CN106529036A - 一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法，该方法考虑了空气介质热阻对接触热阻的影响。该方法根据微凸体的弹性变形和塑性变形计算结合面实际接触面积和接触载荷，然后分别计算基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻，基体热阻和收缩热阻串联再与空气介质热阻并联计算出总接触热阻，最后使用Matlab编写计算程序得到接触热阻和载荷的关系。本发明的特点在于考虑了微凸体空气介质热阻的影响，载荷较小时空气介质热阻影响较大，不能忽略。本发明提供的方法可为电主轴热态分析的边界条件接触热阻的计算提供理论依据。

Description

一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接 触热阻建模方法

技术领域

本发明属于电主轴热态特性研究领域，涉及一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法，该方法运用matlab计算并分析了基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的影响。

背景技术

电主轴是数控机床的关键部件之一。电主轴的热特性是影响机床加工精度的重要因素之一。目前，接触热阻的建模方法主要有传统的赫兹接触模型、基于经典力学和统计的G-W模型、基于统计学参数的W-A接触模型、还有基于W-M函数的M-B模型，前三个模型具有尺度依赖性，受仪器分辨率和取样长度的影响，后一个模型具有全面性、确定性和尺度独立性，但没有综合考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻。本发明考虑了微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的影响。

发明内容

本发明的目的是提供一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法，该方法运用分形理论建立接触热阻模型并考虑了微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的影响。该方法首先建立结合面实际接触面积和接触载荷方程，然后建立基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻从而建立总接触热阻模型，最后使用Matlab编写计算程序得到总接触热阻，弹性阶段接触热阻和间隙介质热阻随结合面外在载荷变化情况。

本发明是采用以下技术手段实现的：

S1、首先用分形理论对整个粗糙表面进行理论描述，单个微凸体进行基体热阻、收缩热阻的理论分析，得到微凸体的接触面积、接触载荷以及临界接触面积。将接触面积和接触载荷积分得到实际接触面积和接触载荷。

S2、考虑空气的热传导建立空气介质热阻模型，两者并联得到接触热阻模型。

S3、按照计算流程编写Matlab程序计算接触热阻随载荷变化曲线图。

本发明的特点在于考虑了微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻影响，能够对各个热阻进行精确计算。本发明提供的方法可为电主轴的热态特性分析边界条件接触热阻的计算提供指导。

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施例。

附图说明

图1整个粗糙表面的分形表征；

图2基体热阻、收缩热阻和空气间隙热阻的热阻网络；

图3收缩热阻时的单点接触；

图4分形维数D＝1.4976分形粗糙度参数G＝8×10^-10m时，基体热导、收缩热导和无量纲间隙热导随接触载荷的变化关系图；

具体实施方式

本发明实施一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法，下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。

当两个粗糙表面相互接触时，被假设为许多大小不等的圆形微凸体的相互接触，而同一表面微凸体间的变形影响予以忽略。粗糙表面可被看作由大量的、离散的、相互并联的小圆柱形微凸体组成，如图1所示。因此，粗糙表面的彼此接触问题可被简化为接触面积为a′接触高度为d′的圆柱微凸体间的相互接触。接触高度为d′可得：

d′＝Z′_max-δ_max(1)

式中Z′_max样本中最高点到最低点的距离，可给出Z′_max＝L(GL)^D-1。L——样本长度。δ_max微凸体的最大变形：

当热流通过相互接触的粗糙表面时，接触热阻由基体热阻、收缩热阻和小间隙热阻组成。两个相互接触的粗糙表面的热阻网络如图2所示。基体热阻r_bi与收缩热阻r_ci相互串联形成接触的小热阻单元。间隙热阻r_gi与接触的热阻单元并联。对于本接触热阻模型，存在下列假设：(1)热流通道之间无热交换；(2)所有热流通道界面温差相同；(3)通过空隙中的流体介质的传热方式为热传导，不考虑热辐射与热对流。

1.1接触微凸体总接触面积和接触压力

当两个粗糙表面相互接触时，由于相互接触的表面微凸体受到彼此的挤压，从而使微凸体产生弹性或者塑性变形。相互接触的粗糙表面的弹性模量可由等效弹性模量获得，v₁，v₂，E₁，E₂分别是两个表面的泊松比和弹性模量。对于接触的一个微凸体的等效半径可表示为R＝R₁R₂/(R₁+R₂)，这里R₁和R₂分别为相互接触的小微凸体的半径。

真实接触面积和总接触载荷可由积分获得。

微凸体截面积a′的分布函数为：

式中a′微凸体变形后的截面积,当微凸体为弹性变形时a′＝2a；a′_L最大微凸体的截面积；ψ描述微观接触时微凸体大小分布的域扩张系数，可由超越方程(ψ^(2-D)/2-(1+ψ^-D/2)^-(2-D)/D)/((2-D)/D)＝1得。

区分弹性变形状态和塑性变形状态的临界微凸体面积可给出：

式中b＝(πq/2)²,q＝0.454+0.41ν₁；ν₁较软材料的泊松比；σ_y较软材料的屈服强度；K硬度系数，通常K＝2.8。

微凸体截面积a′>a′_c时为弹性变形阶段，微凸体截面积a′≤a′_c时为塑性变形阶段。

对于弹性变形和塑性变形状态下的微凸体，单个微凸体间接触力f与截面积a′的关系可给出：

f_p＝Kσ_ya′ (6)

式中e、p分别代表弹性变形和塑性变形状态。

整个表面的负载F和真实接触面积A_r可由积分获得：

1.2单个热阻单元的基体热阻

由分形接触模型可知，对于接触面积a的微凸体，在接触高度d′范围内的基体热阻可表达为：

式中k当量导热系数，k＝2k₁k₂/(k₁+k₂)；k₁，k₂分别为两接触材料的导热系数。

根据弹性理论，微凸体最大变形量可得：

1.3单个热阻单元的收缩热阻

由于接触界面的实际接触面积远小于名义接触面积，热流通过接触界面时，热流线只通过这些离散的接触点会产生热流线收缩现象，即收缩热阻。根据Cooper，Mikic和Yovanovich等人提出的经典截锥体接触模型(如图3所示)，单个微凸体接触点处收缩热阻为：

式中c单个接触点半径(m)；b热流通道半径(m)；ψ(c/b)界面收缩率ψ(c/b)≈(1-c/b)^1.5，这里A＝Lu²。

对于接触面积a的微凸体，相应的收缩热阻为：

由于基体热阻与收缩热阻是并联关系，热阻单元的接触热阻可表示为：

1.4间隙中空气介质热阻

对于间隙中空气介质热阻传热情况。对于粗糙界面的小间隙传热，一个无量纲的判别参数克努森数可定义：

d为接触平面平均间隙高度，对于相互接触的两个平面中：

式中P压强，P＝F/A；σ当量均方根粗糙度，σ₁、σ₂分别表示两接触表面的均方根粗糙度；H材料的微观硬度。

Λ为间隙气体分子平均自由程：

式中T开氏温度；P接触间隙气体压强，可视为标准大气压；δ气体分子直径；kB玻尔兹曼常数，k_B＝1.38×10^-23J/k。

对于常温常压下，间隙为空气时的分子平均自由程Λ＝0.064μm。

当k_n<0.01时为气体连续传热状态，平板之间热传导发生主要通过气体分子之间的碰撞和能量交换，可适用傅里叶传热定律：

当0.01<k_n<10时为温度跳跃状态，平板/气体界面之间的能量交换不完全导致这些界面温度不连续。这时间隙介质的接触热导可以定义为：

式中kg间隙气体介质的导热率。

根据Song and Yovanovich,气体参数M为：

这里α₁、α₂是气体对两表面间的热适应系数，对于两相同材料微凸体α₁＝α₂；γ是介质气体的比热容比，即气体的定压比热容(Cp)与定容比热容(Cv)的比值，常压常温可取1.40；Pr是气体的普朗特数。

Song and Yovanovich给出了一个气固结合的热适应系数的预测关系式：

这里对于单原子气体对于多原子气体u＝M_g/M_s，Mg、Ms分别是气体和固体的分子质量，对于空气Mg＝29g/mol。

当k_n>10时为气体自由分子传热状态，分子间的碰撞几乎没有，平板间的传热机制主要是气体分子和平板间的能量交换，这时间隙介质热导为：

1.5粗糙表面的接触热阻

粗糙表面的接触热阻由许多热阻单元与间隙热阻组成。整个粗糙表面的接触热阻数值可由其积分获得。为了获得接触表面的接触热阻这里引入接触热导h，其与接触热阻的关系为h＝1/r。单个热阻单元的接触热导由可得：

整个粗糙表面的接触热导由接触单元的热导与间隙热导串联而成：

H_c＝H_bc+H_cg (25)

式中，H_cg＝1/r_gA_g＝k_g/[(M+d)A_g]，A_g为间隙传热面积。

上述模型可使用matlab编程来实现。为更具体的说明本方法的有效性，本发明提供了一个计算实例。

以铝合金/铝合金为对象对接触热阻的倒数接触热导进行分析，铝合金的物理性参数。如表1所示。

表1 T＝293K时接触材料的特性

根据表1中的参数和建模过程给出的参数代入模型，分形维数D＝1.4976分形粗糙度参数G＝8×10^-10m时的分析结果，微凸体分别发生弹性、塑性变形的收缩热导和间隙热导以及总的收缩热导随接触载荷的变化，可以看出当载荷小时，间隙热阻占很大比例，热流传递受间隙热阻的阻碍，因此不能忽略。

Claims (2)

1.一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法，该方法运用分形理论建立接触热阻模型并考虑了微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的影响；该方法首先建立结合面实际接触面积和接触载荷方程，然后建立基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻从而建立总接触热阻模型，最后使用Matlab编写计算程序得到总接触热阻，弹性阶段接触热阻和间隙介质热阻随结合面外在载荷变化情况；

其特征在于，

S1、首先用分形理论对整个粗糙表面进行理论描述，单个微凸体进行基体热阻、收缩热阻的理论分析，得到微凸体的接触面积、接触载荷以及临界接触面积；将接触面积和接触载荷积分得到实际接触面积和接触载荷；

S2、考虑空气的热传导建立空气介质热阻模型，两者并联得到接触热阻模型；

S3、按照计算流程编写Matlab程序计算接触热阻随载荷变化曲线图；

本方法在于考虑了微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻影响，能够对各个热阻进行精确计算；本方法为电主轴的热态特性分析边界条件接触热阻的计算提供指导。

2.根据权利要求1所述的一种考虑微凸体的基体热阻、收缩热阻和空气介质热阻的接触热阻建模方法，其特征在于：

当两个粗糙表面相互接触时，被假设为许多大小不等的圆形微凸体的相互接触，而同一表面微凸体间的变形影响予以忽略；粗糙表面可被看作由大量的、离散的、相互并联的小圆柱形微凸体组成；因此，粗糙表面的彼此接触问题可被简化为接触面积为a′接触高度为d′的圆柱微凸体间的相互接触；接触高度为d′可得：

d′＝Z′_max-δ_max (1)

式中Z′_max样本中最高点到最低点的距离，可给出Z′_max＝L(G/L)^D-1；L——样本长度；δ_max微凸体的最大变形：

${\mathrm{\&delta;}}_{max}=G^{D-1}{a}_L^{\&prime;\frac{2-D}{2}}---\left(2\right)$

当热流通过相互接触的粗糙表面时，接触热阻由基体热阻、收缩热阻和小间隙热阻组成；两个相互接触的粗糙表面的热阻网络；基体热阻r_bi与收缩热阻r_ci相互串联形成接触的小热阻单元；间隙热阻r_gi与接触的热阻单元并联；对于本接触热阻模型，存在下列假设：(1)热流通道之间无热交换；(2)所有热流通道界面温差相同；(3)通过空隙中的流体介质的传热方式为热传导，不考虑热辐射与热对流；

1.1接触微凸体总接触面积和接触压力

当两个粗糙表面相互接触时，由于相互接触的表面微凸体受到彼此的挤压，从而使微凸体产生弹性或者塑性变形；相互接触的粗糙表面的弹性模量可由等效弹性模量获得，v₁，v₂，E₁，E₂分别是两个表面的泊松比和弹性模量；对于接触的一个微凸体的等效半径可表示为R＝R₁R₂/(R₁+R₂)，这里R₁和R₂分别为相互接触的小微凸体的半径；

真实接触面积和总接触载荷可由积分获得；

微凸体截面积a′的分布函数为：

$n\left(a^{\&prime;}\right)=\frac{D}{2}{\mathrm{\&psi;}}^{\frac{(2-D)}{2}}{a}_L^{\&prime;\frac{D}{2}}{a}^{\&prime;-\frac{D+2}{2}}---\left(3\right)$

式中a′微凸体变形后的截面积,当微凸体为弹性变形时a′＝2a；a′_L最大微凸体的截面积；ψ描述微观接触时微凸体大小分布的域扩张系数，可由超越方程(ψ^(2-D)/2-(1+ψ^-D/2)^-(2-D)/D)/((2-D)/D)＝1得；

区分弹性变形状态和塑性变形状态的临界微凸体面积可给出：

$a_c^{\&prime;}={\&lsqb;2^{(7-2D)}{\mathrm{\&pi;}}^{(D-1)}{b}^{(-1)}{G}^{(2D-2)}{\left(\frac{E}{{\mathrm{K\&sigma;}}_y}\right)}^2\ln \mathrm{\&gamma;}\&rsqb;}^{\frac{1}{D-1}}---\left(4\right)$

式中b＝(πq/2)²,q＝0.454+0.41ν₁；ν₁较软材料的泊松比；σ_y较软材料的屈服强度；K硬度系数，通常K＝2.8；

微凸体截面积a′>a_c′时为弹性变形阶段，微凸体截面积a′≤a′_c时为塑性变形阶段；

对于弹性变形和塑性变形状态下的微凸体，单个微凸体间接触力f与截面积a′的关系可给出：

$f_e=\frac{2^{\frac{9-2D}{2}}}{3{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{3-D}{2}}}{\left(ln\mathrm{\&gamma;}\right)}^{\frac{1}{2}}{G}^{D-1}{\mathrm{Ea}}^{\&prime;\frac{3-D}{2}}---\left(5\right)$

f_p＝Kσ_ya′ (6)

式中e、p分别代表弹性变形和塑性变形状态；

整个表面的负载F和真实接触面积A_r可由积分获得：

$\begin{array}{cc}F={\&Integral;}_0^{a_c^{\&prime;}}{f}_{p}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}+{\&Integral;}_{a_c^{\&prime;}}^{a_L^{\&prime;}}{f}_{e}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}& \\ ={\mathrm{K\&sigma;}}_y\frac{D}{2-D}{\mathrm{\&psi;}}^{\frac{(2-D)}{2}}{a}_L^{\&prime;\frac{D}{2}}{a}_c^{\&prime;\frac{2-D}{2}}+\frac{2^{\frac{9-2D}{2}}}{3{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{3-D}{2}}}\frac{D}{2-D}{\left(ln\mathrm{\&gamma;}\right)}^{\frac{1}{2}}{G}^{D-1}{\mathrm{E\&psi;}}^{\frac{(2-D)}{2}}{a}_L^{\&prime;\frac{D}{2}}(a_L^{\&prime;\frac{3-2D}{2}}-a_c^{\&prime;\frac{3-2D}{2}})& D\&NotEqual;15\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{cc}F={\&Integral;}_0^{a_c^{\&prime;}}{f}_{p}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}+{\&Integral;}_{a_c^{\&prime;}}^{a_L^{\&prime;}}{f}_{e}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}& \\ ={\mathrm{K\&sigma;}}_{y}3{\mathrm{\&psi;}}^{\frac{1}{4}}{a}_L^{\&prime;\frac{3}{4}}{a}_c^{\&prime;\frac{1}{4}}+\frac{2}{{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{3}{4}}}{\left(ln\mathrm{\&gamma;}\right)}^{\frac{1}{2}}{G}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{E\&psi;}}^{\frac{1}{4}}{a}_L^{\&prime;\frac{3}{4}}\left(\ln \frac{a_L^{\&prime;}}{a_c^{\&prime;}}\right)& D=1.5\end{array}---\left(8\right)$

$A_r={\&Integral;}_0^{a_c^{\&prime;}}n\left(a^{\&prime;}\right)a^{\&prime;}{\mathrm{da}}^{\&prime;}+{\&Integral;}_{a_c^{\&prime;}}^{a_L^{\&prime;}}n\left(a^{\&prime;}\right)\frac{1}{2}{a}^{\&prime;}{\mathrm{da}}^{\&prime;}=\frac{D}{4-2D}{\mathrm{\&psi;}}^{\frac{(2-D)}{2}}{a}_L^{\&prime;\frac{D}{2}}{a}_c^{\&prime;\frac{2-D}{2}}+\frac{D}{4-2D}{\mathrm{\&psi;}}^{\frac{(2-D)}{2}}{a}_L^{\&prime;}---\left(9\right)$

1.2单个热阻单元的基体热阻

由分形接触模型可知，对于接触面积a的微凸体，在接触高度d′范围内的基体热阻可表达为：

$r_b=\frac{d^{\&prime;}}{ka}---\left(10\right)$

式中k当量导热系数，k＝2k₁k₂/(k₁+k₂)；k₁，k₂分别为两接触材料的导热系数；

根据弹性理论，微凸体最大变形量可得：

${\mathrm{\&delta;}}_{max}=G^{D-1}{a}_L^{\&prime;\frac{2-D}{2}}---\left(11\right)$

1.3单个热阻单元的收缩热阻

由于接触界面的实际接触面积远小于名义接触面积，热流通过接触界面时，热流线只通过这些离散的接触点会产生热流线收缩现象，即收缩热阻；提出的经典截锥体接触模型，单个微凸体接触点处收缩热阻为：

$r_c=\frac{\mathrm{\&psi;}(c/b)}{2kc}---\left(12\right)$

式中c单个接触点半径(m)；b热流通道半径(m)；ψ(c/b)界面收缩率ψ(c/b)≈(1-c/b)^1.5，这里A＝Lu²；

对于接触面积a的微凸体，相应的收缩热阻为：

$r_c=\frac{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{2k\sqrt{a}}{(1-{\left(\frac{A_r}{A}\right)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{2}}---\left(13\right)$

由于基体热阻与收缩热阻是并联关系，热阻单元的接触热阻可表示为：

$r_{bc}=r_b+r_c=\frac{d^{\&prime;}}{{\mathrm{ka}}^{\&prime;}}+\frac{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{2k\sqrt{a^{\&prime;}}}{(1-{\left(\frac{A_r}{A}\right)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{2}}---\left(14\right)$

1.4间隙中空气介质热阻

对于间隙中空气介质热阻传热情况；对于粗糙界面的小间隙传热，一个无量纲的判别参数克努森数可定义：

$k_n=\frac{\mathrm{\&Lambda;}}{d}---\left(15\right)$

d为接触平面平均间隙高度，对于相互接触的两个平面中：

$d=1.53\mathrm{\&sigma;}{\left(\frac{p}{H}\right)}^{-0.097}---\left(16\right)$

式中P压强，P＝F/A；σ当量均方根粗糙度，σ₁、σ₂分别表示两接触表面的均方根粗糙度；H材料的微观硬度；

Λ为间隙气体分子平均自由程：

$\mathrm{\&Lambda;}=\frac{k_B}{\sqrt{2}{\mathrm{\&pi;\&delta;}}^{2}P}T---\left(17\right)$

式中T开氏温度；P接触间隙气体压强，可视为标准大气压；δ气体分子直径；kB玻尔兹曼常数，k_B＝1.38×10^-23J/k；

对于常温常压下，间隙为空气时的分子平均自由程Λ＝0.064μm；

当k_n<0.01时为气体连续传热状态，平板之间热传导发生主要通过气体分子之间的碰撞和能量交换，可适用傅里叶传热定律：

$h_{cg}=\frac{k_g}{d}---\left(18\right)$

当0.01<k_n<10时为温度跳跃状态，平板/气体界面之间的能量交换不完全导致这些界面温度不连续；这时间隙介质的接触热导可以定义为：

$h_{cg}=\frac{k_g}{M+d}---\left(19\right)$

式中，kg间隙气体介质的导热率；

根据Song and Yovanovich,气体参数M为：

$M=(\frac{2-{\mathrm{\&alpha;}}_1}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}+\frac{2-{\mathrm{\&alpha;}}_2}{{\mathrm{\&alpha;}}_2})\left(\frac{2\mathrm{\&gamma;}}{1+\mathrm{\&gamma;}}\right)\frac{\mathrm{\&Lambda;}}{\mathrm{Pr}}---\left(20\right)$

这里α₁、α₂是气体对两表面间的热适应系数，对于两相同材料微凸体α₁＝α₂；γ是介质气体的比热容比，即气体的定压比热容(Cp)与定容比热容(Cv)的比值，常压常温可取1.40；Pr是气体的普朗特数；

Song and Yovanovich给出了一个气固结合的热适应系数的预测关系式：

$\mathrm{\&alpha;}=\exp \&lsqb;-0.57\left(\frac{T_s-273}{273}\right)\&rsqb;\left(\frac{M_g^{*}}{6.8+M_g^{*}}\right)+\frac{2.4\mathrm{\&mu;}}{{(1+\mathrm{\&mu;})}^2}\{1-\exp \&lsqb;-0.57\left(\frac{T_s-273}{273}\right)\&rsqb;\}---\left(21\right)$

这里对于单原子气体对于多原子气体u＝M_g/M_s，Mg、Ms分别是气体和固体的分子质量，对于空气Mg＝29g/mol；

当k_n>10时为气体自由分子传热状态，分子间的碰撞几乎没有，平板间的传热机制主要是气体分子和平板间的能量交换，这时间隙介质热导为：

$h_{cg}=\frac{k_g}{M}---\left(22\right)$

1.5粗糙表面的接触热阻

粗糙表面的接触热阻由许多热阻单元与间隙热阻组成；整个粗糙表面的接触热阻数值可由其积分获得；为了获得接触表面的接触热阻这里引入接触热导h，其与接触热阻的关系为h＝1/r；单个热阻单元的接触热导由可得：

整个粗糙表面的接触热导由接触单元的热导与间隙热导串联而成：

H_c＝H_bc+H_cg (25)

式中，H_cg＝1/r_gA_g＝k_g/[(M+d)A_g]，A_g为间隙传热面积；上述模型使用matlab编程来实现。