CN112966376A - 一种基于分形理论的接触热导建模方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于分形理论的接触热导建模方法，该方法在实际工程粗糙表面的基础上应用分形理论建立接触热导模型，该方法首先在实际工程表面的基础上使用W‑M函数构建具有各向同性的三维分形表面，并通过功率谱密度函数加以验证；其次，分析接触点的三种形变状态，包括弹性变形、弹‑塑性变形和完全塑性变形；最后通过积分法求取整体收缩热导，同时考虑间隙气体热导。该方法有效避免仪器分辨率和取样长度对预测结果的影响。

Description

一种基于分形理论的接触热导建模方法
技术领域
本发明属于系统热管理技术领域，具体涉及一种基于分形理论的接触热导建模方法。
背景技术
接触传热现象广泛存在于能源、微电子封装、航空航天等众多工程领域，其中接触热导是衡量界面热传递效率的重要指标之一，然而接触热阻的准确预测始终是系统热管理中的瓶颈问题。从上世纪六十年代开始，就有学者对接触热导进行研究，并将不同的形貌模型、形变模型、和导热模型相结合建立预测模型。但是，这些模型都是建立在统计特性为特征的形貌模型基础上，这些表面形貌参数(轮廓算术平均偏差、轮廓均方根误差、均方根坡度、均方根曲率等)受仪器分辨率和取样长度的影响，因而其计算结果也表现出不确定性。与此相反，分形函数定义的粗糙表面不受仪器分辨率和取样长度的影响，具有尺度独立性。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的是提供一种接触热导的获取方法，该方法有效避免仪器分辨率和取样长度对预测结果的影响。
本发明的实现技术手段如下：一种基于分形理论的接触热导建模方法，该方法首先在实际工程表面的基础上使用W-M函数构建具有各向同性的分形表面，并通过功率谱密度函数加以验证。其次，分析接触点的三种形变状态，包括弹性变形、弹-塑性变形和完全塑性变形。最后通过积分法求取整体收缩热导，同时考虑间隙气体热导。具体包括如下步骤：
(1)测量实际工程粗糙表面，对测量的实际工程粗糙表面进行噪声处理计算面粗糙度，得到表面高度数据；
(2)应用表面高度数据，通过W-M函数构建具有各向同性的分形表面，并通过功率谱密度函数验证其各向同性；
(3)分析接触点的三种形变状态，包括弹性变形、弹-塑性变形和完全塑性变形；
(4)通过积分法求取收缩热导；
(5)将气体的间隙导热看作是具有等效间隙厚度的两个绝热平行界面之间的间隙导热问题，以此求取间隙气体热导，并且首先考虑气体稀薄效应的影响；
(6)并联收缩热导和间隙气体热导得到粗糙表面的整体接触热导值。
与现有技术相比，本发明的优点在于：使用结构函数计算分形维数，同时使用表面功率谱函数对分形表面的各向同性进行验证。接触热导的计算考虑了收缩热导和间隙气体热导。该方法有效避免仪器分辨率和取样长度对预测结果的影响。
附图说明
图1为分形粗糙表面。
图2为单个接触点形变示意图。
图3为接触热导随接触压力变化关系图。
具体实施方式
为了能够更加清楚地理解本发明的技术实质和有益效果，申请人在下面以实施例的方式做详细说明，但是对实施例的描述均不是对本发明方案的限制，任何依据本发明构思所作出的仅仅为形式上而非实质性的等效变换都应视为本发明的技术方案范畴。
本发明提出一种基于实际工程表面的分形接触热导建模方法，下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。
一种基于实际工程表面的分形接触热导建模方法，包括如下步骤：
步骤(1)表面形貌的构建
根据Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函数构建三维分形表面：
Figure BDA0002957897150000021
其中z(x，y)表示粗糙表面随机轮廓的高度；x，y为轮廓的几何坐标；D是三维分形维数(对于三维表面2＜D＜3，二维分形维数为Ds＝D-1)；G是分形粗糙度参数；L为取样长度；γ是大于1的常数，对于服从正态分布的随机表面，γ＝1.5较符合高频谱密度和相位随机的情况；γn表示随机轮廓的空间频率；M为表面重叠隆起部的个数；m表示1～M的整数值；n表示随机表面的频率指数；nmax为频率指数上限，nmax＝int[log(L/Ls)/logγ]；Ls表示最低截止长度；φm，n为在(0，2π)范围内均匀分布的随机相位。如图1所示为D＝1.64，G＝1.29e-4的分形粗糙表面。
分形维数D和分形粗糙度参数G可用结构函数进行计算：
Figure BDA0002957897150000022
S(τ)为结构函数，z(x)为表面高度数据，其中P(ω)是W-M函数的功率谱密度函数，ω为频率，可验证分形表面的各向同性：
Figure BDA0002957897150000031
步骤(2)接触形变分析
图2为单个接触点的形变示意图。区分接触点形变状态的临界接触点面积为：
Figure BDA0002957897150000032
Figure BDA0002957897150000033
其中ac1为弹性临界接触点面积，ac2为塑性临界接触点面积，H为两个接触面中较软材料的硬度，E代表有效弹性模量，Ds为二维分形维数。
2.1完全塑性变形
当aL＜ac2，微凸体发生完全塑性变形，此时接触面的实际接触面积Ar和总载荷F为：
Figure BDA0002957897150000034
Figure BDA0002957897150000035
aL为最大接触点面积，a为接触点面积，n(a)为积分函数，ap为完全塑性变形时的实际接触面积。
2.2弹-塑性变形
当粗糙点变形较小，满足ac2＜aL＜ac1，其接触变形属于弹-塑性变形。此时接触面的实际接触面积Ar和总载荷F为：
Figure BDA0002957897150000036
Figure BDA0002957897150000037
Figure BDA0002957897150000038
其中模板函数f(a)可以表示为：
Figure BDA0002957897150000039
2.3弹性变形
当接触点面积满足aL＞ac1，此时微凸体发生弹性变形，此时接触面的实际接触面积Ar和总载荷F为：
Figure BDA0002957897150000041
Figure BDA0002957897150000042
Figure BDA0002957897150000043
步骤(3)接触热导的计算
接触面热交换的传导途径主要有以下三种方式：(1)相互接触的粗糙点间的热传导。(2)热流通过接触面间隙中的固体、液体及气体介质进行热传递。(3)空隙间的辐射换热。在温度低于900K时，辐射换热在总的接触传热中的占比小于2％，因此，在室温情况下辐射热阻一般可以忽略。则总的接触热导表达式为：
ht＝hc+hg
其中ht为总接触热导，hc收缩热导，hg为间隙热导。
3.1收缩热导
当Ds不等于1.5且aL＜ac2：
Figure BDA0002957897150000044
当Ds不等于1.5且ac2＜aL＜ac1：
Figure BDA0002957897150000045
当Ds不等于1.5且aL＞ac1：
Figure BDA0002957897150000046
当Ds＝1.5：
Figure BDA0002957897150000051
式中，ks＝2k1k2/(k1+k2)是两接触固体的有效热导率，k1为试样1的热导率，k2为试样2的热导率；其中
Figure BDA0002957897150000052
代表无量纲实际接触面积。
3.2间隙热导
间隙热导的模型取决于克努森数(Knudsen，NKn＝λ/δ，λ代表气体分子的平均自由程，δ为间隙厚度)的大小。δ间隙厚度的表达式为：
Figure BDA0002957897150000053
其中P为界面压力，H为硬度。σ为有效均方根粗糙度，
Figure BDA0002957897150000054
σ1、σ2分别代表俩个接触表面的均方根粗糙度。根据Knudsen数的数值范围，理想平行间隙内气体的传热可以分为三个区域：(a)连续区：NKn＜＜1，此时适用傅里叶热传导定律。(b)温度跳跃区：0.01＜NKn＜10，此时间隙气体热导为：
Figure BDA0002957897150000055
(c)自由分子传导区：NKn＞10，此时间隙厚度远远小于温度跳变距离，则间隙气体热导为：
Figure BDA0002957897150000056
其中g为温度跳跃距离，其表达式为：
Figure BDA0002957897150000057
α为热适应系数；γ为气体的比热容比；kg为气体热导率；μ为气体粘度；Cv为定容比热容，λ代表气体分子的平均自由程。
上述模型可使用Matlab编程实现。为了更具体的说明本方法的有效性，本发明提供了一个计算实例。以黄铜/不锈钢为对象对接触热导进行分析，材料的物理性参数如表1所示，空气的物理性参数如表2所示。
表1 T＝293K时接触材料的特性
Figure BDA0002957897150000061
表2 常温常压下间隙气体的特性
Figure BDA0002957897150000062
根据建模过程将给定参数代入模型可计算得到接触热导，接触热导随接触载荷的变化曲线图如图3所示。由图3可以看出，接触热导随接触压力和分形维数的增加而增加。

Claims (8)

1.一种基于分形理论的接触热导建模方法，其特征在于，包括：
(1)测量实际工程粗糙表面，对测量的实际工程粗糙表面进行噪声处理计算面粗糙度，得到表面高度数据；
(2)应用表面高度数据，通过W-M函数构建具有各向同性的分形表面，并通过功率谱密度函数验证其各向同性；
(3)分析接触点的三种形变状态，包括弹性变形、弹-塑性变形和完全塑性变形；
(4)通过积分法求取收缩热导；
(5)将气体的间隙导热看作是具有等效间隙厚度的两个绝热平行界面之间的间隙导热问题，以此求取间隙气体热导，并且首先考虑气体稀薄效应的影响；
(6)并联收缩热导和间隙气体热导得到粗糙表面的整体接触热导值。
2.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(1)中，基于实际工程粗糙表面使用3D测量激光显微镜测量粗糙表面，得到表面高度数据，表面高度数据以1024×1024×1024的矩阵形式输出，对应为x轴、y轴和z轴的数据，输出格式为csv。
3.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(2)中，使用三维W-M函数构建三维各向同性的表面，根据W-M函数构建三维分形表面：
Figure FDA0002957897140000011
其中，分形维数D和分形粗糙度参数G可用结构函数进行计算：
Figure FDA0002957897140000012
式中，z(x,y)表示粗糙表面随机轮廓的高度；x,y为轮廓的几何坐标；D是三维分形维数；G是分形粗糙度参数；L为取样长度；γ是大于1的常数；γn表示随机轮廓的空间频率；M为表面重叠隆起部的个数；n表示随机表面的频率指数；nmax为频率指数上限，nmax＝int[log(L/Ls)/logγ]；Ls表示最低截止长度；φm,n为在(0，2π)范围内均匀分布的随机相位；Ds为二维分形维数,Ds＝D-1；P(ω)为功率谱密度函数；ω为频率。
4.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(2)中，使用功率谱密度函数验证三维分形表面的各向同性，功率谱密度函数P(ω)的表达式为：
Figure FDA0002957897140000021
5.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(3)中，考虑接触点的三种形变状态：弹性变形、弹-塑性变形和完全塑性变形，区分接触点形变状态的临界接触点面积为：
Figure FDA0002957897140000022
Figure FDA0002957897140000023
其中ac1为弹性临界接触点面积，ac2为塑性临界接触点面积，H为两个接触面中较软材料的硬度，E代表有效弹性模量，；
当aL＜ac2，微凸体发生完全塑性变形，此时接触面的实际接触面积Ar和总载荷F为：
Figure FDA0002957897140000024
Figure FDA0002957897140000025
当粗糙点变形较小，满足ac2＜aL＜ac1，其接触变形属于弹-塑性变形，此时接触面的实际接触面积Ar和总载荷F为：
Figure FDA0002957897140000026
Figure FDA0002957897140000027
其中模板函数f(a)可以表示为：
Figure FDA0002957897140000028
当接触点面积满足aL＞ac1，此时微凸体发生弹性变形，此时接触面的实际接触面积Ar和总载荷F为：
Figure FDA0002957897140000029
Figure FDA0002957897140000031
6.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(4)中，通过单个接触点的接触热导，积分求取整体收缩热导，
当Ds不等于1.5且aL＜ac2：
Figure FDA0002957897140000032
当Ds不等于1.5且ac2＜aL＜ac1：
Figure FDA0002957897140000033
当Ds不等于1.5且aL＞ac1：
Figure FDA0002957897140000034
当Ds＝1.5：
Figure FDA0002957897140000035
式中，ks＝2k1k2/(k1+k2)是两接触固体的有效热导率，k1为试样1的热导率，k2为试样2的热导率；其中
Figure FDA0002957897140000036
代表无量纲实际接触面积。
7.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(5)中，传热模型取决于克努森数(Knudsen)的大小，其定义为：
NKn＝λ/δ
λ代表气体分子的平均自由程，δ为间隙厚度，δ间隙厚度的表达式为：
Figure FDA0002957897140000041
其中P为界面压力，H为硬度，σ为有效均方根粗糙度，
Figure FDA0002957897140000042
σ1、σ2分别代表俩个接触表面的均方根粗糙度，根据Knudsen数的数值范围，理想平行间隙内气体的传热可以分为三个区域：(a)连续区：NKn＜＜1，此时适用傅里叶热传导定律，(b)温度跳跃区：0.01＜NKn＜10，此时间隙气体热导为：
Figure FDA0002957897140000043
(c)自由分子传导区：NKn＞10，此时间隙厚度远远小于温度跳变距离，则间隙气体热导为：
Figure FDA0002957897140000044
其中g为温度跳跃距离，其表达式为：
Figure FDA0002957897140000045
α为热适应系数；γ为气体的比热容比；kg为气体热导率；μ为气体粘度；Cv为定容比热容。
8.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，步骤(6)中，并联收缩热阻和间隙气体热阻得到粗糙表面的整体接触热阻值，按照计算流程编写Matlab程序计算接触热阻随压力变化曲线图，接触热阻的倒数为接触热导，总的接触热导表达式为：
ht＝hc+hg
其中ht为总接触热导，hc收缩热导，hg为间隙热导。
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