形式：

其中

通过非最小状态空间模型可得到未来状态向量为：

其中

其中c是控制时域，c≤p；O是(2n+d)×1维零矩阵；

输出矩阵：

这里

是p×{(2n+d-1)×p}维；

2)校正后的预测输出为：

目标优化函数为：

J＝[Y_r-(λ+1)Y-E]^TQ[Y_r-(λ+1)Y-E]+ΔU^TRΔU

其中λ∈(0,1)为建议的可调因子；Q和R非负对角加权矩阵；其中Q＝diag{q₁，q₂，…，q_p}为误差权重矩阵，q_i为权重系数，式中R＝r_wI_c，其中调优参数r_w是通过平衡输出和输入变量通过试错法获得的，I_c为c×c的单位矩阵；

对求偏导数

可得：

控制增量向量形式：

取

则M₁＝(λ+1)MCF为状态

的系数矩阵，M₂＝MI为误差e(k)的系数矩阵，M₃＝MH为Δe(k)的系数矩阵，M₄＝MΨ为y_p(k)的系数矩阵，M₅＝M(I-Ψ)为y_s(k)的系数矩阵；

3)在k时刻的增量控制变量为：

Δu(k)＝-m₁x(k)-m₂e(k)-m₃Δe(k)+m₄y_p(k)+m₅y_s(k)

其中，m1，m2，m3，m4，m5分别为系数矩阵M₁,M₂,M₃,M₄,M₅的每一行；

4)反馈控制器的控制律为：u(k)＝u(k-1)+Δu(k)，把得到的控制律代入电阻炉控制仪表，控制仪表控制加热功率。

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