CN113306747B - 基于so(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法和系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法和系统，包括：步骤1：根据外部干扰因素和挠性航天器姿态稳定控制条件，通过描述姿态误差的非负定的势函数，在SO(3)群上建立挠性航天器相对姿态动力学模型；步骤2：选取状态变量，对相对姿态动力学模型进行转化；步骤3：构建挠性模态观测器，对航天器的模态信息进行估计；步骤4：根据模态观测器输出的模态信息观测值，构建姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器，使系统最终到达稳定状态。本发明在航天器上不安装挠性模态测量装置的情况下，仅利用航天器刚体运动的姿态测量信息，设计了挠性模态观测器，实现对模态信息的估计，大大降低了工程实现代价和难度。

Description

基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法和系统

技术领域

本发明涉及航天器姿态控制技术领域，具体地，涉及一种基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法和系统。

背景技术

航天器姿态稳定控制是完成对地观测、激光通讯以及重力梯度测量等航天任务的关键技术，而建立可以描述航天器姿态运动的动力学模型是进行航天器姿态控制的基础。现在常用的航天器姿态表示方法主要包括欧拉角、四元数以及修正罗德里格参数，然而利用欧拉角或修正罗德里格参数来描述航天器的姿态存在奇异问题，用四元数来描述姿态则存在退绕问题。在众多姿态描述方法中，只有方向余弦矩阵可以唯一地对航天器的姿态进行全局描述。方向余弦矩阵构成了一个特殊的正交集合，该集合称为Lie群旋转群SO(3)，然而由于SO(3)的非线性特性，在其上直接进行控制器设计较为困难。针对这一问题，已有研究成果针对刚体机器人姿态运动的建模与控制问题，采用引入一个非负定的势函数在SO(3)上描述姿态跟踪误差，然后建立姿态跟踪系统的相对动力学模型，可以大大地简化控制器的设计难度。可是，对于在轨运行航天器来说，随着航天技术的不断发展，为了执行越来越复杂的航天任务并保证较低的发射成本，一般现代航天器上都会安装通讯天线、太阳能帆板等挠性附件。由于姿态运动与挠性附件间的强烈耦合作用，进行姿态运动时会使挠性附件产生振动，这种振动会影响姿态控制精度甚至影响系统的稳定性，更严重的话会对航天器造成损伤。此外，航天器在轨运行时，受到太阳光压、大气阻力、重力梯度力矩等因素的影响，会在航天器上产生外部干扰力矩，对控制系统的控制效果产生影响。因此，探索SO(3)上建模方法在挠性航天器姿态控制领域的应用，并设计对外部干扰和挠性附件振动具有高鲁棒性、高精度的姿态稳定控制器，同时实现对挠性附件的振动抑制控制，对于推动挠性航天器姿态运动建模与控制技术的发展具有十分重要的意义。

已有很多控制理论被用来解决挠性航天器的控制问题，其中传统PD控制方法具有结构简单、物理意义清晰的优点，但是对于扰动的鲁棒性弱，控制精度偏低。相比较而言，滑模控制反应速度快、对扰动的鲁棒性高并且控制精度高。叶东[Ye Dong,SunZhaowei,“Variable structure tracking control for flexible spacecraft,”AircraftEngineering andAerospace Technology,2016,88(4):508–514]提出了一种PD与滑模控制相结合的控制策略，基于挠性模态坐标与外部干扰有界这一假设条件，解决了挠性航天器姿态控制和振动抑制问题，但是控制器中符号函数项的存在导致控制信号产生抖振，且这种假设导致控制器保守性过大。对于挠性模态的振动抑制问题，主要分为主动和被动两种振动抑制控制方法，其中被动振动抑制控制方法主要包括了轨迹规划方法和输入成型方法，然而这两种方法不能保证模态坐标的收敛性，会降低姿态控制系统的稳态精度。因此，对挠性附件振动抑制的主动控制方法进行研究具有重要意义。此外，需要指出的是，对于在轨运行航天器来说很难得到模态信息，模态测量信息的缺失将大大增加控制器设计的难度。

专利文献CN106649947B(申请号：CN201610867370.4)公开了一种基于李群谱算法的卫星姿态数值仿真方法，包括如下步骤：S1、基于SO(3)群建立卫星的姿态运动学与动力学的李群模型；S2、选择正则坐标，将卫星的姿态李群方程转化为等价的李代数方程和李群重构方程；S3、用谱方法求解李代数方程得到卫星姿态转动的角速度并利用李群重构方程求解卫星的姿态矩阵。

基于上述背景技术介绍，本发明主要探索SO(3)上挠性航天器姿态动力学建模方法，PD与滑模结合的姿态稳定控制方法并解决控制信号抖振问题，同时设计挠性附件模态观测器，基于模态观测信息设计主动振动抑制控制器解决挠性附件的振动抑制问题。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法和系统。

根据本发明提供的基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法，包括：

步骤1：根据外部干扰因素和挠性航天器姿态稳定控制条件，通过描述姿态误差的非负定的势函数，在SO(3)群上建立挠性航天器相对姿态动力学模型；

步骤2：选取状态变量，对相对姿态动力学模型进行转化；

步骤3：构建挠性模态观测器，对航天器的模态信息进行估计；

步骤4：根据模态观测器输出的模态信息观测值，构建姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器，使系统最终到达稳定状态。

优选的，所述步骤1包括：

采用方向余弦矩阵描述航天器姿态，则航天器的姿态运动学方程表示为：

C＝Cω^×…………(1)

其中，C∈SO(3)，表示航天器从本体坐标系转动到惯性坐标系的方向余弦矩阵，即航天器的姿态，且姿态矩阵为Lie群SO(3)的一个元素，SO(3)为特殊正交集合，满足：SO(3)＝{C∈R^3×3:C^TC＝I_3×3,det(C)＝1}，R为实数集合，R^3×3为3×3的实数矩阵构成的空间，不同的上角标表示相应的矩阵或向量维度，()^T为矩阵的转置，I_3×3为3×3的单位矩阵，det()为求一个矩阵的行列式；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T∈R^3×1表示在航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度，下标1,2,3分别表示ω在三个惯性主轴方向上的角速度分量，()^×表示三维向量构成的反对称矩阵；

在航天器本体坐标系下，挠性航天器姿态动力学方程表示为：

其中，J∈R^3×3为航天器转动惯量；

为航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度的一阶导数；Ξ∈R^N×3为航天器刚体部分与挠性附件间的刚柔耦合系数矩阵；u_c∈R^3×1为航天器执行机构产生的控制力矩；η∈R^N×1为挠性模态坐标，

表示挠性模态坐标的一阶和二阶导数；d∈R^3×1为航天器所受的外部干扰力矩，表示为d||＜δ，||·||为计算向量的欧几里得范数，δ＞0为未知常数；M＝diag([2ξ₁Ω₁,…,2ξ_NΩ_N])∈R^N×N为阻尼矩阵，

为刚度矩阵，ξ_i表示挠性附件的阻尼比系数，Ω_i表示挠性附件的固有频率，i＝1,…,N，N为模型中的挠性模态阶数，diag()表示向量构成的对角矩阵；u_p∈R^M×1为由压电材料产生的主动振动抑制控制输出，Ξ_p∈R^N×M为相应的耦合系数矩阵；

对于给定的目标姿态C_d和目标角速度ω_d＝0，设计控制器使得航天器的姿态从C转动到C_d，同时保证角速度ω完成对ω_d的追踪，然后一直保持目标姿态和目标角速度，通过非负定的势函数

来描述航天器的姿态偏差，然后建立挠性航天器姿态稳定控制系统的相对姿态动力学模型，对描述该姿态误差的势函数求导，得到：

其中，Η＝diag([h₁,h₂,h₃])∈R^3×3＞0为正定对角阵；e_C∈R^3×1为姿态误差向量；()^V为()^×的逆运算；e_ω∈R^3×1为角速度误差；

tr()为求矩阵的迹，

为姿态误差；

转化后得到挠性航天器相对姿态动力学模型的表达式为：

优选的，所述步骤2包括：

定义状态变量

则公式(4)改写为：

其中，J^*＝J-Ξ^TΞ为刚体部分的转动惯量，

为赫尔维兹矩阵，Z＝[0_3×N,Ξ^T]∈R^3×2N，L＝[Ξ^TK,Ξ^TM]∈R^3×2N，F＝Ξ^TMΞ∈R^3×3，

Z,L,F,B_θ为由刚柔耦合系数矩阵Ξ、阻尼矩阵M、刚度矩阵K构成的具有相应维度的实数矩阵，0_3×N为3×N的零矩阵。

优选的，所述步骤3包括：

记

为θ的观测值，定义滑模面S＝e_ω+βe_c，其中，β＞0为正常数，为构造的滑模面的待设计参数；

设计挠性模态观测器：

其中，

P∈R^2N×2N为正定对称矩阵L₁＝[Ξ^T(K+Ξ_pK₁),Ξ^T(M+Ξ_pK₂)]∈R^3×2N为观测器的待设计参数；P满足：

K₁,K₂∈R^1×N为常值向量，也是主动振动抑制控制器的待设计参数。

优选的，所述步骤4包括：

根据公式(5)描述的挠性航天器姿态稳定控制系统和公式(6)得到的模态信息观测结果，构建自适应姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器：

其中，K_p＞0,K_d＞0，k₁＞0,k₂＞0,ρ＞0，γ＞0均为自适应姿态稳定控制器的待设计参数，并且满足k₁＞δ；K₁为一个向量，为主动振动抑制控制器的待设计参数，k₁为一个正常数，为自适应姿态稳定控制器的一个待设计参数；

根据Lyapunov函数V进行控制器参数设计，表达式为：

其中，

为模态信息的观测误差；对V求导，并将相对姿态动力学模型、挠性模态观测器和姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p代入，满足下述不等式：

其中，λ_min(),λ_max()分别表示矩阵的最小和最大特征值；b₁＝g₁/g₂+g₃为一个大于零的常数，g₁＝min{h₁+h₂,h₂+h₃,h₃+h₁}，g₂＝max{(h₁-h₂)²,(h₂-h₃)²,(h₃-h₁)²}，g₃＝max{(h₁+h₂)²,(h₂+h₃)²,(h₃+h₁)²}，min{}和max{}分别表示一组数中的最小值和最大值；

根据Schur引理保证选择的Lyapunov函数是非负定的，并根据Barbalat引理得到：当时间t→∞时，

得到

然后选取如下的Lyapunov函数V₁：

V₁＝θ^TPθ…………(10)

对V₁求导，得到

根据观测器参数设计方法，得到

然后根据Barbalat引理可知，当时间t→∞时，

表明所设计的姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p保证闭环控制系统的一致渐近稳定性，所设计的模态观测器实现对航天器挠性模态的估计，通过求解线性矩阵不等式

的可行解，得到主动振动抑制控制器u_p中的控制器参数K₁,K₂。

根据本发明提供的基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制系统，包括：

模块M1：根据外部干扰因素和挠性航天器姿态稳定控制条件，通过描述姿态误差的非负定的势函数，在SO(3)群上建立挠性航天器相对姿态动力学模型；

模块M2：选取状态变量，对相对姿态动力学模型进行转化；

模块M3：构建挠性模态观测器，对航天器的模态信息进行估计；

模块M4：根据模态观测器输出的模态信息观测值，构建姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器，使系统最终到达稳定状态。

优选的，所述模块M1包括：

采用方向余弦矩阵描述航天器姿态，则航天器的姿态运动学方程表示为：

C＝Cω^×…………(1)

其中，C∈SO(3)，表示航天器从本体坐标系转动到惯性坐标系的方向余弦矩阵，即航天器的姿态，且姿态矩阵为Lie群SO(3)的一个元素，SO(3)为特殊正交集合，满足：SO(3)＝{C∈R^3×3:C^TC＝I_3×3,det(C)＝1}，R为实数集合，R^3×3为3×3的实数矩阵构成的空间，不同的上角标表示相应的矩阵或向量维度，()^T为矩阵的转置，I_3×3为3×3的单位矩阵，det()为求一个矩阵的行列式；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T∈R^3×1表示在航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度，下标1,2,3分别表示ω在三个惯性主轴方向上的角速度分量，()^×表示三维向量构成的反对称矩阵；

在航天器本体坐标系下，挠性航天器姿态动力学方程表示为：

其中，J∈R^3×3为航天器转动惯量；

为航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度的一阶导数；Ξ∈R^N×3为航天器刚体部分与挠性附件间的刚柔耦合系数矩阵；u_c∈R^3×1为航天器执行机构产生的控制力矩；η∈R^N×1为挠性模态坐标，

表示挠性模态坐标的一阶和二阶导数；d∈R^3×1为航天器所受的外部干扰力矩，表示为||d||＜δ，||·||为计算向量的欧几里得范数，δ＞0为未知常数；M＝diag([2ξ₁Ω₁,…,2ξ_NΩ_N])∈R^N×N为阻尼矩阵，

为刚度矩阵，ξ_i表示挠性附件的阻尼比系数，Ω_i表示挠性附件的固有频率，i＝1,…,N，N为模型中的挠性模态阶数，diag()表示向量构成的对角矩阵；u_p∈R^M×1为由压电材料产生的主动振动抑制控制输出，Ξ_p∈R^N×M为相应的耦合系数矩阵；

对于给定的目标姿态C_d和目标角速度ω_d＝0，设计控制器使得航天器的姿态从C转动到C_d，同时保证角速度ω完成对ω_d的追踪，然后一直保持目标姿态和目标角速度，通过非负定的势函数

来描述航天器的姿态偏差，然后建立挠性航天器姿态稳定控制系统的相对姿态动力学模型，对描述该姿态误差的势函数求导，得到：

其中，Η＝diag([h₁,h₂,h₃])∈R^3×3＞0为正定对角阵；e_C∈R^3×1为姿态误差向量；()^V为()^×的逆运算；e_ω∈R^3×1为角速度误差；

tr()为求矩阵的迹，

为姿态误差；

转化后得到挠性航天器相对姿态动力学模型的表达式为：

优选的，所述模块M2包括：

定义状态变量

则公式(4)改写为：

其中，J^*＝J-Ξ^TΞ为刚体部分的转动惯量，

为赫尔维兹矩阵，Z＝[0_3×N,Ξ^T]∈R^3×2N，L＝[Ξ^TK,Ξ^TM]∈R^3×2N，F＝Ξ^TMΞ∈R^3×3，

Z,L,F,B_θ为由刚柔耦合系数矩阵Ξ、阻尼矩阵M、刚度矩阵K构成的具有相应维度的实数矩阵，0_3×N为3×N的零矩阵。

优选的，所述模块M3包括：

记

为θ的观测值，定义滑模面S＝e_ω+βe_c，其中，β＞0为正常数，为构造的滑模面的待设计参数；

设计挠性模态观测器：

其中，

P∈R^2N×2N为正定对称矩阵L₁＝[Ξ^T(K+Ξ_pK₁),Ξ^T(M+Ξ_pK₂)]∈R^3×2N为观测器的待设计参数；P满足：

K₁,K₂∈R^1×N为常值向量，也是主动振动抑制控制器的待设计参数。

优选的，所述模块M4包括：

根据公式(5)描述的挠性航天器姿态稳定控制系统和公式(6)得到的模态信息观测结果，构建自适应姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器：

其中，K_p＞0,K_d＞0，k₁＞0,k₂＞0,ρ＞0，γ＞0均为自适应姿态稳定控制器的待设计参数，并且满足k₁＞δ；K₁为一个向量，为主动振动抑制控制器的待设计参数，k₁为一个正常数，为自适应姿态稳定控制器的一个待设计参数；

根据Lyapunov函数V进行控制器参数设计，表达式为：

其中，

为模态信息的观测误差；对V求导，并将相对姿态动力学模型、挠性模态观测器和姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p代入，满足下述不等式：

其中，λ_min(),λ_max()分别表示矩阵的最小和最大特征值；b₁＝g₁/g₂+g₃为一个大于零的常数，g₁＝min{h₁+h₂,h₂+h₃,h₃+h₁}，g₂＝max{(h₁-h₂)²,(h₂-h₃)²,(h₃-h₁)²}，g₃＝max{(h₁+h₂)²,(h₂+h₃)²,(h₃+h₁)²}，min{}和max{}分别表示一组数中的最小值和最大值；

根据Schur引理保证选择的Lyapunov函数是非负定的，并根据Barbalat引理得到：当时间t→∞时，

得到

然后选取如下的Lyapunov函数V₁：

V₁＝θ^TPθ…………(10)

对V₁求导，得到

根据观测器参数设计方式，得到

然后根据Barbalat引理可知，当时间t→∞时，

表明所设计的姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p保证闭环控制系统的一致渐近稳定性，所设计的模态观测器实现对航天器挠性模态的估计，通过求解线性矩阵不等式

的可行解，得到主动振动抑制控制器u_p中的控制器参数K₁,K₂。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

(1)本发明基于Lie群与Lie代数知识，在考虑外部干扰情况下，在SO(3)上建立了挠性航天器姿态稳定控制系统的相对姿态动力学模型，所得到的模型与现有的基于修正罗德里格参数或四元数建立航天器姿态动力学模型技术相比，有效避免了奇异和退绕等问题；

(2)本发明在航天器上不安装挠性模态测量装置的情况下，仅利用航天器刚体运动的姿态测量信息，设计了挠性模态观测器，实现对模态信息的估计，大大降低了工程实现代价和难度；

(3)本发明基于挠性附件的模态信息估计值，设计了挠性附件的主动振动抑制控制器，可以有效解决挠性附件的振动抑制问题；

(4)本发明基于姿态测量信息和挠性附件的模态信息估计值，设计了PD与自适应滑模控制相结合的控制器，保证了航天器姿态稳定控制系统的稳定性，解除了挠性模态信息可测量或模态信息有界这一限制性约束，且通过设计自适应滑模控制器在保证姿态控制系统对外部干扰具有较好鲁棒性的前提下，不仅降低了控制器的保守性，还有效消除了控制信号的抖振问题，大大增加了本发明的工程应用价值。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1为本发明SO(3)群上挠性航天器姿态稳定控制方法的流程图；

图2为本发明中用e_C描述的航天器姿态的仿真变化曲线图，deg表示姿态单位为度；

图3为本发明中航天器角速度的仿真变化曲线图，[e_ω1,e_ω2,e_ω3]表示航天器角速度在本体坐标系下沿x,y,z三轴的分量，deg/s表示角速度单位为度每秒；

图4为本发明中在航天器上所施加的控制力矩的仿真变化曲线图，u_c1,u_c2,u_c3表示航天器所受的控制力矩在本体系下沿x,y,z三轴的分量，N.m表示所施加的控制力矩的单位为牛米；

图5为本发明中航天器挠性模态坐标的仿真变化曲线图；

图6为本发明中模态观测器观测到的航天器挠性模态坐标的仿真变化曲线图；

图7为本发明中模态观测器的挠性模态坐标观测值与航天器实际的挠性模态坐标的误差的仿真变化曲线图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变化和改进。这些都属于本发明的保护范围。

实施例：

如图1所示，本发明的具体实现步骤如下：

步骤1、在Lie群SO(3)上建立航天器姿态运动学模型，考虑外部干扰影响，在航天器本体坐标系下建立挠性航天器姿态动力学模型，然后针对挠性航天器姿态稳定控制问题，通过设计一个描述姿态误差的非负定势函数，利用Lie群和Lie代数相关知识，推导建立描述该问题的挠性航天器相对姿态动力学模型。

采用方向余弦矩阵描述航天器姿态，则航天器的姿态运动学方程可以表示为：

C＝Cω^×…………(11)

其中，C∈SO(3)表示航天器从本体坐标系转动到惯性坐标系的方向余弦矩阵，即航天器的姿态，且姿态矩阵为Lie群SO(3)的一个元素，SO(3)为一个特殊正交集合，满足SO(3)＝{C∈R^3×3:C^TC＝I_3×3,det(C)＝1}，R为实数集合，R^3×3为3×3的实数矩阵构成的空间，不同的上角标表示相应的矩阵或向量维度，()^T为矩阵的转置，I_3×3为3×3的单位矩阵，det()为求一个矩阵的行列式；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T∈R^3×1表示在航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度，下脚标1,2,3表示ω在三个惯性主轴方向上的角速度分量，()^×表示三维向量构成的反对称矩阵；

考虑外部干扰影响，在航天器本体系下，挠性航天器姿态动力学方程可以表示为：

其中，J∈R^3×3为航天器转动惯量；

为航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度的一阶导数；Ξ∈R^N×3为航天器刚体部分与挠性附件间的刚柔耦合系数矩阵；u_c∈R^3×1为航天器执行机构产生的控制力矩；η∈R^N×1为挠性模态坐标，

表示挠性模态坐标的一阶和二阶导数；d∈R^3×1为航天器所受的外部干扰力矩，表示为||d||＜δ，||·||为计算向量的欧几里得范数，δ＞0为未知常数，M＝diag([2ξ₁Ω₁,…,2ξ_NΩ_N])∈R^N×N为阻尼矩阵，

为刚度矩阵，ξ_i表示挠性附件的阻尼比系数，Ω_i表示挠性附件的固有频率，i＝1,…,N，N为模型中考虑的挠性模态阶数，diag()表示向量构成的对角矩阵，u_p∈R^M×1为由压电材料产生的主动振动抑制控制输出，Ξ_p∈R^N×M为相应的耦合系数矩阵。

对于姿态稳定控制问题，可以描述为：对于给定的目标姿态C_d和目标角速度ω_d＝0，设计控制器使得航天器的姿态从C转动到C_d，同时保证角速度ω完成对ω_d的追踪，然后一直保持目标姿态和目标角速度。由于微分流形SO(3)的非线性程度过高，在SO(3)上直接进行控制器设计过于复杂，所以通过定义一个非负定的势函数

来描述航天器的姿态偏差，然后建立挠性航天器姿态稳定控制系统的相对姿态动力学模型。对该姿态误差势函数求导，可以得到：

其中，Η＝diag([h₁,h₂,h₃])∈R^3×3＞0为正定对角阵，e_C∈R^3×1为姿态误差向量，()^V为()^×的逆运算，e_ω∈R^3×1为角速度误差，

tr()为求矩阵的迹，

为姿态误差。在建模过程中用到的Lie群与Lie代数的相关知识如下

其中，矩阵A为Lie群SO(3)的Lie代数，可以表示为

x为一个三维向量。最后得到的挠性航天器相对姿态动力学模型为：

所定义的势函数Ψ和建立的相对姿态动力学模型满足下述性质：

(1)Ψ是非负定的，且只有在C＝{C_d}∪{C_dexp(πe^×)|e∈{e₁,e₂,e₃}}时为零，其中，e₁,e₂,e₃为C_d的单位列向量；

(2)Ψ满足：b₁||e_C||²≤Ψ(C,C_d)≤b₂||e_C||²，其中，b₁＝g₁/g₂+g₃，

b₁,b₂,

为三个正数，g₁＝min{h₁+h₂,h₂+h₃,h₃+h₁}，g₂＝max{(h₁-h₂)²,(h₂-h₃)²,(h₃-h₁)²}，g₃＝max{(h₁+h₂)²,(h₂+h₃)²,(h₃+h₁)²}，g₄＝max{h₁+h₂,h₂+h₃,h₃+h₁}，g₅＝min{(h₁+h₂)²,(h₂+h₃)²,(h₃+h₁)²}，min{}和max{}分别表示一组数中的最小值和最大值。

(3)

在本实施案例中，数值仿真参数设计为：转动惯量取值为J_x＝350,J_y＝270,J_z＝190的对角阵，单位为kg·m²，目标姿态为

初始的姿态和角速度为C(t＝0)＝I_3×3，ω(t＝0)＝[-0.001；-0.001；0.001]rad/s，t为时间，H＝diag([0.8,1.25,1])，系统所受的外部干扰为：

d＝[0.012sin(0.18t)+0.005；0.02cos(0.15t)+0.005；0.015sin(0.15t)+0.005]N·m

由于挠性附件振动能量主要集中在低频模态上，因此，在本实施案例中，模态阶数取为四阶，即N＝4。阻尼系数为ξ₁＝0.005607，ξ₂＝0.00862，ξ₃＝0.01283，ξ₄＝0.02516，振动频率为Ω₁＝0.7681，Ω₂＝1.1038，Ω₃＝1.8733，Ω₄＝2.5496，单位为弧度每秒。相应的耦合系数矩阵为：

挠性附件的模态坐标初始值为η(t＝0)＝[1；1；1；1]×10^-3，

步骤2、选取状态变量，将得到的相对姿态动力学模型转化为易于处理的形式。定义状态变量

则公式(15)可以改写为：

其中，J^*＝J-Ξ^TΞ为刚体部分的转动惯量，

为赫尔维兹矩阵，Z＝[0_3×4,Ξ^T]∈R^3×8，L＝[Ξ^TK,Ξ^TM]∈R^3×8，F＝Ξ^TMΞ∈R^3×3，

Z,L,F,B_θ为由刚柔耦合系数矩阵Ξ、阻尼矩阵M、刚度矩阵K构成的具有相应维度的实数矩阵，0_3×4为3×4的零矩阵。。

步骤3、根据建立的相对姿态动力学模型，在假设挠性航天器姿态信息可测量情况下，设计挠性模态观测器来估计航天器的模态信息。记

为θ的观测值，并定义滑模面S＝e_ω+βe_c，其中，β＞0为一个正常数，为构造的滑模面的待设计参数。将在步骤4给出β的取值，然后设计如下的挠性模态观测器：

其中，

P∈R^8×8为正定对称矩阵，L₁＝[Ξ^T(K+Ξ_pK₁),Ξ^T(M+Ξ_pK₂)]∈R^3×8为观测器的待设计参数；将在步骤4给出P的值，P满足：

K₁,K₂∈R^1×4为常值向量，也是主动振动抑制控制器的待设计参数，将在步骤4给出参数取值；

步骤4、基于模态观测器输出的模态信息观测值，设计姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器，使系统最终到达稳定状态。对于公式(16)描述的挠性航天器姿态稳定控制系统，基于观测器(17)得到的模态信息观测结果，设计如下的自适应姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器

其中，K_p＞0,K_d＞0，k₁＞0,k₂＞0,ρ＞0，γ＞0均为自适应姿态稳定控制器的待设计参数，并且满足k₁＞δ。

下面进行控制器参数设计，选取如下的Lyapunov函数：

其中，

为模态信息的观测误差。对V求导，并将相对姿态动力学模型(16)、设计的挠性模态观测器(17)和(18)中的姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p代入，当β满足下述不等式时：

其中，λ_min(),λ_max()分别表示矩阵的最小和最大特征值。根据Schur引理可以保证所选择的Lyapunov函数是非负定的，并根据Barbalat引理可以得到，当t→∞时，

可以得到

然后选取如下的Lyapunov函数：

V₁＝θ^TPθ…………(21)

对V₁求导，可以得到

根据步骤3中给出的观测器参数设计方法，可以得到

然后根据Barbalat引理可知，当t→∞时，

上述分析表明，所设计的姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p可以保证闭环控制系统的一致渐近稳定性，所设计的模态观测器可以实现对航天器挠性模态的估计。通过求解线性矩阵不等式

的可行解，可以得到主动振动抑制控制器u_p中的控制器参数K₁,K₂。数值仿真时间为300s，仿真中姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器的参数选择为：K_p＝20，K_d＝100，k₁＝8，k₂(0)＝1，β＝0.2，γ＝0.005，ρ＝0.02，K₁＝[1000,-600,100,-2.5]，K₂＝[600,800,-200,5]，P的值为：

图2-7为仿真结果，从图2、图3中可以看出本发明所提出的姿态稳定控制器u_c可以解决挠性航天器的姿态稳定控制问题，姿态误差e_C和姿态角速度误差e_ω在50s内收敛。图4说明，本发明提出的自适应控制器可以有效消除控制信号的抖振问题。图5、图6、图7则表明本发明提出的挠性附件模态坐标观测器可以以高精度完成对挠性附件振动模态信息的估计，主动振动抑制控制器则可以较好地实现抑制挠性附件振动这一目标。综合以上仿真数据验证了本发明基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法能够有效地解决挠性航天器姿态稳定控制和挠性附件的振动抑制问题，且建立的动力学模型避免了奇异和退绕问题，设计的控制器不会产生系统抖振。

本领域技术人员知道，除了以纯计算机可读程序代码方式实现本发明提供的系统、装置及其各个模块以外，完全可以通过将方法步骤进行逻辑编程来使得本发明提供的系统、装置及其各个模块以逻辑门、开关、专用集成电路、可编程逻辑控制器以及嵌入式微控制器等的形式来实现相同程序。所以，本发明提供的系统、装置及其各个模块可以被认为是一种硬件部件，而对其内包括的用于实现各种程序的模块也可以视为硬件部件内的结构；也可以将用于实现各种功能的模块视为既可以是实现方法的软件程序又可以是硬件部件内的结构。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变化或修改，这并不影响本发明的实质内容。在不冲突的情况下，本申请的实施例和实施例中的特征可以任意相互组合。

Claims (2)

1.一种基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制方法，其特征在于，包括：

步骤1：根据外部干扰因素和挠性航天器姿态稳定控制条件，通过描述姿态误差的非负定的势函数，在SO(3)群上建立挠性航天器相对姿态动力学模型；

步骤2：选取状态变量，对相对姿态动力学模型进行转化；

步骤3：构建挠性模态观测器，对航天器的模态信息进行估计；

步骤4：根据模态观测器输出的模态信息观测值，构建姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器，使系统最终到达稳定状态；

所述步骤1包括：

采用方向余弦矩阵描述航天器姿态，则航天器的姿态运动学方程表示为：

C＝Cω^×…………(1)

其中，C∈SO(3)，表示航天器从本体坐标系转动到惯性坐标系的方向余弦矩阵，即航天器的姿态，且姿态矩阵为Lie群SO(3)的一个元素，SO(3)为特殊正交集合，满足：SO(3)＝{C∈R^3×3:C^TC＝I_3×3,det(C)＝1}，R为实数集合，R^3×3为3×3的实数矩阵构成的空间，不同的上角标表示相应的矩阵或向量维度，()^T为矩阵的转置，I_3×3为3×3的单位矩阵，det()为求一个矩阵的行列式；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T∈R^3×1表示在航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度，下标1,2,3分别表示ω在三个惯性主轴方向上的角速度分量，()^×表示三维向量构成的反对称矩阵；

在航天器本体坐标系下，挠性航天器姿态动力学方程表示为：

其中，J∈R^3×3为航天器转动惯量；

为航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度的一阶导数；Ξ∈R^N×3为航天器刚体部分与挠性附件间的刚柔耦合系数矩阵；u_c∈R^3×1为航天器执行机构产生的控制力矩；η∈R^N×1为挠性模态坐标，

表示挠性模态坐标的一阶和二阶导数；d∈R^3×1为航天器所受的外部干扰力矩，表示为||d||<δ，‖·‖为计算向量的欧几里得范数，δ>0为未知常数；M＝diag([2ξ₁Ω₁,…,2ξ_NΩ_N])∈R^N×N为阻尼矩阵，

为刚度矩阵，ξ_i表示挠性附件的阻尼比系数，Ω_i表示挠性附件的固有频率，i＝1,…,N，N为模型中的挠性模态阶数，diag()表示向量构成的对角矩阵；u_p∈R^M×1为由压电材料产生的主动振动抑制控制输出，Ξ_p∈R^N×M为相应的耦合系数矩阵；

对于给定的目标姿态C_d和目标角速度ω_d＝0，设计控制器使得航天器的姿态从C转动到C_d，同时保证角速度ω完成对ω_d的追踪，然后一直保持目标姿态和目标角速度，通过非负定的势函数

来描述航天器的姿态误差 ，然后建立挠性航天器姿态稳定控制系统的相对姿态动力学模型，对描述该姿态误差的势函数求导，得到：

其中，Η＝diag([h₁,h₂,h₃])∈R^3×3>0为正定对角阵；e_C∈R^3×1为姿态误差向量；()^V为()^×的逆运算；e_ω∈R^3×1为角速度误差；

tr()为求矩阵的迹，

为姿态误差；

转化后得到挠性航天器相对姿态动力学模型的表达式为：

所述步骤2包括：

定义状态变量

则公式(4)改写为：

其中，J^*＝J-Ξ^TΞ为刚体部分的转动惯量，

为赫尔维兹矩阵，Z＝[0_3×N,Ξ^T]∈R^3×2N，L＝[Ξ^TK,Ξ^TM]∈R^3×2N，F＝Ξ^TMΞ∈R^3×3，

Z,L,F,B_θ为由刚柔耦合系数矩阵Ξ、阻尼矩阵M、刚度矩阵K构成的具有相应维度的实数矩阵，0_3×N为3×N的零矩阵；

所述步骤3包括：

记

为θ的观测值，定义滑模面S＝e_ω+βe_c，其中，β>0为正常数，为构造的滑模面的待设计参数；

设计挠性模态观测器：

其中，

P∈R^2N×2N为正定对称矩阵L₁＝[Ξ^T(K+Ξ_pK₁),Ξ^T(M+Ξ_pK₂)]∈R^3×2N为观测器的待设计参数；P满足：

K₁,K₂∈R^1×N为常值向量，也是主动振动抑制控制器的待设计参数；

所述步骤4包括：

根据公式(5)描述的挠性航天器姿态稳定控制系统和公式(6)得到的模态信息观测结果，构建自适应姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器：

其中，K_p>0,K_d>0，k₁>0,k₂>0,ρ＞0，γ＞0均为自适应姿态稳定控制器的待设计参数，并且满足k₁>δ；K₁为一个向量，为主动振动抑制控制器的待设计参数，k₁为一个正常数，为自适应姿态稳定控制器的一个待设计参数；

根据Lyapunov函数V进行控制器参数设计，表达式为：

其中，

为模态信息的观测误差；对V求导，并将相对姿态动力学模型、挠性模态观测器和姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p代入，满足下述不等式：

其中，λ_min(),λ_max()分别表示矩阵的最小和最大特征值；b₁＝g₁/g₂+g₃为一个大于零的常数，g₁＝min{h₁+h₂,h₂+h₃,h₃+h₁}，g₂＝max{(h₁-h₂)²,(h₂-h₃)²,(h₃-h₁)²}，g₃＝max{(h₁+h₂)²,(h₂+h₃)²,(h₃+h₁)²}，min{}和max{}分别表示一组数中的最小值和最大值；

根据Schur引理保证选择的Lyapunov函数是非负定的，并根据Barbalat引理得到：当时间t→∞时，

得到

然后选取如下的Lyapunov函数V₁：

V₁＝θ^TPθ…………(10)

对V₁求导，得到

根据观测器参数设计方法，得到

然后根据Barbalat引理可知，当时间t→∞时，

表明所设计的姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p保证闭环控制系统的一致渐近稳定性，所设计的模态观测器实现对航天器挠性模态的估计，通过求解线性矩阵不等式

的可行解，得到主动振动抑制控制器u_p中的控制器参数K₁,K₂。

2.一种基于SO(3)群的挠性航天器姿态稳定控制系统，其特征在于，包括：

模块M1：根据外部干扰因素和挠性航天器姿态稳定控制条件，通过描述姿态误差的非负定的势函数，在SO(3)群上建立挠性航天器相对姿态动力学模型；

模块M2：选取状态变量，对相对姿态动力学模型进行转化；

模块M3：构建挠性模态观测器，对航天器的模态信息进行估计；

模块M4：根据模态观测器输出的模态信息观测值，构建姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器，使系统最终到达稳定状态；

所述模块M1包括：

采用方向余弦矩阵描述航天器姿态，则航天器的姿态运动学方程表示为：

C＝Cω^×…………(1)

其中，C∈SO(3)，表示航天器从本体坐标系转动到惯性坐标系的方向余弦矩阵，即航天器的姿态，且姿态矩阵为Lie群SO(3)的一个元素，SO(3)为特殊正交集合，满足：SO(3)＝{C∈R^3×3:C^TC＝I_3×3,det(C)＝1}，R为实数集合，R^3×3为3×3的实数矩阵构成的空间，不同的上角标表示相应的矩阵或向量维度，()^T为矩阵的转置，I_3×3为3×3的单位矩阵，det()为求一个矩阵的行列式；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T∈R^3×1表示在航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度，下标1,2,3分别表示ω在三个惯性主轴方向上的角速度分量，()^×表示三维向量构成的反对称矩阵；

在航天器本体坐标系下，挠性航天器姿态动力学方程表示为：

其中，J∈R^3×3为航天器转动惯量；

为航天器本体系下的本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度的一阶导数；Ξ∈R^N×3为航天器刚体部分与挠性附件间的刚柔耦合系数矩阵；u_c∈R^3×1为航天器执行机构产生的控制力矩；η∈R^N×1为挠性模态坐标，

表示挠性模态坐标的一阶和二阶导数；d∈R^3×1为航天器所受的外部干扰力矩，表示为||d||<δ，‖·‖为计算向量的欧几里得范数，δ>0为未知常数；M＝diag([2ξ₁Ω₁,…,2ξ_NΩ_N])∈R^N×N为阻尼矩阵，

为刚度矩阵，ξ_i表示挠性附件的阻尼比系数，Ω_i表示挠性附件的固有频率，i＝1,…,N，N为模型中的挠性模态阶数，diag()表示向量构成的对角矩阵；u_p∈R^M×1为由压电材料产生的主动振动抑制控制输出，Ξ_p∈R^N×M为相应的耦合系数矩阵；

对于给定的目标姿态C_d和目标角速度ω_d＝0，设计控制器使得航天器的姿态从C转动到C_d，同时保证角速度ω完成对ω_d的追踪，然后一直保持目标姿态和目标角速度，通过非负定的势函数

来描述航天器的姿态误差 ，然后建立挠性航天器姿态稳定控制系统的相对姿态动力学模型，对描述该姿态误差的势函数求导，得到：

其中，Η＝diag([h₁,h₂,h₃])∈R^3×3>0为正定对角阵；e_C∈R^3×1为姿态误差向量；()^V为()^×的逆运算；e_ω∈R^3×1为角速度误差；

tr()为求矩阵的迹，

为姿态误差；

转化后得到挠性航天器相对姿态动力学模型的表达式为：

所述模块M2包括：

定义状态变量

则公式(4)改写为：

其中，J^*＝J-Ξ^TΞ为刚体部分的转动惯量，

为赫尔维兹矩阵，Z＝[0_3×N,Ξ^T]∈R^3×2N，L＝[Ξ^TK,Ξ^TM]∈R^3×2N，F＝Ξ^TMΞ∈R^3×3，

Z,L,F,B_θ为由刚柔耦合系数矩阵Ξ、阻尼矩阵M、刚度矩阵K构成的具有相应维度的实数矩阵，0_3×N为3×N的零矩阵；

所述模块M3包括：

记

为θ的观测值，定义滑模面S＝e_ω+βe_c，其中，β>0为正常数，为构造的滑模面的待设计参数；

设计挠性模态观测器：

其中，

P∈R^2N×2N为正定对称矩阵L₁＝[Ξ^T(K+Ξ_pK₁),Ξ^T(M+Ξ_pK₂)]∈R^3×2N为观测器的待设计参数；P满足：

K₁,K₂∈R^1×N为常值向量，也是主动振动抑制控制器的待设计参数；

所述模块M4包括：

根据公式(5)描述的挠性航天器姿态稳定控制系统和公式(6)得到的模态信息观测结果，构建自适应姿态稳定控制器和主动振动抑制控制器：

其中，K_p>0,K_d>0，k₁>0,k₂>0,ρ＞0，γ＞0均为自适应姿态稳定控制器的待设计参数，并且满足k₁>δ；K₁为一个向量，为主动振动抑制控制器的待设计参数，k₁为一个正常数，为自适应姿态稳定控制器的一个待设计参数；

根据Lyapunov函数V进行控制器参数设计，表达式为：

其中，

为模态信息的观测误差；对V求导，并将相对姿态动力学模型、挠性模态观测器和姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p代入，满足下述不等式：

其中，λ_min(),λ_max()分别表示矩阵的最小和最大特征值；b₁＝g₁/g₂+g₃为一个大于零的常数，g₁＝min{h₁+h₂,h₂+h₃,h₃+h₁}，g₂＝max{(h₁-h₂)²,(h₂-h₃)²,(h₃-h₁)²}，g₃＝max{(h₁+h₂)²,(h₂+h₃)²,(h₃+h₁)²}，min{}和max{}分别表示一组数中的最小值和最大值；

根据Schur引理保证选择的Lyapunov函数是非负定的，并根据Barbalat引理得到：当时间t→∞时，

得到

然后选取如下的Lyapunov函数V₁：

V₁＝θ^TPθ…………(10)

对V₁求导，得到

根据观测器参数设计方式，得到

然后根据Barbalat引理可知，当时间t→∞时，

表明所设计的姿态稳定控制器u_c和主动振动抑制控制器u_p保证闭环控制系统的一致渐近稳定性，所设计的模态观测器实现对航天器挠性模态的估计，通过求解线性矩阵不等式

的可行解，得到主动振动抑制控制器u_p中的控制器参数K₁,K₂。

Images