CN113111566B - 一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法 - Google Patents

一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法 Download PDF

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Abstract

一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法，通过对平均共振能级间距抽样获得不可分辨共振区的共振峰位置，对共振宽度抽样获得各共振峰处不同反应道的共振宽度，期间通过对评价核数据库中的共振参数插值获得未在评价核数据库给出能量点中的各个共振峰位置处的共振参数；之后，通过多能级布莱特‑维格纳公式和Psi‑Chi多普勒展宽公式，获得不同温度下的连续能量点截面；本发明能显式构造出不可分辨共振区连续能量截面，用以满足现代反应堆高精度的不可分辨共振区自屏截面计算需求。

Description

一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法
技术领域
本发明涉及反应堆物理计算及核数据处理领域，具体涉及一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法。
背景技术
随着高保真反应堆物理计算方法的快速发展，计算模型的精度显著提高，而反应堆物理计算使用的核数据(即堆用核数据)，已成为计算误差的主要来源和精度提高的关键瓶颈。目前针对传统水冷反应堆的特点与需求发展而来的堆用核数据库制作方法已不满足先进反应堆设计对高精度核数据的迫切需求。
而在堆用核数据库制作环节中，不可分辨共振区自屏截面计算由于物理机理复杂是影响堆用核数据精度的关键问题之一
理论上，不可分辨共振区存在实际的共振峰，剧烈波动的共振截面会引起通量的剧烈变化，从而引起共振自屏效应。且不可分辨共振区共振峰极为密集，超出实验设备的分辨率，评价核数据库中仅给出少量能量点附近的平均共振参数及其概率分布函数。而传统方法仅在评价核数据库给出的少量能量网格上计算不同背景截面下的自屏截面，通过对截面线性插值计算其它能量处的自屏截面，这就会忽略核素间共振峰的干涉造成的背景截面的变化，从而对自屏截面造成较大的误差。
新一代的反应堆如快谱反应堆中不可分辨共振区中子数量大，且重核素的不可分辨共振和结构材料的可分辨共振重叠，干涉效应强烈，对不可分辨共振区自屏截面的计算提出了新要求。
因此，针对以上提到的问题，需要发明一种精度更高的、能够满足新一代反应堆物理计算需求的不可辨共振区处理方法。本文就此提出一种显式的不可分辨共振区连续截面构造方法。
发明内容
为了克服上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法，通过直接对平均共振参数和概率分布函数进行抽样，显式地构造出连续能量截面。
为了实现上述目的，本发明采取了以下技术方案：
一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法，包括如下步骤：
步骤1：从评价核数据库中确定不可分辨共振区的能量范围，其中能量下限定义为E0，能量上限定义为Eu，并以E0作为第一个共振位置；
步骤2：利用评价核数据库给出的平均共振峰间距抽样获得下一个共振位置，采用维格纳分布对共振能级间距进行抽样；
抽样获得一个维格纳分布的随机数Rw，Rw和评价核数据库给出的平均共振峰间距
Figure BDA0003016760090000023
的乘积即为下一共振峰的位置，然后用同样的方法抽样产生下一个共振峰，直到能量范围超过不可分辨共振区的能量上限Eu，共振峰位置的表达式为：
Figure BDA0003016760090000021
其中，
Ei——第i个共振峰的位置；
Rw,i——第i个维格纳分布随机数；
Figure BDA0003016760090000022
——评价核数据库给出的平均共振峰间距；
抽样时，由于这些能量点位置在评价核数据库中仅有部分点给出了共振参数数据，故根据评价核数据库给定的插值方式来对没有数据的点插值，以获得所有共振峰位置处的共振参数数据；
步骤3：由步骤2获得共振峰的位置和各位置的共振参数后，根据这些共振参数确定各共振峰位置处不同反应道的共振宽度；
评价核数据库给出了裂变、辐射俘获、弹性散射反应的平均共振峰宽度，并指定其概率分布为卡方分布，且给出了分布的自由度；
通过抽样获得卡方分布的随机数
Figure BDA0003016760090000031
后，通过以下方程获得各反应道的共振宽度：
Figure BDA0003016760090000032
其中，
X——反应道索引号；
ΓX——X反应道的共振宽度；
Figure BDA0003016760090000035
——卡方分布随机数；
k——卡方分布自由度；
Figure BDA0003016760090000033
——X反应道的平均共振宽度；
步骤4：通过步骤2和步骤3分别获得共振峰位置和各共振峰位置处各反应道的共振宽度后，采用多能级布莱特-维格纳公式和Psi-Chi多普勒展宽公式，在各能量点上计算截面，即得到不同温度下的连续能量截面；其中弹性散射截面、裂变截面、俘获截面和势散射截面公式分别如公式(3)、(4)、(5)、(6)所示：
Figure BDA0003016760090000034
Figure BDA0003016760090000041
Figure BDA0003016760090000042
Figure BDA0003016760090000043
其中，
σn——弹性散射截面；
σp——势散射截面；
σf——裂变截面；
σγ——俘获截面；
σmr——峰值截面；
r——共振峰；
l——轨道角动量；
φl——相移因子；
Γnr——r共振峰的弹性散射共振宽度；
Γfr——r共振峰的裂变反应共振宽度；
Γγr——r共振峰的俘获反应共振宽度；
Γr——r共振峰的总共振宽度；
ψ——Psi函数；
χ——Chi函数；
K——中子波数；
式中，Grl和Hrl为表征共振间干涉的因子，其表达式如下：
Figure BDA0003016760090000051
Figure BDA0003016760090000052
θ和d为表征多普勒展宽的参数，其表达式如下：
Figure BDA0003016760090000053
Figure BDA0003016760090000054
其中，
Jr——r共振峰的总角动量；
Er——r共振峰所处能量点；
r'——与r不同的共振峰；
Jr'——r’共振峰的总角动量；
Er'——r’共振峰所处能量点；
Γnr'——r’共振峰的弹性散射共振宽度；
Γr'——r’共振峰的总共振宽度；
kb——波尔茨曼常数；
T——绝对温度；
A——相对中子量；
E——入射中子能量；
E′r——r共振峰的转移共振能量点；
公式(3)、(4)、(5)中的ψ和χ函数在温度非0开尔文下分别由复误差函数W(z)的实部项和虚部项构成，表达式如下：
Figure BDA0003016760090000061
Figure BDA0003016760090000062
其中，
Re[W()]——复误差函数W(z)的实部
Im[W()]——复误差函数W(z)的虚部
复误差函数W(z)的表达式如下：
Figure BDA0003016760090000063
其中，
erfc(ε)——互补误差函数；
α——复数z的实部；
β——复数z的虚部；
由以上步骤，即获得了不同温度下不可分辨共振区的连续能量截面。
与现有技术相比，本发明有如下突出优点：
1.传统方法是在评价核数据库给定的很少的能量点计算出不同背景截面下的自屏截面，再对截面进行插值，当共振干涉导致背景截面变化较大时，插值误差明显；本发明方法则是对评价核数据库中的共振参数进行插值，利用各能量点的共振参数计算不同背景截面下自屏截面，这样就避免了不同核素共振干涉造成截面插值误差大的问题。
2.传统方法一般采用单能级布莱特-维格纳公式进行截面计算，此公式可能会得出负弹性散射截面的不符合物理实际的结果；本发明方法则采用多能级布莱特-维格纳公式消除了这一缺陷。
3.与传统方法如概率表方法相比，概率表是对截面划邦来统计得到各个邦截面和邦概率，是统计量，有离散误差；本发明方法则是显式地构造出不可分辨共振区连续能量截面，这样构造出来的截面可以用于后续各种参数的积分计算，如自屏截面、原子平均离位(DPA)等，结果更加准确，从而一定程度上减少工程上的设计成本，增加了经济性。
总的来说，本发明是一种具有高精度的、可满足现在新型反应堆的设计需求的计算方法。
附图说明
图1为显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法流程图。
具体实施方式
下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
如图1所示，本发明一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法，包括如下步骤：
步骤1：从评价核数据库中确定不可分辨共振区的能量范围，其中能量下限定义为E0，能量上限定义为Eu，并以E0作为第一个共振位置；
步骤2：利用评价核数据库给出的平均共振峰间距抽样获得下一个共振位置，采用维格纳分布对共振能级间距进行抽样。该维格纳分布的累积概率密度分布函数如下公式(1)所示；
Figure BDA0003016760090000071
其中，
x——抽样获得的共振峰间距和评价核数据库给定的平均共振峰间距
Figure BDA0003016760090000072
的比值；
通过公式(1)的逆累积概率密度函数抽样获得一个维格纳分布的随机数Rw，Rw表达式如下：
Figure BDA0003016760090000081
其中，
Rw——维格纳分布随机数；
Ru——均匀分布随机数，由随机数产生器产生；
Rw和评价核数据库给出的平均共振峰间距
Figure BDA0003016760090000082
的乘积即为下一共振峰的位置，然后用同样的方法抽样产生下一个共振峰，直到能量范围超过不可分辨共振区的能量上限Eu，共振峰位置的表达式为：
Figure BDA0003016760090000083
其中，
Ei——第i个共振峰的位置；
Rw,i——第i个维格纳分布随机数；
Figure BDA0003016760090000084
——评价核数据库给出的平均共振峰间距；
抽样时，由于这些能量点位置在评价核数据库中仅有部分点给出了共振参数数据，故根据评价核数据库给定的插值方式来对没有数据的点插值，以获得所有共振峰位置处的共振参数数据；
步骤3：由步骤2获得共振峰的位置和各位置的共振参数后，根据这些共振参数确定各共振峰位置处不同反应道的共振宽度。
评价核数据库给出了裂变、辐射俘获、弹性散射反应的平均共振峰宽度，并指定其概率分布为卡方分布，且给出了分布的自由度。卡方分布的概率密度函数如下：
Figure BDA0003016760090000091
其中，
k——卡方分布的自由度；
m——抽样获得的共振宽度和评价核数据库给定的平均共振宽度的比值；
G——伽马函数(列出表达式)其表达式如下：
Figure BDA0003016760090000092
其中u为自变量，t为积分变量；
通过公式(4)的逆累积密度函数枚举获得卡方分布的随机数后，可以通过以下方程获得各反应道的共振宽度：
Figure BDA0003016760090000093
其中，
X——反应道索引号；
ΓX——X反应道的共振宽度；
Figure BDA0003016760090000095
——卡方分布随机数；
k——卡方分布自由度；
Figure BDA0003016760090000094
——X反应道的平均共振宽度；
步骤4：通过步骤2和步骤3分别获得共振峰位置和各共振峰位置处各反应道的共振宽度后，采用多能级布莱特-维格纳公式和Psi-Chi多普勒展宽公式，在各能量点上计算截面，即可得到不同温度下的连续能量截面。其中弹性散射截面、裂变截面、俘获截面和势散射截面公式分别如公式(7)、(8)、(9)、(10)所示：
Figure BDA0003016760090000101
Figure BDA0003016760090000102
Figure BDA0003016760090000103
Figure BDA0003016760090000104
其中，
σn——弹性散射截面；
σp——势散射截面；
σf——裂变截面；
σγ——俘获截面；
σmr——峰值截面；
r——共振峰；
l——轨道角动量；
φl——相移因子；
Γnr——r共振峰的弹性散射共振宽度；
Γfr——r共振峰的裂变反应共振宽度；
Γγr——r共振峰的俘获反应共振宽度；
Γr——r共振峰的总共振宽度；
ψ——Psi函数；
χ——Chi函数；
K——中子波数；
其中，峰值截面σmr表达式如下：
Figure BDA0003016760090000111
相移因子φl表达式如下：
Figure BDA0003016760090000112
Grl和Hrl为表征共振间干涉的因子，其表达式如下：
Figure BDA0003016760090000113
Figure BDA0003016760090000114
θ和d为表征多普勒展宽的参数，其表达式如下：
Figure BDA0003016760090000115
Figure BDA0003016760090000116
其中，
gJ——统计因子；
K——中子波数；
Figure BDA0003016760090000117
——与通道半径与散射半径有关的参数；
Jr——r共振峰的总角动量；
Er——r共振峰所处能量点；
r'——与r不同的共振峰；
Jr'——r’共振峰的总角动量
Er'——r’共振峰所处能量点；
Γnr'——r’共振峰的弹性散射共振宽度；
Γr'——r’共振峰的总共振宽度；
kb——波尔茨曼常数；
T——绝对温度；
A——相对中子量；
E——入射中子能量；
E′r——r共振峰的转移共振能量点；
其中，统计因子表达式如下：
Figure BDA0003016760090000121
中子波数表达式如下：
Figure BDA0003016760090000122
其中，
J——靶核的总角动量；
I——靶核的自旋；
A——相对中子量；
E——入射中子能量；
公式(7)、(8)、(9)中的ψ和χ函数在温度非0开尔文下分别由复误差函数W(z)的实部项和虚部项构成，表达式如下：
Figure BDA0003016760090000123
Figure BDA0003016760090000124
其中，
Re[W()]——复误差函数W(z)的实部
Im[W()]——复误差函数W(z)的虚部
复误差函数W(z)的表达式如下：
Figure BDA0003016760090000131
其中，
erfc(ε)——互补误差函数；
α——复数z的实部；
β——复数z的虚部；
互补误差函数表达式如下：
Figure BDA0003016760090000132
由以上步骤，即获得了不同温度下不可分辨共振区的连续能量截面。

Claims (1)

1.一种显式的不可分辨共振区连续能量截面构造方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤1：从评价核数据库中确定不可分辨共振区的能量范围，其中能量下限定义为E0，能量上限定义为Eu，并以E0作为第一个共振位置；
步骤2：利用评价核数据库给出的平均共振峰间距抽样获得下一个共振位置，采用维格纳分布对共振能级间距进行抽样；
抽样获得一个维格纳分布的随机数Rw，Rw和评价核数据库给出的平均共振峰间距
Figure FDA0003709939440000011
的乘积即为下一共振峰的位置，然后用同样的方法抽样产生下一个共振峰，直到能量范围超过不可分辨共振区的能量上限Eu，共振峰位置的表达式为：
Figure FDA0003709939440000012
其中，
Ei——第i个共振峰的位置；
Rw,i——第i个维格纳分布随机数；
Figure FDA0003709939440000013
——评价核数据库给出的平均共振峰间距；
抽样时，由于这些能量点位置在评价核数据库中仅有部分点给出了共振参数数据，故根据评价核数据库给定的插值方式来对没有数据的点插值，以获得所有共振峰位置处的共振参数数据；
步骤3：由步骤2获得共振峰的位置和各位置的共振参数后，根据这些共振参数确定各共振峰位置处不同反应道的共振宽度；
评价核数据库给出了裂变、辐射俘获、弹性散射反应的平均共振峰宽度，并指定其概率分布为卡方分布，且给出了分布的自由度；
通过抽样获得卡方分布的随机数
Figure FDA0003709939440000021
后，通过以下方程获得各反应道的共振宽度：
Figure FDA0003709939440000022
其中，
X——反应道索引号；
ΓX——X反应道的共振宽度；
Figure FDA0003709939440000023
——卡方分布随机数；
k——卡方分布自由度；
Figure FDA0003709939440000024
——X反应道的平均共振宽度；
步骤4：通过步骤2和步骤3分别获得共振峰位置和各共振峰位置处各反应道的共振宽度后，采用多能级布莱特-维格纳公式和Psi-Chi多普勒展宽公式，在各能量点上计算截面，即得到不同温度下的连续能量截面；其中弹性散射截面、裂变截面、俘获截面和势散射截面公式分别如公式(3)、(4)、(5)、(6)所示：
Figure FDA0003709939440000025
Figure FDA0003709939440000026
Figure FDA0003709939440000027
Figure FDA0003709939440000028
其中，
σn——弹性散射截面；
σp——势散射截面；
σf——裂变截面；
σγ——俘获截面；
σmr——峰值截面；
r——共振峰；
l——轨道角动量；
φl——相移因子；
Γnr——r共振峰的弹性散射共振宽度；
Γfr——r共振峰的裂变反应共振宽度；
Γγr——r共振峰的俘获反应共振宽度；
Γr——r共振峰的总共振宽度；
ψ——Psi函数；
χ——Chi函数；
K——中子波数；
式中，Grl和Hrl为表征共振间干涉的因子，其表达式如下：
Figure FDA0003709939440000031
Figure FDA0003709939440000032
θ和d为表征多普勒展宽的参数，表达式如下：
Figure FDA0003709939440000033
Figure FDA0003709939440000034
其中，
Jr——r共振峰的总角动量；
Er——r共振峰所处能量点；
r'——与r不同的共振峰；
Jr'——r’共振峰的总角动量；
Er'——r’共振峰所处能量点；
Γnr'——r’共振峰的弹性散射共振宽度；
Γr'——r’共振峰的总共振宽度；
kb——波尔茨曼常数；
T——绝对温度；
A——相对中子量；
E——入射中子能量；
E’r——r共振峰的转移共振能量点；
公式(3)、(4)、(5)中的ψ和χ函数在温度非0开尔文下分别由复误差函数W(z)的实部项和虚部项构成，表达式如下：
Figure FDA0003709939440000041
Figure FDA0003709939440000042
其中，
Re[W()]——复误差函数W(z)的实部
Im[W()]——复误差函数W(z)的虚部
复误差函数W(z)的表达式如下：
Figure FDA0003709939440000043
其中，
erfc(-iz)——互补误差函数；
α——复数z的实部；
β——复数z的虚部；
由以上步骤，即获得了不同温度下不可分辨共振区的连续能量截面。
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