CN113130020B - 一种材料多等级双向演化结构优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种材料多等级双向演化结构优化方法，具体包括如下步骤：S1：使用有限元网格离散整个设计域；S2：定义初始参数，包括目标体积率V_obj、各级材料的平均值调整系数α_j、升级率e_r与降级率r_r、材料尺度数n和各材料的弹性模量物理参数；S3：进行有限元分析；S4：计算单元灵敏度；S5：灵敏度过滤与更新：S6：计算每种材料的升级指标P_j,1和降级指标P_j,2；S7：进行相邻材料等级间的升降级操作；S8：判断是否达到目标体积率V_obj，是则优化结束，否则回到S3。本发明可以获得比经典BESO更优的解，该解柔顺度更低，更符合优化目标；演化出的杆系结构拓扑整体杆件更清晰，材料利用率更高。

Description

一种材料多等级双向演化结构优化方法

技术领域

本发明涉及一种材料多等级双向演化结构优化方法。

背景技术

BESO系算法，是当前工程中寻找结构的最优拓扑形状以指导设计时，最常用也最稳定的拓扑优化算法之一。经典BESO算法采用0-1优化方式，可能因优化过程中的边界问题而陷入局优解。

发明内容

本发明的目的是提供一种材料多等级双向演化结构优化方法，可以获得比经典BESO更优的解，该解一方面柔顺度更低，更符合优化目标；另一方面演化出的杆系结构拓扑整体杆件更清晰，材料利用率更高，且通过不同等级的材料分布进一步反映了构件的受力机理。

为达到上述目的而采用了一种材料多等级双向演化结构优化方法，具体包括如下步骤：

S1：使用有限元网格离散整个设计域；

S2：定义初始参数，包括目标体积率V_obj、各级材料的平均值调整系数α_j、升级率e_r与降级率r_r、材料尺度数n和各材料的弹性模量物理参数；

S3：进行有限元分析；

S4：计算出所有单元的灵敏度；

S5：进行灵敏度的过滤与更新：让一个单元的灵敏度由其本身和其周围单元的灵敏度决定，表现形式为一个单元的灵敏度由其自身和周围单元的加权平均获得，最后起到光滑整个结构灵敏度的目的。

S6：计算每种材料的升级指标P_j,1和降级指标P_j,2；

S7：进行相邻材料等级间的升降级操作；

S8：判断是否达到目标体积率V_obj，是则优化结束，否则回到S3。

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法，进一步的改进，S2中，定义初始参数后，使每种材料通过各异的弹性模量赋值来体现等级差别，目标函数为最小化柔顺度并施加体积约束，数学模型描述为：

式中C为结构柔顺度指标；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；E_i、u_i、E₀、k_i分别为第i个单元的弹性模量、第i个单元的位移向量、基准弹性模量，以基准弹性模量为基础确定其他材料的弹性模量、单元刚度矩阵；V、V_obj分别为结构当前体积率及目标体积率。

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法进一步的改进，S4中，单元灵敏度的计算方法为：

结构的刚度通过平均应变能间接表示，其公式为：

不同材料的弹性模量为E₀的线性内值，其表达式为：

E_i＝E₀x_i (3)

式中x_i表示第i个单元的单元状态，1表示最高等级材料，其余材料根据材料尺度在0-1之间线性内插；

根据式(3)，当某结构中某一个单元状态x_i发生改变时，结构刚度的改变为：

ΔK＝K′-K＝-Δx_iE₀k_i (4)

式中K′为单元状态改变后的刚度矩阵；

在优化中，结构的荷载向量是与单元状态无关的常量，因此单元状态变化时：

KΔu+ΔKu+ΔKΔu＝0 (5)

忽略相对高阶的微量ΔKΔu，单元状态改变时结构位移的改变为：

Δu＝-KΔKu (6)

根据式(2)和(4)可以得到，结构平均应变能的改变为：

因此基于平均柔顺度的单元灵敏度可以被定义为：

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法进一步的改进，S6中，升降级指标P_j,1和P_j,2的计算方法为

式中P_j,1和P_j,2分别指第j种材料的升级指标和降级指标，α_j为第j种材料的平均值调整系数，β_i ^j为第j种材料中第i个单元的灵敏度，

为第j种材料所有单元的灵敏度平均值。

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法进一步的改进，α_j>1，或α_j<1。

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法进一步的改进，S2中：定义初始参数还包括定义折算体积：

式中V_i为第i个单元的体积，E_i为该单元当前所属材料的弹性模量，E₀为基准弹性模量。

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法进一步的改进，S7-S8的具体步骤为的具体步骤为：

S7.1：定义j＝n，

S7.2：判断是否j>1，如果判断结果为否，则进行S7.3，如果判断结果为是，则进行S7.4；

S7.3：判断是否V＝V_obj，如果判断结果为否，则返回至S3，如果判断结果为是，则结束算法；

S7.4:判断是否P_j,2>P_j-1，1，如果判断结果为否，则对第j-1种材料开展升级操作，令j＝j-1，返回S7.2；如果判断结果为是，则对第j种材料开展降级操作，令j＝j-1，返回S7.2。

本发明是通过引入多种材料等级，以材料利用程度作为评价指标，决定单元在不同材料等级之间的升降，而开发出的材料多等级BESO算法。这种新算法可以获得比经典BESO更优的解，该解一方面柔顺度更低，更符合优化目标；另一方面演化出的杆系结构拓扑整体杆件更清晰，材料利用率更高，且通过不同等级的材料分布进一步反映了构件的受力机理。

附图说明

图1为优化准则示意图。

图2为材料多等级BESO算法流程图。

图3为梁底3点承载简支深梁示意图。

图4为三材料的材料多等级BESO结果。

图5为经典BESO结果。

图6为绝对体积率为0.3时的材料多等级BESO优化结果示意图。

图7为双材料的材料多等级BESO结果。

图8为四材料的材料多等级BESO结果。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

在本发明的描述中，需要说明的是，术语“中心”、“上”、“下”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制；术语“第一”、“第二”、“第三”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性；此外，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

实施例1

一种材料多等级双向演化结构优化方法，具体包括如下步骤：

S1：使用有限元网格离散整个设计域；

S2：定义初始参数，包括目标体积率V_obj、各级材料的平均值调整系数α_j、升级率e_r与降级率r_r、材料尺度数n和各材料的弹性模量物理参数；

S3：进行有限元分析；

S4：计算出所有单元的灵敏度；

S5：进行灵敏度的过滤与更新：

S6：计算每种材料的升级指标P_j,1和降级指标P_j,2；

S7：进行相邻材料等级间的升降级操作；

S8：判断是否达到目标体积率V_obj，是则优化结束，否则回到S3。

作为本发明材料多等级双向演化结构优化方法，进一步的改进，S2中，定义初始参数后，使每种材料通过各异的弹性模量赋值来体现等级差别，目标函数为最小化柔顺度并施加体积约束，数学模型描述为：

式中C为结构柔顺度指标；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；E_i、u_i、E₀、k_i分别为第i个单元的弹性模量、第i个单元的位移向量、基准弹性模量，以基准弹性模量为基础确定其他材料的弹性模量、单元刚度矩阵；V、V_obj分别为结构当前体积率及目标体积率。

在本实施例中，S4中，单元灵敏度的计算方法为：

结构的刚度通过平均应变能间接表示，其公式为：

不同材料的弹性模量为E₀的线性内值，其表达式为：

E_i＝E₀x_i (3)

式中x_i表示第i个单元的单元状态，1表示最高等级材料，其余材料根据材料尺度在0-1之间线性内插；

根据式(3)，当某结构中某一个单元状态x_i发生改变时，结构刚度的改变为：

ΔK＝K′-K＝-Δx_iE₀k_i (4)

式中K′为单元状态改变后的刚度矩阵；

在优化中，结构的荷载向量是与单元状态无关的常量，因此单元状态变化时：

KΔu+ΔKu+ΔKΔu＝0 (5)

忽略相对高阶的微量ΔKΔu，单元状态改变时结构位移的改变为：

Δu＝-KΔKu (6)

根据式(2)和(4)可以得到，结构平均应变能的改变为：

因此基于平均柔顺度的单元灵敏度可以被定义为：

在本实施例中，S6中，升降级指标P_j,1和P_j,2的计算方法为

式中P_j,1和P_j,2分别指第j种材料的升级指标和降级指标，α_j为第j种材料的平均值调整系数，β_i ^j为第j种材料中第i个单元的灵敏度，

为第j种材料所有单元的灵敏度平均值。

在本实施例中，α_j>1，或α_j<1。

在本实施例中，S2中：定义初始参数还包括定义折算体积：

式中V_i为第i个单元的体积，E_i为该单元当前所属材料的弹性模量，E₀为基准弹性模量。

在本实施例中，S7-S8的具体步骤为的具体步骤为：

S7.1：定义j＝n；

S7.2：判断是否j>1，如果判断结果为否，则进行S7.3，如果判断结果为是，则进行S7.4；

S7.3：判断是否V＝V_obj，如果判断结果为否，则返回至S3，如果判断结果为是，则结束算法；

S7.4:判断是否P_j,2>P_j-1，1，如果判断结果为否，则对第j-1种材料开展升级操作，令j＝j-1，返回S7.2；如果判断结果为是，则对第j种材料开展降级操作，令j＝j-1，返回S7.2。

实施例2

1.1问题描述

在经典BESO的实体材料与空白材料之间引入多种中间材料，即形成材料多等级BESO算法。每种材料通过各异的弹性模量赋值来体现等级差别，目标函数为最小化柔顺度并施加体积约束。

问题的数学模型描述为：

式中C为结构柔顺度指标；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；E_i、u_i、E₀、k_i分别为第i个单元的弹性模量、第i个单元的位移向量、基准弹性模量(以其为基础确定其他材料的弹性模量)、单元刚度矩阵；V、V_obj分别为结构当前体积率及目标体积率。

1.2灵敏度分析

结构的刚度可以通过平均应变能间接表示，其公式为：

本发明不同材料的弹性模量为E₀的线性内值，其表达式为：

E_i＝E₀x_i (3)

式中x_i表示第i个单元的单元状态，1表示最高等级材料，其余材料根据材料尺度在0-1之间线性内插。

根据式(3)，当某结构中某一个单元状态x_i发生改变时，结构刚度的改变为：

ΔK＝K′-K＝-Δx_iE₀k_i (4)

式中K′为单元状态改变后的刚度矩阵。

在优化中，结构的荷载向量是与单元状态无关的常量，因此单元状态变化时：

KΔu+ΔKu+ΔKΔu＝0 (5)

忽略相对高阶的微量ΔKΔu，单元状态改变时结构位移的改变为：

Δu＝-KΔKu (6)

根据式(2)和(4)可以得到，结构平均应变能的改变为：

因此基于平均柔顺度的单元灵敏度可以被定义为：

1.3优化准则

如图1所示，在经典BESO中，优化准则为逐代从实体材料中淘汰低效单元，同时每代从已淘汰单元中恢复高效单元。在引入多材料后，简单地延用该准则，易造成材料病态，即高等级材料无法保留，所有材料不断向更低等级的材料优化。因此，材料多等级BESO在这个基础上引入：

式中P_j,1和P_j,2分别指第j种材料的升级指标和降级指标，α_j为第j种材料的平均值调整系数，β_i ^j为第j种材料中第i个单元的灵敏度，

为第j种材料所有单元的灵敏度平均值。

升降级指标P_j,1和P_j,2的定义基于变异系数(即标准差与平均值之比)，因为变异系数反应了不同平均值的两组数据的离散程度，利用P_j,1和P_j,2判定材料在等级之间的升降操作，如图1所示，对于最低等级的材料，为了使优化向目标体积率优化，仅执行完全删除的降级操作。设定平均值调整系数α_j的目的主要为控制优化方向，当α_j>1时，相当于降低了高灵敏度材料对整级材料单元灵敏度离散程度影响的权重，使优化更倾向降级。因此，出于向目标体积率进化的要求，一般取α_j略大于1；但对于最高等级材料，由于优化本身只能向下执行降级操作，须取小于1的α_j以保证该级材料体积的收敛性。

1.4优化流程

图2所示材料多等级BESO算法流程在MATLAB软件平台上编程实现。采用四节点平面单元，单元均处于平面应力状态。为了克服棋盘格及网格依赖性问题，采用了灵敏度过滤方法。流程图如图2所示，具体实现步骤如下：

①使用有限元网格离散整个设计域；

②定义初始参数，包括目标体积率V_obj、各级材料的平均值调整系数α_j、升级率e_r与降级率r_r、材料尺度数n和各材料的弹性模量等物理参数；

③有限元分析；

④计算所有单元灵敏度；

⑤灵敏度过滤与更新；

⑥计算每种材料的升降级指标P_j,1和P_j,2；

⑦相邻材料等级间的升降级操作；

⑧判断是否满足优化中止准则(即是否达到目标体积率V_obj)，是则优化结束，否则回到③。

2三点加载深梁算例

2.1结构几何模型及优化参数

四分点加载的简支深梁，尺寸与荷载参数如图3所示，单元尺寸选用10mm×10mm，选用三材料的材料多等级BESO，三种材料分别采用弹性模量E₀＝3×10¹⁰Pa，0.67E₀＝2×10¹⁰Pa和0.33E₀＝1×10¹⁰Pa，泊松比μ均取0.3，平均值调整系数α₁取0.6，α₂与α₃取1.1，升级率e_r与降级率r_r均设为0.02。出于对比，基于经典BESO，在优化中灵敏度过滤半径采用2，V_obj设为0.3，材料多等级BESO未尽参数均与经典BESO相同。

2.2折算体积下的优化对比

由于材料多等级BESO与经典BESO的材料具有不同弹性模量，直接对比剩余材料绝对体积相同时结构的柔顺度，存在较大的局限性。因此，将体积与弹性模量关联，定义折算体积：

式中V_i为第i个单元的体积，E_i为该单元当前所属材料的弹性模量。

图4和图5分别为材料多等级BESO与经典BESO优化结果，如图4所示，弹性模量分别为E₀、0.67E₀和0.33E₀的三种材料，分别用浅度灰色、中度灰色和深度灰色表示，如图5所示，单一材料，弹性模量为E₀，用黑色表示。初始设计域中所有材料弹性模量均为E₀，在经典BESO中为黑色、材料多等级BESO中为浅度灰色；从优化的中间演变过程中可以看到相比于经典BESO，引入多种材料后优化中不仅仅展现了构件中核心的受力骨架，更反应出了构件内部不同区域材料的重要程度。从最终的优化结果看，构件核心的受力部分为支座附件浅度灰色区域与梁底部荷载作用处的浅度灰色拉杆部分，其次为中度灰色受压材料的类拱形核心压杆，中间核心拉杆与压杆的连接为中度灰色和深度灰色材料，而从经典BESO优化结果中仅能得到构件的核心受力骨架为底部拉杆、类拱型的压杆与两者间的连接拉杆。

表1中列出了折算体积率为0.3时，材料多等级BESO与经典BESO的柔顺度指标及耗时量对比。关于耗时量的统计，文中所有程序均运行于同一台计算机，计算机配置为64位操作系统、i5-8300H CPU@2.30GHz、8.00GB运行内存。从表1可以看出，最终体积率优化至0.3时，材料多等级BESO的柔顺度指标为0.775Nmm，低于经典BESO的柔顺度指标0.814Nmm。但不得不指出的是，材料多等级BESO耗时3倍于经典BESO。

表1折算体积率为0.3时的柔顺度指标与耗时量对比

2.3绝对体积下的优化对比

折算体积率相同时，材料多等级BESO虽然获得更低的结构柔顺度，但其结果与经典BESO结果中形成清晰的杆件不同，由于较次材料拥有更低的折算体积，所以其在结构中所占的实际绝对体积更大，对于这种优化结果目前缺乏将其转化为实际设计手段，应用只能寄望于3D打印。拓扑优化当前主要作为一种概念设计方法，当前主流的设计方法主要有两种，通过拓扑优化获取清晰的杆件优化结果，随后通过优化结果的指导将其转化为压杆-拉杆模型或桁架模型，再完成构件设计。

图6为绝对体积率为0.3时的材料多等级BESO优化结果，弹性模量分别为E₀、0.67E₀和0.33E₀的三种材料，分别用浅度灰色、中度灰色和深度灰色表示，此时的折算体积率为0.16，柔顺度指标为1.296Nmm，耗时约24min。比较图6与图5中的d，不难看出，两者具有类似的构型，但图6所示材料多等级BESO的优化结果不仅最终形成了反映构件受力机理的杆系结构，而且由于在受力较大的部位可以通过材料等级来描述，不再需要通过杆件截面来表达，所以杆件分化更清晰，更重要的是，通过不同的材料等级还反映了不同区域材料的重要程度。

表2中列出了绝对体积率为0.3时，材料多等级BESO与经典BESO的变异系数对比。从表2中可以看出，材料多等级BESO中三个等级材料的变异系数分别为4.41、0.14、0.28，而经典BESO中单一材料的变异系数达4.9，前者远低于后者。由于变异系数反应了材料的灵敏度的离散程度与所有材料单元偏离平均值的程度，对应着材料的利用程度，这意味着材料多等级BESO的优化结果材料利用率远高于经典BESO的0-1优化。

表2绝对体积率为0.3时的变异系数对比

3材料尺度的影响

出于对比，完成了第2节算例分别在双材料和四材料下的材料多等级BESO，优化参数均与第2节相同，结果如图7和图8所示。图7中，弹性模量分别为E₀和0.5E₀的两种材料，分别用中度灰色和深度灰色表示；图8中弹性模量分别为E₀、0.75E₀、0.5E₀和0.25E₀的四种材料，分别用中度深度过渡灰色、浅度灰色、中度灰色和深度灰色表示。

对比图7和图8的双材料与四材料的材料多等级BESO结果与图3中的d，图5中的相应的三材料的材料多等级BESO结果，可以看出，在折算体积率与绝对体积率分别为0.3时，它们都较为类似，都能较好地反应结构的受力机理。但相比之下，材料更多时，能更细致地反映相关信息，如相比于双材料的材料多等级BESO结果，四材料与三材料的材料多等级BESO结果额外反馈出梁底主要拉杆比核心受压主拱圈受力更高；四材料的材料多等级BESO结果还相对两材料与三材料的材料多等级BESO结果，表明了支座与加载点局部受力，应力水平相比其他区域更高。

表3中列出了不同材料尺度下的柔顺度指标与耗时对比。从表中可以看出，在相同的折算体积率下优化所采用的材料等级越多，所获得的结构柔顺度就越低。对比表1的数据还可知，在相同的折算体积率下，这些材料多等级BESO的结构都低于经典BESO结果的柔顺度，这与不同受力程度区域采用不同材料时更接近全局最优解的预期是相符的。而在相同的绝对体积率下优化所采用的材料等级越多，所获得的结构柔顺度就越高，造成这个局面的主要原因，是在0到1之间线性内插越多弹性模量等级的材料，在某个绝对体积率下，结构的平均材料刚度就较低，结构柔顺度就越高。但依然要指出的是，材料越多，优化过程越复杂，所需时间也越长。因此，在进行实际应用时必须根据需要权衡两者之间的影响。

表3不同材料尺度下材料多等级BESO的柔顺度与耗时对比

有益效果：

1)在经典BESO非“生”即“死”的材料基础上，线性内插多个弹性模量等级的材料，根据利用程度来决定不同材料等级间的升降，得到全新的材料多等级BESO。

2)在相同的折算体积率下，材料多等级BESO可以获得比经典BESO更符合优化目标，即柔顺度更低的结果，表明其更强的全局寻优能力。

3)在相同的绝对体积率下，材料多等级BESO与经典BESO所得的结果相似，但其整体杆件更清晰，材料利用率更高，且通过不同等级的材料分布进一步反映了构件的受力机理。

4)优化基于的材料尺度越多，材料多等级BESO的结果越能细致反映构件的受力机理。但随着优化基于的材料尺度增加，材料多等级BESO的耗时也会变多，即优化效率降低，建议实际应用时根据需要权衡优化精度与优化效率。

为了进一步提高BESO的寻优能力，本文通过线性插值的方式，在BESO的0-1之间引入多材料尺度，并以材料利用程度作为评价指标，决定单元在不同材料等级之间的升降。

本发明引入多种材料等级，以材料利用程度作为评价指标，决定单元在不同材料等级之间的升降，开发出材料多等级BESO算法。这种新算法可以获得比经典BESO更优的解，该解一方面柔顺度更低，更符合优化目标；另一方面演化出的杆系结构拓扑整体杆件更清晰，材料利用率更高，且通过不同等级的材料分布进一步反映了构件的受力机理。探讨材料尺度的影响时发现，优化基于的材料尺度越多，新算法的结果越能显微构件受力细节，但也会引起优化耗时增加，因此，实际应用时应权衡优化精度与优化效率以选择合适材料尺度。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种材料多等级双向演化结构优化方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

S1：使用有限元网格离散整个设计域；

S2：定义初始参数，包括目标体积率V_obj、各级材料的平均值调整系数α_j、升级率e_r与降级率r_r、材料尺度数n和各材料的弹性模量物理参数；

S3：进行有限元分析；

S4：计算出所有单元的灵敏度；

S5：进行灵敏度的过滤与更新：

S6：计算每种材料的升级指标P_j,1和降级指标P_j,2；

S7：进行相邻材料等级间的升降级操作；

S8：判断是否达到目标体积率V_obj，是则优化结束，否则回到S3；

S2中，定义初始参数后，使每种材料通过各异的弹性模量赋值来体现等级差别，目标函数为最小化柔顺度并施加体积约束，数学模型描述为：

式中C为结构柔顺度指标；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；E_i、u_i、E₀、k_i分别为第i个单元的弹性模量、第i个单元的位移向量、基准弹性模量，以基准弹性模量为基础确定其他材料的弹性模量、单元刚度矩阵；V、V_obj分别为结构当前体积率及目标体积率；

S4中，单元灵敏度的计算方法为：

结构的刚度通过平均应变能间接表示，其公式为：

不同材料的弹性模量为E₀的线性内值，其表达式为：

E_i＝E₀x_i (3)

式中x_i表示第i个单元的单元状态，1表示最高等级材料，其余材料根据材料尺度在0-1之间线性内插；

根据式(3)，当某结构中某一个单元状态x_i发生改变时，结构刚度的改变为：

ΔK＝K′-K＝-Δx_iE₀k_i (4)

式中K′为单元状态改变后的刚度矩阵；

在优化中，结构的荷载向量是与单元状态无关的常量，因此单元状态变化时：

KΔu+ΔKu+ΔKΔu＝0 (5)

忽略相对高阶的微量ΔKΔu，单元状态改变时结构位移的改变为：

Δu＝-KΔKu (6)

根据式(2)和(4)可以得到，结构平均应变能的改变为：

因此基于平均柔顺度的单元灵敏度可以被定义为：

S6中，升降级指标P_j,1和P_j,2的计算方法为

式中P_j,1和P_j,2分别指第j种材料的升级指标和降级指标，α_j为第j种材料的平均值调整系数，

为第j种材料中第i个单元的灵敏度，

为第j种材料所有单元的灵敏度平均值；

所述α_j>1，或α_j<1；

S2中：定义初始参数还包括定义折算体积：

式中V_i为第i个单元的体积，E_i为该单元当前所属材料的弹性模量，E₀为基准弹性模量；

S7-S8的具体步骤为：

S7.1：定义j＝n；

S7.2：判断是否j>1，如果判断结果为否，则进行S7.3，如果判断结果为是，则进行S7.4；

S7.3：判断是否V＝V_obj，如果判断结果为否，则返回至S3，如果判断结果为是，则结束算法；

S7.4:判断是否P_j,2>P_j-1，1，如果判断结果为否，则对第j-1种材料开展升级操作，令j＝j-1，返回S7.2；如果判断结果为是，则对第j种材料开展降级操作，令j＝j-1，返回S7.2。

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