CN110645933A - 一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及齿轮测量技术领域，尤其是一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，具体步骤如下：并将直齿圆锥齿轮安装到三维坐标测量仪器上，此时的直齿圆锥齿轮处于任意的安放状态，需要用坐标测量法测量确定齿轮轴或者齿轮轴孔轴的位置及方向；S2、待S1完成后，从直齿圆锥齿轮的安装基准面开始，确定齿轮的分度圆锥顶点位置，若设三维坐标测量仪的坐标系为O‑X_tY_tZ_t；S3、将齿轮沿该轴回转角度设为Φ，并在该坐标值中含有压力角的各种参数值和Φ值的信息，求出这些参数的误差值和Φ值，从而确定与该坐标值非常吻合的理论齿面。本发明能够得到要求的标准直齿圆锥齿轮，能够实现直齿圆锥齿轮的互换性。

Description

一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法

技术领域

本发明涉及齿轮测量技术领域，尤其涉及一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法。

背景技术

直齿圆锥齿轮加工时，由于存在齿轮刀具误差和加工误差，若误差较大可能出现不标准齿轮轮廓形状的现象，为了得到准确的齿形，往往要经过多次的试切削。在利用电加工方法制造铸造模具，利用精密铸造的方法生产直齿圆锥齿轮时，加工的直齿圆锥齿轮除了电极制作误差外，还存在由于弹性变形和热处理变形等原因产生的加工误差。为此，我们提出了一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术中存在的缺点，而提出的一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法。

为了实现上述目的，本发明采用了如下技术方案：

设计一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，具体步骤如下：

S1、选取直齿圆锥齿轮，并将直齿圆锥齿轮安装到三维坐标测量仪器上，此时的直齿圆锥齿轮处于任意的安放状态，需要用坐标测量法测量确定齿轮轴或者齿轮轴孔轴的位置及方向；

S2、待S1完成后，从直齿圆锥齿轮的安装基准面开始，确定齿轮的分度圆锥顶点位置，若设三维坐标测量仪的坐标系为O-X_tY_tZ_t，则齿轮轴的位置、方向、分度圆锥顶点位置即为已知；

S3、将齿轮沿该轴回转角度设为Φ，并将Φ加入到需要测量的参数内，其次，任意选择直齿圆锥齿轮一个齿面，在这个齿面上用球形测头多点测量，得到球形测头中心坐标值，并在该坐标值中含有压力角的各种参数值和Φ值的信息，用最小二乘法对该组坐标值进行分析，求出这些参数的误差值和Φ值，从而确定与该坐标值非常吻合的理论齿面；

S4、由于各种误差参数误差值的量值很小，且各种误差相互独立，互不影响，并成线性分布，在确定与坐标测量值相吻合的理论齿面时，将n个参数 C₁,C₂…C_n分别与Φ组合，即C₁和Φ₁，C₂和Φ₂，C_n和Φ_n求解，从而避免建立 C₁,C₂…C_n,Φ大型联立方程组求解的麻烦，在(C_i,Φ_i；i＝1,2,…,n)各组值中找出与坐标测量值组吻合最好的那一组(C_j,Φ_j)作为分析的依据，用符合精度进行一致的评价，然后利用这一组值(C_j,Φ_j)，确定与测定组值非常吻合的理论齿面，并求出其它误差参数的误差值，当各种误差参数误差值在合理范围内，或者量值与符合精度相当时，即完成对误差参数的分析。

优选的，在S1中用三维坐标测量仪测量直齿圆锥齿轮时，要先对直齿圆锥齿轮的背锥齿面进行数学表示,具体表达形式如下：

取O'-ζη坐标系，与η成γ₁和γ₂交角的两条直线为和

它们形成折线其次，直线

与原点交于O'点，从O'点开始，在η轴上取一点D，使O' 点和D点之间的距离为L_m(规定长度L_m＝25.4mm)，直线亦通过D点，以此为约束条件，移动折线

与折线

固定的点P的轨迹圆弧曲率半径最大时，

上的点P的位置为切削刀具的位置，这时P处于切削基准点的坐标为 (R_m,V_m)，O-xy为设定在平顶齿轮上的坐标系，回转轴通过原点O，与纸面垂直，x轴与ζ轴相同，y轴与η轴平行，通常也可以用V和H表示，V_m为旋转轴到O'点的距离(规定长度V_m＝0)，R_m,R_c为平均锥距，是直齿圆锥齿轮的背锥顶点距离，给出相应的设计值。

优选的，点P(V_m,R_m)的运动轨迹方程为：

点P(V_m,R_m)运动轨迹的曲率半径ρ值为：

直齿圆锥齿轮的背锥的锥距是在dζ/dη＝0时，η的值，用R_c表示，则

一般情况下，ρ,R_m,R_c作为设计值能够给出，根据式(2)、(3)能够求出γ₁和γ₂，

另外，当L_mV_m(r₁+r₂)时，用O'-ζη表示的式(1)改为用O-xy表示为：

x(y)＝[(y-R_c)²-(R_m-R_c)²]/2ρ (5)

式(5)是用从分度圆锥的顶点O(回转轴)开始的距离y表示直齿圆锥齿轮的背锥量值x。

优选的，齿面的对分度圆锥角为δ₀、根锥角为θ_f的直齿圆锥齿轮加工时，一般使用顶锥角为90°、分度圆锥角为(90°-θ_f)的标准伞形平顶齿轮加工刀具，范成比cosθ_f/sinδ₀；

在O-xyz坐标系中，设α为表示齿面的压力角(设计值)，Δ表示齿向偏移量 (齿向误差)，x(u)是一个微小量，若设u,v为表示齿面的参数，则

设齿轮坐标系为O-XYZ，平顶齿轮的齿轮轴围绕z轴以角速度φ连续回转，被切削齿轮的齿轮轴(安装角度为θ_γ)以角速度

回转切削齿面，平顶齿轮的回转角为φ的瞬间,齿面X和该齿面的单位法线向量n用坐标系表示为 X(u,v；φ),N(u,φ)；

若设齿刃面上的点与X(u,v(u,φ)；φ)的相对速度为W(u,v；φ)，则被切削齿轮齿面的形成条件为：

NW＝0 (7)

利用式(7)可以求出v＝v(u；φ)，把v＝v(u；φ)代入N,W的表达式中能够求出被切削齿轮齿面X(u,v(u；φ)；φ)和法线N(u；φ)，将这个X(u；φ)和N(u；φ)用沿Z轴回转φcosθ_f/sinθ₀的被切削齿轮坐标系O-xyz表示，取为x(u；φ)和n(u；φ)，考虑到平顶齿轮的回转角φ是连续变化的，为便于区分，被切削齿轮齿面改为用x_g(u,φ)和 n_g(u,φ)表达；

Φ为三坐标测量仪坐标系相对齿轮坐标系的测量转角，Φ₀为初始相对转角，需要通过测量得出，若直齿圆锥齿轮背锥误差为ε，则在O_t-X_tY_tZ_t坐标系中，直齿圆锥齿轮齿面和法线向量X_t,N_t可表达式为：

X_t＝C(Φ)x_g(u,φ)+(0,0,ε)^T

N_t＝C(Φ)n_g(u,φ)

优选的，直齿圆锥齿轮的齿厚用齿厚(游标)卡尺测量齿顶圆锥正面(横断面),建立在三坐标测量仪的坐标系O_t-X_tY_tZ_t上，表示任意齿的左齿轮齿面和其法线的表达式，如式(8)所示，这个齿面的右侧也可以用同样的式子来表示，即X_t′(u′,φ′；Φ′)和N_t′(u′,φ′；Φ′)，用半径为r₀的球形测头在两个齿面的任意一点进行多点测量，得到球形测头中心的坐标M,M′，如式(9)所示，根据该式可以求出Φ,Φ′和u,φ，u′,φ′，

M＝X_t(u,φ；Φ)+r₀N_t(u,φ；Φ)

M′＝X_t′(u′,φ′；Φ′)+r₀N_t′(u′,φ′；Φ′) (9)

将式(9)通过圆柱坐标变换后，根据最小二乘法，可以求出直齿圆锥齿轮的端面压力角α，α与其理论计算值的差就是压力角误差Δα；

因大端分度圆的半径R₀是已知的，如式(10)所示，Φ₀也是已知的，X_t的各分量x,y,z也是关于u,φ的函数，可以求解式(10)得到，先求出表示背锥面上的齿形线和分度圆锥交点的向量u,φ，u′,φ′，利用公式(11)求出圆锥齿轮大端弦齿厚度S，

R₀cotδ₀＝z₀(u,φ) (10)

S＝|X_t(u,φ；Φ)-N'_t(u,φ；Φ')| (11)。

本发明提出的一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，有益效果在于：该直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法利用三坐标测量仪测量了用标准伞形平顶齿轮刀具加工的直齿圆锥齿轮，测量的参数包括刀具安装角、齿向偏移量、背锥锥距和弦齿厚度等。若用其测量结果和设计值相比较，对其误差值进行各种修正，再进行切削加工，就可能得到要求的标准直齿圆锥齿轮，能够实现直齿圆锥齿轮的互换性。

具体实施方式

下面将结合本发明的实施例，并对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。

本发明提出了一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，具体步骤如下：

S1、选取直齿圆锥齿轮，并将直齿圆锥齿轮安装到三维坐标测量仪器上，此时的直齿圆锥齿轮处于任意的安放状态，需要用坐标测量法测量确定齿轮轴或者齿轮轴孔轴的位置及方向；

S2、待S1完成后，从直齿圆锥齿轮的安装基准面开始，确定齿轮的分度圆锥顶点位置，若设三维坐标测量仪的坐标系为O-X_tY_tZ_t，则齿轮轴的位置、方向、分度圆锥顶点位置即为已知；

S3、将齿轮沿该轴回转角度设为Φ，并将Φ加入到需要测量的参数内，其次，任意选择直齿圆锥齿轮一个齿面，在这个齿面上用球形测头多点测量，得到球形测头中心坐标值，并在该坐标值中含有压力角的各种参数值和Φ值的信息，用最小二乘法对该组坐标值进行分析，求出这些参数的误差值和Φ值，从而确定与该坐标值非常吻合的理论齿面；

S4、由于各种误差参数误差值的量值很小，且各种误差相互独立，互不影响，并成线性分布，在确定与坐标测量值相吻合的理论齿面时，将n个参数 C₁,C₂…C_n分别与Φ组合，即C₁和Φ₁，C₂和Φ₂，C_n和Φ_n求解，从而避免建立 C₁,C₂…C_n,Φ大型联立方程组求解的麻烦，在(C_i,Φ_i；i＝1,2,…,n)各组值中找出与坐标测量值组吻合最好的那一组(C_j,Φ_j)作为分析的依据，用符合精度进行一致的评价，然后利用这一组值(C_j,Φ_j)，确定与测定组值非常吻合的理论齿面，并求出其它误差参数的误差值，当各种误差参数误差值在合理范围内，或者量值与符合精度相当时，即完成对误差参数的分析。

在S1中用三维坐标测量仪测量直齿圆锥齿轮时，要先对直齿圆锥齿轮的背锥齿面进行数学表示,具体表达形式如下：

取O'-ζη坐标系，与η成γ₁和γ₂交角的两条直线为

和

它们形成折线

其次，直线与原点交于O'点，从O'点开始，在η轴上取一点D，使O' 点和D点之间的距离为L_m(规定长度L_m＝25.4mm)，直线

亦通过D点，以此为约束条件，移动折线与折线

固定的点P的轨迹圆弧曲率半径最大时，

上的点P的位置为切削刀具的位置，这时P处于切削基准点的坐标为 (R_m,V_m)，O-xy为设定在平顶齿轮上的坐标系，回转轴通过原点O，与纸面垂直，x轴与ζ轴相同，y轴与η轴平行，通常也可以用V和H表示，V_m为旋转轴到O'点的距离(规定长度V_m＝0)，R_m,R_c为平均锥距，是直齿圆锥齿轮的背锥顶点距离，给出相应的设计值。

点P(V_m,R_m)的运动轨迹方程为：

点P(V_m,R_m)运动轨迹的曲率半径ρ值为：

直齿圆锥齿轮的背锥的锥距是在dζ/dη＝0时，η的值，用R_c表示，则

一般情况下，ρ,R_m,R_c作为设计值能够给出，根据式(2)、(3)能够求出γ₁和γ₂，

另外，当L_mV_m(r₁+r₂)时，用O'-ζη表示的式(1)改为用O-xy表示为：

x(y)＝[(y-R_c)²-(R_m-R_c)²]/2ρ (5)

式(5)是用从分度圆锥的顶点O(回转轴)开始的距离y表示直齿圆锥齿轮的背锥量值x。

齿面的对分度圆锥角为δ₀、根锥角为θ_f的直齿圆锥齿轮加工时，一般使用顶锥角为90°、分度圆锥角为(90°-θ_f)的标准伞形平顶齿轮加工刀具，范成比cosθ_f/sinδ₀；

在O-xyz坐标系中，设α为表示齿面的压力角(设计值)，Δ表示齿向偏移量 (齿向误差)，x(u)是一个微小量，若设u,v为表示齿面的参数，则

设齿轮坐标系为O-XYZ，平顶齿轮的齿轮轴围绕z轴以角速度φ连续回转，被切削齿轮的齿轮轴(安装角度为θ_γ)以角速度

回转切削齿面，平顶齿轮的回转角为φ的瞬间,齿面X和该齿面的单位法线向量n用坐标系表示为 X(u,v；φ),N(u,φ)；

若设齿刃面上的点与X(u,v(u,φ)；φ)的相对速度为W(u,v；φ)，则被切削齿轮齿面的形成条件为：

NW＝0 (7)

利用式(7)可以求出v＝v(u；φ)，把v＝v(u；φ)代入N,W的表达式中能够求出被切削齿轮齿面X(u,v(u；φ)；φ)和法线N(u；φ)，将这个X(u；φ)和N(u；φ)用沿Z轴回转φcosθ_f/sinθ₀的被切削齿轮坐标系O-xyz表示，取为x(u；φ)和n(u；φ)，考虑到平顶齿轮的回转角φ是连续变化的，为便于区分，被切削齿轮齿面改为用x_g(u,φ)和 n_g(u,φ)表达；

Φ为三坐标测量仪坐标系相对齿轮坐标系的测量转角，Φ₀为初始相对转角，需要通过测量得出，若直齿圆锥齿轮背锥误差为ε，则在O_t-X_tY_tZ_t坐标系中，直齿圆锥齿轮齿面和法线向量X_t,N_t可表达式为：

X_t＝C(Φ)x_g(u,φ)+(0,0,ε)^T

N_t＝C(Φ)n_g(u,φ)

直齿圆锥齿轮的齿厚用齿厚(游标)卡尺测量齿顶圆锥正面(横断面),建立在三坐标测量仪的坐标系O_t-X_tY_tZ_t上，表示任意齿的左齿轮齿面和其法线的表达式，如式(8)所示，这个齿面的右侧也可以用同样的式子来表示，即X_t′(u′,φ′；Φ′) 和N_t′(u′,φ′；Φ′)，用半径为r₀的球形测头在两个齿面的任意一点进行多点测量，得到球形测头中心的坐标M,M′，如式(9)所示，根据该式可以求出Φ,Φ′和u,φ，u′,φ′，

M＝X_t(u,φ；Φ)+r₀N_t(u,φ；Φ)

M′＝X_t′(u′,φ′；Φ′)+r₀N_t′(u′,φ′；Φ′) (9)

将式(9)通过圆柱坐标变换后，根据最小二乘法，可以求出直齿圆锥齿轮的端面压力角α，α与其理论计算值的差就是压力角误差Δα；

因大端分度圆的半径R₀是已知的，如式(10)所示，Φ₀也是已知的，X_t的各分量x,y,z也是关于u,φ的函数，可以求解式(10)得到，先求出表示背锥面上的齿形线和分度圆锥交点的向量u,φ，u′,φ′，利用公式(11)求出圆锥齿轮大端弦齿厚度S，

R₀cotδ₀＝z₀(u,φ) (10)

S＝|X_t(u,φ；Φ)-N'_t(u,φ；Φ')| (11)。

实验测量的直齿圆锥齿轮参数如表1所示，其中模数m＝5mm,端面压力角α＝20°，齿顶高系数h_a＝1，齿根高系数h_f＝0.25，球形测头的半径r₀＝0.997mm。

表1圆锥齿轮参数

测量与分析计算结果如表2所示，表中的Δt是符合精度，用于表示坐标测量值的离散程度，即坐标值与被推定的理论齿面的吻合程度。

表2圆锥齿轮参数误差测量计算结果

大小齿轮的齿面压力角和刀具安装角的符合精度Δt相等并且很小。这是因为α和θ_r的误差相差不多，对齿面影响相同的缘故。对于大齿轮右齿面，α的误差是θ_r误差的两倍(Δα/Δθ_r＝58′/29′＝2)。同样，对于左齿面也应该成立 (Δα/Δθ_r＝72′/37′＝1.95)。对于小齿轮，右齿面是4.8倍，左面是4.5倍，也几乎相同。由此也可以知道，α和θ_r不是相互独立的。此外，因为大小锥齿轮都采用相同的刀具安装角度θ_r进行切削，当然其误差量也就相同了。测量结果也证明了这一点，可以说正确地得出了θ_r的值。如果从刀具方面考虑，因为加工大小锥齿轮的工具压力角α、齿向偏移量Δ没有改变，因此大小锥齿轮的压力角α误差以及齿向偏移量Δ当然是相同的，因此会得到没有误差的测量结果。

小齿轮的背锥锥距Rm和背锥曲率半径ρ不能用最小二乘法计算，原因是在锥齿轮背锥的变化量仅仅是10um，而ρ是3200mm，两者相差很大。正确地计算该值是困难的，这里是通过人机对话的方式求得的计算结果。

该直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法利用三坐标测量仪测量了用标准伞形平顶齿轮刀具加工的直齿圆锥齿轮，测量的参数包括刀具安装角、齿向偏移量、背锥锥距和弦齿厚度等。若用其测量结果和设计值相比较，对其误差值进行各种修正，再进行切削加工，就可能得到要求的标准直齿圆锥齿轮，能够实现直齿圆锥齿轮的互换性。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，其特征在于，具体步骤如下：

S1、选取直齿圆锥齿轮，并将直齿圆锥齿轮安装到三维坐标测量仪器上，此时的直齿圆锥齿轮处于任意的安放状态，需要用坐标测量法测量确定齿轮轴或者齿轮轴孔轴的位置及方向；

S2、待S1完成后，从直齿圆锥齿轮的安装基准面开始，确定齿轮的分度圆锥顶点位置，若设三维坐标测量仪的坐标系为O-X_tY_tZ_t，则齿轮轴的位置、方向、分度圆锥顶点位置即为已知；

S3、将齿轮沿该轴回转角度设为Φ，并将Φ加入到需要测量的参数内，其次，任意选择直齿圆锥齿轮一个齿面，在这个齿面上用球形测头多点测量，得到球形测头中心坐标值，并在该坐标值中含有压力角的各种参数值和Φ值的信息，用最小二乘法对该组坐标值进行分析，求出这些参数的误差值和Φ值，从而确定与该坐标值非常吻合的理论齿面；

S4、由于各种误差参数误差值的量值很小，且各种误差相互独立，互不影响，并成线性分布，在确定与坐标测量值相吻合的理论齿面时，将n个参数C₁,C₂…C_n分别与Φ组合，即C₁和Φ₁，C₂和Φ₂，C_n和Φ_n求解，从而避免建立C₁,C₂…C_n,Φ大型联立方程组求解的麻烦，在(C_i,Φ_i；i＝1,2,…,n)各组值中找出与坐标测量值组吻合最好的那一组(C_j,Φ_j)作为分析的依据，用符合精度进行一致的评价，然后利用这一组值(C_j,Φ_j)，确定与测定组值非常吻合的理论齿面，并求出其它误差参数的误差值，当各种误差参数误差值在合理范围内，或者量值与符合精度相当时，即完成对误差参数的分析。

2.根据权利要求1所述的一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，其特征在于，在S1中用三维坐标测量仪测量直齿圆锥齿轮时，要先对直齿圆锥齿轮的背锥齿面进行数学表示,具体表达形式如下：

取O'-ζη坐标系，与η成γ₁和γ₂交角的两条直线为

和

它们形成折线ABC，其次，直线

与原点交于O'点，从O'点开始，在η轴上取一点D，使O'点和D点之间的距离为L_m(规定长度L_m＝25.4mm)，直线

亦通过D点，以此为约束条件，移动折线ABC，与折线ABC固定的点P的轨迹圆弧曲率半径最大时，ABC上的点P的位置为切削刀具的位置，这时P处于切削基准点的坐标为(R_m,V_m)，O-xy为设定在平顶齿轮上的坐标系，回转轴通过原点O，与纸面垂直，x轴与ζ轴相同，y轴与η轴平行，通常也可以用V和H表示，V_m为旋转轴到O'点的距离(规定长度V_m＝0)，R_m,R_c为平均锥距，是直齿圆锥齿轮的背锥顶点距离，给出相应的设计值。

3.根据权利要求2所述的一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，其特征在于，点P(V_m,R_m)的运动轨迹方程为：

点P(V_m,R_m)运动轨迹的曲率半径ρ值为：

直齿圆锥齿轮的背锥的锥距是在dζ/dη＝0时，η的值，用R_c表示，则

一般情况下，ρ,R_m,R_c作为设计值能够给出，根据式(2)、(3)能够求出γ₁和γ₂，

另外，当L_mV_m(r₁+r₂)时，用O'-ζη表示的式(1)改为用O-xy表示为：

x(y)＝[(y-R_c)²-(R_m-R_c)²]/2ρ (5)

式(5)是用从分度圆锥的顶点O(回转轴)开始的距离y表示直齿圆锥齿轮的背锥量值x。

4.根据权利要求3所述的一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，其特征在于，齿面的对分度圆锥角为δ₀、根锥角为θ_f的直齿圆锥齿轮加工时，一般使用顶锥角为90°、分度圆锥角为(90°-θ_f)的标准伞形平顶齿轮加工刀具，范成比cosθ_f/sinδ₀；

在O-xyz坐标系中，设α为表示齿面的压力角(设计值)，Δ表示齿向偏移量(齿向误差)，x(u)是一个微小量，若设u,v为表示齿面的参数，则

设齿轮坐标系为O-XYZ，平顶齿轮的齿轮轴围绕z轴以角速度φ连续回转，被切削齿轮的齿轮轴(安装角度为θ_γ)以角速度

回转切削齿面，平顶齿轮的回转角为φ的瞬间,齿面X和该齿面的单位法线向量n用坐标系表示为X(u,v；φ),N(u,φ)；

若设齿刃面上的点与X(u,v(u,φ)；φ)的相对速度为W(u,v；φ)，则被切削齿轮齿面的形成条件为：

NW＝0 (7)

利用式(7)可以求出v＝v(u；φ)，把v＝v(u；φ)代入N,W的表达式中能够求出被切削齿轮齿面X(u,v(u；φ)；φ)和法线N(u；φ)，将这个X(u；φ)和N(u；φ)用沿Z轴回转φcosθ_f/sinθ₀的被切削齿轮坐标系O-xyz表示，取为x(u；φ)和n(u；φ)，考虑到平顶齿轮的回转角φ是连续变化的，为便于区分，被切削齿轮齿面改为用x_g(u,φ)和n_g(u,φ)表达；

Φ为三坐标测量仪坐标系相对齿轮坐标系的测量转角，Φ₀为初始相对转角，需要通过测量得出，若直齿圆锥齿轮背锥误差为ε，则在O_t-X_tY_tZ_t坐标系中，直齿圆锥齿轮齿面和法线向量X_t,N_t可表达式为：

X_t＝C(Φ)x_g(u,φ)+(0,0,ε)^T

N_t＝C(Φ)n_g(u,φ)

5.根据权利要求4所述的一种直齿圆锥齿轮齿面参数测量方法，其特征在于，直齿圆锥齿轮的齿厚用齿厚(游标)卡尺测量齿顶圆锥正面(横断面),建立在三坐标测量仪的坐标系O_t-X_tY_tZ_t上，表示任意齿的左齿轮齿面和其法线的表达式，如式(8)所示，这个齿面的右侧也可以用同样的式子来表示，即X_t′(u′,φ′；Φ′)和N_t′(u′,φ′；Φ′)，用半径为r₀的球形测头在两个齿面的任意一点进行多点测量，得到球形测头中心的坐标M,M′，如式(9)所示，根据该式可以求出Φ,Φ′和u,φ，u′,φ′，

M＝X_t(u,φ；Φ)+r₀N_t(u,φ；Φ)

M′＝X_t′(u′,φ′；Φ′)+r₀N_t′(u′,φ′；Φ′) (9)

将式(9)通过圆柱坐标变换后，根据最小二乘法，可以求出直齿圆锥齿轮的端面压力角α，α与其理论计算值的差就是压力角误差Δα；

因大端分度圆的半径R₀是已知的，如式(10)所示，Φ₀也是已知的，X_t的各分量x,y,z也是关于u,φ的函数，可以求解式(10)得到，先求出表示背锥面上的齿形线和分度圆锥交点的向量u,φ，u′,φ′，利用公式(11)求出圆锥齿轮大端弦齿厚度S，

R₀cotδ₀＝z₀(u,φ) (10)

S＝|X_t(u,φ；Φ)-N'_t(u,φ；Φ')| (11)。