CN106405622A - 一种快速核截面多普勒展宽方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种快速核截面多普勒展宽方法，首先计算0K温度下核素的极点数组，并推导得出核素在温度T下的截面以能量、温度、原子量及0K温度下极点表达的形式；再通过并行计算单元的数量对可分辨共振区域的极点对应能量点进行等分，每个等分区域根据能量E的能级跨度分配线程数，每个线程独立进行多普勒展宽计算生成温度T下的核截面。按极点数组对应的不同能量对其进行排序，得到温度T下展宽后的整个能量区间的截面值；最后根据极点数组对应的能量及截面值与指定容忍误差值，重建温度T下展宽后的能量框架并得到相应核截面。本发明通过提出简化的极点核截面表达形式，与多区域多线程并行计算达到快速准确进行多温度截面计算的效果。

Description

一种快速核截面多普勒展宽方法

技术领域

本发明涉及一种核截面生成方法，属于核物理、核系统设计等领域中核数据库处理方向，具体涉及蒙特卡罗中子输运计算中连续能量中子截面根据温度变化动态调整的方法。

背景技术

核截面数据是中子输运计算的基础，对其计算结果的准确性具有极其重要的影响。另一方面，中子截面的测量主要依赖入射粒子与靶核的相对运动，而在实际计算过程中需要知道入射中子在实验室系中的入射速度。在绝对零度下靶核处于静止状态，此时中子速度等于其相对于靶核的速度。然而在真实环境下，如裂变反应堆的燃料组件的温度范围为600K至1200K，此时由于原子核处于不停的热运动之中，相对速度就与中子速度有一定的偏差，导致本来具有单一能量的中子，与靶核的相对能量有一个展开的范围，在共振截面曲线上使共振峰的宽度展宽而峰值降低，该现象称为“多普勒效应”。

在真实核反应堆中，堆芯中各种介质材料的靶核均存在一定范围内的热运动，因此在中子输运过程中必须考虑温度带来的影响。但由于反应堆中温度分布的不均匀性，对该影响的处理将变得非常复杂。传统的处理方法是在进行输运计算前，使用专门的程序对所涉及的核素截面根据材料温度进行多普勒展宽。在考虑物理-热工耦合问题时，由于核素种类多达上百种，此方法无论是在计算时间上还是存储空间上都存在相当大的局限性。目前国外在核截面处理方面主要采用在线生成方法，即在计算过程中直接应用经处理后的温度相关截面，以减少时间损耗并减少存储空间。

目前的在线展宽方法主要分为：1.基于回归模型的在线展宽，该方法要求存储容量大，精度低且不易更新；2.基于随机抽样的在线展宽，该方法从麦克斯韦玻尔兹曼分布出发抽样出靶核热运动速度、靶核速度和中子速度的夹角的余弦值，重复抽样多次利用精确多普勒展宽公式进而得到有效展宽截面。但对于重核特别是共振区，由于该段截面变化剧烈，需多次反复抽样，大大降低方法效率。

发明内容

本发明的目的在于：既克服传统基于回归模型方法要求存储容量大的不足，又能够避免多次重复抽样，提供一种快速核截面多普勒展宽方法，推导得出以0K核截面的极点表示的温度T下核截面表达式，快速准确进行温度T下核截面的计算，避免了传统的基于能量点计算截面造成的高时耗；采用多区域多线程并行计算进行各极点处的核截面计算，进一步加快截面计算；同时，根据容忍误差值对温度T下的能量-截面框架进行了重建，删除了冗余的能量点，提高输运计算效率。

本发明采用的技术方案如下：一种快速核截面多普勒展宽方法，该方法包括以下步骤：

步骤(1)、基于极点表示的温度T下的核截面多普勒展宽表示方法：

根据用户输入的材料得到欲处理的核素，通过核素的能态、道自旋S、轨道角动量l及磁量子数M得到各核素0K截面在动量域的极点数组p[k]，其中k为极点个数，极点E为粒子能量；并根据麦克斯韦-波尔兹曼分布，温度T下的截面根据核素在温度0K下的截面进行多普勒展宽得到，经过理论推导将多普勒展宽表达式以能量、温度、原子量及0K温度下极点的形式表示；

步骤(2)、基于多区域多线程并行的快速多普勒展宽计算，得到温度T下的核截面：

利用步骤(1)中产生的极点表示的核截面多普勒展宽表达式，计算极点数组p[k]对应的每个能量点处的温度T下核截面，根据并行计算单元的数量对可分辨共振区域的能量点进行等分，每个等分区域根据能量E的能级跨度分配线程数，每个线程独立进行多普勒展宽计算生成温度T下的核截面；

步骤(3)、温度T下的能量-截面框架的重建：

将步骤(2)中得到的各线程的温度T下的核截面结果按照能量大小合并，得到温度T下展宽后的整个能量区间的截面值；根据极点对应的能量点与截面值及指定容忍误差值，重建温度T下能量-截面框架，最终得到温度T下展宽后的能量框架与相应核截面。

其中，所述步骤(1)具体实现过程如下：

步骤(11)、通过核素的能态、道自旋S、轨道角动量l及磁量子数M得到各核素0K截面在动量域的极点值，存入极点数组p[k]，其中k为极点个数，极点E为能量，相应得到极点对应的能量点；

步骤(12)、温度T下的截面根据核素在温度0K下的截面进行多普勒展宽得到，经过理论推导将多普勒展宽表达式以能量、温度、原子量及0K温度下极点的形式表示，并通过极点对应能量的大小，将截面表示形式简化成：

其中x为共振反应截面类型，包含弹性散射、辐射俘获及裂变等截面，l为相对运动轨道角动量，J为总角动量，N为反应道数目，为当前反应道序号，p_l,J,λ,j、为当前截面类型的极点数组及留数，K为波尔兹曼常数，A为核素的原子量，A_k，X_k为高斯-厄米特求积公式的节点及系数，下标k为厄米特多项式系数， W(z)为Faddeeva函数，i为复数虚部标志，j为当前极点序号。

其中，所述步骤(3)具体实现过程如下：

步骤(31)、按极点对应的能量由小到大的顺序将步骤(2)各线程多普勒展宽后得到的截面合并，得到温度T下展宽后的极点对应能量网格，与相应的截面数组；

步骤(32)、移除步骤(31)中得到的能量网格中除首尾能量点外的所有能量点，计算首尾两个能量点的中点能量E_m，由步骤(31)生成的截面数组相邻点插值得到E_m处的截面C_m，同时由首尾两个能量点的截面的均值得到E_m处的C_m'，计算不等式：其中ξ为指定容忍误差值，该指定容忍误差值由用户指定或者程序内置，当不等式成立时，E_m能点将被插入至能量网格中，对应的截面为C_m；

步骤(33)、使用步骤(32)中的方法多线程对由新插入能点分割的两个网格建立能量框架，一旦发现不等式不成立，便缩小范围至下一个极点对应的能量点，该过程将迭代至每段区间仅剩下一个极点对应的能量点，最终重建温度T下的能量-截面框架。

本发明与现有技术相比，具有如下优点：

(1)本发明根据共振理论，给出多普勒展宽截面的基于极点的累加形式，避免了传统的基于误差函数及泰勒展开的多普勒展宽求解方法，达到快速、精确进行多温度截面计算的效果。

(2)本发明采用了多区域多线程并行方式计算多普勒展宽截面，并根据容忍误差值对能量-截面框架进行重建，在保证数据精度的情况下减少了冗余数据，过程操作简单、易用，能够进一步地减少时间消耗，提高计算效率。

附图说明

图1为本发明中快速核截面多普勒展宽方法的实现流程图。

图2为本发明中区域划分实现过程图。

图3为本发明中能量-截面框架重建过程图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式进一步说明本发明。

一种快速核截面多普勒展宽方法，包括如下步骤，如图1所示：

(1)基于极点表示的温度T下的核截面多普勒展宽表示方法：

a)通过核素的能态、道自旋S、轨道角动量l及磁量子数M得到各核素0K截面在动量域的极点值，存入极点数组p[k](k为极点个数，极点p，E为能量)，相应得到极点对应的能量点:

由共振论可知，反应截面可由碰撞过程中任意c道入射(c′道出射)表示成碰撞矩阵U_cc′形式，

其中：g_c为统计自旋因子，δ_cc'为克罗内克函数，A为靶核原子量，ρ_cc'为c道入射至c′道出射的传输概率，φ_c及φ_c'分别为入射及出射的相移。由此Reich-Moore形式中子所有反应截面数N的传输概率可表示为：

其中l为轨道角动量数，p为极点，R为留数，ρ_nn,ρ_nc可在国际通用数据库ENDF文档2共振参数中获得，通过式(2)可计算极点及留数值，N为中子核截面的所有反应道数。

b)核素在温度T下的截面以能量、温度、原子量及0K温度下极点的表示形式：

一旦所有极点及留数获取后，0K温度下核素各反应截面便可表示为：

其中：p_j为极点数组，r_j,x为x反应的留数，l为相对运动轨道角动量，J为总角动量，因此，根据麦克斯韦-波尔兹曼分布，温度为T的展宽截面可以表示为：

其中：k为波尔兹曼常数， 其中由于误差函数erfc的存在，当该式计算量较大时可用契比雪夫多项式拟合得到。当入射能量小于1eV时，式(4)中积分项可用高斯-厄米特求积多项式表示，此时多普勒展宽截面可表示为：

其中A_k，x_k为高斯-厄米特的节点及系数，k为多项式系数，当能量大于1eV时式(4)积分项趋近于0，可忽略不计。此时多普勒展宽截面表示为：

综合(5)，(6)可得到截面简化表示形式：

式(7)中各截面仅和能量、温度、原子量及0K温度下极点有关，可直接利用此式计算温度T下的核截面，i为复数虚部标志，j为当前极点序号。

(2)基于多区域多线程并行计算的快速多普勒展宽计算，得到温度T下的核截面：

将步骤(1)中产生的各核素的极点及极点对应的能量以散列存储的方式存储至内存中；利用步骤(1)中产生的极点表示的核截面表达式，计算极点数组p[k]对应的每个能量点处的温度T下核截面，根据并行计算单元的数量对可分辨共振区域的能量点进行等分，每个等分区域根据能量E的能级跨度分配线程数，每个线程独立进行多普勒展宽计算生成温度T下的核截面。

如图2所示，根据ENDF文档2得到不可分辨共振区间的阈值，根据阈值将可分辨共振区的极点对应的能量大小按顺序划分区域，区域数量为并行计算单元的数量；每个区域块内以多线程的方式计算。区域内线程数量为能级跨度(如某一核素的能量区间为10^-10～150MeV，则区域内线程数量为2-(-10)＝12)。

(3)温度T下的能量-截面框架的重建：

a)按极点对应的能量由小到大的顺序将各线程处理结束的多普勒展宽的截面排序，得到温度T下展宽后的极点对应能量网格，与相应的截面数组；

b)重建温度T下的能量-截面框架：

移除极点对应的能量网格中除首尾能量点外的所有能量点，计算首尾两个能量点的中点能量E_m，将由a)生成的截面数组相邻点插值得到E_m处的截面C_m，同时由首尾两个能量点的截面的均值得到E_m处的C_m'，如图3所示，计算不等式：

其中ξ为指定的容忍误差值，当不等式(8)成立时，能点E_m(图3中的阿拉伯数字)将被插入至能量网格中。在T2和T3中使用同样的方法多线程对由新插入能点分割的两个网格建立能量框架，一旦发现不等式不成立，便缩小范围至下一个极点对应的能量点。该过程将迭代至每段区间仅剩下一个极点(T6)。最终重建温度T下的能量-截面框架。

实施例1

本发明选用某一材料中的典型核素²³⁸U从0K截面多普勒展宽至600K截面作为应用例题。其他材料的核素处理请参照此处理过程。

(1)0K截面对应的极点值的获取：

a)根据ENDF/B-VII.1评价库中文档2及文档3中的内容得到截面及共振参数。

b)根据式2及ENDF/B-VII.1评价库中道自旋S、轨道角动量l及磁量子数M参数计算得到各反应的极点，本例中计算得到11520个极点，并将极点以散列方式存储。

(2)快速多普勒展宽计算得到600K下核截面：

a)取出极点，根据式5和6将多普勒展宽以极点方式表示；

b)根据极点的个数p(11520)，按照CPU处理器核心的个数20将可分辨共振区的极点分为20个区域，每个区域根据能段动态划分线程数(如第1区域，能量为1e-11—1e-8，则划分4个线程)，每个线程处理某一能段的极点，以温度T＝600K对每个线程进行各自的多普勒展宽。

(3)600K温度下的能量-截面框架的重建：

a)按极点对应能量由小到大的顺序将各线程处理结束的多普勒展宽的截面排序，得到极点对应的能量网格；

b)删除当前极点对应的能量网格中所有能点，插入最小极点1对应截面值及最大极点值11520对应的截面值；

c)计算极点0与极点11520的中点能量Em，将由a)生成的截面数组相邻点插值得到Em处的截面C_m，同时由首尾两个能量点的截面的均值得到Em处的截面C_m'，如图3所示，判断不等式(8)是否成立，如成立则插入能量值Em及C_m；否则将该极点从框架中取出，计算其他极点对应截面值。

d)插入E_m后分别在E_m对应能量的左右两侧分别建立线程判断各极点对应截面值是否满足指定误差，如不等式(8)成立依次插入极点对应能量点及截面值；如不成立则将该极点从框架中取出，计算其他极点对应能量及截面。

e)不断重复步骤d)，直到框架中每个区域仅剩一个极点对应的能量。

至此，得到²³⁸U核素的基于0K截面多普勒展宽后的600K温度下的截面。

Claims (3)

1.一种快速核截面多普勒展宽方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤(1)、基于极点表示的温度T下的核截面多普勒展宽表示方法：

根据用户输入的材料得到欲处理的核素，通过核素的能态、道自旋S、轨道角动量l及磁量子数M得到各核素0K截面在动量域的极点数组p[k]，k为极点个数，极点E为粒子能量；并根据麦克斯韦-波尔兹曼分布，温度T下的截面根据核素在温度0K下的截面进行多普勒展宽得到，经过理论推导将多普勒展宽表达式以能量、温度、原子量及0K温度下极点的形式表示；

步骤(2)、基于多区域多线程并行的快速多普勒展宽计算，得到温度T下的核截面：

利用步骤(1)中产生的极点表示的核截面多普勒展宽表达式，计算极点数组p[k]对应的每个能量点处的温度T下核截面，根据并行计算单元的数量对可分辨共振区域的能量点进行等分，每个等分区域根据能量E的能级跨度分配线程数，每个线程独立进行多普勒展宽计算生成温度T下的核截面；

步骤(3)、温度T下的能量-截面框架的重建：

将步骤(2)中得到的各线程的温度T下的核截面结果按照能量大小合并，得到温度T下展宽后的整个能量区间的截面值；根据极点对应的能量点与截面值及指定容忍误差值，重建温度T下能量-截面框架，最终得到温度T下展宽后的能量框架与相应核截面。

2.根据权利要求1所述的一种快速核截面多普勒展宽方法，其特征在于：所述步骤(1)具体实现过程如下：

步骤(11)、通过核素的能态、道自旋S、轨道角动量l及磁量子数M得到各核素0K截面在动量域的极点值，存入极点数组p[k]，k为极点个数，极点E为能量，相应得到极点对应的能量点；

步骤(12)、温度T下的截面根据核素在温度0K下的截面进行多普勒展宽得到，经过理论推导将多普勒展宽表达式以能量、温度、原子量及0K温度下极点的形式表示，并通过极点对应能量的大小，将截面σ_x(E,T)表示形式简化成：

${\mathrm{\σ}}_x(E,T)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2E\sqrt{\mathrm{\ξ}}}\underset{l,J}{\Σ}\underset{\mathrm{\λ}=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{j}{\overset{2(l+1)}{\Σ}}\mathrm{Re}\[{\mathrm{iR}}_{l,J,\mathrm{\λ},j}^x\sqrt{\mathrm{\π}}W\left(z_0\right)-\frac{R_{l,J,\mathrm{\λ},j}^x}{\sqrt{\mathrm{\π}}}\·2p_{l,J,\mathrm{\λ},j}\·A_k\·f\left(X_k\right)\],& E\≤1eV\\ \frac{1}{2E\sqrt{\mathrm{\ξ}}}\underset{l,J}{\Σ}\underset{\mathrm{\λ}=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{j}{\overset{2(l+1)}{\Σ}}\mathrm{Re}\[{\mathrm{iR}}_{l,J,\mathrm{\λ},j}^x\sqrt{\mathrm{\π}}W\left(z_0\right)\],& E>1eV\end{array}\right.,$ 其中x为共振反应截面类型，包含弹性散射、辐射俘获及裂变等截面，l为相对运动轨道角动量，J为总角动量，N为总反应道数目，为当前反应道序号，p_l,J,λ,j、为当前截面类型的极点数组及留数，K为波尔兹曼常数，A为核素的原子量，A_k，X_k为高斯-厄米特求积公式的节点及系数，下标k为厄米特多项式系数， W(z)为Faddeeva函数，i为复数虚部标志，j为当前极点序号。

3.根据权利要求1所述的一种快速核截面多普勒展宽方法，其特征在于：所述步骤(3)具体实现过程如下：

步骤(31)、按极点对应的能量由小到大的顺序将步骤(2)各线程多普勒展宽后得到的截面合并，得到温度T下展宽后的极点对应能量网格，与相应的截面数组；

步骤(32)、移除步骤(31)中得到的能量网格中除首尾能量点外的所有能量点，计算首尾两个能量点的中点能量E_m，由步骤(31)生成的截面数组相邻点插值得到E_m处的截面C_m，同时由首尾两个能量点的截面的均值得到E_m处的C_m'，计算不等式：其中ξ为指定容忍误差值，由用户指定或者程序内置，当不等式成立时，E_m能点将被插入至能量网格中，对应的截面为C_m；

步骤(33)、使用步骤(32)中的方法多线程对由新插入能点分割的两个网格建立能量框架，一旦发现不等式不成立，便缩小范围至下一个极点对应的能量点，该过程将迭代至每段区间仅剩下一个极点对应的能量点，最终重建温度T下的能量-截面框架。