CN109581870B - 含能材料反应釜的釜内温度动态矩阵控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含能材料反应釜的釜内温度动态矩阵控制方法，包括：步骤一、建立基于成球工艺生产数据的含能材料反应釜釜内温度模型辨识模块；步骤二、建立基于动态矩阵的反应釜釜内温度控制模块。本发明通过利用DMC算法，将设定值y_s与实际输出y经过柔滑处理形成参考轨迹w；控制输入u(k)作用于对象得到实际输出y，作用于预测模型得到预测输出y_m；实际输出y与预测输出

的差值生成输出误差，进行反馈校正，得到校正后预测输出

参考轨迹w与校正后预测输出

经过滚动优化，得到最优控制量u(k)。本发明的方法能够利用采样数据快速精确逼近反应釜温度模型参数，实时更新系统模型，通过动态矩阵控制器调节蒸汽阀门开度，控制反应釜釜内温度。

Description

含能材料反应釜的釜内温度动态矩阵控制方法

技术领域

本发明涉及含能材料生产控制技术领域，具体设计一种含能材料反应釜的釜内温度动态矩阵控制方法。

背景技术

含能材料的成球过程是生产的关键工艺环节，其工艺过程具有高度的非线性、多变量耦合性、不确定性、信息不完全性和大时滞后等特性，且被控变量与控制变量存在着各种约束等，基于定量数学模型的传统控制理论和技术难以得到满意的控制效果，为此需研究在线控制技术，实现成球过程的实时动态控制。

影响含能材料成球尺寸的工艺参数主要包括饱和蒸汽压，搅拌速度以及反应釜内温度。加热蒸汽压力影响反应釜的能量平衡，控制策略定值控制。反应釜搅拌速度将影响成球尺寸以及反应釜的能耗，以PID控制电机转速，可以实现反应釜搅拌机的无误差跟踪。

由于成球工艺过程的温度主要依靠蒸汽加热，而蒸汽通入反应釜夹套，对反应釜内部温度的加热具有大时滞性。目前对于反应釜温度的在线控制技术如预测控制、优化控制等都是基于模型的控制策略，实施在线控制的首要任务即建立准确的反应釜温度模型。受投料数量、种类的影响，反应釜中存在一系列复杂的反应，如成球工艺蒸溶阶阶段乙酸乙酯溶液蒸发的吸热效应，成球工序不同阶段会加入不同原料，反应釜温度模型会随着原料的添加发生变化，使得反应釜的温度动态特性具有分段性、时变性、大时滞的特点，很难根据反应的动态特性和平衡方程进行机理建模。采用机理建模的方法通过分析夹套式反应釜的结构对蒸汽加热过程中的热传递方式建立了发射药反应釜传温模型，建模过程繁琐，模型适应性差。

近年来，基于系统正常运行过程中的输入和输出数据的实验建模方法广泛应用于工业控制领域，而最小二乘法(RLS)通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，加入遗忘因子后克服“数据饱和”现象，对温度模型的时变特性进行追踪，实现时变过程的参数辨识，建立工艺过程的数学模型。以反应釜温度模型作为DMC控制系统模型，实现工艺参数的在线控制。

目前，我国化工行业反应釜生产过程的自动化控制水平相对落后，大量工艺参数依靠人工调节，工人劳动强度大，难以达到精确控制的目的。含能材料成球工艺过程难以摆脱人为因素造成的影响，导致含能材料产品质量不稳定，造成原材料成批次的浪费。

除人工控制外，企业现有的反应釜控制算法通常采用了传统的PID算法，很难解决反应釜温度控制的非线性、时变和大滞后特性，难以实现精确控制。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的问题，提出一种基于DMC动态矩阵控制的在反应釜温度在线控制系统，利用遗忘因子最小二乘法(FFRLS)完成含能材料反应釜系统模型辨识，温度控制系统借助辨识出的系统模型，通过DMC动态矩阵控制器完成反应釜温度的在线控制。

本发明是这样实现的：

含能材料成球工艺阶段，由于升温阶段、成球阶段及蒸溶阶段前添加不同物料，导致系统对蒸汽加热的灵敏度发生变化，造成系统模型的变化。根据生产过程，系统模型分为三个阶段，每个阶段系统模型结构一样，只有参数发生变化，辨识方法一样，现取加温阶段作为说明：

1.基于成球工艺生产数据的含能材料反应釜釜内温度模型辨识模块

通过分布式控制系统DCS实时采集输入输出数据，以反应釜阀门开度为输入u(k)，以反应釜釜内温度为输出y(k)，借助OPC将数据传输至温度控制器上的模型辨识模块。

在含能材料反应釜温度辨识中，结合蒸汽加热造成反应釜内温的自平衡性，多数反应釜内温的传递函数可以等效成一阶或二阶惯性加纯延迟环节。为提高辨识精度以保证控制的准确度，本发明采用二阶惯性延迟传递函数，具体为：

其中，T₁、T₂为时间常数，τ为时滞系数，K为增益。

借助差分方程，将上述传递函数转换为带操作变量的自回归(Controlled auto-regressive model，CAR)模型，即：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-d)+w(k)

式中：y(k)和u(k)为系统的输入输出量；d为时滞系数；w(k)为白噪声。

系统离散传递函数为：

参数估计即用系统输入/输出数据来确定A(z^-1)与B(z^-1)的系数。

代入系数，将CAR模型转换为最小二乘形式：

式中：参数向量

信息向量

Φ_k＝[-y(k-1),L,-y(k-n_a),u(k-d),L,u(k-d-n_b)]^T。

含能材料反应釜实际温度与估计温度之差，及残差ε(k)为

对于L组数据，取性能指标为：

根据性能指标借助不断更新的信息向量以遗忘因子最小二乘法对参数向量进行计算，当性能指标中的残差值为可接受的误差范围内时，得到参数向量中的模型参数估计值。

根据性能指标，通过矩阵求逆引理分析计算，系统参数最小二乘估计

的递推公式为

使性能指标为极小值的参数向量

为参数的最小二乘估计，为提高新数据的计算权重，利用带遗忘因子对数据施加时变加权系数，以1加权对最新数据加权，以λⁿ对前n个采样数据加权，降低旧数据的信息量，保证新数据的有效性。

具体辨识步骤如下：

1)已知d、n_a、n_b，确定参数

P(0)与遗忘因子λ，并输入初始数据；

2)采样当前输入u(k)与输出y(k)；

3)以式

计算P(k)、K(k)、

4)k＝k+1，返回2)，循环。

其中，取不同日期的成球工序生产历史数据，并加以分析计算，去除扰动带来的偶然性误差，对阀门开度变化时刻与温度变化时刻时间间隔取均值，得到温度变化对阀门开度变化的滞后系数d，取n_a＝2，n_b＝1，参数向量θ＝[a₁,a₂,b₀,b₁]^T，取

P(0)＝10⁶I、遗忘因子0.9<λ<1。

经过上述步骤，由遗忘最小二乘法不断更新参数向量θ＝[a₁,a₂,b₀,b₁]^T，得到二阶系统的CAR模型：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-d)+w(k)

即：

y(k)+a₁y(k-1)+a₂y(k-2)+＝b₀u(k-d)+b₁u(k-d-1)+w(k)

其中w(k)为白噪声。

2.基于动态矩阵的反应釜釜内温度控制模块

(1)建立反应釜内温的阶跃响应模型并计算模型向量

将含能材料反应釜蒸汽阀门开度u(k)设为100％，作为系统的阶跃输入，基于参数辨识模块获得的系统模型得到成球工艺升温阶段的釜内温度阶跃响应曲线，对其进行滤波光滑处理，得到阶跃响应系数a₁，...，a_N。建立辨识模型的模型向量a＝[a₁，...，a_N]^T，其中T为矩阵转置符号，N为建模时域。

(2)设计动态矩阵控制模块

1)利用模型向量a建立被控对象的动态矩阵A，具体如下：

其中，A是由阶跃响应系数a_i组成的P×M阵，称为动态矩阵，M、P分别为动态矩阵控制算法的控制时域、预测时域。

2)建立当前k时刻的预测模型

分解后可得：

其中，

为反应釜内温的在k时刻的j次预测值，a_i为第i次阶跃响应值。

将预测模型

转换为向量形式：

其中，

ΔU(k)＝(Δu(k),Δu(k+1|k),...,Δu(k+M-1|k))^T

y_m(k+1|k),y_m(k+2|k),...,y_m(k+P|k)分别表示被控对象在k时刻对k，k+1，…，k+P时刻的模型预测值，y₀(k+1|k),y₀(k+2|k),...,y₀(k+P|k)表示k时刻对k，k+1，…，k+P时刻的初始预测值，A为动态矩阵，Δu(k),Δu(k+1),...,Δu(k+M-1)为输入控制增量。

3)加入反馈环节，得到闭环预测值

其中

为经误差校正后的输出预测值，Y(k)为实际输出温度，H＝[h₁,h₂,...,h_P]^T是反馈系数矩阵，预测误差修正，即在某一时刻的预测时域P内预测误差为恒定值。

4)加入柔化系数η，得到设定温度柔化轨迹w(k+j)

w(k+j)＝(1-η^j)y_s+η^jy(k),j＝1,2,...,P

其中，y_s是设定温度，y(k)为实际温度，η为柔化系数。

转换为矩阵形式：

W(k+1)＝[w(k+1) w(k+2) ... w(k+P)]^T

5)由性能指标J得到当前最优控制增量Δu(k)

DMC的性能指标函数形式如下：

其中，误差权矩阵Q＝diag[q₁,q₂,...,q_P]，控制权矩阵R＝diag[r₁,r₂,...,r_P]。

为使性能指标达到最小，使

得到当前时刻的最优控制序列

ΔU(k)＝(A^TQA+R)^-1A^TQ[W(k+1)-Y₀(k+1)-He(k)]

ΔU(k)＝[Δu(k),Δu(k+1),...,Δu(k+M-1)]^T

Δu(k)＝[1 0 ... 0]ΔU(k)＝d^T[W(k+1)-Y₀(k+1)-He(k)]

DMC只取其中的即时控制增量Δu(k)构成实际控制u(k)＝u(k-1)+Δu(k)作用于对象。

6)滚动优化

时间基点由k时刻变为k+1时刻，预测的未来时间点也将转移到k+2，…，k+1+N。因此k时刻的输出预测校正值

需要通过移位才能成为k+1时刻的初始预测值。引入N×N阶移位矩阵S，将现在时刻的输出预测校正值

转换为下一时刻的初始预测值：

其中，移位矩阵

得到

以k时刻的计算过程求解k+1时刻的控制增量Δu(k+1)，整个控制就反馈校正的滚动优化方式反复在线进行，完成反应釜升温阶段温度的在线控制。

在溶解阶段，相对于升温阶段，温度控制系统只有系统模型的模型参数发生改变，模型结构、辨识方法及控制方法未发生变化。

在预蒸阶段，除了模型参数发生改变外，还加入了新的量以限制反应速度。新加入的为乙酸乙酯蒸溶速率和蒸溶总量，基于Windows的应用程序的控制系统可通过与DCS的OPC与现场过程控制应用建立连接。

本发明的方法能够利用采样数据快速精确逼近反应釜温度模型参数，实时更新系统模型，通过动态矩阵控制器调节蒸汽阀门开度，控制反应釜釜内温度。

附图说明

图1为本发明DMC算法结构示意图；

图2为DMC在线计算流程图；

图3为系统架构框图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的说明。

如附图1所示，公开了DMC算法的结构示意图。从图1可以看出，DMC算法包括：

①设定值y_s与实际输出y经过柔滑处理形成参考轨迹w；

②控制输入u(k)作用于对象得到实际输出y，作用于预测模型得到预测输出y_m；

③实际输出y与预测输出

的差值生成输出误差，进行反馈校正，得到校正后预测输出

④参考轨迹w与校正后预测输出

经过滚动优化，得到最优控制量u(k)。

DMC算法的实现流程如附图2所示，其主要包括：

a.离线准备：

检测对象阶跃曲线，得到模型系数、控制系数及校正系数；

b.在线计算：

初始模块：投入运行的第一步是检测对象实际输出，并将其设为预测初值；

实时控制模块：每一采样时刻的在线计算流程见图2。

本发明提供的整个含能材料反应釜的釜内温度动态矩阵控制方法，采用的主要架构如附图3所示，其中包括如下几个模块：

人机界面模块：完成参数辨识模块与动态矩阵控制模块的离线准备工作；显示期望温度曲线、预测温度曲线、实时温度曲线、实际阀门开度、以及乙酸乙酯蒸溶速率和蒸溶总量。

参数辨识模块：基于OPC接口获得阀门开度输入数据和反应釜釜内温度输出数据，利用遗忘因子最小二乘法完成模型参数的在线辨识功能，并将通过辨识获得系统模型传送至动态矩阵控制模块。

动态矩阵控制模块：基于OPC接口获得阀门开度输入数据和反应釜釜内温度输出数据，在参数辨识模块获得的系统模型的基础上，利用动态矩阵控制技术，通过反馈校正、滚动优化，完成反应釜釜内温度的在线控制。

DCS：通过底层传感器获得蒸汽阀门开度、反应釜釜内温度、乙酸乙酯蒸溶速率等参数；通过OPC接口接收动态矩阵控制系统输出的最优控制量，完成对蒸汽阀门开度最优控制。

其中本发明还提供了具体的含能材料反应釜釜内温度模型辨识模块和基于动态矩阵的反应釜釜内温度控制模块，具体如下：

1.基于成球工艺生产数据的含能材料反应釜釜内温度模型辨识模块

通过DCS实时采集输入输出数据，以反应釜阀门开度为输入u(k)，以反应釜釜内温度为输出y(k)，借助OPC将数据传输至温度控制器上的模型辨识模块。

在含能材料反应釜温度辨识中，结合蒸汽加热造成反应釜内温的自平衡性，多数反应釜内温的传递函数可以等效成一阶或二阶惯性加纯延迟环节。为提高辨识精度以保证控制的准确度，本发明采用二阶惯性延迟传递函数，具体为：

其中，T₁、T₂为时间常数，τ为时滞系数，K为增益。

借助差分方程，将上述传递函数转换为带操作变量的自回归(Controlled auto-regressive model，CAR)模型，即：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-d)+w(k)

式中：y(k)和u(k)为系统的输入输出量；d为时滞系数；w(k)为白噪声。

系统离散传递函数为：

参数估计即用系统输入/输出数据来确定A(z^-1)与B(z^-1)的系数。

代入系数，将CAR模型转换为最小二乘形式：

式中：参数向量

信息向量

Φ_k＝[-y(k-1),L,-y(k-n_a),u(k-d),L,u(k-d-n_b)]^T。

含能材料反应釜实际温度与估计温度之差，及残差ε(k)为

对于L组数据，取性能指标为：

根据性能指标借助不断更新的信息向量以遗忘因子最小二乘法对参数向量进行计算，当性能指标中的残差值为可接受的误差范围内时，得到参数向量中的模型参数估计值。

根据性能指标，通过矩阵求逆引理分析计算，系统参数最小二乘估计

的递推公式为

使性能指标为极小值的参数向量

为参数的最小二乘估计，为提高新数据的计算权重，利用带遗忘因子对数据施加时变加权系数，以1加权对最新数据加权，以λⁿ对前n个采样数据加权，降低旧数据的信息量，保证新数据的有效性。

具体辨识步骤如下：

1)已知d、n_a、n_b，确定参数

P(0)与遗忘因子λ，并输入初始数据；

2)采样当前输入u(k)与输出y(k)；

3)以式

计算P(k)、K(k)、

4)k＝k+1，返回2)，循环。

其中，取不同日期的成球工序生产历史数据，并加以分析计算，去除扰动带来的偶然性误差，对阀门开度变化时刻与温度变化时刻时间间隔取均值，得到温度变化对阀门开度变化的滞后系数d，取n_a＝2，n_b＝1，参数向量θ＝[a₁,a₂,b₀,b₁]^T，取

P(0)＝10⁶I、遗忘因子0.9<λ<1。

经过上述步骤，由遗忘最小二乘法不断更新参数向量θ＝[a₁,a₂,b₀,b₁]^T，得到二阶系统的CAR模型：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-d)+w(k)

即：

y(k)+a₁y(k-1)+a₂y(k-2)+＝b₀u(k-d)+b₁u(k-d-1)+w(k)

其中w(k)为白噪声。

2.基于动态矩阵的反应釜釜内温度控制模块

(1)建立反应釜内温的阶跃响应模型并计算模型向量

将含能材料反应釜蒸汽阀门开度u(k)设为100％，作为系统的阶跃输入，基于参数辨识模块获得的系统模型得到成球工艺升温阶段的釜内温度阶跃响应曲线，对其进行滤波光滑处理，得到阶跃响应系数a₁，...，a_N。建立辨识模型的模型向量a＝[a₁，...，a_N]^T，其中T为矩阵转置符号，N为建模时域。

(2)设计动态矩阵控制模块

1)利用模型向量a建立被控对象的动态矩阵A，具体如下：

其中，A是由阶跃响应系数a_i组成的P×M阵，称为动态矩阵，M、P分别为动态矩阵控制算法的控制时域、预测时域。

2)建立当前k时刻的预测模型

分解后可得：

其中，

为反应釜内温的在k时刻的j次预测值，a_i为第i次阶跃响应值。

将预测模型

转换为向量形式：

其中，

ΔU(k)＝(Δu(k),Δu(k+1|k),...,Δu(k+M-1|k))^T

y_m(k+1|k),y_m(k+2|k),...,y_m(k+P|k)分别表示被控对象在k时刻对k，k+1，…，k+P时刻的模型预测值，y₀(k+1|k),y₀(k+2|k),...,y₀(k+P|k)表示k时刻对k，k+1，…，k+P时刻的初始预测值，A为动态矩阵，Δu(k),Δu(k+1),...,Δu(k+M-1)为输入控制增量。

3)加入反馈环节，得到闭环预测值

其中

为经误差校正后的输出预测值，Y(k)为实际输出温度，H＝[h₁,h₂,...,h_P]^T是反馈系数矩阵，预测误差修正，即在某一时刻的预测时域P内预测误差为恒定值。

4)加入柔化系数η，得到设定温度柔化轨迹w(k+j)

w(k+j)＝(1-η^j)y_s+η^jy(k),j＝1,2,...,P

其中，y_s是设定温度，y(k)为实际温度，η为柔化系数。

转换为矩阵形式：

W(k+1)＝[w(k+1) w(k+2) ... w(k+P)]^T

5)由性能指标J得到当前最优控制增量Δu(k)

DMC的性能指标函数形式如下：

其中，误差权矩阵Q＝diag[q₁,q₂,...,q_P]，控制权矩阵R＝diag[r₁,r₂,...,r_P]。

为使性能指标达到最小，使

得到当前时刻的最优控制序列

ΔU(k)＝(A^TQA+R)^-1A^TQ[W(k+1)-Y₀(k+1)-He(k)]

ΔU(k)＝[Δu(k),Δu(k+1),...,Δu(k+M-1)]^T

Δu(k)＝[1 0 ... 0]ΔU(k)＝d^T[W(k+1)-Y₀(k+1)-He(k)]

DMC只取其中的即时控制增量Δu(k)构成实际控制u(k)＝u(k-1)+Δu(k)作用于对象。

6)滚动优化

时间基点由k时刻变为k+1时刻，预测的未来时间点也将转移到k+2，…，k+1+N。因此k时刻的输出预测校正值

需要通过移位才能成为k+1时刻的初始预测值。引入N×N阶移位矩阵S，将现在时刻的输出预测校正值

转换为下一时刻的初始预测值：

其中，移位矩阵

得到

以k时刻的计算过程求解k+1时刻的控制增量Δu(k+1)，整个控制就反馈校正的滚动优化方式反复在线进行，完成反应釜升温阶段温度的在线控制。

在溶解阶段，相对于升温阶段，温度控制系统只有系统模型的模型参数发生改变，模型结构、辨识方法及控制方法未发生变化。

在预蒸阶段，除了模型参数发生改变外，还加入了新的量以限制反应速度。新加入的为乙酸乙酯蒸溶速率和蒸溶总量，基于Windows的应用程序的控制系统可通过与DCS的OPC与现场过程控制应用建立连接。

尽管这里参照本发明的解释性实施例对本发明进行了描述，上述实施例仅为本发明较佳的实施方式，本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，应该理解，本领域技术人员可以设计出很多其他的修改和实施方式，这些修改和实施方式将落在本申请公开的原则范围和精神之内。

Claims (1)

1.含能材料反应釜的釜内温度动态矩阵控制方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤一、建立基于成球工艺生产数据的含能材料反应釜釜内温度模型辨识模块

通过DCS实时采集输入输出数据，以反应釜阀门开度为输入u(k)，以反应釜釜内温度为输出y(k)，借助OPC将数据传输至温度控制器上的模型辨识模块；

在含能材料反应釜温度辨识中，结合蒸汽加热造成反应釜内温度的自平衡性，反应釜内温度的传递函数采用二阶惯性延迟传递函数，具体为：

其中，T₁、T₂为时间常数，τ为模拟时滞系数，K为增益，s为反应釜作业时间；

借助差分方程，将上述传递函数转换为带操作变量的自回归模型，即：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-d)+w(k)

式中：y(k)和u(k)为系统的输入输出量；d为时滞系数；w(k)为白噪声；

系统离散传递函数为：

参数估计即用系统输入/输出数据来确定A(z^-1)与B(z^-1)的系数；

代入系数，将CAR模型转换为最小二乘形式：

式中：参数向量

信息向量

Φ_k＝[-y(k-1),L,-y(k-n_a),u(k-d),L,u(k-d-n_b)]^T；

含能材料反应釜实际温度与估计温度之差即残差ε(k)为

对于L组数据，取性能指标为：

根据性能指标借助不断更新的信息向量以遗忘因子最小二乘法对参数向量进行计算，当性能指标中的残差值为可接受的误差范围内时，得到参数向量中的模型参数估计值；

根据性能指标，通过矩阵求逆引理分析计算，系统参数最小二乘估计

的递推公式为

使性能指标为极小值的参数向量

为参数的最小二乘估计，为提高新数据的计算权重，利用带遗忘因子对数据施加时变加权系数，以1加权对最新数据加权，以λⁿ对前n个采样数据加权，降低旧数据的信息量，保证新数据的有效性；

具体辨识步骤如下：

1)已知d、n_a、n_b，确定参数

P(0)与遗忘因子λ，并输入初始数据；

2)采样当前输入u(k)与输出y(k)；

3)以式

计算P(k)、K(k)、

4)k＝k+1，返回2)，循环；

其中，取不同日期的成球工序生产历史数据，并加以分析计算，去除扰动带来的偶然性误差，对阀门开度变化时刻与温度变化时刻时间间隔取均值，得到温度变化对阀门开度变化的时滞系数d，取n_a＝2，n_b＝1，参数向量θ＝[a₁,a₂,b₀,b₁]^T，取

P(0)＝10⁶I、遗忘因子0.9<λ<1，其中I为单位矩阵；

经过上述步骤，由遗忘最小二乘法不断更新参数向量θ＝[a₁,a₂,b₀,b₁]^T，得到二阶系统的CAR模型：

A(z^-1)y(k)＝B(z^-1)u(k-d)+w(k)

即：

y(k)+a₁y(k-1)+a₂y(k-2)+＝b₀u(k-d)+b₁u(k-d-1)+w(k)

其中w(k)为白噪声；

步骤二、建立基于动态矩阵的反应釜釜内温度控制模块

(1)建立反应釜内温度 的阶跃响应模型并计算模型向量

将含能材料反应釜蒸汽阀门开度u(k)设为100％，作为系统的阶跃输入，基于参数辨识模块获得的系统模型得到成球工艺升温阶段的釜内温度阶跃响应曲线，对其进行滤波光滑处理，得到阶跃响应系数a₁，...，a_N；建立辨识模型的模型向量a＝[a₁，...，a_N]^T，其中T为矩阵转置符号，N为建模时域；

(2)设计动态矩阵控制模块

1)利用模型向量a建立被控对象的动态矩阵A，具体如下：

其中，A是由阶跃响应系数a_i组成的P×M阵，称为动态矩阵，M、P分别为动态矩阵控制算法的控制时域、预测时域；

2)建立当前k时刻的预测模型

分解后可得：

其中，

为反应釜内温的在k时刻的j次预测值，a_i为第i次阶跃响应系数；

将预测模型

转换为向量形式：

其中，

ΔU(k)＝(Δu(k),Δu(k+1|k),...,Δu(k+M-1|k))^T

y_m(k+1|k),y_m(k+2|k),...,y_m(k+P|k)分别表示被控对象在k时刻对k+1，…，k+P时刻的模型预测值，y₀(k+1|k),y₀(k+2|k),...,y₀(k+P|k)表示k时刻对k+1，…，k+P时刻的初始预测值，A为动态矩阵，Δu(k),Δu(k+1),...,Δu(k+M-1)为输入控制增量；

3)加入反馈环节，得到闭环预测值

其中

为经误差校正后的输出预测值，Y(k)为实际输出温度，H＝[h₁,h₂,...,h_P]^T是反馈系数矩阵，预测误差修正，即在某一时刻的预测时域P内预测误差为恒定值,e(k)为

4)加入柔化系数η，得到设定温度柔化轨迹w(k+j)

w(k+j)＝(1-η^j)y_s+η^jy(k),j＝1,2,...,P

其中，y_s是设定温度，y(k)为实际温度，η为柔化系数；

转换为矩阵形式：

W(k+1)＝[w(k+1) w(k+2)...w(k+P)]^T

5)由性能指标J得到当前最优控制增量Δu(k)

DMC的性能指标函数形式如下：

其中，误差权矩阵Q＝diag[q₁,q₂,...,q_P]，控制权矩阵R＝diag[r₁,r₂,...,r_P]，u(k)为k时刻的实际输入控制量；

为使性能指标达到最小，使

得到当前时刻的最优控制序列

ΔU(k)＝(A^TQA+R)^-1A^TQ[W(k+1)-Y₀(k+1)-He(k)]

ΔU(k)＝[Δu(k),Δu(k+1),...,Δu(k+M-1)]^T

Δu(k)＝[1 0...0]ΔU(k)

Δu(k)＝F^T[W(k+1)-Y₀(k+1)]-He(k)]

其中，F^T＝[1 0 0...0](A^TQA+R)^-1A^TQ

DMC只取其中的即时控制增量Δu(k)构成实际控制u(k)＝u(k-1)+Δu(k)作用于对象；

6)滚动优化

时间基点由k时刻变为k+1时刻，预测的未来时间点也将转移到k+2，…，k+1+N；因此k时刻的输出预测校正值

需要通过移位才能成为k+1时刻的初始预测值；引入N×N阶移位矩阵S，将现在时刻的输出预测校正值

转换为下一时刻的初始预测值：

其中，移位矩阵

得到

以k时刻的计算过程求解k+1时刻的控制增量Δu(k+1)，整个控制就反馈校正的滚动优化方式反复在线进行，完成反应釜升温阶段温度的在线控制。

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