CN112989520A - 一种蜗轮母机关键误差项辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种蜗轮母机关键误差项辨识方法，包括如下步骤：步骤一：分析蜗轮母机各运动轴的几何误差，基于蜗轮母机运动链建立蜗轮滚刀‑蜗轮工件的位姿误差模型，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti，从而得到蜗轮母机的加工误差模型；步骤二：将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统，利用多项式混沌展开法的全局敏感性对位姿误差模型进行分析，得到每一项几何误差的单效应敏感指数估计量

和全效应敏感指数估计量

步骤三：利用单效应敏感指数估计量

和全效应敏感指数估计量

求解得到每一项几何误差对应的敏感指数，敏感指数越大，说明该项几何误差越关键，对蜗轮母机的加工精度影响越大。

Description

一种蜗轮母机关键误差项辨识方法

技术领域

本发明属于机械误差分析技术领域，具体的为一种蜗轮母机关键误差项辨识方法。

背景技术

蜗轮是机械传动中最常见的基础件之一，其成形精度直接影响传动准确性、平稳性和受 载的均匀性。蜗轮的加工精度取决于蜗轮母机精度，受到多源误差协同影响，包括机床几何 误差、热误差、力误差、伺服控制误差等。其中，机床零部件由于制造和安装引起的几何误 差是蜗轮加工误差最重要的误差来源，属于准静态误差，短时间内不发生改变，因此易被控 制消除。由于蜗轮母机属于多轴数控机床，几何误差不仅数目众多，单项几何误差对蜗轮加 工精度的影响也各不相同，且误差项间存在着复杂的耦合效应，因此如何准确有效的识别出 对最终蜗轮加工精度影响更大的关键误差项显得十分困难。

考虑到各误差项的精度控制难易程度存在较大差异，为节约蜗轮母机设计制造成本、更 好地控制蜗轮加工精度，先展开关键误差项辨识，然后进行针对性的补偿消除是一种有效可 行的技术手段。目前，为辨识出数控机床的关键误差项，大多学者主要采用敏感性分析方法， 以检验复杂加工误差模型下多参数对加工误差的影响，譬如利用加工误差对几何误差项求偏 导等。但该类方法缺少对参数的概率分布和随机特征的考量，分析结果只包含局部梯度信息， 对加工误差的敏感性分析结果并不完全准确。此外，蜗轮母机作为蜗轮的专用加工机床，属 于连续展成滚削加工，目前缺少针对其在多几何误差元素耦合作用下的加工误差模型。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种蜗轮母机关键误差项辨识方法，能够有效辨识出 对蜗轮加工误差具有显著影响的关键误差项，同时考虑参数概率分布和随机特征，具有分析 效率高、准确度好的优点。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种蜗轮母机关键误差项辨识方法，包括如下步骤：

步骤一：分析蜗轮母机各运动轴的几何误差，基于蜗轮母机运动链建立蜗轮滚刀-蜗轮工 件的位姿误差模型，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩 阵T_wti，从而得到蜗轮母机的加工误差模型；

步骤二：将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统，利用多项式混沌 展开法的全局敏感性对位姿误差模型进行分析，得到每一项几何误差的单效应敏感指数估计 量

和全效应敏感指数估计量

步骤三：利用单效应敏感指数估计量

和全效应敏感指数估计量

求解得到每一项几 何误差对应的敏感指数，敏感指数越大，说明该项几何误差越关键，对蜗轮母机的加工精度 影响越大。

进一步，所述步骤一中，建立蜗轮母机的加工误差模型的方法如下：

11)分析蜗轮母机的几何误差；

12)根据蜗轮母机的运动链，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理 想位姿变换矩阵T_wti；

13)以蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti构建蜗 轮母机的加工误差模型。

进一步，所述步骤11)中，考虑蜗轮母机X、Y、Z、C四个运动轴的几何误差，其中：

X轴具有六项位置相关的几何误差，分别为：

X轴运动的x向线性误差δ_x(x)；X轴运动的y向线性误差δ_y(x)；X轴运动的z向线性误差δ_z(x)；X轴运动的x向角度误差ε_x(x)；X轴运动的y向角度误差ε_y(x)；X轴运动的z 向角度误差ε_z(x)；

Z轴具有六项位置相关的几何误差和一项位置无关误差：

六项位置相关的几何误差分别为：Z轴运动的x向线性误差δ_x(z)；Z轴运动的y向线性 误差δ_y(z)；Z轴运动的z向线性误差δ_z(z)；Z轴运动的x向角度误差ε_x(z)；Z轴运动的y 向角度误差ε_y(z)Z轴运动的z向角度误差ε_z(z)；

一项位置无关误差为：Z轴安装的y向角度误差

Y轴具有六项位置相关几何误差和两项位置无关误差：

六项位置相关几何误差分别为：Y轴运动的x向线性误差δ_x(y)；Y轴运动的y向线性误 差δ_y(y)；Y轴运动的z向线性误差δ_z(y)；Y轴运动的x向角度误差ε_x(y)；Y轴运动的y向 角度误差ε_y(y)；Y轴运动的z向角度误差ε_z(y)；

两项位置无关误差分别为：Y轴安装的z向角度误差

Y轴安装的x向角度误差

C轴具有六项位置相关几何误差和四项位置无关误差：

六项位置相关几何误差分别为：C轴运动的x向线性误差δ_x(c)；C轴运动的y向线性误 差δ_y(c)；C轴运动的z向线性误差δ_z(c)；C轴运动的x向角度误差ε_x(c)；C轴运动的y向 角度误差ε_y(c)；C轴运动的z向角度误差ε_z(c)；

四项位置无关误差分别为：C轴安装的x向线性误差δ_xc；C轴安装的y向线性误差δ_yc； C轴安装的x向角度误差

C轴安装的y向角度误差

进一步，所述步骤12)中，以蜗轮滚刀为传递终点，则蜗轮母机的运动链为：蜗轮工件 →C轴→床身→X轴→Z轴→Y轴→B轴→蜗轮滚刀；利用相邻体之间的变换矩阵：

T_jk＝T_jkpT_jkpeT_jksT_jkse

其中，T_jk表示典型体k到典型体j的变换矩阵；T_jkp表示典型体k到典型体j的静止位姿 矩阵；T_jkpe表示典型体k到典型体j的静止位姿误差矩阵；T_jks表示典型体k到典型体j的运 动位姿矩阵；T_jkse表示典型体k到典型体j的运动位姿误差矩阵；

根据蜗轮母机运动链的相邻部件之间的变换矩阵，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际 位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti：

T_wt＝T₀₂ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇＝T₁₂ ^-1T₀₁ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇

其中，T₀₁表示C轴到床身的实际齐次变换矩阵；T₁₂表示蜗轮工件到C轴的实际齐次变 换矩阵；T₀₃表示X轴到床身的实际齐次变换矩阵；T₃₄表示Z轴到X轴的实际齐次变换矩阵； T₄₅表示Y轴到Z轴的实际齐次变换矩阵；T₅₆表示B轴到Y轴的实际齐次变换矩阵；T₆₇表示蜗轮滚刀到B轴的实际齐次变换矩阵；T₀₂表示蜗轮工件到床身的实际齐次变换矩阵；

T_wti＝T_02i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67i＝T_12i ^-1T_01i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67i

其中，T_01i表示C轴到床身的理想齐次变换矩阵；T_12i表示蜗轮工件到C轴的理想齐次变 换矩阵；T_03i表示X轴到床身的理想齐次变换矩阵；T_34i表示Z轴到X轴的理想齐次变换矩 阵；T_45i表示Y轴到Z轴的理想齐次变换矩阵；T_56i表示B轴到Y轴的理想齐次变换矩阵；T_67i表示蜗轮滚刀到B轴的理想齐次变换矩阵；T_02i表示蜗轮工件到床身的理想齐次变换矩阵。

进一步，C轴到床身的实际齐次变换矩阵T₀₁和理想齐次变换矩阵T_01i分别为：

T₀₁＝T_01pT_01peT_01sT_01se

T_01i＝T_01pT_01s

其中，T_01p＝I_4×4表示C轴与床身间的静止位姿矩阵；

表示C轴与床身间的静止位姿误差矩阵；

表示C轴与床身间的运动位姿矩阵；

表示C轴与床身间的运动位姿误差矩阵；

蜗轮工件到C轴的实际齐次变换矩阵T₁₂和理想齐次变换矩阵T_12i分别为：

T₁₂＝T_12pT_12peT_12sT_12se

T_12i＝T_12pT_12s

其中，T_12p、T_12pe、T_12s和T_12se分别表示蜗轮工件与C轴间的静止位姿矩阵、静止位姿误 差矩阵、运动位姿矩阵和运动位姿误差矩阵，且T_12p＝T_12pe＝T_12s＝T_12se＝I_4×4；

X轴到床身的实际齐次变换矩阵T₀₃和理想齐次变换矩阵T_34i分别为：

T₀₃＝T_03pT_03peT_03sT_03se

T_34i＝T_03pT_03s

其中，T_03p和T_03pe分别表示X轴与床身间的静止位姿矩阵和静止位姿误差矩阵，且T_03p＝T_03pe＝I_4×4；

表示X轴与床身间的运动位姿矩阵；

表示X轴与床身间的运动位姿误差矩阵；

Z轴到X轴的实际齐次变换矩阵T₃₄和理想齐次变换矩阵T_34i分别为：

T₃₄＝T_34pT_34peT_34sT_34se

T_34i＝T_34pT_34s

其中，T_34p＝I_4×4表示Z轴与X轴间的静止位姿矩阵；

表示Z轴与X轴间的静止位姿误差矩阵；

表示Z轴与X轴间的运动位姿矩阵；

表示Z轴与X轴间的运动位姿误差矩阵；

Y轴到Z轴的实际齐次变换矩阵T₄₅和理想齐次变换矩阵T_45i分别为：

T₄₅＝T_45pT_45peT_45sT_45se

T_45i＝T_45pT_45s

其中，T_45p＝I_4×4表示Y轴与Z轴间的静止位姿矩阵；

表示Y轴与Z轴间的静止位姿误差矩阵；

表示Y轴与Z轴间的运动位姿矩阵；

表示Y轴与Z轴间的运动位姿误差矩阵；

B轴到Y轴的实际齐次变换矩阵T₅₆和理想齐次变换矩阵T_56i均为单位矩阵；

蜗轮滚刀到B轴的实际齐次变换矩阵T₆₇和理想齐次变换矩阵T_67i均为单位矩阵；

蜗轮工件到床身的实际齐次变换矩阵T₀₂和理想齐次变换矩阵T_02i分别为：

T₀₂＝T₀₁T₁₂

T_02i＝T_01iT_12i。

进一步，所述步骤13)中，设蜗轮母机的运动指令以COM表示，则可将实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti分别表示为：

其中，R(COM)表示运动指令COM对应的实际方向向量变换；P(COM)表示运动指令COM对应的实际位置向量变换；R_i(COM)表示运动指令COM对应的理想方向向量变换； P_i(COM)表示运动指令COM对应的理想位置向量变换；且：

其中，R_mn(COM)(m＝1,2,3；n＝1,2,3)表示实际方向向量变换元素；P_s(COM)(s＝x,y,z) 表示实际位置向量变换元素；R_mni(COM)(m＝1,2,3；n＝1,2,3)表示理想方向向量变换元素； P_si(COM)(s＝x,y,z)表示理想位置向量变换元素；

分别将T_wti和T_wt与刀具坐标系中的刀具位置向量[0,0,0,1]^T和刀具方向向量[0,0,1,0]^T相 乘，得到工件坐标系中的理想刀位数据和实际刀位数据；再将两者作差，即可得到蜗轮母机 的蜗轮滚刀-蜗轮工件之间的位姿误差模型，也即蜗轮母机的加工误差模型：

其中，P_e(COM)表示位置误差向量；R_e(COM)表示方向误差向量。

进一步，所述步骤二中，将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统， 并将加工误差模型简化为：

E＝f(G)

其中，E＝[P_se(COM),R_e(COM)]^T表示包含6项输出元素的蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误 差向量；G＝[x₁,x₂,x₃,…,x_m]^T表示输入的几何误差向量，x_m表示第m项误差元素，m表示误差 总项数；f(·)表示加工误差模型的函数映射；

对于多输出模型：

E_i＝f(G,i)

其中，E_i表示第i项位姿误差，i＝1,2,3,…,6；

设输入的m项几何误差为随机变量且相互独立，那么模型输出中的第i项位姿误差可以 采用截断多项式混沌展开表示：

其中，K表示截断多项式混沌展开的保留项数；φ_j(G)表示随机变量G的第j个多项式函 数；w_ij表示第i项位姿误差的第j项展开系数；ε_i表示第i项位姿误差的截断误差；

将E_i表示为矩阵形式：

其中，w_i＝[w_i1,...,w_iK]^T表示第i项位姿误差的包含K项元素的展开系数向量；

表示随机变量G的函数集合；

重新整理w_i的元素，可将矩阵形式表示为：

E＝Φ^T(G)b+η

其中，E＝[E₁,...,E₆]^T表示位姿误差向量；b＝[w₁,...,w₆]^T表示位姿误差的展开系数矩阵；

表示随机变量G的多项式函数矩阵；η＝[ε₁,...,ε₆]^T表示截断误差向量， 假设截断误差元素相关且服从期望为0，协方差Λ的分布，也即η～N(0,Λ)；

由此，可得模型输出的位姿误差的期望和方差为：

E[E]＝Φ^T(G)b

C[E]＝E[ηη^T]＝Λ

其中，E[·]表示数学期望；C[·]表示协方差；

模型输出E满足多元正态分布，也即E～N(Φ^T(G)b,Λ)；

多项式混沌展开系数b和截断误差的协方差矩阵Λ可以通过最大似然估计方法进行估 算；当给定随机变量G，采用训练点集L＝[x₁,...,x_P]^T产生模型输出向量Q＝[e₁,...,e_P]^T，其 中e_i＝[e_i1,...,e_in]^T，i＝1,...,P，P表示训练点个数；其中元素e_ik,k＝1,...,n表示第i个训练点 对应的第k个输出分量；则b和Λ的无偏估计量为：

其中，

表示b的无偏估计量；

表示Λ的无偏估计量；Ψ＝[Φ(x₁),...,Φ(x_P)]^T；

采用Hoeffding分解法将模型E_k＝f(G,k)分解为：

其中，f_0,k表示第k项位姿误差分量对应的常量；f_i(x_i,k)表示第k项位姿误差分量对应 的与参数x_i相关的函数；f_ij(x_i,x_j,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x_i和x_j相关的联 合函数；f_1,...,d(x₁,...,x_d,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x₁,...,x_d相关的联合函数； E_k表示第k个输出位姿误差分量；G＝{x₁,...,x_d}表示输入几何误差向量；d表示输入几何误 差项数；

将上式的左右两边都取协方差，可得

该式乘以单位矩阵并取迹，将协方差投影为标量：

其中，Tr[·]表示协方差的迹，等效于模型输出的全方差；

由此，可将第i项几何误差的单效应敏感指数M_i和全效应敏感指数

定义为：

其中，V[·]表示方差；M_i表示单效应敏感指数，也即当几何误差项x_i设为常数值时，输 出全方差的预期减少量；M_Ti表示全效应敏感指数，也即与几何误差项x_i改变量相关的总方差 变化量，涵盖x_i的个体效应和与其它变量的交互效应；

将系数估计量

代入一般Sobol法的单效应敏感指数和全效应敏感指数的计算公式中， 则可得到单效应敏感指数估计量为：

其中，

表示单效应敏感指数的估计数；

表示第m项位 姿误差对应的系数向量；

表示6项位姿误差对应的系数矩阵；α_t表示与第t项 系数

对应的多项式指标，由单变量的多项式展开维度决定；

A_i＝{α∣α_i≠0,α_j＝0,j≠i,α∈A}；

A_*＝{α∣α≠0,α∈A}

A表示基于双曲指数集且与混沌展开截断项相关的参数，满足：

A＝{α||||α||_q≤p,α＝(α₁,...,α_d),α_i＝1,2,...,i＝1,2,...,d}

其中，

且q∈(0,1]；

同理，全效应敏感指数估计量为：

其中，

表示与x_i(第i项几何误差)全效应敏感指数估计量计算相 关的A的子集。

本发明的有益效果在于：

本发明的蜗轮母机关键误差项辨识方法，首先，基于蜗轮母机特有的运动链和几何误差 来源分析，构建蜗轮母机的蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误差模型，从而反映加工过程中几何误 差与刀具-工件间的相对位姿误差间的映射关系；然后，利用多项式混沌展开法对蜗轮加工误 差进行全局敏感性分析；最后，量化比较各项几何误差对最终加工误差的影响程度大小，确 定关键误差项，从而为后续针对性的误差补偿控制提供理论依据，在降低控制成本的前提下 极大地提高蜗轮母机加工精度；即本发明的蜗轮母机关键误差项辨识方法涉及蜗轮母机的多 源误差建模机理以及多输入-多输出的全局敏感性分析，该方法能够快速准确地辨识出蜗轮母 机的关键误差项，同时考虑参数概率分布和随机特征，具有分析效率高、准确度好的优点； 相比于传统的蒙特卡洛方法，可以将计算成本降低2～3个数量级。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为蜗轮母机的拓扑运动链的示意图；

图2为蜗轮母机的坐标系示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的 理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

本实施例的蜗轮母机关键误差项辨识方法，包括如下步骤：

步骤一：分析蜗轮母机各运动轴的几何误差，基于蜗轮母机运动链建立蜗轮滚刀-蜗轮工 件的位姿误差模型，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩 阵T_wti，从而得到蜗轮母机的加工误差模型。

具体的，建立蜗轮母机的加工误差模型的方法如下：

11)分析蜗轮母机的几何误差；

蜗轮母机的几何误差是指机床由于自身运动部件的几何尺寸缺陷、部件与部件之间的装 配缺陷等因素引起的部件间相对运动的不精确性，这种不精确性通过蜗轮机床运动链分别传 递到滚刀和蜗轮上，使得两者间的实际切削位置与理论切削位置产生偏差，映射到蜗轮上也 就成了蜗轮加工误差。蜗轮母机的运动部件包括X轴、Y轴、Z轴三个直线运动轴和B轴、 C轴两个回转运动轴，可抽象为图1所示的拓扑运动链。其中，B轴为蜗轮滚刀主轴，C轴 为工作台，安装待加工的蜗轮工件。

蜗轮母机的几何误差源于五个运动轴的安装和制造偏差，由于蜗轮滚刀主轴(B轴)制 造精度通常较高，其几何误差可以忽略，因此在建立蜗轮母机几何误差模型时可以只考虑X、 Y、Z、C四个轴的几何误差。如图2建立机床参考坐标系，其与机床床身固连，方向与机床 坐标系方向相同；设定各轴局部坐标系分别与各轴固连，在机床初始位置时，各轴局部坐标 系方向与参考坐标系方向相同，并且X、Z、Y轴坐标系原点与参考坐标系原点重合，C轴坐 标系原点位于C轴回转轴线上。

因此，蜗轮母机的各运动轴包含的的几何误差元素如下：

①X轴具有六项位置相关的几何误差，分别为：

X轴运动的x向线性误差δ_x(x)；X轴运动的y向线性误差δ_y(x)；X轴运动的z向线性误差δ_z(x)；X轴运动的x向角度误差ε_x(x)；X轴运动的y向角度误差ε_y(x)；X轴运动的z 向角度误差ε_z(x)；

②Z轴具有六项位置相关的几何误差和一项位置无关误差：

六项位置相关的几何误差分别为：Z轴运动的x向线性误差δ_x(z)；Z轴运动的y向线性 误差δ_y(z)；Z轴运动的z向线性误差δ_z(z)；Z轴运动的x向角度误差ε_x(z)；Z轴运动的y 向角度误差ε_y(z)Z轴运动的z向角度误差ε_z(z)；

一项位置无关误差为：Z轴安装的y向角度误差

③Y轴具有六项位置相关几何误差和两项位置无关误差：

六项位置相关几何误差分别为：Y轴运动的x向线性误差δ_x(y)；Y轴运动的y向线性误 差δ_y(y)；Y轴运动的z向线性误差δ_z(y)；Y轴运动的x向角度误差ε_x(y)；Y轴运动的y向 角度误差ε_y(y)；Y轴运动的z向角度误差ε_z(y)；

两项位置无关误差分别为：Y轴安装的z向角度误差

Y轴安装的x向角度误差

④C轴具有六项位置相关几何误差和四项位置无关误差：

六项位置相关几何误差分别为：C轴运动的x向线性误差δ_x(c)；C轴运动的y向线性误 差δ_y(c)；C轴运动的z向线性误差δ_z(c)；C轴运动的x向角度误差ε_x(c)；C轴运动的y向 角度误差ε_y(c)；C轴运动的z向角度误差ε_z(c)；

四项位置无关误差分别为：C轴安装的x向线性误差δ_xc；C轴安装的y向线性误差δ_yc； C轴安装的x向角度误差

C轴安装的y向角度误差

12)根据蜗轮母机的运动链，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理 想位姿变换矩阵T_wti。

以蜗轮滚刀为传递终点，则蜗轮母机的运动链为：蜗轮工件→C轴→床身→X轴→Z轴 →Y轴→B轴→蜗轮滚刀。

蜗轮母机作为复杂的机电系统，可以抽象为一类多体系统，机床各轴就是该多体系统中 的典型体，而典型体之间的位姿关系可由齐次坐标变换矩阵来描述。理想情况下，多体系统 两相邻典型体的位姿关系可由各相邻体局部坐标系间的齐次坐标变换矩阵直接表示，当存在 误差时，两相邻典型体间的位姿关系就需要包含各项几何误差元素的影响。由此引入静止位 姿矩阵T_p、静止位姿误差矩阵T_pe、运动位姿矩阵T_s及运动位姿误差矩阵T_se以描述误差元素 作用下的相邻典型体间位姿关系，其中静止位姿矩阵T_p描述机床各轴在初始位置时相邻典型 体局部坐标系间的位姿关系，静止位姿误差矩阵T_pe描述机床各轴在初始位置时位置无关误差 对相邻典型体局部坐标系间位姿关系的影响，运动位姿矩阵T_s描述相邻典型体在机床运动指 令下的变换矩阵，运动位姿误差矩阵Τ_se描述位置相关误差对相邻典型体运动后位姿关系的影 响。

由以上可以推导出完整的相邻体间变换矩阵：

T_jk＝T_jkpT_jkpeT_jksT_jkse

其中，T_jk表示典型体k到典型体j的变换矩阵；T_jkp表示典型体k到典型体j的静止位姿矩阵；T_jkpe表示典型体k到典型体j的静止位姿误差矩阵；T_jks表示典型体k到典型体j的运动位姿矩阵；T_jkse表示典型体k到典型体j的运动位姿误差矩阵；

具体的，C轴到床身的实际齐次变换矩阵T₀₁和理想齐次变换矩阵T_01i分别为：

T₀₁＝T_01pT_01peT_01sT_01se

T_01i＝T_01pT_01s

其中，T_01p＝I_4×4表示C轴与床身间的静止位姿矩阵；

表示C轴与床身间的静止位姿误差矩阵；

表示C轴与床身间的运动位姿矩阵；

表示C轴与床身间的运动位姿误差矩阵；

蜗轮工件到C轴的实际齐次变换矩阵T₁₂和理想齐次变换矩阵T_12i分别为：

T₁₂＝T_12pT_12peT_12sT_12se

T_12i＝T_12pT_12s

其中，T_12p、T_12pe、T_12s和T_12se分别表示蜗轮工件与C轴间的静止位姿矩阵、静止位姿误 差矩阵、运动位姿矩阵和运动位姿误差矩阵，且T_12p＝T_12pe＝T_12s＝T_12se＝I_4×4；

X轴到床身的实际齐次变换矩阵T₀₃和理想齐次变换矩阵T_34i分别为：

T₀₃＝T_03pT_03peT_03sT_03se

T_34i＝T_03pT_03s

其中，T_03p和T_03pe分别表示X轴与床身间的静止位姿矩阵和静止位姿误差矩阵，且T_03p＝T_03pe＝I_4×4；

表示X轴与床身间的运动位姿矩阵；

表示X轴与床身间的运动位姿误差矩阵；

Z轴到X轴的实际齐次变换矩阵T₃₄和理想齐次变换矩阵T_34i分别为：

T₃₄＝T_34pT_34peT_34sT_34se

T_34i＝T_34pT_34s

其中，T_34p＝I_4×4表示Z轴与X轴间的静止位姿矩阵；

表示Z轴与X轴间的静止位姿误差矩阵；

表示Z轴与X轴间的运动位姿矩阵；

表示Z轴与X轴间的运动位姿误差矩阵；

Y轴到Z轴的实际齐次变换矩阵T₄₅和理想齐次变换矩阵T_45i分别为：

T₄₅＝T_45pT_45peT_45sT_45se

T_45i＝T_45pT_45s

其中，T_45p＝I_4×4表示Y轴与Z轴间的静止位姿矩阵；

表示Y轴与Z轴间的静止位姿误差矩阵；

表示Y轴与Z轴间的运动位姿矩阵；

表示Y轴与Z轴间的运动位姿误差矩阵；

B轴到Y轴的实际齐次变换矩阵T₅₆和理想齐次变换矩阵T_56i均为单位矩阵；

蜗轮滚刀到B轴的实际齐次变换矩阵T₆₇和理想齐次变换矩阵T_67i均为单位矩阵；

蜗轮工件到床身的实际齐次变换矩阵T₀₂和理想齐次变换矩阵T_02i分别为：

T₀₂＝T₀₁T₁₂

T_02i＝T_01iT_12i

根据蜗轮母机运动链的相邻部件之间的变换矩阵，蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿 变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti分别为：

T_wt＝T₀₂ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇＝T₁₂ ^-1T₀₁ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇

其中，T₀₁表示C轴到床身的实际齐次变换矩阵；T₁₂表示蜗轮工件到C轴的实际齐次变 换矩阵；T₀₃表示X轴到床身的实际齐次变换矩阵；T₃₄表示Z轴到X轴的实际齐次变换矩阵； T₄₅表示Y轴到Z轴的实际齐次变换矩阵；T₅₆表示B轴到Y轴的实际齐次变换矩阵；T₆₇表示蜗轮滚刀到B轴的实际齐次变换矩阵；T₀₂表示蜗轮工件到床身的实际齐次变换矩阵；w表示蜗轮工件；t表示蜗轮滚刀；

T_wti＝T_02i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67i＝T_12i ^-1T_01i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67i

其中，T_01i表示C轴到床身的理想齐次变换矩阵；T_12i表示蜗轮工件到C轴的理想齐次变 换矩阵；T_03i表示X轴到床身的理想齐次变换矩阵；T_34i表示Z轴到X轴的理想齐次变换矩 阵；T_45i表示Y轴到Z轴的理想齐次变换矩阵；T_56i表示B轴到Y轴的理想齐次变换矩阵；T_67i表示蜗轮滚刀到B轴的理想齐次变换矩阵；T_02i表示蜗轮工件到床身的理想齐次变换矩阵；i表示机床处于理想状态，不存在任何误差。

因此，实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti均为4X4矩阵。

13)以蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti构建蜗 轮母机的加工误差模型。

假定蜗轮母机的指令位置用COM来表示，任意COM对应的蜗轮滚刀相对蜗轮工件的实 际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti分别表示为：

其中，R(COM)表示运动指令COM对应的实际方向向量变换；P(COM)表示运动指令COM对应的实际位置向量变换；R_i(COM)表示运动指令COM对应的理想方向向量变换； P_i(COM)表示运动指令COM对应的理想位置向量变换；且：

其中，R_mn(COM)(m＝1,2,3；n＝1,2,3)表示实际方向向量变换元素；P_s(COM)(s＝x,y,z) 表示实际位置向量变换元素；R_mni(COM)(m＝1,2,3；n＝1,2,3)表示理想方向向量变换元素； P_si(COM)(s＝x,y,z)表示理想位置向量变换元素。

分别将T_wti和T_wt与刀具坐标系中的刀具位置向量[0,0,0,1]^T和刀具方向向量[0,0,1,0]^T相 乘，可以得到工件坐标系中的理想刀位数据和实际刀位数据。再将两者作差，即可得到蜗轮 母机滚刀-蜗轮工件之间的位姿误差模型，也即蜗轮母机的加工误差模型：

其中，P_e(COM)表示位置误差向量，R_e(COM)表示方向误差向量。

因此，可以建立蜗轮母机滚刀-蜗轮的位姿误差模型，也即某型蜗轮母机的加工误差模型。

步骤二：将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统，利用多项式混沌 展开法的全局敏感性对位姿误差模型进行分析，得到每一项几何误差的单效应敏感指数估计 量

和全效应敏感指数估计量

多项式混沌展开法是一种将混沌理论的随机变量谱展开应用于基于方差分解的全局敏感 性分析方法，可实现对Sobol全局敏感性指标的快速计算。相比于传统的蒙特卡洛方法(即 Sobol法)，在响应函数为光滑的情况下，该方法的计算速度更快，所需计算成本通常低2-3 个数量级。

将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统，包含31个输入参数(几何 误差)和6个输出参数(蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误差)，并将加工误差模型简化为：

E＝f(G)

其中，E＝[P_se(COM),R_e(COM)]^T表示包含6项输出元素的蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误 差向量；G＝[x₁,x₂,x₃,…,x_m]^T表示输入的几何误差向量，x_m表示第m项误差元素，m表示误差 总项数；f(·)表示加工误差模型的函数映射；

对于多输出模型：

E_i＝f(G,i)

其中，E_i表示第i项位姿误差，i＝1,2,3,…,6；

设输入的m项几何误差为随机变量且相互独立，那么模型输出中的第i项位姿误差可以 采用截断多项式混沌展开表示：

其中，K表示截断多项式混沌展开的保留项数；φ_j(G)表示随机变量G的第j个多项式函 数；w_ij表示第i项位姿误差的第j项展开系数；ε_i表示第i项位姿误差的截断误差；

将E_i表示为矩阵形式：

其中，w_i＝[w_i1,...,w_iK]^T表示第i项位姿误差的包含K项元素的展开系数向量；

表示随机变量G的函数集合；

重新整理w_i的元素，可将矩阵形式表示为：

E＝Φ^T(G)b+η

其中，E＝[E₁,...,E₆]^T表示位姿误差向量；b＝[w₁,...,w₆]^T表示位姿误差的展开系数矩阵；

表示随机变量G的多项式函数矩阵；η＝[ε₁,...,ε₆]^T表示截断误差向量， 假设截断误差元素相关且服从期望为0，协方差Λ的分布，也即η～N(0,Λ)；

由此，可得模型输出的位姿误差的期望和方差为：

E[E]＝Φ^T(G)b

C[E]＝E[ηη^T]＝Λ

其中，E[·]表示数学期望；C[·]表示协方差；

模型输出E满足多元正态分布，也即E～N(Φ^T(G)b,Λ)；

多项式混沌展开系数b和截断误差的协方差矩阵Λ可以通过最大似然估计方法进行估 算；当给定随机变量G，采用训练点集L＝[x₁,...,x_P]^T产生模型输出向量Q＝[e₁,...,e_P]^T，其 中e_i＝[e_i1,...,e_in]^T，i＝1,...,P，P表示训练点个数；其中元素e_ik,k＝1,...,n表示第i个训练点 对应的第k个输出分量；则b和Λ的无偏估计量为：

其中，

表示b的无偏估计量；

表示Λ的无偏估计量；Ψ＝[Φ(x₁),...,Φ(x_P)]^T；

采用Hoeffding分解法将模型E_k＝f(G,k)分解为：

其中，f_0,k表示第k项位姿误差分量对应的常量；f_i(x_i,k)表示第k项位姿误差分量对应 的与参数x_i相关的函数；f_ij(x_i,x_j,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x_i和x_j相关的联 合函数；f_1,...,d(x₁,...,x_d,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x₁,...,x_d相关的联合函数； E_k表示第k个输出位姿误差分量；G＝{x₁,...,x_d}表示输入几何误差向量；d表示输入几何误 差项数；

将上式的左右两边都取协方差，可得

该式乘以单位矩阵并取迹，将协方差投影为标量：

其中，Tr[·]表示协方差的迹，等效于模型输出的全方差；

由此，可将第i项几何误差的单效应敏感指数M_i和全效应敏感指数M_Ti定义为：

其中，V[·]表示方差；M_i表示单效应敏感指数，也即当几何误差项x_i设为常数值时，输 出全方差的预期减少量；M_Ti表示全效应敏感指数，也即与几何误差项x_i改变量相关的总方差 变化量，涵盖x_i的个体效应和与其它变量的交互效应；

将系数估计量

代入一般Sobol法的单效应敏感指数和全效应敏感指数的计算公式中， 则可得到单效应敏感指数估计量为：

其中，

表示单效应敏感指数的估计数；

表示第m项位 姿误差对应的系数向量；

表示6项位姿误差对应的系数矩阵；α_t表示与第t项 系数

对应的多项式指标，由单变量的多项式展开维度决定；

A_i＝{α∣α_i≠0,α_j＝0,j≠i,α∈A}；

A_*＝{α∣α≠0,α∈A}

A表示基于双曲指数集且与混沌展开截断项相关的参数，满足：

A＝{α||||α||_q≤p,α＝(α₁,...,α_d),α_i＝1,2,...,i＝1,2,...,d}

其中，

且q∈(0,1]；

同理，全效应敏感指数估计量为：

其中，

表示与x_i(第i项几何误差)全效应敏感指数估计量计算相 关的A的子集。

步骤三：利用单效应敏感指数估计量

和全效应敏感指数估计量

求解得到每一项几 何误差对应的敏感指数，并依据敏感指数大小对误差项的敏感程度降序排列；敏感指数越大， 说明该项几何误差越关键，对蜗轮母机的加工精度影响越显著。

本发明的蜗轮母机关键误差项辨识方法，首先，基于蜗轮母机特有的运动链和几何误差 来源分析，构建蜗轮母机的蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误差模型，从而反映加工过程中几何误 差与刀具-工件间的相对位姿误差间的映射关系；然后，利用多项式混沌展开法对蜗轮加工误 差进行全局敏感性分析；最后，量化比较各项几何误差对最终加工误差的影响程度大小，确 定关键误差项，从而为后续针对性的误差补偿控制提供理论依据，在降低控制成本的前提下 极大地提高蜗轮母机加工精度；即本发明的蜗轮母机关键误差项辨识方法涉及蜗轮母机的多 源误差建模机理以及多输入-多输出的全局敏感性分析，该方法能够快速准确地辨识出蜗轮母 机的关键误差项，同时考虑参数概率分布和随机特征，具有分析效率高、准确度好的优点； 相比于传统的蒙特卡洛方法，可以将计算成本降低2～3个数量级。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限 于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范 围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。

Claims (7)

1.一种蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一：分析蜗轮母机各运动轴的几何误差，基于蜗轮母机运动链建立蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误差模型，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti，从而得到蜗轮母机的加工误差模型；

步骤二：将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统，利用多项式混沌展开法的全局敏感性对位姿误差模型进行分析，得到每一项几何误差的单效应敏感指数估计量

和全效应敏感指数估计量

步骤三：利用单效应敏感指数估计量

和全效应敏感指数估计量

求解得到每一项几何误差对应的敏感指数，敏感指数越大，说明该项几何误差越关键，对蜗轮母机的加工精度影响越大。

2.根据权利要求1所述的蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：所述步骤一中，建立蜗轮母机的加工误差模型的方法如下：

11)分析蜗轮母机的几何误差；

12)根据蜗轮母机的运动链，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti；

13)以蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti构建蜗轮母机的加工误差模型。

3.根据权利要求2所述的蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：所述步骤11)中，考虑蜗轮母机X、Y、Z、C四个运动轴的几何误差，其中：

X轴具有六项位置相关的几何误差，分别为：

X轴运动的x向线性误差δ_x(x)；X轴运动的y向线性误差δ_y(x)；X轴运动的z向线性误差δ_z(x)；X轴运动的x向角度误差ε_x(x)；X轴运动的y向角度误差ε_y(x)；X轴运动的z向角度误差ε_z(x)；

Z轴具有六项位置相关的几何误差和一项位置无关误差：

六项位置相关的几何误差分别为：Z轴运动的x向线性误差δ_x(z)；Z轴运动的y向线性误差δ_y(z)；Z轴运动的z向线性误差δ_z(z)；Z轴运动的x向角度误差ε_x(z)；Z轴运动的y向角度误差ε_y(z)Z轴运动的z向角度误差ε_z(z)；

一项位置无关误差为：Z轴安装的y向角度误差

Y轴具有六项位置相关几何误差和两项位置无关误差：

六项位置相关几何误差分别为：Y轴运动的x向线性误差δ_x(y)；Y轴运动的y向线性误差δ_y(y)；Y轴运动的z向线性误差δ_z(y)；Y轴运动的x向角度误差ε_x(y)；Y轴运动的y向角度误差ε_y(y)；Y轴运动的z向角度误差ε_z(y)；

两项位置无关误差分别为：Y轴安装的z向角度误差

Y轴安装的x向角度误差

C轴具有六项位置相关几何误差和四项位置无关误差：

六项位置相关几何误差分别为：C轴运动的x向线性误差δ_x(c)；C轴运动的y向线性误差δ_y(c)；C轴运动的z向线性误差δ_z(c)；C轴运动的x向角度误差ε_x(c)；C轴运动的y向角度误差ε_y(c)；C轴运动的z向角度误差ε_z(c)；

四项位置无关误差分别为：C轴安装的x向线性误差δ_xc；C轴安装的y向线性误差δ_yc；C轴安装的x向角度误差

C轴安装的y向角度误差

4.根据权利要求3所述的蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：所述步骤12)中，以蜗轮滚刀为传递终点，则蜗轮母机的运动链为：蜗轮工件→C轴→床身→X轴→Z轴→Y轴→B轴→蜗轮滚刀；利用相邻体之间的变换矩阵：

T_jk＝T_jkpT_jkpeT_jksT_jkse

其中，T_jk表示典型体k到典型体j的变换矩阵；T_jkp表示典型体k到典型体j的静止位姿矩阵；T_jkpe表示典型体k到典型体j的静止位姿误差矩阵；T_jks表示典型体k到典型体j的运动位姿矩阵；T_jkse表示典型体k到典型体j的运动位姿误差矩阵；

根据蜗轮母机运动链的相邻部件之间的变换矩阵，得到蜗轮滚刀相对于蜗轮工件的实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti：

T_wt＝T₀₂ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇＝T₁₂ ^-1T₀₁ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇

其中，T₀₁表示C轴到床身的实际齐次变换矩阵；T₁₂表示蜗轮工件到C轴的实际齐次变换矩阵；T₀₃表示X轴到床身的实际齐次变换矩阵；T₃₄表示Z轴到X轴的实际齐次变换矩阵；T₄₅表示Y轴到Z轴的实际齐次变换矩阵；T₅₆表示B轴到Y轴的实际齐次变换矩阵；T₆₇表示蜗轮滚刀到B轴的实际齐次变换矩阵；T₀₂表示蜗轮工件到床身的实际齐次变换矩阵；

T_wti＝T_02i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67i＝T_12i ^-1T_01i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67i

其中，T_01i表示C轴到床身的理想齐次变换矩阵；T_12i表示蜗轮工件到C轴的理想齐次变换矩阵；T_03i表示X轴到床身的理想齐次变换矩阵；T_34i表示Z轴到X轴的理想齐次变换矩阵；T_45i表示Y轴到Z轴的理想齐次变换矩阵；T_56i表示B轴到Y轴的理想齐次变换矩阵；T_67i表示蜗轮滚刀到B轴的理想齐次变换矩阵；T_02i表示蜗轮工件到床身的理想齐次变换矩阵。

5.根据权利要求4所述的蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：

C轴到床身的实际齐次变换矩阵T₀₁和理想齐次变换矩阵T_01i分别为：

T₀₁＝T_01pT_01peT_01sT_01se

T_01i＝T_01pT_01s

其中，T_01p＝I_4×4表示C轴与床身间的静止位姿矩阵；

表示C轴与床身间的静止位姿误差矩阵；

表示C轴与床身间的运动位姿矩阵；

表示C轴与床身间的运动位姿误差矩阵；

蜗轮工件到C轴的实际齐次变换矩阵T₁₂和理想齐次变换矩阵T_12i分别为：

T₁₂＝T_12pT_12peT_12sT_12se

T_12i＝T_12pT_12s

其中，T_12p、T_12pe、T_12s和T_12se分别表示蜗轮工件与C轴间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵和运动位姿误差矩阵，且T_12p＝T_12pe＝T_12s＝T_12se＝I_4×4；

X轴到床身的实际齐次变换矩阵T₀₃和理想齐次变换矩阵T_34i分别为：

T₀₃＝T_03pT_03peT_03sT_03se

T_34i＝T_03pT_03s

其中，T_03p和T_03pe分别表示X轴与床身间的静止位姿矩阵和静止位姿误差矩阵，且T_03p＝T_03pe＝I_4×4；

表示X轴与床身间的运动位姿矩阵；

表示X轴与床身间的运动位姿误差矩阵；

Z轴到X轴的实际齐次变换矩阵T₃₄和理想齐次变换矩阵T_34i分别为：

T₃₄＝T_34pT_34peT_34sT_34se

T_34i＝T_34pT_34s

其中，T_34p＝I_4×4表示Z轴与X轴间的静止位姿矩阵；

表示Z轴与X轴间的静止位姿误差矩阵；

表示Z轴与X轴间的运动位姿矩阵；

表示Z轴与X轴间的运动位姿误差矩阵；

Y轴到Z轴的实际齐次变换矩阵T₄₅和理想齐次变换矩阵T_45i分别为：

T₄₅＝T_45pT_45peT_45sT_45se

T_45i＝T_45pT_45s

其中，T_45p＝I_4×4表示Y轴与Z轴间的静止位姿矩阵；

表示Y轴与Z轴间的静止位姿误差矩阵；

表示Y轴与Z轴间的运动位姿矩阵；

表示Y轴与Z轴间的运动位姿误差矩阵；

B轴到Y轴的实际齐次变换矩阵T₅₆和理想齐次变换矩阵T_56i均为单位矩阵；

蜗轮滚刀到B轴的实际齐次变换矩阵T₆₇和理想齐次变换矩阵T_67i均为单位矩阵；

蜗轮工件到床身的实际齐次变换矩阵T₀₂和理想齐次变换矩阵T_02i分别为：

T₀₂＝T₀₁T₁₂

T_02i＝T_01iT_12i。

6.根据权利要求4或5所述的蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：所述步骤13)中，设蜗轮母机的运动指令以COM表示，则可将实际位姿变换矩阵T_wt和理想位姿变换矩阵T_wti分别表示为：

其中，R(COM)表示运动指令COM对应的实际方向向量变换；P(COM)表示运动指令COM对应的实际位置向量变换；R_i(COM)表示运动指令COM对应的理想方向向量变换；P_i(COM)表示运动指令COM对应的理想位置向量变换；且：

其中，R_mn(COM)(m＝1,2,3；n＝1,2,3)表示实际方向向量变换元素；P_s(COM)(s＝x,y,z)表示实际位置向量变换元素；R_mni(COM)(m＝1,2,3；n＝1,2,3)表示理想方向向量变换元素；P_si(COM)(s＝x,y,z)表示理想位置向量变换元素；

分别将T_wti和T_wt与刀具坐标系中的刀具位置向量[0,0,0,1]^T和刀具方向向量[0,0,1,0]^T相乘，得到工件坐标系中的理想刀位数据和实际刀位数据；再将两者作差，即可得到蜗轮母机的蜗轮滚刀-蜗轮工件之间的位姿误差模型，也即蜗轮母机的加工误差模型：

其中，P_e(COM)表示位置误差向量；R_e(COM)表示方向误差向量。

7.根据权利要求6所述的蜗轮母机关键误差项辨识方法，其特征在于：所述步骤二中，将蜗轮母机的加工误差模型视作多输入多输出的非线性系统，并将加工误差模型简化为：

E＝f(G)

其中，E＝[P_se(COM),R_e(COM)]^T表示包含6项输出元素的蜗轮滚刀-蜗轮工件的位姿误差向量；G＝[x₁,x₂,x₃,…,x_m]^T表示输入的几何误差向量，x_m表示第m项误差元素，m表示误差总项数；f(·)表示加工误差模型的函数映射；

对于多输出模型：

E_i＝f(G,i)

其中，E_i表示第i项位姿误差，i＝1,2,3,…,6；

设输入的m项几何误差为随机变量且相互独立，那么模型输出中的第i项位姿误差可以采用截断多项式混沌展开表示：

其中，K表示截断多项式混沌展开的保留项数；φ_j(G)表示随机变量G的第j个多项式函数；w_ij表示第i项位姿误差的第j项展开系数；ε_i表示第i项位姿误差的截断误差；

将E_i表示为矩阵形式：

其中，w_i＝[w_i1,...,w_iK]^T表示第i项位姿误差的包含K项元素的展开系数向量；

表示随机变量G的函数集合；

重新整理w_i的元素，可将矩阵形式表示为：

E＝Φ^T(G)b+η

其中，E＝[E₁,...,E₆]^T表示位姿误差向量；b＝[w₁,...,w₆]^T表示位姿误差的展开系数矩阵；

表示随机变量G的多项式函数矩阵；η＝[ε₁,...,ε₆]^T表示截断误差向量，假设截断误差元素相关且服从期望为0，协方差Λ的分布，也即η～N(0,Λ)；

由此，可得模型输出的位姿误差的期望和方差为：

E[E]＝Φ^T(G)b

C[E]＝E[ηη^T]＝Λ

其中，E[·]表示数学期望；C[·]表示协方差；

模型输出E满足多元正态分布，也即E～N(Φ^T(G)b,Λ)；

多项式混沌展开系数b和截断误差的协方差矩阵Λ可以通过最大似然估计方法进行估算；当给定随机变量G，采用训练点集L＝[x₁,...,x_P]^T产生模型输出向量Q＝[e₁,...,e_P]^T，其中e_i＝[e_i1,…,e_in]^T，i＝1,...,P，P表示训练点个数；其中元素e_ik,k＝1,...,n表示第i个训练点对应的第k个输出分量；则b和Λ的无偏估计量为：

其中，

表示b的无偏估计量；

表示Λ的无偏估计量；Ψ＝[Φ(x₁),...,Φ(x_P)]^T；

采用Hoeffding分解法将模型E_k＝f(G,k)分解为：

其中，f_0,k表示第k项位姿误差分量对应的常量；f_i(x_i,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x_i相关的函数；f_ij(x_i,x_j,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x_i和x_j相关的联合函数；f_1,...,d(x₁,...,x_d,k)表示第k项位姿误差分量对应的与参数x₁,...,x_d相关的联合函数；E_k表示第k个输出位姿误差分量；G＝{x₁,...,x_d}表示输入几何误差向量；d表示输入几何误差项数；

将上式的左右两边都取协方差，可得

该式乘以单位矩阵并取迹，将协方差投影为标量：

其中，Tr[·]表示协方差的迹，等效于模型输出的全方差；

由此，可将第i项几何误差的单效应敏感指数M_i和全效应敏感指数

定义为：

其中，V[·]表示方差；M_i表示单效应敏感指数，也即当几何误差项x_i设为常数值时，输出全方差的预期减少量；M_Ti表示全效应敏感指数，也即与几何误差项x_i改变量相关的总方差变化量，涵盖x_i的个体效应和与其它变量的交互效应；

将系数估计量

代入一般Sobol法的单效应敏感指数和全效应敏感指数的计算公式中，则可得到单效应敏感指数估计量为：

其中，

表示单效应敏感指数的估计数；

表示第m项位姿误差对应的系数向量；

表示6项位姿误差对应的系数矩阵；α_t表示与第t项系数

对应的多项式指标，由单变量的多项式展开维度决定；

A_i＝{α∣α_i≠0,α_j＝0,j≠i,α∈A}；

A_*＝{α∣α≠0,α∈A}

A表示基于双曲指数集且与混沌展开截断项相关的参数，满足：

A＝{α||||α||_q≤p,α＝(α₁,...,α_d),α_i＝1,2,...,i＝1,2,...,d}

其中，

且q∈(0,1]；

同理，全效应敏感指数估计量为：

其中，

表示与x_i(第i项几何误差)全效应敏感指数估计量计算相关的A的子集。

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