CN113124800A - 阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，包括如下步骤：1)构建阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程；2)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆之间的啮合关系构建阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；3)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量与法向矢量之间的正交关系，简化阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；4)采用点阵式测量方法，在蜗轮齿面上选择若干网格点；利用简化得到的基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程分别计算网格点的理论坐标和法向矢量；利用测头测量得到网格点处的测量坐标；5)利用网格点的理论坐标、法向矢量和测量坐标，计算得到阿基米德蜗轮齿面的加工误差。

Description

阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法

技术领域

本发明属于机械误差分析技术领域，具体的为一种阿基米德螺旋面蜗轮加工精度检测方法。

背景技术

蜗轮蜗杆传动是一种以紧凑型、大速比为主要特点的传动类型，常用来传递两交错轴之间的运动和动力，在现代工业中被广泛应用。蜗轮一般采用滚齿机加工，主要有滚齿和飞刀切齿两种方法。制造精密蜗轮时，可在滚齿或切齿后再进行剃齿、珩齿或研齿等精整加工。

滚齿采用基本参数与工作蜗杆相同的蜗轮滚刀，按展成法原理(见齿轮加工)切出齿形。如果采用径向进给法滚齿，则滚刀与工件按Z2/Z1的传动比(Z1为工作蜗杆螺纹头数,Z2为蜗轮齿数)对滚，两者逐渐靠近直到其中心距等于工作蜗杆与蜗轮啮合时的中心距为止。采用切向进给法滚齿时，机床除保证刀具旋转外，还要有轴向进给；同时机床的工作台也要增加相应的附加转动，才能实现展成运动，这就要使用差动链。因此，切向进给法的加工精度一般不如径向进给法，但齿面质量较好，且不会产生根切现象。剃齿蜗轮剃齿刀的基本参数与工作蜗杆相同。蜗轮剃齿一般用滚齿机，可以由剃齿刀带动蜗轮自由剃齿，也可在机床传动链控制下强迫剃齿，剃后齿面质量和精度有所提高。珩齿和研齿蜗轮滚齿或飞刀切齿后，为了提高齿面质量、改善蜗轮与蜗杆啮合时的接触情况，可在滚齿机上珩齿或研齿。珩齿工具是用磨料与塑料、树脂的混合物浇铸在基体上而制成的珩磨蜗杆；研齿时用铸铁制成的研磨蜗杆加研磨剂与蜗轮对研。蜗轮的加工精度对蜗轮蜗杆传动至关重要，但现有技术中缺少用于检测蜗轮加工精度的方法。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，能够检测蜗轮齿面加工精度。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，包括如下步骤：

1)根据阿基米德蜗杆的螺旋面端截形和轴截形方程构建阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程；

2)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆之间的啮合关系，以阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程分别构建阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；

3)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量与法向矢量之间的正交关系，简化阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；

4)采用点阵式测量方法，在蜗轮齿面上选择若干网格点；利用简化得到的基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程分别计算网格点的理论坐标和法向矢量；利用测头测量得到网格点处的测量坐标；

5)利用网格点的理论坐标、法向矢量和测量坐标，计算得到阿基米德蜗轮齿面的加工误差。

进一步，所述步骤1)中，阿基米德蜗杆的螺旋面端截形方程为：

阿基米德蜗杆的螺旋面轴截形方程为：

其中，α为齿形压力角；p为螺旋参数；u为自变量。

进一步，构建得到的阿基米德蜗杆的齿面方程为：

构建得到的阿基米德蜗杆的齿面法矢方程为：

其中，θ为参变量，表示端截线绕中心转过的角度值；r_b为基圆的半径；

分别为阿基米德蜗杆的齿面法线

在x₁、y₁、z₁坐标轴上的分量。

进一步，所述步骤2)中，构建得到的阿基米德蜗轮的齿面方程为：

构建得到的阿基米德蜗轮的齿面法矢方程为：

其中，

分别为空间啮合运动时阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮对应转过的角度，且

i₁₂为阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮之间的传动比；

分别为阿基米德蜗轮的齿面法线

在x₂、y₂、z₂坐标轴上的分量；A₀为阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮啮合时的中心距；M₂₁为蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵；且：

M₂₁＝M_2p·M_p0·M₀₁

其中，M₀₁蜗杆固联坐标系S₁与动坐标系S之间的转换矩阵；M_p0为固定坐标系S与蜗轮固联的动坐标系S_p之间的转换矩阵；M_2p为与蜗轮固联的动坐标系S₂与动坐标系S_p之间的转换矩阵。

进一步，所述步骤3)中，阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量v₁₂为：

v₁₂＝v_12xi+v_12yj+v_12zk

其中：ω₁为阿基米德蜗杆绕其轴线的角速度；

由于阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量与法向矢量之间的正交关系，则有：

进一步，简化得到的阿基米德蜗轮的齿面方程为：

x₁＝u cosαcosθcos(u sinα/p)-u cosαsinθsin(u sinα/p)

y₁＝u cosαsinθsin(u sinα/p)+u cosαcosθsin(u sinα/p)

z₁＝pθ

简化得到的阿基米德蜗轮的齿面法矢方程为：

进一步，所述步骤4)中，设齿面上的任意网格点M所处位置的参数为β_i、r_i、(x_2i,y_2i,z_2i)，由此可得出在x₂oz₂平面内的β_i、r_i、z_2i的关系式，如下：

z_2i＝r_i tanβ_i

网格点M的坐标满足：

其中，R_i为网格点的半径，且满足：

R_i＝A₀-r_i cosβ_i

由此得到用于计算自变量u、参变量θ和空间啮合运动时阿基米德蜗杆转过的角度

的联立方程组：

其中，r_i为阿基米德蜗轮分度圆半径；β_i为M点对应的在阿基米德蜗轮分度圆上转过的角度；z_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的z坐标；x_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的x坐标；y_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的y坐标；R_i为阿基米德蜗轮分度圆半径；n为阿基米德蜗轮齿面法矢量；v₁₂为阿基米德蜗轮相对于蜗杆的运动速度；

将计算得到的自变量u、参变量θ和空间啮合运动时阿基米德蜗杆转过的角度

的值代入到阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程中，求解得到任意网格点的理论坐标和法向矢量。

进一步，所述步骤4)中，由于测头为球体，测头测得的坐标值为测头球心的坐标值，则对测头半径进行补偿的方法为：

(x₃,y₃,z₃)_理论＝(x'₃,y'₃,z'₃)_理论+r·(η_x,η_y,η_z)

其中，(x₃,y₃,z₃)_理论、(x'₃,y'₃,z'₃)_理论和(η_x,η_y,η_z)分别为蜗轮齿面的同一测量点在测量坐标系内的测头球心理论坐标值、测量点的理论坐标值和单位法矢量；r为测头的半径。

进一步，所述步骤5)中，计算阿基米德蜗轮齿面的加工误差时，需将蜗轮坐标系和测头坐标系进行变换，其变换方程为：

其中，(R₀,T₀,Z₀)为测头坐标系内的坐标值；(nr₀，nt₀，nz₀)为测头坐标系内的法向矢量；(x₂,y₂,z₂)为蜗轮坐标系内的坐标值；(nx₂，ny₂，nz₂)为蜗轮坐标系内的法向矢量；β为蜗轮坐标系转动的角度，且蜗轮坐标系转动β角度后与测量机坐标系完全重合：

β＝arctan(y_5,3/x_5,3)

其中，y_5,3为蜗轮坐标系中的齿面纵坐标；x_5,3为蜗轮坐标系中的齿面横坐标。

进一步，针对阿基米德蜗轮齿面上的同一网格点，设利用阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程计算得到的理论坐标值和理论法矢变换到测头坐标系内后分别为(R,T,Z)和(nr,nt,nz)，利用测头测量得到的该网格点的坐标值(R',T',Z')，则齿面测量误差为：

δ＝(R'-R)nr+(T'-T)nt+(Z'-Z)nz-(θ'-θ)R'·nt

其中，(R'-R)nr、(T'-T)nt和(Z'-Z)nz表示R、T和Z三个方向上的误差分量，(θ'-θ)R'·nt表示转动角度在T方向的误差分量；θ为阿基米德蜗轮理想情况下转过的角度；θ'为阿基米德蜗轮实际情况下转过的角度。

本发明的有益效果在于：

本发明的阿基米德螺旋面蜗轮加工精度检测方法，通过构建阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程，利用蜗轮蜗杆之间的啮合关系，从而可以通过蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程构建阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；从而利用点阵测量方法，根据蜗轮齿面方程和蜗轮齿面法矢方程分别计算网格点的理论坐标和法向矢量，而后与测头测量得到的网格点处的测量坐标进行比较，从而得到蜗轮的加工误差，即本发明的阿基米德螺旋面蜗轮加工精度检测方法能够测量蜗轮的加工齿轮与理论齿面之间的误差，从而得到蜗轮的加工精度。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为阿基米德蜗杆螺旋面的端截形的示意图；

图2为蜗轮蜗杆空间中的啮合运动关系；

图3为蜗轮蜗杆空间中的相对速度；

图4为测头球心等距面的示意图；

图5为阿基米德螺旋面(ZA型)蜗轮的左齿面图；

图6为ZN齿面截交线的渐开线拟合曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

本实施例的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，包括如下步骤：

1)根据阿基米德蜗杆的螺旋面端截形和轴截形方程构建阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程。

依据蜗杆类型、蜗杆头数z₁、蜗轮齿数、模数m、齿形压力角α、蜗杆分度圆直径d₁、螺旋升角γ、齿宽b、螺距、传动比i₂₁、中心距A₀、齿顶圆直径d_a1、齿根圆直径d_f1，确定阿基米德蜗杆的螺旋面端截形和轴截形，具体的：

阿基米德蜗杆的螺旋面端截形方程为：

阿基米德蜗杆的螺旋面轴截形方程为：

其中，α为齿形压力角；p为螺旋参数，且p＝导程p_z/2π；u为自变量。

根据阿基米德蜗杆的螺旋面端截形和轴截形，可知阿基米德蜗杆的齿面端面截形为一条阿基米德螺旋曲线。如图1所示，该阿基米德螺旋曲线以半径r_b作为基圆，以圆上点b作为起点的阿基米德螺旋曲线bc与x轴的夹角为0°，阿基米德螺旋曲线上的任一点P处的法线Pa与基圆相切于点a，取角u＝∠aob作为自变量，由阿基米德螺旋曲线的特性有Pa＝r_bu，故可得阿基米德螺旋曲线bc的方程式为：

将的阿基米德螺旋曲线bc作以z轴为中心的螺旋运动，转过角度记为θ，则会形成一个螺旋曲面，相当于蜗杆的齿面，故构建得到的阿基米德蜗杆的齿面(右旋)方程r₁为：

根据蜗轮蜗杆副空间啮合原理可知，求解得到阿基米德蜗轮齿面的方程式，首先需要对阿基米德蜗杆齿面法线

的方程式进行求解。由参数方程的求导运算规律对式(3)进行求导计算，可得其齿面法线方程。且

分别为阿基米德蜗杆齿面法线

在x₁、y₁、z₁坐标轴上的分量，即构建得到的阿基米德蜗杆的齿面法矢方程为：

其中，θ为参变量，表示端截线绕中心转过的角度值；r_b为基圆的半径；

分别为阿基米德蜗杆的齿面法线

在x₁、y₁、z₁坐标轴上的分量。

2)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆之间的啮合关系，以阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程分别构建阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程。

蜗轮蜗杆的空间中的啮合运动关系，建立其空间坐标系。如图2所示，坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与蜗杆固定连接，坐标轴z₁与蜗杆中心线相重合，且蜗杆可绕坐标轴做旋转运动；S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)坐标系与蜗轮固定连接，坐标轴z₂与蜗轮中心线重合，且蜗轮可绕坐标轴z₂做旋转运动；S(O-x,y,z)与S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)为两个不动坐标系，其中坐标轴z与蜗杆的旋转中心线z₁相重合，坐标轴z_p与蜗轮的旋转中心线z₂相重合，且空间中z与z_p的异面夹角Σ＝90°；坐标轴x与x_p相重合，OO_p为其啮合时的中心距，记OO_p＝A₀。

其中，角

分别为空间啮合运动时蜗杆和蜗轮对应转过的角度，即在蜗杆和蜗轮在持续啮合时，当蜗杆以坐标轴z₁为中心轴线旋转

角度时对应的蜗轮以坐标轴z₂为中心轴线旋转

角度，且

之间满足传动比关系

i₁₂为阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮之间的传动比。

将蜗杆齿面转换到蜗轮齿面S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)，则有：

式中，M₂₁为蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵。

根据空间坐标位置关系，推算出蜗杆坐标系S₁到蜗轮坐标系S₂的变化关系式为：

式中，M₀₁蜗杆固定坐标系S₁与动坐标系S的转换矩阵：

M_p0为固定坐标系S与蜗轮固联的动坐标系S_p的转换矩阵：

M_2p为与蜗轮固联的动坐标系S_p与坐标系S₂的转换矩阵：

所以，通过以上空间坐标矩阵的运算推导，可求得蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵M₂₁为：

综上所示，将蜗杆齿面转换到蜗轮齿面S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)，构建得到的阿基米德蜗轮的齿面方程为：

构建得到的阿基米德蜗轮的齿面法矢方程为：

其中，

分别为阿基米德蜗轮的齿面法线

在x₂、y₂、z₂坐标轴上的分量；A₀为阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮啮合时的中心距；M₂₁为蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵；

3)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量与法向矢量之间的正交关系，简化阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程。

(1)阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度关系

蜗轮蜗杆传动为空间单自由度的运动形式。蜗杆与蜗轮工作时在沿任意方向上无位移，均只做绕各自中心轴的回转运动。如图3所示，设蜗轮蜗杆副工作时，蜗杆以z₁为中心轴定角速度ω₁做回转运动，蜗轮以z₂为中心轴定角速度ω₂做回转运动。

由图3所示的运动关系可知，蜗杆的回转角速度与其沿轴线方向移动速度的矢量式为：

式中，ω₁表示工件角速度的模；

表示蜗杆沿轴线移动速度的模，

蜗轮的回转角速度与其沿轴线方向移动速度的矢量式为：

式中，ω₂表示工件角速度的模；

表示蜗杆沿轴线移动速度的模，

空间中有一点M，在坐标系S中的坐标值为(x,y,z),且OO_p＝A₀i，则有：

M点随蜗杆运动时的速度v₁为

M点随蜗轮运动时的速度v₂为：

则蜗杆与蜗轮传动中，在其啮合点M处的相对运动速度v₁₂的矢量式为：

所以：

所以，有如下关系

用坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)的参数表示，根据的坐标系S与S₁之间的关系，即：

则：

v₁₂＝v_12xi+v_12yj+v_12zk (22-a)

利用Σ＝90°，

等对上式进行简化，得：

(2)阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆之间的啮合关系

根据空间齿轮啮合理论可知，蜗轮蜗杆传动中的任一时刻两个齿面间都为线接触，在其接触线上的切点除存在两齿面的公法平面及公法线n^I。两个齿面在传动中总是保持连续的啮合状态，且不发生脱离与干涉情况，则证明在该点上两齿面间的相对运动速度矢量v₁₂与其法线矢量的正交关系，根据此结论推导方程式便可的其啮合方程式。

由其正交关系可知，在接触点处应满足如下方程式：

n^I·v₁₂＝0 (23)

所以，阿基米德蜗杆蜗轮啮合方程式为：

(3)简化得到的阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程

根据齿轮啮合原理可知，一对蜗轮蜗杆副在整个啮合运动过程中，两齿面始终保持相切关系并各自按照所设定的运动规律工作。故，在运动过程中蜗轮蜗杆副齿面为一对共轭齿面。利用蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵M₂₁(式(10))将蜗杆齿面方程(式(3))变换到蜗轮坐标系中，再联立啮合方程式(24)并进行化简计算，简化得到的阿基米德蜗轮的齿面方程为：：

x₁＝u cosαcosθcos(u sinα/p)-u cosαsinθsin(u sinα/p)

y₁＝u cosαsinθsin(u sinα/p)+u cosαcosθsin(u sinα/p)

z₁＝pθ

根据两个齿面间的共轭关系可知，在两齿面的公切点上存在公法线，公法线同时垂直于蜗轮齿面与蜗杆齿面，所以将蜗杆的齿面法矢方程式进行坐标变换就能推导出蜗轮齿面的法矢方程式。即将蜗杆齿面法矢方程式(4)通过蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵M₂₁(式(10))处理后，求得简化得到的阿基米德蜗轮的齿面法矢方程为：

4)采用点阵式测量方法，在蜗轮齿面上选择若干网格点；利用简化得到的基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程分别计算网格点的理论坐标和法向矢量；利用测头测量得到网格点处的测量坐标。

本实施例采用点阵式测量方法，在蜗轮齿面上选择若干网格点，将蜗轮齿面划分为若干个测量单元；按照一定的间距在齿面的两个方向将齿面划分成网格，对网格点进行理论坐标的计算，再利用测头点对点进行测量，从而将整个齿面的误差情况得到准确的检测和评价。三维的空间中的蜗轮齿面是不规则的复杂曲面，很难在其上直接网格划分并计算三维的网格点坐标及其法矢，所以采取先二维网格划分后转成三维曲面的方法进行网格划分。二维网格划分其实是将三维空间中的蜗轮齿面进行平面投影，用两个变量在两个方向上将齿面划分为网格状。二维网格划分完成后又需把齿面还原为三维曲面形状，还原的方法是将已知的两个坐标项带入齿面方程式求解未知坐标项。在划分网格时还需要注意对齿根与齿顶处缩进值及齿面上下两端处的缩进值得设定，因为有些蜗轮齿面的不规则可能使得被网格划分后的理论齿面网格点落在齿面外侧。

用两个参数对投影面进行二维网格的划分，其中一个为直线与X₁轴线的夹角的角度参数β，另一个为竖直方向上从蜗杆齿根到齿顶圆的同心圆的半径参数r。β可根据蜗轮齿宽缩进后进行取值，等分为9等份(本文在齿宽方向上缩进以蜗轮齿宽b₂为准，缩进比例取0.15)；r从蜗杆齿根到齿顶进行取值，分为5份，中间取蜗轮得分度圆半径(半径方向上缩进比例取0.05，以分度圆半径为基准，分别由齿顶和齿根两端向分度圆处中心进行缩进)。M为齿面上任意一点，设其所处位置的参数为β_i、r_i、(x_2i,y_2i,z_2i)，由此可得出在x₂oz₂平面内的β_i、r_i、z_2i的关系式，如下：

z_2i＝r_i tanβ_i (27)

网格点M的坐标满足：

其中，R_i为网格点的半径，且满足：

R_i＝A₀-r_i cosβ_i (29)

网格点计算包括计算网格点的三个坐标值及点的法矢的求解。根据蜗轮齿面方程式可知，方程存在三个未知参数u、θ、

故需要三个方程进行联立求解。式(27)和(28)为其中两个方程式，将式(25)中的x₂、y₂、z₂分别带入方程式(27)和(28)中，并联立啮合方程式(24)，由此得到用于计算自变量u、参变量θ和空间啮合运动时阿基米德蜗杆转过的角度

的联立方程组：

其中，r_i为阿基米德蜗轮分度圆半径；β_i为M点对应的在阿基米德蜗轮分度圆上转过的角度；z_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的z坐标；x_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的x坐标；y_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的y坐标；R_i为阿基米德蜗轮分度圆半径；n为阿基米德蜗轮齿面法矢量；v₁₂为阿基米德蜗轮相对于蜗杆的运动速度；

将计算得到的自变量u、参变量θ和空间啮合运动时阿基米德蜗杆转过的角度

的值代入到阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程中，求解得到任意网格点的理论坐标和法向矢量。

本实施例对蜗轮齿面进行实际测量时选用测头为接触式一维测头。如图4所示，由于测头为一个球体，在空间中占有一定的体积，测头球体中心走过的轨迹坐标，而不是齿面被测点处或与测头相接触的点，所以获得的实测数据不能直接与理论数据进行比较，并且在控制测量运动时首先得理论计算处测头中心实际的位置坐标值。计算蜗轮齿面误差前必须先消除测头半径在对数据采集时的影响。为保证测头能准确测量到目标测量点。本论文选用等距面法对测量中的测头半径做补偿计算。球形测头运动到测量曲面上的指定位置时，测头和齿面的接触点即为理论测量点，而测头在齿面上走过轨迹的所有球心位置会构成了一个与被测齿面的等距曲面，且知距离为测头的半径值。在曲面被测点理论坐标及法矢已知情况下，根据图中的位置关系就能计算出理论的测头位置，继而完成对测头半径的补偿，则对测头半径进行补偿的方法如下：

(x₃,y₃,z₃)_理论＝(x'₃,y'₃,z'₃)_理论+r·(η_x,η_y,η_z) (31)

其中，(x₃,y₃,z₃)_理论、(x'₃,y'₃,z'₃)_理论和(η_x,η_y,η_z)分别为蜗轮齿面的同一测量点在测量坐标系内的测头球心理论坐标值、测量点的理论坐标值和单位法矢量；r为测头的半径；

测头进行实际测量时，测头的读取数据(x₁,y₁,z₁)_实际与理论数据(x₁,y₁,z₁)_理论的差值在测量点处法矢量上的投影值就表示了该平面的法向误差值：

其中，n_δ为读取数据(x₁,y₁,z₁)_实际与理论数据(x₁,y₁,z₁)_理论的差值；n为法矢量；δ_法向为法向误差值。

5)利用网格点的理论坐标、法向矢量和测量坐标，计算得到阿基米德蜗轮齿面的加工误差。

计算阿基米德蜗轮齿面的加工误差时，需将蜗轮坐标系和测头坐标系进行变换，其变换方程为：

其中，(R₀,T₀,Z₀)为测头坐标系内的坐标值；(nr₀，nt₀，nz₀)为测头坐标系内的法向矢量；(x₂,y₂,z₂)为蜗轮坐标系内的坐标值；(nx₂，ny₂，nz₂)为蜗轮坐标系内的法向矢量；β为蜗轮坐标系转动的角度，且蜗轮坐标系转动β角度后与测量机坐标系完全重合：

β＝arctan(y_5,3/x_5,3) (35)

其中，y_5,3为蜗轮坐标系中的齿面纵坐标；x_5,3为蜗轮坐标系中的齿面横坐标。

具体的，在CNC齿轮测量中心上测量蜗轮齿面误差时，需要控制测头运动对每一个齿面网格点进行测量。齿轮测量中心的坐标系包含四个坐标轴，R、T、Z和θ，在测量过程中，测头处在T向受力方向，位置在T＝0处；在R和Z方向运动来找到指定理论位置，再由回转工作台转动变化θ来进行测量。所以在测量时，R轴和Z轴构成了极坐标测量的直线轴，θ轴为极坐标测量的旋转轴，故齿轮测量中心的极坐标系为S(O-x,y,z)。应用极坐标法测量齿面时，首先需要把测量坐标系下求解得到的理论齿面被测网格点经过坐标转换到测量机极坐标系下的ZOR平面上，成为一个平面上的网格点。对此的具体操作方法是根据理论网格点的坐标与单位法矢，分别计算每一点与ZOR平面内的夹角，将每一点旋转各自的角度转换到ZOR平面上，对其单位法矢也做同样的操作。设齿面上一被测网格点为P₀，根据以上转化处理可知该点在测量坐标系下的坐标值与法矢分别为(R_0ij,T_0ij,Z_0ij)和(nr_0ij,nt_0ij,nz_0ij)，将其坐标值与法矢一同旋转θ角度，求得测量极坐标系下P₀点的坐标值(R_θij,T_θij,Z_θij)与法矢(n_θij,nt_θij,nz_θij)，其转换关系如下：

在对网格点的坐标及法矢做以上数据转化时，其实是以Z轴为中心的旋转处理，则可知每一个网格点处有Z_θij＝0，则可知：

具体的，本实施例针对蜗轮齿面上的同一网格点，利用齿面方程计算得到的理论坐标值和理论法矢变换到测头坐标系内后分别为(R,T,Z)和(nr,nt,nz)，利用测头测量得到的该网格点的坐标值(R',T',Z')，则齿面测量误差为：

δ＝(R'-R)nr+(T'-T)nt+(Z'-Z)nz-(θ'-θ)R'·nt (38)

其中，(R'-R)nr、(T'-T)nt和(Z'-Z)nz表示R、T和Z三个方向上的误差分量，(θ'-θ)R'·nt表示转动角度在T方向的误差分量；θ为阿基米德蜗轮理想情况下转过的角度；θ'为阿基米德蜗轮实际情况下转过的角度。

本实施例的阿基米德螺旋面蜗轮加工精度检测方法，通过构建阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程，利用蜗轮蜗杆之间的啮合关系，根据蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程构建阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；从而利用点阵测量方法，能够利用蜗轮齿面方程和蜗轮齿面法矢方程分别计算网格点的理论坐标和法向矢量，而后与测头测量得到的网格点处的测量坐标进行比较，从而得到蜗轮的加工误差，即实施例的阿基米德螺旋面蜗轮加工精度检测方法能够测量蜗轮的加工齿轮与理论齿面之间的误差，从而得到蜗轮的加工精度。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。

Claims (10)

1.一种阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：包括如下步骤：

1)根据阿基米德蜗杆的螺旋面端截形和轴截形方程构建阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程；

2)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆之间的啮合关系，以阿基米德蜗杆的齿面方程和齿面法矢方程分别构建阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；

3)根据阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量与法向矢量之间的正交关系，简化阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程；

4)采用点阵式测量方法，在蜗轮齿面上选择若干网格点；利用简化得到的基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程分别计算网格点的理论坐标和法向矢量；利用测头测量得到网格点处的测量坐标；

5)利用网格点的理论坐标、法向矢量和测量坐标，计算得到阿基米德蜗轮齿面的加工误差。

2.根据权利要求1所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：所述步骤1)中，阿基米德蜗杆的螺旋面端截形方程为：

阿基米德蜗杆的螺旋面轴截形方程为：

其中，α为齿形压力角；p为螺旋参数；u为自变量。

3.根据权利要求2所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：构建得到的阿基米德蜗杆的齿面方程为：

构建得到的阿基米德蜗杆的齿面法矢方程为：

其中，θ为参变量，表示端截线绕中心转过的角度值；r_b为基圆的半径；

分别为阿基米德蜗杆的齿面法线

在x₁、y₁、z₁坐标轴上的分量。

4.根据权利要求3所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：所述步骤2)中，构建得到的阿基米德蜗轮的齿面方程为：

构建得到的阿基米德蜗轮的齿面法矢方程为：

其中，

分别为空间啮合运动时阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮对应转过的角度，且

i₁₂为阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮之间的传动比；

分别为阿基米德蜗轮的齿面法线

在x₂、y₂、z₂坐标轴上的分量；A₀为阿基米德蜗杆和阿基米德蜗轮啮合时的中心距；M₂₁为蜗轮固联坐标系S₂与蜗杆固联坐标系S₁的之间的转换矩阵；且：

M₂₁＝M_2p·M_p0·M₀₁

其中，M₀₁蜗杆固联坐标系S₁与动坐标系S之间的转换矩阵；M_p0为固定坐标系S与蜗轮固联的动坐标系S_p之间的转换矩阵；M_2p为与蜗轮固联的动坐标系S₂与动坐标系S_p之间的转换矩阵。

5.根据权利要求4所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：所述步骤3)中，阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量v₁₂为：

v₁₂＝v_12xi+v_12yj+v_12zk

其中：ω₁为阿基米德蜗杆绕其轴线的角速度；

由于阿基米德蜗轮和阿基米德蜗杆在任意接触点的相对运动速度矢量与法向矢量之间的正交关系，则有：

。

6.根据权利要求5所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：简化得到的阿基米德蜗轮的齿面方程为：

x₁＝ucosαcosθcos(usinα/p)-ucosαsinθsin(usinα/p)

y₁＝ucosαsinθsin(usinα/p)+ucosαcosθsin(usinα/p)

z₁＝pθ

简化得到的阿基米德蜗轮的齿面法矢方程为：

。

7.根据权利要求6所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：所述步骤4)中，设齿面上的任意网格点M所处位置的参数为β_i、r_i、(x_2i,y_2i,z_2i)，由此可得出在x₂oz₂平面内的β_i、r_i、z_2i的关系式，如下：

z_2i＝r_i tanβ_i

网格点M的坐标满足：

其中，R_i为网格点的半径，且满足：

R_i＝A₀-r_i cosβ_i

由此得到用于计算自变量u、参变量θ和空间啮合运动时阿基米德蜗杆转过的角度

的联立方程组：

其中，r_i为阿基米德蜗轮分度圆半径；β_i为M点对应的在阿基米德蜗轮分度圆上转过的角度；z_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的z坐标；x_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的x坐标；y_2i为M点在阿基米德蜗轮分度圆上的y坐标；R_i为阿基米德蜗轮分度圆半径；n为阿基米德蜗轮齿面法矢量；v₁₂为阿基米德蜗轮相对于蜗杆的运动速度；

将计算得到的自变量u、参变量θ和空间啮合运动时阿基米德蜗杆转过的角度

的值代入到阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程中，求解得到任意网格点的理论坐标和法向矢量。

8.根据权利要求1所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：所述步骤4)中，由于测头为球体，测头测得的坐标值为测头球心的坐标值，则对测头半径进行补偿的方法为：

(x₃,y₃,z₃)_理论＝(x'₃,y'₃,z'₃)_理论+r·(η_x,η_y,η_z)

其中，(x₃,y₃,z₃)_理论、(x'₃,y'₃,z'₃)_理论和(η_x,η_y,η_z)分别为蜗轮齿面的同一测量点在测量坐标系内的测头球心理论坐标值、测量点的理论坐标值和单位法矢量；r为测头的半径。

9.根据权利要求1所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：所述步骤5)中，计算阿基米德蜗轮齿面的加工误差时，需将蜗轮坐标系和测头坐标系进行变换，其变换方程为：

其中，(R₀,T₀,Z₀)为测头坐标系内的坐标值；(nr₀，nt₀，nz₀)为测头坐标系内的法向矢量；(x₂,y₂,z₂)为蜗轮坐标系内的坐标值；(nx₂，ny₂，nz₂)为蜗轮坐标系内的法向矢量；β为蜗轮坐标系转动的角度，且蜗轮坐标系转动β角度后与测量机坐标系完全重合：

β＝arctan(y_5,3/x_5,3)

其中，y_5,3为蜗轮坐标系中的齿面纵坐标；x_5,3为蜗轮坐标系中的齿面横坐标。

10.根据权利要求9所述的阿基米德螺旋面蜗轮滚剃加工精度检测方法，其特征在于：针对阿基米德蜗轮齿面上的同一网格点，设利用阿基米德蜗轮的齿面方程和齿面法矢方程计算得到的理论坐标值和理论法矢变换到测头坐标系内后分别为(R,T,Z)和(nr,nt,nz)，利用测头测量得到的该网格点的坐标值(R',T',Z')，则齿面测量误差为：

δ＝(R'-R)nr+(T'-T)nt+(Z'-Z)nz-(θ'-θ)R'·nt

其中，(R'-R)nr、(T'-T)nt和(Z'-Z)nz表示R、T和Z三个方向上的误差分量，(θ'-θ)R'·nt表示转动角度在T方向的误差分量；θ为阿基米德蜗轮理想情况下转过的角度；θ'为阿基米德蜗轮实际情况下转过的角度。

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